人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(10)二元一次方程组解的讨论
人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(9)二元一次方程的整数解(1)
（9）二元一次方程的整数解【知识精读】1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中，若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。
【分类解析】例1求方程5x －9y=18整数解的能通解解x=53235310155918y y y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
初一数学二元一次方程组的解法与应用
初一数学二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它涉及到两个未知数的方程组。
在本文中，我们将介绍二元一次方程组的解法以及它在实际生活中的应用。
一、解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组最常用的方法之一。
对于形如：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂的方程组，首先选择其中一个方程，通过系数的适当倍乘，使得其中一个未知数的系数相等。
然后将两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。
求解该方程后，代入到原方程得出另一未知数的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。
首先选择其中一个方程，解出其中一个未知数，然后将该值代入到另一个方程中，求解得到另一个未知数的值。
二、应用1. 几何问题二元一次方程组可以应用于几何问题中。
例如，已知两条直线的方程，求解它们的交点坐标。
将两条直线的方程组成二元一次方程组，通过解方程组可以求得它们的交点坐标。
2. 商业问题二元一次方程组在商业问题中也有广泛的应用。
例如，某公司生产两种产品，已知这两种产品的生产成本和售价，求解生产和销售这两种产品的数量，以最大化利润。
通过建立二元一次方程组，并求解方程组可以得到最优解。
3. 等比数列问题等比数列问题中常常需要解二元一次方程组。
例如，已知等比数列的第一项和公比，求解前n项的和。
通过建立关于等比数列的二元一次方程组，并求解可以得到所需的结果。
总结：二元一次方程组的解法有消元法和代入法，根据问题的要求可以选择不同的方法进行求解。
而二元一次方程组在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用，通过解方程组可以求解实际问题，提高解决问题的能力。
以上是关于初一数学二元一次方程组的解法与应用的内容论述。
通过消元法和代入法，我们可以解决二元一次方程组，并且这些方法在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用。
希望本文对您理解和掌握二元一次方程组有所帮助。
人教版七年级数学下册《用适当方法解二元一次方程组》教案及教学反思
人教版七年级数学下册《用适当方法解二元一次方程组》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标1.了解二元一次方程组的概念和解法。
2.掌握用代入、消元、配方法解二元一次方程组的方法。
3.将解二元一次方程组应用到实际问题中。
2. 能力目标1.能够正确列出二元一次方程组。
2.能够灵活运用代入法、消元法、配方法解答二元一次方程组。
3.具备解决实际问题的能力。
3. 情感目标1.培养学生的逻辑思维能力。
2.提高学生的数学学习兴趣。
3.培养学生自主学习、自主探究的能力。
二、教学准备1. 教学工具1.黑板、白板、教学PPT等教学资源。
2.笔、尺等学习工具。
2. 教材和参考书1.人教版七年级数学下册。
2.《初中数学竞赛入门与提高》3. 教学步骤1.通过简单例子引出二元一次方程组的概念及解法。
2.清晰地讲解代入法、消元法、配方法，让学生理解这些方法的本质和使用场景。
3.用示例演示如何通过这些方法解决数学问题。
4.让学生进行练习，并鼓励学生进行自主思考和探究。
5.定期进行测试和测评，及时发现学生的问题并给予指导。
三、教学反思本次教学是针对二元一次方程组的解法进行了讲解。
教具使用高清PPT清晰的表达了内容，对学生的表现也进行了不停的评估。
结果，学生的学习兴趣和学习成绩都得到了进一步的提升。
首先，为了避免学生对于二元一次方程组焦点的忽略，我在教学的一开始就再次概述了此内容。
同时也澄清了在几种解法中，每种解法具体的应用场景。
这样能让学生更好的理解到每种方法的适用范围。
其次，在教学过程中，我们以简单的例子为基础，对每一步骤的理解进行了讲解，让学生能更好的理解和掌握。
同时也让学生清晰的了解每种方法的详细解释。
在让学生自行进行练习后，及时进行指导和评估，使学生尽快得到改进。
如果只是简单的讲解一遍，限制了学生对于这一方法的理解。
最后，在本次教学中，我们时刻关注着学生的反馈。
