关于基于正规子群的上下近似的注记
正规子群和群基本同态定理
设f是G到G’的同态映射。则G’≅G/ker f, 因此， G/ker f的阶为n，ker f是G的子群, 根据拉格郎日定 理，n能整除m。
定义f: GG’, 对任意akG, f(ak)=bk。其中a,b分 别是G和G’的生成元素。
等价类：1={…-3,0,3,6,9,…} 2={…-2,1,4,7,10,…} 3={…-1,2,5,8,11,…}
“运算按照等价类保持。”
aRb, cRd ac R bd
同余关系
正规子群的陪集关系是同余关系
设N是群G的正规子群，可以证明： 若ap-1N, bq-1N，则(ab)(pq)-1N
设f是群G到G’的满同态。 证明：H是G的正规子群 当且仅当 f(H)是 G’的正规子群。 这里：f(H) = {x’ | x’G’, 且存在xH, 使f(x)=x’}
设H，K是群G的两个正规子群，则HK，HK均是G的正规子群， 且：HK/K ≅ H/HK 这里：HK = {ab | aA, bB}
若aj=ak，则j,k对m同余，也对n同余，所以：bj=bk， 因此f是函数。
f(aj ak) = f(aj+k) = bj+k = bj * bk = f(aj)*f(ak)
同态基本定理的应用
例：G是群，H和K都是G的正规子群，且HK， 证明：G/K ≅ (G/H)/(K/H)
比较同态基本定理， G/ker f ≅ G’ 定义f: G/HG/K, 对任意HaG/H, f(Ha)=Ka
右陪集关系
设H是群G的子群。定义G上的关系R如下：
对任意a,bG, aRb iff. ab-1H 实际上： aRb 即：a与b在同一个右陪集中。
正规子群求解方法的一个注记
在传统教材中[１－２],我们发现对共轭类,正 规 子 群 的 叙 述 较 少,在 后 续 的 教 学 研 究 中 有 一 些 新 的 研 究内容涉及这两个问题[３－４]．但总体来说内容 不 多．以 至 于 在 实 际 的 教 学 中,学 生 在 求 正 规 子 群 时 会 有 很多困难．这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真,仔细地完成 这 项 工 作;另 一 方 面 的 原 因 也 在 于 按 照 传 统 教 材 的 叙 述 如 果 仅 仅 是 从 定 义 出 发 ,这 项 工 作 会 变 得 繁 冗 ,条 理 不 清 晰 ．基 于 这 些 原 因 ,我 们 希望给出求解正规子群的一般方法．这些方法和技巧在研究群论和表 示 论 中 被 经 常 用 到．但 是,在 抽 象 代 数 教 材 中 又 几 乎 没 有 涉 及 ．但 愿 这 篇 文 章 能 够 弥 补 这 个 知 识 点 的 空 缺 ．
第 ３４ 卷 第 １ 期 ２０１８ 年 ２ 月
大 学 数 学
COLLEGE MATHEMATICS
Vol．３４,№ ．１ Feb．２０１８
正规子群求解方法的一个注记
陈一萍
(武汉大学 数学与统计学学院,武汉 ４３００７２)
[摘 要]Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理．因为这个定 理 建 立 了 抽 象 的 有 限 群 G 和 一 个 具体群Sn 之间的联系．即 G 同构于Sn 的一个子群．所以,对于 Sn 的子群 的 研 究 就 显 得 尤 其 重 要．但 是,在 教 学实践中,学生只是通过定义来求 Sn 或是Sn 的子群的正 规 子 群 往 往 是 很 困 难 的 事 情．本 文 给 出 了 在 群 论 和 表示论中经常用到求 Sn 的正规子群的一种方法．通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解．
3-2正规子群和商群
因为 H (13) = {(13), (123)}
(12) N = {(12), (23), (13)} = N (1 2)
的不变子群. ，所以 N 是 G 的不变子群.
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二、正规子群的性质 性质1 性质1 设 N ≤ G ，则 N 是 G 的不变子群 ⇔ ∀a ∈ G ,有 aN = Na
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G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
四、商群
N
关于
G G / N = { aN | a ∈ G } aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成群 做成群.
