浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.cos30°的值是( )A. 12B. √32C. √33D. √32.将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线( )A. y=3(x−1)2+1B. y=3(x+1)2+1C. y=3(x−1)2−1D. y=3(x+1)2+13.在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 234.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，若BD=2AD，则( )A. ADAB =12B. AEEC =12C. ADEC =12D. DEBC =125.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为( )A. 3.71cmB. 4.14cmC. 4.32cmD. 4.86cm6.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是( )A. CDAC B. BDCBC. CBABD. CDCB8.如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD.若CD=8，BM=2，则AD的长为( )A. 10B. 5√3C. 4√5D. 3√109.如图，AB=AC=25cm，DB=DE=5cm，点B，E，C三点共线，AB⊥BD.若BE=6，则BC的长为( )A. 45cmB. 42cmC. 40cmD. 5√26cm10.已知A，B两点的坐标分别为(−2,−2)，(1,2)，线段AB上有一动点M(m,n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y=−(x+1)2+b于点P(x1,y2)，Q(x2,y2)两点(点P在Q的左侧).若x1<m≤x2恒成立，则b的取值范围为( )A. b≤1B. b≥6C. −1<b≤6D. −2<b≤5二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知2m−7n=0，则mn的值为______．12.某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如表：移植总数/棵50270400750150035007000900014000成活的频率0.9400.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.900若要有18000棵树苗成活，估计需要移植______棵树苗较为合适．13.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的面积比为______．14.如图，直线y=kx+b与抛物线y=−x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式−x2+2x+3>kx+b的解集为．15.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连结AO、CO.若BC=6，sin∠BAC=35，则⊙O的半径为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM.以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM=30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F.若△MDF的面积是△MEF面积的√3倍，则CM的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。
专练08 方程与函数类应用题(20题)2020~2021学年九年级数学上期末考点必杀题(试题解析)
专练08 方程与函数类应用题（20题）1．（2019·山东九年级期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如下表格所示：（1）求每月的利润W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）221321600W x x =-+-；（2）26元或40元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．（1）由表格可知，y 与x 之间的函数关系是一次函数， 设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 将(30,40)和(40,20)代入得：30404020k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为2100y x =-+， 因此，(16)(16)(2100)W x y x x =-=--+， 即221321600W x x =-+-；（2）由题意得：221321600480x x -+-=， 整理得：26610400x x -+=， 解得26x =或40x =，答：当销售单价为26元或40元时，厂商每月获得的总利润为480万元； （3）由题意得：48003016y ≤≤=， 则0210030x ≤-+≤， 解得3550x ≤≤，将二次函数221321600W x x =-+-化成顶点式为22(33)578W x =--+， 由二次函数的性质可知，在3550x ≤≤范围内，W 随x 的增大而减小， 则当35x =时，W 取得最大值，最大值为22(3533)578570-⨯-+=（万元）， 答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识点，较难的是题（3），熟练掌握二次函数的性质是解题关键．2．（2020·迁安市迁安镇第一初级中学九年级期末）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表．（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少； （3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．【答案】（1）52；52+x ；180；180-10x ；（2）60元；（3）2240元 解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表：故答案为：52；52+x ；180；180-10x（2）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，根据题意得： （52-40）×180+（52+x-40）（180-10x ）=4160， 解得：x 1=-2（舍去），x 2=8， 当x=-2时，52+x=50（舍去），当x=8时，52+x=60．答：第二个月销售定价每套应为60元． （3）设第二个月利润为y 元． 由题意得到：y=（52+x-40）（180-10x ） =-10x 2+60x+2160 =-10（x-3）2+2250 ∵-10＜0∴当4≤x≤6时，y 随x 的增大而减小， ∴当x=4时，y 取最大值，此时y=2240， ∴52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为56元，此时第二个月的最大利润是2240元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 3．（2019·山东九年级期末）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点B 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】（1）2724y x x =-++，74米；（2）114米；（3）至少要1⎛+ ⎝⎭米．（1）由题意，将点157,,2,224B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得：1154227424b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则抛物线的函数关系式为2724y x x =-++， 当0x =时，74y =， 故喷水装置OA 的高度74米； （2）将2724y x x =-++化成顶点式为211(1)4y x =--+，则当1x =时，y 取得最大值，最大值为114，故喷出的水流距水面的最大高度是114米；（3）当0y =时，211(1)04x --+=，解得12x =+或102x =-<（不符题意，舍去），故水池的半径至少要12⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．4．（2020·保定市第二十一中学九年级期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x （元）()40x >，请你分别用含x 的代数式来表示销售量y （件）和销售该品牌玩具获得利润w （元），并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？【答案】（1）1000-10x ，-10x 2+1300x-30000；（2）玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 解：（1）∵根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， ∵销售量y （件）为：600-10（x-40）=1000-10x ；销售玩具获得利润w （元）为： [600-10(x-40）]（x-30） =-10x 2+1300x-30000 故答案为：1000-10x ，-10x 2+1300x-30000；（2）令-10x 2+1300x-30000=10000，解得：x=50 或x=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； （3）根据题意得：10001054044x x -≥⎧⎨≥⎩解得：44≤x≤46由w=-10x 2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250 ∵-10<0，对称轴是直线x=65. ∵当44≤x≤46时，w 随增大而增大 ∵当x=46时，W 最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、不等式组的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质以及二次函数求最大值是解答本题的关键．5．（2020·河北九年级期末）某种蔬菜的售价1y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示，成本2y （元）与销售月份x 之间的关系如图所示．（图的图象是线段，图的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的利润是多少元？（利润=售价-成本） （2）设每千克该蔬菜销售利润为P ，请列出P 与x 之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总利润为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克．4、5两个月的销售量分别是多少万千克？【答案】（1）6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元；（2）P=2110633x x -+-，5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大为73元；（3）4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． （1）当x=6时，y 1=3，y 2=1， ∵y 1-y 2=3-1=2，∵6月份出售这种蔬菜每千克的利润是2元； （2）设y 1=mx+n ，y 2=a(x-6)2+1，将（3，5）、（6，3）分别代入y 1=mx+n ，得3563m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴1273=-+y x ； 将（3，4）代入y 2=a(x-6)2+1，得， 4=a （3-6）2+1， 解得：a=13， ∵()222116141333y x x x =-+=-+，∵P=12y y -=()2222111017741365333333x x x x x x ⎛⎫-+--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∵当x=5时，P 取最大值，最大值为73， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大值为73元； （3）当x=4时，P=2110633x x -+-=2， 设4月份的销售量为t 千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克， 根据题意得：()72200002200003t t ++=， 解得：t=40000， ∴t+20000=60000，答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，综合性较强，弄清题意，读懂图象，灵活运用相关知识是解题的关键．6．（2020·福建九年级期末）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗.公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元. （1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款； （2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗.【答案】（1）这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元；（2）这所中学购买了80棵树苗. 解：（1）∵50<60， ∵120506000⨯=（元），∵答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.（2）∵购买60棵树苗时所需支付的树苗款为120607200⨯=元8800<元， ∵该中学购买的树苗超过60棵. 又∵120100601000.5-+=，∵购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好降至100元.∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价仍为100元， 此时所需支付的树苗款超过10000元，而100008800>， ∵该中学购买的树苗不超过100棵. 设购买了()60100x x <≤棵树苗， 依题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦， 化简，得2300176000x x -+=， 解得1220100x =>（舍去），280x =. 答：这所中学购买了80棵树苗. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意弄清题目中的等量关系是本题的解题关键.7．（2020·四川九年级期末）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣， 解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米． （2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析．8．（2018·河北新河中学九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点 P 以 2cm /s 的速度从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1cm /s 的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，设 P 、Q 两点移动 ts （0＜t ＜5）后，△CQP 的面积为 Scm 2．在 P 、Q 两点移动的过程中，△CQP 的面积能否等于 3.6cm 2？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．【答案】2 或 3 解：在矩形 ABCD 中， ∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10cm ，AP ＝2tcm ，PC ＝（10﹣2t ）cm ， CQ ＝tcm ，过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ，易知：PH PC AB AC ==10210t-，∴PH ＝35（10﹣2t ）cm ， 根据题意，得12t •35（10﹣2t ）＝3.6， 解得：t 1＝2，t 2＝3．答：△CQP 的面积等于 3.6cm 2 时，t 的值为 2 或 3．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用.9．（2021·安徽九年级月考）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C ︒，待加热到100C ︒，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温()C y ︒和通电时间()min x 成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20C ︒，接通电源后，水温()C y ︒和通电时间()min x 之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当08x ≤≤和8x a <≤时，y 和x 之间的函数关系式； （2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7:30将饮水机电源打开，若他想在8:10上课前喝到不低于40C ︒的开水，则他需要在什么时间段内接水？【答案】（1）08x ≤≤时，1020y x =+；8x a <≤时，800y x=；（2）40；（3）7:38到7:50之间 解：（1）当08x ≤≤时，设1y k x b =+，将(0,20)，(8,100)的坐标分别代入1y k x b =+得1208100b k b =⎧⎨+=⎩， 解得110k =，20b =．∴当08x ≤≤时，1020y x =+． 当8x a <≤时，设2k y x=， 将(8,100)的坐标代入2k y x =， 得2800k =．∴当8x a <≤时，800y x=． 综上，当08x ≤≤时，1020y x =+；当8x a <≤时，800y x =； （2）将20y =代入800y x=，解得40x =， 即40a =； （3）当40y =时，8002040x ==． ∴要想喝到不低于40C ︒的开水，x 需满足820x ≤≤， 即李老师要在7:38到7:50之间接水．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．10．（2020·内蒙古和林格尔县第三中学九年级月考）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）成反比例函数关系缓慢减弱．（1）这场沙尘暴的最高风速是__________千米/小时，最高风速维持了__________小时；（2）当20x ≥时，求出风速y （千米/小时）与时间x （小时）的函数关系式；（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．【答案】（1）32，10；（2）640y x=；（3）共有59.5小时 解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20-10=10小时；故答案为：32，10．（2）设k y x=，将()20,32代入，得：3220k =， 解得：640k =． 所以当20x ≥时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）之间的函数关系为：640y x =． （3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，∴4.5时风速为10千米/时．将10y =代入640y x =， 得64010x=，解得64x =， 64 4.559.5-=（小时）故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时．【点睛】 本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键．11．（2020·浙江九年级一模）2020年4月，学校复学后，为确保学生的安全，某校对各教室进行“84”消毒液消毒，如下左图描述了防疫人员消毒阶段室内每立方米空气中含药量()mg y 与时间()min x 的关系：表格记录了消毒结束后室内每立方米空气中含药量()mg y 与时间()min x 的部分数据．（1）求前3分钟消毒阶段y 关于x 的函数表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，根据表中数据画出消毒后y 关于x 的函数图象，并求出该函数表达式；（3）研究表明，当每立方米空气中含药量低于1.2mg 时，对人体无毒害作用，那么在哪个时段学生不能停留在教室里？【答案】（1）y=83x （0≤x≤3）；（2）图像见详解，y=24x （x ＞3）；（3）在920分钟到20分钟内不能停留在教室解：（1）设前3分钟消毒阶段的解析式为y=kx ，将（3，8）代入得8=3k ，解得k=83， ∴解析式为：y=83x （0≤x≤3）；（2）图像如下：设函数表达式为y=k x， 将（6，4）代入得k=24，∴解析式为：y=24x（x ＞3）； （3）当y=1.2时，在前三分钟内：得1.2=83x （0≤x≤3）， 解得x=920， 在后期1.2=24x （x ＞3）， 解得x=20， ∴920＜x ＜20 ∴在920＜x ＜20这段时间内不能回教室． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，求出解析式是解题关键．12．（2020·河南九年级其他模拟）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强()P Pa 与木板面积()2S m的对应值如下表：（1）求P 与S 之间满足的函数关系式；（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图形，如果要求压强不超过4000Pa ，木板的面积至少要多大?【答案】（1）600Sp =；（2）见解析；（3）当压强不超过4000Pa 时，木板面积至少20.15m 解：（1）1600154002300600⨯=⨯=⨯=．，600Sp ∴=； （2）如图所示，（3）当4000p =时，20.15s m =．答：当压强不超过4000Pa 时，木板面积至少20.15m ．【点睛】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，要认真观察图象得出正确的结果．13．（2020·广东深圳实验学校九年级期中）如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图，现测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离B C 为4米，两拉索底端距离AD 为20米，试求立柱BE 的长．（结果精确到0.1 1.732≈）【答案】立柱BE 的长约为15.3米如图2，设BE=x 米，由BC=4米得CE=(x-4)米，在Rt △ABE 中 ∵tan BE A AE=，∠A=30°∴tan tan 30BE x AE A ===︒米； 在Rt △DCE 中 ∵tan CDE CE DE∠=，∠CDE=60°∴4D 4)tan tan 60CE x E x CDE -===-∠︒米 由AE-DE=20米，得4)20x -=解之得215.3x =≈．答：立柱BE 的长为15.3米．【点睛】此题考查三角函数的实际应用．此题关键是要分别在两个直角形内运用三角函数列关系式，再据题意例方程求解．14．（2020·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）数学爱好小组要测量5G 信号基站高度，一名同学站在距离5G 信号基站30m 的点E 处，测得基站项部的仰角52ACD ∠=°，已知测角仪的高度15m CE =.．求这个5G 信号基站的高AB （精确到1m ）．（参考数据：sin520.79,cos520.62,tan52 1.28===）【答案】40解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则四边形CEBD 是矩形，15m BD CE ==.，在Rt ACD △中，30m,52CD EB ACD ==∠=︒ ∵tan AD ACE CD∠=， ∴tan 30 1.2838.4(m)AD CD ACD ∠=⋅≈⨯=．∴38.4 1.540(m)AB AD BD =+=+≈．答：这个5G 信号基站的高AB 约为40m ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用．通过做辅助线，分割图形，构建直角三角形，并解直角三角形是解答本题的关键．15．（2020·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度，小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45︒，小明从A 点出发沿斜坡走D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为31︒，且斜坡AF 的坡比为1:2．（1）求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度；（2）依据他们测量的数据能否求出大树BC 的高度？若能，请计算：若不能，请说明理由．（参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈）【答案】（1）4米 （2）能；22米解：（1）作DH AE ⊥于H ，如图所示：在Rt ADH ∆中， ∵12DH AH =， ∴2AH DH =，∵222AH DH AD +=，∴()(2222DH DH +=， ∴4DH =．答：小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为4米．（2）如图所示：过点D 作DG BC ⊥于点G ，设BC xm =，在Rt ABC ∆中，45BAC ∠=︒，∴AC BC x ==，由（1）得28AH DH ==，在矩形DGCH 中，4DH CG ==，8DG CH AH AC x ==+=+，在Rt BDG ∆中，由4tan 0.68BG x BAG DG x ∠-==≈+， 解得：22x =答：大树的高度约为22米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．16．（2020·浙江九年级一模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．【答案】（1）点D′到BC 的距离为（）厘米；（2）E∵E′两点的距离是 解：（1）过点D′作D′H ⊥BC ，垂足为点H ，交AD 于点F ，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt △AD′F 中，D′F=AD′•sin ∠DAD′=90×sin60°=453厘米．又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=（453+70）厘米．答：点D′到BC 的距离为（453+70）厘米．（2）连接AE ，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE ，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt △ADE 中，AD=90厘米，DE=30厘米， ∴223010AE AD DE =+=厘米，∴EE′=3010厘米．答：E 、E′两点的距离是3010厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F 的长度；（2）利用勾股定理求出AE 的长度．17．（2019·甘州中学九年级月考）如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32º，底部C 的俯角为45º，观测点与楼的水平距离AD 为31m ，则楼BC 的高度大约为多少米？（结果取整数）．（参考数据：sin 320.5︒≈，cos320.8︒≈，tan 320.6︒≈）【答案】50．解：在Rt △ABD 中， ∵AD =31,∠BAD =32°， ∴BD =AD ⋅tan32°=31×0.6=18.6， 在Rt △ACD 中， ∵∠DAC =45°， ∴CD =AD =31，∴BC =BD +CD =18.6+31≈50m ． 答：楼BC 的高度大约为50米． 【点睛】本题考查了仰角与俯角的知识，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 18．