通过测评，我们能够深入的了解到学生对于二元一次方程组的掌握情况。
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-10-二元一次方程组解的讨论
2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
初中数学 二元一次方程组解法和解 培优
初中数学 二元一次方程组解法和解 培优一．普通解法: 解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩二．含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。
现选取几道题略作讲解，供同学们参考。
1.、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。
例：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。
2、根据方程组解的性质，求参数的值。
例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？略解：由②得x=3y2×3y-my=6 y=m-66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。
方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。
3、由方程组的错解问题，示参数的值。
例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=22y x 试求a+b+c 的值。
（1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ①② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。
8273=-⨯-⨯）（c 2-=c 把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=22y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。
322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩ 所以7254=-+=++c b a4、根据所给的不定方程组,求比值。
例4：求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。
略解：把z 看作已知数。
人教版数学七年级培优竞赛讲练教程(10)二元一次方程组解的讨论
2021年人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可2．按二元一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再3．解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解， ②无解， ③有唯一的解①解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
当 5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。
②解得a=10, c"`14。
③当 5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
全效学习七下培优专题二元一次方程组的同解、错解、参数问题
∵z≠0，∴将③两边都除以 z，得7zx＋1＝0，解得xz＝－17.
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9．已知|a－2b＋7|＋(2c＋a－7)2＝0，b≠0，求a＋b c的值． 解：依题意，得 a－2b＋7＝0，2c＋a－7＝0， 即a2－c＋2ab＝＝7－，7②，① 由①得：b＝a＋2 7， 由②得：c＝7－2 a，
① ②
②×2－①得，
y＝37a－272，
把 y＝37a－272代入②得，
x＝87a－172，
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则87a－172－(37a－272)＝a， 解得 a＝5， ∴方程组的解为xy＝＝－4，1.
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6．由于粗心，在解方程组■7xx－－42y＝y＝△5，时，小明把系数■抄错了，
得 到 的 解 是 yx＝＝－－11330，； 小 亮 把 常 数 △ 抄 错 了 ， 得 到 的 解 是
xy＝＝－－196，. 请找出错误，并写出■和△的原来数字，求出正确的解．
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解：∵7×－13－4×－130＝△，∴△＝11，
∵－9■－2×(－16)＝5，∴■＝3，
∴原方程组是37xx－ －24yy＝ ＝
5， 11，
① ②
②－①×2，得 x＝1.
把 x＝1 代入①得 y＝－1，
所以原方程组的解为xy＝＝－1，1.