定义 2
G ，则称 G / N = { aN | a ∈ G } 关于 aN ⋅ bN = ( ab ) N 做成的群为 G 关于
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五 商群的应用
定理5 是一个pn阶有限交换群 其中p是一个素数 定理 设G是一个 阶有限交换群 其中 是一个素数 则 是一个 阶有限交换群,其中 是一个素数,则 G有p阶元素 从而有 阶子群 阶元素,从而有 阶子群. 有 阶元素 从而有p阶子群 证:
对n用数学归纳法. 当n = 1时, G是p阶循环群, 则G的生成元就是一个p阶 元, 定理成立. 假定定理对阶为pk(1 ≤ k < n)的交换群成立, 下证对 阶为pn的交换群G定理成立. 在G中任取a ≠ e, 若p a , 令
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例
n次交代群 A n 是n次对称群 Sn的一个正规子群 . 证 :由于任意 n次置换 σ与其逆 σ −1有相同的奇偶 性, 从而易知 σA nσ A n > Sn .
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
_
_
G ~ G，
_
例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
判定正规子群的若干条件及方法
判定正规子群的若干条件及方法判定正规子群的条件和方法有以下几种：
1. 左陪集与右陪集可以彼此重合。
如果对于群G中任意一个元
素g，左陪集gH与右陪集Hg相等，则H是G的一个正规子群。
2. 子群是核的像的逆像。
如果H是群G的一个正规子群，那么G 关于Hom(G, N)的核就是H，其中Hom(G, N)是从G到N的群同态集，
而N是任意一个群。
3. 由H和G/H诱导的同态的核相等。
如果H是群G的一个正规
子群，则群G/H的正规子群是由H诱导的同态群的核。
反之亦然。
判定正规子群的方法：
1. 利用群运算律来验证。
如果H在群G中是正规子群，则对于H 中任意元素h和任意元素g∈G，会有ghg⁻¹∈H。
可以验证这个式子是
否成立，从而证明H是否是G的正规子群。
2. 利用H的内禀运算来验证。
如果对于所有的x∈H和g∈G，
gxg⁻¹也在H中，那么H是G的一个正规子群。
3. 利用同态映射的性质来验证。
如果存在一个群同态f: G → K ，其中K是另一个群，并且H是K的正规子群，同时f(H) = H'，那么H
是G的一个正规子群。
正规子群
定理 11.14 设 N 是群 G 的子群， N⊴G ⇔ ∀g∈G 有 gNg−1=N 证 任取 g∈G 有 g G gNg−1 = N ⇔ (gNg−1)g = Ng ⇔ gN = Ng 由正规子群定义，定理得证.
2．正规子群的判别实例 例 设 N≤ G，若 G 的其他子群都不与 N 等势，则 N⊴G. 证 任取 g∈G，易证 gNg−1 是 G 的子群， 下面证 N ≈ gNg−1. ∀n∈N，令 f(n) = gng−1，则 f：N→ gNg−1. f(n1)=f(n2) ⇒ gn1g−1=gn2g−1 ⇒ n1=n2，即 f 是单射. ∀gng−1∈gNg−1，∃n∈N，f(n) = gng−1 ，f 是满射. 从而 N ≈ gNg−1. 根据已知条件，必有 gNg−1 = N. 所以 N⊴G.
例
设<Z,+>是整数加群,令
3Z = {3z | z∈Z} 则 3Z 是 Z 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群 Z/3Z = {[0], [1], [2]} 其中 [i] = {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2
且 Z/3Z 中的运算如下表所示.
