兰大网院命题作业-计算二重积分
数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β， 在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知， 每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。
二重积分计算及应用
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的应用
一、利用直角坐标系计算二重积分
X －型区域 积分区域为： 积分区域为： a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ).
y = ϕ 2 ( x) y = ϕ 2 ( x)
D
y = ϕ1 ( x )
2
π
∵ I1 < I < I 2 , ∴
π
4
(1 − e
− R2
) < (∫ e
R 0
− x2
dx ) <
2
π
4
(1 − e
−2 R2
);
当 R → +∞ 时， I1 →
π
4
, I2 →
π
4
,
故当 R → +∞ 时，I →
+∞ 0
π
4
, 即 (∫
+∞ 0
e
− x2
dx ) =
2
π
4
,
所求广义积分 ∫
D3
D1
D2
∫∫ = ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D D1 D2 D3
例1 改变积分 ∫ dx ∫
1 0
1− x 0
f ( x , y )dy的次序.
y = 1− x
解 积分区域如图 原式= 原式= ∫0 dy ∫
1 1− y 0
f ( x , y )dx .
例2 改变积分
∫ dx ∫0
1 0
2 x− x2
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
二重积分习题课
几何意义
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶
为高和以M为高的 为高和以 柱体的体积介于以D为底 柱体的体积介于以 为底,以m为高和以 为高的 为底 两个平顶柱体体积之间. 两个平顶柱体体积之间
6
在闭区 性质6(二重积分中值定理) 性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区 6(二重积分中值定理 的面积, 上连续, 域D上连续 σ为D的面积 则在 上至少存在一点 上连续 为 的面积 则在D上至少存在一点 (ξ ,η ), 使得
ψ1( y)
f ( x, y)dx
c
O
x
先对x 后对y的二次积分 的二次积分. 先对 后对 的二次积分
11
三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域 上连续 设 在平面有界平面闭区域D上连续 在平面有界平面闭区域 上连续.
D = {( x, y)α ≤ θ ≤ β ,ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ )}
β
ϕ(θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr;
r = ϕ (θ )
D β θα
O
A
13
(3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域 上连续 设 在平面有界平面闭区域D上连续 在平面有界平面闭区域 上连续.
D = {( x, y) 0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ r ≤ ϕ(θ )}
其中函数 ϕ(θ )在区间[α, β ]上连续.
则
∫∫ f ( x, y)dxdy = 0, D
f (x, y)对x为偶函数 即 为偶函数, 对 为偶函数
f ( − x , y ) = f ( x , y ), ∀( x , y ) ∈ D ,
习题课 二重积分的计算共28页文档
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
习题课 二重Leabharlann 分的计算11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
兰大网院工程力学测试题(卷)与答案解析
只有剪力FS只有弯矩M既有剪力FS，又有弯矩M只有轴力FN本题分值：4.0用户未作答标准答案：既有剪力FS，又有弯矩M工程力学中，将物体抽象为刚体工程力学中，将物体抽象为变形体工程力学中，研究外效应时，将物体抽象为刚体，而研究内效应时，则抽象为变形体以上说法都不正确。
本题分值：4.0用户未作答标准答案：以上说法都不正确。
9364本题分值：4.0用户未作答标准答案：61次3次4次12次本题分值：4.0用户未作答标准答案：1次形心轴主惯性轴行心主惯性轴对称轴本题分值：4.0用户未作答标准答案：主惯性轴二个三个四个六个本题分值：4.0用户未作答标准答案：三个满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件本题分值：4.0用户未作答标准答案：满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件剪力发生突变弯矩发生突变剪力、弯矩不受影响都不对本题分值：4.0用户未作答标准答案：弯矩发生突变工程力学中我们把所有的物体都抽象化为变形体在工程力学中我们把所有的物体都抽象化为刚体稳定性是指结构或构件保持原有平衡状态工程力学是在塑性范围内，大变形情况下研究其承截能力。
本题分值：4.0用户未作答标准答案：稳定性是指结构或构件保持原有平衡状态10. 二向应力状态，是指一点处的三个主应力中有（）个主应力不为零。
