概率论常用的离散分布

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概率分布的种类与性质

概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。

不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。

本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。

一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。

常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。

伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。

2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。

二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。

常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。

均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。

2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。

正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。

常用离散分布

1. （0 – 1）分布，其分布律为 P X 0 1 p, P X 1 p 解： E ( X ) 0 ( 1 p ) 1 p p
E( X ) 0 (1 p ) 1 p p
2 2 2
D ( X ) E ( X ) E ( X ) p p p (1 p )
2

2

2
故
D ( X ) E ( X ) E ( X )
常用离散分布的数学期望
0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np
几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p
泊松分布 P() 的数学期望 =
常用离散分布的方差
2 2 2
2
二项分布设 X 服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为
n k n k P X k p (1 p ) , k k 0 , 1 ,, n
有
E ( X ) np , D ( 数为的泊松分布，其分布律为
例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)，
已知 P(X1) = 8/9，求 P(Y1). 解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，从而解得: p = 2/3.
由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)
泊松定理
定理2.4.1 (二项分布的泊松近似)
在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中成功的概率. 若 npn ，则
k n k n k e pn (1 pn ) k! k
上面我们提到

二项分布与泊松分布比较

二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。

一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。

在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。

若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。

二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。

二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。

二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。

泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。

泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。

泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。

三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。

2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。

3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。

概率2.4节-常用离散分布.ppt

1.一天中拨错电话号码的总数； 2.一天中进入某邮局的顾客数； 3.某地区年龄超过100岁的人数；
4.一本书中一页的印刷错误；
5.一年中爆发战争的次数，等等。
Poisson分布的数学期望和方差设随机变量 X ~ P( ), 则
E( X ) Var( X ) .
例3. 假设某高速公路上每天发生的事故数是一个参数为的Poisson分布，求(a)今天至少发生3起事故的概率； (b)在今天至少发生了一件事故的条件下，重做(a)。
例5 设一个水塘里有一定数量的鱼，为估计其数目，从水塘中捕捞200条鱼，把它们作上红色标记后再放入水中，经过一段时间后再从中捕捞100条，其中有40 条鱼有红色标记。问题：怎样估计水塘中鱼的总数目？
4. 几何分布考虑独立重复试验，每次成功率为p，一直进行到试验成功为止。若令X表示需要试验的次数，则X的分布列为
二项分布的Poisson近似定理：在n重伯努利试验中，记事件A 在一次试验中发生的概率为，如果当时，有则
上述定理（Poisson定理）的应用：用于近似计算。应用的条件：对二项分布b(n,p)，当n 很大，p很小，而乘积np大小适中时，可用Poisson分布近似，即
3. 超几何分布设有N个产品，其中有M个次品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的次品个数X的分布列为
例8 一家软件公司想增加5名新的工程师，而每个参加面试的人获得职位的概率为 0.7，当招够5人时立即停止新的面试。求参加面试人数超过7名的概率。
作业：习题2.4 5，8 ，11，12。
§2.4 常用离散分布
1. 二项分布
考虑n重伯努利试验，设事件A在一次试验中发生的概率为p，记X为事件A发生的次数，则X的分布列为

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布我们之前介绍了离散型随机变量，本节我们将介绍几种常用的离散分布。

1、两点分布例1 100件产品中有95件正品，5件次品，现从中任取1件，考查取出的次品数。

试用变量描述该试验的结果并写出概率分布。

一般地，只取两个可能值 x1，x2 的随机变量 X，其概率分布可写为称 X服从两点分布。

特别地，若x1=0，x2=1，这时称X服从0-1分布。

0-1分布描述只有两个可能的结果的随机试验，0-1分布的概率分布一般写为其中参数p:0<p<1.若以概率分布表表示，则为注：两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验。

2、二项分布(the Binomial Distribution)（记住这个英文单词，后面要考的）其中n是试验独立重复的次数， p是每一次基本试验中事件A发生的概率。

随机变量 X 指n 次试验中事件A发生的次数。

注：二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型：例2 设张三做某事的成功率为1%，他重复努力 100次，则至少成功1次的概率为多少？这说明，有百分之一的希望，就要做百分之百的努力。

