高中数学函数最值问题的常见求解方法
一、配方法
例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322
?-=+的最大值和最小值．
解析：34)3
22(32
+
--=x
y ，当01≤≤-x 时，122
1≤≤x
．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3
4max =
y ． 二、判别式法
对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442
2
=-++-x x xy y ，求y 的最值．
解析：由已知，变形得0)1()12(242
2
=-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有
0)1(16)12(422≥---y y 故 4
5
≤
y ． 因此 4
5
max =
y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022
2
=-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2
2
=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有
0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤
x ．即 8
1max =x ． 同理，0)()12(2
2
=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有
0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8
1
min -=y ．
注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法
例4：已知函数1
1
34522+++=x x x y ，求y 的最值．
解析：函数式变形为：0)1(34)5(2
=-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ，
0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．
因此 7max =y ，1min -=y ．
例5：已知函数)(1
2
R x x b
ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01
222
=-+-?+=+?++=
b y ax yx b ax y yx x b
ax y ∵R x ∈ ∴0)(4)(2
≥---=?b y y a ，即0442
2
≤--a by y
由题意：0430)4)(1(]4,1[2
≤--?≤-+?-∈y y y y y 0161242
≤--?y y 所以124=b ，162
=a ，即3=b ，4±=a
注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥?，从而求得原函数的值域或参数的值.形如
2
22
21
121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0)，常用此法求得 例6：在2
0π
≤
≤x 条件下，求2
)
sin 1()
sin 1(sin x x x y +-=
的最大值． 解析：设x t sin =，因0(∈x ，
)2
π，故 10≤≤t ，则2
)1()
1(t t t y +-=
即 0)12()1(2
=+-++y t y t y
因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2
≥+--=?y y y 即 8
1≤y 将81=
y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以8
1max =y 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2
=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将8
1
=
y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、代换法 (一)局部换元法 例7：求函数4
2
2++=
x p x y 的最值．
解析：令42
+=x t ，则2≥t ，函数t
p t x p x y 4
4
22-+
=++=
当8≥p 时，424
-≥-+
=p t
p t y ，当4-=p t 时取等号
当8
()4(2
21121t p t t p t y y -+--+
=-＝+-)(21t t )(41221t t t t p --＝)4
1)((2121t t p t t ---，因为 212t t <≤，8
-=-t t p t t y y ，所以t
p t y 4
-+=在[2，)∞+内递增． 故 2
242p p y =-+
≥ 所以 当8≥p 时，42min -=p y ，无最大值； 当8
min p
y =
，无最大值． 例8：求函数x x y 21-+=的最值．
解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2
1
2≤+--=t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值． 例9：已知20≤
≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．
解析：2
)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin
则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2
12
2-++=a a t y
当2=
t 时，2122max +
+=a a y ；当a t -=时，)1(2
12
min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法)
例10：已知x 、y R ∈，412
2
≤+≤y x ．求2
2
y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)
因 412
2
≤+≤y x ，故 412
≤≤t
)2sin 2
1
1()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u
故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12
=t 且12sin -=θ时，2
1max =
u ． 例11：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设2
2y x S +=，则
max
1S +
m in
1S =____
解析：令αcos S x =，αsin S y =，则
5sin cos 54=-ααS S
ααα2sin 2545
cos sin 545-=
-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，1310
2
545min =+
=y ．
所以
5
8101310311min
max
=+=
+
S S ． 例12：求函数x x a y )(2
2
-= (a x ≤||)的最值．
解析：令αcos a x =，则ααααcos sin cos sin 2
322a a a y =?=
又令ααcos sin 2=t ，则ααααα22224
2cos 2sin sin 2
1cos sin
??==t
274
)3cos 2sin sin (213222=++≤ααα
932932≤≤-
∴t 即有 3
39
32932a y a ≤≤- 所以3
max 9
32a y =
，3min 932a y -= 注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等” 例13：已知x 、y R ∈且x y x 6232
2
=+，求y x +的最值．
解析：化x y x 6232
2
=+为123)1(22
=+-y x ，得参数方程为??
?
?
?=+=θθsin 26cos 1y x
)sin(2101sin 26cos 1?θθθ++=+
+=+∴y x 故 2101)(max +=+y x ，2
101)(min -=+y x ． (三)均值换元法
例14：已知1=+b a ，求证：4
4b a +的最小值为
8
1
． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我
们可以令t a +=21，t b -=2
1
，(R t ∈)，则 222222222244)2
1
()21(2])21()21[(2)(t t t t b a b a b a -+--++=-+=+
222
2)41(2)221(t t --+=
)281()4241(4
242t t t t +--++=
8
123814
2≥++=t t
∴4
4b a +的最小值为81．在0=t 即2
1==b a 时取等号
四、三角函数有界法
对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x 例15：求函数x x y 2
cos 22sin -=的最值． 解析：1)4
2sin(212cos 2sin cos 22sin 2
--=--=-=π
x x x x x y
因为 1|)4
2sin(|≤-π
x ，故
当1)42sin(=-
π
x 时，12max -=y ；当1)4
2sin(-=-π
x 时，12min --=y ． 五、均值不等式法
例16：在任意三角形内求一点，使它到三边之积为最大．
解析：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，三角形内一点P 到三边的距离分别为x 、y 、z
S cz by ax 2=++ (定值) 3
)3
(cz by ax cz by ax ++≤??∴
即 abc
S xyz 2783
≤ (cz by ax ==时取等号)
因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB ?、PBC ?、PAC ?面积相等)，它到三边之积为最大．
例17：有矩形的铁皮，其长为30cm ，宽为14cm ，要从四角上剪掉边长为x cm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少
解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(x - cm ，底边宽为)214(x - cm ，高为x cm ．
∴盒子容积x x x x x x x V )7)(15(4)214)(230(--=--＝ (显然：015>-x 、07>-x 、
0>x )
设x bx b ax a ab
V )7)(15(4
--=
0(>a ，)0>b 要用均值不等式．则 ??