∴a＋b c＝a＋a＋7－27 a＝aa＋ ＋77＝1. 2
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初一数学培优--二元一次方程组应用题
初一数学培优二元一次方程组应用题一．数字问题1．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？2．小宏与小英是同班同学，小英家的住宅小区有1号楼至22号楼共22栋楼房，小宏问了小英下面两句话，就猜出了小英住几号楼几号房间．小宏问：“你家的楼号加房间号是多少？”小英答：“220．”小宏问：“楼号的10倍加房间号是多少？”小英答：“364．”你知道为什么吗？3．炎热的夏天，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每个男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每个女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？4．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（）二．配套问题1.（08山东省日照市）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？2.（2008年山东省威海市）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？三．行程问题1.甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲5秒追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲4秒追上乙.甲、乙每秒分别跑x、y米，由题意得方程组____________.2.小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时两人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米.请求出两人的速度.3.一船顺水航行43.5公里需要3小时，逆水行47.5公里需5小时，求此船在静水中的速度和水流的速度.四．工程问题1．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产25套．那么客户订做的工作服是多少套，要求完成的期限是多少天？2．（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用五．含量浓度问题1．(2008山东烟台)据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2%～0.5%的衣服放入最大容量为15的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到，假设洗衣机以最大容量洗涤）2.要配制浓度为15%的硫酸500公斤，已有60%的硫酸100公斤，问还需要加水和加浓度为80 %的硫酸各多少公斤?六．图形问题1．如图4，周长为68的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的长方形，则长方形ABCD 的面积是多少？2．用一些长短相同的小木棍按图5所示，连续摆正方形和六边形．要求每两个相邻的图形只有一条公共边．已知摆放的正方形比正六边形多4个，并且一共用了110根小木棍，问连续摆放的正方形和正六边形各有多少个？3．（2006年烟台市）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为()A．35 B．43C．89 D．97七．整数解问题1．把面值为1元的纸币换为1角或5角的硬币，则换法共有_____种．练习：1．古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就分有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）答：_______________．2.某公司去年的总收入比总支出多50万元，今年比去年的总收入增加10％，总支出节约20％，今年的总收入比总支出多100万元.如果设去年的总收入是x万元，总支出是y元，那么可列方程组是_________________.—、填空题（每题2分，共20分）1。
初一数学培优,二元一次方程组解的讨论
二元一次方程组解的讨论内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论一、二元一次方程组的定义二元一次方程组是由两个方程组成的方程集合，其中每个方程都是二元一次方程。
二元一次方程的一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，而x和y是未知数。
二、二元一次方程组的求解方法1.消元法：通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程。
然后可以通过代入的方法求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
2. Cramer法则：利用行列式的性质求解二元一次方程组。
具体步骤如下：a)计算系数行列式:D=，abdb)x的系数行列式:Dx=，cbfc)y的系数行列式:Dy=，acdd)计算方程组的解:x=Dx/D，y=Dy/D3.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到只包含一个未知数的方程。
