天津市双桥中学高考数学总复习 函数的周期性学案
高考一轮复习教案函数的奇偶性与周期性
第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论：(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．[自测练习]1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝()A．－ B.C．2D．－23．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．必记结论定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．[自测练习]4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝函数奇偶性的判定的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2015)＋f(2017)的值为________．考点三函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有：1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式．3．周期性与奇偶性综合．4．单调性、奇偶性与周期性相结合．探究一已知奇偶性求参数1．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋)为偶函数，则a＝________.探究二利用单调性、奇偶性求解不等式2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.B.∪(1，＋∞)C.D.∪探究三周期性与奇偶性相结合3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.[思路点拨]直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[方法点评]在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．[跟踪练习]已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．10A组考点能力演练1．(2015·陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为()A．2B．－2C．0D．2log23．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝，则f＝()A．0B．1C.D．－14．在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当0<x≤1时，f(x)＝2x，则f(2015)＝()A．－2B．2C．－D.5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为()A．{x|－1<x<0，或x>1}B．{x|x<－1，或0<x<1}C．{x|x<－1，或x>1}D．{x|－1<x<0，或0<x<1}6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2017)＝________.7．函数f(x)＝为奇函数，则a＝______.8．已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1<x2≤3时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，则f(2015)，f(2016)，f(2017)从大到小的顺序为________．9．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．B组高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数2．(2014·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝()A. B.C．0D．－3．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝B．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝x＋e x4．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a ＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a5．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案:1.解析：由知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．答案：C2.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝，故选B.答案：B3.解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.答案：04.解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.答案：－考点一解：(1)由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(－2015)＝f(2015)＝f(3)＝－＝－1，∴f(－2015)＋f(2017)＝0.答案：01.解析：由题意得f(x)＝x ln(x＋)＝f(－x)＝－x ln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.答案：12.解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x－1|，解得<x<1，故选A.答案：A3.解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1<a<4，故选A.答案：A4.解析：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：D【典例】[解析]易知f(x)＝1＋.设g(x)＝f(x)－1＝，则g(x)是奇函数．∵f(x)的最大值为M，最小值为m，∴g(x)的最大值为M－1，最小值为m－1，∴M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.[答案]2解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8知f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，令F(x)＝f(x)＋8可知F(x)为奇函数，∴F(－x)＋F(x)＝0.∴F(－2)＋F(2)＝0，故f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0.∴f(2)＝－26.答案：A1.解析：f(x)在R上为奇函数?f(0)＝0；f(0)＝0f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.答案：A2.解析：由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.答案：A3.解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.答案：D4.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数的周期为3，所以f(2015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案：A5.解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}，选D.答案：D6.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2017)＝f(2)＝1.答案：17.解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.答案：－18.解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的函数，由③知f(x)在[1,3]上是减函数．所以f(2015)＝f(3)，f(2016)＝f(0)＝f(2)，f(2017)＝f(1)，所以f(1)>f(2)>f(3)，即f(2017)>f(2016)>f(2015)．答案：f(2017)>f(2016)>f(2015)9．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．10.解：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若f<0＝f(1)，∴即0<x<1，解得<x<或<x<0.f<0＝f(－1)，∴∴x<－1，解得x∈?.∴原不等式的解集是.1.解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C2.解析：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，即f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝.故选A.答案：A3.解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4.解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2|x|－1，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0<log23<log25，则f(0)<f(log23)<f(log25)，即c<a<b.答案：C5.解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A。
高考数学一轮复习 专题06 函数的奇偶性与周期性教学案 文
专题06 函数的奇偶性与周期性1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性二、周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数． 【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数【解析】(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．【答案】(1)D (2)C高频考点二函数的周期性例2、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________．(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.【答案】(1)337 (2)2.5＝1×20166＝336.又f(2017)＝f(1)＝1.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＝337. (2)由已知，可得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2] ＝－1f x＋2 ＝－1－1f x ＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1f x ，则T ＝2a ，③若f(x ＋a)＝－1f x，则T ＝2a (a>0)．【变式探究】 设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝__________________________________________.【答案】 12高频考点三 函数性质的综合应用例3、(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．【解析】 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 【答案】 (1)C (2)1【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (2)已知函数的奇偶性求函数值或【解析】式，首先抓住在已知区间上的【解析】式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的【解析】式或函数值．【变式探究】(1)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________． 【解析】 (1)易知f (－x )＝2－x＋12－a ＝2x＋11－a 2，由f (－x )＝－f (x )，得2x＋11－a 2x ＝－2x＋12x－a，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.【答案】 (1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0考点四 函数的周期性及其应用例4、 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________．【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.【答案】 －2【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或【解析】式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期． 【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______．【解析】 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 【答案】 2.51.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-22.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A．y =．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y =sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是奇xe x y +=x x y 1+=x x y 212+=21x y +=A ()xf x x e =+()11f e =+()111f e --=-+()()11f f -≠()()11f f -≠-xy x e =+B C D函数、偶函数、偶函数，故选．【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ 【答案】A【2015高考新课标1，理13】若函数f (x)=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得=1.（2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的【解析】式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．（2014·湖南卷）已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】CA（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数 【答案】C【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________． 【答案】(－1，3)【解析】根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.（2013·广东卷）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】函数y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________． 【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋4x)． 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－（x 2＋4x ）>x. 