高中数学竞赛训练十一

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数学竞赛试题高一及答案

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高中数学竞赛模拟题(十六套)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。

2．如图，在错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。

３．错误！未找到引用源。

4．单位正方体错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。

6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。

7．若错误！未找到引用源。

8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。

条线段．二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。

的通项公式；（2）设集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，求证：错误！未找到引用源。

． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。

有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。

成立．二试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

求证：错误！未找到引用源。

N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。

．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。

四．（50分）设错误！未找到引用源。

为正整数错误！未找到引用源。

的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。

为数列错误！未找到引用源。

的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11 概率(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11 概率（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=_________. 【答案】115【解析】【详解】123x x x <<的样本方差()3221113i i s x x ==-≤∑，当且仅当1x 、2x 、3x 是连续的正整数.故()231081115P s C ≤==.故答案为1152．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m 个红球和n 个白球，m ＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组（m ，n ）的个数为_______. 【答案】3 【解析】【详解】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两个球”为事件C ，则()22m m n C P A C +=，()22n m n C P B C +=，()112m nm nC C P C C +⋅=. 依题意得()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=.所以()2m n m n +=-，从而m n +为完全平方数.又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤. 所以9,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩或16,4,m n m n +=⎧⎨-=⎩或25,5,m n m n +=⎧⎨-=⎩或36,6,m n m n +=⎧⎨-=⎩. 解之得（m ，n ）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）. 故符合题意的数组（m ，n ）有3个.故答案为33．（2018·广东·高三竞赛）已知点A （1，1），B （1,02），C （3,02）经过点A 、B 的直线和经过点A 、C 的直线与直线()01y a a =<<所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域(){},02,01x y x y <<<<中任意一点进入区域G 的可能性为116，则a=__________. 【答案】12 【解析】【详解】直线AB 方程为21y x =-，直线AC 方程为23y x =-+，直线y a =与它们的交点为D （1,2a a -），E （3,2a a -）.G 的面积等于三角形ADE 的面积()212a -，因此()211416a -=，解之得12a =. 故答案为124．（2019·全国·高三竞赛）已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束那么，需要进行的游戏局数的数学期望为_______. 【答案】185. 【解析】【详解】设所求的数学期望为E ξ.注意到，两局就结束的概率等于22215339⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若两局没有结束，则必定恰赢了一局，回到初始状态，此时的数学期望为2E ξ+，从而， ()541822995E E E ξξξ⨯++=⇒=. 故答案为1855．（2019·全国·高三竞赛）两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5min 分钟，如果没有见到对方则自己先行.设两人到达B 地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么，两人能够在当天一同去A 地的概率是______. 【答案】23144【解析】【详解】设两人到达A 地的时间分别是7点过m 分和7点过n 分（0m ≤、60n ≤）.用数对(),m n 表示两人分别到达A 地的时间.则在直角坐标系中，点(),m n 的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600.显然，两人能够在当天一同去A 地等价于5m n -≤.此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线5m n -=±之间的部分区域（如图），其面积为2360055575-=. 故所求概率为575233600144=. 故答案为231446．（2019·全国·高三竞赛）在面积为1的正方形ABCD 中任取一点P ，则PAB △、PBC 、PCD 、PDA 的面积均大于16的概率是____．【答案】19【解析】【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系.设(),p x y ，01x <<，01y <<. 由题设知x ，y 必满足()()112611261112611126x y x y ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪->⎪⎪⎪->⎩，即12331233x y ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩. 因此，满足题设条件的点p 必在直线13x =，23x =和13y =，23y =所围成的正方形区域内.所以所求概率为2211319⎛⎫⎪⎝⎭=. 故答案为197．（2019·全国·高三竞赛）圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的个数比为______. 【答案】27【解析】【详解】任选4点，共有410210C =个凸四边形，其中，梯形的两条平行边既可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个.所以，梯形所占的个数比为27. 故答案为278．（2019·全国·高三竞赛）记{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8A B ==．现抛掷硬币从A 、B 中无放回地取出数字组成九位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A 中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B 中取出一个最小的数．当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时，另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则，取出的数字恰好为123456789的概率为________．【答案】1256【解析】【详解】由规则知，抛掷硬币的正反面序列为：正反正反正反正反．所以，取出的数字恰好为123456789的概率为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为12569．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=__________．【答案】65【解析】【分析】【详解】易知ξ的取值为1,2,3，且：327741013233765C C E C ξ⨯⨯+⨯⨯+⨯==．故答案为：65.10．（2018·全国·高三竞赛）甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人．一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为______．【答案】19【解析】【详解】 433139P ⨯== 11．（2018·全国·高三竞赛）袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球．则第四次恰取完所有红球的概率为______．【答案】0.0434 【解析】【详解】第四次恰取完所有红球的概率为2229182918210.043410101010101010101010⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．（2019·全国·高三竞赛）从{}1,2,,100中任取5个数（可以相同）．则取到合数的个数的数学期望是______．【答案】3710【解析】【详解】{}1,2,,100中合数共有74个，设ξ为取到合数的个数．则()()557426i 05100100iiP C i ξ-⎛⎫⎛⎫==≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故ξ服从二项分布．因此，7437510010E ξ=⨯=．故答案为371013．（2018·全国·高三竞赛）甲有一个箱子，里面有红球和白球共4个；乙有一个箱子，里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在，甲从他的箱子中任取2个球，乙从他的箱子中任取1个球，如果取出的3个球颜色全不同，则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大，则甲的箱子中的红球个数为____. 【答案】2 【解析】【详解】设甲的箱子中有()1n n ≥个红球，则白球有4n -个.故甲获胜的概率为()114214414.24n n C C P n n C C -==-422n n +-≤=，即()44n n -≤，当且仅当2n =时，上式等号成立，P 最大.14．（2019·全国·高三竞赛）两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则A 胜;否则B 胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为______.【答案】93128【解析】【详解】考察旋转9次才结束游戏的情形.此时,前8次旋转中正面向上和反面向上各有4次,其概率为488C 352128=,于是,旋转不足9次就结束游戏的概率为35931128128-=. 