22.2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)
3.掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。
4.将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。
5.在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。
-举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。
-实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。
-举例：抛物线与直线的交点问题在实际情境中的应用，如物体抛掷的最高点问题。
2.教学难点
-图像与方程关系的理解：学生往往难以将二次函数图像与一元二次方程的解直观地联系起来。
在实践活动中，学生们的分组讨论进行得相当积极。他们能够将所学的理论知识应用到解决实际问题中去，这让我感到很欣慰。然而，我也观察到，在将实际问题抽象为数学模型的过程中，一些学生仍然感到困难。这告诉我，需要在后续的教学中加强对数学建模能力的培养。
在小组讨论环节，我尝试扮演了一个引导者和启发者的角色，鼓励学生们提出自己的观点和问题。我注意到，当他们被鼓励去探索和发现时，他们的思考变得更加深入。不过，我也发现时间管理上存在一些问题，有时候讨论可能会拖沓，影响到了课堂的整体进度。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
22.2.1二次函数与一元二次方程
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
2二次函数与一元二次方程课件
22.2 二次函数与一元二次方程
讲授新课 （3）球的飞行高度能否到达20.5m？如果能，需
要多少飞行时间？
20.5 h h=20t-5t2
解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
O
t
你能结合图形指出为 什么球不能到达20.5m 的高度?
（3）确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3，x2≈2.5.
22.2 二次函数与一元二次方程
例4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 解析：由D图．象x1可≈－得3二，次x2≈函1数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－
的方法叫作图象法.
22.2 二次函数与一元二次方程
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知， 方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
22.2 二次函数与一元二次方程
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根 是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；
又∵对称轴为x＝－1，则
x1 x2 2
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝
－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
22.2 二次函数与一元二次方程
方法总结
22.2 二次函数与一元二次方程(优秀经典公开课比赛课件)
A ．无解 B ．x＝1 C ．x＝－4 D ．x＝－1 或 x＝4
探究点二：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的不
等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则 关 于 x 的 不等 式 ax2＋bx＋ c＞ 0 的 解集 是
()
A ．x＜2 B ．x＞－3 C ．－3＜x＜1 D ．x＜－3 或 x＞1
归纳：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三
种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， ③没有交点．
类型二】利用二次函数图象与 x 轴交点坐标
确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交
于(1，0)，(3，0)两点， 则它的对称轴为________．
【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确
定字母取值范围
若函数 y＝m x2＋(m ＋2)x＋12m ＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( ) A ．0 B ．0 或 2 C ．2 或－2 D ．0，
2 或－2
类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一
元二次方程的解
小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2 ＋ax＋b＝0 的解是( )
探索新知 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与 x 轴交点情况判断
探索二次函数与一元二次方程： 二次函数 y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2 的图象如图所示．
(1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2＋2x＝0，x根吗？ (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0 的根有什么关系？
22.2 二次函数与一元二次方程
集是
.
-1<x<3
关闭
答案
6.利用二次函数的图象求方程-
1 2
x2+x+2=0的近似解(精确到0.1).
解: 函数 y=-12x2+x+2 的图象如图.
设-12x2+x+2=0 的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
因为当 x=-1 时,y=-12×(-1)2-1+2=0.5>0,
解得 k=196.
(2)由题意,得 b2-4ac=b2-8=0,解得 b=±2 2.
∵x=-������>0,∴b<0,
关闭
(1)1∴96 b=(2-2)2-22.2
解析 答案
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,
若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解
-1.4 -0.38 3.2 0.08
-1.3 -0.145 3.3 -0.145
-1.2 0.08 3.4 -0.38
-1.1 0.295 3.5 -0.625
所以方程-12x2+x+2=0 的根 x1 的近似值为-1.2,x2 的近似值为 3.2.
当 x=-1.5 时,y=-12×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3 时,y=-12×32+3+2=0.5>0,当 x=3.5
时,y=-12×3.52+3.5+2=-0.625<0,
22.2二次函数与一元二次方程
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 __b_2_–_4_a_c_≥__0______ 。
△ = b2 – 4ac
y △＜0
△=0
△＞0
o
x
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系：
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
1.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10 与x轴的交点坐标是＿(-2＿,0)＿(5＿/3＿,0).
