天津理工大学《离散数学》教学教案(第一章)
(完整word版)《离散数学》教案详解
《离散数学》教案第一章集合与关系集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。
集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。
G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。
1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。
1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。
1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。
然而，朴素集合论中包含着悖论。
第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。
1901年罗素发现了有名的罗素悖论。
1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。
集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。
另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。
哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。
现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。
一、学习目的与要求本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。
通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运算方法，为学习后续章节打下良好基础。
二、知识点1．集合的基本概念与表示方法；2．集合的运算；3．序偶与笛卡尔积；4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；5．关系的性质，符合关系、逆关系；6．关系的闭包运算；7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；8．序关系、偏序集、哈斯图。
三、要求1．识记集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、对称关系、传递关系的识别，复合关系、逆关系的识别。
2．领会领会下列概念：两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证明。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义与意义离散数学的定义离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的基本概念集合逻辑函数图论1.3 离散数学的研究方法形式化方法归纳法构造法第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念与运算集合的定义与表示方法集合的运算（并、交、差、补）2.2 逻辑基本概念命题与联结词逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）2.3 命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑的形式化表示与推理谓词逻辑的形式化表示与推理第三章：函数与图论3.1 函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性3.2 图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）3.3 树的基本概念与应用树与图的关系树的结构性质与应用（二叉树、堆、平衡树）第四章：组合数学4.1 组合数学的基本概念排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）4.2 组合数学的计算方法直接法、间接法、递推法、函数法4.3 组合数学在计算机科学中的应用算法设计与分析（动态规划、贪心算法）程序语言中的组合类型（类型系统、类型检查）第五章：数理逻辑与计算复杂性5.1 数理逻辑的基本概念命题逻辑的数学模型（布尔代数、逻辑函数）谓词逻辑的数学模型（一阶逻辑、描述逻辑）5.2 计算复杂性的基本概念与分类计算复杂性的定义与度量（时间复杂性、空间复杂性）计算复杂性的分类（P与NP问题、整数分解问题）5.3 离散数学在算法设计与分析中的应用算法设计与分析的基本原则离散数学在算法优化与分析中的作用第六章：关系与映射6.1 关系的基本概念关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）6.2 关系的闭包与简化关系的闭包概念关系的简化与规范化6.3 函数与二元关系函数与关系的联系与区别二元组与二元关系的应用第七章：代数结构7.1 代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用7.2 群与群作用群的定义与运算群作用与群同态7.3 环与域环的定义与性质域的特殊性质与应用第八章：数理逻辑与计算理论8.1 数理逻辑的进一步应用命题逻辑与谓词逻辑的推理规则数理逻辑在计算机科学中的应用8.2 计算理论的基本概念计算模型的定义与分类计算复杂性的理论基础8.3 离散数学在计算理论中的应用计算理论中的逻辑与证明离散数学在算法设计与分析中的作用第九章：组合设计与计数原理9.1 组合设计的基本概念组合设计的定义与类型组合设计在编码理论中的应用9.2 计数原理的基本概念鸽巢原理、包含-排除原理函数的方法与应用9.3 图论与网络流图的遍历与路径问题网络流与最优化问题第十章：离散数学的综合应用10.1 离散数学在计算机科学中的应用算法设计与分析数据结构与程序语言设计10.2 离散数学在数学与应用数学中的作用组合数学在概率论与数论中的应用图论在网络科学与社会网络分析中的应用10.3 离散数学在未来科技发展中的展望量子计算与离散数学与逻辑推理重点和难点解析重点环节一：集合的基本概念与运算集合的表示方法（列举法、描述法）集合的运算（并、交、差、补）重点环节二：逻辑基本概念与推理命题与联结词（且、或、非）逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）重点环节三：函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性重点环节四：图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）重点环节五：组合数学的基本概念与计数原理排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）重点环节六：关系与映射关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）重点环节七：代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用重点环节八：数理逻辑与计算理论数理逻辑的推理规则计算理论的基本概念（计算模型、计算复杂性）重点环节九：组合设计与计数原理组合设计的定义与类型计数原理的应用（鸽巢原理、包含-排除原理）重点环节十：离散数学的综合应用离散数学在计算机科学中的应用（算法设计与分析、数据结构与程序语言设计）离散数学在数学与应用数学中的作用（组合数学在概率论与数论中的应用、图论在网络科学与社会网络分析中的应用）全文总结和概括：本《离散数学教案》课件涵盖了离散数学的基本概念、逻辑推理、函数与图论、组合数学、数理逻辑与计算理论、组合设计与计数原理等多个重要环节。
离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
离散数学教案
p 1
q 1
p →q 1
1
0 0
0
1 0
0
1 1
说 明
p→q的逻辑关系表示q是p的必要条件。 q是p的必要条件有许多不同的叙述方式
– 只要p，就q – 因为p，所以q – p仅当q – 只有q才p – 除非q才p – 除非q，否则非p
真值为假的命题称为假命题。
命题又称为具有唯一真值的陈述句。
说 明
注意:
感叹句、祈使句、疑问句都不是命题
陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例1.1 判断下列句子是否为命题。
(1)2是素数。 (2)雪是黑色的。 (3)2+3=5 。 (4)明年10月1日是晴天。 (5)3能被2整除。 (6)这朵花多好看啊！ (7)明天下午有会吗？ (8)请关上门！ (9)x+y＞5。 (10) 地球外的星球上也有人 (11) 我正在说谎话.