故答案为9312815．（2019·全国·高三竞赛）设1210,,,a a a 是2000,2001,,2009的一个排列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．则排列1210,,,a a a 满足“()110i S i ≤≤都不是3的倍数”的概率为______.【答案】150【解析】【详解】设2000,2001,,2009的一个排列为一个基本事件M .则基本事件总数为1010N A =.下面计算所求事件M 含的基本事件数．（1）首项不能是3的倍数，除首项以外各项均可是3的倍数，从而，3的倍数有39A 种排法；（2）去掉3的倍数后，考虑模3余2、余1的数的位置（用i a 模3的余数代替i a ）：当11a =时，21a =，32a =，41a =，……此时，含1的项比含2的项多，这与已知矛盾；当12a =时，22a =，31a =，……此时，满足题设要求．综上，模3余2、余l 的数的位置唯一确定，它们的各自排法分别有44A 和33A 种．因此，事件M 含基本事件数为343943m A A A =.故所求概率150m P N ==．故答案为15016．（2019·全国·高三竞赛）一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后，四个人顺次每人抓13张.则两个红A （即红桃A 、方块A ）在同一个人手中的概率为________. 【答案】417【解析】【详解】注意到，牌洗好后每个人的牌就定下来了，即已将52张牌排在了52个位置上. 记四组牌号为：1，5，9，13，⋯，49；2，6，10，14，⋯，50； 3，7，11，15，⋯，51；4，8，12，16，⋯，52．则红桃A 、方块A 在同一组中的排列数为25013504M A A =.从而，所求概率为452!17M P ==. 故答案为41717．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______. 【答案】772【解析】【详解】设1234a a a a 、、、分别是四次投掷骰子得到的点数，那么()1234,,,a a a a 共有46种不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则 1234a a a a ≤≤≤.若1234a a a a 、、、的值都相等，则()1234,,,a a a a 有16C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取两个不同的值，则()1234,,,a a a a 有263C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取3个不同的值，则()1234,,,a a a a 有363C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取4个不同的值，则()1234,,,a a a a 有46C 种不同的情况.因此，满足1234a a a a ≤≤≤的情况共有1234666633126C C C C +++=（种）.故所求的概率为41267672=. 18．（2019·上海·高三竞赛）某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________.【答案】311【解析】【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==.故答案为：311． 19．（2019·贵州·高三竞赛）已知m ∈{11，13，15，17，19}，n ∈{2000，2001，…，2019}，则mn 的个位数是1的概率为____________ . 【答案】25【解析】【详解】当m =11，n ∈{2000，2001，…，2019}时，mn 的个位数都是1，此时有20种选法；当m =13，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法；当m =15时，mn 的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m =17，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法；当m =19，n ∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m 的个位数都是1，此时有10种选法. 综上，所求概率为205051025205++++=⨯.故答案为：25．20．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______. 【答案】319512【解析】【分析】【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，即5101011101051319222512i i p CC ===+=∑.故答案为：319512. 21．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．【答案】23108【解析】【分析】【详解】有两次为5的概率为213531166216C C +=，有两次为6和4的概率为211134323306216A C C C +=，所以概率为163023216216108+=. 故答案为：23108. 22．（2018·福建·高三竞赛）从如图所示的，由9个单位小方格组成的，33⨯方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】514【解析】【详解】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成224436C C ⨯=个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得436144⨯=个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．再算直角顶点不在矩形顶点：（1）在12⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为()2,2,2的直角三角形两个．而12⨯矩形横向、纵向各有6个，故共有21224⨯=个．（2）在23⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为5,5,10的直角三角形4个，边长分别为(2,22,10的直角三角形4个．而23⨯矩形横向、纵向各有两个，故共有()44432+⨯=个．所以，所求的概率31614424322005401414P C ++===⨯． 23．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2014中随机地、不放回地取出三个数123a a a 、、，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数123b b b 、、.则将123a a a ⨯⨯为长、宽、高的砖能放进以123b b b ⨯⨯为长、宽、高的盒子中的概率为__________．【答案】14【解析】【详解】不妨设123a a a <<，123b b b <<，当且仅当11a b <，22a b <，33a b <时砖可放入盒中. 设126c c c <<<是从{}1,2,,2014中选出的六个数，再从中选出三个，有36C =20种方法.这三个作为123a a a 、、，剩下三个作为123b b b 、、，符合要求的1a 只能为1c . 2a 若为2c ，则3a 可为3c 或4c 或5c ；2a 若为3c ，则3a 可为4c 或5c .故符合要求的取法为5种，概率51204p ==. 24．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________．【答案】833【解析】【详解】设小明、小红投掷次数分别为ξη、.则所求为()()()1,11,]i P i P i i P i i ξηξηξη+∞===+==++=+=∑.由独立性,知所求概率为()()()()()()111)i P i P i P i P i P i P i ξηξηξη+∞=⎡⎤==+==++=+=⎣⎦∑=111151515151266666666i i i ii ---+∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑=833.25．（2018·全国·高三竞赛）设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为_______（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. 【答案】10072015【解析】【详解】当()6n k k Z +=∈时，6322n k k ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，66233636n n k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.满足题中方程的n 为6，12，…，2010，共335个；当()65n k k Z +=-∈时，653322n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6565221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为1，7，13，…，2011，共336个；当()64n k k Z +=-∈时，643222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6464221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()63n k k Z +=-∈时，633222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6363211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为3，9，15，…，2013，共336个；当()62n k k Z +=-∈时，623122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，6262211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()61n k k Z +=-∈时，613122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6161211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在. 因此，从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为题中方程的解的概率为335336336100720152015++=. 26．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为m 、n 、p .则函数322132n y mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数的概率为______. 【答案】1124【解析】【详解】注意到，()322132n f x mx x px =--+ 在[)1,+∞上为增函数等价于()220f x mx nx p =-->'在[)1,+∞上恒成立，等价于()10f '>，即2m n p >+.当2m =时，3n p +≤，有3种；当3m =时，5n p +≤，有10种；当4m =时，7n p +≤，有21种；当5m =时，9n p +≤，有30种；当6m =时，11n p +≤，有35种. 故所求概率为331021303511624++++=.27．（2019·全国·高三竞赛）将编号为1，2，…，9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为T 则T 取得最小值的放法的概率为______. 【答案】1315【解析】【详解】由题设，知珍珠的固定方法共有9!47!92=⨯⨯（种）. 