2.抛物线y=2x2-3x-5 与x轴有无交点？若无说 出理由,若有求出交点坐标？
有 (2.5,0)， (-1,0)
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
与x轴交点坐标 (-2,0),(1,0)
(3,0)
相应方程的根 x1=-2,x2=1
x1=x2=3
22.2二次函数与一元二次方程
22.2二次函数与一元二次方程问题：二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
根据图象回答：⑴ x 为何值时, 0y =？⑵ 你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？⑶ 你认为二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？请你谈一谈你的看法。
探究（一）二次函数与一元二次方程之间的关系如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？知识总结：一般地，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数_______________的值为______时自变量x 的值。
所以：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。
⑵ 抛物线与x 轴的三种位置关系：相交，即有_____公共点；相切，即有______公共点；相离，即______公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：有 实数根；有________ 的实数根； ______的实数根。
（3）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）基础练习：1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3、二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4、抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点5、一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是4.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________;变式训练：1.不与x 轴相交的抛物线是（ ）A. y = 2x 2 – 3B. y=－2 x 2 + 3C. y= －x 2 – 3xD. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定3.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根4、已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根判断方程 ax 2+bx+c =0 (a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A. 3< x < 3.23B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24 <x< 3.25D. 3.25 <x< 3.26 6、关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有＿＿个交点.7.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =＿＿.8.若抛物线 y=x 2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x 2 + bx+ c =0 的根的情况是 。
22.2二次函数与一元二次方程
是否有公共点，并说明理由．
(1) y=x2-4x+3
(2) y=x2-6x+9
(3) y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？
（1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
如果a＜0呢？
今 天 就休 到息 这一 吧会
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac
Δ=b2-4ac > 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个相异的实数根
ax²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
y ax2 bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
专题22.2 二次函数与一元二次方程(讲练)(解析版)
专题22.2二次函数与一元二次方程（讲练）一、知识点二、标准例题：例1：如图，已知二次函数2y ax bx c=++的部分图象，由图象可估计关于x的一元二次方程20ax bx c++=的两个根分别是1 1.6x=，2x=A．-1.6 B．3.2C．4.4 D．5.2【答案】C【解析】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x 轴交点坐标，是一道较为简单的试题．例2：如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，则方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为（ ）A ．122,3x x =-=-B ．121,0x x ==C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-=【答案】C【解析】解：∵2(1)10ax b x c +-++=，∴21ax bx c x ++=-. ∴方程2(1)10ax b x c +-++=的根即为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，∵二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，∴方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为122,1x x =-=.故选C.总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键是将方程2(1)10ax b x c +-++=变形为21ax bx c x ++=-，进一步将所求转化为求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：二次函数y ＝x 2+bx ﹣t 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5【答案】A【解析】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝2， ∴b ＝﹣4，则方程x 2+bx ﹣t ＝0，即x 2﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∵方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解， ∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣12＝﹣3，又∵y ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.例4：．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中，m =__________．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．（3）观察函数图象，写出一条性质__________．（4）进一步探究函数图象发现：①方程22||0x x -=有__________个实数根．②关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是__________．【答案】（1）0 （2）（3）当1x >时，y 随x 的增大而增大（4）①3 ②10a -<<．【解析】（1）x=-2时，m=x 2-2l-2l=0；．（2）如图所示（3）由函数图象知：1x >时y 随x 的增大而增大；函数图像关于y 轴对称;（4）如图：①22||=0x x -时即0y =，∴令x 轴有3个交点，分别是2-、0、2；即答案为3;②由函数图象知：关于x 的方程22||x x a -=有4个交点，∴a 的取值范围是10a -<<．