123无数个本题分值：4.0用户未作答标准答案：2错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对减少了梁的最大弯矩值减少了梁的最大剪力值减少了梁的最大挠曲值增加了梁的抗弯刚度值本题分值：4.0用户未作答标准答案：减少了梁的最大弯矩值只有剪力FS只有弯矩M既有剪力FS，又有弯矩M只有轴力FN本题分值：4.0用户未作答标准答案：既有剪力FS，又有弯矩M1.00.70.52本题分值：4.0用户未作答标准答案：1.0挠度最大转角最大剪力最大弯矩最大本题分值：4.0用户未作答标准答案：弯矩最大只存在切应力只存在正应力既有切应力，又有正应力都不对本题分值：4.0用户未作答标准答案：只存在切应力拉-压变形扭转变形拉-弯组合变形弯-扭组合变形本题分值：4.0用户未作答标准答案：弯-扭组合变形离开截面指向截面平行于截面都不对本题分值：4.0用户未作答标准答案：离开截面满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件本题分值：4.0标准答案：满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件1次3次4次12次本题分值：4.0用户未作答标准答案：1次二个三个四个六个本题分值：4.0用户未作答标准答案：三个错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：对错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错错对本题分值：4.0用户未作答标准答案：错12. 用积分法求梁的位移时，对于截面连续变化的梁，抗弯刚度不能提到积分号外；对于阶梯梁，则应在截面变化处分段积分。
第九章 二重积分习题课_
第九章 二重积分习题课
二.二重积分的计算
f ( x, y)dσ
D
化二重积分为二次积分或累次积分
根据积分区域D的图形和被积函数f (x,y)的特点 选择坐标系 选择积分限 选择积分次序 计算累次积分
第九章 二重积分习题课
二.二重积分的计算
(一)二重积分在直角坐标系下的计算
f ( x, y)dxdy dx
x 0
1
y
f ( x )dx f ( y )dy ,
思考题
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，并设 求
I dx f ( x ) f ( y )dy 0 f ( x )dx x f ( y )dy，
1 1
1
0
dx f ( x ) f ( y )dy .
x
1
2 2 y x 0 , y x 0, 将积分区域看作 X型, 解
则积分限为 0 x 1, x 2 y x ,
x
6 . 55
D
y d dx
0
1
x
2
x
x ydy
0
D
1
第九章 二重积分习题课
5.改换下列二次积分的积分次序:
(1)
解
1
0
dy
y y
f ( x , y )dx
（5 ）
π
0
dx
sin x
x sin 2
f ( x , y )dy
解
X型
0 1
Y型,
f ( x, y )dx dy
0 1 πarctany arcsiny
dy
高等数学 二重积分的计算法
解 在极坐标系下
D：0 a ，0 2.
ex2 y2dxdy
2 d
0
a e 2 d
0
D
(1 e a2 ).
利用上面结果可以求广义积分 ex2dx. 0
D1 {( x, y) | x 2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x 2 y2 2R2 }
2a
x
图 A
2 cos
yo
D
x
a 2
图 B
解 由对称
性
V 4 4a2 x2 y2dxdy
D
其中 D 为半圆 y 2ax x2及 x 轴所围
周的闭区域 . 在极坐标系中，成闭区域 D
可用不等式0 来表示 . 于
2
cos
,
0
2
是 V 4 4 2 2 dd
D
4 2 d
则
x
v
2
u
,
y
v
2
u.
D D, 即 x 0 u v; y 0 u v;
y x2
( x 2
y)dxdy
1dx 0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1[ x2(
0
x
x2)
1 2
(
x
x4 )]dx
33 140
.
例 4
1
计算积分 I 2 dy
y
e
y x
dx
1dy
y
e
y x
dx
.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
概率论 二重积分的计算(二)
二重积分在极坐标下的计算
例3 计算积分
sin x2 y2 dxdy. (例3.14)
π2 x2 y2 4π2
解 积分域是圆环， D：0 θ 2π,π r 2π.
sin x2 y2dxdy
π2 x2 y24π2
sin r rdrd θ
π2 x2 y24π2
2π
2π
dθ r sin rdr
A
这样二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x, y)dσ f (r cosθ, r sinθ) rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算 二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x, y)dσ f (r cosθ, r sinθ) rdrd
D
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公
式
3.3 二重积分的应用
复习
二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
f (x, y)dxdy
b
dx
y2(x) f ( x, y)dy(
d
dy
x2( y) f ( x, y)dx).
a
y1 ( x)
c
x1 ( y)
D
二、二重积分在极坐标系下的计算
f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
sin(
x
x2 2
y2
y2
)
dxdy
D
sin(r
r
)
rdrd
r2 r 1
2
0
d
2
1
sinrdr
4.