在项链所在的圆周上，从1~9有优弧和劣弧两条路径，设12,,,k x x x ⋅⋅⋅是依次排列在这段弧上的珍珠号码.则()()()11211219198k k T x x x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-≥-+-+⋅⋅⋅+-=，当且仅当1219k x x x <<<⋅⋅⋅<<时，等号成立.因此，T 取得最小值的放法共有0123677772C C C C +++=（种）.故所求概率为62147!315=⨯. 28．（2018·全国·高三竞赛）小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进行下去，直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数3.则他获胜的概率是______. 【答案】175864【解析】【详解】考虑第一轮次中可能出现的四种情形. （1）小张获胜.这种概率是313168P ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）小张与另外某一人打成平局.这种概率是213131668C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是21118216P =⨯=（注意该游戏永不停止地进行下去的概率是0，下同）.（3）小张与另外某两个人打成平局，这种概率是2231316624C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是311124372P =⨯=. （4）所有人均打成平局．这种概率是3116216⎛⎫= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是41112164864P =⨯=. 综上，小张在游戏中获胜的概率为1234111117581672864864P P P P P =+++=+++=. 29．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2011⋅⋅⋅中任意选取两个不同的数a 、b ，使得a b n +=（n 为某正整数）的概率为12011．则ab 的最小值为______．【答案】2010．【解析】【详解】记使得a b n +=的方法有k 种．则22011110052011k k C=⇒=．考虑ab 尽量小，且使a b n +=的方法有1005种．取2011n =．则120102************+=+=⋅⋅⋅=+．此时，2011a b +=的选法恰有1005种．于是，ab 的最小值为120102010⨯=．30．（2018·全国·高三竞赛）A B 、两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次. A B 、两队的三名队员分别是1A 、23A A 、,123B B B 、、,且i A 对j B 的胜率为()13ii j i j ≤≤+、.则A 队得分期望的最大可能值是______. 【答案】9160【解析】【详解】设123A A A ，，胜率为123,,,p p p A 则队得分期望为123p p p ++，计算123123123123123123246255336354446435++++++++++++，，，，，，可知,当132132:,:,:A B A B A B 时,期望最大为9160. 31．（2018·全国·高三竞赛）将1~6这16个正整数随机地填入44⨯棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为______．【答案】412145【解析】【详解】首先，将44⨯棋盘染黑白两色，使黑、白两种格子各有8个，且每行（或列）中同色的格子有偶数个．分三种情况讨论：（1）若第一列为两黑两自，则该列有24C 种染法．考虑后三列每行黑格的个数，则有12323223334+⨯⨯+⨯⨯+⨯=种染法．（2）若第一列为四黑，则后三列共有2234321C C +=种染法．（3）若第一列为四白，则后三列共有21种染法．对于以上每种染法，将1~16中的偶数填入黑格中，奇数填入白格中，得到满足条件的填法．故所求概率为()()26342128!4116!2145⨯+⨯⨯=．32．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶100m ，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退50m 进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退50m ，直到命中为止，已知他第一次的命中率为14，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________. 【答案】12 【解析】【详解】记事件“第n 次射击命中”为n A ，其概率为()n P A .则()114P A =. 又第n 次射击时距离靶()()()100501501n n m +-=-，则()()()2122111n P A P A n n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+.于是，前n 次内命中的概率为()()()()121211n n n P P A A A P A P A P A =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅()21111324211111492233111n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()1212121n nn n +=-⋅=++.令n →∞，得1lim 2n n P →∞=. 因此，此人能够命中的概率是12.故答案为1233．（2019·全国·高三竞赛）如图，给定由()12n n +个点组成的正三角形点阵．在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________．【答案】224n n +-【解析】【详解】设正三角形点阵的凸包为正ABC ∆，边长为1n -.首先，计算正△DEF 的个数，其中，D 、E 、F 为上述正三角形点阵内的点. 如图，将AB 、AC 分别延长到点,B C ''，使得''1BB CC ==.将BB '分成n 等份.对正三角形点阵内任一点X ，过X 作AB 、AC 的平行线与B C ''的交点，并分别记为b c X X 、. 下面分两种情形.1.正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△DEF 与边B C ''上有序三点组()b ,,c c E F F 一一对应，有3n+1C 个正三角形.2.正△D E F '''不与正△ABC 对应边平行，作正△D E F '''的外接正△DEF ，使得正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△D E F '''与边B’C’上有序四点组()b b ,',',c c E D D F 一一对应，有41n C +个正三角形.综上，共有344n+112n n C C C +++=个正三角形.从而，所求概率为()42321224n n n C C n n ++=+-. 故答案为224n n +-34．（2019·全国·高三竞赛）有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为______. 【答案】613【解析】【详解】按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：()1,2,4，()1,3,3，()2,2,3.当()1,2,4时，发奖方式有12476465711052C C C ⨯=⨯⨯=（种）；当()1,3,3时，发奖方式有1337636547114032C C C ⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）；当()2,2,3时，发奖方式有322742765431210322C C C ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）. 故恰有2人获一等奖的概率为 210621014010513=++.35．（2019·全国·高三竞赛）某校进行投篮比赛，共有64人参加.已知每名参赛者每次投篮的命中率为34.规定：只有连续命中两次才能被录取，一旦录取就停止投篮，否则一直投满4次.设ξ表示录取人数.则E ξ______. 【答案】54 【解析】【详解】每位参赛者被录取的概率为33133113313321644444444434444256p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故录取人数ξ服从二项分布，即216~64,256B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以，2166454256E ξ=⨯=. 故答案为5436．（2019·全国·高三竞赛）数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:00~23:00:00（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是______. 【答案】61540【解析】【详解】为了满足题中的条件，设钟面显示应为()1212121112::6,6,h h m m s s m s h h <<≠. 当16h <，26h <时，1m 和1s 应在小于7中的另外四个数中选择.因而，1m 有四种选择方式，1s 有三种选择方式.由于已选择了四个数字，2m 和2s 就只能从剩余的六个数字中选择，它们分别有六种、五种的选择方式.在05:00:00—23:00:00之间，这种情形共有时间总数是743652520⨯⨯⨯⨯=.当1h 、2h 中只有一个小于6时，类似可求在05:00:00~23:00:00之间，这种情形共有时间总数是854654800⨯⨯⨯⨯=.因此，钟面上的六个数字都不相同的次数是250048007320+=，概率为732061183600540=⨯.37．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有12的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______．【答案】3516【解析】【分析】【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为X ,则X 可能取值为1,2,3,4, 比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,63615(1)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,63515(2)2216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,53411(3)224P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,比四局,胜方连胜四局,411(4)228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以551135()123416164816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：3516. 38．（2019·四川·高三竞赛）设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ . 【答案】12 【解析】【详解】设所求数学期望为E ，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数ξ的数学期望为E (a )、E (b )、E (c ).则E (b )=E (c ).因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以()2()3E a E b E +=，①先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则12()2(1())33E a E b =⨯++②再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则()1E b E =+③ 由①、②、③，解得E =12. 