《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质

1、透镜的位相调制作用
因此，透镜的位相调制因子：
Ul x, y k 2 2 tl x, y exp jk d d exp j x y 0 i 2f Ul x, y
结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功 能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？
k 2 2 2 U f xf , yf exp jkf exp j x f y f U1 x, y exp j xx f yy f dxdy j f 2f f k 1 exp jkf exp j x f 2 y f 2 F U1 x, y f x f , f y f x j f f x f 2f
则
tl x, y exp jk 0 exp jk n 1 x, y
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)， 就可以根据该式得到其位相调制。
1、透镜的位相调制作用
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
y2 2 R12 2 2 x y 1 2 2 R2
2
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
1、透镜的位相调制作用
1.3 透镜的复振幅透过率 根据厚度函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生 的位相延迟
x 1
2
y2 R12
x 1
x2 y 2 1 2 R2 2 2 x y 2 x, y 02 R2 R2 2 x 2 y 2 02 R2 1 1 2 仅考虑旁轴光 R2
d
f
透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅立叶变换(空间频谱)
根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:
k U 2 x, y U1 x, y exp j x 2 y 2 2f
从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦 面上的场U(x,y)为：U x , y 1 exp jkf exp j k x y
k exp j x 2 y 2 表示透镜对入射波前的位相调制； 2f
其中，
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
1
焦面场是透镜前端场的傅里叶变换(空间频谱)。 如上图所示，距离透镜前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)。若用振幅为A 的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：
U0 x0 , y0 A t x0 , y0
根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：
F U1 x, y F U 0 x0 , y0 H f x , f y
透镜的复振幅透过率：
tl x , y
U l x, y U x, y
在旁轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的 复振幅分布为
k U l x, y A exp jkd 0 exp j x 2 y 2 2d 0
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y 2 1 x, y 01 R1 R12 x 2 y 2 01 R1 1 1 R12
2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函 数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即
1 P x, y 0 透镜孔径内 其他
于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：
k tl x, y exp j x 2 y 2 P x, y 2f
2 2 H f x , f y exp j d f x f y
则有：
U f xf , yf
k exp jkf exp j x f 2 y f 2 F t x0 , y0 H f x , f y j f 2f A
f
透镜为什么具有这种功能呢？ *** 根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的 二次位相因子在起作用。
下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里 叶变换的一些性质。
2、透镜的傅里叶变换性质
2.1 物体放置在透镜前d处
U0 Ul U2 Uf
t(x0,y0)
为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式
1 1 1 di d 0 f
(为透镜的焦距)
k 1 1 k exp j x 2 y 2 exp j x 2 y 2 2f di d 0 2
tl x, y exp jk x, y exp jkL x, y
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
tl x, y exp jk 0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x
2
y2 1 1 2 R1 R2
x2 y 2 1 1 tl x, y exp jkn0 exp jk n 1 2 R1 R2
2、透镜的傅里叶变换性质
如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
2、透镜的傅里叶变换性质
2.2 物体放置在透镜后方
沿光波传播方向逐面进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场分布为
k U l x, y A exp jkd i exp j x 2 y 2 2d i
1、透镜的位相调制作用
则透镜复振幅透过率表示为：
k A exp jkdi exp j x 2 y 2 U x, y 2d i tl x, y l U l x, y k 2 2 A exp jkd 0 exp j x y 2d 0
Answer: 透镜本身的厚度变化，使得入 射光波在通过透镜的不同部位 时，经过的光程差不同，即所 受时间延迟不同，从而使得光 波的等相位面发生弯曲。
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等相位面
1、透镜的位相调制作用
1.2 透镜的厚度函数 主要考虑薄透镜的情况 (忽略了折射效应) 如果进一步忽略光在透镜表面的反射以及透镜内部 吸收造成的损耗，认为通过透镜的光波振幅分布不 发生变化，只是产生一个大小正比于透镜各点厚度 的位相变化，于是透镜的位相调制可以表示为： L(x,y)
U f xf , yf xf yf Af k 2 2 exp j x y T , f f j d 2 2 d d d
2 2
对应的强度分布为
Af x f y f I f xf , yf 2 T , d d d
（二次位相弯曲因子） 其中，T( )为透过率函数t( )的频谱。对应的强度分布为
A xf yf I f xf , yf , T f f f
2 2
上式具有普遍意义，它证明在物体透射场的菲涅耳衍射区内放置一透镜，在透 镜的后焦面上就可以得到该透射场的傅里叶变换(空间频谱)。 如果d>0，物体在透镜前方，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱产 生一个位相弯曲。
f

f
f

j f



2f

2
2
f
f


k 2 U 2 x, y exp j x 2 y 2 exp j xx f yy f dxdy 2f f
?
2、透镜的傅里叶变换性质
后焦面上的场分布为
2、透镜的傅里叶变换性质
U f xf , yf k exp jkf exp j x f 2 y f 2 exp jd f x2 f y2 F U 0 x0 , y0 j f 2f k d 2 xf yf A 2 exp j 1 x y T , f f j f 2 f f f f A
1 1 1 n 1 f R1 R2
(n为透镜材料的折射率)
k tl x, y exp jkn0 exp j x 2 y 2 2f
常数项
透镜位相因子
1、透镜的位相调制作用
以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，而且是在旁轴近似条件下推
k 2 1 2 1 exp jk d d exp j x y d d 0 i 2 0 i
(常数项) 对空间分布，分析时可忽略掉。
(调制项)
对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相 对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换
导出来的。
透镜的作用： 将入射平面波变换为会聚（发散）球面波 ，如下图所示。
入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具有 能够对入射波前施加位相调制的结果。
k exp j x 2 y 2 的位 2f
相因子，
1、透镜的位相调制作用
1）若在非旁轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将 偏离理想球面波，即透镜产生波像差。
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下： 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。 如果采用球面波照明时，透镜还能进行傅里叶变化吗？那频谱面还是 焦平面吗? Answer: 透镜还能其傅里叶变换作用，但是频谱面不再是焦平面，而是点光源的像 面位置。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。
本章主要内容
1、透镜的位相调制作用
2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序 言
透镜是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里 叶变换。 1）透镜的成像功能 2）透镜的傅里叶变换功能 （夫琅和费衍射）
f
f
f
Question: 透镜为什么具有这样的功能？
1、透镜的位相调制作用
1.1 透镜对入射波前的作用