?=-=-=+--x bx b ax a b a 71501 解得：41=a ，43
=b ，3=x ．从而 576)4
3421)(4415(364≤--=
x x
x V 故矩形盒子的最大容积为576 3
cm ． 也可：令bx x ax a ab V )7)(15(4--=
或bx ax a x ab
V )7)(15(4
--= 注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求． 例18：已知1sin sin sin 2
2
2
=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么γβαcos cos cos 的最大值等于__________
解析：因α、β、γ均为锐角，所以γβαcos cos cos γβα222cos cos cos =
9
6
2)3sin 1sin 1sin 1()3cos cos cos (32223222=
-+-+-=++≤γβαγβα
当且仅当3
1
sin sin sin
222
=
==γβα时取等号，故γβαcos cos cos 的最大值为9
6
2． 例19：求函数x b x a y 2
2cos sin +=
的最小值(a 、b +
∈R )． 解析： x
b x a y 2
2sin sin +=x x ab b a x b b x a a 2
222cot tan 2tan cot ++≥+++= ab b a 2++=
当且仅当x btg x actg 2
2= 即 b
a
x tg =
2
时，函数y 取得最小值ab b a 2++ 六、单调性法
(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值 例20：求函数x x y cos 1sin 1+
=
在0(，)2
π
内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x
x x x x x x x x y 当4
π
=
x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以
22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y
另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断 (二)形如x
b
a x y +=
的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增． (2) 0b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减． (4) 0>a ，0 例21：求函数x x x x y 2 22 2 cos sin 161 cos sin 4+ =的最值． 解析：函数x x x x y 2222cos sin 161cos sin 4+=x x 2sin 412sin 2 2 += 令x t 2sin 2 =，则0[∈t ，]1，于是 t t y 41+=在0(，]21内递减，在2 1[，]1内递增． 所以当21=t ，即8 1cos sin 2 2=x x 时，1min =y ；无最大值． 例22：求函数x x x y sin 1cos sin 22+-=的最大值． 解析：y )1 sin 2 ()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+= x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤ t y 2 -+ =在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ． 七、平方开方法 例23：已知a 、b 是不相等的正数，求函数++=x b x a y 22sin cos x b x a 22cos sin +的最值． 解析：因a 、b 是不相等的正数，x cos 与x sin 不能同时为０，故0>y ． ab x b a b a y +-++=∴2sin 4 )(2222 当12sin 2=x 时，)(2max 2 b a y +=，)(2max b a y += 当02sin 2 =x 时，ab b a y 2min 2 ++=，b a y +=min 八、数形结合法 有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效． 例24：求函数6 cos 31 sin 4--= x x y 的最值． 解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--= x x y ，只需求函数2 cos 41 sin -- =x x u 的最值． 把u 看成两点2(A ，)4 1，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小． 设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=- x k y ，即 024 1 =-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11| 24 1 | 2 =+-k k ，解得：431=k ，125 2-=k ．从而函数 最大值为14334max =?= y ；最小值为9 5 )125(34min -=-?=y ． 九、利用二次函数的性质 例25：设0>x ，0≥y 且2 12= +y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 2 31++=y xy u 取 得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212= +y x ，得y x 22 1 -= )1412(log ]14)22 1 (8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212 ≤++-≤y y (当0=y 时 左边取“=”号，6 1 =y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当2 1 =x 、0=y 时，0max =u ． 例26：求函数x x y 2cos 2cos 3--= 的最值． 解析：8 1 )43(cos 21cos 32cos 2+--=-+-= x x x y 要使y 有意义，必须有1cos 32cos -+-x x 0≥，即 1cos 2 1 ≤≤x ． 故 当43cos = x 时，4281max ==y ；当2 1cos =x (或1)时，0min =y . 例27：求函数x x m y 2cos sin 42--=的最值． 解析：2 2 2 21)(sin 2)sin 21(sin 42m m x x x m y -+-=---= 因为1|sin |≤x ，结合二次函数图象及其性质： 当-∞∈(m ，]1-时，m y 43max -=，m y 43min +=． 当1[-∈m ，]0时，m y 43max -=，2 min 21m y -=． 当0[∈m ，]1时，m y 43max +=，2min 21m y -=． 当1[∈m ，)∞+时，m y 43max +=，m y 43min -=． 十、放缩法 例28：若a 、b 、+ ∈R c ，且3=++c b a ，则111+++++c b a 的最大值是（ ） 解析：23 22)1(21+= ++≤ ?+a a a 同理，2321+≤?+b b ，2 3 21+≤?+c c ． 三式相加，62 3 2323212121=+++++≤?++?++?+c b a c b a 即 23111≤+++++c b a 当且仅当2111=+=+=+c b a 即1===c b a 时取等号． 十一、导数法 例29：求函数3)(2 3+-+=x x x x f 在]3,3[-上的最值 解析：0)1)(13(123)(2 / =+-=-+=x x x x x f ，得13 1 -== x x 或 27 22 2)31(=f ，4)1(=-f ，12)3(-=-f ，36)3(=f 所以函数最大值为36，最小值为12- 注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视． 例30：求函数x x x f -+-=612)(的最值 解析：函数的定义域为]6,1[,x x x f -- -= 6211 1)(/ 510)(/<x x f ；650)(/< 故有)(x f 在]5,1[上递增，在]6,5[上递减．5)1(=f ，5)5(=f ，52)6(=f 故函数最大值为5，最小值为5 一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y 高一数学函数应该怎么学好 一、关注考试说明对本部分内容的要求 1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;了解函数奇偶性的含义.