故答案为：12．39．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ . 【答案】338【解析】【详解】设取出的3个不同的数分别为a 、b 、c .不同的取法共有320C 种，若这3个数构成等差数列，则有a +c =2b .故、c 同为奇数或同为偶数，且a 与c 确定后，b 随之而定.从而所求概率为221010320338C C P C +==. 故答案为：338．二、解答题(共0分)40．（2018·黑龙江·高三竞赛）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征如《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示.（1）求图中x 的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.06x =（2）分布列见解析，期望为1.8 【解析】【详解】（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.（2）.用分层抽样的方法，从100志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6铭，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0，1，2，3.()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===.故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1303101216所以()13110123 1.8301026E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.41．（2018·湖南·高三竞赛）棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P . （1）求3P 的值；（2）证明：111()(299)2n n n n P P P P n ++-=--≤≤；（3）求99100P P 、的值.【答案】（1）58（2）111()(2n 99)2n n n n P P P P +--=-≤≤（3）1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【解析】【详解】（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为14，因此3P =58.（2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112n P -，因此有()1212n n n P P P --=+，即()11212n n n n P P P P ----=-+，也即()()1112992n n n n P P P P n +--=-≤≤. （3）由（2）知数列{}()11n n P P n --≥是首项为{}()11n n P P n --≥ 1011122P P -=-=-，公比为12-的等比数列.因此有()()11101122nn n n n P P P P ---⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.由此得到 999899100111211122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 42．（2018·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足10a =，并且对任意的1,11n n n n Z a a a 取或++∈-+的概率均为12．（1）设21n a +的值为随机变量X ，试求X 的概率分布；（2）求X 的绝对值的数学期望E|X|．【答案】（1）见解析；（2）2212n n n nC -．【解析】【详解】（1）设1n n n d a a +=-.则对任意正整数,n n d 取1或-1的概率均为12，且()22211111n nn i i i i i a a a a d ++===+-=∑∑.设21n a k +=.显然，2k n ≤，并设此时122,,,n d d d ⋅⋅⋅中有x 个1,2n-x 个-1.则X-(2n-x)=k. 因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n 个数122,,,n d d d ⋅⋅⋅中，有n+m 个取1，n-m 个取-1，因此，X 的概率分布可表示为()()2220,1,,2n mn n C P X m m n +=-==±⋅⋅⋅±（2）对任意1≤i≤n ，易知P(X=-2m)=P(X=2m).从而，()()22121,2,,2n m nn C P X m m n +-===⋅⋅⋅.2222211112?22n m nn n m nn n n m m C E X m mC ++--====∑∑()2222112nn mn mnn n m n m CnC ++-=⎡⎤=+-⎣⎦∑()1212221122nn m n mn nn m nCnC +-+--==-∑ 12122211122n nn m n m n n n m m n C n C +-+--==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ ()212222*********.2222n n n n n n n n nC n C n ---⎡⎤=⨯⨯--=⎢⎥⎣⎦ 43．（2018·全国·高三竞赛）掷骰子（为均匀的正方体，六个面分别标有1、2、3、4、5、6）游戏规则如下：第一次掷9枚骰子，将其中显示为1的骰子拿出放到一边；第二次掷剩下的骰子，再将显示为1的骰子拿出；……，直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出，游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为u v uab c d（a、b 、c 、d 为不同的质数，u v N +∈、）.求uv bcd +. 【答案】2012 【解析】【详解】由游戏规则，知若恰好掷9次结束游戏，则前八次中每次恰好有1枚骰子显示为1，第九次无论显示是否为1，游戏均结束，其中，第()1,2,,8k k =⋅⋅⋅次掷10k -枚骰子，恰有1枚显示为1的概率为191010156k k k C ---⨯⨯. 则191891010125566k u k k v u kk k k C ab k c d ----==⨯⨯==∏∏ 363737444040379!5565756632⨯⨯⨯===⨯ 7a ⇒=，5b =，3c =，2d =，37u =，40v =.故37405322012uv bcd +=⨯+=.44．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}()1,2,,,2S n n N n +=⋅⋅⋅∈≥的子集中先后取出两个不同的子集P 、Q ，求以下事件发生的概率：（1）PQ ，且Q P ；（2）Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤- 【答案】（1）()1321221n n n n ----；（2）()3221kn n- 【解析】【详解】由集合S 共有2n 个子集，知有序子集对(),P Q 的取法共有()22221n nn A =-种.（1）考虑“P Q ，且Q P ”的对立事件：“P ⊂≠ Q 或Q ⊂≠ P ”.若P ⊂≠ Q ，记Card ()()1Q i i n =≤≤..则Q 有in C 种取法.而P 是Q 的真子集，于是，P 有21i -种取法.从而，满足P ⊂≠ Q 的子集对(),P Q 的取法总数为()121232nn niiiiin n n nn i i i C C C ===-=-=-∑∑∑.由对称性，Q ⊂≠ P 的取法也有32n n -种.因此，P Q ，且Q P 的概率为()()()12323211221221n n nnnnn n----=---. （2）集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅中含有n 的子集的个数为12n -个.于是，事件Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-等价于在n k -元集合S S '=\()P Q ⋂中先后选取两个子集P '、Q '，使得P Q '⋂'=∅.设Card ()()0P i i k ='≤≤.则P '有ik C 种取法.于是，,s Q C P '⊆'.从而，Q '有2k i -种取法.此时，子集对(),P Q ''共有12k ik C -种选法.故满足P Q '⋂'=∅的子集对(),P Q ''有023kk i i kk i C -==∑（个）.因此，Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-的概率为()3221kn n-. 45．（2019·全国·高三竞赛）甲乙两人参加竞选，结果是甲得n 票，乙得m 票()n m >. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率. 【答案】n mn m-+ 【解析】【详解】若唱甲当选，则记为1；若唱乙当选，则记为1-. 每一种唱票方式都对应一个由n 个1和m 个1-组成的排列. 用k S 表示谴责k 项的和，在直角坐标系中标出点(),k k S ，并将点(),k k S 与点()11,k k S ++用线段联结()00,1,2,,,0k m n S 其中=⋅⋅⋅+=. 这样，每一种唱票方式都对应一条联结()0,0O 与(),A m n n m +-的折线. 而甲累计的票数始终领先等价于所有的点(),k k S 都在x 轴的上方，即折线与x 轴无交点（我们称为“好折线”，反之为“坏折线”）.显然，联结O 、A 的“自由”（无限定条件）折线有C nm n +条，这是因为在m n +段中选择n 段为上升有C nm n +种方法.对每一条坏折线，有如下两种情形：一是经过点()1,1S -，二是经过点()1,1T . 对于第一种情形，坏折线是由S 到A 的自由折线，从而，这样的折线有1C nn m +-条.对于第二种情形，注意到过()1,1T 的坏折线必与x 轴相交，设其横坐标最小的交点为P . 将此折线位于P 左边的部分作关于x 轴的对称折线，便得到过点()1,1S -的坏折线，于是，坏折线的条数也有1C nn m +-条. 所以，合乎条件的好折线的条数为11111C 2C C C 1C n n n nm n m n m n m n m n m m n -++-+-+-+-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.综上所述，所求的概率为()11C C 1C C m mn m n m n nn m n mn m m n mn n n m +-+-++--⎛⎫-⋅== ⎪+⎝⎭. 46．（2019·全国·高三竞赛）如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，对A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量ξ.试求ξ的概率分布列及其数学期望E ξ.【答案】见解析【解析】【详解】所作出的向量数为2721C =，则可取221210C =对向量.设所取向量分别为a 、b .由于···cos ,a b a b a b ξ==，因此，可不考虑向量的方向.不妨令所取两向量的夹角均为它们所在直线的夹角（取值范围为[]0,90︒︒），则任意两向量之间的夹角均属于集合{}0,30,60,90︒︒︒︒，每个向量的模值属于集合{}3,2，其中，模为1的个数为1236，模为2的个数为3.若2a b ==，则它们之间的夹角必为60︒，·2a b =，其概率为1321221070⨯⨯=. 若3a b =0︒或60︒.当夹角为0︒时，·3a b =，其概率为1611221070⨯⨯=；当夹角为60︒时，3·2a b =，其概率为1462221035⨯⨯=. 若1a b ==，则它们之间的夹角可能为0︒或60︒.易知其概率分别为。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