p 例如：p： 3是偶数。 1 0
┐p 0 1
┐p： 3不是偶数。
8
定义1.2（合取联结词） 设p ,q为二命题，复合命题“p并且q”( 或“p与q”)称为p与q的合取式，记作 p∧q，∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p与q同时为真。
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p∧ q 1 0 0 0
第1章 命题逻辑
数理逻辑：是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律 的数学学科。 数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于 数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重 大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动 作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。 本书介绍了数理逻辑的两个最基本、也是最重要的部分：命 题逻辑和谓词逻辑。本章首先介绍命题逻辑。 命题逻辑是研究命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的 命题以及逻辑推理的方法。
天津理工大学《离散数学》教学教案(第一章)
1.1.2 命题分类
根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。 定义 1.1.2 不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原子命题(Simple Proposition )。 由两个或两个以上原子命题组合而成的命题称为复合命题(Compound Proposition )。 例如， 例 1.1.1 中的命题全部为原子命题， 而命题 “小王和小李都去公园。 ” 是复合命题， 是由“小王去公园。 ”与“小李去公园。 ”两个原子命题组成的。
表 1-3 联结词“ ”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
PQ 0 1 1 1
显然 P P 的真值永远为真，称为永真式。 析取联结词“ ”与汉语中的“或”二者表达的意义不完全相同，汉语中的“或”可 表达“排斥或” ，也可以表达“可兼或” ，而从析取联结词的定义可看出， “ ”允许 P、Q 同时为真，因而析取联结词“ ”是可兼或。对于“排斥或”将在 1.6 中论述。 例 1.2.3 （1）小王爱打球或跑步。 （2）他身高 1.8m 或 1.85m。 （1）为可兼或， （2）为排斥或。 设 P：小王爱打球。Q：小王爱跑步。则（1）可表示为 P Q 设 P：他身高 1.8 米。Q：他身高 1.85 米。则（2）可表示为（P Q） （ P Q） 1.2.4 条件联结词 定义 1.2.4 设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 的条件(Conditional)命题是一个复合命题，记 为 P Q（读作若 P 则 Q） ，其中 P 称为条件的前件，Q 称为条件的后件。规定当且仅当前 件 P 为 T， 后件 Q 为 F 时，P Q 为 F，否则 P Q 均为 T。 条件联结词“ ”的定义见表 1-4。
1.1.3 命题标识符
离散数学 教案 第1章 命题逻辑(1)
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Discrete Mathematics
总 结
使用联结词∧应注意： 其一是∧的灵活性。日常语言中的“既…， 又…”、“不但…，而且…”、“虽然…，但
是…”、“一面…，一面….”等都应符号化为∧。
其二，∧连接的是两个句子，不是词，不要见到
“与”或“和”就使用联结词∧。
把这种由真推出假、由假推出真的陈述句称为悖论。
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趣味题
理发师的头由谁来理?
在一个小镇上有一名理发师，一天，他贴出 一张告示：“我专门为不为自己理发的人理 发”。 请问: 这位理发师的头由谁来理?