总结：本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.三、练习1．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点， 22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线 22a x a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．2．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a =-=，∴20b a =->，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-， ∴102a b a a +=-=，∵0c >， ∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误；∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确；综上正确的有2个，故选B.3．已知0m >，关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．1212x x <-<<B ．1212x x -<<<C ．1212x x -<<<D ．1212x x <-<<【答案】A【解析】解：关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为12,x x ，可以看作二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的横坐标，∵二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点坐标为()()1,0,2,0-，如图：当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >；又∵12x x <∴121,2x x =-=；∴1212x x <-<<，故选：A ．4．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc-⎧⎨++⎩＞＜，解得c＜﹣2，故选B.5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，③a﹣b+c＜0；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（4，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，正确；③∵当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C ．6．抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<【答案】D【解析】∵23y x bx =++的对称轴为直线1x =，∴2b =-，∴223y x x =-+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x =-+与函数y t =的有交点，∵方程在14x -<<的范围内有实数根，当1x =-时，6y =，当4x =时，11y =，函数223y x x =-+在1x =时有最小值2，∴26t ≤<，故选D ．7．若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C【解析】解：当m ＝1时，函数解析式为：y ＝﹣6x + 是一次函数，图象与x 轴有且只有一个交点，当m ≠1时，函数为二次函数，∵函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴62﹣4×（m ﹣1）× m ＝0，解得，m ＝﹣2或3，故选：C ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和正比例函数y ＝﹣13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b + 13）x +c ＝0（a ≠0）的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】解：设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a 0＞， 0b a∴-<． 设方程210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭的两根为m ，n ，则1133b b m n a a a++=-=-- 010300a a b am m >∴-<-<∴+< . 故选：C ．9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是直线x ＝1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．（0，12-）B ．（12-，0）C ．（0，﹣1） D ．（﹣1，0）【答案】D【解析】解：∵点A 的坐标为（3，0）， ∴点A 关于x ＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）． 故选：D ．10．已知二次函数226y x x m =-+的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____. 【答案】92m >【解析】∵二次函数y=2x 2-6x+m 的图象与x 轴没有交点，∴△＜0，∴（-6）2-4×2×m ＜0， 解得：92m >； 故答案为：92m >．11．抛物线2243y x x =--，当14x -≤≤时，y 的取值范围是__________． 【答案】513y -≤≤【解析】解：根据二次函数的解析式2243y x x =--可得 由a=2>0，可得抛物线的开口向上 对称轴为：41222b x a -=-=-=⨯ 所以可得在14x -≤≤范围内，二次函数在11x -≤≤ ，y 随x 的增大而减小，在14x <≤ 上y 随x 的增大而增大.所以当1x = 取得最小值，最小值为：2435y =--=- 当4x =取得最大值，最大值为：22444313y =⨯-⨯-= 所以513y -≤≤ 故答案为：513y -≤≤12．抛物线223y x x =--与x 轴的交点坐标是_____【答案】(10)-，，(3,0) 【解析】令y=0，则x 2-2x-3=0，解得x=3或x=-1．则抛物线y=x 2-2x-3与x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）．故答案为（3，0），（-1，0）．13．已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】解：直线 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与 有一个交点， ∴ ，∵与 有两个交点， ∴ ， ， ∴， ∴； 故答案为．14．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx-+=-的解是___________ 【答案】12x =-，25x =.【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x －1)2＋c ＝b －bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+，即：2(1)121x x --=-+， 化为：23100x x --=， 解得：12x =-，25x =， 故答案为：12x =-，25x =.15．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____． 【答案】m ＜a ＜b ＜n【解析】∵函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴的交点坐标的横坐标为a 与b ， 二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1相当于y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）向下平移一个单位， 又∵二次项系数为1，开口向上，如图所示：∴由图可得：m ＜a ＜b ＜n ． 故答案为：m ＜a ＜b ＜n ．16．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．