人教版数学九年级切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理—知识讲解（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点二、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫作圆的外切三角形.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．（2015
秋•湛江校级月考）已知PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，E 为劣弧AB 上一点，过E 点的切线交PA 于C 、交PB 于D ．
（1）若PA=6，求△PCD 的周长． （2
）若∠P=50°求∠DOC．
切线长定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
切线长定义
A
O·
P
B
从圆外一点能够作圆的两条切线，切线 上这一点和切点间的线段长叫做这点到 圆的切线长.
A
O
wk.baidu.com
P
B
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1、PA、PB相等吗？为什么？
2、∠OPA、∠OPB相等吗？
P
为什么？
A D
P
·O
E
C B
（南京市2015）如图，在矩形ABCD中，
AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于
E,F,G三点，过点D作⊙O的切线交BC于
点M，切点为N，则DM的长为 13
3
A 2E
3D
2 F 2
B2
3
O
4
N x G xM 3-x C
1、切线长与切线的区别及联系 2、切线长定理内容是什么？
24.2.2直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
过圆上一点如何作圆的切线？
作圆O的切线，切点为A，在切线上取一点 P，作直线OP，沿OP折叠，用笔尖在点A处扎 个洞观察。A点的对应点B在哪里？
1、PB是圆的切线吗？ 2、经过圆外一点P能做圆的几条切线？ 3、你能给AP,BP起个名字吗？切线长 4、图中还有相等的量吗？
切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点三、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
切点，若VP=3cm，则VQ= 3 cm.若∠PVQ ＝60°，则⊙T的半径PT＝ 3 cm.
4. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点 O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。【选自教材P100 练习 第1题】
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
九上数学(人教版)课件-切线长定理
11．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点， AC 是⊙O 的直径，AC、PB 的延长线相交于点 D. (1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数； (2)当∠1 为多少度时，OP＝OD，并说明理由．
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO＝90°.∵∠1＝20°，∴∠BAP＝90°－ ∠1＝70°.又∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴PA＝PB.∴∠BAP＝∠ABP＝70°. ∴∠APB＝180°－70°×2＝40° (2)当∠1＝30°时，OP＝OD.理由如下：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP＝∠ ABP＝60°，∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴∠ OPB＝12∠APB＝30°.又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°，∴∠OPB＝∠D. ∴OP＝OD.
(2)解：连结 CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°. ∴EC 是⊙O 的切线，∴DE＝EC，∴AE＝EC.，∵DE＝10，∴AC ＝2DE＝20, 在 Rt△ADC 中，DC＝ 202－162＝12，设 BD＝x, 在 Rt△BDC 中，BC2＝x2＋122, 在 Rt△ABC 中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(x＋ 16)2－202，解得 x＝9, ∴BC＝ 122＋92＝15.
2．如图，AD、AE、CB 均为⊙O 的切线，D、E、F 分别是切点，AD＝8，
2020人教版九年级数学上册 24.2.2 第3课时切线长定理
AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm.连接AO,BO,CO.设△ABC的内
接圆半径为r，由面积公式可得：S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC ,
即 1ACBC1ACr1BCr1ABr ，所以 r 1 AC BC AB ，代入数据
2
222
2
得r=1cm.
方法小结：直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，
只适合于直角三角形
PA、PB分别切⊙O于A、B
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
拓展结论 A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交⊙O于点D、 E O C D
P
E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
⑴ △PDE的周长是
；
14
⑵ ∠DOE=70° . P
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
一. 教材分析
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。
二. 学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。
三. 教学目标
1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。
2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 教学重难点
1.切线长定理的证明过程。
2.切线长定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法
1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。
2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。
3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。
六. 教学准备
1.多媒体课件。
2.练习题和测试题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。
然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。
2.呈现（10分钟）
讲解切线长定理的定义和证明过程。首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。
3.操练（10分钟）
让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。
初三数学中考专项练习 切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点三、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
《切线长定理》人教版九年级数学(下册)
＝
或r＝
a(＋前b2面－课c 时已证明).
ab a＋b＋c
当堂练习
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,
∠APB= 40 ° ,则∠APO=
,PB=
. 20 °
4
A
P O
B 第1题
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,
合作探究
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点 ，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别 有什么关系吗？
猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO
A
O
P
B
推导与验证
如图，连接OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的 切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm， ∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
A
D
·O
C
B
课堂小结
切线长
切线长定 理
作用 辅助线
提供了证线段和 角相等的新方法
人教版九年级数学课件-切线长定理
（2）寫出圖中與∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）寫出圖中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）寫出圖中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
練一練 PA、PB是⊙O的兩條切線，A,B是切點，OA=3. （1）若AP=4,則OP= 5 ;
A
D
F
I
┐
B
E
三角形的內心到三角形的三邊的距離相等.