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Discrete Mathematics 3）. 析取词∨ 定义：设P和Q为两命题。复合命题“P或Q”称作P
与Q的析取式，记作P∨Q ， , 读做“P或者Q”。
∨为析取联结词。 P∨Q为真当且仅当P和Q中至少
一个为真。
P∨Q的逻辑关系是P与Q中至少有一个成立，因而， 只有P与Q同时为假时， P∨Q 才为假，其他情况 下， P∨Q 均为真。
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例 2 判断下列句) x=3
(d) x+y＞4
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例 3 一个人说：“我正在说谎”。 通过分析可知，该陈述句没有惟一确定的真值，所 以它不是命题。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学教案
《离散数学》教学教案第一部分课程总论一、课程简介课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics离散数学：离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学的核心课程。
以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象是有限个或无限个元素。
离散数学与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明等课程紧密相关。
是一门重要的基础课程。
教学内容：数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论和在计算机中的应用共五部分。
其中第五部分不做考试要求，不占计划内学时，可在第三学期安排讲座课讲授。
教学要求：通过该课程的学习，培养和锻炼抽象思维和缜密概括的能力，为专业基础课和专业课的学习打下坚实的理论基础。
授课总学时：3学时/周 18周=54学时二、适用对象本课程教学教案主要针对计算机科学与技术本科专业三、学习要领概念（正确）：必须掌握好离散数学中大量的概念判断（准确）：根据概念对事物的属性进行判断推理（可靠）：根据多个判断推出一个新的判断四、离散数学与计算机的关系第一部分数理逻辑计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物第二部分集合论集合：一种重要的数据结构关系：关系数据库的理论基础函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分第三部分代数系统计算机编码和纠错码理论数字逻辑设计基础计算机使用的各种运算第四部分图论数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础五、教材及主要参考书教材：离散数学（第四版）耿素云曲婉玲张立昂参考书：[1] 王元元、张桂芸，离散数学导论，科学出版社，2002[2] 左孝凌、李为鑑、刘永才，离散数学，上海科学技术出版社，1982年9月第1版。
[3] 王元元、张桂芸，计算机科学中的离散结构，机械工业出版社，2004[4] Bernard Kolman , Robert C. Busby, Sharon Ross, Discrete Mathematical Structures (Fourth Edition), 高等教育出版社，2001[5] 孙吉贵杨凤杰欧阳丹彤李占山，离散数学，高等教育出版社，2002[6] 马振华，离散数学导引，清华大学出版社，1993[7] 王树禾，离散数学引论，中国科技大学出版社，2001[8] Andrew Simpon 著冯速译离散数学导学机械工业出版社2005第二部分课程内容与要求《离散数学》为计算机科学与技术专业的一门重要基础理论课。
离散数学教案
离散数学教案主要是针对离散数学课程的教学内容和教学方法进行设计和安排。
以下是一个简单的离散数学教案示例：一、教学目标1. 理解离散数学的基本概念和基本原理，如集合、图论、数理逻辑等。
2. 掌握离散数学的基本运算和方法，如集合运算、图论分析、逻辑推理等。
3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 集合的基本概念和运算- 集合的定义和性质- 集合的运算：并、交、差、对称差等- 集合的运算规律和定理2. 图论的基本概念和分析方法- 图的定义和性质- 图的表示方法- 图的连通性、路径和距离等概念- 图的染色问题、最短路径算法等分析方法3. 数理逻辑的基本概念和推理方法- 命题和命题联结词- 推理和证明的基本方法- 谓词和量化词- 命题逻辑和谓词逻辑的基本定理和推论三、教学方法1. 讲授式教学：教师通过讲解、示范和示例等方式，向学生传授离散数学的基本概念和原理。
2. 案例教学：通过引入实际问题，引导学生运用离散数学的知识和方法进行分析和解决。
3. 练习和讨论：布置适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，并组织课堂讨论，促进学生之间的交流和合作。
四、教学评价1. 课堂参与度：通过观察学生在课堂上的参与程度，了解他们对离散数学的兴趣和学习的积极性。
2. 练习题完成情况：通过批改学生的练习题，评估他们对离散数学知识的掌握程度。
3. 期末考试：组织期末考试，测试学生对离散数学知识的综合运用能力和解决问题的能力。
以上是一个简单的离散数学教案示例，具体的教学内容和教学方法可以根据实际情况进行调整和改进。
离散数学教案
11.1 命题及其符号化[教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义[教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。
2：通过示例理解命题的概念。
3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。
4：学会命题符号化的方法。
[教学准备][教学方法]讲述法[课时安排]二课时。
[教学过程]讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。
数理逻辑则是用数学方法研究推理；首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。
后者式命题符号化的问题。
板书：第一章命题基本概念1.1 命题及其符号化讲述：首先讨论命题。
板书：一命题A) 概念：在二值逻辑中，命题是或真或假，而不会同时又真又假的陈述句。
判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1)地球是圆的；真的陈述句，是命题(2)2+3=5；真的陈述句，是命题(3)你知道命题逻辑吗？非陈述句，故非命题(4)3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5)请安静！非陈述句，故非命题(6)火星表面的温度是800 C；现时不知真假的陈述句，但只能要么真要么假，故是命题(7)明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真假，但的确是要么真要么假，故是命题2(8) 我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。
讲述：类似一般的事物，也有不同的命题，分成不同的类型。