高中数学竞赛试题汇总

高中数学竞赛试题汇总高中数学竞赛模拟试题一一试一、填空题（共8小题，8×7=56分）1、已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，点(x,y)与原点的距离是。

2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如记f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，f(123)=12+22+32=14.k=1,2,3.则f2010(2010)=。

3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的二面角度数是。

4、在1,2.2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。

5、若正数a,b,c满足abc=-(b+ca+ca+b)，则ba+c的最大值是。

6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是。

7、已知数列a,a1,a2.an。

满足关系式(3-an+1)(6+an)=18且a=3，则∑(i=1 to n)ai的值是。

8、函数f(x)=sinx+tanxcosx+tanxcosx+cotxsinx+cotx的最小值为。

二、解答题（共3题，14+15+15=44分）9、设数列{an}满足条件：a1=1,a2=2，且an+2=an+1+an (n=1,2,3.)，求证：对于任何正整数n，都有：na(n+1)≥1+(n/2)(an)2,3.10、已知曲线M:x2-y2=m，x>0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、曲线M、直线y=-x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。

1）若|AB|=|BC|=|CD|，求证：△AOD的面积为定值；2）若△BOC的面积等于△AOD面积的1/3，求证：|AB|=|BC|=|CD|。

11、已知α、β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x-t的定义域为[α,β]。

求证：2α+1<2β+1.Ⅰ）求函数g(t)=max{f(x)}-min{f(x)};Ⅱ）证明：对于u1,u2,u3∈(0,π)，若sinu1+sinu2+sinu3=1/2，则1113+g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)<6.二试考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图，O1和O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解：而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ，得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，，化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解：因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是．解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为．解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知$ a, b $ 是方程 $ x^2 + 5x + 6 = 0 $ 的两个实根，求 $ a^2 + 5a + 6 $ 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 $ x^2 + bx + c = 0 $，其根$ a $ 和 $ b $ 满足 $ a + b = -b $ 和 $ ab = c $。

因此，对于给定的方程 $ x^2 + 5x + 6 = 0 $，我们有 $ a + b =-5 $ 和 $ ab = 6 $。

由于 $ a $ 是方程的一个根，我们可以将 $ a $ 代入方程得到 $ a^2 + 5a + 6 = 0 $。

所以 $ a^2 + 5a + 6 = 0 $。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 $ c $ 可以通过直角边 $ a $ 和 $ b $ 计算得出，公式为 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $。

将给定的边长代入公式，我们得到 $ c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第 10 项 $ a_{10} $ 的值。

