【配套K12】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数测高同步练习

课时作业(七)[第一章 6 利用三角函数测高]一、选择题1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－7－1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )链接听课例1归纳总结图K－7－1A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米2．如图K－7－2，为了测量电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为链接听课例2归纳总结( )图K－7－2A．50 3米 B．51米C．(50 3＋1)米 D．101米3．如图K－7－3，斜坡AB的坡度为1∶2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼FH，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼FH的高度是(结果精确到1米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，3≈1.73)( )图K－7－3A．125米 B．105米C．85米 D．65米4．2017·深圳如图K－7－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长度为10 m，则树AB的高度是( )A．20 3 m B．30 mC．30 3 m D．40 m图K－7－45．如图K－7－5，在两建筑物之间有一旗杆GE，高15米，从点A经过旗杆顶端恰好看到矮建筑物的墙脚点C，且俯角α为60°，又从点A测得点D的俯角β为30°，若旗杆底G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()图K－7－5A．20米 B．10 3米C．15 3米 D．5 6米二、填空题6．如图K－7－6，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC ＝18 m，则树高AB约为________m．(结果精确到0.1 m)图K－7－67．如图K－7－7(示意图)，某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20 m的点B处，用高为0.8 m 的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为________m．(结果精确到0.1 m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)链接听课例1归纳总结图K－7－78．如图K－7－8，两建筑物的水平距离BC为18 m，从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．图K－7－8三、解答题9．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图K －7－9所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－7－910．2017·莱芜如图K－7－10，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离．(结果均精确到0.01 m，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)链接听课例2归纳总结11．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)如图K－7－11，在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得C，D之间的距离为288米．已知红军亭的高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB(3取1.732，结果保留整数)．图K－7－11如图K－7－12，A，B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B.现有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．图K－7－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] C 设AG ＝x 米，在Rt △AEG 中， ∵tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝AG3＝33x 米． 在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG ，∴CG ＝x tan30°＝3x 米，∴3x －33x ＝100，解得x ＝50 3，则AB ＝(50 3＋1)米，故选C.3．[解析] B 如图，延长FH 交AC 于点.由题意知BG ⊥AC ，BH ⊥FH ，FE ⊥AC ，∴四边形BGEH 是矩形，∴BH ＝GE ，BG ＝HE .∵BG ∶AG ＝1∶2.4，∴设BG ＝x 米，AG ＝2.4x 米(x ＞0)．在Rt △ABG 中，∵AB ＝52米，由勾股定理可得BG 2＋AG 2＝AB 2，即x 2＋(2.4x )2＝522，解得x ＝20，则BG ＝20米，AG ＝48米．在Rt △BHF 中，∵∠HBF ＝77°，∴tan77°＝FH BH，∴FH ＝BH tan77°. 在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝60°，∴EF ＝3AE ，∴3(48＋BH )＝20＋BH tan77°， 解得BH ≈24.25，∴FH ＝BH tan77°≈105米．故选B.4．[解析] B 先根据CD ＝20 m ，DE ＝10 m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBF ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．5．[解析] A 如图，延长CD 交点A 所在的水平线于点F ，如图．由题意，知GE ∥AB∥CD ，BC ＝2GC ，GE ＝15米，∴AB ＝2GE ＝30米．∵AF ＝BC ＝AB tan ∠ACB ＝303＝10 3(米)，DF ＝AF ·tan30°＝10 3×33＝10(米)，∴CD ＝AB －DF ＝30－10＝20(米)． 6．[答案] 12.6 7．[答案] 40.0[解析] 过点A 作AE ⊥CD 于点E . ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴四边形ABDE 是矩形，∴AE ＝BD ＝20 m ，DE ＝AB ＝0.8 m. 在Rt △ACE 中，∠CAE ＝63°，∴CE ＝AE ·tan63°≈20×1.96＝39.2(m)， ∴CD ＝CE ＋DE ≈39.2＋0.8＝40.0(m)， 即筒仓CD 的高约为40.0 m.8．[答案] 12 3[解析] 过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则四边形BCDE 是矩形．根据题意，得∠ACB ＝β＝60°，∠ADE ＝α＝30°，BC ＝18 m ，∴DE ＝BC ＝18 m ，CD ＝BE .在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝18×tan60°＝18 3(m)． 在Rt △ADE 中，AE ＝DE ·tan∠ADE ＝18×tan30°＝6 3(m)，∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝18 3－6 3＝12 3(m)．9．[解析] 如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，推出AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m ，在Rt △AEB 中，由∠E ＝30°，AB ＝5 m ，推出AE ＝2AB ＝10 m ，可得x ＋3x ＝10，解方程即可．解：如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，∴AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m. 在Rt △AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m ， ∴AE ＝2AB ＝10 m ，∴x ＋3x ＝10，解得x ＝5 3－5，∴EF ＝2x ＝10 3－10≈7.3(m)． 答：点E 与点F 之间的距离约为7.3 m.10．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60(m)，AE ＝ABcos31°＝31cos31°≈310.86≈36.05(m)，故甲楼的高度约为18.60 m ，彩旗的长度约为36.05 m. (2)过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于点M ， 在Rt △GMF 中，GM ＝FM ·tan19°. 在Rt △GDC 中，GD ＝CD ·tan40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m. 根据题意，得x tan40°－x tan19°＝18.60，解得x ＝37.20.乙楼的高度GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25(m)，故乙楼的高度约为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离约为37.20 m.11．解：设AH ＝x 米，在∵∠EGH ＝45°，∴GH ＝EH ＝AE ＋AH ＝(x ＋12)米． ∵GF ＝CD ＝288米，∴HF ＝GH ＋GF ＝x ＋12＋288＝(x ＋300)米． 在Rt △AHF 中，∵∠AFH ＝30°， ∴AH ＝HF ·tan∠AFH ，即x ＝(x ＋300)·33， 解得x ＝150(3＋1)．∴AB ＝AH ＋BH ＝150(3＋1)＋1.5≈409.8＋1.5≈411(米)． 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB 大约是411米． [素养提升][解析] 本题是一道开放性试题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．测角器可以测得仰角和俯角，皮尺可以测得A 楼的高度，通过解直角三角形可得B 楼的高度．解：(1)答案不唯一．如图，设AC 表示A 楼，BD 表示B 楼．测量步骤如下：①用测角器在A 楼的顶端点A 测量B 楼楼底的俯角α； ②用测角器在点A 测量B 楼楼顶的仰角β；③用皮尺从A 楼楼顶放下，测量点A 到地面的高度为a . (2)在Rt △ACD 中，CD ＝atan ∠ADC ＝atan α.在Rt △AEB 中，BE ＝AE ·tan β. ∵AE ＝CD ，∴BE ＝a tan βtan α，∴B 楼的高度BD ＝BE ＋ED ＝BE ＋AC ＝a tan βtan α＋a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan βtan α.。