（2020·浙江九年级一模）如图，小区内有一条南北方向的小路MN ，快递员从小路旁的A 处出发沿南偏东53°方向行走200m 将快递送至B 楼，又继续从B 楼沿南偏西30°方向行走120m 将快递送至C 楼，求此时快递员到小路MN 的距离．（计算结果精确到1m ．参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈）【答案】120m如图，过B 作BD ⊥MN 于D ，过C 作CE ⊥MN 于E ，过B 作BF ⊥EC 于F ， 则四边形DEFB 是矩形， ∴BD =EF ，在Rt △ABD 中,ADB 90∠=︒ ,53DAB ∠=︒，AB =200m ， ∴sin532000.8160BD AB =︒=⨯=m ，在Rt △BCF 中,90BFC ∠=︒ ,3CBF 0∠=︒，BC =120m ， ∴1602CF BC ==m ， ∴16060100CE EF CF =-=-=m ， 答：快递员到小路MN 的距离是100m .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确把握定义是解题关键.19．（2020·浙江省临海市回浦实验中学九年级期中）在我市开展的创建文明城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长18m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示)．若设花园的BC 边长为()x m ，花园的面积为2()y m（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到2200m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由； （3）当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）2240(1120)y x x x =-+≤<；（2）不能，理由见解析；（3）当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m ． 解：（1）由题意可得，()2402240y x x x x =⋅-=-+，0040218x x >⎧⎨<-≤⎩解不等式得11≤x ＜20即2240(1120)y x x x =-+≤<； （2）不能，理由：将200y =代入2240y x x =-+， 得2200240x x =-+， 解得，121011x x ==<，答：花园面积不能达到2200m ；（3）∵222402(10)200y x x x =-+=--+，∴函数图象的顶点为()10,200，开口向下，当10x <时，y 随x 的增大而增大，当10x >时，y 随x 的增大而减小，由题意可知，1120x ≤<，∴当11x =时，y 最大，此时198y =，答：当x 取11米时，花园的面积最大，最大面积是2198m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，结合实际问题并从中抽象出函数模型，借助二次函数解决实际问题是解决本题的关键．20．（2020·浙江九年级其他模拟）如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径和爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h （米）随飞行时间t （秒）变化的规律如下表：（1）根据这些数据在图2的直角坐标系中画出相应的点，选择适当的函数表示h （米）与t （秒）之间的关系，并求出相应的函数表达式；（2）当第一发花弹发射2秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于18米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？【答案】（1）h=-2（t-3）2+19.8；（2）6.28米；（3）花弹的爆炸高度符合安全要求，理由见详解解：（1）描点如下图所示，其图象近似为抛物线，故可设其解析式为：h=a（t-3）2+19.8，把点（0，1.8）代入得：1.8=a（0-3）2+19.8，∴a=-2，∴h=-2（t-3）2+19.8，故相应的函数解析式为：h=-2（t-3）2+19.8，（2）∵花每隔1.6秒发射一发花弹∴当第一发花弹发射2秒后，第二发已经飞行了0.4秒，∴把t=0.4代入关系式h=-2（t-3）2+19.8即h=-2（0.4-3）2+19.8=6.28米，∴当第一发花弹发射2秒后，第二发花弹达到的高度为6.28米（3）∵这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为：h=-2（t-3）2+19.8，∴第二发花弹的函数解析式为：h′=-2（t-4.6）2+19.8，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令h=h′得-2（t-3）2+19.8=-2（t-4.6）2+19.8∴t=3.8秒，此时h=h′=18.52米＞18米，答：花弹的爆炸高度不符合安全要求．【点睛】本题是二次函数的应用题，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．。
江北2021学年第一学期九年级数学期末试题
2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝28．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．69．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题（每小题5分，共30分）11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只） 50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ．12．已知圆锥的高为4cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为 cm 2． 13．二次函数y ＝（x ﹣1）2+3图象的顶点坐标是 ．14．如图，A 是⊙O 外一点，AB ，AC 分别与⊙O 切于点B ，C ．点P 是上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），过点P 作⊙O 的切线，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若AO ＝13，BO ＝5，则△AMN的周长为．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O ，其半径为12cm ，在距离圆心8cm 的点A 处发生虫蛀，现需沿过点A 的直线PQ 将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ 进行粘贴，则美化材料（即弦PQ 的长）最少需要 cm ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 在BC 上，结AD ，AE ．记CD ＝a ，DE ＝EB ＝b ，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝．三、解答题（本题有8小题，共80分） 18．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt △ABC ）从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC 为1.8cm ，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC 为3cm ，那么木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm ）20．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表： “病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表 级别成绩（分）频数A95＜x ≤10022B 90＜x ≤9518C 85＜x ≤90D 80＜x ≤853（1）本次共随机抽取了 名学生，在频数分布统计表中，成绩是C 级的频数是 ；（2）在扇形统计图中，成绩是B 级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A 级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．21．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC 相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．22．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？23．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．24．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？25．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若3a＝2b，则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用比例的性质变形得出答案．【解答】解：∵3a＝2b，∴＝．故选：C．2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念解答．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．如图所示的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．【解答】解：从正面看所得的图形为，故选：C．4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（）A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛【分析】根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”只能说明九年级（1）班获胜的可能性很大，∴九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛，故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tan B的值是（）A．B．C．D．【分析】直接利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，则tan B＝＝＝．故选：A．6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】连接OB，根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题．【解答】解：如图，连接OB，∵∠C＝50°，∴∠AOB＝2∠C＝100°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝40°，则∠BAD的度数是40°．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（）x…013…y…131…A．a＞0B．x＞1时y随x的增大而减小C．y的最大值是3D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B、C进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝1和x＝2的函数值相等，则可对D进行判断．【解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，a＜0，故A错误；∵抛物线过点（0，1）和（3，1），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴x＝对应的y的值最大，故C错误；∵抛物线开口向下，∴x＞时y随x的增大而减小，故B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线经过点（1，3），∴点（1，3）关于对称轴的对称点为（2，3），∴关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2，故D正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由题意可得△BOC的面积为4，通过证明△DOE∽△BOC，可求S△DOE＝1，即可求解．【解答】解：∵，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴＝（）2＝，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜【分析】由勾股定理可求AB＝10，求出⊙O与△ABC的边恰有3个交点时，OA的长，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当⊙O'过点B时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，此时O'B＝2，则O'A＝8；如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，连接OE，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴AO＝，当⊙O'与BC相切于点F时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，同理可求O'B＝2.5，∴O'A＝7.5，∴当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围为7.5＜OA＜8或2＜OA＜．故选：D．10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（）A．4B．6C．8D．12【分析】延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．∵AB是直径，∴∠ATB＝90°，∵∠APB＝120°，∴∠BPT＝60°，∴PT＝PB•cos60°＝PB，∵P A•PB＝2P A•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，∵﹣2＜0，∴x＝2时，P A•PB的最大值为8，故选：C．二．填空题（共6小题）11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：50100150500100020001000050000抽取只数（只）合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．【解答】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．故答案为：0.84．12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为3cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面圆的半径＝＝3（cm），所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故答案为15π．13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（1，3）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，3）．14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为24．【分析】先利用切线的性质得到OB⊥AB，则利用勾股定理可计算出AB＝12，再根据切线长定理得到AB＝AC，MB＝MP，NC＝NP，然后利用等线段代换得到△AMN的周长＝2AB．【解答】解：∵AB，AC分别与⊙O切于点B，C，∴AB＝AC，OB⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝＝＝12，∵MN与⊙O相切于P，∴MB＝MP，NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MP+NP+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB＝2×12＝24．故答案为24．15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要8cm．【分析】如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．利用勾股定理以及垂径定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．在Rt△OAQ′中，AQ′＝＝＝4（cm），∵OA⊥P′Q′，∴AQ′＝AP′，∴P′Q′＝2AQ′＝8（cm），故答案为：8．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE＝EB＝b，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝或．【分析】根据分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵恰好存在两对相似三角形，∴其中一对一定为△ADE∽△BDA，∴，∴AD2＝DE•BD＝b•2b＝2b2，第二对：①若△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•CB＝a（a+2b），∵a2+AC2＝AD2，∴a2+a2+2ab＝2b2，即a2+2b﹣b2＝0，两边同除以b2，可得：，令m＝＞0，∴m2+m﹣1＝0，解得：（舍去），∴，②若△ACD∽△ECA，∴，∴AC2＝CE•CD＝a（a+b），∴AC2+a2＝AD2，∴a2+ab+a2＝2b2，∴，两边同除以b2，可得：，令n＝，∴，解得：（舍去），∴，综上所述，的值为或．故答案为：或．三．解答题17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣2×＝1+﹣＝1．18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1cm）【分析】根据正切的定义求出BC，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（cm），∴BH＝BC﹣HC＝7（cm），在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），答：木桩上升了大约1.3厘米19．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表频数级别成绩（分）22A95＜x≤100B90＜x≤1895C85＜x≤90D80＜x≤385（1）本次共随机抽取了50名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．【分析】（1）由D级的人数和所占百分比求出抽取的人数，减去A、B、D的人数得出成绩是C级的频数即可；（2）由360°乘以B级所占的比例即可；（3）画树状图，共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次共随机抽取了学生的人数为：3÷6%＝50（名），成绩是C级的频数是50﹣22﹣18﹣3＝7，故答案为：50，7；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数为：360°×＝129.6°；（3）把小江、小北分别记为A、B，其他2名学生记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，∴小江、小北两人同时被选中的概率为＝．20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可完成画图．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．【解答】解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（1，9），∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE＝∠DEC，∠A＝∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO＝90°，则可得出结论．（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB＝5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，可求出AE，证明△DFC∽△ACB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据题意，可以写出每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以得到利润与x的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元．【解答】解：（1）由题意可得，y＝80+×10＝﹣20x+720，∵销售单价不低于批发价，∴24≤x≤32，即每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式是y＝﹣20x+720（24≤x≤32）；（2）设销售利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣24）（﹣20x+720）＝﹣20（x﹣30）2+720，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝720，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．【分析】（1）先判断出∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，即可得出结论；（2）先判断出△CFG是等边三角形，过点C作CH⊥FG于H，设FH＝a，得出FG＝2a，CH＝a，进而得出DH＝3+a，再用三角函数建立方程求出a，即可得出结论；（3）先设出MF＝m，利用含30度角的直角三角形表示出DF，DM，进而表示出CF，CP，再利用三角形的面积，表示出AN，再判断出AD∥BE，进而得出△ADE与△ABE的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点D是的中点，∴，∴∠ACD＝∠CED，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．。
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）.1．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A 固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．154．对于函数y＝﹣x2﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≥0C．x≤0D．x≤﹣15．将抛物线y＝x2+4x+1通过平移得到y＝x2，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是（）A．1B．2C．0D．不能确定7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）8．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A．2米B．3米C．4米D．5米9．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD10．如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 11．已知，则＝．12．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时 公交车用时的频数线路 30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐 （填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．13．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点，OC ⊥AB 于点E ．若∠CDB ＝30°，OA ＝2，则AB 的长为 ．14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为cm．16．如图，直线l：经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…B n （n，y n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，A n+1（x n+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（1）求它的对称轴；（2）求它与x轴，y轴的交点坐标．18．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．20．如图，已知点A、B的坐标分别是（0，0）（4，0），将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′．（1）画出△A′B′C′（不要求写出作法）；（2）写出点C′的坐标；（3）求旋转过程中点B所经过的路径长．21．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）40+x销售量y（件）销售玩具获得利润W（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？23．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（﹣4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC ＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．（1）求证：△ABC是半直角三角形；（2）求证：∠DEC＝∠DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S；△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．试题解析一．选择题（共10小题）.1．解：二次函数y＝（x﹣1）2+5的图象开口向上，顶点坐标为（1，对称轴为直线x＝1．故选：C．2．解：∵AB＝2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．3．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．4．解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣7＝﹣（x+1）2﹣7，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴当x≤﹣6时，y随x的增大而增大，故选：D．5．解：∵抛物线y＝x2+4x+7可化为y＝（x+2）2﹣3，∴把抛物线y＝（x+2）2﹣7先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到抛物线y＝x2．故选：D．6．解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点，△＝（﹣m）2﹣3×1×（﹣5）＝m7+20，∵m2一定为非负数，∴m2+20＞7，∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是3．故选：B．7．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1），故选：B．8．解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣2（舍去），x2＝3．∴OB＝5米．故选：B．9．解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴7CD＞MN，故D选项错误；故选：D．10．解：把y＝2x代入y＝ax2+bx+c可得ax6+（b﹣2）x+c＝0，由图象可知方程ax4+（b﹣2）x+c＝0有两个大于2的解，故而y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象与x轴正半轴交于两点，故选：A．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）11．解：∵，∴＝＝．12．解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝2.