答案相似三角形中的辅助线

相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ， 求证：
BF CF BD CE = 证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G ∵CG ∥AB ∴△ADE ∽△CGE ∴AD/CG ＝AE/CE
∵AD ＝AE ∴AD/CG ＝AD/CE ∴CG ＝CE
∵CG ∥AB
∴△BFD ∽△CFG
∴BF/CF ＝BD/CG
∴BF/CF ＝BD/CE
∴BF ：CF ＝BD ：CE
2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ， 证明：AB ·DF=AC ·EF 。

先作辅助线，从D 点作AC 的平行线交BC 于M 点
则△FEC 与△FDM 相似
∴EF/DF=EC/DM. (1)
又∵DM ‖AC ，
∴△BDM 与△BAC 相似
∴AB/AC=BD/MD (2)
∵BD=EC,
∴式（2）为AB/AC=EC/MD （3）
由式（1）和（3）得AB/AC ＝EF/DF
∴AB*DF=AC*EF
二、作垂线
3. 如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ， 求证：2AC AF AD AE AB =⋅+⋅。

B D
A C
F E
三、作延长线
4 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

延长BA ，CD 交于E
设AH=x ，BH=3x
∵∠ECH=∠BCH ，CH ⊥BE
∴RT △ECH ≌Rt △BCH
EH=BH=3x
AE=3x-x=2x
S(EAD)/S(EBC)=(EA/EB)²=(2x/6x)²=1/9
设S(EAD)=a ，S(EBC)=9a
S(HBC)=S(ECH)=4.5a
S(AHCD)=S(ECH)-S(EAD)=3.5a
∴S(HBC)=9/7*S(AHCD)=27
5. 如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，
求证：FG2=CF∙BF
证明：延长AF，过C做CH平行AB，交AF于H
易证⊿CEH≌⊿DEA
∴CH=AD
∵CH/AB=CF/BF=AD/AB,则BF/AB=CF/AD
三角形FGB与三角形ABC相似
FG/AC=BF/AB=CF/AD,则CF/FG=AD/AC
三角形FGB与三角形ACD相似
FG/AD=BF/AC,则FG/BF=AD/AC=CF/FG
即FG²=FC*FB
四、作中线
∆中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

6、如图，ABC
取BC的中点F，连接DF。

∵BD=DC
∴DF⊥BC（等腰三角形三线合一）
∵AE⊥BC
∴∠AEC=∠DFC=90°
又∵∠C=∠C
∴△AEC∽△DFC（AA）
∴AC/DC=EC/FC
即AC×FC=1
FC=1/AC.......................................①
∵AB⊥AC
∴∠BAC=∠AEC=90°
又∵∠C=∠C
∴△BAC∽△AEC（AA）
∴AC/EC=BC/AC
即AC^2=2FC.................................②
将①代入②得
AC^3=2
AC=³√2【AC等于2的三次方根】
综合练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。

求证：EF×BC=AC×DF
取BC 上一点G,使DG//AB
三角ABC 相似三角CDG
CD/AC=CG/BC
即：AD/AC=BG/BC
AC/BC=AD/BG
AD=EB
AC/BC=EB/BG
因为DG//AB
三角EBF 相似三角EGD
EB/BG=EF/FD
故AC/BC=EF/FD
2、ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：CN CM PB PA ::=。

因为角ACB=90，所以角CAD+角ACD=90,角BCD+角ACD=90,所以角BCD=角CAD
因为AD 垂直于CP,BE 垂直于CP,所以角E=角ADC
因为AC=BC ，所以三角形BEC 全等于三角形ADC,所以CD=BE ，因为 CD=3,所以BE=3
3、CD CA BC AC BD AC AB ABC ⋅=⊥=∆2，那么，中，2成立吗？试说明理由。

相似三角形中动点问题
1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且
MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？
B C
N
设CM为x.勾股定理得，在三角形ADE中，ED=√5。

然后ED/MN=AD/CM=√5/1=2/x，解得x=2√5/5。

或者AE/CM=ED/MN,带入数字，得x=√5/5，，当CM=2*√5/5或CM=√5/5时有△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似
2、如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点E是边AB上一动点，且EF∥BC。

（1）在AB上是否存在点E运动到某一位置时，使△AEF的面积与四边形EBCF的面积相等？如果存在，求出AE的长；如果不存在，简要说明理由。

（2）在AB上是否存在点E运动到某一位置时，使△AEF的周长与四边形EBCF的周长相等？如果存在，求出AE的长；如果不存在，简要说明理由。

4、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE
于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由.
(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长。

5、如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同
时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。

（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3
1=∆∆ABC BCQ
S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。

6、矩形ABCD 中，CH ⊥BD ，垂足为H ，P 点是AD 上的一个动点（P 与A 、D 不重合），CP 与
BD 交于E 点。

已知CH ＝1360
，DH ∶CD ＝5∶13，设AP ＝x ，四边形ABEP 的面积为y 。

（1）求BD 的长；（2）用含x 的代数式表示y 。

7、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。

H
E D C
B A
P。