【答案】3x <-或1x >．【解析】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，∴m n p -+=，3m n q +=，∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c =++的下方，∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >． 故答案为：3x <-或1x >．17．如图，直线y ＝mx +n 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx +n ＜ax 2+bx +c 的解集是____．【答案】﹣1＜x ＜4．【解析】观察函数图象可知：当﹣1＜x ＜4时，直线y ＝mx+n 在抛物线y ＝ax 2+bx+c 的下方， ∴不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集为﹣1＜x ＜4．故答案为：﹣1＜x ＜4．18．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【解析】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).19．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】(1)2323y x x =-++；(2)13≤；(3)103k <. 【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c=3， 由甲同学提供的数据选x=-1，y=6；x=1，y=2，有6323a b a b =-+⎧⎨=++⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴a=1,由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，选x=-1，y=-2；x=1，y=2，有2121a b a b -=--⎧⎨=+-⎩， ∴12a b =⎧⎨=⎩， ∴a=1，b=2，∴y=x 2+2x+3；（2）y=x 2+2x+3的对称轴为直线x=-1，抛物线开口向上，∴当-1x ≥时，y 的值随x 的值增大而增大； 故答案为-1≥；(3)方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，即x 2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴()4-430k ∆=->， ∴2k >；20．已知抛物线232y ax bx c =++.（1）若1a b ==，1c =-，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1a b ==，且当11x -<<时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围. 【答案】（1）()1,0-和1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）13c =或51c -<≤- 【解析】（1）当1a b ==，1c =-时，抛物线为2321y x x =+-，方程23210x x +-=的两个根为11x =-，213x =.所以该抛物线与x 轴公共点的坐标是()1,0-和1,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）当1a b ==时，抛物线为232y x x c =++，且与x 轴有公共点.对于方程2320x x c ++=，判别式4120c ∆=-≥，有13c ≤.①当13c =时，由方程213203x x ++=，解得1213x x ==-，此时抛物线为21323y x x =++与x 轴只有一个公共点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当13c <时，11x =-时，1321y c c =-+=+，21x =时，2325y c c =++=+.由已知11x -<<时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为13x =-，应有1200y y ≤⎧⎨>⎩，即1050c c +≤⎧⎨+>⎩，解得51c -<≤-.综上，13c =或51c -<≤-. 21．已知函数()21y x m x m =-+-+（m 为常数）. （1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上. （3）当23m -≤≤时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D （2）详见解析；（3）当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤. 【解析】（1）因为()()()2214110m m m ∆=--⋅-⋅=+≥，故选D.（2）配方得()2221(1)124m m y x m x m x -+⎛⎫=-+-+=--+⎪⎝⎭， 所以该函数的图象的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 把12m x -=代入()21y x =+，得221(1)124m m y -+⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上.（3）设函数的图象的顶点纵坐标()214m z +=.当1m =-时，z 有最小值0.当1m <-时，z 随m 的增大而减小；当1m >-时，z 随m 的增大而增大.又当2m =-时，()221144z -+==；当3m =时，()23144z +==.因此，当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤.。
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
22.2二次函数与一元二次方程
2
2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2 x m x m 上 0 2 1 m 1 m
2 2 2 2 2
即 m m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
(1) 没有公共点 (2)有一个公共点
(3)有两个公共点
没有实数根 有两个相等的实数根
有两个不等的实数根
2 2 2
解:
(1)抛物线y x x 2与x轴有两个公共点 , 它的横坐标 2, 1 , 当x取公共点的横坐标时 , 函数的值是0.由此得出方程x x 2 0 根是 x1 2, x2 1. (2)抛物线y x 6 x 9与x轴有一个公共点 , 这点的横坐标是 3.当 x 3时, 函数的值是0.由此得出方程x 6 x 9 0有两个相等的 实数根 x1 x2 3. (3)抛物线y x x 1与x轴没有公共点 ,由此可知, 方程
即：y=0 。
-1 A 0
y B
解：根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
D x
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m。
观察
下列二次函数的图象与 x轴有公共点吗? 如果有, 公共点的横坐标是多少 ?当x取公共 点的横坐标时 , 函数的值是多少?由此, 你能 得出相应的一元二次方 程的根吗? (1) y x x 2 ( 2) y x 6 x 9 (3) y x x 1
2 2
2Hale Waihona Puke (2)二次函数的图象与 x轴的位置关系有三种 :
22.2_第1课时二次函数与一元一次方程之间的关系
没有实数根 O x
讨论点拨
课堂练习
• 课本47页 1、2、5
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三 种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 b2 – 4ac= 0 (2)有一个交点 2 – 4ac< 0 b (3)没有交点
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
20.5 h
你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度?
O
t
讨论点拨
?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
h
你能结合图形指出
为什么在两个时间 球的高度为0m吗?
O t
讨论点拨
?