二重积分在极坐标下的计算
例5 计算二重积分 x2 y2dxdy，其中区域D为
二重积分的计算及应用习题课1
20
练习题
P182 题6
2020/1/29
21
2020/1/29
22
二、三重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
1 {( x, y, x) | x2 y2 z2 R2, z 0}
2 {(x, y, x) | x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0}
C 则有（ ）
(A) xdv 4 xdv (B) ydv 4 ydv
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a
2a
a
2a
0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
0
a
f ( x, y)dx.
a2 y2
2a
2020/1/29
9
练习题
P182 题4
证明:
a
dy
y em(a x) f ( x)dx
0
a2 y2,
D2
:
y2 2a
x
2a,
a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a,
0 y a;
2020/1/29
8
D1
:
y2 2a
x
a
第二节 二重积分的计算法
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x , y )dy .
14
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类似可证 若f ( x, y)在Y 型区域 D上连续, x1 ( y )
x2 ( y )在[c, d ]上连续, 则
f ( x, y )d
D
d
c
dy
x2 ( y )
x1 ( y )
A f (i , j )xi y j A .
i 1 j 1 n m
D
(1)
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5
现取 x , y
n j 1
2 inf f ( i , J j )y j
,则
n j 1
在（ 1 ）中取
i j
sup f ( , J
令 I i [ xi 1 , xi ], i 1,, n, J j [ y j 1 , y j ], j 1,, m .
因此子矩形I i J j 形成了D的分割 x y
令A fd 由定义， 0, 0,
当分割满足 时，有
D1
Y 型区域.ຫໍສະໝຸດ 因此D2一般区域上的二重积分计算问题归结到
X 型区域 或 Y 型区域上的二重积分计算问题.
12
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定理2.3 设f ( x, y)在X 型区域 D上连续, 其中 y1 ( x )
y2 ( x )在[a, b]上连续, 则
f ( x, y )d
4 ( x y ) d x d y
2 2 D1
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例6. 计算
1002二重积分的计算法-2
12
6
练习2 求 x x2 y2d ,其中D是圆环 1 x2 y2 4
D
在第一象限部分。
y
解 D: 0 , 1 2
2
x x2 y2d
D
cos dd
D
1
x 2
0
2 cosd
2
1
3d
1 (24 1) 15
4
4
例4 （一）设积分区域 D 关于 x 轴对称,D1 是 D 中对应于y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数,即
f ( x, y) f ( x, y),
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数,即
D
D
2
4cos
d f ( cos , sin ) d. 2 0
例2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形式,
D
其中D {(x, y) | 1 x y 1 x2 ,0 x 1}.
解
x y
2
3
2sin
x2 y2 2 y 2sin
3
( x2 y2 )dxdy 2 dd
6
D
D
( x2 y2 )dxdy 2 dd
D
D
3
d
4sin 2 d
6
2sin
y
o
二重积分的计算法
d
y
d
x 1( y)
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0,(x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，D : a x b,c y d 则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
oa x
bx
D：a x b, 1( x) y 2( x).
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
D
把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。
第一次计算定积分 A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x) x 看作是常量，y 是积分变量；
ydy
00
0
0
22 4
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D是 X型或Y 型区域。
若不满足这个条件,可将D分块.
y
D3
D2 D1
再应用积分的分域可加性来计算. 0
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.
D
（ⅱ）若函数可积，且 D : a x b,c y d
且
f (x, y) f1(x) f2 ( y)
则
b
d
f (x, y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy
大学高数下 二重积分的计算
f ( x , y ) d a dx ( x )
D
1
b
2 ( x )
y 1 ( x) f ( x , y ) dy .
b
x
2、y－型区域
如果积分区域 D 可表示为： D {( x , y ) | 1 ( y ) x 2 ( y ) , c y d } 其中函数 1 ( y ) 、 2 ( y ) 在区间 [c , d ] 上连续. 则 D 称为 y－型 区域 .
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3
D1
D2
D
.
D1 D2 D3
x2 1 例1 计算 2 d . 其中 D 由 y x , y , x 2 围成的区域． y x D yx 解 ①求曲线的交点： 1 的交点为 (1, 1), ( 1, 1) y x ②画出草图并将区域写成不等式形式：
( ii ) 对任意点 ( x , y ) D , 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 , I 2 f ( x , y )d 2 f ( x , y )d .
D1 D2
(4) 如果 D 关于直线 y x 对称 , 那么
f ( x, y )d f ( y, x )d .