解得x>5或－5<x<0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.（2013·四川卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________． 【答案】(－7，3)1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数． 【答案】 B2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)内是减函数【解析】 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数． 【答案】 A3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( )A ．5B ．1C ．－1D ．－3【解析】 ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6.∴f (－3)＝－6，则9－3a ＝－6，解得a ＝5.【答案】 A4．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0 C ．x 1<x 2 D ．x 21<x 22 【解析】 ∵f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －e x ＝f (x )． ∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ， ∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.【答案】 D5．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】 A6．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1，4)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(－1，2)【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0， 解得－1<a <4.【答案】 A7．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】 B8．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．【解析】 由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ， 化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，∴a ＝－32. 【答案】 －329．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的【解析】式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． 【解析】 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516. 【答案】 51610．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．【解析】 由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >12 11．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3]．13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．【解析】 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个．【答案】 714．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。
高考数学总复习函数与方程学案
天津市双桥中学 高考数学总复习 函数与方程学案一、知识点归纳函数零点：〔1〕概念：一般的，假如函数()x f y =在实数α处的值等于_________，即________，那么α叫做这个函数的零点。
〔2〕函数有零点的几个等价关系：方程f(x)=0有实根⇔_________________⇔________________.〔3〕函数零点的断定：假如函数()x f y =在一个区间[]b a ,上的图象不连续，并且在它的两个端点处的函数值_________，即_______________，那么这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()b a x ,0∈，使_________，假如函数图象通过零点时穿过x 轴，那么称这样的零点为变号零点。
假如没有穿过x 轴， 那么称这样的零点为不变号零点。
〔4〕二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点： ①当Δ>0时，方程02=++c bx ax 有两个不等实根，二次函数的图象与x 轴有____________个交点，二次函数有____________个零点。
②当___________时，方程02=++c bx ax 有两个相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与x 轴有________个二重零点或二阶零点；③当___________时，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
2、求函数零点近似解得一种计算方法——二分法〔1〕定义：对于在区间[]b a ,上连续不断且_________的函数()x f y =，通过不断地把函数()x f 的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
注：用二分法的条件()()0<b f a f 说明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
〔2〕用二分法求函数()D x x f y ∈=,零点的一般步骤为：①确定初始区间，即在D 取一个闭区间[]b a ,，使得_________________；②求中点及其对应的函数值，即求_________________以及_________________的值，假如_________________，那么计算终止，否那么进一步确定零点所在区间；③计算准确度，即计算区间的两个端点按给定的准确度取近似值时是否相等，假设相等，那么计算终止，否那么重复第二步。
函数的奇偶性和周期性高三数学第一轮复习教案 人教版 教案
函数的奇偶性和周期性高三数学第一轮复习教案【教学目标】1．了解函数奇偶性定义，懂得判断一些函数的奇偶性；2．理解奇（偶）函数图象的特性； 3．了解几类常见函数的周期【教学重点】奇（偶）函数的性质【教学难点】分段函数和抽象函数奇偶性的判断【例题设置】例1（偶函数的性质），例2（分段函数奇偶性的判断），例3（抽象函数奇偶性的判断【教学过程】 一、例题引入〖例1〗 定义在[2,]a -上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 单调递减．(1)()g m g m -<，求实数m 的取值范围． 解：∵定义在[2,]a -上的函数()g x 为偶函数∴区间[2,]a -关于y 轴对称，即20a -+=，解得2a =，并且(|1|)()g m g x -= ∴(1)()(|1|)(||)g m g m g m g m -<⇔-< …………① 又∵当0x ≥时，()g x 单调递减∴不等式①等价于0|1|20||2|1|||m m m m ≤-≤⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，解得112m -≤<∴实数m 的取值范围为1[1,]2-★点评：本题应用了偶函数的一个性质(|1|)()g m g x -=，从而避免了一场“大规模”的分类讨论．二．要点回顾函数的奇偶性（应优先考虑定义域）： 1．定义：（设函数()y f x =的定义域为D ）⑴ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=，那么()y f x =叫做偶函数，其图象关于y 轴对称，在其对应的区间．．．．．．．内有相反的单调性．．．．．．．．． ⑵ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=-，那么()y f x =叫做奇函数，其图象关于原点轴对称，在其对应的．．．．．区间内有相同的单调性．．．．．．．．．．． ★注意：具有奇偶性的函数，其定义域必关于y 轴（或原点）对称．2．奇偶性的等价条件()f x 为偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=⇔(||)()f x f x =()1()f x f x -⇔=()f x 为奇函数()()()()()()()01()f x f x f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔=--⇔-+=⇔=-3．判断函数奇偶性的步骤：⑴ 判断函数的定义域是否关于y 轴（或原点）对称（该步很关键且容易被遗漏）； ⑵ 对()f x 进行化简，若已是最简形式，可跳过该步骤； ⑶ 判断()f x -与()f x 的关系．★注：亦可根据函数的图象判断其奇偶性（但不能用来证明奇偶性）．〖例2〗 判断下列各函数的奇偶性：⑴ 221()lg lg f x x x=+⑵()(f x x =-⑶220()0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩解：⑴ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于y 轴对称，且22()lg lg 0f x x x =-=∴()f x 既为奇函数也为偶函数 ⑵ 由101xx+≥-得原函数定义域为[1,1)-关于y 轴不对称 ∴()f x 既非奇函数也非偶函数 ⑶ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于y 轴对称当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=- 当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=-+=- 综上所述，对任何x ∈(,0)(0,)-∞+∞都有()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数．★点评：分段函数的性质的讨论通法为“分类讨论”．〖例3〗 ()f x 是定义在R 上的函数，对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立，且(0)0f ≠,试判断()f x 的奇偶性.解：∵对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立 令0x y ==，得(0)(0)2(0)(0)f f f f +=⋅，且(0)0f ≠，∴(0)1f =令0x =，得()()2(0)()f y f y f f y +-=，即()()f y f y -=．故()f x 是偶函数．★点评：抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化．（()0f x ≠）（()0f x ≠）4．奇（偶）函数的性质（补充） ⑴ 奇函数的反函数仍是奇函数；⑵ 若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f = ⑶ 已知2012()n n f x a a x a x a x =++++，则当0240a a a ====（即偶数次项系数都为0）时，()f x 为奇函数； 法1350a a a ====（即奇数次项系数都为0）时，()f x 为偶函数．⑷ 函数()0f x =（定义域D 关于y 轴对称）既为奇函数也为偶函数； ⑸ 奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数；（文科不给，理科证明如下）已知：()f x 为奇函数． 求证：()f x '为偶函数 ∵()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-证法一：两边同时求导得：()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=∴()f x '为偶函数⑹ 若()()f x g x 、都是奇（偶）函数，则()()f x g x ±为奇（偶）函数；()()f x g x ⋅为偶函数；()()f xg x （()0g x ≠）为偶函数；⑺ 若()()f x g x 、中一个为偶函数，一个为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数；()()f xg x （()0g x ≠）为偶函数；三、函数周期性复习1．定义：如果对于任意的．．．x D ∈（D 为()f x 的定义域），有()()f x T f x +=，那么()y f x =具备周期性，T 叫做函数的一个周期．2．几种常见的函数周期 ⑴ sin()y A x ωϕ=+2||T πω=⑵ cos()y A x ωϕ=+ 2||T πω=⑶ tan()y A x ωϕ=+ ||T πω=⑷ cot()y A x ωϕ=+ ||T πω=⑸ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x h +=-，则()f x 的周期2T h =推广：若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x a f x b +=+，则()f x 的周期||T b a =- ⑹ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x +=-，则()f x 的周期2T h =⑺ 若对任意的．．．x D ∈，都有1()()f x h f x +=，则()f x 的周期2T h = ⑻ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x T f x -=，则()f x 的周期为T【课堂小结】1．“定义域必关于y 轴（或原点）对称”是函数具有奇偶性的必要条件； 2．()f x 为偶函数⇔(||)()f x f x =；3．若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =．在大题中要给出证明： 由()f x 为奇函数知(0)(0)f f =-，故(0)0f =【教后反思】证法二： ∴0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0()()()limx f x x f x f x x∆→-+∆--'-=∆0()()limx f x x f x x∆→--∆+=∆ 0()()lim ()x f x x f x f x x-∆→-∆-'==-∆注意()f x '-与[()]f x '-的区别 思考：周期函数的定义域是函数2((2,21))y x k x k k =+∈+其中k Z ∈，其周期为2。
高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案-人教版高三全册数学教案