(5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质. 二、关注函数概念的学习过程 在学习函数概念时，通过对初中学习的函数概念及几种不同的函数如“正比例函数、反比例函数、一次函数及二次函数”的对比复习与巩固，体会概念的内涵与外延。突出对函数概念的学习过程，结合实际例子对概念进行逐句分析与理解，在实例中体会函数的“三要素”.另外，结合“映射”的概念与函数概念进行对比理解.当然更重要的是理解“对应”. 三、关注函数概念的学习方法 在学习函数概念时，我们必须掌握这样的方法，那就是“数形结合”.根据题目确定是“以形助数”还是“以数助形”. 四、关注函数概念的相关知识拓展与生成. 对于函数概念的学习所涉及的“函数定义域、值域、对应关系”及“区间”等要一一理解，并根据相应的题目，拓展试题类型，提升知识生成度.下面以例题的形式进行说明. 1.常见基本初等函数的定义域求方法，拓展到抽象函数. (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.. (3)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外， 还要考虑实际问题对函数自变量的制约. ⑴思想上的松懈 有些同学把初中的那一套学习思想移植到高中来，?简单的认为 自己在初一、初二时并没有用功学习，只是在初三临近中考的前两 三个月发奋学习就轻易的考上了高中，因而认为读高中也不过如此，高一、高二用不着那么用功，只要等到高三时再努力学习，也一样 考上一所理想的大学，如果一开始抱有这种思想，等到意识到此问 题的严重性，恐怕为时已晚，回天乏术，殊不知“万丈高楼平地起”，没有高一、高二的基础，高考便是空谈，到头来既是白日做 梦一场空，切记!切记!! ⑵靠记忆学习数学 初中教师在讲课时，对知识点讲授非常细致，由于时间充足，内容少，学生练习多，熟能生巧，必然会取得好成绩。但观众教师在 讲课时一节课会讲很多概念、例题、解题方法，时间比较紧，如果 上课不集中注意力去理解课堂内容，那么课后作业就不能顺利完成，久而久之必然会影响成绩。 ⑶依赖教师，忽视自学习惯 许多学生进入高中后，依旧像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权，表现在不做课堂笔记， 不做纠错笔记，不做总结，不制定学习计划，坐等上课，课前不预习，上课晕头转向，实在不行就依赖家庭教师，这些做法都不科学。 ⑷在头脑中没有形成数学知识体系，只注重孤立的知识点 高中数学共有140多个知识点，知识的形成过程中还蕴含着大量的数学思想方法和解题技巧，知识点之间有着较强的联系，这些往 往被学生忽略。学到哪一节就看哪一节的内容，不知道章与章、节 与节之间的联系，只注重表象特征，不善于深入挖掘，使得学到的 知识是零散的、片面的。 ⑸只注重结论与记忆，不注重知识的形成过程 高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ， 值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ， 值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ [] 的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2 1 2≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{} 42|≤≤x x 高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=， 高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 专题1 函数 (理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ． 高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值． 解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ． 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值． 解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须 将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取． 练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值． 解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。 练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值． 解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ， 故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 高中阶段常见函数性质汇总 函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性 奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性 函 数 名 称：一次函数 解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质：直线型图象。|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 当b =0时，函数f (x )的图象过原点； 当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线； 当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线； 定 义 域：R 值 域：R 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数； 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性：无 函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )= x k (k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的 图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点； 图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞Y 值 域：),0()0,(+∞-∞Y 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数； 当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增 函数； 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 b 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 第二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义 域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于α αααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道 )cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有 2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值： 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1 高中数学函数知识点总结 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ?? ? ? ?∈+≠∈Z π πk k x R x ,2 ,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义 域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每 一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y=x 1 的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂高中数学函数最值问题的常见求解方法
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