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
f ( x , y ) d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
第三节：二重积分的计算二
解: 由对称性, I 4 ex2 y2 dxdy D1
x cos y sin
,
dxdy dd
D1
:
0
2
0 1
I 4 ex2y2 dxdy 4 e2 d d
D1
D1
2
解: 由对称性, I 4 ex2 y2 dxdy D1
D1 : 0 x 1, 0 y 1 x2
1
I 4 dx
1x2 x2 y2dy 4
1(x2 y 1 y3)
1 x2
dx
0
0
0
4 1 x2
1
x2
1
(1
3
x2 )2
dx
3
积分困难
e x2 dx
0
在概率统计中，称积分
ex2 dx
为普哇松积分
例6. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 由对称性及重积分几何意义可得 z
V 4
4 a2 x2 y2 d xd y
D
4
4 a2 r2 r d r d
D
其中 D 是由 x 2 y 2 2 y 所围成的区域
解：极点 O 在圆的边界上
y x 2 y 2 2 y 2 sin
（1）化圆为极坐标方程
2 cos 2 2 sin 2 2 sin 2 sin
（2）在极坐标系中确定 D
0
x
D { ( , ) | 0 , 0 2 sin }
二重积分的解法技巧及应用研究
目前，关于二重积分方面的讨论非常活跃，随着二重积分的不断发展与创新，为 使二重积分在各个学科领域中得到更广泛的应用，还得继续探讨与研究。在直角坐标 系中积分区域和积分函数的研究（如函数奇偶性、区域对称性等等），已经得出一些 计算函数二重积分的相应定理，本文在直角坐标系下，将进一步类推其极坐标系下函 数二重积分的周期性和对称性。
郭晓梅在《极坐标系下二重积分计算方法浅析》中认为，讨论二重积分计算方法， 有利于学生解决学习中的难点，学好数学分析这门学科。二重积分的计算，是在熟悉 定积分计算的基础上进行的，所用的方法是将二重积分化为两次定积分来计算，这种 方法叫做累次积分法。对二重积分化为累次积分（两次定积分），重点应放在配置积分 限，然后是计算定积分的问题。计算二重积分常用的方法有：(1)若有对称性，要充分 利用对称性；(2)恰当选择积分次序，对二重积分来说，有先积 x 后积 y ，或先积 y 后 积 x 的问题；(3)选择变量替换。
本文主要研究的是二重积分的解法技巧，对于二重积分的解法主要利用在直角坐 标系下求解，极坐标的方法，积分次序的交换与坐标系的转换的方法，选择适当的积 分次序求二重积分，用适当方法计算二重积分（奇偶性，周期性等）的计算技巧。本 文首先主要介绍二重积分的概念以及性质；其次介绍二重积分的解法技巧；最后主要 根据二重积分的概念和性质，给出实例分析二重积分在物理、经济以及工程上的一些 应用问题。
This paper mainly studies the solutions for double integral and application research.Double integral to the solution of the main use is solved in the Cartesian coordinate system, polar coordinates method, method of integral order exchange and coordinate system, selecting the integral order appropriate for calculation of double integral, double integral with the appropriate method (parity, periodic etc.) on the computational techniques.Firstly,this paper introduces the concept and properties of double integral solution skill; Secondly,it introduces the introduction of double integral; finally, according to the concept and nature of the double integral, it gives examples to analyze some application problems in physics, economics and engineering of the double integral.
二重积分的几种计算方法[1]
![二重积分的几种计算方法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/09172ebb65ce05087632137f.png)
k 例 5: 计 算 e- y 2 dx dy , 其 中 D 是 以 O( 0, 0) , D
A ( 1, 1) , B( 0, 1) 为顶点的三角形闭区域。
k 分析: 二重积分 e- y2 dx dy 不管利用直角坐标 D
Q 还是极坐标计算, 都有 e- y2 dy 不能用初等函数表示
第 29 卷第 5期 2 0 1 1年 9 月
西安航空技术高等专科学校学报
Journal of Xi. an Aer ot echnical College
V ol1 2 9 N o1 5 Sept . 2 0 1 1
二重积分的几种计算方法
常彦妮1, 李 华2
( 1. 南阳师范学院 数学与统计学院, 河南 南阳 473061; 2. 西安航空技术高等专科学校 基础部, 陕西 西安 710077 )
[ 6] 崔宝同, 等. 数学分析的理论与方法[ M ] . 上 海: 科学 技 术文献出 版社, 1990.
[ 7] 梅顺治, 刘福贵. 高等数学方法与应用[ M ] . 北京: 科 学 出版社, 2000.
[ 8] 钱吉 林. 数 学 分 析 题 解 精 粹 [ M ] . 北 京: 崇 文 书 局, 2003: 493- 522. [ 责任编辑、校对: 李小光]
连续偏导数, 且满足
f ( x, y)
=
5Q( x , 5x
y)
-
5P ( x , y ) 5y
于是利用格林公式可把二重积分化为定积分:
k k f ( x , y) dx dy =
5Q 5x
-
5P 5y
dxdy
D
D
Q = P ( x , y ) dx + Q( x , y ) dy L B