这里，小伙伴会问了，这里的二项分布表达式如此复杂，该怎么计算呢？我们可以借助Excel软件来计算。

操作方法如下：打开Excel→公式→插入函数（统计）BINOM.DIST（你一定发现了，这就是前面提到的二项分布的单词前面几个字母）例3 设一批产品共10000个，其中废品数为500个，现从这批产品中任取10个，求10个产品中恰有2个废品的概率。

3、泊松分布引例观察下列随机试验：(1)某地区某一时间间隔内发生的交通事故的次数；(2)北京某医院一天内的急诊人数；(3)放射性物质在单位时间内的放射次数；(4)《新编线性代数与概率统计》教材一页中印刷错误数；(5)北京地区居民中活到百岁的人数。

这些试验有一个共同点：描述在单位时间(空间)中随机事件的发生次数。

它们都服从或近似服从泊松分布。

概率统计分布列知识点总结

概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。

在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。

例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。

伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。

伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。

2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。

例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。

二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。

二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。

3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。

例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。

泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。

泊松分布的期望值和方差都等于λ。

二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。

在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。

1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。

例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。

均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。

2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。

2.4常用离散分布

P(乙胜) P( X 4) C1k0 0.6k0.410k 0.1663. k0
P(不分胜负) P( X 5) C150 0.65 0.45 0.2007.
11
三、泊松分布
定义：称X服从参数( 0)的poisson分布，如果
P X k k e，k 0,1,2,...
解：X服从二项分布B(3,1/4).即有
P(X
k
)
C
k 3
(
1 4
)k
(
3 4
)3k
,
k 0,1,2,3.
P(X
1)
C
0 3
(
1 4
)0
(
3 4
)3
C31
(
1 4
)1
(
3 4
)2
27 32
7
例3 设X B(2, p), Y 求P(Y 1).
B(3,
p)，且P( X
1)
5 .
9
解 P( X 1) 5 P( X 0) 4
例4 甲、乙两棋手约定进行10局比赛，以赢的局数多者为胜。若在每局中甲赢的概率是0.6，乙为0.4；且各局比赛是独立进行的。问甲胜、乙胜、不分胜负的概率分别是多少？解：设X为甲胜的局数，则X服从 B(10,0.6).
10
P(甲胜) P( X 6) C1k0 0.6k0.410k 0.6330. k6 4
概率论与数理统计
主讲人：宣平
2012年.秋学期
Department of Mathematics
1
第四节常用离散分布
2
一、0－1分布随机变量只有两个取值的分布称为两点分布；特别地，若其取值为0和1，称之为0－1分布。

概率论常用的离散分布

概率论常用的离散分布
目录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普效之前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性，适用于描述在一定范围内随机事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描述了在成功达到某一目标之前需要进行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上限，p 表示每次试验成功的概率。

概率论里的分布

概率论里的分布概率论是研究随机事件发生的规律性和概率的一门学科。

在概率论中，分布是指随机变量在不同取值下对应的概率值。

分布可以分为离散型分布和连续型分布两种。

一、离散型分布离散型分布是指随机变量只能取有限个或者无限个离散值的情况下对应的概率分布。

常见的离散型分布包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是指只有两种结果的试验，例如抛硬币正反面。