然后可以通过消元法或其他方法求解。
三、解的情况讨论1.唯一解：当二元一次方程组存在一个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有唯一解。
2.无解：当二元一次方程组不存在有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组无解。
3.无穷多解：当二元一次方程组存在无穷多个有序数对(x,y)使得方程组的两个方程同时成立时，方程组有无穷多解。
这种情况下，方程组的两个方程是两个平行直线。
四、实例演示考虑以下二元一次方程组：2x+3y=74x-y=2通过消元法可得：2x+3y=78x-2y=4将第二个方程化为y的表达式：y=4x-2将y的表达式代入第一个方程：2x+3(4x-2)=7化简得到：2x+12x-6=7合并同类项：14x-6=7解方程得到：14x=13，x=13/14将x的值代入y的表达式：y=4(13/14)-2，化简得到：y=3/7所以，方程组的解为(x,y)=(13/14,3/7)。
总结：二元一次方程组的解的讨论涉及到三种情况：唯一解、无解和无穷多解。
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论
初中数学竞赛精品标准教程及练习二元一次方程组解的讨论二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
解二元一次方程组的方法主要有代入法、消元法和等式法。
下面是对这三种方法进行详细讨论的精品标准教程。
一、代入法代入法是解二元一次方程组最常见的方法之一、它的基本思想是通过一个方程的解来代入另一个方程，从而得到另一个未知数的解。
例题1：解方程组2x+y=6x-y=2解析：由于第二个方程的形式比较简单，所以可以先解x，然后带入第一个方程来解y。
解方程x-y=2得到x=2+y将x=2+y代入第一个方程2x+y=6得到2(2+y)+y=6化简得4+2y+y=6化简得3y=2解得y=2/3带入第一个方程2x+y=6得到2x+2/3=6化简得2x=6-2/3化简得2x=16/3解得x=8/3所以，解得x=8/3，y=2/3二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过消去一个未知数，得到只含有一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，然后代入原方程组来求出另一个未知数的值。
例题2：解方程组2x+y=6x-y=2解析：首先观察发现，两个方程都有x-y，所以可以消去y。
将第二个方程两边同时乘以2得到2x-2y=4将这个方程与第一个方程相加，得到(2x+y)+(2x-2y)=6+4化简得4x=10解得x=10/4=5/2将x=5/2带入第一个方程2(5/2)+y=6化简得5+y=6解得y=1所以，解得x=5/2，y=1三、等式法等式法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是将其中一个方程的左右两边都化成同样的形式，然后将两个方程相减或相加，从而消去一个未知数。
例题3：解方程组3x-2y=72x+3y=1解析：为了消去x或y，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，从而使得两个方程的x系数一样。
将第一个方程乘以3得到9x-6y=21将第二个方程乘以2得到4x+6y=2将两个方程相加，得到(9x-6y)+(4x+6y)=21+2化简得13x=23解得x=23/13将x=23/13带入第一个方程3(23/13)-2y=7化简得69/13-2y=7解得y=(69/13-7)/(-2)化简得y=5/13所以，解得x=23/13，y=5/13通过以上的讨论，我们可以看出代入法、消元法和等式法都是解二元一次方程组的有效方法。
2022年人教版七年级下册数学同步培优小专题(五) 解二元一次方程组的常见技巧
小专题(五)解二元一次方程组的常见技巧解二元一次方程(组)是初中数学的重要知识点之一,也是安徽中考的重点考查内容,涉及此类问题有整体代入求解、整体相加减求解、重建方程(组)求解、利用同类项、非负数等知识构建方程(组)求解等.类型1根据方程(组)的解的概念求方程(组)中的字母系数1.已知{x＝1,y＝2和{x＝2,y＝1为方程ax+by＝12的解,则3a－5b＝－8.2.已知关于x,y的二元一次方程组{2x+y＝6m,3x－2y＝10的解也是方程5x－y＝40的解,求m2+4的值.解:根据题意,联立方程组得{3x－2y＝10,5x－y＝40,解得{x＝10,y＝10,代入2x+y＝6m,得m＝5,∴m2+4＝29.类型2将错就错构建方程组求解3.已知关于x,y的方程组{x+ay＝5,①bx－3y＝4,②由于粗心,甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为{x＝－1,y＝－2;乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为{x＝2,y＝3.(1)试确定a,b的值;(2)请你求出原方程组的解.解:(1)由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为{x＝－1,y＝－2,所以{x＝－1,y＝－2适合方程bx－3y＝4,代入得－b+6＝4,解得b＝2.由于乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为{x＝2, y＝3,所以{x＝2,y＝3适合方程x+ay＝5,代入得2+3a＝5,解得a＝1.