2019年数学新同步湘教版选修1-2讲义+精练：第7章 章末小结 Word版含解析

1．虚数单位i
(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)，则有i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N＋)．
2．复数的分类
复数a＋b i，(a，b∈R)错误!
3．共轭复数
设复数z的共轭复数为z，则
(1)z·z＝|z|2＝|z|2；
(2)z为实数⇔z＝z；z为纯虚数⇔z＝－z.
4．复数相等的条件
复数相等的充要条件为a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋b i＝0⇔a＝b＝0(a，b∈R)．
5．复数的运算
(1)加法和减法运算：(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．
[例1]复数z＝log3(x22
(1)z∈R？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？
[解](1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
∴错误!
由②得x ＝4，经验证满足①式．
∴当x ＝4时，z ∈R.
(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，
∴错误!
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x>3＋212或x<3－212，x>3且x≠4，
即3＋212<x <4或x >4. ∴当3＋212
<x <4或x >4时，z 为虚数．
(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，
∴错误!
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1或x ＝4，x>3且x≠4.无解． ∴复数z 不可能是纯虚数．
解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域．
1．若复数z ＝a ＋2i 1＋i
＋(2－i)为纯虚数，求实数a . 解：∵z ＝a ＋2i 1＋i
＋(2－i)＝错误!＋(2－i) ＝错误!＋(2－i)
＝a ＋62－a 2
i 为纯虚数， ∴a ＋62
＝0，即a ＝－6. 2．已知z ＝
x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.。