高三基础知识天天练 数学7-2人教版
高三基础知识天天练 数学7-6人教版
第7模块 第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0， 所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2， 所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________． 解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小． 解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。
高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 7 Word版含解析
y＝ln|x|－x2的定义域为{x|x≠0}且为偶函数，所以排
又当x>0时，y＝ln x－x2，y′＝1
x－2x，令
y＝2x sin x 4x＋1
＝(x2－2x)e x
的图象为()
(x)的y轴右侧的图象删去，轴右侧，即可得到函数y＝f(－图象变换的三种基本类型
(x＋a)的图象，可由y＝f(x)个单位长度得到．
的图象可能是图中的()
因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选
首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线
＝1，b＝－2
．a＝－1，b＝－2
ax2＋bx)e x＝0，解得
，x ≤0，
⎭⎪⎫＋19，x >0
(x )|的图象是________．
D B
y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝f (|x 的图象关于x 轴的翻折．
，即实数m的取值范围是(0,2
函数图象的应用主要是将方程根的问题或不等式解的问题转化为两个函数图象的交点或图象间的关系问题求解．
＝|x2－2x－1|及y＝|x|2－2|x|－1
的图象．
＝x2－2x－1
1即y＝(－x)2－
2x－1的图象；
轴右方部分不变，再将右方以y轴为对称轴
－2|x|－1的图象．。
高三基础知识天天练 数学7-4人教版
第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23a 233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AMMC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。
高中数学天天练7
天天练7 命题人：肖春华 审题人：赵慧梅1．如图,是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图则该几何体的侧面积 ( ) A ．6B ．321 C ．24 D ．32．已知双曲线x y by a x 3412222==-的一条渐近线方程为， 则双曲线的离心率为 （ ）A ．35B ．321C ．45D ．273．设函数x x f x x x x x f 则实数成立若,1)(,1,221,)1()(2>⎩⎨⎧->+-≤+=的取值范围是 （ ）A ．)2,(--∞B ．),21(+∞-C ．)21,2(--D ．),21()2,(+∞---∞4．设a ，b 是两个单位向量，命题：“b b a ⊥+)2(”是命题：“32,π的夹角等于b a ”成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数)2||,0)(sin()(πϕϕω<>+=A x A x f 其中的图象如图所示，为了得到x x g 2cos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度6（）A B．C．D．7．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得（）（A（B（C（D）不存在8．已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）A．21 B．20 C．19 D．189．设O为坐标原点，M（2，1），点N（x，y）满足，则的最大值是A 9B 2C 6D 14 10．已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递减区间为（A）（B）（C）（D）11．若且点在过点的直线上，则（A（B）（C（D）12．已知函数满足：①定义域为；②，有；③当在区间内的解个数是（A）（B）（C）（D）10111220[10,10]-4()log||f x x=[1,1]x∈-(2)2()f x f x+=x R∀∈R()f x(1,1),(2,3)--(,)a b0,0,a b>>[3,)+∞(,1)-∞-(,3]-∞[1,)-+∞200(3)(1)k x x=-+00(,())x f x()()y f x x R=∈ONOM⋅⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1153534xyxyxnnSn{}nanS246a a a++5a3a1a{}na,m na a7652a a a=+{}na),2(e)2,1(-e)1,1(-e天天练7答案CADCD C AB CB D C11【解析】考点：基本不等式；直线的两点式方程．分析：由点（a ，b ）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上得2a+b=1，所以S=22-b 2，再令＞0，则S 化为关于t 的二次函数形式，再由二次函数的性质结合t 的取值范围可得S 的最大值． 解：过点（1，-1），（2，-3）的直线方程为：133y +-+=122x --，2x+y-1=0． ∴2a+b-1=0，即2a+b=1．2-b 2（2a+b ）2令，∵a ＞0，b ＞0，∴04，即 0＜t≤4， 则 S=4t 2+2t-1，在（0，+∞）上为增函数故 当t=4时，S 有最大值故答案为：D ． 12【解析】考点：根的存在性及根的个数判断．分析：要判断方程f （x ）=log 4|x|在区间[-10，10]内的解个数，我们可根据方程根的个数及相关函数零点个数的关系，我们可以在同一坐标系中画出函数f （x ）与函数y=log 4|x|的图象，利用图象法解答本题．解：由已知中函数f （x ）满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，有f （x+2）=2f （x ）；③当x ∈[-1，1]时，f （x ）=-|x|+1．我们可以在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y=log4|x|的图象：由图象可得两个函数的图象共有11个交点则方程f（x）=log4|x|在区间[-10，10]内共有11解。
高三基础知识天天练2-11.数学数学doc人教版
⾼三基础知识天天练2-11.数学数学doc⼈教版第2模块第11节[知能演练]⼀、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所⽰，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A 3．若a >3，则⽅程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当04．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B ⼆、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最⼤值与最⼩值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最⼤值和最⼩值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32令f ′(x )<0，∴－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最⼩值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最⼤值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成⽴，∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数．⼜F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成⽴．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[⾼考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极⼩值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，3－6b >0，得0答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，⽽函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼤值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼩值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼤值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼩值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满⾜：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为⾃然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的⽅程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)，∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增，∴当x ＝e 时，F (x )取极⼩值，其极⼩值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线，则该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则直线⽅程为y －e ＝k (x －e)，即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成⽴．∴Δ＝(k －2e)2，∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下⾯证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成⽴．令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ，则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当00，此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减，∴当x ＝e 时，G (x )取极⼤值，其极⼤值为0. 从⽽G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0，即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成⽴，∴函数h (x )和φ(x )存在唯⼀的隔离直线y ＝2e x －e.。
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第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
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第2模块 第9节[知能演练]一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元解析：每件获利100(1＋25%)×0.9－100＝100(1.25×0.9－1)＝12.5元． 答案：D2．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种债券面值为1000元，买入价为960元，一年到期本息之和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设三种债券的年收益分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝c <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．c <a <b解析：设年初为1000元，则A 种债券收益40元，B 种债券收益1000960×40≈41.67元．C 种债券收益为20＋10201000×20＝40.4元．∴b >c >a . 答案：C3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x . 答案：B4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000)11%·x (x >4000). 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.答案：C 二、填空题5．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格y ＝8100[1＋(13)13－1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：3006．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．