例 设 N≤ G，若[G:N] = 2，则 N⊴G. 证 由[G:N] = 2 可知存在两个不交的右陪集 N 与 Ng，即 G = N∪Ng，g∉N 同理可知也存在两个不交的左陪集 N 与 gN，即 G = N∪gN，g∉N 任取 g∈G，若 g∈N，则有 gN = N = Ng. 若 g∉N，则有 gN = G−N = Ng. 从而证明了 N 是 G 的正规子群. 说明： 上述例题的结果可以作为正规子群的判别方法
三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设 G 是群，N 是 G 的正规子群，令 G/N 是 N 在 G 中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即 G/N = {Ng | g∈G} 在 G/N 上定义二元运算ο如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N， Na ο Nb=Nab 可以证明 G/N 关于ο运算构成一个群，称为 G 的商群.
子群与正规子群的判定及求法
子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。
群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。
在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。
子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。
子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。
如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。
正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。
具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。
这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。
正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。
本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。
我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。
同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。
通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。
同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。
通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。
接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。
在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。
随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。
最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。
关子Fuzzy群上的正规Fuzzy子群的一个注记
奋
y
是 三次对 称群
取
T = A( m i n )
G
的乘法表 为 ,
’ 外 ae 几 儿
外 几 se a .
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e
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e ’ a Z . a 心
’ 幻 几 几 ae
取
p
:
=
告 等 含 赞
F
u z z
十
+
替
+
晋 等
,
+
等
+
鄂 等
是 召上 的
Fu
,
要
。
F
u
那 y 群 上 的 正规 F u z 子 群 的概 念 z y
本文讨论了 它
.
其中命 题
u z z
3
及例指 出 了它 与群 G 的 正 规 F u z y z 子群两者之 间的 区别与联系
F
u z z
关钻 词
:
F
y
群,
y
子 群; 正规
F, u
z
在文 〔 1 〕 中吴望 名为 了得 到 与众不 同 的 较 为 自然 的 了 论
看下 面 例子
取
,
=
生 + 卫连 + 卫 丝 十旦 二 + 卫 生+
竺 亡
0
。
4
口
2
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一
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1
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—
月
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0 4
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.
4
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,
共轭类和正规子群的关系
共轭类和正规子群的关系在群论的世界里，聊起共轭类和正规子群，那真是一个有趣的故事啊！想象一下，一群小伙伴们聚在一起，有的玩得很开心，有的却总是要躲在角落里，这就像是共轭类和正规子群的关系。
你看，共轭类就像那些活泼的小朋友，他们总是喜欢围在一起，嘻嘻哈哈，换着不同的角色，展现不同的风采。
比如说，给你一个元素，咱们就可以通过群里的其他元素把它“变身”，就像魔法一样。
哦，对了，别忘了那群小伙伴，咋一看似乎都是不同的角色，但其实在这个大群体里，他们都有着共同的特征，简直就是一窝好基友！而正规子群嘛，嘿，感觉就像是这个大团体里的一小撮人。
他们不太喜欢变化，宁愿扎根在自己的小圈子里。
就像那些对家乡情有独钟的人，虽然外面的世界五光十色，他们却总是喜欢回到那个熟悉的小村庄。
正规子群的每个元素，和整个群体的元素之间，关系可不是一般的亲密哦。