(2)由(1)知,原方程组为{x +y ＝5,2x －3y ＝4,解得{x ＝195,y ＝65.类型3 利用数学相关知识构建方程组求解 4.若12x b +5y 3a 和－3x 2a y 2－4b 是同类项,则可得( D ) A.{a ＝－2b ＝2B.{a ＝7b ＝0C.{a ＝0b ＝－35D.{a ＝2b ＝－15.若(a +b +5)2+|2a －b +1|＝0,求(b －a )2022的值. 解:根据非负数的性质,得{a +b +5＝0,2a －b +1＝0,解得{a ＝－2,b ＝－3,所以(b －a )2022＝[－3－(－2)]2022＝1. 类型4 利用中间参数构建方程求解 6.已知关于x ,y 的方程组{2x +2y ＝3m +1,3x －7y ＝9－m的解满足x －y ＝－4,则m 的值是 －15 .7.m 为何值时,关于x ,y 的方程组{3x －5y ＝2m ,3x +5y ＝m －18的解互为相反数?求这个方程组的解.解:{3x －5y ＝2m , ①3x +5y ＝m －18. ②由题意,得x +y ＝0,得x ＝－y , ③将③代入①,得－3y －5y ＝2m ,得m ＝－4y , ④ 将③④代入②,得－3y +5y ＝－4y －18,解得y ＝－3, 所以x ＝3,m ＝12.所以当m ＝12时,方程组的解互为相反数,解为{x ＝3,y ＝－3.类型5 利用整体思想解方程组 8.已知关于x ,y 的方程组{x －y +2a ＝0,4x +2y ＝1－a的解满足x +y ＝1,求a 的值.解:整理,得{x －y ＝－2a , ①4x +2y ＝1－a , ②由②－①,得3(x +y )＝a +1,把x +y ＝1代入,得3＝a +1,解得a ＝2. 9.已知关于x ,y 的二元一次方程组{2x －my ＝1,3x +ny ＝10的解是{x ＝3,y ＝1.不求m ,n 的值,你能否求出关于x ,y的二元一次方程组{2(x +y )－m (x －y )＝1,3(x +y )+n (x －y )＝10的解?解:根据题意,得{x +y ＝3,x －y ＝1,解得{x ＝2,y ＝1.10.[拓展视野]先阅读,再解方程组. 解方程组:{x +y2+x －y3＝6,4(x +y )－5(x －y )＝2. 设a ＝x +y ,b ＝x －y ,则原方程组变为{a2+b3＝6,4a －5b ＝2,变形为{3a +2b ＝36,4a －5b ＝2,解得{a ＝8,b ＝6,所以{x +y ＝8,x －y ＝6,解得{x ＝7,y ＝1.请用这种方法解下面的方程组:{5(x +y )－3(x －y )＝16,3(x +y )－5(x －y )＝0.解:设m ＝x +y ,n ＝x －y , 则原方程组变为{5m －3n ＝16,3m －5n ＝0,解得{m ＝5,n ＝3,所以{x +y ＝5,x －y ＝3,解得{x ＝4,y ＝1.类型6利用两个方程组同解重新构建方程组求解11.已知关于x,y的方程组{2x+y＝0,ax+5y＝4与{x－y＝3,5x+by＝1有相同的解,则( D )A.a＝1,b＝2B.a＝－4,b＝－6C.a＝－6,b＝－2D.a＝14,b＝212.若关于x,y的二元一次方程组{x+y＝3,mx+ny＝8与方程组{x－y＝1,mx－ny＝4有相同的解.(1)求这个相同的解;(2)求m－n的值.解:(1)由题意得{x+y＝3,x－y＝1,解得{x＝2,y＝1.所以这个相同的解为{x＝2, y＝1.(2)因为关于x,y的二元一次方程组{x+y＝3,mx+ny＝8与方程组{x－y＝1,mx－ny＝4有相同的解{x＝2,y＝1,所以{2m+n＝8,2m－n＝4,解得{m＝3,n＝2,所以m－n＝3－2＝1.。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
初中七年级数学教案 二元一次方程组的解的讨论-国赛一等奖
二元一次方程组的解的讨论在本章中，我们学习了二元一次方程组的解法,所遇到的方程组都有且只有唯一的解.那么，是不是所有的二元一次方程组都有解并且解都是唯一的呢请看下面的例子.例1 解方程组：○1 ○2 解：②- ①×3，得，0 .x + 0 .y = 0,即0=0.这种情况是我们在本章解方程组时从未遇见过的.为什么会产生这样的结果呢观察原方程可以发现，若将方程○1的两边同乘3，则方程○1就变形为方程○2；同样，若将方程○2的两边同除以3，则方程○2就变形为方程○1。
这说明，方程○1的每一个解都是方程○2的解，方程○2的每一个解也是方程○1的解，即方程○1和方程○2是同解方程.这时，方程○1或者方程○2的解就是原方程组的解.所以，原方程组有无数多个解.想一想，例1的方程组中两个方程各项系数及常数项之间有何关系你能从中猜测出什么结论 通过观察可以发现,方程组中X 的系数、Y 的系数、常数项的比为43712921==. 实际上，当两个二元一次方程组中X 的系数、Y 的系数、常数项之比相等时，两个方程是同解方程，这时方程组有无数多个解.例2 解方程组：○1 ○2 解：①×2 - ②，得0 . x + 0 . y= 3,即 0=3.这种情况也是我们在解方程组时所没有遇见过的。
观察原方程组可以发现，方程○1的两边同乘2。