①这几年人民生活水平逐年得到提高；②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；④虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000年～2001年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2001年～2002年上涨速度不是最快的，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④ 三、解答题7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如下图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系为g (x )＝k 2x ，由图象得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12，f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品x 万元， 则股票类投资为20－x 万元．y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x ，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t 2－4t －20)＝－18(t －2)2＋3.所以当t ＝2，即x ＝16时，投资债券16万元，股票4万元时，收益最大，y max ＝3万元． 8．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0， 解得x >2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x ∈N *， 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0， 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N *)， ∴6<x ≤20(x ∈N *)． 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115 (3≤x ≤6，x ∈N *)－3x 2＋68x －115 (6<x ≤20，x ∈N *)， 定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)． 显然当x ＝6时，y max ＝185(元)， 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270(元)．∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．[高考·模拟·预测]1．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：( )A ．200B ．220C ．240D ．260解析：由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分，故选A.答案：A2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．某市出租车收费标准如下： 起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意可得： f (x )＝4．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l 最小＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π5．如右图，一个铝合金窗分为上、下两栏，圆周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a (cm)，b (cm)，铝合金窗的透光部分的面积为S (cm 2)．(1)试用a ，b 表示S ；(2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 解：(1)∵铝合金窗宽为a (cm)，高为b (cm)，a >0，b >0， ∴ab ＝28800. ①又设上栏框内高度为h (cm)，下栏框内高度为2h (cm)，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －183，∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×b －183＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288 ＝28800－2(9a ＋8b )＋288 ＝29088－2(9a ＋8b )． (2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b＝29×8×28800＝2880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝98a ，代入①得a ＝160，从而b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值．答：铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大．[备选精题] 6．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(Ⅰ)将y 表示成x 的函数；(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(Ⅱ)因为y ′＝－8x 3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)， 易知410∈(0,20)．y ，y ′随xy最小值＝y|x＝410＝116，此时x＝410，故在弧AB上存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x＝410 km.。
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第2模块 第8节[知能演练]一、选择题1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由f (x )＝(x －1)ln xx －3＝0得：x ＝1，∴f (x )＝(x －1)ln xx －3只有一个零点，故选B.答案：B 2．若函数f (x )在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次解析：设对区间(1,2)至少二等分n 次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，第3次二等分后区间长为123，…，第n 次二等分后区间长为12n ，依题意得12n <0.01，∴n >log 2100由于6<log 2100<7，∴n ≥7，即n ＝7为所求．答案：C3．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.答案：B4．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令g (x )＝x 3－22－x ，可求得：g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0，易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．答案：B二、填空题5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________．解析：由于f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2·3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，因此f (x )＝x 2－x －6， 所以不等式a ·f (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0，即2x 2＋x －3<0，解集为{x |－32<x <1}．答案：{x |－32<x <1}6．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根x 1、x 2满足m <x 1<n <x 2<p ，则f (m )·f (n )·f (p )________0(填“>”、“＝”或“<”)．解析：∵a >0，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．∴f (m )>0，f (n )<0，f (p )>0. 答案：< 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.解：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0，12]上连续，所以存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.8．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5－λ在区间[－1,2]上有三个零点，求λ的值．解：设g (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，则g ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， ∴g (x )在(－1，－23)和(1,2)上单调递增，在(－23，1)上单调递减．又g (－1)＝112，g (－23)＝15727，g (1)＝72，g (2)＝7，由题意知g (x )＝λ有三个根，∴λ∈[112，15727)． [高考·模拟·预测]1．为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0) 解析：∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)<0， ∴零点在(1.8,2.2)上．故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0.则f (x 1)的值为( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：∵f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减，当x →0时，f (x )→＋∞， ∵f (x 0)＝0，∴f (x )＝0只有一个实根． ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>0恒成立，故选A. 答案：A3．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －12)解析：∵g ′(x )＝4x ln4＋2>0，∴g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．又g (0)＝1－2＝－1<0，g (12)＝2＋1－2＝1>0，∴g (x )只有一个零点x 0，且x 0∈(0，12)．对于选项A ：f (x )＝4x －1，其零点为x ＝14，∴|14－x 0|<14，故选项A 符合．答案：A4．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个实根且小于0，则a 的取值范围为________．解析：利用数形结合判断显然有a ≥1. 答案：a ≥15．已知函数f (x )＝e x －k －x ，其中x ∈R . (1)k ＝0时，求函数f (x )的值域；(2)当k >1时，函数f (x )在[k,2k ]内是否存在零点，并说明理由． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0.又x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)内单调递减． x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)内单调递增． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值．又∵这个极小值是R 上的唯一的极小值， ∴x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝1. 即函数f (x )的值域为[1，＋∞)．(2)f (k )·f (2k )＝(e k －k －k )·(e 2k －k －2k ) ＝(1－k )·(e k －2k )． ∵k >1，∴1－k <0.令g (k )＝e k －2k ，g (1)＝e 1－2>0， 又g ′(k )＝e k －2，当k >1时，g ′(k )>e 1－2>0， ∴k ∈(1，＋∞)，g (k )为增函数． ∴g (k )>g (1)>0.∴k >1时，e k －2k >0. ∴f (k )·f (2k )<0.∴即函数f (x )当k >1时在[k,2k ]内存在零点．[备选精题]6．已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)．设f (x )＝g (x )x. (1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值． (2)k (k ∈R )如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点． 解：设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵y ＝g ′(x )＝2ax ＋b 的图象与直线y ＝2x 平行， ∴a ＝1.又∵y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1， ∴－b2a＝－1，g (－1)＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝m －1，∴b ＝2，c ＝m ， 从而f (x )＝g (x )x ＝mx＋x ＋2.(1)已知m ≠0，设曲线y ＝f (x )上点P 的坐标为P (x ，y )，则点P 到点Q (0,2)的距离为 |PQ |＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(mx＋x )2＝2x 2＋m 2x2＋2m≥22x 2·m 2x2＋2m ＝22|m |＋2m ，当且仅当2x 2＝m 2x 2⇒x ＝±|m |2时等号成立． ∵|PQ |的最小值为2，∴22|m |＋2m ＝2⇒2|m |＋m ＝1. ①当m >0时，解得m ＝12＋1＝2－1. ②当m <0时，解得m ＝11－2＝－2－1. 故m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)y ＝f (x )－kx 的零点即方程mx ＋(1－k )x ＋2＝0的解，∵m ≠0，∴mx ＋(1－k )x ＋2＝0与(k －1)x 2－2x －m ＝0有相同的解． ①若k ＝1，(k －1)x 2－2x －m ＝0⇒x ＝－m2≠0，∴函数y ＝f (x )－kx 有零点x ＝－m2.②若k ≠1，(k －1)x 2－2x －m ＝0的判别式Δ＝4[1＋m (k －1)]． 若Δ＝0⇒k ＝1－1m ，此时函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m .若Δ>0⇒1＋m (k －1)>0，∴当m >0，k >1－1m ，或m <0，k <1－1m 时，方程(k －1)x 2－2x －m ＝0有两个解 x 1＝1＋1＋m (k －1)k －1和x 2＝1－1＋m (k －1)k －1.此时函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x 1和x 2. ③若Δ<0⇒1＋m (k －1)<0，∴当m >0，k <1－1m ，或m <0，k >1－1m时，方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解．此时函数y＝f(x)－kx没有零点．。