你换哪个元素，他们都能跟得上，完全不掉链子。
这种关系让它们像是个大家庭，彼此之间非常默契，真是“家家有本难念的经”，却又能和谐共处。
聊到这里，有没有觉得这两个概念的关系像极了我们生活中的朋友呢？共轭类就像那些喜欢到处走动，探索新事物的朋友，而正规子群则是那些稳重、踏实的老友。
你想啊，谁不喜欢和一群有趣的小伙伴在一起呢？不过，正是那些相对安静的人，才是你最值得依靠的。
就像正规子群，它们虽然在群体中不那么张扬，但却总能在关键时刻给予支持。
在数学的角度看，共轭类的元素可以通过一个变换来获得，这听起来有点复杂，但其实就像在玩角色扮演游戏。
你选择一个角色，随着游戏的发展，你可以换上不同的装备和技能。
正规子群的元素则是坚守自己角色的人，他们知道自己的能力和局限，不会随便换来换去。
这样的选择让他们在稳定中寻求成长，活得稳稳当当。
而在这个群体中，大家也不会无缘无故地对某些角色排斥，彼此之间会形成一种特殊的关系。
共轭类里的每个元素都能通过正规子群找到归属感，这就像是无形的纽带，把彼此连接在一起。
有限域上高斯正规基的一个注记
2015年3月四川师范大学学报(自然科学版)Ma r ．，2015 第38卷第2期J ou r n al of S i c hu a n No rma l University(Natural Science)V01．38．N o ．2有限域上高斯正规基的一个注记廖群英， 胡晓兰(四川师范大学数学-q 软件科学学院，四川成都610066)摘要：利用有限域和分圆数的性质，给出Fq 。
在‘上7一型高斯正规基满足一定条件的等价刻画．关键词：有限域；正规基；乘法表；复杂度；分圆数 中图分类号：0156．2；0157．4文献标志码：A文章编号：1001—8395(2015)02—0159—05doi ：10．3969／j ．issn ．1001-8395．2015．02．0011预备知识及主要结果其中√一1i —孑’2分圆数是重要的数论工具之一，近年来，分圆 5i Ji 戈i√，yij}，戈i√2数广泛应用于有限域、编码和密码学等研究Yi ．，=to‘戈i ，f ，1≤i，歹≤k 一1，i+J<k ，中[1—7|．并且Sk-2j,jC_A ，1句≤早．定义1．1设g 是素数P 的方幂，P 和h+1为 素数，且(眈+1，P)=1，A 为模h+1的单位群 推论1．3t21条件同命题1．2，则 z 二+。
中的k 阶子群，卢为有限域F 扣中的h+1次Si 。
=h√，YiJ}∈瓦+-一{-1}铮IXi=∑／38，i=o“1一，n 一1，Yi,j=toi 气j ，慧材，(1)本原单位根．令2石i ，j ，r=_■2甜，L 1，∞ij∈Ac ：亨yiJ ∈A．(2)以及Ai={s·gi I 占∈A}∈z 二+1(0≤i≤凡一1)．称另一方面，设q 是素数P 的方幂，F 一为q 元有 a 。
，dl ，．一，仅川为F 。
在F 。
上的k 阶高斯周期，且定限域凡的凡(n≥2)次扩域．若Ⅳ={d，Ot9， ，义分圆数为mi ．，=I(1+Ai)n A√，0≤i，'，≤n 一1． a 矿‘1}为F 矿在F 。
关于σ-次正规子群与σ-伪正规子群的一个公开问题
关于σ-次正规子群与σ-伪正规子群的一个公开问题
本文所研究的群都是有限群.群G的子群A称为在G中σ-次正规,如果存在子群链A=A0≤A1≤…≤At = G,使得Ai-1(?)Ai或Ai/(Ai-1)Ai为σ-准素的,其中i=1,...,t.群G的子群A称为在G中σ-伪正规的,如果当A ≤K<L≤G 时,L/KL不是σ-准素的.在文献[12]中,Skiba教授提出了一个关于σ-次正规子群和σ-伪正规子群的公开问题.问题7.7:请描述每个子群都是σ-次正规或σ-伪正规的有限群的结构.在本论文中,我们解决了这一公开问题,证明了如下定理.定理3.1群G的每个子群或者是σ-次正规的或者是σ-伪正规的,当且仅当群G 是下列两种类型之一:(Ⅰ)G是一个σ-幂零群;(Ⅱ)G=D×P,其中:(a)D=Gnσ=G’是G的一个σ-幂零的σ-Hall子群;(b)P=NG(P)是G的循环Sylow子群;(c)Z(G)是P的唯一极大子群.。
正规子群
定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 定理 的商群 都是 ( G, ∘)的满同态像。 的满同态像。 的满同态像 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 是一个满同态。 满同态 • 研究子群 的一个作用就是可以通过H来推测整个 研究子群H的一个作用就是可以通过 来推测整个 的一个作用就是可以通过 的性质。 群G的性质。如果现在是一个正规子群 的话， 的性质 如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 以及商群 那么就有两个群，正规子群 以及商群 可以 利用了。 利用了。
是一个群， 例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 是一个群 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， ， 的正规子群。 则Cg是G的正规子群。 的正规子群
的非空子集。 证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 的非空子集 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， ∘ ∘ ∘ 故Cg是G的子群。 的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , ， ∘ ∘ 因此C 的正规子群。 因此 g是G的正规子群。 的正规子群
正规子群与商群
正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。
1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。
【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。
若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。
這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。
2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。