从以上可以看出,
讨论点拨
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x 的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行 h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
b2 – 4ac ≥0
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 Y △＜0
△=0
22.2二次函数与一元二次方程
攀 1 22.2 二次函数与一元二次方程1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图22－2－3所示，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是( )A ．x ＞－3B ．x ＜1C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图22－2－4所示，则下列结论中，正确的是( )A ．a >0B ．当－1<x <3时，y >0C ．c <0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图22－2－5所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x ＜1时，y 随x2时，y ＞04．如图22－2－6所示是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图象，使y ≤1成立的x 的取值范围是( )A ．－1≤x ≤3B ．x ≤－1C ．x ≥3D ．x ≤－1或x ≥35．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，若点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，则下列说法正确的是( )A ．b ＞0B ．该抛物线的对称轴是x ＝－1C ．当x ＝－3与x ＝5时，y 值相等D ．若y ＞0时，－1＜x ＜36．若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图22－2－7所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝______7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－2－8所示，则：(1)这个二次函数的解析式为__________；(2)当x ＝____________时，y ＝3；(3)根据图象回答：当_____________时，y ＞0；当__________时，y ＜0.8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图22－2－9所示，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，有下列结论，①b 2－4ac ＞0 ②abc ＜0 ③m ＞2其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图22－2－10所示，给出下列四个结论，其中正确结论的个数是 ( ) ①4ac －b 2<0 ②4a ＋c <2b ③3b ＋2c <0 ④m (am ＋b )＋b <a (m ≠－1)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 图22－2－9 图22－2－3 图22－2－4 图22－2－5 图22－2－6图22－2－10。
zs22.2.二次函数与一元二次方程
y=a(x-h)2。
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点， 则a的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-2x+a+1与x轴最多只有一 个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
(5)a+b+c的符号： ∵x= 1时，y=a+b+c.∴a+b+c的值等于 抛物线上 横坐标为1点 的 纵坐标，它的符号 可以根据这个点与x轴的位置确定。
(6)a-b+c的符号：
∵x= -1时， y=a-b+c.∴a-b+c的符号可以 根据抛物线上 横坐标为 -1的点的纵坐标确定.
例 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判 断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
抛物线y=ax2+bx+c 和x轴公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别 式Δ=b2-4ac
有两个公共点 有一个公共点 即：顶点在x轴上 没有公共点
有两个不相等 的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。
①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
a还影响对称轴和顶点的位置。
22.2 二次函数与一元二次方程
有交点，则 k的取值范围（ B ）
A
:
k
4 7
B
:
k
4 7
且k
0
C
:
k
4 7
D：k
4 7
且k
0
K≠0 b2-4ac≥0
请你把这节课你学到了东西告诉你的同桌，然
后告诉老师？
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿1＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 1 个交
点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿1＿6 .
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
t1=1s
t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s 20m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约
是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7
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综上所述，正确的说法是①②④.
解目 归纳总结
析标 突
1．根据抛物线确定一元二次方程(不等式)的解(解集)：
破
不等式y＜0即 不等式y＞0
二次函数y＝ax2 方程ax2＋bx
ax2＋bx＋c＜0 即ax2＋bx＋
＋bx＋c的图象 ＋c＝0的解
的解集 c＞0的解集
x＝x1或x＝x2 x1＜x＜x2 x＜x1或x＞x2
(1)y＝2x2－3x；
(2)y＝－x2－4x－1；
(3)y＝x2＋2x＋5.
解目 (1)y＝2x2－3x；
析标
突 解：(1)函数图象与x轴有两个公共点．
破
理由：令y＝0，则2x2－3x＝0，
因为(－3)2－4×2×0＝9＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根，即函数y＝2x2－3x的
图象与x轴有两个公共点．
破
方程x2＋2x－10＝0的根．(精确到0.1)
[解析] 欲估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根，必须先画出二次函数y ＝x2＋2x－10的图象，确定根的大致范围，再进一步估算．
解目 析标
解：作出二次函数y＝x2＋2x－10的图象，如图．由图象可
突 破
知方程的一个根在－5与－4之间，另一个根在2与3之间．
的根
线y＝－c
解目
（续表）
析标 突
步骤
结论
破
先将一元二次方程化为 x2＋abx＋ac＝
方
0，移项后得
x2＝－bax－ac，再在同一
两图象的交点的横 坐标就是方程 ax2
法三 直角坐标系中画出抛物线 y＝x2 和直 ＋bx＋c＝0 的根
线 y＝－bax－ac
解析总结反
小结
知识点一 二次函数与一元二次方程的关系
破
“三种方法”：
步骤
结论
方 直接作出二次函数y＝ax2 法一 ＋bx＋c的图象
图象与x轴的交点的横坐标 就是一元二次方程ax2＋bx＋ c＝0的根
解目
（续表）
析标 突
步骤
结论
破
先将一元二次方程变形为ax2＋
两图象的交点的横坐标
方 bx＝－c，再在同一直角坐标系
就是方程ax2＋bx＋c＝0
法二 中画出抛物线y＝ax2＋bx和直
思
如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，那么公共点的横
坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
解析总结反
知识点二 抛物线与x轴的位置关系与对应的一元二次方程根的 情况之间的关系
思
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
的位置关系
的情况
有两个公共点
有两个不相等的实数根
解析总结反
即m2－m＋1＝7，解得m1＝3，m2＝－2. ∴m的值为3或－2.