第三节 函数的奇偶性与周期性 教学目标：知识与技能：了解函数奇偶性的含义与函数的周期性，会运用函数的图象理解和研究的奇偶性过程与方法：利用图象的单调性研究函数奇偶性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的对称性及周期性教学重点：函数的奇偶性质及图象的对称性教学难点： 利用函数的奇偶性及周期性研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x)(2)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)2.奇偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)定义域的特征：奇偶函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提.3)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.(4)奇函数图象与原点的关系:如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=03.周期性(1)周期函数：T 为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T ≠0;②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T 是函数y=f(x)的一个周期，则nT(n ∈Z,且n ≠0)也是f(x)的周期.二 例题讲解【典例1】判断下列各函数的奇偶性.(1)f(x)= (2)f(x)=【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断.【规范解答】(1)由 得x2=3,∴函数f(x)的定义域为f(x)=0,因此函数f(x).{(2)由 得-1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,∴又∵∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.【变式训练】(1)若函数f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为R ，则( )(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数答案 B(2)判断下列函数的奇偶性. ①f(x)= 答案 都是奇函数 【典例2】(1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(2)(2014·泉州模拟)设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=3x-2x+a(a ∈R),则f(-2)=( )(A)-1 (B)-4 (C)1 (D)4【思路点拨】(1)利用f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),构造方程组求解.(2)利用函数奇偶性把求f(-2)转化为求f(2)的值.【规范解答】(1)选B.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.所以f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),分别代入f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4再相加得g(1)=3.(2)选B.因为f(x)为定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=30-2×0+a=0,得a=-1,所以x ≥0时,f(x)=3x-2x-1,所以f(2)=32-2×2-1=4.所以f(-2)=-f(2)=-4.【小结】应用函数奇偶性可解决的四类问题及方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式. ()22x 2x 0,f x 0x 0,x 2x 0.⎧+⎪==⎨⎪--⎩，＞②，，＜(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.【变式训练】设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x2-x ，则f(1)=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【解析】选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.【典例3】(1)(2012·浙江高考)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈［0,1］时，f(x)=x+1,则(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1，1］ 上， 其中a,b ∈R,若 则a+3b 的值为________.【思路点拨】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转到区间［0，1］上.(2)利用周期性可知f(-1)=f(1), 列方程组求解.【规范解答】(1)∵函数f(x)是周期为2的偶函数，答案：(2)因为f(x)的周期为2,所以即 又因为 所以 ∴3a+2b=-2 ①, 又因为f(-1)=f(1),所以 即b=-2a ②,将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案：-10【小结】判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x 都有：①f(x+a)=-f(x)(a ≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期；② 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③ 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.【变式训练】设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x+2)=-f(x).当x ∈［0,2］时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数.(2)当x ∈［2,4］时，求f(x)的解析式.(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x ∈［-2,0］时，-x ∈［0,2］，由已知得b 2111b 42f ()a 1,f (),1222312++-=-+==+f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. 三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固。
天津市双桥中学高考数学总复习 函数的奇偶性学案
函数的奇偶性一、知识点归纳：2、证明函数奇偶性的方法步骤（1）确定函数定义域关于__________对称；（2）判定()()x fxf-=-[或()()x fxf=-]，从而证得函数的奇偶性。
3、奇偶函数的性质：（1）奇函数的图象关于__________对称；偶函数的图象关于__________对称；（2）对于定义域为D的奇函数)(xf，若D∈0，则_____)0(=f；（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性__________；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性__________；4、结论：在公共的定义域内：（1）两个奇函数的积（商）是_____函数；____________________（2）两个偶函数之和、差、积、商为______函数；____________________，____________________，____________________（3）两个奇函数之和、差以及一个奇函数一个偶函数之积为____函数；____________________，____________________（4）函数)(xf（定义域D关于原点对称）既是奇函数又是偶函数)(xf=___________；（5）函数),,()(Rbabaxxf∈+=当______时为奇函数；当______时为非奇非偶函数；（6）函数),,()(2Rcbacbxaxxf∈++=当______时为偶函数；当______时为奇函数二、典型例题讲解：例1、判断下列函数的奇偶性：（1）()1-=x x x f （2）()11+=x x f（3）()x x x f 32-= （4）()f x =（5）()()()222020x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+<⎪⎩例2、设函数f(x)在R 上有定义，给出下列函数：①()||x f y -=；②()2x xf y =；③()x f y --=；④ ()()x f x f y --=。
天津市双桥中学高考数学总复习 一次函数与二次函数学案
一次函数与二次函数一、知识点归纳一次函数的图像和性质一次函数)0(≠+=kbkxy图象性质定义域值域单调性奇偶性k>00 = b0≠bk<00 = b0≠b函数二次函数()0a,,2≠++=是常数，cbacbxaxy图象a>0 a<0性质抛物线开口______，并向上无限延伸抛物线开口______，并向下无限延伸对称轴是__________顶点坐标是对称轴是__________顶点坐标是____________ _____________在区间_____________上是减函数在区间_____________上是增函数在区间______________上是减函数在区间______________上是增函数抛物线有最低点，当_______时，有最小值，为________________ 抛物线有最高点，当__________时，有最大值，为_________________=b时为偶函数，0≠b时为非奇非偶函数二、典型例题讲解已知f(x)是一次函数且()[]2516+=xxff，求f(x)的解析式。
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式。
例3（1）如果二次函数()52)(2+++=xaxxf在区间()+∞,2上是增函数，则a的取值范围是__________________。
（2）二次函数342-+-=axaxy的最大值恒为负，则a的取值范围是___________。
（3）函数()cbxxxf++=2对于任意Rt∈均有f(2+t)=f(2-t)，则f(1),f(2),f(4)的大小关系是_______________________。
例4、已知函数()()132+-+=xmmxxf的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围。
第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习(天津专用)
第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（13类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。
2.能掌握函数的性质3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题4.会解周期性与对称性的运算.【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。
知识讲解知识点一.函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3.函数单调性的等价结论(1)函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<0;⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1≠x 2,都有o 1)−o 2)1−2>0;⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1≠x 2,都有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0;⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1≠x 2,都有1−2o 1)−o 2)>0.(2)函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1<x 2,都有f(x 1)-f(x 2)>0;⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1≠x 2,都有o 1)−o 2)1−2<0;⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1≠x 2,都有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0;⇔任取x 1,x 2∈[a,b],且x 1≠x 2,都有1−2o 1)−o 2)<0（3）在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．（4）复合函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．（5）对勾函数（耐克函数）形如xpx y +=（0>p ，且p 为常数）在](p -∞-,和)[∞+,p 上为增函数，在()0,p -和()p ,0上为减函数.对勾函数有两条渐近线：一条是y 轴（0≠x ，图象无限接近于y 轴，但不相交），另一条是直线x y =（当x 趋近于无穷大时，x p 趋近于0，y 趋近于x ，因为0≠xp，所以x y ≠）.4.判断函数单调性的四种方法：(1)定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.知识点二.函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义：奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔o−p op＝-1.②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔o−p op＝1.2.判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f(－x)＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．f(x)2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：总结：奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇3.函数奇偶性的常用结论1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．知识点三.周期性与对称性1.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2.中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心3.周期性与对称性的常用结论（1）函数周期的常见结论设函数y ＝f (x )，x ∈R ，a >0.①若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ；②若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ；③若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数的周期为2a ；④若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a ；（2）对称轴常见类型①+=o −+p ⇔y=f(x)图像关于直线=r 2对称②+=−+⇔y =的图象关于直线a x =对称③=−+2⇔y =的图象关于直线a x =对称④−=+2⇔y =的图象关于直线a x =对称（3）对称中心常见类型①f(x+a)+f(b-x)=2c ⇔y=f(x)图像关于直线(r 2,p 对称②b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称③bx a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称④b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（4）周期与对称性的区分①若+=±o +p ，则()f x 具有周期性；②若+=±o −+p ，则()f x 具有对称性：口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
2025届高考数学一轮复习教案：函数-函数的奇偶性与周期性