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．13．解：∵∠CDB＝30°，∴∠COA＝60°，∴A＝30°，∴OE＝OA＝2，在Rt△AEO中，AE＝，∵OC⊥AB∴AB＝2AE＝8．故答案为：214．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+6，将（﹣12，0）代入得出2+7，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）6+4．故答案为：y＝﹣（x+6）2+5．15．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF6即：（4﹣x）2+72＝x2解得：x＝2.5故答案为：2.716．解：直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），当x＝2时，y＝，即：B2（5，），∵A1（d，0），A3（2﹣d，0），若B4为直角顶点，则A1A2的中点（8，0）到B1的距离与到A5和A2的距离相等，即：1﹣d＝，解得：d＝；同理：若B2为直角顶点，则A4A3的中点（2，4）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B4为直角顶点，求出的d为负数3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是或．故答案为：或．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即该抛物线的对称轴为直线x＝7；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣1或x＝7，即该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），6），9）．18．解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从3个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，6），﹣1）和C（4，∴，∴a＝，b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣5；（2）当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0；解得x2＝2，x2＝﹣2，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣8＜x＜4．20．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；（2）点C′（﹣2，5）；（3）点B所经过的路径长＝＝2π．21．解：（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，2）和点B（16，∴0＝256a+8，a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣16≤x≤16）；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，延长CD经过O点，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB8∴R2＝（R﹣8）8+162，解得R＝20；（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，EF＝y＝3.2米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH＝D ，O F′＝R＝20，在Rt△OH F′中，H ，∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）∴在离桥的一端7米处，抛物线型桥墩高3.5米； ．22．解：（1）由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，销售玩具获得利润为：W＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000；故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000；（2）列方程得：﹣10x7+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40．∴该玩具销售单价应定为50元或80元；答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）销售单价为在40元的基础上上涨x，根据题意得，解得：3≤x≤6，W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，∴当4≤x≤8时，y随x增大而增大，＝8640（元），∴当x＝6时，W最大值答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．23．（1）证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝45°，∵∠ABE＝∠ADE＝45°，∴△ABC是半直角三角形；（2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠DEB＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DEB，∵D、B、A、E四点共圆，∴∠DBA+∠DEA＝180°，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∴∠DEA＝∠DEC；（3）解：如图1，连接AM，设⊙M的半径为r，∵点D的坐标为（0，2），∴OM＝8﹣r，由OM2+OA5＝MA2得：（8﹣r）8+42＝r6，解得r＝5，∴⊙M 的半径为5，∵∠ABE＝45°，∴∠EMA＝7∠ABE＝90°，∴EA2＝MA2+ME7＝52+42＝50，∴AE＝5．24．解：（1）∵点A（﹣1，0），7），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝4，∴B（4，5），把A（﹣8，0）和B（43+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，B（8，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+6，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），t2﹣6t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t4﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），＝＝＝．∴S△ABF（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣5，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB4＝PA2，∴（4﹣5）2+（m﹣5）8+（4+1）7+52＝（8+1）2+m8，解得：m＝8，∴P（1，7）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，∴（1+1）8+m2+（4+4）2+52＝（4﹣1）8+（m﹣5）2，解得：m＝﹣6，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB6+PA2＝BA2，∴（8+1）2+m3+（4﹣1）4+（m﹣5）2＝（5+1）2+42，解得：m＝6或﹣5，∴P（1，6）或（2；综上，点P的坐标为（1，﹣2）或（7，﹣1）．。
浙江省绍兴市柯桥区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(word版含答案)
2020 学年第一学期八年级期终学业评价调测试卷（2021.1）数学（满分：100 分 考试时间：120 分钟 考试中不允许使用计算器 命题人：姚志敏）一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ▲ ）A ．B ． bC ．D ．2．如果 a ＞b ，那么下列各式中正确的是（ ▲ ） A ．a +1＜b +1 B ．－a+3＜－b+3 C ．－a ＞－b D ．22a b 3. 如图，点 C ，D 在线段 AB 的同侧，如果∠CAB =∠DBA ，那么下列条件中不能．．判定△ABD ≌△BAC 的是（ ▲ ）A ．∠D =∠CB ．∠CAD =∠DBC C ．AD =BC D ．BD =AC4．下列选项中，可以用来证明命题“若 a > 0 ，则 a > 0 ”是假命题的反例的是（ ▲ ） A ．a=－1 B ．a=0 C ．a=1 D ．a=2 5．关于一次函数 y ＝5x ﹣3 的描述，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．图象经过第一、二、三象限 B ．向下平移 3个单位长度，可得到 y ＝5x C ．函数的图象与 x 轴的交点坐标是（0，﹣3） D ．图象经过点（1，2）6．等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数分别是（ ▲ ） A ．55°，55° B ．70°，40°或 70°，55° C ．70°，40° D ．55°，55°或 70°，40°7．如图，直线 y 1=x +b 与 y 2=kx -1 相交于点 P ，点 P 的横坐标为-1，则关于 x 的不等式 x +b ＞kx -1 的解集在数轴上表示正确的是（▲）A. B. C. D.8．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P 从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O 的路线匀速运动，设动点P 的运动路程为t，△OAP 的面积为S，则下列能大致反映S 与t 之间关系的图象是（▲）A．B．C．D．9. 如图，在△ABC 中，已知点D，E，F 分别是BC，AD，CE 的中点，且SΔABC＝8，则SΔBEF的值是（▲）A.2B. 3C.4D. 510. 已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB=∠APC=∠BPC=1200 时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF=（▲）A ．6B + 3C ．D ．9 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11．“对顶角相等”的逆命题是 ▲ ．12．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ▲ ． 13．若点 B (7a ＋14，a －3)在第四象限，则 a 的取值范围是 ▲ ．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （1，1），B （- 1，1），C （-1，-2），D （1，-2）.现把一条长为 2021 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按A －B －C －D －A － …的顺序紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ▲ ．15. 如果三角形三边长分别为12，k ，7225k -的结果是 ▲ ． 16．2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1），且大正方形的面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为 a ，较长直角边为 b ．如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为 ▲ ．17．如图，等边三角形纸片 ABC ，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿 EF 折叠，使点A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 ED ⊥BC ，则∠EFD ＝ ▲ ．18．已知点 P 是直线 y = −2x + 4 上的一个动点，若点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 ▲ ． 19．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与 AC 的垂直平分线相交于点 D ，过点 D 作DF ⊥BC ，DG ⊥AB ，垂足分别为 F 、G ．若 BG ＝5，AC ＝6，则△ABC 的周长是 ▲ ．20．如图，在 Rt △ABC 中，CA ＝CB ，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为 E ，F ，连接 EM ．则下列结论中：①BF ＝CE ； ②∠AEM ＝∠DEM ；③AE ﹣CE= 2 ME ；④DE 2+DF 2＝2DM 2； ⑤若 AE 平分∠BAC ，则 EF ：BF=：1； 正确的有 ▲ ．（只填序号）三、解答题（本大题共 7 小题 , 共 50 分） 21．（本小题满分 6 分） （1）化简：)11（2）解不等式组 363104x x ⎧<⎪⎨-+≥⎪⎩①②22. （本小题满分 6 分）如图，是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1 中画出以AC 为底边的等腰直角三角形ABC，点B 在小正方形顶点上；（2）在图2 中画出以AC 为腰的等腰三角形ACD，点D 在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．23．（本小题满分7 分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为▲L，机器工作的过程中每分钟耗油量为▲L．（2）求机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．24．（本小题满分5 分）如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE．且E，F，C，D 在同一直线上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠B=30°，∠BAC=100°，点F 是CE 的中点，连结AF，求∠F AE 的度数．25．（本小题满分8 分）某商店销售A 型和B 型两种型号的平板，销售一台A 型平板可获利120 元，销售一台 B 型平板可获利140 元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100 台，其中 B 型平板的进货量不超过A 型平板的3 倍．设购进 A 型平板x 台，这100 台平板的销售总利润为y 元．（1）求 A 型平板至少多少台？（2）该商店购进A 型、B 型平板各多少台，才能使销售利润最大？（3）若限定商店最多购进A 型平板60 台，则这100 台平板的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A 型平板的台数；若不能，请求出这100 台平板销售总利润的范围．26．（本小题满分8 分）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点.（1）如图①，已知△ABC 为勾股高三角形，其中 A 为勾股顶点，AD 是BC 边上的高.若BD=1，CD=2，求高AD 的长；（2）如图②，△ABC 中，AB=AC=3，BC=3 3 -3，求证：△ABC 是勾股高三角形.①②27．（本小题满分10 分）如图，平面直角坐标系中，直线m 交x 轴于点A，交y 轴于点B.且点 A ()，∠BAO = 60° .点C 为AB 中点，过点C 作直线n 垂直于m，交x轴于点D.（1）请直接写出B、C、D 的坐标.（2）在x 轴上找一点E, 使得S△BCE=6，求点E 的坐标.（3）直线m 上有一点M, y 轴上有一点N, 若△DMN 是等腰直角三角形，求出点M 的坐标.第27 题备用图1 备用图22020学年第一学期期末学业评价调测试卷八年级数学参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）二、填空题（每小题3分，共30分）11、 相等的角是对顶角 12、 5 13、 -2<a <3 14、 (0,1) 15、 11-3k 16、 27 17、 45° 18、()444,433⎛⎫- ⎪⎝⎭,, 19、16 20、①②③④⑤ 三、解答题（本大题共7小题 , 共50分）21、 (1)31=--2=(2) 解①得2x <，….1’，解②得：1x ≥- ….1’，∴12x -≤<22、（1）作AC 的垂直平分线，作以AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B ； （2）以C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点D ；23、解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L ），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L ）， 故答案为：3，0.5；（2）当10＜x ≤60时，设y 关于x 的函数解析式为y ＝ax +b ，1030605a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得，0.535a b =-⎧⎨=⎩， 即机器工作时y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣0.5x +35（10＜x ≤60）； （3）当3x ＝30÷2时，得x ＝5， 当﹣0.5x +35＝30÷2时，得x ＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40． 24、（1）∵∠BAD=∠CAE ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC 即∠BAC=∠DAE ∵AB=AD ，AC=AE∴△ABC ≌△ADE （SAS ） （2）∵∠B +∠ACB +∠BAC=180° ∴∠ACB=180°－∠B －∠BAC=50° ∵△ABC ≌△ADE∴∠ACB=∠AED=50° ∵点F 是CE 的中点 ∴AF ⊥CE∴∠F AE=90°－∠E=40°25、解：（1）100﹣x ≤3x ，解得x ≥25 ∴A 型平板至少25台。
浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年九年级上学期期末学业成绩调测英语试题(含答案)
嵊州市2023学年第一学期期末学业成绩调测九年级英语试卷考生须知：1. 全卷分试卷Ⅰ（选择题）、试卷Ⅱ（非选择题）和答题卷。
满分120分，考试时间100分钟。
2. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号。
3. 答题时，把试卷的答案在答题卷上对应的选项位置用2B铅笔涂黑涂满，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
把试卷Ⅱ的答案写在答题卷相应区域内；答错区域、超出答题区域、答在试题卷和草稿纸上的答案均无效。
温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！试卷Ⅰ（选择题共65分）（一）听力部分（共20分）一、听力（本题有15小题，第一、二节每小题1分，第三节每小题2分，共计20分）第一节：听小对话，回答问题。
1. Whose book is this?A. David’s.B. Alan’s.C. Jenny’s.2. How does Jerry feel about the movie?A. Boring.B. Serious.C. Exciting3. When will the taxi arrive?A. At 8:45.B. At 9:00.C. At 9:15.4. Why does the woman make the call?A. To ask for help.B. To offer a suggestion.C. To make an invitation.5. What does the man probably mean?A. The waiter is friendly.B. The dinner is expensive.C. The food is delicious.第二节：听较长对话，回答问题。
听下面一段对话，回答第6-7小题。
6. What are the speakers talking about?A. Fire.B. Water.C. Electricity.7. Where does the conversation probably take place?A. In a classroom.B. In a shop.C. In a museum.听下面一段对话，回答第8-10小题。
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市八年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是( )A. 1cm，2cm，3cmB. 5cm，5cm，5cmC. 2cm，5cm，8cmD. 1.5cm，1.4cm，2.9cm2.下列交通标志是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短4.如果m>n，那么下列结论错误的是( )A. m+2>n+2B. m−2>n−2C. 2m>2nD. −2m>−2n5.如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )A. AB=DEB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC//FD6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是( )A. 9B. 16C. 8D. 47.如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，则点C的坐标是( )A. (2,2)B. (1,2)C. (1,1)D. (2,1)8.已知点A(2,y1)和点B(a,y2)在一次函数y=−3x−b的图象上，且y1>y2，则a的值可能是( )A. 3B. 0C. −1D. −29.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°.过点A作AF⊥CE，垂足为F.若AF=√5，则AB的长为( )A. √10B. 2√5C. 4D. 610.如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BC//x轴，直线y=1x−3沿2 x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m.图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为( )A. 2√5B. 6C. 8D. 12二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.平面直角坐标系中，点(1,−2)在第______象限．12.命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是______命题(填“真”或“假”)．13.如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，量得∠CAB=33°，∠CDB=21°，则∠ABD的度数为______．14. 已知：等腰三角形的两边长分别为6和4，则此等腰三角形的周长是______．15. 如图，由图象得方程组{3x +y =0y =x +4的解为______．16. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD 与BE 相交于点F ，且AC =BF ，DF =DC.若∠ABE =15°，则∠DBF 的度数为______．17. 在平面直角坐标系中，A(2,3)，B(−2,1)，在x 轴上求一点C ，使CA +CB 最小，则点C 的坐标为______ ．18. 关于x 的不等式组{3x −a ≥02x −b ≤0只有一个解，则a 与b 的关系是______． 19. 如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，E.作直线DE ，交BC 于点M.分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧交于点F ，G.作直线FG ，交BC 于点N.连接AM ，AN.若∠BAC =α，则∠MAN = ______ ．20. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，D 是线段AB 的中点，P 为直线BC 上的一动点，连结DP.过点D 作ED ⊥DP ，交直线AC 于点E ，连结EP.若CP =3，则AE 的长为______．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分。
2022-2023学年人教版九年级上册数学期末必刷常考题-旋转