09届高三数学二轮复习天天练7
ICME －7 图甲 O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6A 7 A 8 图乙09届高三数学天天练7一、填空题1． 设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}210N x x =+>，则N M ⋂= ．2． 已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ．3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ． 4． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ．5． 下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥；②2n n n ∀∈<R ，；③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，．其中真命题的序号是 ．6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ．7． 以下伪代码：Read xIf x ≤ 0 Then()f x ← 4x Else()f x ←2x End If Print ()f x根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ．8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ． 9． 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π(3g = ．10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） f （a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一） 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =u u r u u u r，则直线AB 的斜率为 ．12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 cm ．13．若不等式组0,22,0,x yx yyx y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是．14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a b c≤≤，如果b＝m（m∈N*），则这样的三角形共有个（用m表示）．二、解答题：（文科班只做15题，30分，理科班两题都做，每题15分）15．已知椭圆2221(01)yx bb+=<<的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．16、过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x tt ty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．09届高三数学天天练7答案一、填空题：1．{}1122x x -<< 2．2 3．0.03 4．13 5．④ 67．－8 8．3 9．－110．< 11． 1213．4(0,1][,)3+∞U 14．(1)2m m + 15、解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为12c x -=，11()22b y x b -=-．联立方程组，解出21,2.2c x b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩21022c b cm n b--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）（b －c ）>0， ∴ b >c ．从而22b c >即有222a c >，∴212e <．又0e >，∴0e <<．（Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．由AB k b =，22102PBb cb b kc --=--＝2(1)b c b c +-．如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)b c b c +-＝－1．解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，所以直线AB 与⊙P 不能相切．评讲建议：此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与⊙P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾．16解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………3分 曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=． 设A、B对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．…………………………8分AB 12s s =-10分 说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．。
高三基础知识天天练 数学7-3人教版
第7模块 第3节[知能演练]一、选择题1．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a .因而cb ， 否则，若c ∥b ，则a ∥b 与已知矛盾，因而cb . 答案：C2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( )A ．互不相交B ．至多有两条直线相交C ．三线相交于一点D ．两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点． 答案：C3．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面解析：对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ，m 都平行，则l ∥m ，这与l ，m 异面矛盾； 对于选项B ，过点P 与l 、m 都垂直的直线，即过P 且与l 、m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C ，过点P 与l 、m 都相交的直线有一条或零条； 对于选项D ，过点P 与l 、m 都异面的直线可能有无数条． 答案：B4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45解析：连接D 1C ，AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45.∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.答案：D 二、填空题5．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．解析：取CB 中点G ，连接EG 、FG ， ∴EG ∥AB ，FG ∥CD .∴EF 与CD 所成的角为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．答案：①③④⑤三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF ＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．所以BD＝AE2＋EF2＋EB2＝42＋22＋1＝21.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被该点平分．8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明．解：设AP ＝x (0≤x ≤2)，利用PF 与BC 所成的角是60°来构建以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置．如下图，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴AC ＝2.设AP ＝x (0≤x ≤2)，作PQ ⊥AB 交AB 于Q ，则PQ ∥BC ，相交直线PF 与PQ 所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角．∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，∴AF ⊥AC ，AF ⊥平面ABCD ，AF ⊥PQ . ∵AB ∩AF ＝A ，∴PQ ⊥平面ABF ，PQ ⊥FQ . 要使PF 与BC 所成角是60°，只需使∠FPQ ＝60°，即只需使PF ＝2PQ ， ∵PQ ＝22AP ＝22x ， ∴只需使PF ＝2x .又在Rt △APF 中，PF ＝AP 2＋AF 2＝x 2＋1， ∴2x ＝x 2＋1. ∴x ＝1.∴当P 点是线段AC 的中点时PF 与BC 所成的角为60°.[高考·模拟·预测]1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB ，CC 1的距离相等的点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB 、CC 1的距离相等的点为点D ，B 1，线段BC 的中点E ，线段A 1D 1中点F ，总共4个，故选C.答案：C2．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( )A.34 B.54C.74D.34解析：设棱长为2，BC 的中点为D ，由题意，得 AD ＝ 3.在Rt △A 1AD 中，A 1D ＝AA 21－AD 2＝22－(3)2＝1. 在Rt △A 1BD 中， A 1B ＝A 1D 2＋BD 2＝ 2. ∵AA 1∥CC 1，∴AB 与AA 1所成的角∠A 1AB 即为AB 与CC 1所成的角．在△A 1AB 中，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝AA 21＋AB 2－A 1B22AA 1·AB ＝4＋4－22×2×2＝34.答案：D3．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析：如下图所示，连接A 1B ，因A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C ，则异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与BA 1所成的角． 不妨设AB ＝1，则AA 1＝2， 设∠ABE ＝α，∠ABA 1＝β，则sin α＝12，cos α＝12，sin β＝25，cos β＝15. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝12·15＋12·25＝310＝31010.故选C.答案：C4．在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2；l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2，利用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系写出一个总能确定l 1，l 2是异面直线的充分条件________．解析：当s 1∥s 2且t 1与t 2相交时，可推得l 1与l 2总是异面直线，当l 1，l 2在α内的射影s 1，s 2平行时，我们可断定l 1与l 2一定不相交，同理当l 1，l 2在β内的射影t 1，t 2相交时，也可推得l 1，l 2一定不平行，故l 1与l 2一定是异面直线．同理当t 1∥t 2且s 1与s 2相交时，也符合题意．答案：s 1∥s 2，且t 1与t 2相交；(t 1∥t 2，且s 1与s 2相交)5．空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________． 解析：如下图①所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如下图②，故AC 的取值范围是0<AC < 3.答案：(0，3)6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上)．(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈(0，π2]，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接B 1D 1，在平面A 1C 1内过P 作直线l ， 使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线． ∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥直线BD . (2)在平面A 1C 1内作直线m ， 使直线m 与B 1D 1相交成α角， ∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角， 即直线m 为所求作的直线． 由图知m 与BD 是异面直线， 且m 与BD 所成的角α∈(0，π2]．当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．。