第2课时函数的奇偶性与周期性课程标准1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析考点考法:高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象偶函数设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2.函数的周期性(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x ∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般就是指最小正周期).【微点拨】存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14321.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数B.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0C.若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期D若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(r2,0)对称【解析】选AB.A 由于偶函数的定义域关于原点对称,因此y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性×B由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义时才满足f(0)=0×2.(2023·上海高考)下列函数是偶函数的是()A.y=sin xB.y=cos xC.y=x3D.y=2x【解析】选B.对于A,由正弦函数的性质可知,y=sin x为奇函数;对于B,由余弦函数的性质可知,y=cos x为偶函数;对于C,由幂函数的性质可知,y=x3为奇函数;对于D,由指数函数的性质可知,y=2x为非奇非偶函数.3.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12【解析】选B.因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.4.(必修第一册P86习题T11·变设问)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=__________.【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2【巧记结论·速算】函数奇偶性的常用结论1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|);3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.【即时练】1.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【解析】选B.由f(x)=x3-8,知f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.由已知条件可知f(x-2)>0⇒f(|x-2|)>f(2),所以|x-2|>2,解得x<0或x>4.2.已知函数f(x)=a-2e+1(a∈R)是奇函数,则a=________.【解析】函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,f(0)=a-1=0,即a=1,经验证a=1满足条件.答案:13.设函数f(x)=(r1)2+sin2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=__________.【解析】函数f(x)的定义域为R,f(x)=(r1)2+sin2+1=1+2rsin2+1,设g(x)=2rsin2+1,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以,g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:2【核心考点·分类突破】考点一函数奇偶性的判断[例1]判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3-1;(2)f(x)=2−1+1−2;(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];(4)f(x)=−2+2+1,>0,2+2−1,<0;(5)f(x)=(x x∈(-1,1).【解析】(1)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-1−=-(x3-1)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.(4)方法一(定义法):当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.方法二(图象法):作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.(5)已知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.因为f(x)=(x1−=-(1−p(1+p,所以f(-x)=-(1+p(1−p=f(x),所以f(x)是偶函数.【解题技法】判断函数的奇偶性的方法(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)【对点训练】1.(多选题)下列命题中正确的是()A.奇函数的图象一定过坐标原点B.函数y=x sin x是偶函数C.函数y=|x+1|-|x-1|是奇函数D.函数y=2−K1是奇函数【解析】选BC.对于A,只有奇函数在x=0处有意义时,函数的图象过原点,所以A 不正确;对于B,因为函数y=x sin x的定义域为R且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),所以该函数为偶函数,所以B正确;对于C,函数y=|x+1|-|x-1|的定义域为R,关于原点对称,且满足f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),即f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,所以C正确;对于D,函数y=2−K1满足x-1≠0,即x≠1,所以函数的定义域不关于原点对称,所以该函数为非奇非偶函数,所以D不正确.2.设函数f(x)=12−2r3,则下列函数中为偶函数的是()A.f(x+1)B.f(x)+1C.f(x-1)D.f(x)-1【解析】选A.f(x)=12−2r3=1(K1)2+2,则f(x+1)=12+2,因为y=12+2是偶函数,所以f(x+1)为偶函数.B,C,D既不是奇函数,也不是偶函数.3.已知函数f(x)=sin x,g(x)=e x+e-x,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.选项A,f(x)g(x)=(e x+e-x)sin x,f(-x)g(-x)=(e-x+e x)sin(-x)=-(e x+e-x)sin x=-f(x)g(x),是奇函数,结论错误;选项B,|f(x)|g(x)=|sin x|(e x+e-x),|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+e x)=|sin x|(e x+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函数,结论错误;选项C,f(x)|g(x)|=|e x+e-x|sin x,f(-x)|g(-x)|=|e-x+e x|sin(-x)=-|e x+e-x|sin x=-f(x)|g(x)|,是奇函数,结论正确;选项D,|f(x)g(x)|=|(e x+e-x)sin x|,|f(-x)g(-x)|=|(e-x+e x)sin(-x)|=|(e x+e-x)sin x|=|f(x)g(x)|,是偶函数,结论错误.考点二函数奇偶性的应用角度1利用奇偶性求值(解析式)[例2](1)(2023·海南模拟)已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=e x,则o1)o1)=()A.e2+1eB.e2−1eC.1−e21+e2D.1+e21−e2【解析】选C.根据题意,f(x)-g(x)=e x,则f(1)-g(1)=e①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=1e,变形可得f(1)+g(1)=-1e,联立①②可得,f(1)=e−1e2,g(1)=-e+1e2,则有o1)o1)=e−1e2−e+1e2=1−e21+e2.(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1【解析】选D.依题意得,当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.角度2利用奇偶性解不等式[例3](1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.则不等式op−2o−p>0的解集为()A.(-2,2)B.(-∞,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】选D.因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(-x)=-f(x)可得,op−2o−p=op+2op=3op>0,因为x在分母位置,所以x≠0.当x<0时,只需f(x)<0,由图象可知x<-2;当x>0时,只需f(x)>0,由图象可知x>2.综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(13)的x的取值范围是________.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),所以f(2x-1)<f(13)即f(|2x-1|)<f(13).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|2x-1|<13,解得13<x<23.答案:(13,23)角度3利用奇偶性求解析式中的参数[例4](1)(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=(x+a)ln(2K12r1)为偶函数,则a=()A.-1B.0C.12D.1【解析】选B.解法一:由2K12r1>0,得x>12或x<-12,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),得(-x+a)ln(−2K1−2r1)=(x+a)ln(2K12r1),即(-x+a)ln(2r12K1)=(x+a)ln(2K12r1),即(-x+a)ln(2K12r1)-1=(x+a)ln(2K12r1),则(x-a)ln(2K12r1)=(x+a)ln(2K12r1),所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0.解法二:f(x)为偶函数,则有f(-1)=f(1),即(-1+a)ln3=(1+a)ln13,解得a=0.解法三:g(x)=ln2K12r1,g(-x)=-g(x),则g(x)为奇函数,若f(x)=(x+a)·ln2K12r1为偶函数,则h(x)=x+a为奇函数,得a=0.(2)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln|a+11−|+b是奇函数,则a=__________,b=__________.【解析】若a=0,则函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,不具有奇偶性,所以a≠0.由函数解析式有意义可得,x≠1且a+11−≠0,所以x≠1且x≠1+1.因为函数f(x)为奇函数,所以定义域必须关于原点对称,所以1+1=-1,解得a=-12,所以f(x)=ln|1+2(1−p|+b,定义域为{x|x≠1且x≠-1}.由f(0)=0得ln12+b=0,所以b=ln2,即f(x)=ln|-12+11−|+ln2=ln|1+1−|,在定义域内满足f(-x)=-f(x),符合题意.综上,a=-12,b=ln2.答案:-12ln2【解题技法】已知函数奇偶性可以解决的三个问题(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.【对点训练】1.(2023·武汉模拟)已知函数f(x)=3+1,>0,B3+s<0为偶函数,则2a+b等于() A.3B.32C.-12D.-32【解析】选B.由已知得,当x>0时,-x<0,f(-x)=-ax3+b,因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即x3+1=-ax3+b,所以a=-1,b=1,所以2a+b=2-1+1=32.2.(一题多法)(2023·全国乙卷)已知f(x)=x e B−1是偶函数,则a=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.解法一:因为f(x)=x e B−1的定义域为{x|x≠0},f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以−x−e−B−1=x e B−1,所以x B−e B−1=x e B−1,所以ax-x=x,所以a=2.解法二:由f(x)为偶函数得f(-1)=f(1),故−e−1e−−1=e e−1①,又-e−1e−−1=e−11−e−=e K1e−1,代入①得e K1e−1=e e−1,所以e a-1=e,从而a-1=1,故a=2,经检验,满足f(x)为偶函数.3.若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0,f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则f(3-x)>0的解集为__________.【解析】因为f(x-2)为奇函数,所以f(x-2)的图象的对称中心为(0,0).又因为f(x)的图象可由f(x-2)的图象向左平移2个单位长度得到,所以f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称.因为f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上也单调递减,所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集为(5,+∞).答案:(5,+∞)考点三函数周期性及应用[例5](1)(2023·长沙模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是()A.y=f(x)-xB.y=f(x)+xC.y=f(x)-2xD.y=f(x)+2x【解析】选D.依题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1)=f(x)+2x,所以y=f(x)+2x是周期为1的周期函数.(2)函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f(2025)=________.【解析】由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期为4,故f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=1.答案:1(3)已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+3)=-1op,当1<x≤3时,f(x)=cosπ3,则f(2 024)=________.【解析】由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-1or3)=-1−1=f(x),op故函数f(x)的周期为6,所以f(2024)=f(6×337+2)=f(2).又f(2)=cos2π3=-12,所以f(2024)=-12.答案:-12【解题技法】函数周期性有关问题的求解策略(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.【对点训练】1.(2023·石家庄模拟)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,则f(2023)=__________.【解析】因为f(x)f(x+2)=13,所以f(x),f(x+2)均不为0,所以f(x+2)=13op,所以f(x+4)=13or2)=1313op =f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(2023)=f(3)=13o1)=132.答案:1322.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是____________.【解析】令x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),令x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x),故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).