解答：等差数列的通项公式为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，其中$ n $ 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 $ a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 $。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

高中数学竞赛模拟题(十六套)

高中数学竞赛模拟题(十六套)高中数学竞赛模拟题(十六套)第一套：代数高中数学竞赛中，代数是一个重要的考察内容。

在这个模拟题的第一套中，我们将考察代数的基本概念和运算技巧。

请同学们认真阅读并解答以下题目。

1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + 3x + b$，且函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(-2, -1)$ 和 $(1, 4)$。

求常数 $a$ 和 $b$ 的值。

2. 某数列的前3项依次为 $a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 9$。

已知数列满足递推式 $a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 1$，其中 $n \geq 2$。

求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

3. 解方程组：$\begin{cases}2x - 3y = 5 \\4x + 2y = 10\end{cases}$第二套：几何几何在高中数学竞赛中也占据重要的位置。

在这个模拟题的第二套中，我们将考察几何的基本概念和解题技巧。

请认真阅读并解答以下题目。

1. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过点 $A(3, 2)$，且与直线 $x - 3y - 1 = 0$ 平行。

求直线 $l$ 方程。

2. 在三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 30^\circ$，点 $D$ 在边$AC$ 上，且 $\angle BDC = 90^\circ$。

若 $BD = 2$，$DC = 4$，求三角形 $ABC$ 的面积。

3. 已知四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BC = CD$，$AC$ 为对角线，且 $\angle ACB = 70^\circ$。

求 $\angle BAC$ 的度数。

第三套：数列与数表数列与数表也是高中数学竞赛的考察内容之一。

在这个模拟题的第三套中，我们将考察数列与数表的基本性质和求解能力。

请认真阅读并解答以下题目。

1. 求限制条件为 $a_n < 100$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项的表达式，已知数列的公差为 5。

高中数学竞赛训练解答题(每题含详解)

高中数学竞赛训练题—解答题1．a,b是两个不相等的正数，且满足a3b3 a 2 b 2，求所有可能的整数c,使得c9ab .2．已知不等式111...1a对一切正整数 a 均成立，求正整数 an1n 2n33n 124的最大值，并证明你的结论。

3．设a n为 a14的单调递增数列，且满足 a n21 a n216 8(a n 1a n ) 2a n 1a n，求{ a n}的通项公式。

4．（ 1）设x0, y0, 求证：x23x y ;x y4（ 2）设x0, y0, z0,求证：x3y y3z3xy yz zx .x y z z x25. 设数列1,1,2,1,2,3,, 1,2,,k,，121321k k11问：（ 1）这个数列第 2010 项的值是多少；（ 2）在这个数列中，第2010 个值为 1 的项的序号是多少 .6.设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。

现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

7．已知数列{ a n}满足a1a（a0, 且 a 1 ），前 n 项和为 S n，且 S n a(1 a n ) ，1a记 b n a n lg | a n |（ n N），当 a 7时，问是否存在正整数 m ，使得对于任意正整数3n ，都有 b n b m？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．8. 在ABC中，已AB AC 9,sin B cos A sin C ，又ABC的面积等于6.（Ⅰ）求 ABC 的三边之长；（Ⅱ）设 P 是ABC（含边界）内一点，P 到三边 AB、 BC、AB 的距离为d1、 d2和 d3，求 d1 d2 d 3的取值范围.9．在数列a n中，a1，a2是给定的非零整数， a n 2 a n 1 a n．（1）若a15 2 ， a1，求 a2008；16（2）证明：从a n中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．10. 已知椭圆x 2y 2 1(a1) ， Rt ABC 以 A （ 0，1）为直角顶点，边 AB 、BC 与椭圆a 2交于两点 B 、 C 。

高中数学竞赛训练题(含答案)

例1、求点集中的元素的个数．分析及答案思路分析：应首先去对数将之化为代数方程来解之．解：由所设知x>0，y>0及由平均值不等式，有当且仅当即（虚根舍去）时，等号成立．故所给点集仅有一个元素．评述：此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之．例2、已知集合A={(x，y)}||x|＋|y|=a，a>0|，B={(x，y)||xy|＋1=|x|＋|y|}．若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为____________．分析及答案思路分析：可作图，以数形结合法来解之．略解：点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如图所示）．将|xy|＋1=|x|＋|y|，变形为（|x|－1）（|y|－1）=0，所以，集合B由四条直线x=±1，y=±1构成．欲使A∩B为正八边形的顶点所构成，只有a>2或1<a<2这两种情况．（1）当a>2时，由于正八边形的边长只能为2，显然有，故（2）当1<a<2时，设正八边形边长为l，则，这时，综上所述，a的值为时，如图所示中．例3、设集合则在下列关系中，成立的是（）A．A B C D B．A∩B=φ，C∩D=φC．A=B∪C，C D D．A∪B=B，C∩D=φ分析及答案思路分析：应注意数的特征，．解法1：∵∴A=B∪C，C D．故应选C．解法2：如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令．结论仍然不变，显然，A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集合，C′为终边在y轴上的角的集合，D′为终边在y轴上及在直线上的角的集合，故应选C．评述：解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解．例4、设有集合A={x|x2－[x]=2}和B={x||x|<2}，求A∩B和A∪B（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）．分析及答案思路分析：应首先确定集合A与B．从而－1≤x≤2．显然，2∈A．∴A∪B={x|－2<x≤2}．若x∈A∩B，则x2=[x]＋2，[x]∈{1，0，－1，－2}，从而得出或x=－1（[x]=－1）．于是A∩B={－1，}．评述：此题中集合B中元素x满足“|x|<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之．例5、已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2＋(y－a)2≤1}．求M∩N=N成立时a需满足的充要条件．分析及答案思路分析：由M∩N=N，可知N M．略解：．由x2＋(y－a)2≤1得x2≤y－y2＋(2a－1)y＋(1－a2) ．于是，若－y2＋(2a－1)y＋(1－a2)≤0，①必有y≥x2，即N M．而①成立的条件是，即解得．评述：此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解．。

【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】

两个数学奥林匹克高中训练题05按从小到大顺序排列数列各项的和记为s对于给定的自然数n若能从数列中选取一些不同位置的项使得这些项之和恰等于n便称为一种选项方案和数为n的所有选项方案的种数记为数学奥林匹克高中训练题05第一试一选择题本题满分42分每小题7分1
奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ...................................................................................................