左边与方程○2的左边都是8X+6Y ，而他们的右边分别是14和11.这说明，适合原方程组的每一对数值X ，Y 必须同时满足437,8611.x y x y +=⎧⎨+=⎩437,12921.x y x y +=⎧⎨+=⎩8 x + 6y= 14,8 x + 6y= 11,这显然是不可能的，所以原方程组无解.想一想，例2方程组中两个方程各项系数及常数项之间有何关系你能从中猜测出什么结论通过观察可以发现,方程组中X 的系数、Y 的系数、常数项的比为4378611≠= 实际上，当两个二元一次方程组中X 的系数之比相等Y 的系数之比但不等于常数项之比时，两个方程没有公共解，这时方程组无解.我们再观察一下在本章中解过的所有二元一次方程组，不难发现，两个方程中X 的系数与Y 的系数不成比例.实际上，当二元一次方程组中X 的系数与Y 的系数不成比例时，方程组有唯一的解。
七年级数学下册 第7章 一次方程 培优专题 二元一次方程组的同解、错解、参数问题课件
第7章 一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)
培优专题
二元一次方程组的同解、错解、参数(cānshù)问题
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第7章 一次方程组
培优专题(zhuāntí) 二元一次方程组的同解、通错、参数问题
方法管理 归类探究
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代入①，得 y＝－5.把y＝－5代入bx－ay＝－6，得5a＋b＝－6，解得 a＝b ＝－1.则原式＝[4×(－1)－3×(－1)]2 018＝1.
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【变式跟进】
mx＋2ny＝4， x－y＝3，
1．[2017·杭州一模]若关于 x、y 的方程组x＋y＝1
与nx＋（m－1）y＝3
有相同的解．
x＝－3， 程①中的 a，得到方程组的解为y＝－10；乙看错了方程②中的 b，得到方程组 的解为xy＝＝54，. 试计算 a2 020＋(－b)2 019 的值．
第七页，共十七页。
x＝－3， 解：将y＝－10 代入方程组中的 4x－by＝－2， 得－12＋10b＝－2，解得 b＝1.
x＝5， 将y＝4 代入 ax＋5y＝15，得 5a＋20＝15， 解得 a＝－1.则 a2 020＋(－b)2 019＝1－1＝0.
第十五页，共十七页。
解：(答案不唯一) 我最欣赏乙同学的解题思路，解答如下： 32xx＋ ＋23yy＝ ＝76k.②－2，①，①＋②，得 5x＋5y＝7k＋4，∴x＋y＝7k5＋4. ∵x＋y＝2，∴7k＋ 5 4＝2，解得 k＝67. 评价：乙同学观察到了方程组中未知数 x、y 的系数，以及与 x＋y＝2 中的 系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出 x、y 的值就能解决问 题，思路比较灵活，计算量小．
初一数学二元一次方程组解题技巧
初一数学二元一次方程组解题技巧初一数学中主要涉及的关于二元一次方程组的解题技巧有以下几点：1.代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
例如，对于方程组-3x+2y=45x-3y=7可以先解第一个方程得到x=(2y-4)/3，然后将这个x的值代入第二个方程，从而得到y的值。
2.加减消元法：通过两个方程相加或相减，消除一个未知数，从而得到剩下的未知数的值。
例如，对于方程组2x+3y=83x-2y=11可以将两个方程相加，得到5x+y=19，然后解这个方程得到x=3，再将这个x的值代入一个方程，从而得到y的值。
3.系数比较法：通过观察两个方程的系数之间的关系，进行比较，从而得到未知数的值。
例如，对于方程组3x+4y=102x+3y=7可以观察到第一个方程的系数3和第二个方程的系数2之间存在关系，即3=2x+1、根据这个关系可以算出x的值，然后将x的值代入一个方程，从而得到y的值。
4.交叉消元法：通过两个方程相乘或相除，消除一个未知数，从而得到剩下的未知数的值。
例如，对于方程组3x+2y=82x-3y=7可以将两个方程相乘，得到6x^2-18y^2=56，然后解这个方程得到x^2=10，再将这个x的值代入一个方程，从而得到y的值。
5.图解法：将两个方程转化为直线的形式，在坐标系中画出两条直线，通过观察直线的交点来确定方程组的解。
例如，对于方程组x+y=52x-y=1可以将两个方程转化为直线的形式，即y=5-x和y=2x-1，然后在坐标系中画出这两条直线，通过观察交点(2,3)来确定方程组的解。
以上是初一数学中关于二元一次方程组解题的一些常见技巧。
在解题过程中，也可以根据具体情况灵活运用这些技巧，多加练习，提高解题的能力。
(完整版)二元一次方程(组)补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成⎩⎨⎧==y x 的形式。
5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
② 找：找出能够表示题意两个相等关系。
③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
数学七年级下册二元一次方程组的解法
数学七年级下册-二元一次方程组的解法在数学七年级下册的学习中，我们将学习到二元一次方程组的解法。
二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的，通常以x和y表示。
解二元一次方程组就是要找出同时满足这两个方程的x和y的值。
在本文中，我将深入探讨二元一次方程组的解法，为了更好地理解这个概念，我会从简单到复杂、由浅入深地介绍这个主题。
一、基本概念让我们回顾一下一元一次方程的解法。
一元一次方程通常写成ax+b=0的形式，我们可以通过一些简单的运算规则找到未知数的值。
同样地，二元一次方程组也有自己的解法。