思
指出以上解答中存在的错误，并进行改正．
[答案] 错在未根据题意对m的值进行取舍． 改正如下：∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴m－1＜0. 当m＝3时，m－1＝2＞0，不符合题意，舍去； 当m＝－2时，m－1＝－3＜0，符合题意， ∴m的值为－2.
解目 析标
我们先求－5与－4之间的根，利用计算器探索如下：
突 破
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
∴一个根约为－4.3，即x1≈－4.3. 同理可求得x2≈2.3.
解目 归纳总结
析标
突 利用二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的
＋bx＋c＋3＝0有两个相等的实数根，
则抛物线的顶点坐标为(1，－3)．其 中正确的说法是_①__②__④___．(请写出
所有正确说法的序号)
图22－2－1
解目 [解析] (1)∵抛物线与x轴有两个公共点，
析标 突
∴b2－4ac＞0.可见说法①正确．
破 (2)∵点(－1，0)和(3，0)的中点坐标是(1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x
理由：令y＝0，则x2＋2x＋5＝0，
因为22－4×1×5＝－16＜0，
所以该方程没有实数根，即函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴
没有公共点．
解目 析标
例2 [教材补充例题]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22
突 －2－1所示，有下列说法：①b2－4ac＞0；②抛物线的对
破
称轴为直线x＝1；③当－1＜x＜3时，y＞0；④若方程ax2
全品学练考
数学 九年级 上册 人教版
第 二
二次函数
十 二
22.2 二次函数与一元二次方程
章
-
22.2 二次函数与一元二次方程
目标突破 总结反思
解目 目标一 掌握抛物线与x轴的位置关系和对应的一元二次
析标
突 方程的根的情况之间的关系
破
例1 [教材补充例题]判断下列函数的图象与x轴的公共点情
况，并说明理由．
ห้องสมุดไป่ตู้
解目 (2)y＝－x2－4x－1；
析标
突 破
(2)函数图象与x轴有两个公共点．
理由：令y＝0，则－x2－4x－1＝0，
因为(－4)2－4×(－1)×(－1)＝12＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根，即函数y＝－x2－4x－
1的图象与x轴有两个公共点．
解目 (3)y＝x2＋2x＋5.
析标
突 破
(3)函数图象与x轴没有公共点．
＝1.可见说法②正确．
(3)当－1＜x＜3时，图象位于x轴下方，因此函数值y＜0.可见说法③错误．
(4)∵方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等的实数根，即抛物线y＝ax2＋bx＋c
与平行于x轴的直线y＝－3只有一个公共点，∴这个公共点是抛物线的顶
点．结合②可知顶点的坐标为(1，－3)，可见说法④正确．
解目
（续表）
析标 突 破
不等式y＜0即 不等式y＞0 二次函数y＝ax2 方程ax2＋bx
ax2＋bx＋c＜0 即ax2＋bx＋
＋bx＋c的图象 ＋c＝0的解
的解集 c＞0的解集
x＝x1或x＝x2 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2
解目 析标
2.抛物线的对称轴与对应方程两根的关系：
突 破
(1)若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，
0)，则抛物线的对称轴为直线 x＝x1＋2 x2；
(2)若抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(x1，0)，对称轴为直线
x＝x0，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(2x0－x1，0)．
解目 目标二 会用二次函数的图象求一元二次方程的根
析标
突 例3 [教材例题针对训练]利用二次函数的图象估计一元二次
只有一个公共点
有两个相等的实数根
没有公共点
没有实数根
解总
反思
析结反 已知抛物线y＝x2＋mx＋m－1与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，
思 与y轴的负半轴相交，且x12＋x22＋x1x2＝7，求m的值．
解：依题意可知，x1，x2是一元二次方程x2＋mx＋m－1＝0的
两根，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1. ∵x12＋x22＋x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－x1x2＝7，