第3章 符号运算

第3章符号运算

3.1 算术符号操作

命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’

功能符号矩阵的算术操作

用法如下：

A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。

若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。

A*B 符号矩阵乘法。

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等

于矩阵B的行数。即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则

∑=*

=

k

1

s

sj is

ij

b a

c，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行

乘法操作，否则将返回一出错信息。

A.*B 符号数组的乘法。

A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少

有一个为标量。即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，

i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

A\B 矩阵的左除法。

X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于

inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形

矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A.\B 数组的左除法。

A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，

A n*m.\

B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m=

C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，

再按对应的分量进行操作。

A/B 矩阵的右除法。

X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于

B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形

矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A./B 数组的右除法。

A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，

A n*m ./

B n*m =(a ij )n*m ./(b ij )n*m =

C n*m =(c ij )n*m ，则c ij = a ij /b ij ，i =1,2,…,n ；j=1,2,…,m 。

若A 与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再

按对应的分量进行操作。

A^B 矩阵的方幂。

计算矩阵A 的整数B 次方幂。若A 为标量而B 为方阵，A^B 用方阵B 的特征

值与特征向量计算数值。若A 与B 同时为矩阵，则返回一错误信息。

A.^B 数组的方幂。

A.^B 为按A 与B 对应的分量进行方幂计算。若A 与B 为同型阵列时，

A n*m ..^

B n*m =(a ij )n*m ..

^(b ij )n*m =C n*m =(c ij )n*m ，则c ij = a ij ^b ij ，i =1,2,…,n ；j=1,2,…,m 。

若A 与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再

按对应的分量进行操作。

A' 矩阵的Hermition 转置。

若A 为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(a ij )=(x ij +i*y ij )，则

)y i x ()a ()a (A ij ij ij 'ji *-==='。

A.' 数组转置。

A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。

例3-1

>>syms a b c d e f g h;

>>A = [a b; c d];

>>B = [e f; g h];

>>C1 = A.*B

>>C2 = A.^B

>>C3 = A*B/A

>>C4 = A.*A-A^2

>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;

>>A = [a11 a12; a21 a22];

>>B = [b1 b2];

>>X = B/A; % 求解符号线性方程组X*A=B 的解

>>x1 = X(1)

>>x2 = X(2) 计算结果为：

C1 =

[ a*e, b*f]

[ c*g, d*h]

C2 =

[ a^e, b^f]

[ c^g, d^h]

C3 =

[ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]

[ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]

C4 =

[ -b*c, b^2-a*b-b*d]

[ c^2-a*c-d*c, -b*c]

x1 =

(-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)

x2 =

-(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)