2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之旋转一．选择题（共5小题）1．（2021春•万山区期末）如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．（2021春•金台区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）3．（2021春•榆阳区期末）如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（）A．∠ABC+∠ADC＝180°B．∠BCD＝120°C．AC＝BC+CD D．AE＝BD4．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°5．（2021春•西山区期末）如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（）A．（3038，1）B．（3032，1）C．（2021，0）D．（2021，1）二．填空题（共5小题）6．（2021春•锦州期末）如图，这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到，则∠ABC＝．7．（2020秋•綦江区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为．8．（2021春•靖边县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB 交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是°．9．（2021春•广陵区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．10．（2020秋•兰陵县期末）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是．三．解答题（共5小题）11．（2021春•武陵区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．（1）证明：△CFD≌△ABC；（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．12．（2021春•曹县期末）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在FG的延长线上，BG与CD相交于点H，求证：DH＝BH．13．（2020秋•铁西区期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D；（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）写出所画图形围成的面积．（结果保留π）14．（2020秋•斗门区期末）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．（1）求证：DF＝DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．15．（2020秋•铁西区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°，点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B 旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之旋转参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021春•万山区期末）如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，那么∠AOB'的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°是解题关键．2．（2021春•金台区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；模型思想；应用意识．【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即纵横坐标均互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（﹣3，1），故选：C．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的两个点坐标之间的关系是得出正确答案的前提．3．（2021春•榆阳区期末）如图，AC、BD为四边形ABCD的对角线，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB（点C、D的对应点分别为点E、B），若点C、B、E在一条直线上，则下列说法错误的是（）A．∠ABC+∠ADC＝180°B．∠BCD＝120°C．AC＝BC+CD D．AE＝BD【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由旋转的性质可得出∠ADC＝∠ABE，AC＝AE，AD＝AB，∠ACD＝∠AEB，∠CAE＝∠DAB＝60°，得出△CAE和△DAB都是等边三角形，可判断A，B，C选项正确，则可得出结论．【解答】解：∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，故选项正确，不符合题意，∵将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，∴AC＝AE，AD＝AB，∠ACD＝∠AEB，∠CAE＝∠DAB＝60°，∴△CAE和△DAB都是等边三角形，∴∠ACD＝∠AEB＝60°，∠ACE＝60°，∴∠BCD＝120°，故B选项正确，不符合题意；∵△ACE为等边三角形，∴AC＝CE＝BE+BC，又∵BE＝CD，∴AC＝CD+BC，故C选项正确，不符合题意，∵BD＝AB，AB≠AE，∴AE≠BD，故D选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．（2021春•曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】根据图形的旋转性质，得AB＝AB′，已知AB′＝CB′，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得∠B、∠C的关系为解决问题的关键．【解答】解：∵AB′＝CB′，∴∠C＝CAB′，∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴C＝24°，∴∠C′＝∠C＝24°，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及图形的旋转性质．5．（2021春•西山区期末）如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（）A．（3038，1）B．（3032，1）C．（2021，0）D．（2021，1）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】规律型；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】分析A1，A2，A3，A4，A5点坐标，找到规律求解．【解答】解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，0），当A2021时，即4n+1＝2021，解得n＝505，∴横坐标为6n+2＝6×505+2＝3032，纵坐标为1，则A2021的坐标（3032，1），故选：B．【点评】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．二．填空题（共5小题）6．（2021春•锦州期末）如图，这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到，则∠ABC＝30°．【考点】多边形内角与外角；旋转对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】依据多边形内角和公式求得正六边形每个角的度数，再根据角的和差关系进行计算即可．【解答】解：由旋转可得，该多边形是正六边形，∴该正六边形每个角为＝120°，∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．7．（2020秋•綦江区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE＝2，AF＝2，BF＝4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为2．【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】连接FH，由正方形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，由旋转的性质得出EF＝EH，证明Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），得出∠EFB＝∠HEC，证出∠FEH＝90°，由勾股定理可得出答案．【解答】解：连接FH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，∵AF＝2，BF＝4，∴AB＝6，∵BE＝2，∴CE＝4，∴BF＝CE，∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，∴EF＝EH，在Rt△EBF和Rt△HCE中，，∴Rt△EBF≌Rt△HCE（HL），∴∠EFB＝∠HEC，∵∠EFB+∠BEF＝90°，∴∠BEF+∠CEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∵BF＝4，BE＝2，∴EF＝＝＝2，∴FH＝EF＝2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质，勾股定理．8．（2021春•靖边县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB 交B′C′于点D，若∠BAB′＝40°，则∠C′DC的度数是40°．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质得到∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，进而推出∠CAC′＝40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC＝∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，∴△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，∵∠BAB'＝40°，∴∠CAC′＝40°，∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，∠C′DC＝∠CAC′＝40°，故答案为：40．【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．9．（2021春•广陵区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是4．【考点】正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；旋转的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明∴△AED≌△GFE （AAS），确定F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上，当D，F，C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，求出DC'＝4即可．【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED与△GFE中，，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC'的角平分线，即F点在∠CBC'的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'＝＝＝4，故答案为4．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．10．（2020秋•兰陵县期末）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是2．【考点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】过点F作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA＝CD，∠D＝90°，再根据旋转的性质得EA＝EF，∠AEF＝90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE＝FH＝2，AD＝EH，所以EH＝DC，则DE＝CH＝2，然后利用勾股定理计算FC的长．【解答】解：过点F作FH⊥CD于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝CD，∠D＝90°，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴EA＝EF，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠FEH+∠AED＝90°，∴∠EAD＝∠FEH，在△ADE和△EHF中，，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴DE＝FH＝2，AD＝EH，∴EH＝DC，即DE+CE＝CH+EC，∴DE＝CH＝2，在Rt△CFH中，FC＝＝＝2，【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三．解答题（共5小题）11．（2021春•武陵区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，连接BE、DF、BF．（1）证明：△CFD≌△ABC；（2）证明：四边形BEDF是平行四边形．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定；旋转的性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．【分析】（1）由旋转的性质可得CB＝CE，AB＝DE＝BF，由“SSS”可证△ABC≌△CFD；（2）延长BF交CE于点G，可证BF∥ED，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS）；（2）延长BF交CE于点G，由（1）得，FC＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．12．（2021春•曹县期末）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，点A，D，C的对应点分别为点G，F，E，点D恰好在FG的延长线上，BG与CD相交于点H，求证：DH＝BH．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】证明Rt△BDA≌Rt△BDG，得到∠ABD＝∠GBD，再利用矩形性质求解．【解答】证明：∵旋转矩形ABCD得到矩形GBEF，∴AB＝BG，∠A＝∠DGB＝90°，在Rt△BDA和Rt△BDG中，，∴Rt△BDA≌Rt△BDG（HL），∴∠ABD＝∠GBD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD＝∠BDH，∴∠BDH＝∠HBD，∴DH＝BH．【点评】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明Rt△BDA≌Rt△BGA，得到∠ABD＝∠GBD，再利用矩形性质求解．13．（2020秋•铁西区期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D；（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是轴对称图形；（3）写出所画图形围成的面积．（结果保留π）【考点】作图﹣旋转变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据轴对称图形的定义判断即可．（3）根据所画图形的面积＝S半圆+S+S﹣S矩形，利用扇形的面积公式计算可得．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示．（2）所画图形是轴对称图形；故答案为：轴．（3）所画图形的面积＝S半圆+S+S﹣S矩形＝•π•42+×2﹣4×8＝8π+4π+4π﹣32＝16π﹣32．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2020秋•斗门区期末）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．（1）求证：DF＝DE；（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）先根据∠DBE＝∠ABC可知∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，故可得出∠DBF＝∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBF，故可得出结论；（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠F AB＝∠BCE＝45°，所以∠DAF＝90°，由（1）证DE＝DF，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，∵△ABF由△CBE旋转而成，∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，∴∠DBF＝∠DBE，在△DBE与△DBF中，，∴△DBE≌△DBF（SAS），∴DF＝DE；（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCE＝45°，∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，∴AF＝EC，∴∠F AB＝∠BCE＝45°，∴∠DAF＝90°，在Rt△ADF中，DF2＝AF2+AD2，∵AF＝EC，∴DF2＝EC2+AD2，同（1）可得DE＝DF，∴DE2＝AD2+EC2．【点评】本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．15．（2020秋•铁西区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°，点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B 旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标；（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．【考点】含30度角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】（1）①根据旋转的性质得到OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，推出△OAA'是等边三角形，于是得到α＝∠AOA'＝60°；②如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，根据三角形的内角和定理得到∠OBA＝30，根据勾股定理得到，求得，得到，于是得到答案；（2）如图2，等腰三角形的性质得到，推出∠BP A'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，由垂直的定义得到结论．【解答】解：（1）①由旋转得：OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，∴△OAA'是等边三角形，∴α＝∠AOA'＝60°；②如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，∵∠BAO＝60°，∴∠OBA＝30°，在Rt△OAB中，∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝4，∴，∴，又∵∠AOA'＝60°，∴∠B'OC＝90°﹣∠AOA'＝30°，∵∠B'CO＝90°，∴，∴，∴；（2）AA'⊥BB'，理由：如图2，∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，∴，∵∠BOA'＝90°﹣α，四边形OBP A'的内角和为360°，∴∠BP A'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，即AA'⊥BB'．【点评】主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质．考点卡片1．规律型：点的坐标规律型：点的坐标．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．5．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．8．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．9．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．11．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．12．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．13．旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．14．关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．15．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．16．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等。
九年级数学上册2020-2021学年度第一学期九年级期末学业水平质量检测含答案
2020—2021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项）1．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=. 使△ADE与△ACB一定相似的是A．①②B．②③C．①③D．①②③2. 如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点. 如果∠ACB=45°，那么AB的长为A．πB．2πC．3πD．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为A．1 B．12C．14D．154．如图，数轴上有A、B、C三点，点A、C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，如果点A、B、C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，那么原点O的位置应该在A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点5. 如图，P A和PB是⊙O的切线，点A和点B为切点，AC是⊙O的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB的大小是A．65°B．60°C．55°D．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为80米．如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是A．1802xx=+B．180xx=+C．802xx=+D．803xx=+cCBA7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是 A ．4 B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．10.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()214y x =--+的图象如图，将二次函数()214y x =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________.11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm.12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________. 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06x s ()y m ()182014O yx4O 1EDBCA二班一班成绩/分109876109876543201514. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ． 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接P A ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径 作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交P A 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________． 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+--.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB=∠A ． （1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值． 图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B .（1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ． 小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整； x /cm 0 1 2 3 4 5 61y /cm5.20 4.36 3.60 2.65 2.65 2y /cm5.204.564.224.244.775.606.00 （2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y ），（x ，y ），并画出函数y 的图象；y 2cm6543学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2. （1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示)；（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接 写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.图2图127. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使30MPC∠=︒，则称点P为⊙C的特征点．（1）当⊙O的半径为1时，如图1.①在点P1（-1，0），P2（1，P3（3，0）中，⊙O的特征点是______________．②点P在直线y b=+上，若点P为⊙O的特征点，求b的取值范围．（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A（-2，0），B（0，．若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．2020—202021学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11+-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. …………………5分 ∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . ………………… 1分 ∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. ………………… 2分 ∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD . ………………… 3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC =. ………………… 4分9=.∴5BF=. …………………5分∵DC∥AE，∴△DFC∽△EFB.∴CF DCBF BE=.∴45ABBE=. …………………6分20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ………………1分∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DECO是平行四边形.∴四边形DECO是矩形. ………………2分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO OC=.∵四边形DECO是矩形，∴DE OC=.∴2DE AO==. ………………3分∵DE∥AC，∴OAF DEF∠=∠.∵AFO EFD∠=∠，∴△AFO≌△EFD.∴OF DF=. ………………4分在Rt△ADO中，tanOAADBDO∠=.∴2DO=.∴DO=………………5分∴FO=∴AF===. ………………6分方法二：∴△AFO≌△EFD.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD=∴AE=∴AF =12AE. 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. ……………… 1分 ∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .在Rt △ABD 中， ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB =. ∴6AB =. ……………… 5分 ∴3OC =. 在Rt △COF 中， ∴3sin 5OC F OF ==. ∴335OF =. ∴5OF =. ……………… 6分 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G .23. 解：（1）40，108︒； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分 （3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分 24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30, 把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，y 2cm 65432∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ……………… 3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分 （3）32a -<-≤或2<3a ≤. ……………… 6分26. （1）BF =． ……………… 1分（2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ……………… 5分 ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ……………… 6分 ∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF =.∴DF =. ……………… 7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F，0），OC ⊥EF .∴3tan OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==，∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。