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解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如下图．由图知，两个函数图象只有一个交点，因此函数f (x )的零点只有1个．应选B.4．[2019·湖北八校联考]有一组实验数据如下所示：x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04那么最能表现这组数据关系的函数模型是( ) A ．y ＝2x ＋1－1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2log 2x D ．y ＝x 3 答案：B解析：由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C 不正确．取x ＝2.01，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1>4，代入B 选项，得y ＝x 2－1≈3，代入D 选项，得y ＝x 3>8；取x ＝3，代入A 选项，得y ＝2x＋1－1＝15，代入B 选项，得y ＝x 2－1＝8，代入D 选项，得y ＝x 3＝27，应选B.5．[2019·郑州测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，假设函数f (x )在R上有两个零点，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1] 答案：A解析：画出函数f (x )的大致图象如下图．因为函数f (x )在R 上有两个零点，因此f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，应选A.6．设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，那么x 0所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)9．[2019·江苏盐城伍佑中学模拟]已知函数f (x )＝3x －log 2x 的零点为x 0，假设x 0∈(k ，k ＋1)，其中k 为整数，那么k ＝________.答案：2解析：由题意得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝3>0，f (2)＝32－log 22＝12>0，f (3)＝1－log 23<0，∴f (2)f (3)<0，∴函数f (x )＝3x －log 2x 的零点x 0∈(2,3)，∴k ＝2.10．[2019·银川模拟]已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，那么实数a 的取值范围是________．答案：(－2,1)解析：通解 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根别离为x 1，x 2(x 1<x 2)，那么(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.故实数a 的取值范围为(－2,1)．优解 函数f (x )的大致图象如下图，那么f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．11．某创业团队拟生产A ，B 两种产品，依照市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图1)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)(注：利润与投资额的单位均为万元)．假设该团队已经筹到10万元资金，并打算全数投入到A ，B 两种产品的生产中，那么生产A ，B 两种产品可取得的最大利润为________万元．答案：6516解析：由题意可得，生产A 产品的利润f (x )＝k 1x ，生产B 产品的利润g (x )＝k 2x .又f (1)＝0.25＝k 1，g (4)＝2k 2＝2.5，k 2＝54，因此f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝5x 4(x ≥0)．设生产A ，B 两种产品可取得的利润为y 万元，B 产品的投资额为x 万元，那么A 产品的投资额为(10－x )万元，那么y ＝f (10－x )＋g (x )＝14(10－x )＋5x4(0≤x ≤10)，令t(0≤t ≤10)，那么y ＝－14t 2＋54t ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)，因此当t ＝52，即x ＝254时，生产A ，B 两种产品可取得最大利润，且最大利润为6516万元．12. [2019·四川南充模拟]渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必需留出适当的空闲量．已知鱼群的年增加量y 吨和实际养殖量x 吨与空间率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)，那么鱼群年增加量的最大值是________．答案：km 4解析：由题意，空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ，概念域为(0，m )，y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，∵x ∈(0，m )，k >0，∴当x ＝m 2时，y max ＝km4.课时测评⑦ 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．以下函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝2x －1 C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1 答案：A解析：由于y ＝2x －1，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝log 2|x |是偶函数又有零点，应选A.2．[2019·安徽淮南模拟]如下图是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时刻t 转变的可能图象是( )答案：C解析：由三视图可知，该容器上部份为圆台下部份是一个与上部份形状相同的倒放的圆台，因此水面高度随时刻的转变为先慢后快再慢的情形．应选C.3．[2019·福州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，那么函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：令f (x )＋3x ＝0，那么⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，因此函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.应选C.4．[2019·太原模拟]假设函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点别离在区间(－1,0)和区间(1,2)内，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 答案：C解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．[2019·河北邯郸磁县月考]函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案：B答案：A解析：由f (x )－a ＝0得a ＝f (x )．画出函数y ＝f (x )的图象如下图，且当x ≥3时，函数y ＝f (x )的图象以直线y ＝1为渐近线．结合图象可适当0<a <1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点，故假设方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是(0,1)．应选A.7．某商店打算投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所取得的利润别离为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a 2x (a >0)．假设不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所取得的纯利润总很多于5万元，那么a 的最小值应为( )A. 5 B ．5C. 2 D ．2答案：A解析：设投入x 万元经销甲商品，那么经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x .令y ≥5，那么x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x 2也成立，∴a min ＝ 5.应选A. 8．[2019·玉溪模拟]某工厂产生的废气通过过滤后排放，在过滤进程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时刻t (单位：小时)知足p (t )＝p 0230t ，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测适当t ∈[0,30]时，污染物数量的转变率是－10ln2，那么p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln2毫克/升D ．300ln2毫克/升答案：C解析：因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的转变率是－10ln2，因此－10ln2＝12p 0－p 030－0，因此p 0＝600ln2，因为p (t )＝p 0230t，因此p (60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．二、非选择题9．[2019·贵州黔东南州模拟]已知函数f (x )＝log 2x ＋2x －m 有唯一零点，假设它的零点在区间(1,2)内，那么实数m 的取值范围是____________．答案：(2,5)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，因此f (1)f (2)<0，即(log 21＋21－m )·(log 22＋22－m )<0⇒(2－m )(5－m )<0，解得2<m <5，因此实数m 的取值范围是(2,5)．10．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，那么g (x 0)等于________．答案：2解析：∵f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，∴x 0∈(2,3)，∴g (x 0)＝[x 0]＝2. 11．[2019·江苏盐城中学模拟]我校为丰硕师生课余活动，打算在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37k S元，再把矩形AMPN 之外(阴影部份)铺上草坪，每平方米的造价为12k S元(k 为正常数)． (1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解析：(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10,20]，。
高三数学一轮复习 第七章第2课时知能演练轻松闯关 新人教版
1. (2012·绵阳调研)一个棱锥的三视图如图所示, 则这个棱锥的体积是( )A. 6B. 12C. 24D. 36解析：选B.依题意可知, 该棱锥的体积等于13×(3×4)×3＝12. 2. 一个几何体的三视图如图所示, 则 这个几何体的表面积为( )A. 72B. 66C. 60D. 30解析：选A.根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱, 且底面是一直角三角形, 两直角边长度分别为3,4,斜边长度为5, 直三棱柱的高为5, 所以表面积为3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72, 故选A.3. 已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )A. 24＋6πB. 24＋4πC. 28＋6πD. 28＋4π解析：选A.由题意知, 该几何体是一个半球与一个正四棱柱的组合体, 并且正四棱柱的底面内接于半球的底面, 由三视图中的数据可知, 正四棱柱的底面边长为2, 高为3, 故半球的底面半径为 2.所以该几何体的表面积为S ＝12×4π×(2)2＋π×(2)2＋4×2×3＝24＋6π.故选A.4. (2011·高考上海卷)若圆锥的侧面积为2π, 底面面积为π, 则该圆锥的体积为________.解析：设圆锥的底面圆半径为r , 高为h , 母线长为l , 则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π πr 2＝π ∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1 l ＝2. ∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝3,∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案：33π一、选择题1. 圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形, 则该圆柱的底面积是( )A. 24π2B. 36π2C. 36π2或16π2D. 9π或4π 解析：选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4π, 故底面圆的半径为3或2, 所以底面圆的面积是9π或4π.2. (2011·高考辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为23, 它的三视图中的俯视图如图所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是( ) A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 3 解析：选 B.