於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。
這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。
同時，用G H表示集合{g }。
g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。
當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。
即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。
*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。
(1)結合律。
顯然o.k.(2)單位元素。
∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。
計算g·e={gh1eh2}=gH=g。
(3)反元素。
設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。
計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。
於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。
近世代数--正规子群与商群
1 1
三、例题分析
例1 证明
设H G, N G, 证明: HN G
e ee HN HN h1 , h2 H , n1 , n2 N
第八节
• • • •
正规子群与商群
正规子群的定义 正规子群的等价性命题 商群 小结
设H G, 若
一、正规子群的定义
定义
设N G , 若a G , 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1
任意一个群G都有两个正规子群e与G , 这两个正规子群称为G的平凡正规子群. 若N G , 且N e, N G , 称N是G的非 平凡正规子群
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana n1 N
1
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a 1 Na N n N , a 1na N 于是n a (a na)a aNa
1 1 1
N aNa1 aNa1 N
二、正规子群的等价性命题
定理
设 N G, 则下述命题等价
(1) N G, (aN Na, a G (2)ana N , a G, n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右陪集.
1
( h1n1 )( h2 n2 ) 1 h1n1n2 1h2 1 ( h1h2 1 )( h2 n1n2 1h2 1 ) HN
对群中上近似的一个注记
对群中上近似的一个注记杨勇;金兰;李廉【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(044)002【摘要】研究了群中子群的上近似和下近似的相关性质,指出并证明了其中3个关于上近似的性质中的包含关系实质是相等关系,从而改进了上近似的相关结论,为上近似的应用奠定了理论基础.%The paper studied about the properties of the lower and the upper approximations in a group,pointed out and proved that the inclusion symbols in three propositions about the upper pproximation are really the equal-signs, which are very important in the theory of rough sets in a group.【总页数】3页(P89-91)【作者】杨勇;金兰;李廉【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃,兰州730070;西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃,兰州730070;兰州大学信息科学与工程学院,甘肃,兰州730000【正文语种】中文【中图分类】O115【相关文献】1.多目标优化问题拟近似有效解非线性标量化的一个注记 [J], 李小燕;高英2.近似邻近点算法收敛性的一个注记 [J], 李伟佳;张万里;林安3.群中上近似集性质的一种新的简洁证法 [J], 张金玲4.关于Takagi-类函数的近似J-凸性的证明的一个注记 [J], 陈阳洋5.关于微分在近似计算中应用的一个注记 [J], 黎金环;李小斌;朱佑彬因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
关于Fuzzy正规子群的某些注记
关于Fuzzy正规子群的某些注记
刘舒强
【期刊名称】《天津商学院学报》
【年(卷),期】1992(012)001
【摘要】本文证明了Fuzzy正规子群的某些性质;引入了二重Fuzzy陪集和同态映射的Fuzzy核的定义、并给出了一种在较强条件下由群之间的同态映射,通过扩张原理而得到Fuzzay正规子群的方法。
【总页数】4页(P24-26,40)
【作者】刘舒强
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O159
【相关文献】
1.L-fuzzy子群与L-fuzzy正规子群的表现定理 [J], 史福贵;王国民
2.广义Fuzzy子群的广义Fuzzy正规子群 [J], 曹妹;廖祖华;刘春芝;胡淼菡
3.有限群的Fuzzy次正规子群与Fuzzy极大子群 [J], 张桂生
4.关于Fuzzy正规子群的一个注记 [J], 刘龙章;杨志辉
5.有限群的Fuzzy拟正规子群和Fuzzy次正规子群 [J], 张桂生
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关于群的同余格的一个注记
关于群的同余格的一个注记
钟纯真
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1999(022)004
【摘要】从半群理论的观点出发,证明了群的同余格与它的正规子群格是完备格同构的,这加强了已知的传统结论.