如果事件A发生，则记为1，否则记为0。

伯努利分布就是在这样的试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p。

2. 二项式分布：二项式试验是指进行n次独立重复实验，每次实验只有两种结果，成功和失败。

每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

在这样的试验中，在n次实验中恰好出现k次成功的概率就是二项式分布。

3. 泊松分布：泊松过程是指单位时间内某一事件发生次数服从泊松分布。

例如，在某个城市每小时发生的交通事故次数就可以用泊松分布来描述。

二、连续型分布连续型分布是指随机变量在某一区间内取值的情况下对应的概率分布。

常见的连续型分布包括：1. 均匀分布：均匀分布是指在一个区间内，每个点的概率密度相等。

例如，在[0,1]区间内随机选择一个实数的概率密度就是均匀分布。

2. 正态分布：正态分布也叫高斯分布，它是一种非常重要的概率分布。

正态分布具有钟形曲线，对称轴为均值。

很多自然现象都可以用正态分布来描述，例如人类身高、智商等。

3. 指数分布：指数过程是指在一段时间内某个事件发生的时间间隔服从指数分布。

例如，在某个工厂中设备损坏的时间间隔就可以用指数分布来描述。

以上仅列举了部分常见的离散型和连续型概率分布，还有很多其他类型的概率分布，例如负二项式、卡方、t、F等。

不同类型的概率分布有着不同的特点和应用场景，掌握它们对于理解概率论和统计学都是非常重要的。

常用离散分布

(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。
11
若 X ~ b(n, p) P{X k} Cnk pk (1 p)nk
n(n
1)(n
k
1)
n
k 1
n
nk
k!
n n
kn
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
k! n n n n
由于对固定的k有
lim
n
kn
k , lim1
n
n
n
nk
e
及
lim1 1 1 2 1 k 1 1
n n n
n
因此
lim b(k; n, p) k e .
P{
k
}
k r
11
p
r
q
k
r
,
k
r, r 1,
在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以X记A
首次出现时的试验次数，则X为随机变量，它的可能取
值为1,2,3…，其概率分布为几何分布。记为X ~ Ge( p)
其分布列为
P{X=k}=qk-1p, k=1,2, … 比如：
其中q=1-p
1、某射手的命中率为0.8，则首次击中目标的射击次数
X ~ Ge(0.8)
n!
pk (1 p)nk

概率论分布类型总结

概率论分布类型总结概率论分布类型总结概率论是数学中的一个分支，主要研究随机现象和随机事件的规律性。

在概率论中，分布是一个非常重要的概念，它描述了一个随机变量取不同值的可能性大小。

本文将对概率论中常见的分布类型进行全面详细的总结。

一、离散型分布1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的离散型分布，它描述了只有两种结果（成功或失败）的试验。

伯努利分布有一个参数p，表示成功的概率。

若X 表示试验结果，则X=1表示成功，X=0表示失败。

伯努利分布的期望为E(X)=p，方差为Var(X)=p(1-p)。

2. 二项分布二项分布是由n个独立重复进行的伯努利试验组成，在每次试验中有成功和失败两种结果。

二项分布有两个参数n和p，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。

若X表示成功次数，则X服从二项分布。

二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。

3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。

泊松分布只有一个参数λ，表示单位时间内该事件平均发生的次数。

若X表示单位时间内该事件发生的次数，则X服从泊松分布。

泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。

二、连续型分布1. 均匀分布均匀分布是一种最简单的连续型分布，它描述了在一定范围内所有值出现的可能性相等。

均匀分布有两个参数a和b，表示取值范围[a,b]。

若X表示随机变量，则X服从均匀分布。

均匀分布的期望为E(X)=(a+b)/2，方差为Var(X)=(b-a)^2/12。

2. 正态分布正态分布是一种非常重要的连续型分布，它在自然界中广泛存在，并且在统计学中有着重要应用。

正态分布有两个参数μ和σ，其中μ表示期望，σ表示标准差。

若X表示随机变量，则X服从正态分布。

正态分布具有很多重要性质，例如68-95-99.7法则、中心极限定理等。

3. 指数分布指数分布适用于描述等待时间或寿命的概率分布。

指数分布只有一个参数λ，表示单位时间内事件发生的平均次数。

概率论常用的离散分布

P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An )
k nk p q C
参数为 p 的几何分布.
pq
n 1
几何分布：X
n ... 其中 n 1 2 ... 0 p 1, pq P p pq pq ... q 1 p p 2 n 1 p pq pq ... pq ... 1 q 1 1 2 3 ...
n1
n 1 2 n 1 p 2 pq 3 pq ... npq ... n pq EX
p n q
n1

n1
1 1 1 1 p EX 2 p 2 (1 q ) p p p
n 1

n' n n x ( x )' x x 1时， n 1 n 1 n1

x ' 1 ( x x x ... x ...)' 2 ( 1 x ) 1 x
1 n
X P
0
1
2
...
k n
k
...
n k
n
1 1 n1 2 2 n 2 ... q n Cn p q Cn pq i 设 Ai表示第次发生事件 A
C pq
k
...
pn
P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P X 2 P ( A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An2 An1 An )