板书：B) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项，命题常项用1(T)，0(F)表示；b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述：简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。
所以还需要考虑联结词的问题。
板书：二逻辑联结词讲述：首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1)否定式和否定联结词：命题p⌝p；符号⌝即为否定联结词。
离散数学教案
第3章集合与关系学习目标：1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念；2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律；3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；4．掌握关系的矩阵表示和关系图；5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法；6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别；7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。
主要内容：1．集合的基本概念及其运算2．序偶与笛卡尔积3．关系及其表示4．关系的性质及其判定方法5．复合关系和逆关系6．关系的闭包运算7．等价关系与相容关系8．偏序关系重点：1．关系的性质及其判别；2．关系的复合运算及其性质；3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。
难点：1．关系的传递性及其判别；2．等价关系的特性；3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。
教学手段：通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。
习题：习题3.1：4，6；习题3.2：3（8），4（12），6（m）；习题3.4：1 （2）、(4)，3；习题3.5：1，4；习题3.6：2，5，6；习题3.7：2，5，6；习题3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。
3.1 集合的基本概念集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。
所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。
离散数学教案范本
《离散数学》教案课目：第一章命题逻辑教师：熊建英学时： 12课时Ⅰ教学提要一、教学对象（人数）学生：信息安全专业本科二年级学生50人二、教学目标（任务）各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握)三、教学要求（一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。
（二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。
四、教官分工主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。
五、本章重点1、利用联接词构造复合命题公式2、真值表的构建3、等值演算4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法5、推理证明六、本章难点1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式七、教学方法采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。
八、课时分配1.1 命题及联接词2课时；1.2 命题公式及其赋值2课时；1.3 等值式2课时；1.4 析取范式与合取范式2课时；1.5 推理理论与消解法2课时；1.6 命题逻辑应用案例2课时；九、场地器材多媒体教室十、参考书目1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。
2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。
3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。
Ⅱ教学进程1.1 命题及联接词（2课时）一、教学内容1、命题的概念表示与分类2、五种基本的联接词的逻辑关系3、复合命题的符号化4、复合命题的真值判断二、课程时间安排1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟）2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟）3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）4、联结词与复合命题（35分钟）5、本次课小结（10分钟）三、教学实施（一）创设意境、导入课程（10分钟）目的体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。
离散数学教案1
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§1.1 命题，命题联结词
(d)P: 王大和王二是亲兄弟。
该语句不是合取联结词组成的命题。
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§1.1 命题，命题联结词
３．析取词（或运算） （１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则（Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与 Ｑ的“析取”，读作：“Ｐ或Ｑ”。
（２）定义（由真值表给出）：
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§1.1 命题，命题联结词
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§1.1命题，命题联结词
６．命题联结词在使用中的优先级 （１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ ∨ → ↔ （由高到低） （３）联结词按从左到右的次序进行运算 （４）最外层的括号一律均可省去 （Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可写成Ｐ→Ｑ∨Ｒ
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§1.1命题，命题联结词
例 ¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号 因为“Ｖ”运算是可结合的。 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因“→” 不满足结合律。
6
课程内容
第三部分 代数系统 包括代数结构;格与布尔代数 第四部分 图论 讲课时数：62学时
7
学习方法
本课程有二个特点： （１）定义、定理多。 本课内容＝定义＋定理＋例题 （２）课外作业较多。
8
学习方法
为了学好这门课，特提出三点要求： （１）弄懂定义、定理，弄懂例题，加 深对定义、定理的理解； （２）在复习基础上，做好课外作业。 同学之间可以讨论，但要弄懂弄通。 （3）做好课堂笔记.