设底面边长为x , 则V ＝34x 3＝23, ∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2, 宽为3的矩形, 其面积为2 3.3. (2011·高考湖南卷)如图是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C. 9π＋12D. 36π＋18解析：选B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体, 故体积为V ＝32×2＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝18＋92π. 4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( )A.116B.316C.112D.18解析：选B.由题意可得截面圆半径为32R (R 为球的半径), 所以截面面积为π(32R )2＝34πR 2, 又球的表面积为4πR 2, 则34πR 24πR 2＝316, 故选B. 5. 某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( )A. 8B. 6 2C. 10D. 8 2 解析：选C.将三视图还原成几何体的直观图如图所示. 它的四个面的面积分别为8,6,10,62, 故最大的面积应为10. 二、填空题 6. (2012·洛阳质检)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形, 则该圆锥的侧面积为________.解析：由正视图知该圆锥的底面半径r ＝1, 母线长l ＝3, ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×3＝3π.答案：3π7.如图, 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2, O 为底面正方形ABCD的中心, 则三棱锥B 1－BCO 的体积为________.解析：V ＝13S △BOC ·B 1B ＝13×12BO ·BC ·sin45°·B 1B ＝16×2×2×22×2＝23. 答案：238. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切, 若这个球的体积是32π3, 则这个三棱柱的体积是________.解析：由43πR 3＝32π3, 得R ＝2, ∴正三棱柱的高h ＝4. 设这个三棱柱的底面边长为a , 则13·32a ＝2, ∴a ＝43, ∴V ＝12·a ·32a ·h ＝48 3. 答案：48 3三、解答题9. 已知圆台的母线长为4 cm, 母线与轴的夹角为30°, 上底面半径是下底面半径的12, 求这个圆台的侧面积.解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面,由题意知AC ＝4 cm, ∠ASO ＝30°,O 1C ＝12OA , 设O 1C ＝r , 则OA ＝2r ,又O 1C SC ＝OA SA＝sin30°, ∴SC ＝2r , SA ＝4r ,∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm,∴r ＝2 cm.所以圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π cm 2.10. 如图, 已知某几何体的三视图如下(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解：(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q A 1D 1P 的组合体.由PA 1＝PD 1＝2,A 1D 1＝AD ＝2, 可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2),体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3). 11. (2012·广州调研)如图, 在直角梯形ABCD 中, ∠ADC ＝90°, CD ∥AB , AB ＝4, AD ＝CD ＝2, 将△ADC 沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC , 得到几何体D —ABC , 如图所示.(1)求证：BC ⊥平面ACD ;(2)求几何体D —ABC 的体积.解：(1)证明：在图中, 可得AC ＝BC ＝22, 从而AC 2＋BC 2＝AB 2, 故AC ⊥BC ,取AC 的中点O , 连接DO , 则DO ⊥AC , 又平面ADC ⊥平面ABC , 平面ADC ∩平面ABC ＝AC , DO ⊂平面ADC ,从而DO ⊥平面ABC , ∴DO ⊥BC ,又AC ⊥BC , AC ∩DO ＝O ,∴BC ⊥平面ACD .(2)由(1)可知BC 为三棱锥B —ACD 的高, BC ＝22, S △ACD ＝2, ∴V B —ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423,由等体积性可知, 几何体D —ABC 的体积为423.。
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第8模块 第3节[知能演练]一、选择题1．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的面积被直线y ＝－x 平分，则( )A ．D ＋E ＝0B ．D －E ＝0C ．D 2＋E 2＝0D ．D ＋4E ＝0解析：圆心(－D 2，－E2)在直线x ＋y ＝0上．答案：A2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析：原方程即⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1.|x |－1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1x ≤－1. 故原方程表示两个半圆． 答案：D4．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝3C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1解析：由题设知，在直角△OP A 中，OP 为圆的半径OA 的2倍，即OP ＝2，∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.选A.答案：A 二、填空题5．过点O (0,0)及P (0,4)且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程是__________． 解析：由题意知所求圆的圆心为(3,2)或(－3,2)，半径为13.故圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13或(x ＋3)2＋(y －2)2＝13.答案：(x －3)2＋(y －2)2＝13或(x ＋3)2＋(y －2)2＝136．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________.解析：∵点(1，2)在圆内，故当劣弧所对的圆心角最小时，直线垂直于过圆心与点(1，2)的直线，因此可知直线l 的斜率为22. 答案：22三、解答题7．已知直线l 1：4x ＋y ＝0，直线l 2：x ＋y －1＝0以及l 2上一点P (3，－2)．求圆心C 在l 1上且与直线l 2相切于点P 的圆的方程．解：设圆心为C (a ，b )，半径为r ，依题意得，b ＝－4a .PC ⊥l 2，而直线l 2的斜率k 2＝－1，∴过P ，C 两点的直线的斜率k PC ＝－2－(－4a )3－a ＝1，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝|PC |＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.8．已知矩形ABCD 中，C (4,4)，点A 在x 2＋y 2＝9(x >0，y >0)上运动，AB 、AD 分别平行于x 轴、y 轴，求当矩形ABCD 的面积最小时A 点的坐标．解：本题的实质是：A 在x 2＋y 2＝9(x >0，y >0)上何处时，矩形ABCD 的面积最小，即(4－x )(4－y )的值最小，进而利用换元法转化成二次函数的最值问题．设A (x ，y )，则矩形ABCD 的面积为S ＝(4－x )(4－y )＝16－4(x ＋y )＋xy ，① 令t ＝x ＋y ，则t >0且t 2＝x 2＋y 2＋2xy ＝9＋2xy .所以①式化为S ＝16－4t ＋12(t 2－9)＝12(t －4)2＋72，当且仅当t ＝4时，S min ＝72.此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4xy ＝72，解得⎩⎨⎧x ＝2－22y ＝2＋22或⎩⎨⎧x ＝2＋22y ＝2－22.即A 点的坐标为(2－22，2＋22)或(2＋22，2－22)时，矩形ABCD 的面积最小． [高考·模拟·预测]1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意知圆心坐标为(0,2)，故选A. 答案：A2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：∵圆C 与两条直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，∴圆心C 在直线x －y －2＝0上，又圆心在直线x ＋y ＝0上，∴圆心坐标为(1，－1)．故选B.答案：B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：圆心C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(2，－2)，故选B. 答案：B4．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是__________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π5．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2<r }⊆A ，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}； ②{(x ，y )|x ＋y ＋2>0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}； ④{(x ，y )|0<x 2＋(y －2)2<1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)解析：集合{(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2<r }表示以(x 0，y 0)为圆心，以r 为半径的圆面(不包括圆周．)由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④6．已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解：∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝95> 5.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.。
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第3模块 第7节[知能演练]一、选择题1．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 为( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：A2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：D3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于( )A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°解析：由S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝12bc sin A得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°.答案：A4．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33D.32解析：由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.答案：C 二、填空题5．某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________．解析：如图所示，该问题转化为已知△ABC 中BC ＝3，AC ＝3，B ＝30°，求AB 的长．由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 可求得角A ，进而可求出角C 再由AB sin C ＝ACsin B可求得AB ，即x . 答案：3或2 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.解析：由余弦定理变形得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.