二元一次方程组通常写成如下形式：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知的常数，而x和y则是我们需要求解的未知数。
二、解法方法在解二元一次方程组时，我们通常使用替换法、消元法或Cramer法。
其中，替换法是把一个方程的一元变量用另一个方程的一元变量表示，然后代入另一个方程中，从而得出一个一元一次方程。
消元法则是通过加减消元或乘除消元来消去一个方程中的一个变量，得到一个一元一次方程。
Cramer法则是通过矩阵求逆的方法来解方程组，需要一定的线性代数知识。
三、举例说明为了更好地理解以上方法，我将通过具体的例子来说明。
假设我们有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10我们可以使用替换法，将第一个方程改写为：y = (8 - 2x) / 3然后代入第二个方程中，得到：4x - 2 * ((8 - 2x) / 3) = 10通过整理化简，我们可以得到x的值，再代入第一个方程中求解y的值，从而得出方程组的解。
同样地，我们也可以使用消元法或Cramer 法来解这个方程组。
四、个人观点在学习二元一次方程组的解法时，我觉得这是一个对逻辑思维和数学运算能力有一定要求的知识点。
通过不断练习和探索，可以加深对数学的理解，培养解决问题的能力。
对于涉及到更多未知数的方程组，如三元或多元一次方程组，这些解法也是基础和奠定了学习高阶数学的基础，因此在学习中要注重理论联系实际，灵活运用所学知识。
初一数学复习题二元一次方程组的解法
初一数学复习题二元一次方程组的解法初一数学复习题：二元一次方程组的解法在初中数学中，我们学习了许多数学概念和解题方法。
本文将介绍二元一次方程组的解法，帮助同学们复习这一知识点。
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的。
一般形式为：```a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂```其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂和c₂为已知系数，x和y为未知数。
下面，我们将介绍两种常用的解方程组的方法：代入法和消元法。
一、代入法代入法的基本思想是用一个方程的解，代入到另一个方程中，从而得到只含一个未知数的方程，进而求解。
步骤如下：1. 选取一个方程，将其转化为只含一个未知数的方程。
例如，选取第一个方程a₁x + b₁y = c₁，将其转化为只含有x的方程x = (c₁ - b₁y) / a₁。
2. 将得到的方程代入另一个方程，得到只含有一个未知数的方程。
例如，将x = (c₁ - b₁y) / a₁代入第二个方程a₂x + b₂y = c₂，得到a₂((c₁ - b₁y) / a₁) + b₂y = c₂。
3. 解得含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
例如，解得y = (a₂c₁ - a₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)。
4. 将求得的未知数的值代入到之前选取的方程中，求得另一个未知数的值。
例如，将y = (a₂c₁ - a₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)代入第一个方程a₁x + b₁y = c₁，解得x = (c₁ - b₁((a₂c₁ - a₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁))) / a₁。
5. 检验求得的解是否满足原方程组。
将求得的x和y代入原方程组，验证两个方程是否成立。
二、消元法消元法的基本思想是通过变换原方程组，将两个方程中的一个未知数消去，转化为只含一个未知数的方程。
步骤如下：1. 通过变换两个方程，将其中一个未知数的系数相同或系数的比值为常数。
可以通过将其中一个方程乘以适当的系数，使得两个方程的x或y的系数相同或系数的比值为常数。
2013年秋七年级数学竞赛专家讲座 第10讲 二元一次方程组
第十讲：二元一次方程组一、相关知识点1、 二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。
2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。
4、 二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。
5、 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，． Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，． Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，． 2．有这样一道题目：判断31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =⎧⎨=⎩，是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ B ）A 、k=-4 B 、k=4 C 、k=-3 D 、k=3分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x 、y ，再代入y=kx-9求出k 值。