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§1.1 命题，命题联结词
７．命题联结词小结： （1）五个联结词的含义与日常生活中的联结词 的含义大致相同。 （2）或”可分为可兼或（∨）和异或（ ▽ ） （不可兼或） （3） “¬ ‖为一元运算，其余四个均为二元运算。
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§1.1 命题，命题联结词
离散数学教案
离散数学教案教案：离散数学概论教学目标：1.使学生了解离散数学的基本概念和方法。
2.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
3.帮助学生将离散数学的知识应用到实际问题中。
教学内容：1.真值逻辑与命题逻辑2.集合论与其运算3.二元关系与其属性4.递归与归纳5.图论与树论基础6.组合数学与概率论教学重难点：1.对学生来说，最难的可能是理解集合论和命题逻辑的基本概念和运算规则。
2.理解递归和归纳的思想和方法。
3.运用图论和树论的基础概念解决实际问题。
教学过程：第一课时：真值逻辑与命题逻辑（60分钟）1.真值表与命题的逻辑运算（10分钟）-介绍命题逻辑的基本概念和真值表的作用。
-教授真值表的构建方法和命题的逻辑运算规则。
2.命题逻辑的推理法则（20分钟）-介绍命题逻辑的推理法则，如合取范式、析取范式、蕴含式等。
-给出一些例子，帮助学生理解和应用这些推理法则。
3.应用实例：判断命题的真假（30分钟）-提供一些具体的例子，让学生通过构建真值表来判断命题的真假。
-引导学生思考如何通过命题逻辑的推理法则来判断复杂命题的真假。
第二课时：集合论与其运算（60分钟）1.集合的基本概念（10分钟）-介绍集合的定义和表示方法。
-引导学生通过例子理解集合的基本概念。
2.集合的运算（20分钟）-教授集合的运算，包括交集、并集、差集和补集。
-给出一些具体的例子，让学生通过集合运算来解决问题。
3.应用实例：集合的应用问题（30分钟）-提供一些实际问题，让学生通过集合的运算来解决。
-引导学生思考如何应用集合论解决实际问题。
第三课时：二元关系与其属性（60分钟）1.二元关系的定义（10分钟）-介绍二元关系的基本概念和定义。
-引导学生通过例子了解二元关系的特点。
2.二元关系的性质（20分钟）-教授二元关系的自反性、对称性和传递性等基本性质。
-给出一些具体的例子，让学生判断二元关系的性质。
3.应用实例：二元关系的应用问题（30分钟）-提供一些实际问题，让学生通过二元关系解决。
离散数学教案
离散数学教案一、教案引言离散数学作为计算机科学及相关领域的基础学科，对培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力具有重要作用。
本教案旨在介绍离散数学课程的重点内容和教学方法，以帮助教师在教学中实现教学目标，提高学生的学习成效。
二、教学目标1. 了解离散数学的基本概念和方法，包括集合论、逻辑推理、图论等内容；2. 掌握离散数学的基本技能，包括集合的运算、证明方法、图的遍历等；3. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力，培养学生的数学建模能力；4. 提高学生的团队合作和沟通能力，培养学生的创新意识。
三、教学内容1. 集合论1.1 集合与元素1.2 集合的运算1.3 集合的关系1.4 集合的应用2. 逻辑与证明2.1 命题与命题联结词2.2 命题的真值与命题的合取、析取、蕴含、等价关系2.3 命题逻辑的推理定律2.4 命题与谓词的等价关系2.5 谓词逻辑的推理定律3. 图论3.1 图的概念与性质3.2 图的表示方法3.3 图的遍历算法3.4 图的连通性与最小生成树3.5 图的应用四、教学方法1. 概念讲解与例题演练相结合：通过简洁清晰的讲解，引导学生理解离散数学的基本概念和方法，并通过大量的例题演练巩固学生的知识掌握能力。
2. 问题引导与探究学习：引导学生通过解决实际问题来理解和应用离散数学的原理和方法，培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
3. 团队合作与讨论学习：组织学生进行小组活动，鼓励学生在团队合作中分享思路、互相讨论、共同解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力。
4. 案例分析与实践应用：选取具体的案例，让学生将离散数学的知识应用于实际问题中，提升学生的学习兴趣和创新意识。
五、教学评估与反馈1. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对离散数学知识的掌握情况，及时发现和纠正学生的错误和不足。
2. 作业评定：通过布置作业并进行评定，评估学生对离散数学知识和方法的应用能力和问题解决能力。
3. 课后讨论与反馈：鼓励学生课后进行小组讨论，并提供及时的反馈和指导，加深学生对重点内容的理解和掌握程度。