概率论八大分布公式

概率论八大分布公式概率论中的八大分布公式是指常见的概率分布函数，它们在统计学和概率分析中有着广泛的应用。

这些分布包括：二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布和卡方分布。

下面将对这八个分布公式进行简要介绍。

1. 二项分布二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果的事件，如投掷硬币的结果。

它的概率分布函数可以用来计算在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率。

2. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，用于描述单位时间或空间内事件发生的次数。

它的概率分布函数可以用来计算在一个固定时间或空间单位内，事件发生k次的概率。

3. 均匀分布均匀分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数在一个区间内的取值相等。

例如，投掷一个均匀骰子的结果就符合均匀分布。

4. 正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。

它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布在均值附近。

许多自然界的现象都可以用正态分布来描述，如身高、体重等。

5. 指数分布指数分布是一种连续概率分布，用于描述事件发生的间隔时间。

它的概率密度函数呈指数下降的形式，适用于模拟一些随机事件的发生。

6. 伽玛分布伽玛分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈正偏态分布。

伽玛分布常用于描述一些随机变量的持续时间，如寿命、等待时间等。

7. 贝塔分布贝塔分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈S形曲线。

贝塔分布常用于描述概率或比率的分布，如投掷硬币的概率、产品的可靠性等。

8. 卡方分布卡方分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数呈非对称形状。

卡方分布常用于统计推断中的假设检验和置信区间估计，如样本方差的分布。

概率论八大分布公式涵盖了离散分布和连续分布的常见情况。

这些分布公式在实际应用中具有重要的意义，可用于模拟随机事件、进行统计推断以及进行风险评估等。

熟练掌握这些分布公式，对于数据分析和决策制定都具有重要的帮助。

数学基础-概率论01（离散型分布）

数学基础-概率论01（离散型分布）⽬录：1.离散型1.1 单点分布单点分布(one-point distribution)亦称⼀点分布，或称退化分布，是⼀种最简单的离散型分布。

假如随机变量X仅取数值a，即P{X=a}=1，则称随机变量X服从单点分布或退化分布。

单点分布的均值E(x)=a，⽅差Var(x)=0。

如果随机变量X有有限均值和零⽅差，则随机变量X服从单点分布。

概率函数：$$P(x)= \begin{cases} {1}, & \text {x=a} \\ 0, & \text{x!=a} \end{cases}$$期望值$E(X)=a$；⽅差 $Var(X)=0$特点：该分布下数据衡等于a1.2 两点分布两点分布( two-point distribution)即“伯努利分布”或者0-1分布，是⼀个离散型概率分布。

在⼀次试验中，事件A出现的概率为P，事件A不出现的概率为q=1-p概率函数：$$P(x)= \begin{cases} p, & \text {x=a} \\ q, & \text{x=b} \end{cases}$$两点分布的均值$E(X)=pa+qb$，⽅差$V(X)=pq(a-b)^2$。

特点：该分布下数据仅有两个可取值，且任意⼀次随机，取a或b的概率不变1.3 均匀分布离散型均匀分布是⼀个离散型概率分布，其中有限个数值拥有相同的概率,典型的如抛硬币，掷⾊⼦概率密度函数：期望：$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx=\int_{a}^{b} \frac{x}{b-a}dx=\frac{b-a} {2}$⽅差：$V(X)=\frac {(b-a)^2} {12}$特点：1.4 ⼆项分布⼆项分布就是重复n次独⽴的伯努利试验,在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变，则这⼀系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，⼆项分布服从0-1分布。

常用离散分布

则事件A恰好发生k次的概率为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
其中随机变量X为n重贝努里试验中事件A成功的次数。
定义: 设随机变量X的可能取值为0，1，…，n ，并且取这些值的概率分别为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
2.4 常用离散分布
1、退化分布若随机变量X只取常数值c，即 P{x=c}=1
这时分布函数为
0, x c FX (x) 1, x c
E(X)=c Var(X)=0
1
2、二点分布（0—1）分布
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，即X只可能取0与1两个值，它的分布列是
P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)，则称X服从(0—1)分布或两点分布，记为b(1，p)。
P{X
k}
M k
N n
M k
,
k
0,1,, r
N n
where r min{ n, M }
验证规范性，利用r源自k 0M kN n
M k
N n
(见习题1.2)
21
超几何分布的期望和方差 P98
E(X ) n M N
理解
Var( X ) nM (N M )(N n) N 2 (N 1)
(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。

