关于瞬时转移速率qij的一个简化证明

（） ２记在（ ，） Ｏ ｈ 中过程发生两次或两次以上转移的概率为 ８ 。则第一次转移必在某一时刻
８ｓ ０ ｈ发生 ， ，Ｅ（，） 而在 （，） ｓｈ 中至 少发生一 次 以上 的转 移 。于是
ｐ Ｊ １ｅ‘’ｋ ｓ１ｅ ｑｅｉ 。） ＝ 一一 ］ｅ ｄ 一— ｉ－ ＝（ ［ 一 ｑ－ ＝ 一 ｈｑ ｈ
ｉ ｎ ａ ｉ ｏ ｕ ｄ ｒｔｎ ｆ ｅ ａ ｄ ｅ ｓ ｒｔ ｎ ｅｓａ ｄ． ｖ ｅ
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｔ ｔ ｙ ｒｓ ｏａ ｌ
ｔ ｒ ｌ ｉａ ｋ ｖ ｃ ａｎ Ｔ ａ ｓｔ ｎ ｒｔ ｙ ｆ ｍｕａ ｏ ｒｏ ｈ ｉ ｒｎ ｉ ｏ ａｅ ｉ
关于连续时间齐次马尔可夫链标准转移概率函数 Ｐ （） ￡有两个重要的极限：
ＬｉＸｉｏ ｏ ｇ ａ ｙｎ
（ｃｏｌ ｆ ｃ ｎｅ Ｈ ｎｎＩ ｔ ｔ ｏ Ｉｉ ｅＩ ， ｉ ｇ ｎ ４ １０ ） Ｓｈｏ ｏ ｉ ｃ， ｕａ ｓｔ ｅ ｆ ｌｒ ｒｌ Ｘａ ｔ ，１１４ Ｓｅ ｎ ｉ Ｅ ｇ ｌ ｉｇ ｎ ａ ｕ 。
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｓｎ ｅ ｅａｉ ｄｔｔｌ ｒ ｂ ｂｌ ｙｆｒ ｌ ， ｉ ｌ ｅ ｒｏ Ｏｌ ｈ ｗ ｍｐ ｒ ｎ ｌ ｔ ｏ ｔｅ ｃ ｎ ｎ ｏ ｓｈ ． ｓｒ ｃ ｙｕ ｉｇｇ ｎ ｒｌ ｅ ｏ ｏ ａ ｉｔ ｏ ｍｕａ ａ ｓ ｚ ａｐ ｉ ｍｐｉ ｄ ｐ ｏ ｆ ｉ ｔｅｔ ｏｉ ｏｔ ｔ ｉ ｓ ｆ ｈ ｏ ｔ ｕ ｕ ｏ ｉ ｆ ａ ｍｉ ｉ
为
１ （） ｌ （） 一 ｈ ＝ｑ ｈ＋ｏｈ
从 而
， ．
—
１ ｉｈ 一Ｐ （ ） ｉ
ｑ ｉ
（） ｉ ２从 出发经过时问 ｈ 到达状态 ｊ ≠ ） （ ｊ的概率为 ｑｌ； ｏｈ ， ｉ ｉ ｉ （）即 ｌ ＋ Ｐ
Ｐ （ ） ｑ ＋ｏｈ ＝ｈ ｉ （ ） ｈ ：ｈｉ （ ） ｑ ＋ｏ ｈ ｊ
第 ２ 卷第 ４ ８ 期 ２０ ０ ８年 ｌ ２月
数学理论与应用
Ｍ ＨＥ ＡＴ ＭＡ Ｉ ＡＬ 珏崛ＯＲ ＾ ＴＣ Ｙ Ｄ Ｐ Ｉ 咖 Ｐｊ ０Ｎ Ｓ
、０．８ Ｎｏ ４ ，１２ ．
Ｄ ｃ． ０ ８ ｅ ２０
关 于 瞬 时转移 速 率 ｇ 的一 个简 化证 明 ｉ 『
李小勇
（） １
Ｐ Ａ ＝Ｊ （ ＝ ） （ ） （ ） ＡＩ ｒ ｇ Ｙ Ｐ ． （） ２ ｑ ｑｏ ｉ 称为连续时间齐次马尔可夫链 瞬时转移速率 ， Ｐ 其中 ｑ为过程从状态 ｉ ；
转移到状态 ｊ 的速率 ，ｉ Ｐ为转移概率。 ；
定理 １ 对于连续时间齐次马尔可夫链 ， 其标 准转移概率 （）过程 的各次转移时间组 ｔ， 成强度为 ｑ 的指数流 ， 对于充分小的时间 ｈ有 ，
定理 ２ 对于 标准转 移概率 函数 Ｐ（）有 ｔ，