答案:f(x)=log2(3-x)3.(创新题)若函数f(x)=2−,≤0,o−1)−o−2),>0,则f(2023)=__________.【解析】当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),①所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(0)-f(-1)=20-21=-1.答案:-1考点四函数的对称性及应用[例6](1)(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是()A.f(x+1)为偶函数B.f(1+x)=f(1-x)C.f(1+x)+f(1-x)=0D.f(1)=0【解析】选AB.由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.(2)(2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|·f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)=()A.5B.1C.-1D.-5【解析】选B.因为g(x)的图象关于直线x=2对称,则g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函数,g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),所以|x|f(2-x)=|x|f(x+2)对任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x).因为f(-1)=-1且f(x)为奇函数,所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,因此g(3)=|3-2|f(3)=1.(3)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=2r1,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=____________.【解析】因为函数y=f(x)-2为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,2)对称,又g(x)=2r1=1+2,其图象也关于(0,2)对称,所以两函数图象交点关于(0,2)对称,则y1+y2+…+y6=3×4=12.答案:12【解题技法】函数对称性问题的解题关键(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=r2;③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(r2,2).【对点训练】1.(多选题)(2023·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.y=f(x+4)为偶函数【解析】选ACD.因为f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B 错误;因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),所以f(x+4)=f(x),所以T=4,故C正确;因为T=4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.2.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则a=________,b=________.【解析】f(x)最多有4个零点,显然已有2个,x=±1,又由对称性可知,另外两个零点为-3和-5,所以x2+ax+b=0的两根为-3和-5,所以a=8,b=15.答案:815。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书
第三节函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，假如∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数．(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称．(2)若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，假如存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特殊说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．5．常用结论(1)假如函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么肯定有f(0)＝0；假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则肯定有f(0)＝0. ( ×)(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．( √) (3)假如函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √) (4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( ×) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满意f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A．C．D．1B解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝＝.4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－C．D．－B解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a ＝. 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋xBD解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD.考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不肯定具备奇偶性．故选ABC.2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1D解析：当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以f(－x)＝e－x－1. 又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满意f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x) D．(e x－e－x)D解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x －e－x)．4．(2024·全国乙卷) 若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝_______，b＝_______．－ ln 2解析：因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以x≠＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满意f(－x)＝－f(x)，符合题意．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．(2)有些题目，如第1题利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来推断．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_______．当－2≤x≤0时，f(x)＝___________．7 2x＋9解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满意f(x)>0，f(x＋2)＝对随意x∈R恒成立，则f(2 023)＝_________．1解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.(3)设定义在R上的函数f(x)同时满意以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1.则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝_________．－1解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝－1＋20－1＝－1.函数周期性有关问题的求解策略(1)判定：推断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)应用：依据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决详细问题时，要留意结论．若T是函数的周期，则kT(k∈Z，且k≠0)也是函数的周期．1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为( )A．6 B．7C．8 D．9B解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x ＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.2．(多选题)(2024·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1，0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1，0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝_________．6解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.(2)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在上单调递增B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增D．是奇函数，且在上单调递减D解析：f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|的定义域为．又f(－x)＝ln |－2x ＋1|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故解除A，C.又当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln ＝ln ＝ln .因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．单调性与奇偶性综合的解题策略1．利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．2．留意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用.考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝_________．－1解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4. 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.(2)(2024·新高考Ⅱ卷) 若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，则＝( )A．－3 B．－2C．0 D．1A解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)·f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，即有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.因为22除以6余4，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.若本例(1)中的条件不变，当x∈[2，4]时，f(x)的解析式是_____________．f(x)＝x2－6x＋8解析：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2].由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. 所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应依据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)依据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满意f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减．设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD解析：因为偶函数f(x)满意f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，所以a>c>b.故选D.1．解决这类问题肯定要充分利用数形结合思想，使问题变得直观、形象，进而顺当求解．2．在解题时，往往须要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4.若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( ) A．2 B．0C．－2 D．－4C解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2.故选C.2．定义在R上的偶函数f(x)满意f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)D解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝_________．2解析：依据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12.故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.4．定义在实数集R上的函数f(x)满意f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是_________．①②③解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．课时质量评价(八)A组全考点巩固练1．已知函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为( )A．－3 B．－1C．1 D．2B解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2, 所以f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1.故选B.2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A．y＝2x B．y＝C．y＝|x| D．y＝－x2＋1D解析：A选项，依据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项，函数的定义域为R，由＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，依据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．3．(2024·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1B解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．