答案：5π6三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． (1)证明：因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22bc ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B， 所以sin A ＝sin2B ，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π，而当A ＋2B ＝π时有B ＝C 即b ＝c ，代回已知得a ＝2b ，此时a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，而B ＝C ＝45°也即A ＝2B .故A ＝2B .(2)解：因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°. 所以△ABC 为直角三角形．8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a >c >b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)设x 1、x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a. ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a ＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. (2)由S ＝12ab sin C ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos60°)． ∴72＝(a ＋b )2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.又∵a >b ② ∴由①②，得a ＝8，b ＝5.[高考·模拟·预测]1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D2．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析：1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32.∴C ＝60°或120°. (1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选D.答案：D3．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为________．解析：sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝sin2A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，∵△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ≠0.∴sin A ＝sin C ，即A ＝C . 又B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．∴S ＝34×22＝ 3. 答案： 34．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值． 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝⎛⎫2A －π4＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝210. [备选精题]6．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． 因为f (x )在x ＝π时取最小值． 所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角， 所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.。
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单元质量检测(七)一、选择题1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．答案：B2．如下图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是()解析：由三视图及空间想象可知选A.答案：A3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．答案：D4．已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是()A．(4＋2π)cm2B．(6＋2π)cm2C．(4＋3π)cm2D．(6＋3π)cm2解析：由三视图可知，该几何体是底面直径和高均为2 cm的放倒的半个圆柱，其中轴截面的面积为4 cm2，半个侧面的面积为2πcm2，两底面的面积之和为π cm2，所以这个几何体的表面积是(4＋3π)cm2，故应选C.答案：C5．用平行于圆锥底面的截面去截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是12，则小圆锥的高与大圆锥的高的比是() A.12B．1C.22 D. 2解析：设小圆锥的高，底面半径，母线长分别为h，r，l，大圆锥的高，底面半径，母线长分别为H，R，L，则122πrl122πRL＝12，∴rlRL＝(rR)2＝12，∴rR＝22，∴hH＝rR＝22.答案：C6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，则l⊥β，又直线m⊂平面β，∴l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m相交和异面的情况，故②错误；对于③，可知正确．故正确命题的个数为2.答案：C7．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：对于选项A：垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B：设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C：应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D：由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．答案：D8．正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为() A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶2解析：由题意可知三棱锥V B－GAC＝V P－GAC，V B－GAC＝V G－BAC，V D－GAC＝V G－ADC，又因为三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，综上可知V D－GAC∶V P－GAC＝2∶1，故选C.答案：C9．如右图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等解析：选项A 、B 、C 均可推出EF ⊥平面ABCD ，从而可推出BD ⊥EF ；而由选项D 并不能推出BD ⊥EF ，故选D.答案：D10．若二面角M －l －N 的平面角大小为2π3，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是( )A ．[π6，π2]B ．[π4，π2]C ．[π3，π2]D ．[0，π2]解析：直线m 与平面N 内的直线所成角最小为m 与平面N 所成的角π6，显然m 与N 内直线所成角最大为π2，因为N 内一定有直线与m 垂直．答案：A11．如下图所示，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图中的( )A ．四个图形都正确B ．只有(2)(3)正确C ．只有(4)错误D ．只有(1)(2)正确解析：在面ABCD 上的射影为图(2)；在面B 1BCC 1上的射影为图(3)，在任何一个面上的射影都不会是图(1)和图(4)．答案：B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，其棱长为1，下列命题中，正确的命题个数为( )①A 1C 1和AD 1所成角为π3；②点B 1到截面A 1C 1D 的距离为233；③正方体的内切球与外接球的半径之比为1∶ 2 A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∴∠A 1C 1B 为异面直线A 1C 1与AD 1所成角，显然∠A 1C 1B ＝π3. 到平面A 1C 1D 的距离为233的点是B 不是B 1.正方形的内切球与外接球半径之比为1232＝1∶ 3.答案：C 二、填空题13．如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．解析：由三视图可知，原几何体为底面直径为1，母线长也为1的圆柱，故由圆柱侧面积公式可得S ＝2π×12×1＝π.答案：π14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上移动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．解析：由题意，当P 点移动时，AP 确定的平面与BD 1垂直，∴点P 应在线段B 1C 上． 答案：线段B 1C15．如下图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．解析：取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，由题中条件易得四边形ABEF 为平行四边形，从而进一步可推出BE ∥AF ，根据线面平行的判定定理可得BE ∥平面P AD (或取CD 的中点M ，连接EM ，BM ，由条件可推出平面BEM ∥平面P AD ，进一步也可得出BE ∥平面P AD )．答案：平行16．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与该直平行六面体的表面所围成的几何体中体积较小的几何体的体积为________．解析：连接PD ，可得PD ＝1，即点P 的轨迹为以点D 为球心，半径为1的球截直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的部分(如右图所示)．由DD 1⊥平面ABCD 及∠ADC ＝2π3，可得该几何体为球体的13×12＝16，所以其体积为V ＝16×43π×13＝2π9. 答案：2π9三、解答题17．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：设正方体棱长为a . 如右图作出组合体的轴截面． 则OS ＝h ，OP ＝r ，OA ＝2a 2， ∵△SO ′A ′∽△SOP ， ∴O ′A ′OP ＝SO ′SO ，即2a 2r ＝h －ah，∴a ＝2rh 2r ＋2h ，即正方体的棱长为2rh2r ＋2h.18．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3.(1)求证：AC ⊥DE ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)连接BD ，设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB .E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PDB ，所以AC ⊥DE . (2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PDB ， EF ⊂平面PDB ，所以AC ⊥EF .S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB .此时S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1.由△PDB ∽△FEB ，得PD EF ＝PBFB .由于EF ＝1，FB ＝4，所以PB ＝4PD .又PB ＝PD 2＋64，∴PD 2＋64＝4PD ， 解得PD ＝81515.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD＝13×24×81515＝641515.图甲19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直(右图甲)，图乙为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图乙所给的正视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积．图乙(2)图丙中，E 为棱PB 上的点，F 为底面对角线AC 上的点，且BE EP ＝CFF A ，求证：EF ∥平面PDA .图丙解：(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如下图．其面积为36 cm 2.(2)连接BF 并延长交AD 于G ，连接PG ， 则在正方形ABCD 中，BF FG ＝CF F A .又CF F A ＝BE EP ，∴BF FG ＝BE EP， ∴在△BGP 中，EF ∥PG .又EF ⊄平面PDA ，PG ⊂平面PDA ， ∴EF ∥平面PDA .20．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求证：平面SCD ⊥平面SCE . 证明：(1)连结AC 、AF 、BF 、EF . ∵SA ⊥平面ABCD ，∴AF 为Rt △SAC 斜边SC 上的中线， ∴AF ＝12SC .又∵ABCD 是正方形，∴CB ⊥AB . 而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ， 又AB ∩SA ＝A ，∴CB ⊥平面SAB .∴CB ⊥SB ， ∴BF 为Rt △SBC 斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC . ∴△AFB 为等腰三角形，EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝CE ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .21．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中点，点F ，G 分别是棱C 1D 1，AA 1的中点．