⊙O是△ABC的內切圓， 點O是△ABC的內心， △ABC是⊙O的外切三角形.
C
填一填：
名稱
外心：三 角形外接 圓的圓心
確定方法
三角形三邊
中垂線的交
點
B
圖形
A
O
性質
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的內 部．
內心：三 角形內切 圓的圓心
2
總結歸納
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC
的內切圓的半徑 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
當堂練習
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,則∠APO=20 ° ,PB=4 .
A
A
P
O
O
数学人教版九年级上册《 切线长定理》
30º 30º B C B
油桶底面 O P A
P A
C
刻度尺
40 2 20 2 20
3.
即油桶的底面半径为20 3 cm.
在一个夹角为60°的V形支架内，放着一个篮球.其横截面如 图所示， PA=36cm, 求这个篮球的半径.
O A B 60° P
篮球的半径为12 3 cm
•
1、通过这节课的学习，你学到了 那些数学知识呢.
O
P
A
切线长定义：
•
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.
问题 一 过圆外一点最多能引几条圆的切线？ 过圆外一点最多能引两条圆的切线
B O
问题 二 1.线段PA和PB的长度有何数量关系？
P
A
2.连接PO,∠BPO与∠APO的大小
有何数量关系？
观察猜想结论
PA=PB ∠BPO =∠APO
30° 若∠APB=60°，AB=3，则∠APO=_____ 3 AP=______
若∠APB=60°，OP=4，则O的半径OB=________ 2
B O P A
例 小明想知道一个油桶的底面半径，他用一个含30°的直角三角板和刻度尺如 图放置 ,刻度尺的刻度显示，三角板的60º 角的顶点，和油桶的底面与刻度尺的接 触点之间的长度为20cm，求油桶的底面半径.
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习
【知识点精讲】
（一）知识要点----切线长定理
1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点
之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（二）知识要点----三角形内切圆
1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
练习
1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．
【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、
角相等、弧相等以及垂直关系等。
2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；
（2）连结OC ，如果PD=
∠ABC=，求OC 的长．
60
3.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠
OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．
（1）OA的长为__________，OB的长为__________；
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝ OB2＋OC2＝10 cm， ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，∴OF＝OBB·COC＝4.8 cm.
小结：两切线的交点与圆心的连线平分两切线的夹角.
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
6.【例3】如图，⊙O内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝
Hale Waihona Puke Baidu
7，则四边形的周长为( B )
A．32
B．34
C．36
D．38
小结：利用切线长定理，结合整 体思想求解.
12.如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，BC＝5，则△ABC 的周长为( B ) A．16 B．14 C．12 D．10
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
《切线长定理》PPT课件 人教版九年级数学
解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则
S△ABC= 1 ar + 1 ab + 1 cr= 1 (a+b+c)r = 1 lr
22
22
百度文库
2
6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC
是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA=PB.
A
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部
角度关系
∠BOC=2∠A
∠BOC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
第二十四章 圆
第3课时 切线长 定理
R ·九 年 级 数 学 上 册
知识回顾
1.圆的切线的性质是什么？
2.圆的切线的判定方法有几种？
（1）定义法
（2）数量关系法 （3）切线的判定定理
过半径的外端点 垂直于半径
新课导入
如图，圆外一点P，如何过点P画出⊙O的切线， 这样的切线你能画出几条？ 两条
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
切线长定理—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点三、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即
(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r
为内切圆的半径).
名称 确定方法 图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB 、OC 分别平分 ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； (3)内心在三角形内部.
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
【答案与解析】
连结OA ，则OA ⊥AP ．
在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，
＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．
【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．
2．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∠DAE=∠ABE,边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；
（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．
【答案与解析】
证明：（1）∵∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，
∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH=EF，
∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH=CF=CE+EH．
【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．
举一反三：
【变式】（2015•青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，
由勾股定理的，CG=，
则MC=2CG=3．
类型二、三角形的内切圆
3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．