《离散数学》课程教学大纲.doc
《离散数学》教学大纲一、课程的性质和任务课程性质：离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是与信息网络及多媒体技术专业的一门必修课。
主要任务：使学生掌握离散数学的基本理论、基本知识；培养学生的抽象思维和慎密概括的能力。
二、课时分配序号课题教学时数小计讲课习题课及单元测验—-命题逻辑2102谓词逻辑12102三集合862四关系12102五图论20182六机动4总计685410三、课程教学内容第一章命题逻辑理解命题与命题公式概念；掌握命题联结词概念及真值表；会求命题公式真值表；掌握等价重言式和蕴含重言式；理解对偶与对偶原理；掌握命题演算的揄规则和证明方法；会求命题公式的标准形式。
重点：命题与命题公式概念；命题联结词；重言式；对偶；命题演算的推理规则和证明方法；命题公式的标准形式。
难点：重言式；命题演算的推理规则和证明方法；命题公式的标准形式。
第二章谓词逻辑掌握个体、谓词与命题函数概念；掌握量词概念；理解谓词公式概念，能进行自然语言与符号语言间的翻译；掌握谓词演算的推理理论和推理方法。
重点：个体、谓词与命题函数；量词；谓词公式与翻译；谓词演算。
难点：谓词演算。
第三章集合掌握集合基本概念；掌握集合的运算与运算定律；掌握集合对称美；理解集合的划分与覆盖；理解容斥原理，会利用容斥原理解决实际问题。
重点：集合基本概念；集合的运算与运算定律；对称差；容斥原理的应用。
特点：幕集；对称差；集合的划分与覆盖；容斥原理的应用。
第四章关系掌握序偶与笛卡尔积概念；掌握关系，关系矩阵和关系图；掌握关系的；掌握关系的性质；掌握关系的闭包运算；理解等价关系与等价类；理解偏序概念，会作哈斯图。
重点：序偶与笛卡尔积；关系；关系的运算；关系的性质；关系的闭包运算; 等价关系，偏序及哈斯图。
难点：关系概念；关系的运算、性质、闭包运算；偏序及哈斯图。
第五章图论理解图的基本概念；理解路与圈和连通性；了解图的矩阵表示；理解有向图与可达性矩阵；了解欧拉图与哈密尔顿图；掌握树的概念；掌握根树及其应用；了解平面图概念，掌握欧拉公式。
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3．熟练掌握命题公式的翻译、命题公式的类型的判别及命题定律； 4．熟练掌握命题公式的（主）析取范式、 （主）合取范式的求法； 5．熟练掌握证明两个命题公式等价的真值表法、等值演算法和主范式方法； 6．熟练掌握推理证明的直接证法和间接证法。 主要内容： 1．命题及其表示 2 ．逻辑联结词（否定 , 合取, 析取, 条件 , 双条件 , 异或, 与非 ,
表 1-2 联结词“ ”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
PQ 0 0 0 1
显然 P P 的真值永远是假，称为矛盾式。 在自然语言中，常用“既…又…” 、 “不但…而且…” 、 “虽然…但是…” 、 “一边…一边…” 等表示合取。 例 1.2.2 （1）今天下雨又刮风。 设 P：今天下雨。Q：今天刮风。则（1）可表示为 P Q （2）猫吃鱼且太阳从西方升起。
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天津理工大学本科《离散数学》教学教案
1.1 命题及其表示
1.1.1 命题的基本概念
数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和 结论都是表达判断的陈述句， 因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。 在数理逻辑中， 将能够判断真假的陈述句称为命题。因此命题就成为推理的基本单位。 定义 1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition） 。命题的判断结果称为命题的 真值，常用 T(True)（或 1）表示真，F(False)（或 0）表示假。真值为真的命题称为真命题， 真值为假的命题称为假命题。 从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二 是能否判定真假，二者缺一不可。 例 1.1.1 判断下列句子是否为命题 （1） 北京是中国的首都。 （2） 请勿吸烟！ （3） 雪是黑的。 （4） 明天开会吗？ （5） x+y=5。 （6） 我正在说谎。 （7） 9+5≤12。 （8） 1+101=110。 （9） 今天天气多好啊！ （10） 别的星球上有生物。 解 在上述的十个句子中， （2） 、 （9）为祈使句， （4）为疑问句， （5） 、 （6）虽然是陈述 句，但（5）没有确定的真值，其真假随 x、y 取值的不同而有改变， （6）是悖论(Paradox) （即由真能推出假，由假也能推出真） ，因而（2） 、 （4） 、 （5） 、 （6） 、 （9）均不是命题。 （1） 、 （3） 、 （7） 、 （8） 、 （10）都是命题，其中（10）虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步 是可以判定真假的。 需要进一步指出的是， 命题的真假只要求它有就可以， 而不要求立即给出。 如例 1.1.1 的 （8）1+101=110，它的真假意义通常和上下文有关，当作为二进制的加法时，它是真命题， 否则为假命题。还有的命题的真假不能马上给出，如例 1.1.1 的（10） ，但它确实有真假意 义。