浙江省绍兴市嵊州市剡城中学2016届九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版
浙江省绍兴市嵊州市剡城中学2016届九年级数学上学期期中试题一.选择题（每小题4分，共40分）1．10件衬衣中，有2个不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格衬衣的概率是( )A．B．C．D．2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三边的距离相等 B．外心一定在三角形外C．到三个顶点的距离相等 D．外心一定在三角形内3．二次函数y=﹣x2﹣2x+7的图象的对称轴是( )A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣14．如图，O是圆心，半径OC⊥弦AB于点D，AB=8，OD=3，则CD等于( )A．2 B．3 C．2 D．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=80°，则∠BOD=( )A．45° B．80° C．100°D．160°6．已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是( )A．x＜0 B．x＜﹣1或1＜x＜2 C．﹣1＜x＜1或x＞2 D．x＞﹣17．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P22 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为( )A ．B ．1C ．2D ．28．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A ．B ．C ．4D ．39．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＞0；②2a ﹣b=0；③4a+c ＜2b ；④3b+2c ＜0；⑤m （am+b ）＜a ﹣b （m≠﹣1），其中正确结论的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，如图将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC ，使点B 恰好落在函数y=ax 2（a ＜0）的图象上，则a 的值为( )A ．B ．C ．﹣2D ．二.填空题（每小题5分，共30分）11．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=2x 、、y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是__________．12．将抛物线y=x2+6先右平移动2个单位，再向下平移4个单位后得到一个新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是__________．（用顶点式表示）13．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=__________．14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则方程ax2+bx+c﹣2=0__________实数根．15．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为__________．16．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是__________．3三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为．（1）求乙盒中红球的个数；（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列表法求两次摸到不同颜色的球的概率．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．19．如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标；（2）求这个二次函数的解析式以及函数的最小值；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．20．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；44（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．21．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为蝶顶，点M到线段AB 的距离称为碟高．（1）抛物线y=2x2对应的碟宽为__________；抛物线y=ax2对应的碟宽为__________；抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）对应的碟宽为__________．（2）抛物线y=ax2﹣4ax ﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．23．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l 与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．524．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．662015-2016学年浙江省绍兴市嵊州市剡城中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）1．10件衬衣中，有2个不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格衬衣的概率是( )A ．B ．C ．D ．【考点】概率公式．【分析】10件衬衣中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵10件衬衣中，有2个不合格产品，∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是：=．故选B．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三边的距离相等 B．外心一定在三角形外C．到三个顶点的距离相等 D．外心一定在三角形内【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据三角形外心的定义和性质得出A、B、D错误，C正确即可．【解答】解：A、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三边的距离相等不一定相等，故本选项错误；B、∵锐角三角形的外心在三角形的内部，∴外心不一定在三角形外，故本选项错误；C、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三个顶点的距离相等相等，故本选项正确；D、∵钝角三角形的外心在三角形的外部，∴外心不一定在三角形内，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心；熟知三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答此题的关键．3．二次函数y=﹣x2﹣2x+7的图象的对称轴是( )A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣1【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可知a=﹣1，b=﹣2，然后依据x=﹣计算即可．【解答】解：题意可知a=﹣1，b=﹣2．∵x=﹣，788 ∴x=﹣=﹣1．故选：D ． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，熟记抛物线的对称轴方程为x=﹣是解题的关键．4．如图，O 是圆心，半径OC⊥弦AB 于点D ，AB=8，OD=3，则CD 等于( )A ．2B ．3C ．2D ．2【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA ，先根据垂径定理求出AD 的长，再由勾股定理求出OA 的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OA ，∵半径OC⊥弦AB 于点D ，AB=8，∴AD=4， ∴OA===5，∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．故选A ．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=80°，则∠BOD=( )A．45° B．80° C．100°D．160°【考点】圆内接四边形的性质；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，然后再计算出∠BCD的度数，进而可得∠A的度数，再根据圆周角定理可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BCD=100°，∴∠A=80°，∴∠BOD=160°，故选：D．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．( )6．已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是A．x＜0 B．x＜﹣1或1＜x＜2 C．﹣1＜x＜1或x＞2 D．x＞﹣1【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】当y＜0时x的范围，就是图象中函数图象在x轴下方部分自变量的取值范围，据此即可求解．【解答】解：当y＜0时，x的范围是：﹣1＜x＜1或x＞2．故选C．【点评】本题考查了函数的图象，理解当y＜0时x的范围，就是求图象中函数图象在x轴下方部分自变量的取值范围是关键．7．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P( )是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为A ．B．1 C．2 D．2【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得910 10 ∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA ，即为PA+PB 的最小值．【解答】解：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，则AB′与MN 的交点即为PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B 为劣弧AN 的中点， ∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=OA=×1=，即PA+PB 的最小值=． 故选：A ．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．8．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A ．B ．C ．4D ．3【考点】圆周角定理；勾股定理；旋转的性质．【专题】计算题．【分析】作AH⊥BC 于H ，作直径CF ，连结BF ，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH ，易得AH 为△CBF 的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＞0；②2a﹣b=0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），其中正确结论的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】探究型．【分析】根据二次函数的图象可知抛物线与x轴有两个交点，对称轴为x=﹣1，二次函数图象具有对称性，从而可以判断题目中的结论是否正确．【解答】解：∵由图象可知，当y=0时，图象与x轴有两个交点，∴ax2+bx+c=0时，b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0．（故①错误）∵二次函数的对称轴：，∴b=2a．∴2a﹣b=0．（故②正确）∵由图象可知，x=0时和x=﹣2时函数值相等，都大于零，∴x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0．∴4a+c＞2b．（故③错误）∵由图象可知x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，∴．∴3b+2c＜0．（故④正确）∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．（故⑤正确）故选B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．10．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为( )A ．B ． C．﹣2 D ．【考点】二次函数综合题．【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB，可得OB的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解．【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE=75°，∵∠AOB=45°，∴∠BOE=30°，∵OA=1，∴OB=，∵∠OCB=90°，∴BE=OB=，∴OE=，∴点B 坐标为（，﹣），12代入y=ax2（a＜0）得a=﹣，∴y=﹣．故选D．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，关键是利用正方形的性质及相应的三角函数得到点B的坐标．二.填空题（每小题5分，共30分）11．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=2x、、y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是．【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质；概率公式．【专题】数形结合．【分析】函数y=2x的图象是经过第一、三象限的直线，由于k=2＞0，所以y随x的增大而增大，函数的图象位于第一、三象限，k=3＞0，y随x的增大而减小；函数y=x2的图象开口向上，顶点在原点，在第一象限y随x的增大而增大，所以三个函数中符合要求的有两个，故可以利用列举法求出概率值．【解答】解：函数y=2x、、y=x2的图象的草图如图所示，由图可知，图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数是y=2x、y=x2，故P=．故答案为：．【点评】本题是函数与统计初步中的综合题型，熟悉二次函数的性质，数形结合是解题的关键，同时应熟悉各种概率问题的题型特点和求解方法．12．将抛物线y=x2+6先右平移动2个单位，再向下平移4个单位后得到一个新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是y=（x﹣2）2+2．（用顶点式表示）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2+6向右平移动2个单位所得直线解析式为：y=（x﹣2）2+6；再向下平移4个单位为：y=（x﹣2）2+6﹣4，即y=（x﹣2）2+2．故答案为y=（x﹣2）2+2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．13．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=30°．【考点】圆周角定理．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．【解答】解：由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等实数根．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位得到y=ax2+bx+c﹣2，顶点D的坐标为（﹣1，2）从而可知y=ax2+bx+c﹣2的顶点在x轴上，从而可得到方程的解得情况．【解答】解：令y=ax2+bx+c﹣2．∵y=ax2+bx+c向下平移2个单位得到y=ax2+bx+c﹣2，且抛物线y=ax2+bx+c顶点D的坐标为（﹣1，2），14∴抛物线y=ax2+bx+c﹣2的顶点坐为（﹣1，0）．∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．故答案为：有两个相等．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点坐标，将方程问题转化为函数问题是解题的关键．15．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．【解答】解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，故BC=2BD=R；如图（二），连接OB、OC，过O作O E⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=，故BC=R；如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．【点评】本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．16．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是．【考点】二次函数综合题．【分析】根据∠AOB=60°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=60°，∴直线OA的解析式为y=x，联立，消掉y得，x2﹣x+k=0，△=（﹣）2﹣4×1×k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，解得：x=，即交点的横坐标为，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（1，），∵＜1，∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，4+k=0，解得k=﹣4，∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是：﹣4＜k ＜．故答案为：﹣4＜k ＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，16根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为．（1）求乙盒中红球的个数；（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列表法求两次摸到不同颜色的球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）设乙盒中红球的个数为x，根据概率公式由从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为可得到方程得=，然后解方程即可；（2）先列表展示所有15种等可能的结果数，再找出两次摸到不同颜色的球占7种，然后根据概率公式即可得到两次摸到不同颜色的球的概率．【解答】解：（1）设乙盒中红球的个数为x，根据题意得=，解得x=3，所以乙盒中红球的个数为3；（2）列表如下：共有15种等可能的结果，两次摸到不同颜色的球有7种，所以两次摸到不同颜色的球的概率=．【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率公式得到这个事件的概率=．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．【考点】圆内接四边形的性质．【专题】证明题．【分析】连接AC，先根据直径所对的角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E=∠D，∠EBC=∠E，从而根据等角对等边可证BC=EC．【解答】证明：连接AC．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°，∴∠EBC=∠D．∵C是弧BD的中点，∴∠1=∠2，∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，∴∠E=∠D，∴∠EBC=∠E，∴BC=EC．【点评】主要考查了圆内接四边形的性质和圆、等腰三角形的有关性质．根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠EBC=∠E是解题的关键．19．如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标；（2）求这个二次函数的解析式以及函数的最小值；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．18【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由已知点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO，点B在x轴的正半轴，可知B（3，0）；（2）将B（3，0），C（0，﹣3）两点坐标代入y=x2+bx+c中，解方程组求b、c，可得二次函数解析式，用配方法求函数最小值；（3）根据对称轴及开口方向求y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），且BO=CO，且点B在x轴的正半轴，∴B（3，0）；（2）把B（3，0），C（0，﹣3）两点坐标代入y=x2+bx+c中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3，即y=（x﹣1）2﹣4，故函数最小值﹣4；（3）由（2）可知，抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x≤1时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，二次函数性质的运用，关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．20．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．【考点】扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理及其推论进行分析，得到结论；（2）连接OC，阴影部分的面积即是扇形OAC的面积减去三角形AOC的面积．根据圆周角定理发现30°的直角三角形ABC，从而得到扇形所在的圆心角的度数以及半径的长，再根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC2=BE•AB；⑥BC2=CE2+BE2；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．（2）连接OC，则OC=OA=OB，∵∠D=30°，=，∴∠A=∠D=30°，∴∠COB=2∠A=60°∴∠AOC=120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=1，∴AB=2，AC=，∵OF⊥AC，∴A F=CF，∵OA=OB，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=BC=，∴S△AOC =AC •OF=××=，S扇形AOC =π×OA2=，∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC =．【点评】要熟练运用垂径定理、圆周角定理及其推论、等弧对等弦以及30°的直角三角形的性质．21．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20【考点】二次函数的应用．【专题】方程思想．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y=90﹣3（x﹣50），然后根据销售利润=销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）由题意得：y=90﹣3（x﹣50）化简得：y=﹣3x+240；（2）由题意得：w=（x﹣40）y（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600；（3）w=﹣3x2+360x﹣9600∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下．当时，w有最大值．又x＜60，w随x的增大而增大．∴当x=55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为蝶顶，点M到线段AB 的距离称为碟高．（1）抛物线y=2x2对应的碟宽为1；抛物线y=ax2对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）对应的碟宽为．（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=2x2的碟宽，利用端点（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax2（a＞0），类似．而抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，则发现碟宽只和a有关．（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得关于a 的方程=6，解方程即可求得a的值．【解答】解：（1）∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=×90°=45°，∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC，∴x A=y A，x B=y B，代入y=ax2，∴A（﹣，），B （，），C（0，），∴AB=，OC=，即y=ax2的碟宽为．①抛物线y=2x2对应的a=2，得碟宽为1；②抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；③抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的图形，∵平移不改变形状、大小、方向，∴抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，22∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，∴抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0），碟宽为．（2）∵y=ax2﹣4ax﹣=a（x﹣2）2﹣（4a+），∴同（1），其碟宽为，∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，∴=6，解得a=．故答案为：1；；．【点评】本题考查二次函数综合题，题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，解题的关键是由抛物线y=ax2（a＞0），得到碟宽只和a有关，即碟宽为．23．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l 与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC。
上册 期末复习强化训练卷1(一元二次方程)-2020-2021学年苏科版九年级数学上学期(机构)
