第三章随机变量与分布函数

超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .
几何分布
P( k ) (1 p)
k 1
p, k 1,2
X 为独立重复的伯努里试验中，
“首次成功”时的试验次数.
几何分布具有无记忆性，即：
P( ξ > m+n | ξ > m ) = P( ξ > n )
F ( x)
x

p(t )dt
则称 ξ 为连续随机变量， 称 p(x)为分布密度函数，（density function）.
密度函数的基本性质
(1) p( x) 0; (非负性)
(2) p( x)dx 1. (正则性)

满足(1) (2)的函数都可以看成某个 连续随机变量的分布密度函数.
例
X P
已知 ξ 的分布列如下：
0 1 2 1/2 1/3 1/6
求 ξ 的分布函数.
常见离散型分布
1、退化分布（单点分布） 2、伯努利分布（两点分布） B(1,p) 3、二项分布 4、超几何分布 B(n,p)
5、泊松分布
6、几何分布 7、巴斯卡分布
P(λ)
常用离散分布
1 二项分布 记为 ξ ~ B(n, p).
(1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；
(3) 左连续：F(x-0)=F(x).
注 意 点
注意以下一些表达式：
P{ ( w) a} F (a 0) F (a) P{ ( w) a} F (a 0) P{ ( w) a} 1 F (a) P{ ( w) a} 1 F (a 0)
三、离散型随机变量
设离散随机变量 ξ 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 称 pi=P(ξ =xi)， i =1, 2, …… 为 ξ 的分布列.
分布列也可用表格形式表示：
ξ P x1 p1 x2 …… xn …… p2 …… pn ……
分布列的基本性质
(1) pi 0，
(非负性) (正则性)
巴斯卡分布(负二项分布)
为独立重复的伯努里试验中，
“第 r 次成功”时的试验次数.
1 P( k ) Ckr1 (1 p) k r p r , k r , r 1
巴斯卡分布与几何分布的关系：
i 为从第 i-1 次成功后算起， “首次成功”时的试验次数.
1 2 r
ξ为n重伯努里试验中“成功”的次数,
k P( k ) Cn p k (1 p) nk , k 0,1, n
当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布.
例 设ξ ~ b(2, p)， η ~ b(4, p)，
已知 P(ξ 1) = 8/9， 求 P(η1). 解: 由 P(ξ1) = 8/9 ，知 P(ξ=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(ξ=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3.
(1.66) = 0.9515,
故 b = 1.66
(1.65) = 0.9505,
故 a = 1.65
一般正态分布的标准化

( x )2 1 exp p ( x) , 2 2 2 x
1 F ( x) 2

x

e
(t )2 2 2
dt , x R
记为ξ ~ N(, 2),
其中 >0， 是任意实数.
是位置参数. 是尺度参数.
注意点
(1) (2) (3)
P(a b) p( x)dx
a
b
F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数; P(ξ=x) = F(x+0)F(x) = 0;
注意点
(1) P(a b) f ( x)dx
a b
(2)
(3)
F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数;
(2)
pi 1.
i
注 意 点
对离散随机变量的分布函数应注意：
(1) F(x)是递增的阶梯函数;
(2) 其间断点均为左连续的; (3) 其间断点即为ξ的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
一般，设离散型r.v. ξ的分布律为：
ξ
P
x1
p1
x2
p2
……
……
xk
pk
……
……
P(ξ=x) = F(x+0)F(x) = 0;
所以，概率为零的事件不一定是不可能事件！！ (4) P{a<ξ≤b} = P{a< ξ <b} = P{a≤ ξ <b} = P{a≤ ξ ≤b} = F(b)F(a). (5) 当F(x) 在x点可导时, f(x) = F (x )
离散型
1. 分布列: pn = P(ξ =xn) ( 唯一 ) 2. F(x) =
第三章 随机变量与分布函数
§3.1随机变量及其分布
一、随机变量的定义 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数
1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 :
[0, +)
随机变量的定义
(1) 随机变量 (w) 是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) (2) 若 为随机变量，则
均为随机事件. 即 {a b} {w : a ( w) b}
{ k},{a b},
两类随机变量
若随机变量 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 为离散型随机变量. 若随机变量 的可能取值充满某个区间 为连续型随机变量. 前例中的 , , 为离散型随机变量； 而 为连续型随机变量. [a, b]，则称
四、连续型随机变量
连续随机变量ξ的可能取值充满某个区间 (a, b).
因为对连续随机变量ξ ，有P(ξ=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(ξ =x) 来描述连续 随机变量ξ的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.
定义
设随机变量ξ的分布函数为F(x),
若存在非负可积函数 p(x) ，满足：
随机变量的分布函数 定义3.1.2 设 为一个随机变量，对任意实数 x，
称 F(x)=P{ function) 记为 < x} 为 的分布函数.(distribution

~ F ( x)
P{a b} F (b) F (a)
二、分布函数的性质
定理3.1.1 分布函数F(x)具有下列基本性质：
例2.5.1 设 ξ ~ N(0, 1), 求 P(ξ>1.96) , P(|ξ|<1.96) 解: P(ξ>1.96) = 1 (1.96)
= 1(1 (1.96)) = (1.96)
= 0.975 (查表得) P(|ξ|<1.96) = 2 (1.96)1 = 2 0.9751 = 0.95
1 900 x 1100 p( x) 1100 900 0 其它
P{950 R 1050}
1050
950
1 dr 0.5 200
例2
ξ ~ U(2, 5). 现在对 ξ 进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解： 记 A = { ξ > 3 }, 则 P(A) = P( ξ> 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,
若 ξ ~ N(0, 1), 则 (1) P(ξ < a) = (a); (2) P(ξ≥a) =1(a); (3) P(a≤ξ<b) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|ξ|<a) = P(a<ξ<a) = (a)(a) = (a) [1 (a)] = 2(a)1
定义3.1.1
设 ={}为某随机现象的样本空间， (w) 是定
义于概率空间(Ω, F, P)上的单值实函数，如
果对直线上任何一个博雷尔点集B,有
{w : ( w) B} F
则称 (w)为随机变量，而 P{ ( w) B} 称为随机变量 (w)的概率分布。
.
注 意 点
密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x).
( x )
x 0 x
1 ( x )
x
1 (1) (0) , 2 (2) ( x ) 1 (x)
(x) 的计算
(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表. (2) x < 0时, 用 (x ) 1 ( x ).
y
O
μ
x
正态分布的性质
p(x)
(1) p(x) 关于 是对称的.
σ
在 点 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定, 改变, p(x)左右移动, 形状保持不变. (3) 若 固定, 改变, 越大曲线越平坦;
0 μ σ大
小 x
越小曲线越陡峭.
标准正态分布N(0, 1)
p(x)
由此得： P(η1) = 1 P(η=0)
= 1- (1p)4 = 80/81.
泊松分布
若随机变量 ξ 的概率分布为
P( k )

k
k!
e , k 0,1,2

则称 ξ 服从参数为 的泊松分布,
记为 ξ ~ P().
超几何分布
k n CM C NkM P( k ) ,0 k n N , k M n CN