高中数学竞赛题库及答案解析

高中数学竞赛题库及答案解析在高中数学的学习中，参加数学竞赛是提高自己数学水平的一个很好的途径。

为了帮助广大高中生更好地备战数学竞赛，我们整理了一套高中数学竞赛题库，并提供了相应的答案解析。

下面是题库的详细内容和解析。

第一部分：选择题1. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中$a_1=3$，$d=-2$，求该等差数列的第21项$a_{21}$的值。

解析：根据已知条件，代入公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，得到$S_{21}=\frac{21}{2}(2\cdot3+(21-1)\cdot(-2))$，计算可得$S_{21}=-105$。

由等差数列的前$n$项和公式可知$S_{21}=a_1+19d$，代入已知$a_1=3$和$d=-2$，解方程可得$a_{21}=-37$。

答案：$a_{21}=-37$。

2. 题目：已知函数$f(x)=x^3-2x^2+3x-4$，求$f(-1)$的值。

解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得到$f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2+3(-1)-4$，计算可得$f(-1)=-5$。

答案：$f(-1)=-5$。

第二部分：填空题1. 题目：已知$\sqrt{x^2+16}+x=4$，求$x$的值。

解析：移项得到$\sqrt{x^2+16}=4-x$，两边平方得到$x^2+16=(4-x)^2$。

展开计算可得$x^2+16=16-8x+x^2$，整理得到$8x=0$，解方程可得$x=0$。

答案：$x=0$。

2. 题目：已知函数$g(x)=\log_{10}(5x-2)$，求$g(3)$的值。

解析：将$x$的值代入函数$g(x)$中，得到$g(3)=\log_{10}(5\cdot3-2)$，计算可得$g(3)=\log_{10}13$。

答案：$g(3)=\log_{10}13$。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。

答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。

答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(11)

加试模拟训练题（11）1、已知圆内接五边形 ABCDE 满足ABC ∆的内切圆半径等于AED ∆的内切圆半径，ABD ∆的内切圆半径等于AEC ∆的内切圆半径，证明ABC ∆≌AED ∆。

2、设),0(,,∞+∈c b a ，且满足1=abc ，试证：.23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a3、在平面上有n(≥3)个点，设其中任意两点的距离的最大值为d ，我们称距离为d 的两点间的线段为该点集的直径，证明：直径的数目至多有n 条.4．若)12(13-+n n n 可以写成有限小数，那么自然数n 的值是多少？加试模拟训练题（11）1、已知圆内接五边形 ABCDE 满足ABC ∆的内切圆半径等于AED ∆的内切圆半径，ABD ∆的内切圆半径等于AEC ∆的内切圆半径，证明ABC ∆≌AED ∆。

证明：设,,,ABC AED ABD AEC ∆∆∆∆的内切圆半径分别为1234,,,r r r r ，外接圆半径为为R ，不含其它顶点的弧 , ,,,AB BC CD DE EA 分别为2,2,2,2,2a b c d e ，则有()()12 cos cos cos 11cos cos cos r r a b a b e d e d R R+-+=+=+=+-+，()()()()34 cos cos cos 11cos cos cos r r a b c e d e d c a b R R++++=+=+=++++。

两式相减得()()cos cos cos cos b d c d b c ++=++，从而有cos cos 22b c d d c b ----=，舍去一种情况后可得b d =。

代入第一个式子得()()cos cos cos cos a b e e a b ++=++，类似地可得a e =。

因此有ABC ∆≌AED ∆。

2、设),0(,,∞+∈c b a ，且满足1=abc ，试证：.23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证明由λλab b a 2)(22≥+（λ为参数），得.222b a ba λλ-≥ 则有),(2)()(22c b a bc c b a bc +-≥+λλ ① ),(2)()(22a cb ca ac b ca +-≥+λλ ② ).(2)()(22b ac ab b a c ab +-≥+λλ ③ ①+②+③，得 ++)()(2c b a bc ++)()(2a c b ca )(2)(2)()(22ca bc ab ca bc ab b a c ab ++-++≥+λλ ).)((22λλ-++=ca bc ab ④因3)(332=≥++abc ca bc ab ，取21=λ，代入④中，得 ++)()(2c b a bc ++)()(2a c b ca .234132)()(2=⨯⨯≥+b a c ab 3、在平面上有n(≥3)个点，设其中任意两点的距离的最大值为d ，我们称距离为d 的两点间的线段为该点集的直径，证明：直径的数目至多有n 条.证明：[引理]：平面上n(n ≥3)个点所组成的点集S 中，或者存一点至多能引出一条直径，或者任一点至多能引出两条直径.[引理的证明]：若每一点都至少能引出两条直径，又有一点A 能引出三条直径AB 、AC 、AD ，则不妨设AD 在AB 与AC 之间，且必须∠BAC ≤60o ，因此⊙A(d)、⊙B(d)、⊙C(d)的公共部分覆盖了整个点集S ，显然与D 能引出两条直径，矛盾!引理得证(如图).下用归纳法证明原体：显然，当n=3时，命题成立，假设命题对k 个点成立，则当n=k+1时，如有一点A 至多能引出一条直径，去掉A 点后，至多还有k 条直径，故S 最多有k+1条直径，否则任一点至多能引出两条直径，故S 最多有2(k 1)k 12+=+条直径，从而命题成立. 4．若)12(13-+n n n 可以写成有限小数，那么自然数n 的值是多少？解：由于1)13,(=+n n ，若13+n 与12-n 互素，则分数)12(13-+=n n n p 是既约分数；若13+n 与12-n 不互素，设它们的公约数为d ，且1>d ，设db n da n =-=+12,13，则5)12(3)13(2)32(=--+=-n n b a d ，故13+n 与12-n 的公约数是5，此时分数p 的分子、分母只有公约数5。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