设点E 1，G 1分别是点E ，G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解：(1)由题意知EE 1⊥平面DCC 1D 1，且四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为四边形FG 1DE 1.∵点E 是正方形BCC 1B 1的中心，∴EE 1＝1.∵SFG 1DE 1＝SDCC 1D 1－S △FD 1G 1－S △E 1C 1F －S △DCE 1， 由题设知点E 1、G 1分别是CC 1、DD 1的中点，∴SFG 1DE 1＝22－12×1×1－12×1×1－12×1×2＝2. 故所求的四棱锥体积为VE －FG 1DE 1＝13SFG 1DE 1×EE 1＝13×2×1＝23. (2)由(1)知，△E 1C 1F 与△G 1D 1F 均为等腰直角三角形，∴∠G 1FE 1＝π2⇒G 1F ⊥FE 1. ∵EE 1⊥平面DCC 1D 1，FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.又∵EE 1∩FE 1＝E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)由(1)的解答知E 1G 1∥AB ，∴∠EAB 即为E 1G 1与EA 所成的角． 连接EB ，由题意得EB ＝ 2.∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴△EBA 为直角三角形， ∴EA ＝EB 2＋AB 2＝(2)2＋22＝6，∴sin ∠EAB ＝EB EA ＝26＝33. 22．已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1(如右图)中，底面ABCD 是正方形，且DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)试在平面ADD 1A 1中确定一个点F ，使得FB 1⊥平面BCC 1B 1；(3)求二面角F －CC 1－B 的余弦值(F 满足(2))． 解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，D 1(0,0，a )，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，C 1(0，a ，a )．(1)∵AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0,0，a )，∴cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→||DD 1→|＝a 23a 2 a 2＝33，即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)设F (x,0，z )，∵BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a,0,0)，FB 1→＝(a －x ，a ，a －z )，由FB 1⊥平面BCC 1B 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ FB 1→·BB 1→＝0FB 1→·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a (a －x )－a 2＋a (a －z )＝0－2a (a －x )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a z ＝0， ∴F (a,0,0)，即F 为DA 的中点．(3)由(2)知FB 1→＝(0，a ，a )为平面BCC 1B 1的一个法向量．设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的一个法向量， CC 1→＝(0，－a ，a )，FC →＝(－a,2a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CC 1→＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1得x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，cos 〈n ，FB 1→〉＝n ·FB 1→|n ||FB 1→|＝ a ＋a 6·2a2＝33，即二面角F －CC 1－B 的余弦值为33.。
高三数学暑假天天练(7)教师版
2023高三暑假数学天天练（7）2022.7.12第7节函数的单调性与最值1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()A.y＝|x|B.y＝x＋3C.y＝1xD.y＝－x2＋4答案AB解析函数y＝1x与y＝－x2＋4在(0，1)都是减函数，故选AB.2.函数f(x)＝－x＋1x在－2，－13上的最大值是()A.3 2B.－83C.－2D.2答案A解析易知f(x)＝－x＋1x在－2，－13上单调递减，故其最大值为f(－2)＝32.3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).4.已知函数f(x)＝log a(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是()A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1)D.(－3，－1]答案C解析令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x ＜1}.根据f(0)＝log a3＜0，可得0＜a＜1.又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).5.如果函数f(x)2－a）x＋1，x＜1，x，x≥1，满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0成立，那么实数a的取值范围是() A.(0，2) B.(1，2)C.(1，＋∞)D.3 2，答案D解析因为对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，所以y＝f(x)在R上是增函数，－a＞0，＞1，2－a）×1＋1≤a，解得32≤a＜2.故实数a的取值范围是32，6.(多选)已知函数f(x)＝log a|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则()A.0＜a＜1B.a＞1C.f(a＋2021)＞f(2022)D.f(a＋2021)＜f(2022)答案AC解析f (x )＝log a |x －1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).设z ＝|x －1|，可得函数z 在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，由题意可得0＜a ＜1，故A 正确，B 错误；由于0＜a ＜1，可得2021＜a ＋2021＜2022.又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (a ＋2021)＞f (2022)，故C 正确，D 错误.7.函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________.答案(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)解析由于y x 2＋2x ＋1，x ≥0，x 2－2x ＋1，x ＜0，即y x －1）2＋2，x ≥0，x ＋1）2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).8.若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________.答案解析由f (－x )＝－f (x )，知f (x )＝e x －e －x 为奇函数，又易证在定义域R 上，f (x )是增函数，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0等价于f (2x ＋1)>－f (x －2)＝f (－x ＋2)，则2x ＋1>－x ＋2，即x >13，9.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________.答案a ＞b ＞c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25).又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8，∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .10.函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1).(1)求方程f (x )＝0的解；(2)若函数f (x )的最小值为－1，求a 的值.解(1)－x >0，＋3>0得－3<x <1，∴f (x )的定义域为(－3，1)，则f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，x ∈(－3，1).令f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，解得x ＝－1－3或x ＝－1＋3，经检验，均满足原方程成立.故f (x )＝0的解为x ＝－1± 3.(2)由(1)得f (x )＝log a [－(x ＋1)2＋4]，x ∈(－3，1)，由于0<－(x ＋1)2＋4≤4，且a ∈(0，1)，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由题意可得log a 4＝－1，解得a ＝14，满足条件.所以a 的值为14.11.已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围.解(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)f (x )在R 上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2）.∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1，∴f(ax)<f(2)，即为f(x)<f(2).又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴x的取值范围是(－∞，2).12.已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是()A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.b＜a＜cD.a＜b＜c答案B解析对于a，b：a＝4ln3π＝ln34π＝πln81，b＝3ln4π＝ln43π＝πln64，显然a＞b；对于a，c：构造函数f(x)＝ln x x，则f′(x)＝1－ln x x2，当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减.∵π＞3＞e，∴f(π)＜f(3)，即lnππ＜ln33，∴3lnπ＜πln3，∴lnπ3＜ln3π，∴a＞c；对于b，c：b＝3ln4π，c＝4lnπ3＝3lnπ4，∵ln ππ＞ln 44，∴4ln π＞πln 4，ln 4π＜ln π4，∴c ＞b ，∴a ＞c ＞b .13.已知函数f (x )x －e －x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若a ＝50.01，b ＝32log 32，c ＝log 30.9，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________.答案f (c )＜f (b )＜f (a )解析当x ＞0时，f (x )＝e x －e －x 单调递增，且f (0)＝0；当x ≤0时，f (x )＝－x 2单调递增，且f (0)＝0，所以函数f (x )在R 上单调递增.因为a ＝50.01＞1，0＜b ＝log 322＜1，c ＝log 30.9＜0，所以a ＞b ＞c ，所以f (a )＞f (b )＞f (c ).14.已知函数f (x )＝＋a x－a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.解(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }.(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x2>0，因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).由于h(x)＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.故a的取值范围为(2，＋∞).。
高中数学天天练7
1
2t
1
2 ྄���
A. 3
B. 9
C.
D.
. 下列四个函数中，在���th t 上为增函数的是( )
A. ���Ṫ ྄
Ṫ
B. ���Ṫ ྄ Ṫ2
Ṫ
C.
���Ṫ ྄
1 Ṫt1
D. ���Ṫ ྄ ㉰Ṫ㉰
4.
函数
���Ṫ
྄
1 2Ṫ
t
A. Ṫ㉰Ṫ 2t
C. Ṫ㉰
Ṫt
Ṫ2的定义域为���
B. Ṫ㉰Ṫ D. Ṫ㉰
C. ྄ Ṫ2 t 2Ṫ t 1 D. ྄ Ṫ
A.
B.
C.
D.
15. 函数 ྄ 2Ṫ 8的定义域为
．
ṪhṪ t
16. 若
���Ṫ
྄
1 Ṫ
hṪ
t ，则 ��� ���
2
྄ ______
17. 已知二次函数 ���Ṫ 满足 ���2Ṫ t ���Ṫ 1 ྄ 1tṪ2 1 Ṫ t 7，则 ��� ���1 ྄ ���
高中数学复习作业（7）
1. 下面四组函数中， ���Ṫ 与 ���Ṫ 表示同一个函数的是���
A. ���Ṫ ྄ ㉰Ṫ㉰， ���Ṫ ྄ ��� Ṫ 2
B. ���Ṫ ྄ 2Ṫ， ���Ṫ ྄ 2Ṫ2 Ṫ
C. ���Ṫ ྄ Ṫ， ���Ṫ ྄ Ṫ
D.
���Ṫ ྄ Ṫ， ���Ṫ
྄
1 Ṫ2
2.
已知
t 1 ྄ 7，则
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D. 2 2
第 1页，共 2页
12.
