高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)

错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
§5.4 数列求和
§ 5.4 数 列 求 和
双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 na1＋an nn－1 na1＋ d Sn＝_________ ＝ ___________. 2 2
(2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； n a11－q a1－anq ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－ q
答案：C
1
D．121
3． 设 f(n)＝2＋2 ＋ 2 ＋2 ＋ …＋2 (n∈ N)， 则 f(n)等于 ( ) 2 n 2 n＋ 1 A. (8 －1) B. (8 － 1) 7 7 2 n＋ 3 C. (8 －1) 7 2 n＋ 4 D. (8 －1) 7
4
Baidu Nhomakorabea
7
10
3n＋ 10
答案：D
4．(教材习题改编)已知等比数列{an}中，an＝
2 3 n n＋ 1
，
①－②得－ Tn＝ 1× 2＋ 2× (22＋ 23＋…＋ 2n)－ ＋ (2n－1)2n 1 － 22 1－2n 1 ＋ ＝ 2＋ 2× － (2n－ 1)2n 1 1－2 ＋ ＝－6－ (2n－ 3)2n 1， ＋ ∴ Tn＝ (2n－ 3)2n 1＋ 6， ∴ Sn＝b1＋ b2＋…＋ bn ＝ Tn－ [1＋3＋5＋…＋ (2n－1)] ＋ ＝ (2n－ 3)2n 1－ n2＋ 6.
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
课前热身
1 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 an ＝ 1 ，则 S8 等于( ) n＋1n＋2 2 1 A. B. 5 30 7 5 C. D. 30 6
答案：A
2．数列{an}的通项公式是 an＝
，若 n＋ n＋1 数列的前 n 项和为 10，则项数为( ) A．11 B．99 C．120
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－2，… a a
分组分别求和，然后相加
【思路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
3n－1n ∴当 a ＝ 1 时， Sn ＝ Bn ＋ Cn ＝ n ＋ ＝ 2 3n＋1n ， 2 an－1 3n－1n 当 a≠1 时，Sn＝Bn＋Cn＝ n n－1＋ . 2 a －a
【名师点评】 非等差、非等比数列求和的最 关键步骤是“转化”，即根据通项公式的特点， 利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列 的和或差，再进行求和运算．
nn＋12n＋1 (3)12＋22＋…＋n2＝ ______________ ； 6
n2n＋12 13＋23＋ …＋n3＝2__________ . 4
2．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘
所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过
程的推广．
3．分组转化法
把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、
【解】 (1)a1＝1，当 n≥2 时， n－1 an－an－1＝a ， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 2 n－1 ＝1＋a＋a ＋…＋a n a＝1 n ＝1－a . a≠1 1－a (2)bn＝(2n－1)an＝(2n－1)· 2n－(2n－1)， 令 Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，① 则 2Tn＝1×2 ＋3×2 ＋…＋(2n－3)2 ＋(2n－1)2 ②
当 n≥ 2 时，其前 n 项和 Sn 满足
1 2 Sn＝ an(Sn－ )． 2
(1)求 Sn 的表达式； Sn (2)设 bn＝ ，求 {bn}的前 n 项和 Tn. 2n＋ 1
2×3n－1，则由此数列的奇数项所组成的新数列的
前n项和为________． 答案：1(9n－1) 4 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n· 2n，则
Sn＝________.
答案：(n－1)· 2n＋1＋2
考点探究•挑战高考
考点突破 分组转化法与公式法求和 分组转化法就是把一个数列的通项拆成若干个
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
思考感悟 你认为非等差、非等比数列求和的思路是什么？
提示：非等差、非等比数列的一般数列求和，主要 有两种思路：①是转化思想，即将一般数列求和问 题转化为等差或等比数列的求和问题，这一思想方 法往往通过通项分解或分组等方法来转化完成，像 乘公比错位相减法最终就是转化为等比数列求和； ②对于不能转化为等差或等比数列的特殊数列，往 往通过裂项相消法，倒序相加法，分组求和或并项 求和等方法来求和．