期末复习强化训练卷1（一元二次方程）-苏科版九年级数学一、选择题1、方程||(2)4310m m x x m ++++=是关于的一元二次方程，则( )A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±2、下列关于x 的方程：①ax 2+bx +c ＝0；②2x +21x－3＝0；③x 2﹣4+x 5＝0；④3x ＝x 2．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242019m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．20194、如果0是关于x 的一元二次方程（a +3）x 2﹣x +a 2﹣9＝0的一个根，那么a 的值是（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．±3 D ．±25、方程2(5)6(5)x x x -=-的根是( )A ．5x =B ．5x =-C ．15x =-，23x =D ．15x =，23x =6、关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定7、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．78、若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）A ．10B ．9C ．7D ．59、直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个10、某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价x 元，则可列方程为( )A ．(40)(60010)10000x x +-=B ．(40)(60010)10000x x ++=C ．[60010(40)]10000x x --=D ．[60010(40)]10000x x +-=11、近年来天府新区加大了对教育经费的投入，2017年投入3000万元，2019年投入4320万元．假设投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．3000x 2＝4320B ．3000（1+x ） 2＝4320C ．3000（1+x %）2＝4320D ．3000（1+x ）+3000（1+x ） 2＝432012、方程a （x +m ）2+b ＝0的解是x 1＝﹣2，x 2＝1，则方程a （x +m +2）2+b ＝0的解是（ ） A ．x 1＝﹣2，x 2＝1 B ．x 1＝﹣4，x 2＝﹣1C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝x 2＝﹣2二、填空题13、若关于x 的方程(1-a )12+a x －7＝0是一元二次方程，则a ＝ ．14、关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项是0，则m 的值（ ）A ．1B ．1或2C ．2D ．±115、已知关于x 的方程x 2+6x +k ＝0有一根为2，则k 的值为 ．16、已知x 为实数，且满足（2x 2+3）2+2（2x 2+3）﹣15＝0，则2x 2+3的值为 ．17、若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣x ﹣1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是 ． 18、已知周长为40的矩形的长和宽分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +9＝0的两个实数根，则m 的值为 ．19、已知m 、n 是方程210x x +-=的根，则式子22m m n mn ++-= 1 ．20、已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ．21、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若2111x x +＝﹣1， 则k 的值为_____．22、一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为 ． 23、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a *b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +2）*5＝0的解为_____． 24、准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面 积为80平方米，则小路的宽度为 米．三、解答题25、用指定的方法解下列方程：（1）24(1)360x --=（直接开平方法） （2）22510x x -+= （配方法）（3）(1)(2)4x x +-=（公式法） （4）2(1)(1)0x x x +-+=（因式分解法）（5）2x 2﹣5x ﹣4＝0（配方法）； （6）3（x ﹣2）+x 2﹣2x ＝0（因式分解法）26、关于x 的一元二次方程为22(2)0x x m m --+=（1）求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正数．27、已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣10＝0两个实数根，求：（1）（m ﹣1）（n ﹣1）；（2）m 2+3n ﹣5的值．28、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣2k +8＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 13x 2+x 1x 23＝24，求k 的值．29、2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？30、某医疗设备工厂生产的呼吸机一月份产量为80台，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对呼吸机需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起持续扩大产能，一、二、三月总产量为560台．（1）求呼吸机产量的月平均增长率；（2）按照这个月平均增长率，求五月份产量为多少台？31、有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．32、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．33、某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？34、如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？期末复习强化训练卷1（一元二次方程）-苏科版九年级数学（答案）一、选择题1、方程||(2)4310m m x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则( ) A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠± 【答案】解：由题意得：|m |＝2且m +2≠0，由解得得m ＝±2且m ≠﹣2，∴m ＝2．故选：B ．2、下列关于x 的方程：①ax 2+bx +c ＝0；②2x +21x －3＝0；③x 2﹣4+x 5＝0；④3x ＝x 2．其中是一元二次方程的有（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242019m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】解：∵m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，∴m 2﹣2m ﹣1＝0，∴m 2﹣2m ＝1，∴2m 2﹣4m +2019＝2（m 2﹣2m ）+2019＝2×1+2019＝2021． 故选：B ．4、如果0是关于x 的一元二次方程（a +3）x 2﹣x +a 2﹣9＝0的一个根，那么a 的值是（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．±3 D ．±2解：把x ＝0代入一元二次方程（a +3）x 2﹣x +a 2﹣9＝0得a 2﹣9＝0，解得a 1＝﹣3，a 2＝3，而a +3≠0，所以a 的值为3．故选：A ．5、方程2(5)6(5)x x x -=-的根是( )A ．5x =B ．5x =-C ．15x =-，23x =D ．15x =，23x =解：2(5)6(5)0x x x ---=，(5)(26)0x x ∴--=，则50x -=或260x -=，解得5x =或3x =，故选：D ．6、关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】解：△＝（k ﹣3）2﹣4（1﹣k ）＝k 2﹣6k +9﹣4+4k ＝k 2﹣2k +5＝（k ﹣1）2+4，∴（k ﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．7、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0的两个根，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．3或4D ．7【答案】解：当3为腰长时，将x ＝3代入x 2﹣4x +k ＝0，得：32﹣4×3+k ＝0，解得：k ＝3，当k ＝3时，原方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k ＝3符合题意；当3为底边长时，关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k ＝0，解得：k ＝4，当k ＝4时，原方程为x 2﹣4x +4＝0，解得：x 1＝x 2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k ＝4符合题意．∴k 的值为3或4．故选：C ．8、若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）A ．10B ．9C ．7D ．5【答案】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝22﹣（﹣3）＝7．故选：C ．9、直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个 解：直线y x a =+不经过第二象限，∴a ≤0，当0a =时，关于x 的方程2210ax x ++=是一次方程，解为12x =-， 当0a <时，关于x 的方程2210ax x ++=是二次方程，△2240a =->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D ．10、某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价x 元，则可列方程为( )A ．(40)(60010)10000x x +-=B ．(40)(60010)10000x x ++=C ．[60010(40)]10000x x --=D ．[60010(40)]10000x x +-=解：售价上涨x 元后，该商场平均每月可售出(60010)x -个台灯，依题意，得：(40)(60010)10000x x +-=，故选：A ．11、近年来天府新区加大了对教育经费的投入，2017年投入3000万元，2019年投入4320万元．假设投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（B ）A ．3000x 2＝4320B ．3000（1+x ） 2＝4320C ．3000（1+x %）2＝4320D ．3000（1+x ）+3000（1+x ） 2＝432012、方程a （x +m ）2+b ＝0的解是x 1＝﹣2，x 2＝1，则方程a （x +m +2）2+b ＝0的解是（ ）A ．x 1＝﹣2，x 2＝1B ．x 1＝﹣4，x 2＝﹣1C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝x 2＝﹣2解：∵方程a （x +m ）2+b ＝0的解是x 1＝﹣2，x 2＝1，∴方程a （x +m +2）2+b ＝0的两个解是x 3＝﹣2﹣2＝﹣4，x 4＝1﹣2＝﹣1，故选：B ．二、填空题13、若关于x 的方程(1-a )12+a x －7＝0是一元二次方程，则a ＝ ．【答案】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为：﹣1．14、关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项是0，则m 的值（ ）A ．1B ．1或2C ．2D ．±1【答案】解：由题意，得m 2﹣3m +2＝0且m ﹣1≠0，解得m ＝2，故选：C ．15、已知关于x 的方程x 2+6x +k ＝0有一根为2，则k 的值为 ．解：根据题意知，x ＝2满足关于x 的方程x 2+6x +k ＝0，则22+6×2+k ＝0，解得k ＝﹣16． 故答案是：﹣16．16、已知x 为实数，且满足（2x 2+3）2+2（2x 2+3）﹣15＝0，则2x 2+3的值为 ．解：设2x 2+3＝t ，且t ≥3，∴原方程化为：t 2+2t ﹣15＝0，∴t ＝3或t ＝﹣5（舍去），∴2x 2+3＝3，故答案为：317、若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣x ﹣1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是 ． 解：根据题意得：△＝b 2﹣4ac ＝1+4（k ﹣1）＝4k ﹣3＞0，且k ﹣1≠0，解得：k ＞且k ≠1．故答案为：k ＞且k ≠1．18、已知周长为40的矩形的长和宽分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +9＝0的两个实数根，则m 的值为 ．解：周长为40的矩形的长和宽的和为40÷2＝20，∵矩形的长和宽是一元二次方程x 2﹣mx +9＝0的两个实数根，∴m ＝20．故答案为：20．19、已知m 、n 是方程210x x +-=的根，则式子22m m n mn ++-= 1 ． 解：m 是方程210x x +-=的根，210m m ∴+-=，即21m m +=，221m m n mn m n mn ∴++-=+-+，m 、n 是方程210x x +-=的根，21m m ∴+=，1m n +=-，1mn =-，222()1111m m n mn m m m n mn ∴++-=+++-=-+=． 故答案为：1．20、已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ．解：根据题意得△2(5)420c =--⨯⨯=，解得258c =．故答案为：258．21、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若2111x x +＝﹣1， 则k 的值为__3___．22、一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为 ．解：210210x x -+=，(3)(7)0x x --=，30x -=或70x -=，所以13x =，27x =，2357+=<，∴三角形第三边长为3，∴三角形的周长为2338++=．故答案为8．23、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a *b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +2）*5＝0的解为_3或-7____．24、准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面 积为80平方米，则小路的宽度为 米．解：设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为4x 米，依题意得：(304244)80x x x +++=整理得：2427400x x +-=解得18x =-（舍去），254x =． 故答案为：54．三、解答题25、用指定的方法解下列方程：（1）24(1)360x --=（直接开平方法） （2）22510x x -+= （配方法）（3）(1)(2)4x x +-=（公式法） （4）2(1)(1)0x x x +-+=（因式分解法）（5）2x 2﹣5x ﹣4＝0（配方法）； （6）3（x ﹣2）+x 2﹣2x ＝0（因式分解法）【答案】解：（1）方程变形得：（x ﹣1）2＝9，开方得：x ﹣1＝3或x ﹣1＝﹣3，解得：x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）方程变形得：x 2﹣x ＝﹣，配方得：x 2﹣x +＝（x ﹣）2＝， 开方得：x ﹣＝±， 则x 1＝，x 2＝； （3）方程整理得：x 2﹣x ﹣6＝0，这里a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x ＝， 则x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）分解因式得：（x +1）（2﹣x ）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝2．（5）2x 2﹣5x ﹣4＝0，变形得：x 2x ＝2， 配方得：x 2x ，即（x ）2，开方得：x ±，则x 1，x 2；（6）3（x ﹣2）+x 2﹣2x ＝0，变形得：3（x ﹣2）+x （x ﹣2）＝0，即（x ﹣2）（x +3）＝0，可得x ﹣2＝0或x +3＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣3．26、关于x 的一元二次方程为22(2)0x x m m --+=（1）求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正数．【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m （m +2）]＝4m 2+8m +4＝4（m +1）2，∵4（m +1）2≥0，∴△≥0，∴无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）解：x ＝＝1±（m +1），所以x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，根据题意得m +2＞0且﹣m ＞0，所以﹣2＜m ＜0，所以整数m 为﹣1．27、已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣10＝0两个实数根，求：（1）（m ﹣1）（n ﹣1）；（2）m 2+3n ﹣5的值．解：∵m ，n 是方程x 2﹣3x ﹣10＝0，∴根据一元二次方程根与系数的关系得：m +n ＝3，mn ＝﹣10．（1）（m ﹣1）x （n ﹣1）＝mn ﹣（m +n ）+1＝﹣10﹣3+1＝﹣12；（2）由m ，n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣10＝0两个实数根，得m 2﹣3m ﹣5＝0，则m 2﹣3m ＝5．故m 2+3n ﹣5＝m 2﹣3m +3（m +n ）﹣5＝5+3×3﹣5＝9；28、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣2k +8＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 13x 2+x 1x 23＝24，求k 的值．【答案】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k +8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：=24，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．29、2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【答案】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．30、某医疗设备工厂生产的呼吸机一月份产量为80台，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对呼吸机需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从二月份起持续扩大产能，一、二、三月总产量为560台．（1）求呼吸机产量的月平均增长率；（2）按照这个月平均增长率，求五月份产量为多少台？解：（1）设呼吸机产量的月平均增长率为x，根据题意，得80+80（1+x）+80（1+x）2＝560，解得x1＝﹣4（舍去），x2＝1＝100%，答：呼吸机产量的月平均增长率为100%．（2）80×（1+1）4＝1120（台）．答：五月份产量为为1120台．31、有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．【答案】解：（1）由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m2的花圃．32、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由．解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量(10020)x+箱，每箱饮料盈利(12)x-元；（1）依题意得：(123)(100203)1440-+⨯=（元)答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；（2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，(12)(10020)1400x x-+=，整理得27100x x-+=，解得12x=，25x=；为了多销售，增加利润，5x∴=，答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元．（3）不能，理由如下：要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得，(12)(10020)1500x x-+=，整理得27150x x-+=，因为△4960110=-=-<，所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元．33、某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？【答案】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．34、如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【答案】解：（1）设经过x 秒，点P ，Q 之间的距离为cm ，则AP ＝x （cm ），QB ＝2x （cm ），∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ∴PB ＝（6﹣x ）（cm ），∵在△ABC 中，∠B ＝90°，∴由勾股定理得：（6﹣x ）2+（2x ）2＝6化简得：5x 2﹣12x +30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P ，Q 之间的距离不可能为cm ．（2）设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，由题意得：21（6﹣x ）•2x ＝8 解得：x 1＝2，x 2＝4， 检验发现x 1，x 2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2．（3）①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上设经过m 秒，0＜m ≤4，依题意有21（6﹣m ）（8﹣2m ）＝1，∴m 2﹣10m +23＝0 解得；m 1＝5（舍），m 2＝5， ∴m ＝5符合题意； ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上设经过n 秒，4＜n ≤6，依题意有21（6﹣n ）（2n ﹣8）＝1，∴n 2﹣10n +25＝0 解得n 1＝n 2＝5， ∴n ＝5符合题意；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上设经过k 秒，k ＞6，依题意有21（k ﹣6）（2k ﹣8）＝1 解得k 1＝5，k 2＝5（舍）， ∴k ＝5符合题意； ∴经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ 的面积为1cm 2．。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
浙教版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题1(含答案)
浙教新版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题1 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（）A．2B．4C．8D．162．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（）A．60°B．90°C．120°D．180°3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π4．把抛物线y＝﹣x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣25．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．B．C．D．6．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1 7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④8．某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1B．＝﹣1C．＝+2D．＝﹣29．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（）A．2≤k≤16B．2≤k≤8C．1≤k≤4D．8≤k≤16 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．某学校食堂为了了解服务质量，随机调查了来食堂就餐的200名学生，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这200名学生中对该食堂的服务质表示不满意的有人．12．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B′的度数为．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O米以内．14．一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，若矩形的高为2m，宽为m，则要打掉墙体的面积为m2．15．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是．16．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，．以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F．若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2与，则的值为．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．（1）解方程：（x﹣2）x＝2x﹣1．（2）计算：|﹣|+×+（）﹣1﹣（﹣）0．18．如图，在▱ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：（1）AE＝CF；（2）AE∥CF．19．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度，在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2位家长来自相同班级的概率．温馨提示：初三（1）班两名家长用A1，A2表示；初三（2）班两名家长用B1，B2表示．20．如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上．（1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形；（2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一点D，连结AD，作△ACD 的外接圆⊙O，交A B于点E．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）小明编制题目是：若AD＝BD，求证：AE＝BE．请你解答．（2）在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度，编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．23．阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．24．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，∴n＝8，故选：C．2．解：∵正十二角形体的中心角为30°，∴观察图象可知，旋转角是30°的偶数倍数时，可以与本身重合，故选：B．3．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长是＝＝，故选：D．4．解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以所得抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．