表 1-3 联结词“ ”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
PQ 0 1 1 1
显然 P P 的真值永远为真，称为永真式。 析取联结词“ ”与汉语中的“或”二者表达的意义不完全相同，汉语中的“或”可 表达“排斥或” ，也可以表达“可兼或” ，而从析取联结词的定义可看出， “ ”允许 P、Q 同时为真，因而析取联结词“ ”是可兼或。对于“排斥或”将在 1.6 中论述。 例 1.2.3 （1）小王爱打球或跑步。 （2）他身高 1.8m 或 1.85m。 （1）为可兼或， （2）为排斥或。 设 P：小王爱打球。Q：小王爱跑步。则（1）可表示为 P Q 设 P：他身高 1.8 米。Q：他身高 1.85 米。则（2）可表示为（P Q） （ P Q） 1.2.4 条件联结词 定义 1.2.4 设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 的条件(Conditional)命题是一个复合命题，记 为 P Q（读作若 P 则 Q） ，其中 P 称为条件的前件，Q 称为条件的后件。规定当且仅当前 件 P 为 T， 后件 Q 为 F 时，P Q 为 F，否则 P Q 均为 T。 条件联结词“ ”的定义见表 1-4。
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（2）设 R：天气好。S：我去公园。则（2）可表示为 S R 1.2.5 双条件联结词 定义 1.2.5 设 P、Q 为两个命题，其复合命题 P Q 称为双条件(Biconditional)命题， P Q 读作 P 当且仅当 Q。规定当且仅当 P 与 Q 真值相同时，P Q 为 T，否则 P Q 均为 F。 双条件联结词“ ”的定义如表 1-5 所示。 表 1-5 P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ 1 0 0 1
c 或非 , 条件否定 ）
3．命题公式与翻译 4．真值表与等价公式 5．命题公式的分类与蕴含式 6．最小功能完备联结词组 7．命题公式的范式 8．推理理论 重点： ； 1．五种逻辑联结词（否定 , 合取, 析取, 条件 , 双条件 ） 2．命题公式的主析取范式、主合取范式； 3．推理证明的直接证法和间接证法。 难点： 1．命题公式的主析取范式、主合取范式的求法； 2．推理证明的间接证法。 教学手段： 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容， 并通过大量的练习使 同学们巩固和掌握命题公式翻译的技巧、证明两个命题公式等价的方法、命题公 式的主析取范式、主合取范式的求法及推理证明的直接证法和间接证法。 习题： 习题 1.1：2；习题 1.2：2；习题 1.3：2；习题 1.4：1 （2） 、 （4） ，2 （2） 、 （4） ， 4；习题 1.5：1，2（2） 、 （4） ，3，6，8；习题 1.6：2，4；习题 1.7：2，4，6 （1） ， 8；习题 1.8：1，2，4，6。
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第1章 命题逻辑
学习目标： 1．理解命题、命题的真值、简单命题、复合命题、命题公式、真值表、等 价公式、重言式、矛盾式、蕴涵式、 （主）析取范式、 （主）合取范式等概念； 2 ．深刻理解九种联结词（否定 , 合取, 析取, 条件 , 双条件 , 异或,
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在自然语言中 ，常用“非” 、 “不” 、 “没有” 、 “无” 、 “并非”等来表示否定。 例 1.2.1 P：上海是中国的城市。 P ：上海不是中国的城市。 P 是真命题， P 是假命题。 Q：所有的海洋动物都是哺乳动物。 Q ：不是所有的海洋动物都是哺乳动物。Q 为假 命题， Q 为真命题。 1.2.2 合取联结词 定义 1.2.2 设 P、Q 为两个命题，P 和 Q 的合取(Conjunction)是一个复合命题，记为 P Q（读作 P 与 Q） ，称为 P 与 Q 的合取式。规定 P 与 Q 同时为 T 时，P Q 为 T，其余 情况下，P Q 均为 F。 联结词“ ”的定义见表 1-2。
表 1-4 联结词“ ”的定义