解⎩⎨⎧=+=-②y x ①y x 13273 得：⎩⎨⎧-==12y x将⎩⎨⎧-==12y x 代入y=kx-9，k=44．解方程组()()63101321002m n m n -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 方法一：（代入消元法） 解：由（2），得 ()10332m n -=把（3）代入（1），得 43m = 把43m =代入（3），得 3n =∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法二：（加减消元法）解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3把3n =代入（3），得43m =∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2327103m n n +-+=由（2）得：()32104m n +=把（4）代入（3），得3n = 把3n =代入（4），得43m =∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩方法三：（整体代入法）解：由（1）得：()()2321072103m n n +--+=由（2）代入（3），得3n =把3n =代入（2），得43m =∴433m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（ C ）A ．⎩⎨⎧==2.13.8y x B ．⎩⎨⎧==2.23.10y x C ．⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x6．4513453x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：设11,a b x y ==，则原方程组可化为()()451314532a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：21a b =⎧⎨=⎩∴121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 7．解方程组()():3:213532x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：（参数法）∵32x y =∴设3,2x k y k ==。
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（10）二元一次方程组解的讨论
【知识精读】
1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222
111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2
12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当2
12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当
2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=12212
11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）
【分类解析】
例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩
⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+31
35y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-02
31502331a a
解不等式组得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为63
11051<<a 时，原方程组的解是正数。
例3. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1
442y x my x 的解x 和y 都是整数？
解：把m 作为已知数，解方程组得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y 是整数，∴m －8取2的约数±1，±2。
取它们的公共部分，m －8＝±1，±2。
解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z 粒,依题意得
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++)2(1007143)1(100z y x z y x 由（1）得x= 100－y －z (3)
把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z －
7z 设k z =7
(k 为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k ∵x,y,z 都是正整数∴⎪⎩⎪⎨⎧>>+->-07020200027300k k k 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>><0.10.9100k k k （k 是整数）
∴10＜k<9
111, ∵k 是整数， ∴k=11 即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)。