概率论 常用的离散分布
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P ( A1 A2 A3 ... An ) P ( A1 A2 A3 ... An ) ... P ( A1 ... An1 An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) ...
n1 p q P ( A1 )... P ( An1 ) P ( An ) C
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
X ~ 1 1 1 ... n n n 1 1 1 1 EX x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn x n n n n 2 2 DX E X EX E X x 1 1 1 2 2 2 ( x1 x ) ( x2 x ) ... ( xn x ) n n n
P ( A1 A2 A3 ... An ) ... P ( A1 ... An2 An1 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( An ) ... P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An1 ) P ( An )
2 n2 q p C
2 n
k n
n P X n P ( A1 A ... A ) )P )... P( An ) p 2 ( A2n
X P
0
q
n
1 2 ... n 1 1 2 p 2q n 2 ... q p Cn Cn
k n
k
...
nk
n
C p q
k n
k
...
Hale Waihona Puke Baidu
pn
即 P X k C p q
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p
DX n p q
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 解 EX n p 6 6q 4.2
三、离散均匀分布 x1 x2 ... xn
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 X ~1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A 或 A 各次试验的条件 重复进行n 次独立试验, (“重复”指 相同, “独立”指各次试验的结 互不影响) 果 每一次试验, A发生的概率都是 p, A不发生的 次独立重复试验 概率都是 q 1 p 这样的 n 称作 n 重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里 概型. 用 X表示 n重贝努里试验中 事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
1 n
X P
0
1
2
...
k n
k
...
n k
n
1 1 n1 2 2 n 2 ... q n Cn p q Cn pq i 设 Ai表示第 次发生事件 A
C pq
k
...
pn
P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P X 2 P ( A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An2 An1 An )
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An )
k nk p q C
二、两点分布
如果随机变量X 只取两个值 x1 , x2
x1 X ~ p x2 1 p
其中 0 p 1 则称X服从参数为p的两点分布. 此时 EX x1 p x2 (1 p)
0 1 当 x1 1, x2 0 时， 即为0—1分布. X ~ p 1 p 此时 EX p DX p(1 p)
1 P X i 1
i 0
4
i i 20i C 0.3 0.7 20
4
i 0
例在四舍五入时, 每个加数的取整误差 服从 [0.5, 0.5 ] 上的均匀分布, 今有n个加数,计算它们中 至少有3个的绝对误差小于 0.3 的概率. 解 设 X表示一个加数的取整误差 X ~ U [ 0.5, 0.5 ] 每个加数的绝对误差小于 0.3 的概率为:
X P
0
1
2
...
k
...
n
1 1 n1 q n Cn pq
i 设 Ai表示第 次发生事件 A
P ( Ai ) p
P X 0 P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) q
P ( Ai ) 1 p q
n
P X 1 P ( A1 A2 A3 ... An A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An1 An )
X ~ b( n, p)
q n Cn p q
k n k
k 0,1, 2,..., n
称随机变量X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为
2 2 n2 k k n k Cn p q ... C n p q ... p n ( q p )n 1 当n=1时,二项分布 b( 1 , p) 1 0 X ~ 即是参数为p的0—1分布. p q 1 1 n1
n1 p q P ( A1 )... P ( An1 ) P ( An ) C
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
X ~ 1 1 1 ... n n n 1 1 1 1 EX x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn x n n n n 2 2 DX E X EX E X x 1 1 1 2 2 2 ( x1 x ) ( x2 x ) ... ( xn x ) n n n
P ( A1 A2 A3 ... An ) ... P ( A1 ... An2 An1 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( An ) ... P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An1 ) P ( An )
2 n2 q p C
2 n
k n
n P X n P ( A1 A ... A ) )P )... P( An ) p 2 ( A2n
X P
0
q
n
1 2 ... n 1 1 2 p 2q n 2 ... q p Cn Cn
k n
k
...
nk
n
C p q
k n
k
...
Hale Waihona Puke Baidu
pn
即 P X k C p q
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p
DX n p q
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 解 EX n p 6 6q 4.2
三、离散均匀分布 x1 x2 ... xn
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 X ~1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A 或 A 各次试验的条件 重复进行n 次独立试验, (“重复”指 相同, “独立”指各次试验的结 互不影响) 果 每一次试验, A发生的概率都是 p, A不发生的 次独立重复试验 概率都是 q 1 p 这样的 n 称作 n 重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里 概型. 用 X表示 n重贝努里试验中 事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
1 n
X P
0
1
2
...
k n
k
...
n k
n
1 1 n1 2 2 n 2 ... q n Cn p q Cn pq i 设 Ai表示第 次发生事件 A
C pq
k
...
pn
P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P X 2 P ( A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An2 An1 An )
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An )
k nk p q C
二、两点分布
如果随机变量X 只取两个值 x1 , x2
x1 X ~ p x2 1 p
其中 0 p 1 则称X服从参数为p的两点分布. 此时 EX x1 p x2 (1 p)
0 1 当 x1 1, x2 0 时， 即为0—1分布. X ~ p 1 p 此时 EX p DX p(1 p)
1 P X i 1
i 0
4
i i 20i C 0.3 0.7 20
4
i 0
例在四舍五入时, 每个加数的取整误差 服从 [0.5, 0.5 ] 上的均匀分布, 今有n个加数,计算它们中 至少有3个的绝对误差小于 0.3 的概率. 解 设 X表示一个加数的取整误差 X ~ U [ 0.5, 0.5 ] 每个加数的绝对误差小于 0.3 的概率为:
X P
0
1
2
...
k
...
n
1 1 n1 q n Cn pq
i 设 Ai表示第 次发生事件 A
P ( Ai ) p
P X 0 P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) q
P ( Ai ) 1 p q
n
P X 1 P ( A1 A2 A3 ... An A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An1 An )
X ~ b( n, p)
q n Cn p q
k n k
k 0,1, 2,..., n
称随机变量X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为
2 2 n2 k k n k Cn p q ... C n p q ... p n ( q p )n 1 当n=1时,二项分布 b( 1 , p) 1 0 X ~ 即是参数为p的0—1分布. p q 1 1 n1