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
PQ 1 1 0 1
在自然语言中， 常会出现的语句如 “只要 P 就 Q” 、 “因为 P 所以 Q” 、 “ P 仅当 Q” 、 “只 有 Q 才 P” 、 “除非 Q 才 P”等都可以表示为“P Q”的形式。 例 1.2.4（1）如果雪是黑色的，则太阳从西方升起。 （2）仅当天气好，我才去公园。 对于（1） ，设 P：雪是黑色的。Q：太阳从西方升起。则（1）可表示为 P Q
1.1.3 命题标识符
定义 1.1.3 表示原子命题的符号称为命题标识符(Identifier)。 通常用大写字母 A，B，C，…，P，Q，… 等表示命题，如 P：今天下雨。 命题标识符依据表示命题的情况， 分为命题常元和命题变元。 一个表示确定命题的标识 符称为命题常元（或命题常项）(Propositional constant)；没有指定具体内容的命题标识符称
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天津理工大学本科《离散数学》教学教案
为命题变元（或命题变项）(Propositional Variable)。命题变元的真值情况不确定，因而命题 变元不是命题。 只有给命题变元 P 一具体的命题取代时， P 有了确定的真值， P 才成为命题。
1.2 逻辑联结词
本节主要介绍 5 种常用的逻辑联结词(Logical Connectives )，分别是“非” （否定联结 词） 、 “与” （合取联结词） 、 “或” （析取联结词） 、 “若…则…” （条件联结词） 、 “…当且仅当…” （双条件联结词） ，通过这些联结词可以把多个原子命题复合成一个复合命题。
1.1.2 命题分类
根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。 定义 1.1.2 不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原子命题(Simple Proposition )。 由两个或两个以上原子命题组合而成的命题称为复合命题(Compound Proposition )。 例如， 例 1.1.1 中的命题全部为原子命题， 而命题 “小王和小李都去公园。 ” 是复合命题， 是由“小王去公园。 ”与“小李去公园。 ”两个原子命题组成的。
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设 P：猫吃鱼。Q：太阳从西方升起。则（2）可表示为 P Q （3）张三虽然聪明但不用功。 P：张三聪明。Q：张三用功。则（3）可表示为 P Q 需要注意的是，在自然语言中，命题（2）是没有实际意义的，因为 P 与 Q 两个命题是 互不相干的，但在数理逻辑中是允许的，数理逻辑中只关注复合命题的真值情况，并不关心 原子命题之间是否存在着内在联系。 1.2.3 析取联结词 定义 1.2.3 设 P、 Q 为两个命题， P 和 Q 的析取(Disjunction)是一个复合命题， 记为 P Q （读作 P 或 Q） ，称为 P 与 Q 的析取式。规定当且仅当 P 与 Q 同时为 F 时，P Q 为 F，否 则 P Q 均为 T。 析取联结词“ ”的定义见表 1-3。
例 1.2.5（1）雪是黑色的当且仅当 2+2>4。 （2）燕子北回，春天来了。 （1）设 P：雪是黑色的。Q：2+2>4。则（1）可表示为 P Q，其真值为 T。 （2）设 R：燕子北回。S：春天来了。则（2）可表示为 R S，其真值为 T。 与前面的联结词一样，条件联结词和双条件联结词连接的两个命题之间可以没有任何 的因果联系，只要能确定复合命题的真值即可。 1.3 命题公式与翻译 1.3.1 命题公式 上一节介绍了 5 种常用的逻辑联结词，利用这些逻辑联结词可将具体的命题表示成符 号化的形式。 对于较为复杂的命题， 需要由这 5 种逻辑联结词经过各种相互组合以得到其符 号化的形式，那么怎样的组合形式才是正确的、符合逻辑的表示形式呢？ 定义 1.3.1（1）单个的命题变元是命题公式。 （2）如果 A 是命题公式，那么 A 也是命题公式。 （3）如果 A 、 B 是命题公式，那么( A ∧ B ),（ A ∨ B ), ( A → B )和 ( A B )也是命题公式。 （4）当且仅当能够有限次地应用（1）、（2）、（3）所得到的包含命题变元、联结词 和括号的符号串是命题公式（又称为合式公式，或简称为公式）。 上述定义是以递归的形式给出的，其中（1）称为基础，（2）、（3）称为归纳，（4） 称为界限。 由定义知,命题公式是没有真假的， 仅当一个命题公式中的命题变元被赋以确定的命题 时， 才得到一个命题。 例如在公式 P Q 中， 把命题 “雪是白色的。 ” 赋给 P ， 把命题 “2+2>4。 ” 赋给 Q ， 则公式 P Q 被解释为假命题； 但若 P 的赋值不变， 而把命题 “2+2=4。 ” 赋给 Q ， 则公式 P Q 被解释为真命题。