【总页数】3页(P408-410)
【作者】钟纯真
【作者单位】内江师范高等专科学校数学系,四川,内江,641002
【正文语种】中文
【中图分类】O152.7
【相关文献】
1.弱右逆半群上的群同余格与同余格 [J], 郭昀
2.关于(G)-反演半群上的强(G)-同余格的一个注记 [J], 王守峰
3.关于弱逆半群上最大幂等元分离同余和群同余的注记 [J], 徐芒;喻秉钧
4.Ⅱ正则半群的群同余及其同余格 [J], 乔占科
5.关于PMS-代数的同余格的一点注记 [J], 朱怡权;傅本路;钟一兵;曹青春
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中同余 的 几个结 论 ， 并给 出证 明 ； 出二 重近 似 的概 念及 一 些性质 ． 给
关键词 粗 糙 子 群 ， 糙 正 规 子 群 ， 重 近 似 粗 二
中图分 类号
Ｏ１ ９ ５
文献标 识 码
Ａ
文章编 号
１ ７ — ６ ４ ２ ０ ）０ ３０ — ３ ６ ２ ６ ３ （ ０ ８ ０ ０ —５０
证 明 要证 ｌ是 完 备 同余 ， Ｄ 即证 Ｖａ ｂ ］［ｉ一 ６ Ｖ ｚ ］［］， ，ＥＧ， ｈ ］． ∈ ６ 可设 ｘ ｄ， ］； ＝ｃ Ｃ Ｅ Ｅ
［］ ．ｆ口 Ｅｌ （ ６ Ｅ』 （ ，ｂ ＥＪ‘ｄ ｄ ］ ｚ 口 ］， ［］［］ ６ （， ） ， Ｄ ，） Ｄ ｃ ａ ） ．ｃ Ｅ［６ ６ 故 ｎ ６ ｄ Ｄ． Ｅ［ ６ 下证［６ ］； 口］ ［］， ∈ ６Ｐ （ ａ ） Ｄ （ 一 ，－ａ ） Ｄ （一Ｙ，） ．一． ｈ ｊ ６Ｐ由定 理 ４知 Ｙ ６ＰＶｙ ］ ，ｂ Ｅｌ 口 ａ １ｂ Ｅ』 日 ６ Ｅｌ 口 ∈［ｉ ， ０ ｙ ∈ ］，
． ］＜Ｇ， 面 再证其 正 规 性 ， ∈Ｇ， ∈ ］ （ 下 Ｖ Ｖ ，
口 ｅ ） （， － ） 口 １ 一， ａ ∈Ｐ 口 １ Ｅ －∈
） Ｄ （ｘ ＿ ，ｅ 一 ） Ｄ＞ ， ｅ ＥＪ 》 ｙ ｙ 。 ｅ 一 ） ＝ （ ＿ ，） ０＞ 一 ∈ ∈Ｉ ｙ ｙ 。 ｙ ＥＩ （ ｚ ｙ ） Ｄ ∈（ ｘ ＿ ， ｙ ｌ ＞ ｙ ＝ ＝ ｙ Ｄ 。 ∈１ ＝
定 义 ３［ 半 群 ５上 的 同余关 系 Ｐ称 为是完 备 的 ， 。 如果Ｖ ａ ｂ ０ ］［］一 ６， ，Ｅｌ ６ ， ］．
定理 １３ 若 Ｈ△Ｇ， ［ Ⅳ△Ｇ则 ＨＮ△Ｇ． 定 理 ２ 若 Ｈ△Ｇ， Ｅ 。 Ⅳ△Ｇ则 （ ｎⅣ） Ｈ △Ｇ． 定理 ３ ， 都是 群 Ｇ上 的 同余关 系 （ ， ， 完备 同余 ） 则 ｅ 也是 Ｇ 的同余关 系 （ ， Ｎ 完备 同余 ） ．
１ 预 备