4．(2024·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( )A．－B．－C．C解析：由题意可得：f＝f＝f＝－f，而f＝f＝f＝－f＝－，故f＝.5．(2024·威海模拟)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 023)＝( )A．2 B．0C．－1 D．1B解析：因为偶函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＋f(－x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是以4为周期的函数，所以f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)．又当－1≤x≤0时，f(x)＝1－x2，故f(2 023)＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，则当x＜0时，f(x)＝_________．x2＋x－1解析：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.7．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________；函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为_________．2 解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2.则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝.易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.8．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln (1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是_________．(－3，2)解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln (1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3<x<2.9．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3].10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数．(2)当x为何值时，函数f(x)取得最小值？最小值是多少？(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：因为当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2＝－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1，所以当x＝1时，f(x)有最大值1.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈[－2，0]时，当x＝－1时，f(x)有最小值－1.又因为f(x)的周期为4，所以当x＝－1＋4k(k∈Z)，f(x)有最小值－1.B组新高考培优练11．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )A．f＝0 B．f(－1)＝0C．f(2)＝0 D．f(4)＝0B解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，可得f(x＋3)＝f(－x＋1)．因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．12．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )A．f(x)·g(x)是偶函数B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数D．|f(x)·g(x)|是偶函数CD解析：对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误；对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误；对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．13．(2024·南宁月考)已知定义在R上的函数f(x)满意：①f(x－6)＝f(x)；②y＝f(x＋3)为偶函数；③x∈(0，3)时，f(x)为减函数，设a＝f(2 023)，b＝f()，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞bD解析：依据题意，定义在R上的函数f(x)满意f(x－6)＝f(x)，即f(x＋6)＝f(x)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，y＝f(x＋3)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，则f(2 023)＝f(1＋337×6)＝f(1)，又由1＜＜3，0＜ln 2＜1，而x∈(0，3)时，f(x)为减函数，则有f(ln 2)＞f(2 021)＞f()，即c＞a＞b.故选D. 14．(多选题)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为( ) A．g(x)＝x3B．g(x)＝cos xC．g(x)＝x2＋1 D．g(x)＝x e xBC解析：因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项BC中的函数为偶函数．故选BC. 15．已知函数f(x)对随意x∈R满意f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)．若当x∈[0，1)时，f(x)＝a x＋b(a＞0且a≠1)，且f＝.(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝－1.又f＝f＝－f＝1－＝，解得a＝.(2)当x∈[0，1)时f(x)＝a x＋b＝－1∈，由f(x)为奇函数知，当x∈(－1，0)时，f(x)∈，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈，设t＝f(x)∈，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝－，即g(x)＝－∈.故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为.16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)证明：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0＜x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(－x)＝－f(x).故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．即f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－.故x∈[－1，0]时，f(x)＝－.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，f(x)＝f(x＋4)＝－.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－.。
2020届高三数学一轮复习《函数的周期性》学案
《函数的周期性》学案一、学习目标：了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、知识梳理： 1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．周期函数的两个重要性质：①函数()f x 的周期为T ，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期； ②函数()f x 的周期为T ，则()(0)f x ωω≠的周期为Tω．3．函数周期的三个结论若a 、b 是非零常数，且a b ≠，①递推式与周期的关系三、基础自测1．(2019芜湖模拟)已知()f x 是定义在R 上偶函数，对任意x ∈R 都有(6)()f x f x +=，且(4)5f =，则(2018)f 的值为（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．52．（2018巴蜀中学）定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当[2,0]x ∈-时，()31x f x =-，则(9)f =（ ）A ． 2-B ．2C ．23-D ．233．（2019赣州质检）已知函数2log ,0,()(4),0,x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则=-)2018(f （ ）A ． 0B ．1C ．2log 3D ．24．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2017)(2018)f f +=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0四、典型例题【例1】已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．【变式】已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则(6)f =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．2【例2】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-．若当[3,0]x ∈- 时，()6xf x -=，则(919)f = ．【变式】（2019杭州模拟）奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例3】设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-. 当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-.(1)求证：()f x 是周期函数；(2)当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式； (3)计算(0)(1)(2)(2018)f f f f +++⋅⋅⋅+.。
高考数学一轮复习 函数的奇偶性与周期性学案 理(无答案) 学案
2.4函数的奇偶性与周期性一、知识网络结构二、基础题回顾1.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，2.已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ） A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 3．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)4．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，则a ＝________.6．已知f (x )是R 上的奇函数，若将f (x )的图象向右平移一个单位，则得到一个偶函数的图象，若f (－1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2009)＝________.三、规律方法梳理1．奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域．函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，一个函数是奇(偶)函数的充要条件是其函数图象关于原点(y 轴)对称．2．奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：()()f x f x -=±⇔()()0()1(()0)()f x f x f x f x f x -=⎧⎪-⎨=±≠⎪⎩3．解题中要注意以下性质的灵活运用： (1)()f x 为偶函数⇔()()f x f x =；(2)若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =.4．函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件． 5.周期函数不一定有最小正周期， 例1()0x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数6. 设a 为非零常数，若对()f x 定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①()()f x a f x +=-；②1()()f x a f x +=；③1()()f x a f x +=-；④()1()()1f x f x a f x ++=-；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+；⑥()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期． (上述式子分母不为零) 四、典型例题例1．设21()ax f x bx c+=+是奇函数，(,,a b c Z ∈)且f (1)＝2，f (2)＜3，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.例2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④例3.已知偶函数y ＝f (x )满足条件(1)(1)f x f x +=-，且当x ∈[－1,0]时，4()39xf x =+，则13(log 5)f 的值等于________．例4．已知函数f (x )＝1－42a x ＋a(a ＞0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．五、反馈练习1．命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称；命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，则( )A ．甲真乙假B ．甲假乙真C ．甲、乙均真D ．甲、乙均假2.函数x x e y e －x－x＋e ＝－e 的图象大致为（ ）3.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( ) A.3- B.3 C.8- D.84．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，它的周期为T (T >0)，则()2T f ＝________.5.已知函数2()()x f x a R x a=∈+ （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由（2）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间1+∞（，）上的单调性.。
高考数学一轮总复习 第二单元 函数 课时4 函数的奇偶性与周期性教案 文(含解析)
