高三文科数学试题及答案

高三文科数学试题及答案

兰州一中2011—2012-1学期高三期末考试

数学试卷（文）

注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题．．卡．相应位置上．．．．．

． 1. 已知集合{1,1},{|124},x

A B x R =-=∈≤<则A B =I （ ） A ．[0,2) B ．{ 1 } C ．{1,1}- D ．{0,1}

2. 下列命题中错误的是 （ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，1=⋂βα，那么直线⊥l 平面γ D ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

3. 已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，

*N n ∈，则10S 的值为 （ ）

A ．110-

B ．90-

C ．90

D ．110

4. 若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，

记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

5. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）

A ．22

2a b ab +> B

．a b +≥

C

．

11a b +> D ．2b a a b +≥ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D

由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪

≤⎨⎪

≤⎩给定。若(,)M x y 为D

高三文科数学试题及答案

上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅u u u u r u u u r

的最大值为 （ ）

A ．3

B ．4

C ．32 D.42

7.函数()f x 在定义域R 内可导，若 ()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，

/

(1)()0x f x -<，设1

(0),(),(3)2

a f

b f

c f ===，则 （ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 8.sin(2)3

y x π

=+

的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12

π-

中心对称 （ ）

A ．向左平移

12π个单位 B ．向左平移6π

个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6

π

个单位

9. 已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1

()()12

x

f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是 （ ）

10. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互

不相同的概率为 （ ）

A ．

5

21

B ．

27

C ．

13

D ．

821

11.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22

221x y a b

+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且212,

PF PF c ⋅=u u u r u u u u r 则此椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A ．3 B ．11

[,]32

C ．322

D ．2(0,]2

12. 已知球的直径SC = 4，A ，B 是该球球面上的两点，3AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，

则棱锥S -ABC 的体积为 （ ）

A ．19

B ．3

C ．23

D ．33

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题．．卡．相应．．位置上．．．

． 13. 已知||||2a b ==r r ，(2)()2a b a b +-=-r r r r

，则a r 与b r 的夹角为 .

14. 已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4

α

πα-的值为 .

15.若一个圆的圆心在抛物线2

4y x =-的焦点处，且此圆与直线10x y +-=相切，则这个圆的标准方程是 .

16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2

R x x x f ∈=是单函数；

②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠；

③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．

17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，

tan

tan 4,22

A B C

++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c . 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4， E 是BC 的 中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （I ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；

（II ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．

19．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为1p ，寿命为2年以上的概率为2p ，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（I ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；