在本 文 中Ｇ 为群 ， Ｈ， 分别 为 Ｇ 的子群 和正规 子群 ， 分别记 为 Ｈ＜Ｇ， Ｘ 若 Ｎ 则 Ｎ／Ｇ． 定义 ｌ ］ 设 』是半 群 ５上 的等价 关 系 ， ［ ２ Ｄ 如果 对 ＶＣ ∈Ｓ， ， ） 都有 （ｃｂ ） 。 （ａ ｃ ） Ｄ则 称 Ｉ ６ ＥＪ ０ ａ ，ｃ Ｅ』 ｃ ， Ｅ』 ， ｂ ， Ｄ
２ 群 中 同余 关 系
定理 ห้องสมุดไป่ตู้ Ｇ是群 ， 是其 上 的同余关 系 ， １ ０ 则 ］＜Ｇ．
证明
∈Ｊ Ｄ
ｅ ］ ， ］， Ｅ［ｌ （ ， ） ，６ Ｐ Ｅ Ｉ （ ｂ ＥＪ ．ｂ ［ ｌＶ ａ ［ｌ （ ，） Ｅ Ｖａ Ｅ ｂ ｅ 口 Ｐ Ｅ Ｊ （ ，） ａ ， ａ Ｅ ｅ Ｐ ｅＰ 口 ｅ Ｄ Ｄ ） Ｄ Ｅ
教 育 部 科技 研 究 重 点 项 目资 助 （０ ０ ９ ２６８） 收 稿 日期 ：０ ８０ —６ ２ ０—２ １
聊 城 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第 ２ 卷 １
∈ ］． ［６ Ｅ ３ ］， 结论 成立 。 ］￣ ａ ６ 故 ． ＿
３ 基 于正规 子 群 的 上 ， 近 似 下
关 于 基 于 正 规 子 群 的上 下 近 似 的注记
祝令江 王 莉 王开宝 姚炳学
（ 城 大 学 数 学 与科 学 学 院 ， 聊 山东 聊 城 ２ ２ ５ ） ５０ ９
摘 要 指 出文献 ［ ］ １ 中性 质 ２ ４ ２ ５是错 误 的 ， 质 ３ ５ ３ ６ ３ ７条件 消弱但 结 论 不 变； 出群 ． ，． 性 ． ，． ，． 给
为 半群 Ｓ上 的同余关 系 ． 这个 定义 等价 于Ｖ （ ，） ，ｃ ） （ｃｂ ） ． ＆ ６ Ｅ １ （ ， ＥＰ ０ ａ ，ｄ Ｅ
定 义 ２ 设 ｌ是半群 ５上 的 同余关 系 ， Ｅ ］一 ｛ＥＳＩａ ６ ∈』 ．乜 ａ所在 的 Ｐ同余． ． Ｄ Ｖａ ＥＳｉ ａ ｂ ，） Ｄ ［］ 为 ￣ （ ｝ 类
第２ ｌ卷
第 ３期
聊 城 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ａ ｅ ｅ ｇ Ｕｎｉｅ ｓｔ Ｎａ ． ｃ．） ｏ ｒ ａ Ｌｉｏ ｈ ｎ ｏｆ ｖ ｒｉｙ（ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． １ ＮＯ ３ Ｉ ２ ． Ｓ ｐ ２ ０ ｅ ． ０ ８
２０ ０ ８年 ９月
， ． ＜Ｇ ．［ ‘ ．
定理 ４ Ｇ 是群 ， 是 其上 的同余关 系 ， １ ０ 对Ｖ ｘＥＧ， ＥＧ， ａ 都有 ａ ｚ ］， ］ ＝［ ｚ ］一［ ｎ 口 ］．
证 明 Ｖ６ ［］， ∈ 口 可设 ｂ ｃｃ 日 ．（，） Ｄ ｘ ，口 ＥＪ》 Ｅ［ｎ Ｐ ∈［口 ｐ．ｚ［］ ＝ｘ ，∈［ ］，‘ ｆｎ Ｅ』 （ｃｚ ） ＝ ． ＝ ０ ］ ６ ｚ ］．‘ 口Ｐ ＝ ．