已知函数
���Ṫ
྄
1在区间
Ṫ
1h2
上的最大值为
数学天天见 成绩步步高高考能力测试步步高数学基础训练7 doc
高考能力测试步步高数学基础训练7基础训练7 二次函数与二次方程●训练指要掌握二次函数的图象和性质；掌握二次函数在闭区间上的最值.一、选择题1.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标为(2，-1)，与y 轴的交点为(0，11)，则A.a =1,b =-4,c =11B.a =3,b =12,c =11C.a =3,b =-6,c =11D.a =3,b =-12,c =112.已知f (x )=(m -1)x 2-2mx +3是偶函数，则在(-∞,3)内此函数A.是增函数B.不是单调函数C.是减函数D.不能确定3.如果函数y =x 2+ax -1在区间［0，3］上有最小值-2，那么实数a 的值为A.2B.±2C.-2D.-310 二、填空题4.(2003年上海春季高考题)若函数y =x 2+(a +2)x +3,x ∈［a ,b ］的图象关于直线x =1对称，则b =_________.5.已知［1，3］是函数y =-x 2+4ax 的单调递减区间，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题6.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象与两坐标轴交点分别为(-1，0)和(0，-1)，且顶点在y 轴的右侧，求b 的取值范围.7.求函数f (x )=x 2+2x +1在区间［t ,t +1］上的最小值g (t ),并求出g (t )的最小值.8.对于x ∈R ,二次函数f (x )=x 2-4ax +2a +30(a ∈R )的值均为非负数，求关于x 的方程3+a x =|a -1|+1的根的范围.高考能力测试步步高数学基础训练7答案一、1.D 2.B 3.C二、4. 6 5.(－∞,21］ 三、6.(－1,0) 7.g (t )=⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≤≤-->+）（2)2()12(0)1()1(22t t t t t g (t )的最小值为0.提示：讨论对称轴x =－1与区间端点t ,t +1的关系.98.［,18］4。
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第7模块 第2节
[知能演练]
一、选择题
1．已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB ＝3，∠AOB ＝120°，则球的体积为
( )
A.9π
2 B ．43π C ．36π
D ．323π
解析：△AOB 为等腰三角形，∠AOB ＝120°，AB ＝3，通过解三角形解出OA 和OB ，即OA ＝OB ＝R ＝3，从而求出球的体积43π，故选B.
答案：B
2．正棱锥的高缩小为原来的1
2，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来
体积的
( )
A.3
2倍 B.92倍 C.3
4
倍
D.94
倍 解析：设原棱锥高为h ，底面面积为S ， 则V ＝1
3
Sh ，
新棱锥的高为1
2h ，底面面积为9S .
∴V ′＝13·9S ·12h ＝13Sh ·9
2，
∴V ′V ＝9
2
. 答案：B
3．已知一个圆柱的正视图的周长为12，则该圆柱的体积的最大值等于
( )
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D.83
π 解析：圆柱的正视图是一个矩形，若设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则依题意有4r ＋2h ＝12，且0<r <6.而其体积为V ＝πr 2h ＝πr 2(6－2r )＝－2πr 3＋6πr 2，V ′＝－6πr 2＋12πr ，令V ′＝－6πr 2＋12πr ＝0得r ＝2，所以当r ＝2时，圆柱的体积取到最大值8π.
答案：B
4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，长为定值的线段EF 在棱AB 上移动(EF <a )，若P 是A 1D 1上的定点，Q 是C 1D 1上的动点，则四面体P —QEF 的体积是
( )
A ．有最小值的一个变量
B ．有最大值的一个变量
C ．没有最值的一个变量
D ．一个不变量
解析：如图，显然定点P 到面ABC 1D 1的距离是常数，从而到面QEF 的距离是常数．又△QEF 的面积为定值，所以四面体P —QEF 的体积为定值．
答案：D 二、填空题
5．四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
解析：V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π，
V 圆台＝1
3
πh (r 2＋R 2＋Rr )
＝1
3π×1×(22＋12＋2×1) ＝73
π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 答案：5π
6．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V ＝________.
解析：该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成， ∵正方体的边长为1，
∴V 正方体＝13＝1，∵正四棱锥的棱长全为1， ∴正四棱锥的底面积为1×1＝1， 又∵正四棱锥的高为
1－(
22)2＝22
， 所以此凸多面体的体积V ＝1＋13×1×22＝1＋2
6.
答案：1＋2
6
三、解答题
7．一几何体按比例绘制的三视图如下图所示(单位：m)
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积． 解：(1)直观图如下图所示．
(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34
，
在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1， 则AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1 ∴BB 1＝ 2
∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD
＋S 矩形A 1B 1C 1D 1
＝1＋2×1
2×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2
＝7＋2(m 2)．
∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝3
2(m 3)，
∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为3
2
m 3.
解法二：几何体可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝3
2(m 3)．∴几何体的表面积为(7
＋2)m 2，体积为3
2
m 3.
8．如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1＝8.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？
解：当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE 为梯形． 设△ABC 的面积为S ，则S 梯形ABFE ＝3
4S ，
V 水＝34
S ·AA 1＝6S .
当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，则有V 水＝Sh ， ∴6S ＝Sh ，∴h ＝6.
故当底面ABC 水平放置时，液面高为6.
[高考·模拟·预测]
1．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是
( )
A ．32＋ 3 B.2＋3 3
C ．22＋3 3
D ．32＋2 3
解析：该几何体是上面为正四棱锥，下面为正方体的组合体，体积为V ＝(3)3＋1
3
×(3)2×2＝33＋ 2.
答案：B
2．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．
解析：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝1
3×π×12×22
＝22π3
.
答案：22π3
3．如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a 的等腰三角形，俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是________．
解析：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为
12
×2a ×2πa ＝2πa 2，底面积为πa 2，观察三视图可知，轴截面为边长为2a 的正三角形，所以轴截面面积为12×2a ×2a ×32＝3a 2，则该几何体的表面积为3
2
πa 2＋3a 2.
答案：3
2
πa 2＋3a 2
4．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .
(Ⅰ)求证：AB ⊥DE ；
(Ⅱ)求三棱锥E —ABD 的侧面积． 解：(Ⅰ)在△ABD 中，
∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝
AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝2 3. ∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BD . 又∵平面EBD ⊥平面ABD ，
平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .
∵DE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥DE .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB ⊥BD .∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD .在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，
∴S △DBE ＝1
2
DB ·DE ＝2 3.
又∵AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥BE . ∵BE ＝BC ＝AD ＝4， ∴S △ABE ＝1
2
AB ·BE ＝4.
∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD . 而AD ⊂平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝1
2AD ·DE ＝4.
综上，三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝8＋2 3.
[备选精题]
5．如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC ⊥AD ；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD 的大小；若不存在，说明理由．
(1)证明：取BC 的中点E ，连结AE ，DE ， ∵△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形， ∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC . ∴BC ⊥平面AED .∴BC ⊥AD .
(2)解：由已知得，△AED 为等腰三角形，且AE ＝ED ＝23，设AD ＝x ，F 为棱AD 的中点，则EF ＝
12－(12x )2，S △AED ＝1
2
x
12－x 24＝1
4
48x 2－x 4.
V ＝1
3S △AED ·(BE ＋CE )
＝
1
3
48x 2－x 4(0<x <43)， 当x 2＝24即x ＝26时，V max ＝8，
∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD ＝2 6.。