函数的奇偶性与周期性1．了解奇偶性及周期性的定义．2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．知识梳理1．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．(1)函数的奇偶性的定义①如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 成立，那么函数f(x)为奇函数．②如果对定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 成立，则函数f(x)为偶函数．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内的任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．热身练习1．下列函数为奇函数的是(D)A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－xy＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x 为非奇非偶函数，y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．对于D ，f (x )＝e x －e －x的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是(B)A ．－13 B.13C.12 D ．－12因为f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，所以b ＝0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13，故a ＋b ＝13.3．下列命题中：①若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； ②偶函数必不是单调函数；③奇函数f (x )与偶函数g (x )的定义域的交集为非空集合，则函数f (x )·g (x )一定是奇函数；④若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )一定是偶函数． 正确命题的个数有(D) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个①正确，由f (x )是奇函数，有f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0；②正确；③正确；④正确．4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ 12 .(方法一)令x >0，则－x <0.所以f (－x )＝－2x 3＋x 2.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． 所以f (2)＝2×23－22＝12.(方法二)f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 5．(2018·红河州二模改编)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝log 2x ，则f (－94)＋f (2)＝ 2 .因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－94)＝f (－94＋2)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝2，f (2)＝f (2＋0)＝f (0)＝0，所以f (－94)＋f (2)＝2＋0＝2.授课提示：见听课手册P 16判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (2)f (x )＝lg 1－x1＋x.(1)由1＋x 1－x ≥0，可知定义域为[－1,1)．定义域不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． (2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1.定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝lg 1＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(1)利用定义判断奇偶性的步骤：(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：①图象法：f (x )的图象若关于原点对称，则f (x )为奇函数；若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．1．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0的奇偶性是(A)A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数(2)(经典真题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ 1 .(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断) 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－f (x )．所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (方法二：用奇偶函数的图象特征判断) 画出y ＝f (x )的图象，如图：其图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数． (2)利用奇偶函数的运算性质转化． 因为y ＝x 是奇函数，又f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数， 所以y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.奇偶性与单调性的综合应用(经典真题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)∪(13，＋∞)本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1) ⇔f (|x |)>f (|2x －1|) ⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.A(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(2)掌握如下结论，会给解题带来方便： ①f (x )为偶函数f (x )＝f (|x |)．②若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 [－1，12] .因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.奇偶性与周期性的综合应用已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝__________.因为f (x ＋2)＝－1f x，所以f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1fx ＋2＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (105.5)＝f (4×26＋1.5)＝f (1.5)＝f (1.5－4) ＝f (－2.5)＝f (2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. 所以f (105.5)＝2.5.2.5(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．(2)若对于函数f (x )的定义域内的任一自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2|a |的周期函数．3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝(C)A ．－50B ．0C ．2D ．50因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )， 所以－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)f(x)±f(－x)＝0f－xf x＝±1 (f(x)≠0)．4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．。
天津市双桥中学2015届高考数学总复习 函数的周期性学案
天津市双桥中学2015届高考数学总复习函数的周期性学案一、知识点归纳周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个________常数T，使得当x取定义域内的___________，都有___________________，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做f(x)的____________，如果所有的周期中存在一个_____________，那么这个____________叫做函数f(x)的最小正周期。
周期函数的性质：（1）周期函数的周期不止一个，若T是周期，则____________也是周期。
（2）()()⇒-=+xfaxf()x f的周期为___________；()()⇒=+xfaxf1()x f的周期为___________；()()⇒-=+xfaxf1()x f的周期为___________；（3）周期函数的图象特征使图象重复出现，因而研究函数的某些性质时，通常在函数的一个周期的区间上考虑，再推广到整个定义域上。
二、典型例题讲解：例1、函数f(x)的最小正周期是T（T为非零常数），则函数f(2x)的最小正周期是___________。
例2、函数f(x)对于任意实数x满足条件()()x fxf12=+，若()51-=f，则()()=5ff___________。
例3、函数f(x)是周期为2的周期函数，且[]1,,1,)(2-∈=xxxf。
求f(7.5)的值；求f(x)在区间[2n-1,2n+1上的解析式。
例4、已知二次函数()cbxxxf++=2满足f(1+x)=f(1-x)，求b的值，并比较f(-1)与f(4)的大小。
三、精炼巩固：1、设f(x)是R 上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.7f ___________。
2、设周期为4 的奇函数()x f 的定义域为R ，当[]6,4∈x 时，()22x x f -=，则()1-f 的值为___________。
高考数学一轮复习 专题06 函数的奇偶性与周期性教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题06 函数的奇偶性与周期性1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称二、周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．高频考点一 判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数． 【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数【解析】(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．【答案】(1)D (2)C高频考点二函数的周期性例2、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________．(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.【答案】(1)337 (2)2.5＝1×20166＝336.又f(2017)＝f(1)＝1.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＝337. (2)由已知，可得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2] ＝－1fx ＋2＝－1－1f x＝f(x)． 故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1fx，则T ＝2a ， ③若f(x ＋a)＝－1fx，则T ＝2a (a>0)． 【变式探究】 设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝__________________________________________.【答案】 12高频考点三 函数性质的综合应用例3、(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)(若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．【解析】 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 【答案】 (1)C (2)1【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (2)已知函数的奇偶性求函数值或【解析】式，首先抓住在已知区间上的【解析】式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的【解析】式或函数值．【变式探究】(1)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________． 【解析】 (1)易知f (－x )＝2－x＋12－x －a ＝2x＋11－a 2x ，由f (－x )＝－f (x )，得2x＋11－a 2x ＝－2x＋12x－a，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.【答案】 (1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0考点四 函数的周期性及其应用例4、 (2016·某某卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________．【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.【答案】 －2【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或【解析】式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期． 【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______． 【解析】f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 【答案】 2.51.【2016年高考某某理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+=.【答案】-22.【2016高考某某理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2015高考某某，理2】下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =．sin y x =C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y x =sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【2015高考某某，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】． 【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是xe x y +=x x y 1+=x x y 212+=21x y +=A ()xf x x e =+()11f e=+()111f e --=-+()()11f f -≠()()11f f -≠-xy x e =+B C D奇函数、偶函数、偶函数，故选．【2015高考某某，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x =（B ）y sin x =（C ）y ln x =（D ）21y x =+【答案】A【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=2ln()x x a x +为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知2ln(y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得=1.（2014·某某卷） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的【解析】式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．