常用离散分布

常⽤离散分布⼆项分布⼆项分布就是重复 n 次独⽴的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变。

即⼀枚硬币扔 n 次，扔出正⾯概率为 p ，得到 k 次正⾯的概率：P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n这个分布称为⼆项分布，记为 X\sim b(n,p) .n=1 时的⼆项分布 b(1,p) 称为⼆点分布，或称0-1分布，或称伯努利分布，其分布列为P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, x=0,1.⼆项分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim b(n,p) ，则\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=n p \sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right) p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\ &=n p[p+(1-p)]^{n-1}=n p \end{aligned}⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) k\left(\begin{array}{l} n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+n p \\ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=2}^{n}\left(\begin{array}{l} n-2 \\ k-2\end{array}\right) p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+n p \\ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=n(n-1) p^{2}+n p-(n p)^{2}=n p(1-p)泊松分布泊松分布的概率分布列是P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots其中参数 \lambda>0 ,记为 X\sim P(\lambda) .泊松分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim P(\lambda) ,则E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda}=\lambda⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}[(k-1)+1] \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\lambda^{2} \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2) !}+\lambda\mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda^{2}+\lambda \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{2}=\lambda⼆项分布的泊松近似(泊松定理) 在 n 重伯努利试验中,记事件 A 在⼀次试验中发⽣的概率为 p_n (与试验次数 n 有关),如果当 b\to\infty 时,有 np_n\to\lambda , 则\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}证明：记 np_n=\lambda_n , 可得\begin{aligned} \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} &=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\left(\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \\ &=\frac{\lambda_{n}^{k}}{k !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \end{aligned}对固定的 k 有\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}=\lambda\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k}=\mathrm{e}^{-\lambda}\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1从⽽\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}对任意的 k=0,1,\cdots 成⽴.定理得证.由于泊松定理是在条件 np_n\to\lambda 下得到的,故在计算⼆项分布 b(n,p) 时,当 n 很⼤, p 很⼩,⽽ \lambda=np ⼤⼩适中时,可以⽤泊松公式近似,即\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} \approx \frac{(n p)^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-n p}, k=0,1,2, \cdotsLoading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js通常当 n\geqslant20,p\leqslant0.05 时，就可以⽤泊松公式近似得计算。

二项分布和泊松分布的近似推导

二项分布和泊松分布的近似推导二项分布和泊松分布是概率论中常用的两种离散概率分布。

它们在实际问题中的应用非常广泛，并且在一些特定条件下可以互相近似推导。

本文将从二项分布和泊松分布的定义开始，逐步推导它们之间的关系。

我们来介绍一下二项分布。

二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

具体来说，如果一个试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么在n次试验中成功k 次的概率可以用二项分布来表示。

记为B(k;n,p)，其概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

接下来，我们来介绍一下泊松分布。

泊松分布是一种描述单位时间或单位空间内事件发生次数的离散概率分布。

具体来说，如果在一个固定时间或空间内事件发生的平均次数为λ，那么在这个时间或空间内事件发生k次的概率可以用泊松分布来表示。

记为P(k;λ)，其概率质量函数为：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!其中，e是自然对数的底数，k!表示k的阶乘。

接下来，我们将从二项分布的极限推导出泊松分布。

假设在n次试验中，当n趋向于无穷大，试验成功的概率p趋向于0，并且np保持不变。

我们可以证明，在这种情况下，二项分布可以近似地用泊松分布来表示。

我们将二项分布的概率质量函数进行变换：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)= (n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!) * (p^k) * (1-p)^(n-k)= (n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!) * [(p^k) * (1-p)^n * (1-p)^(-k)]≈ (n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!) * [(p^k) * (1-p)^n]其中，最后一个等式是为了将近似项 [(1-p)^(-k)] 替换为 1，这是因为当 p 趋近于 0，(1-p)^(-k) 趋近于 1。