数学奥林匹克高中训练题(11)及答案

数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1．(训练题16)一元二次复系数方程02=++b ax x 恰有两个纯虚根，则（C ）．（A ）a 是零，b 是负实数（B ）a 是零，b 是纯虚数（C ）a 是纯虚数，b 是实数（D ）a 是纯虚数，b 是纯虚数2． (训练题16)n 是一个正整数，n y xy x =++22的整数组解的数目是（B ）．（A ）4的倍数（B ）6的倍数（C ）2的倍数（D ）8的倍数3．(训练题16)满足211x x x x x x -+->+-+的所有实数x 在（D ）．（A ）（3,31）内（B ）（3，+∞）内（C ）（－∞，31）内（D ）（－∞，31）∪（3，+∞）内 4．(训练题16)d cx bx ax x x f ++++=234)(，这里d c b a ,,,是实数．已知,15)3(,10)2(,5)1(===f f f 则)4()8(-+f f 是（C ）．（A ）2500 （B ）不确定的（C ）2540 （D ）8605．(训练题16)平面内，设函数)(x f 的图象与x y 2-=的图象关于直线32+=x y 对称，则)(x f 的解析表达式是（A ）．（A ）2)1234(52643---=++x y x y （B ）2)1234(10643---=++x y x y （C ）2)34(5243x y x y --=+ （D ）2)1234(52643---=-+x y x y 6．(训练题16),3≥n 方程n x x x x x x x x x x x x x n n n n n n =+++---1321121121 的有序整数组解一共有（B ）．（A ）n 组（B ）12-n 组（C ）n 2组（D ）12+n 组二、填充题（每小题9分，共54分）1．(训练题16)任意整数,,,z y x 满足等式z y x bz ay cx az cy bx cz by ax ++=++++++++的所有实数c b a ,,是 (1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)---共6组．2．(训练题16)使得zy x z y x 111,++++和xyz 都是整数的全部正有理数组（),,z y x （)z y x ≤≤是 (1,1,1),(1,2,2),(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)共5组．3．(训练题16)圆台上的上底半径r 与下底半径R （R.>r ）之和是母线l 的6倍,而上底面积、侧面积、下底面积成等比数列，此圆台的高为2023r -，此圆台体积的最大值是 500(29π ． 4．(训练题16)设x x x kx x x f (11)(2424++++=∈R ），对任意三个实数a,b,c,已知存在一个三角形，三边长分别为),(),(),(c f b f a f 则满足上述条件的所有实数k 的范围是 1(,4)2- ． 5．(训练题16)设),6sin 6(cos 3)(ππi z z f +=这里z 是复数，用A 表示点),31(i f +B 表示点),0(f C 表示点)4(i f ，则∠ABC= 6π ． 6．(训练题16)b a ,是正实数，),1(21,,1110n n n x x x b x a x +===-+这里x ∈N 。

数学竞赛高中试题及答案

数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：$\sqrt{49} - \sqrt{16} = $______。

答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。

答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。

答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。

答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。

答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$。

答案：证明略。

11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。

答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。

答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为0。

高中数学第十一届第一试竞赛模拟试题卷试题

第十一届(2000年)第一试一、选择题以下每一小题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在每一小题后的圆括号内． 1．的关系是〔〕(A)互为倒数． (B)互为相反数． (C)互为负倒数． (D)相等．2．x ≠0那么的值是( )(A)0． (B)-2． (C)0或者-2． (D)0或者2． 3．合适27218a a ++-=的整数a 的值的个数有( ) (A)5． (B)4． (C)3． (D)2．4．如图1，四边形ABCD 中，AB∥CD，∠D=2∠B ，假设AD=a ，AB=b ，那么CD 的长等于( )5．用四条线段：a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，那么在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是( )(A)13.5． (B)11.5． (C)11． (D)10.5． 6．When 1≤x ≤2，simplifying(化简)a formulais( )7．7,70a b ==，那么 4.9等于8. 互不相等的三个正数a 、b 、c 恰为一个三角形的三条边长，那么以以下三数为长度的线段一定能做成三角形的是 ( )9. 在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如由A、B、C三个顶点形成∠ABC，∠BAC，∠ACB)，一一共可以作出168个角，那么这些角中最小的一个一定 ( )(A)小于或者等于20。

． (B)小于或者等于22．5。

．(C)小于或者等于25。

． (D)小于或者等于27．5。

．10．设a、b、c均为正数，那么a、b、c三个数的大小关系是( )二、A组填空题11．分解因式的结果是．12．假设实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图2所示，那么2--++= ．c b a b c13．的值是．那么x= ．= .15．设是一个有n个顶点的凸多边形，对每一个顶点A i(i=1，2，3，…，n)，将构成该角的两边分别反向延长至A i1，A i2连结A i1，A i2得到两个角∠A i1，∠A i2，那么所有这些新得到的角的度数的和是 .16．(Figure 4)In the rectangle(长方形)ABCD，AB=4，BC=7．If the bisector(平分线)of,∠BAD passes through the vertex(顶点)A，meets BC at E，EF perpendicular to ED meets AB at F，then the length(长度)of EF is .17．如图5，Rt△ABC中，∠ABC=900，∠C=600，BC=2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB 的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，那么DF的长是．18．某次数学竞赛第一试有试题25道，阅卷规定，每答对一题得4分，每答错(包括未答)一题扣除1分，假设得分不低于60分的同学可以参加第二试，那么参加第二试的同学在第一试中至少需要答对的题数是 .19．假设510510的所有不同的质因数按照从小到大的顺序排列为(k 为最大质因数的序号)，那么20．两个七进制整数(454)，与5的商的七进制表示为 .三、B组填空题21．那么的值等于或者 .22．一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，a、b都是自然数，如今乙先工作3天后，甲、乙再一共同工作l天恰好完工，那么a+b的值等于或者．23．一个凸多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为5000，那么这个多边形的边数是或者．24．小张以两种形式储蓄了500元，第一种的年利率为3.7％，第二种的年利率为2.25％，一年后得到利息为15．6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是与 . 25．假设a为整数，且分式的值是正整数，那么a= 或者 .励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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