（2014·某某卷）已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】CA（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数 【答案】C【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值X 围是________． 【答案】(－1，3)【解析】根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.（2013·某某卷）定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】函数y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．（2013·某某卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________． 【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋4x)． 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－（x 2＋4x ）>x. 解得x>5或－5<x<0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．（2013·某某卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.（2013·某某卷） 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________． 【答案】(－7，3)1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数． 【答案】 B2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)内是减函数【解析】 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数． 【答案】 A3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( )A ．5B ．1C ．－1D ．－3【解析】 ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6.∴f (－3)＝－6，则9－3a ＝－6，解得a ＝5.【答案】 A4．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2 D ．x 21<x 22 【解析】 ∵f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －e x ＝f (x )． ∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ， ∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.【答案】 D5．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】 A6．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－1，4)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(－1，2)【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0， 解得－1<a <4.【答案】 A7．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】 B8．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．【解析】 由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ， 化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，∴a ＝－32. 【答案】 －329．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的【解析】式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． 【解析】 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516. 【答案】 51610．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．【解析】 由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >12 11．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值X 围是(1，3]．13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．【解析】 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个．【答案】 714．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。
函数的周期性教案（最终版）
函数的周期性教案（最终版）第一篇：函数的周期性教案（最终版）函数的周期性定义：对于函数y=f(x)，若存在一个不为零的常数T，使x取定义域中任意一个值时，有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为周期函数，常数T为函数的周期.在所有T的取值中，若存在一个最小的正数t，则称t为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）性质：1.图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；2.若f(x)=f(x+a)，则T=a；若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；若f(x+a)=f(x-b)，则T=a+b；若f(x+a)=f(x+b)，则T=a-b；例题：已知f(x-2)=f(x+2)且f(-1)=2，则f(11)=________；函数f(x)为R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(6)=_______；函数f(x)为R上的奇函数且T=4，且x∈[4,6]时，f(x)=2-x2，则f(-1)=______；已知函数f(x)周期为3，且在x∈[-2,0]为增函数，则在区间[4,6]上为_____（填增，减）；函数f(x)为R上的偶函数且T=2，在区间[-1,0]递减，则在区间[2,3]上为_____；函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，x∈[0,1]时，f(x)=x，则f(7.5)=__；函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=-1，x∈[2,3]时，f(x)=x，则f(105.5)=__； f(x)第二篇：函数的周期性教案1解读函数的周期性教案1教学目标1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．教学重点与难点函数周期性的概念．教学过程设计师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：(老师把图画在黑板左上方．)师：通过观察，同学们有什么发现？生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律地不断重复出现．师：规律是什么？生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上方写出课题)师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)定义对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x＋T)=f(x)．师：找得准！那么为什么要这样规定呢？师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．师；对．否则f(x＋T)就没有意义．师：函数周期性的定义有什么用途？生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．师：下面我们看例题．(老师板书)例1 证明 y=sinx是周期函数．生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？y=sinx的周期．义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个x，使f(x＋T)=f(x)乙是正确的．师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的周期．因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．因此2T是f(x)的周期．师：这个命题推广可得到什么结论？生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，…，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．(老师在函数的周期性定义下板书)如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．例4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例2我们证明命题，只要证明什么？生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？生：反证法．假设存在T∈(0，2π)使得y=sinx对于任意的x∈R 都成立．推出矛盾即可．师：你能具体的给予证明吗？生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin(x＋T)=sinx．即cosT=1．这与T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．例5 求y=3cosx的周期．师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？生：可以从数和形两个角度来证明．解(一)因为对一切x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．解(二)因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到x＋2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．例6 求y=sin2x的周期．(请不同解法的三位同学在黑板上板演)生甲：解因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解因为y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以y=sin2x的周期是π．生丁：解设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以y=sin(u＋2π)=sinu，即sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标不变，横坐标是该点横坐标的出现，所以 y=sin2x的周期是π．师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因为所以师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．＞0，x∈R)sin(u＋2π)=sinu，即即师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数有关系，而且(老师板书)师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．(一)研究函数周期的意义是什么？周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．(二)对于函数周期的定义应注意：1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我们就断言y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们能断言T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明y=f(x)不是周期函数．2．定义中的“每一个值”是关键词．此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f(x＋T)=f(x)对函数定义域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．作业：课本P178第6题，P132第4题．课堂教学设计说明此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线” 的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．第三篇：函数的对称性和周期性复习教案函数的对称性和周期性株洲家教：***函数的对称性和周期性一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
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天津市双桥中学2015届高考数学总复习函数的周期性学案
一、知识点归纳
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个________常数T，使得当x取定义域内的___________，都有___________________，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做f(x)的____________，如果所有的周期中存在一个_____________，那么这个____________叫做函数f(x)的最小正周期。
周期函数的性质：
（1）周期函数的周期不止一个，若T是周期，则____________也是周期。
（2）
()()⇒
-
=
+x
f
a
x
f()x f的周期为___________；
()
()⇒
=
+
x
f
a
x
f
1
()x f
的周期
为___________；
()
()⇒
-
=
+
x
f
a
x
f
1
()x f
的周期为___________；
（3）周期函数的图象特征使图象重复出现，因而研究函数的某些性质时，通常在函数的一个周期的区间上考虑，再推广到整个定义域上。
二、典型例题讲解：
例1、函数f(x)的最小正周期是T（T为非零常数），则函数f(2x)的最小正周期是___________。
例2、函数f(x)对于任意实数x满足条件
()
()x f
x
f
1
2=
+
，若
()5
1-
=
f，则
()
()=
5
f
f___________。
例3、函数f(x)是周期为2的周期函数，且
[]1,,1
,
)
(2-
∈
=x
x
x
f。
求f(7.5)的值；
求f(x)在区间[2n-1,2n+1上的解析式。
例4、已知二次函数
()c
bx
x
x
f+
+
=2
满足f(1+x)=f(1-x)，求b的值，并比较f(-1)与f(4)
的大小。
三、精炼巩固：
1、设f(x)是R 上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.7f ___________。
2、设周期为4 的奇函数()x f 的定义域为R ，当[]6,4∈x 时，()22x x f -=，则()1-f 的
值为___________。
3、设f(x)是周期函数，最小正周期为2，且()()x f x f -=+11，当01≤≤-x 时，()x x f -=，求f(x)在[]3,1上的表达式。
4、已知f(x)是实数集R 上的函数，且对任意R x ∈，()()()11-++=x f x f x f 恒成立。
（1）判断f(x)是否为周期函数，若是，求出周期，若不是，请说明理由。
（2）已知(),23=f 求()2010f 。