（） １ ；
（） ２
＇≠ｊ ｉ 。
证明 （） １ 由定理 １在（ ，） ， Ｏ ｈ 中过程发生一次转移的概率为 ｑ ＋ （）在（ ，） ｉ ｏｈ ， ０ｈ 中过程发 ｈ 生两次或两次以上转移的概率是 ｏｈ ， （ ）所以经过时间 ｈ过程从状态 ｉ ， 转移到其它状态的概率
ａ
Ｊ ｔ （ｈ 发 一 转 第 次 移 时 生｝ｅｉ 。 ￣ ０ ） 生 次 移ｌ一 转 在ｓ 发 ｑ－ｄ Ｐ ，中 ｉｑｓ ｓ
＝ ＝
Ｊ —ｈｑ－ｄ ｑｅｉ ｑ－ ｉｑｓ ｉ— ｅｉｓ￣ｉ ＝ ｈｑ （） ｓ
ｄ ｉ —ｉ＝ｑｈ （ ） ＝ｑ ｅ ｑ ｈ ｉ ＋ｏ ｈ
由 ｅ ＝１ ｌ （ ） 一ｉ 一ｑ ｈ＋ｏｈ 得
夏学文 教授推荐 收稿 日 ： Ｏ 年 ５ １ 期 ２ ８ Ｏ 月 ７日
２ ２
ห้องสมุดไป่ตู้
数学理论与应用
（） ０ ｈ 中过程发生一次转移的概率为 ｑ ＋ （ ） １在（ ，） ｉ ｏｈ ； ｈ （） ０ ｈ中过程发生两次或两次以上转移的概率是 ｏｈ 。 ２在（ ，） （）
证明 （） １记在 （，） ０ ｈ 中过程发生一次转移的概率为 ａ 由于第一次转移必在某一时刻 ｓｓ ， ， ∈（，） ０ｈ发生 ， 而在 （，） ｓｈ 中没 有转移 ， 即下一 次转 移 的时间在 ｈ 后 。根据 引理 １ —Ｓ ，
ｍ ｇｎｏ８ ｒ ｖｃａ ｏｍ ｌｒｎｉｏ ｆｎｔ ｎ ＃ ｆ ， ａ， ， ｉ ｎ ， ｅｐ ｓｎ ｄｉｔ ｓ ａｅ．ｈ ｒ ｆｓｎ ｉ ｏｅｅｔ ｋ ｉ ｒ ａｔ ｓ ｎ ｕｃｏ ｐ－ ）ｔ ｔｉ ｑ ａｄ ａ ｒ ｅｔ ｎｈ ｐｒＴ ｅｐ ｏ ｉｉｕ． １Ｍａ ｏ ｈ ｎｎ ａ ｔ ｉ ｉ （ ｈ ｓ Ｉ ｅ ｅ ｉｐ ｏ ｔ
（ 南工程 学院理 学院 ， 湖 湘潭 ，１１４ ４ １０ ）
摘 要 本 文利用推广的全概率公式对连续 时间齐次马尔可夫链 的标 准转移概率 函数 （） ｔ的两个重要 极 限
ｑ 和 给 出了一 个简化证 明， 直观且便于理解 。
关键词 全概 率公式 马 尔可夫链 转移速 率
Ａ ｉ Ｓ ｍｐｌ ｏ ｆｏ ｎ ｔ ｎｔ ｎ ｏ ｓＴｒ ｎ ｉｉｎ Ｒａ ｅ ｅ Ｐｒ ｏ ｎ Ｉ ｓａ ａ ｅ ｕ ａ ｓｔｏ ｔｓ ｑ
．
１ ｔ 一Ｐ （ ） ． ． （） ｔ — 『一 ｑ， ｌ ＿ ｉ ｉ ｒ ａ＿了＿
． ． ，≠ ‘
它们在一般的随机过程教材ｎ３中都可以找到 ， Ｉ 但是其证明或严谨而复杂， 或简约却关键之处
未予证 明 ， 使初 学者 一 时难 以掌握 ， 本文 将给 出这两个 极 限的便 于理解 的完整 证 明。
引理 １ 推广的全概率公式 ） 设 ， Ⅱ（ 为随机变量 ， 其期望存在 ， 且 有密度函数 ｇ Ｙ ， （）
则
［ ＝Ｅ Ｅ ｌ ） ＝ 』 ［ ＝Ｙ ｇ Ｙ ｄ ］ ［ （ ］ Ｉ ］ （ ）ｙ 特别地 ， 令 ＝厶， Ａ为任一随机事件 ， 则上式变成
定义 １