常见概率分布类型解析

常见概率分布类型解析概率分布是描述随机变量可能取值的概率的函数。

在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，它们在不同的情境下具有不同的特点和应用。

本文将对几种常见的概率分布类型进行解析，包括二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布。

一、二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的同一试验中成功的次数的概率分布。

在每次试验中，事件只有两种可能的结果，通常用“成功”和“失败”来表示。

二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。

二项分布常用于描述二元随机变量的分布，例如抛硬币、赌博游戏等。

在实际应用中，二项分布可以用来估计二元事件发生的概率，进行假设检验等。

二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。

泊松分布适用于事件发生的次数是独立的且平均发生率是恒定的情况。

泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k)表示事件发生次数为k的概率，λ表示单位时间（或单位空间）内事件平均发生率。

泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如电话交换机接到的电话数、一天内发生的交通事故数等。

在实际应用中，泊松分布可以用来预测未来一段时间内事件发生的概率。

三、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，也称为高斯分布。

正态分布具有钟形曲线的特点，均值、方差完全决定了正态分布的形状。

正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ表示均值，σ表示标准差。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，例如身高、体重、考试成绩等。

2.3常用的离散分布

nk
对于固定的
n,
当N
,
N1
,
N2
,且 N1
N
p时
PX k
C C k nk N1 N2
P
X k
C C k 100k 80 920
C 100 1000
80
920
条草鱼条鲢鱼
k 0,1,2,3,...,80 ,81 ,82 ,..., 100
100
规定
C 81 80
C 82 80
...
C 100 80
0
即当k > 80时, C8k0 0
例一个池塘中有1000条鱼其, 中有930条草鱼,
n
x nxn1
n1
n1
n1
n1
x
(1 x)2
'
1 x (1 x)3
X 1 2 3 ... n ...
P p pq pq2 ... pqn1 ...
几何分布有性质：对任意自然数m，n，有
PX m n X m PX n
证 PX m n X m P X m n I X m
共 N N1N 2个
可以证明, 超几何分布的数学期望和方差分别为
EX n N1 N
DX n N1 N2 N n N N N 1
N1
N2
k 个 n k 个
n个
设袋中有N个1 红球, N2 个黑球, 从中取 n次, n N1
n N2 每次取一个球, X 表示取到的红球个数.
(1)无返回
p
n1
n qn1
p
1 (1 q)2
p
1 p2
1 p
n1
EX 1 p
' ' x 1时，

概率分布基础之离散总结

概率分布基础之离散总结概率分布是描述随机变量可能取值的可能性的数学模型。

离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可数个数值的概率分布。

本文将对离散概率分布进行基础总结，包括离散概率分布的定义、特征以及常见的离散概率分布模型。

一、离散概率分布的定义离散概率分布是指在一定条件下，随机变量取不同离散数值的概率分布。

它由两部分组成：随机变量的所有可能取值及其对应的概率。

概率必须满足两个条件：非负性和概率和为1。

二、离散概率分布的特征1. 概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）：离散概率分布的概率质量函数是指随机变量取各个离散数值的概率。

它是一个非负函数，对于任意一个可能的取值k，概率质量函数P(k)表示随机变量取值为k的概率。

2. 期望值（Expectation）：离散概率分布的期望值是指随机变量的加权平均值，权重即为每个取值的概率。

期望值可以理解为在大量重复实验中，随机变量的平均取值。

3. 方差（Variance）：离散概率分布的方差是指随机变量取值与期望值之间的差异程度。

方差越大，随机变量的取值相对较分散；方差越小，随机变量的取值相对较集中。

三、常见的离散概率分布模型1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散概率分布模型，描述了只有两个可能结果的随机试验。

例如，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，每种可能的概率为p和1-p。

2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种多次伯努利试验的概率分布模型。

在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

二项分布描述了成功次数的概率分布。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布是用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布模型。

泊松分布适用于事件间独立且发生概率很小的情况，例如单位时间内发生的交通事故数、电话呼叫数等。

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