故选：B．5．解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，∴获得食物的概率是＝，故选：C．6．解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＞y3＞y2，故选：B．7．解：∵①中的三角形的三边分别是：2，，，②中的三角形的三边分别是：3，，，③中的三角形的三边分别是：2，2，2，④中的三角形的三边分别是：3，，4，∵①与③中的三角形的三边的比为：1：，∴①与③相似．故选：C．8．解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，∴一周后每周生产1.5x万个口罩，依题意，得：＝+1．故选：A．9．解：∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，∴2≤k≤16．故选：A．10．解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．解：因为200名学生中对该食堂的服务质量表示不满意占总体的百分比为：1﹣46%﹣38%﹣9%＝7%，所以200名学生中对该食堂的服务质量表示很满意有：200×7%＝14（人）．故答案为：14．12．解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B＝20°．故答案为20°．13．解：设OA右侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，∴该抛物线过点（8，0），∴0＝a（8﹣3）2+5，得a＝﹣，∴OA 右侧的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+5＝x 2++，当y ＝1.8时，1.8＝﹣（x ﹣3）2+5，得x 1＝7，x 2＝﹣1，∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，点A 的坐标为（0，），∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O 7米以内， 故答案为：7．14．解：如图，连结AD 、BC 交于O ，∵∠BDC ＝90°，∴BC 是直径，∴BC ＝＝＝， ∴OA ＝OB ＝AB ＝， ∴△AOB 是正三角形，∴∠AOB ＝60°，∠AOC ＝120°，∴S △AOB ＝，S △AOC ＝，∴S ＝2（S 扇形OAC ﹣S △AOC ）+S 扇形OAB ﹣S △AOB＝2[﹣]+[﹣]＝π﹣，∴打掉墙体面积为（π﹣）平方米， 故答案为：（π﹣）．15．解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49cm2．故答案为49cm2．16．解：设AD＝3k，AB＝2k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝60°，∴∠D＝120°，∴的长＝＝＝2πr1，可得r1＝，∴的长＝＝＝2πr2，可得r2＝，∴＝1，故答案为1．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．解：（1）（x﹣2）x＝2x﹣1x2﹣2x﹣2x＝﹣1，则x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）|﹣|+×+（）﹣1﹣（﹣）0＝+2+2﹣1＝3+1．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠DAE＝∠DAB，∠BCF＝∠DCB，∴∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF．（2）∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．19．解：画树状图如下：共有12种等可能结果，其中2人来自相同班级的共有4种，所以2人来自相同班级的概率为＝．20．解：（1）如图所示，△BCD即为所求．（2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求，相似比；相似比．21．（1）证明：连结DE，∵∠C＝90°，∴AD为直径，∴DE⊥AB，∵AD＝BD，∴AE＝BE；（2）答案不唯一．①第一层次：若AC＝4，求BC的长．答案：BC＝8；②第二层次：若CD＝3，求BD的长．答案：BD＝5；③第三层次：若CD＝3，求AC的长．设BD＝x，∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，∴△ABC～△DBE，∴＝，∴＝，∴x＝5，∴AD＝BD＝5，∴AC＝＝4．22．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当A B是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．23．解：（1）由题意可得，S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，∵，解得，6≤x＜16，即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．24．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，＝2，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt △CFB 中，BF ＝＝＝＝CF ， ∵PB ＝PF +BF ，∴PB ＝CF +BF ，即：4＝CF +CF ，解得：CF ＝6﹣2； （3）①∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∵CA ＝CB ，∴∠ADC ＝∠BDC ，同（1）得：四边形DEPF 是正方形，∴PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，∴将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，PA ′＝PA ，如图3所示： 则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ，∴∠A ′PF +∠BPF ＝90°，即∠A ′PB ＝90°，∴S △PAE +S △PBF ＝S △PA ′B ＝PA ′•PB ＝x （70﹣x ），在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝AB ＝×70＝35， ∴S △ACB ＝AC 2＝×（35）2＝1225，∴y ＝S △PA ′B +S △ACB ＝x （70﹣x ）+1225＝﹣x 2+35x +1225；②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝AB ﹣AP ＝70﹣30＝40，在Rt △A ′PB 中，由勾股定理得：A ′B ＝＝＝50，∵S △A ′PB ＝A ′B •PF ＝PB •A ′P ，∴×50×PF ＝×40×30，解得：PF ＝24，∴S 四边形PEDF ＝PF 2＝242＝576（m 2），∴当AP ＝30m 时．室内活动区（四边形PEDF ）的面积为576m 2．。
2020-2021学 年上 学期人教版九年级数学试题
2020-2021上学期人教版九年级数学期末试卷一．选择题（共12小题）1．如果一个数的绝对值小于另一个数，则这两个数的和是（）A．正数B．正数或零C．负数D．负数或零2．下列各数：1，，4.112134，0，，3.14，其中分数有（）A．6个B．3个C．4个D．5个3．x＝3是下列方程的解的有（）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④x＝x﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0）C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b25．若M在第三象限，则M点的坐标可能是（）A．（1，2）B．（2，﹣3）C．（﹣5，﹣6）D．（﹣3，5）6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A₂，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的周长为（）A．（）2020B．（）2021C．4×（）2020D．4×（）2021 7．下列几何体，用一个平面去截，不能截得三角形截面的是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体8．已知正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是（）A．27cm3B．27πcm3C．18cm3D．18πcm39．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋10．如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，过点D做DE⊥BC，交BC 的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（）A．5B．10C．5D．1511．某市有9个区，为了解该市初中生的体重情况，有人设计了四种调查方案，你认为比较合理的是（）A．测试该市某一所中学初中生的体重B．测试该市某个区所有初中生的体重C．测试全市所有初中生的体重D．每区随机抽取5所初中，测试所抽学校初中生的体重12．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共6小题）13．若向前进10米记为+10，那么向后退10米记为．14．方程（b﹣3）b+2015＝1的解是b＝．15．点P到x轴和y轴的距离分别为2和3，且点P在第四象限，则P点的坐标为．16．一个直棱柱一共有21条棱，那么这个棱柱的底面的形状是．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．18．为统计了解某市4万名学生平均每天读书的时间，有以下步骤：①得出结论，提出建议；②分析数据；③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；④利用统计图表将收集的数据整理和表示，请您对以上步骤进行合理排序．（只填序号）三．解答题（共9小题）19．为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣1（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？20．把下列各数填在相应的集合中：22，，0.81，﹣3，，﹣3.1，0，3.14，π，1.6整数集合{…}；负分数集合{…}．21．阅读理解题：下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：x﹣4+4＝3x﹣4+4，①x＝3x，②1＝3．③（1）小明①的依据是．（2）小明出错的步骤是，错误的原因是．（3）给出正确的解法．22．已知方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x﹣2a＝0的解互为相反数，求a的值．23．已知点P（2x﹣6，3x+1）在y轴上，求P的坐标．24．计算下面圆锥的体积．25．国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状．造型平面呈轴对称，其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花．（1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是．（用含a的代数式表示）（2）已知a＝2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（π取3）．26．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．27．若干个人相聚，其中有些人彼此认识，已知：（1）如果某两个人有相等数目的熟人，则他两没有公共的熟人；（2）有一个人至少有56个熟人．证明：可找出一个聚会者，他恰好有56个熟人．2020-2021上学期人教版九年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据一个数的绝对值小于另一个数，可知另一个数是正数，并且另一个数的绝对值较大，根据有理数的加法法则即可确定答案．【解答】解：∵一个数的绝对值小于另一个数，∴另一个数是正数，并且另一个数的绝对值较大，∴这两个数的和一定是正数．故选：A．2．【分析】根据有理数的分类判断即可．【解答】解：在1，，4.112134，0，，3.14中，分数有4.112134，，3.14，共3个．故选：B．3．【分析】分别求出四个方程的解各是多少，判断出x＝3是所给方程的解的有多少个即可．【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3．②∵|x+2|＝5，∴x+2＝±5，解得x＝﹣7或3．③∵（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x＝3或1．④∵x＝x﹣2，∴x＝3，∴x＝3是所给方程的解的有3个：②、③、④．故选：C．4．【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．故选：C．5．【分析】根据在第三象限的点的横坐标和纵坐标均为负数判断即可．【解答】解：A．点（1，2）在第一象限；B．（2，﹣3）在第四象限；C．（﹣5，﹣6）在第三象限，D．（﹣3，5）在第二象限，故选：C．6．【分析】根据相似三角形的判定定理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1＝∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的周长公式计算三个正方形的周长，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．【解答】解：设正方形的周长分别为C1，C2 (2021)根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（两直线平行，同位角相等）．∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，∵顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），∴OA＝，OD＝，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝＝1，∴AD＝AB＝1，∵cot∠DAO＝＝，∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO，∴BA1＝AB＝，∴CA1＝1+＝，同理，得：C1A2＝+＝＝（）2，由正方形的周长公式，得：C1＝4×（）0C2＝4×（）1，C3＝4×（）2，…由此，可得∁n＝4×（）n﹣1，∴C2021＝4×（）2020．故选：C．7．【分析】当截面的角度和方向不同时，圆柱，球的截面不相同，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．【解答】解：用一个平面截一个几何体，不能截得三角形的截面的几何体有圆柱．故选：A．8．【分析】首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3cm，底面直径为6cm，再计算体积即可．【解答】解：直线AB为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3cm，底面直径为6cm，∴所得几何体的体积＝32•π•3＝27π（cm3），故选：B．9．【分析】利用轴对称画图可得答案．【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．10．【分析】连接CD，构造含30°角的直角三角形DCE，根据BC＝DC进行计算即可．【解答】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠DCE＝60°，∵DE⊥CE，CE＝5，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE＝10，∴BC＝10．∴BE＝BC+CE＝10+5＝15．故选：D．11．【分析】利用抽样调查的中样本的代表性即可作出判断．【解答】解：某市有9个区，为了解该市初中生的体重情况，设计了四种调查方案．比较合理的是：每区随机抽取5所初中，测试所抽学校初中生的体重，故选：D．12．【分析】将数轴上的3段看成3个抽屉，先考虑相反的情况，得到的结果再取反即为答案．令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，由此可得出结论．【解答】解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，∴n≥7．故选：C．二．填空题（共6小题）13．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：若向前进10米记为+10，那么向后退10米记为﹣10．故答案为：﹣10．14．【分析】根据零指数幂的性质得到b+2015＝0，右侧求得b的值．【解答】解：根据题意，得b+2015＝0，或b﹣3＝1．解得b＝﹣2015或b＝4故答案是：﹣2015或4．15．【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，P到x轴，y轴的距离分别等于2和3，∴点P的横坐标是3，纵坐标是﹣2，∴点P的坐标为（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．16．【分析】根据n棱柱有3n条棱可得答案．【解答】解：∵一个直n棱柱有3n条棱，∴21÷3＝7，故答案为：7．17．【分析】如图，以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673次，故答案为：673．18．【分析】根据调查的一般步骤，得出结论．【解答】解：调查的一般步骤：先随机抽样，再收集整理数据，然后分析数据，最后得出结论．故答案为：③④②①．三．解答题（共9小题）19．【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定相距O多少千米；（2）分别写出各次记录时距离O地的距离，然后判断即可；（3）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.2升，即可求解．【解答】解：（1）﹣4+7+（﹣9）+8+6+（﹣5）+（﹣1）＝2（千米）．答：收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）第一次距O地|﹣4|＝4千米；第二次：|﹣4+7|＝3（千米）；第三次：|3﹣9|＝|﹣6|＝6（千米）；第四次：|﹣6+8|＝2（千米）；第五次：|2+6|＝8（千米）；第六次：|8﹣5|＝3（千米）；第七次：|3﹣1|＝2（千米）．所以距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣5|+|﹣1|＝40；从出发到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．答：从出发到收工共耗油8升．20．【分析】根据整数包括正整数、0和负整数，可得整数集合；根据小于0的分数为负分数，可得负分数集合．【解答】解：整数集合{22，﹣3，0…}；负分数集合{，﹣3.1…}．故答案为：22，﹣3，0；，﹣3.1．21．【分析】根据等式的性质解答即可．【解答】解：（1）小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；（2）小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0；（3）x﹣4＝3x﹣4，x﹣4+4＝3x﹣4+4，x＝3x，x﹣3x＝0，﹣2x＝0，x＝0．故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；③；等式两边都除以0．22．【分析】先求出每个方程的解，根据相反数得出关于a的方程，求出方程的解即可．【解答】解：解方程3x+2a﹣1＝0得：x＝，解方程x﹣2a＝0得：x＝2a，∵方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x﹣2a＝0的解互为相反数，∴2a+（﹣）＝0，解得：a＝﹣．23．【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出x的值，再求解即可．【解答】解：∵点P（2x﹣6，3x+1）在y轴上，∴2x﹣6＝0，解得x＝3，所以，3x+1＝9+1＝10，故P（0，10）．24．【分析】根据圆锥的体积解答即可．【解答】解：圆锥的体积：＝（cm3）．25．【分析】（1）区域②的面积＝2个正方形的面积．（2）分别求出区域①，②的面积，再乘以单价即可．【解答】解：（1）区域②的面积＝2a2．故答案为：2a2．（2）整个造型的造价：220（2×22﹣×22）+180（2×22+•π•22）＝2960（元）．26．【分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行判断；（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体600人的是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．27．【分析】考虑聚会中熟人最多的人（如果不止一个，则任取其中之一），记为A，设A认识了n个人，设为B1，B2，…，B n，由条件（1）知B i，B j熟人的数目不相等，于是B1，B2，…，B n，各人的熟人数互不相等，且均不超过n（根据的最大性），因此，必然是1，2，…，n，再根据条件（2）知n≥56，从而求解．【解答】解：考虑聚会中熟人最多的人（如果不止一个，则任取其中之一），记为A，设A认识了n个人，设为B1，B2，…，B n，由于任意两人B i，B j都以A为共同熟人，由条件（1）知B i，B j熟人的数目不相等，于是B1，B2，…，B n，各人的熟人数互不相等，且均不超过n（根据的最大性），因此，必然是1，2，…，n，再根据条件（2）知n≥56，因此1，2，…，n中包含着56，即B1，B2，…，B n中必有人恰好认识56人．。
(浙江杭州)2020-2021学年第一学期九年级期末测试-数学试题卷(浙教版)
试卷说明1.本试卷考核范围：浙教版九上全册、九下第1 章。
2.本试卷共6 页，满分120 分。
3.答题结束可扫描左侧二维码，查看习题视频解析及相关知识点讲解课程，并可查看同类题推送及创建电子错题本进行知识巩固。
4.2020-2021 学年第一学期九年级期末测试数学试题卷一、选择题：本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a=2，那么a的值为（）b 3 a +bA．1B．2C．3D．33 5 5 42.如图，在小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都是格点（网格线的交点），则tan∠ABC等于（）A．5B．2 5C．1D．5 5 5 2 3第2 题图第4 题图第6 题图3.下列事件属于必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数B．测量某天的最低气温，结果为－150 ℃C.把4 个球放到3 个抽屉里，其中有一个抽屉里至少有2 个球D.明天降雪4.如图，l1∥l2∥l3，AC、DF 交于点O，则下列比例式成立的是（）A．AB=DEB．AC=DFC．AB=ADD．AB=AC BC EF BC DE AC CF BE DF5.用长为50 的竹竿围成一个长为x 的矩形，则该矩形的面积y 与x 的函数表达式为（）A．y=x(50+x)(0<x<50) B．y=x(25+x)(0<x<25)C．y=x(50－x)(0<x<50) D．y=x(25－x)(0<x<25)6.如图，已知扇形BOD，DE⊥OB 于点E，若ED=OE=2，则阴影部分的面积为（）A．2 2 - 2 B．π－2 C．π- D．π25 7. 如图，已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC >BC )，D 是线段 AC 的黄金分割点(AD >CD )，则 AD ∶AB =（ ）A ．5 -1B ．3 - 5 D ． - 222第 7 题图 第 8 题图8. 如图，在离铁塔 a 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 β，测倾仪高 AD 为 h 米，则铁塔的高 BC 为（ ）A ．(h +a tan β)米B ．( h + atan β )米 C ．(h +a sin β)米 D ．( h +a a sin β )米 9. 如图，在一块斜边长 30 cm 的直角三角形木板(Rt △ACB )上截取一个正方形 CDEF ，点 D在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF ∶AC =1∶3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为（ ） A ．100 cm 2 B ．150 cm 2C ．170 cm 2D ．200 cm 2第 9 题图 第 10 题图10. 二次函数 y 1=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的图象如图所示，若 y 1+y 2=2，则下列关于函数y 2 的图象与性质描述正确的是（ ）A ．函数 y 2 的图象开口向上B ．函数 y 2 的图象与 x 轴没有公共点C ．当 x =1 时，函数 y 2 的值小于 0D ．当 x >2 时，y 2 随 x 的增大而减小二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分． 11．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且∠C =100°，则∠A =°．12．计算：6cos 245°－2sin30°·tan60°=．C ． 5 -113. 如图，有一个广告牌 OE ，小明站在距广告牌 10 米远的 A 处观察广告牌顶端，眼睛 B 距地面 1.5 米，他的正前方 5 米处有一堵墙 DC ，若墙高 DC 为 2 米，则广告牌 OE 的高度为 米．EAC O第 13 题图 第 15 题图 第 16 题图14. 已知二次函数 y =ax 2+bx +c (a <0)与一次函数 y =kx +1 的图象交于 A (－3，m )，B (1，n )两点 ，则关于 x 的不等式 ax 2+(b －k )x +c ≥1 的解集为 ．15. 如图，在□ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE 与 BD 相交于点 F ，若 BE = 2，则△ABF 与EC 3四边形 CDFE 的面积比= ． 16. 如图，已知 BC 是⊙O 的直径，点 A 、D 在⊙O 上，DB ∥OA ，BC =10，AC =6，则 DB 的长为 ． 三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 6 分）甲、乙两人从A 、B 、C 这三个景点中各随机选择一个景点游览． （1） 利用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果；（2） 求甲、乙两人选择的两个景点恰好相同的概率．18．（本题满分 8 分）如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，∠AED =∠B ，线段AG 分别交线段 DE ，BC 于点 F ，G ，且 AD = DF．AC CG（1） 求证：△ADF ∽△ACG ；（2） 若 AD = 3 ，求 AF的值．AC 7 FGB D19．（本题满分8 分）某商场以每件30 元的价格购进一种商品，前期调查发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m=150－3x．（1）请求出该商场卖出这种商品每天获得的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；（2）该商场每天销售这种商品获得的利润能否达到300 元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，请说明理由．20．（本题满分10 分）图1，2 分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，滑杆DE，箱长BC，拉杆AB 的长度都相等，即DE=BC=AB=40 cm，B，F 在AC 上，C 在DE 上，且CE∶CD=1∶3，∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离；（结果保留根号）（2）求支杆DF 的长度．（结果保留根号）CF21．（本题满分 10 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 交于点 F ．（1） 求证：四边形 CDEF 为菱形；（2） 求四边形 CDEF 的面积与△ABE 的面积比；（3） 连结 AD ，DF ，求 sin ∠ADF 的值．DBEA22．（本题满分 12 分）已知二次函数 y =x (ax +b )+1．（1） 若该二次函数的图象过点(－1，6)和(4，1)，求该二次函数的表达式； （2） 若 x >1 时 ax +b <0；若 x <1 时 ax +b >0．①求 a 和 b 之间的关系式；②求证：y ≤ax －a +1．23．（本题满分12 分）如图，△ABC 内接于半圆O，AB 为直径，点M 是的中点，连结BM 交AC 于点E，AD 平分∠CAB 交BM 于点D．（1）求证：∠MDA=45°；（2）若点D 恰好为BM 的中点．①求tan∠CBE 的值；②当AB 4 10 时，求CE 的长．。
浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(word版含答案)
浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列直线中，与直线210x y ++=平行的是（ ）A ．210x y ++=B ．2410x y ++=C ．210x y -+=D ．2410x y -+=2．双曲线2212x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =± 3．已知球O 的体积为36π，则该球的表面积为（ ）A ．6πB ．9πC ．12πD ．36π 4．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点，记1,,AB a AD b AA c ===，则EF =（ ）A ．12EF a b c =++ B ．3322EF a b c =++ C ．1122EF a b c =-- D ．1122EF a b c =-++ 5．已知平面α，直线m ，n ．（ ）A ．若//,//m n n α，则//m αB ．若,//m n n α⊥，则m α⊥C ．若//,//m n αα，则//m nD ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥6．已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，（ ） A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 7．已知圆222:22230C x y mx y m ++++-=，则（ ）A ．圆心C 在一条平行于x 轴的定直线上运动，且其半径存在最小值B ．圆心C 在一条平行于y 轴的定直线上运动，且其半径存在最小值C ．圆心C 在一条平行于x 轴的定直线上运动，且其半径存在最大值D ．圆心C 在一条平行于y 轴的定直线上运动，且其半径存在最大值8．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin sin 1θθ+≤ B ．12sin sin 1θθ+≥ C ．122πθθ+≤ D ．122πθθ+≥9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ）A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k -=D ．2211e k+= 10．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，P 是侧面11AAC C 内一点，设P 到平面11BB C C 的距离为d ，若12PA d =，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分二、双空题 11．已知()()()1,2,2,1,,2A B C x --三点共线，则x =______，直线AB 的倾斜角为_________．12．若某一个圆柱体的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱体的底面圆半径是_______，侧面积是_______．13．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为_______3cm ，其中最长棱的长度是_______cm ．三、填空题14．已知圆221:20C x y y +-=和圆222:440C x y x y m +-++=相交于A ，B 两点，若直线AB 的方程为2340x y -+=，则||AB =________，m =______．15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱111,,AA BC C D 的中点，设M 是该正方体表面上的一点，若(,)EMxEF yEG x y =+∈R ，则点M的轨迹所形成的长度是________．16．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．17．如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，E 是棱AB 的中点，设平面α经过直线1A E ，且α平面111,B BCC l α=⋂平面112C CDD l =，若α⊥平面11A ACC ，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为_______．四、解答题18．已知直线1:230l x y +-=和2:230l x y +-=相交于点A ．（1）求经过点A 且与1l 垂直的直线方程；（2）设经过点(0,1)P -的直线l 与12,l l 分别相交于B ，C ，若AB AC =，求直线l 的方程．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，D 是棱1CC 的中点，1AB AA =．（1）证明：1AB BD ⊥；（2）求二面角1B AB D --的平面角的余弦值．20．已知圆221:1O x y +=，圆222:(4)4O x y -+=，P 是直线:20l x my +-=上一点，过点P 分别作圆12,O O 的切线，切点分别为A ，B ．（1）若||PA 的最小值为1，求实数m 的值；（2）若直线l 上有且仅有2个点P 满足||2||PB PA =，求实数m 的取值范围．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是等腰直角三角形，PA PD ⊥，E ，F ，G 分别是,,AD BC PB 的中点，1AB =，2PB BC ==．（1）证明：//PE 平面AFG ；（2）求直线PB 与平面AFG 所成角的正弦值．22．如图，已知A ，B ，C ，D 是抛物线2:2x y Ω=上四个不同的点，且//AB CD ，设直线AC 与直线BD 相交于点P ，设(0)PC CA λλ=>．（1）求证：A ，P ，B 三点的横坐标成等差数列；（2）当直线AB 经过点(0,1)Q ，且2λ=时，若PAB △面积的为203，求直线AB 的方程．参考答案1．B【分析】根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，可得121121==，根据两直线的位置关系，可得两直线重合，不符合题意； 对于B 中，可得121241=≠，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意； 对于C 中，可得1221≠-，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于C 中，可得1224≠-，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 2．A【分析】求出a 、b 的值，即可得出所求双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线2212x y -=中，a =1b =，因此，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：A.3．D【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.【详解】设球的体积为R ，则由题可得34363R ππ=，解得3R =，则该球的表面积为24336ππ⨯=.故选：D.4．C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】1111112EF EC C F AB C B B F =+=++ ()11112222a b c a b c ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭. 故选：C5．D【分析】根据线面平行，垂直的判定定理和性质即可判断.【详解】对A ，若//,//m n n α，则//m α或m α⊂，故A 错误；对B ，若,//m n n α⊥，则m 和α平行、相交或在平面内，故B 错误；对C ，若//,//m n αα，则,m n 平行、相交或异面，故C 错误；对D ，若,//m n αα⊥，则m n ⊥，故D 正确.故选：D.6．D【分析】根据曲线方程，分别求出曲线表示双曲线、椭圆时参数的取值范围，即可判断；【详解】解：因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆； 故选：D7．C【分析】首先将圆的方程化成标准式，表示出圆心坐标及半径，即可判断；【详解】解：因为222:22230C x y mx y m ++++-=所以()()222:14C x m y m +++=-，故圆心坐标为(),1C m --，半径r =故圆心坐标在直线1y =-上运动，2r ≤，当0m =时半径取得最大值， 故选：C8．C【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项.【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 9．B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-， 利用点差法22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 整理得到2212214y b x a =，即222222244b a c k k a a-=⇒=， 即221k e +=故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项. 10．D 【分析】取11,B C BC 的中点,M N ，得出平面222A B C ，作122PP B C ⊥，在直角12PPC 中，求得2PC =，以1C 为原点，1C C 为x 轴，11C A 为y 轴建立平面直角坐标系，求得点(,)P x y 的轨迹方程，即可求解. 【详解】如图所示，取11,B C BC 的中点,M N ，连接1,,A M AN MN ， 得到平行于平面ABC 且过点P 的平面222A B C ，如图（1）（2）所示， 作122PP B C ⊥，则1PP d =，在直角12PPC 中，可得2PC =， 在图（3）中，设直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为a ，且(,)P x y ， 以1C 为原点，1C C 为x 轴，11C A 为y 轴建立平面直角坐标系， 则1(0,)A a ，所以21,4y A P d ==， 所以222(0))4x a d -+-=，整理得222220x y ay a --+=， 所以点P 的轨迹是双曲线的一部分. 故选：D.11．3 4π【分析】由三点共线得斜率相等即可求解. 【详解】直线AB 斜率为12121AB k +==+，BC 斜率为212BC k x -=-，因为()()()1,2,2,1,,2A B C x --三点共线，所以AB BC k k =，则3x =，由tan 1θ=得4πθ=所以直线AB 的倾斜角为4π故答案为：3；4π 12．1 4π 【分析】根据圆柱的轴截面可求得圆柱的底面圆半径及其圆柱的侧面积. 【详解】因为圆柱体的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的底面圆半径为212r ==， 该圆柱的母线长为2l =，因此，圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=. 故答案为：1；4π.13．73【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱台，由棱台体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图所示，该几何体为棱台，上底面为腰长为1的等腰直角三角形，所以上底面111122S =⨯⨯=，下底面为腰长为2的等腰直角三角形，下底面12222S '=⨯⨯=，高等于2；所以体积(1117223323V h S S ⎛'=++=⨯⨯+= ⎝又2BE DE EF ===，DF ==CF AD =AC =DF =，故答案为：73；【点睛】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体．14．138- 【分析】将圆的方程作差得到直线AB 的方程，即可得到m 的值，再根据垂径定理可以构建1,,2AB r d 满足勾股定理，从而求得相交弦||AB 的值. 【详解】因为圆221:20C x y y +-=和圆222:440C xy x y m +-++=相交于A ，B 两点将两圆相减得直线AB 的方程为460x y m --=，则8m =-.又221:20C x y y +-=得圆心为(,)1C 01，半径为1，故圆心(,)1C 01到直线AB 的距离为13d ==所以1213AB ===，13AB ∴=；，8- 【点睛】1.两圆相交的情况下，将圆的方程作差就可以得到相交直线的方程；2.根据垂径定理可以构建1,,2AB r d 满足勾股定理。
2020-2021学年上学期九年级数学上册知识堂堂清(人教版)切线的判定与性质(解析版)
24.2-2 切线的判定与性质建议用时：45分钟总分50分一选择题（每小题3分，共18分）1.如图，Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝8cm，若点C在⊙A上，则⊙A的半径是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC=√AB2−BC2=√102−82=6（cm），∵点C在⊙A上，∴⊙A的半径为6cm．故选：B．2．（2020•天心区月考）如图，∠APB＝30°，点O在射线P A上，⊙O的半径为2，当⊙O 与PB相切时，OP的长度为（）A．3B．4C．2√3D．2√5【答案】B【解析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，如图所示：∵⊙O与PB相切于点C，∴PB⊥OC，OC＝2，∵∠APB＝30°，∴OP＝2OC＝2×2＝4；故选：B．3．（2020 •沙坪坝区月考）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝50°，则∠P的度数（）A．50°B．70°C．80°D．130°【答案】C【解析】∵P A、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵∠AOB＝2∠C＝100°，则∠P＝360°﹣（90°+90°+100°）＝80°．故选：C．4．（2019•宁波模拟）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A 切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【解析】A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB=12AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．5．（2020•泉州二模）如图，AB切⊙O于点B，OA与⊙O相交于点C，AC＝CO，点D为BĈ上任意一点（不与点B、C重合），则∠BDC等于（）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D【解析】∵AB切⊙O于点B，∴∠ABD＝90°，∵AC＝OC＝OB，∴OB=12AO，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，如图，优弧BC上任取一点E，连接CE，BE，则∠E=12∠BOC＝30°，∴∠BDC＝180°﹣∠E＝150°，故选：D．6．（2020•南安市模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝70°，过点A的圆的切线交射线BO于点P，则∠P的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【答案】B【解析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝140°，∴∠AOP＝40°，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣40°＝50°，故选：B．二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2020•增城区一模）如图，P A、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BP A＝．【答案】50°【解析】∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠BPO＝∠APO＝25°，∴∠BP A＝50°，故答案为：50°．8．（2020•游仙区模拟）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为．【答案】√3【解析】连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OA tan60°＝1×√3=√3，故答案为：√3．9．（2020•鄞州区期末）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠圆O于点A，并使较长边与圆O相切于点C，记角尺的直角顶点为B，量得AB＝18cm，BC＝24cm，则圆O的半径是cm．【答案】25【解析】设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝（r﹣18）cm，AD＝BC＝24cm，在Rt△AOD中，r2＝（r﹣18）2+242解得：r＝25．即该圆的半径为25cm．故答案为：25．三、解答题（7+8+8=23分）10．（2020•徐州一模）如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．（1）求BD的长；（2）求证：AC是⊙O的切线．（1）解：如图1，连接OD．∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°．∵AD平分∠BAE，∠BAD＝∠EAD＝45°．∴∠BOD＝2∠BAD＝90°．∴Rt△BOD中，BD=√22+22=2√2．（2）证明：如图，连接OA．∵AC＝FC，∴∠F AC＝∠CF A．∵∠DFO＝∠CF A，∴∠DFO＝∠F AC．∵OA＝OD，∴∠OAF＝∠ODF．由（1）知∠BOD＝90°，∴∠DFO+∠ODF＝∠CAF+∠OAF＝90°．∴OA⊥AC于A，∴AC是⊙O的切线．11．（2020•卧龙区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B．解：（1）证明：∵OA＝OC＝AD，∴∠OCA＝∠OAC，∠AOD＝∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD，∴180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO，即∠AOC＝∠OAD，∴OC∥AD，∵OD∥AC，∴四边形OCAD是平行四边形；（2）∵AD与⊙O相切，OA是半径，∴∠OAD＝90°，∵OA＝OC＝AD，∴∠AOD＝∠ADO＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°．12．（2020•江阴市二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，且CE是⊙O的切线．（1）求证：CE＝BC；（2）若CD＝2，BD＝2√5，求⊙O的半径．（1）证明：如图，连接OE，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∵CE是⊙O的切线，∴OE⊥CE，∴∠2+∠3＝90°，∵OE＝OD，∴∠3＝∠4．又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠2，∴CE＝BC；（2）解：在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD=2√5，∴BC＝CE＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，∴⊙O的半径为3．。
浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年八年级下学期期末学业成绩调测
浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年八年级下学期期末学业成绩调测亲爱的同学：欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平。
答题时，请注意以下几点：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。
2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
一、选择题1．下列有关“氧气的实验室制取与性质”实验的装置或操作不正确的是（）A．检查气密性B．制备氧气C．收集氧气D．铁丝在氧气中燃烧2．人类的生存与发展必须依赖于土壤，而土壤资源是有限的，下列活动有利于保护土壤的是（）A．将废弃农用塑料埋入土壤B．实行稻草还田C．用工业废水直接灌溉农田D．过量施用化肥3．如图所示，将过滤得到的土壤浸出液放入蒸发皿中，用酒精灯加热蒸干水分，蒸发皿上会残留下白色固体物质。
这说明土壤中含有（）A．无机盐B．水分C．腐殖质D．有机质4．下列物质中含有氢分子的是（）A．H 2O 2B．H 2C．H 2O D．Ca(OH)25．据《武经总要》记载，古人将具有磁性的空心铁鱼放入水中漂浮制成指南鱼，多次将指南鱼轻轻旋转，静止后，观察到鱼尾总是指向南方。
下列说法正确的是（）A．鱼尾是指南鱼的N 极B．指南鱼的鱼尾指向地磁南极C．指南鱼周围存在大量的磁感线D．用磁体的N 极靠近鱼尾，会相互吸引6．在科学王国里，数字被赋予了丰富的内涵，下列科学用语中对数字“2”的说法正确的是（）①2H ②2CO ③CO2④Mg 2+⑤2OH -⑥H 2O ⑦A．表示离子个数的是⑤⑦B．表示分子个数的是①②C．表示分子中原子个数的是③⑥D．表示离子所带电荷数的是④⑤7．如图所示是某家庭电路的一部分，下列说法正确的是（）A．保险丝改接到零线上更安全B．电冰箱接入三孔插座后，电灯与电冰箱并联C．零线和地线之间的电压为220VD．闭合S，灯不亮，说明没电，可以直接维修8．盐拌黄瓜时，黄瓜细胞会出现如图所示的状态，原因是（）A．b 浓度小于a 浓度，细胞吸水B．b 浓度大于a 浓度，细胞吸水C．a 浓度小于b 浓度，细胞失水D．a 浓度大于b 浓度，细胞失水9．某兴趣小组为验证质量守恒定律，做镁条在空气中燃烧的实验时，要先用砂纸把镁条打磨干净的目的是（）A．除去镁条表面氧化膜B．使镁条表面平整C．提高镁条表面的温度D．降低镁条的着火点10．如图所示为直流电动机工作原理图，下列分析正确的是（）A．电动机通电后不转，一定是电路断路B．电动机没有换向器也可实现持续转动C．对调磁体的磁极，可以增大电动机的转速D．改变磁场方向，可以改变线圈转动的方向11．用作漂白剂的过二硫酸钾()在高于100℃的条件下能发生反应：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
②当△ACD与抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象有交点时，求m的取值范围（直接答案即可）
23．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC（点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．
14．小红沿坡比为1： 的斜坡上走了100米，则她实际上升了_____米．
15．已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是_____．
A． B．2C． D．4
二、填空题
11．请写出一个二次函数，使它的图象经过点（1，2），你写出的函数表达式是_____
12．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．
13．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点，若△CMN的面积为3，则四边形ABNM的面积是_____．
16．已知：如图，△ABC是边长为12的正三角形，点D，E分别在AB，BC上，且BE＝BD＝10，点P是线段DE上的一个动点，分别作点P关于AB，AC，BC的对称点P1，P2，P3，若连接P1，P2，P3所得的三角形是等腰三角形，则DP＝_____．
三、解答题
17．（1）计算： sin30°+2cos45°﹣ tan60°．
3．在一个不透明的布袋中有2个红球和6个白球，这些球除颜色外其他都相同，若随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）
A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是△ABC的子三角形．
（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB=AC，∠A=90°，若BE= ，求CF和AD的长．
24．已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ，则EC的长是
A．4.5B．8C．10.5D．14
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上， ，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（ ）
A．100°B．50°C．130°D．65°
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（ ，0），1＜ ＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0，其中正确的结论是（ ）
（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标．
（2）连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．如图2，若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与 的值．
（1）从中随机抽取一张，求刚好抽到“共享服务”的概率．
（2）从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）
19．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．销售价为每千克60元时，一天能销售80千克，经市场调查，该商品每涨价1元，一天销售量就减少2千克，设该商品的售价涨了x元，每天销售该商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时每天总利润y最大，最大利润是多少？
20．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.
21．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
A．①③B．②③C．①②D．①②③
9．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）
A．5B．6C．7D．8
10．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH, △CFG分别沿EH,FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
（2）已知c是a、b的比例中项，若a＝ ，b＝ ，求c的值．
18．从共享单车、共享汽车等共享出行到共享充电宝、共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者，小宇上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式．
（2）在第二象限内取一点C，作CD⊥x轴于点D，连接AC，且AD＝1，CD＝5，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位．
浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若3a＝4b，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．(-3，4)B．(-3，-4)C．(3，-4)D．(3，4)