垂向动力学

（当λ ＝λ 1） (3.1.12)
令
ˆ 2 ＝1，将得到特征矢量y1 z
(当λ ＝λ 1 ) (3.1.13)
2 1 m1 1 r k1 k 2 ˆ1 z y1 1 r k 2 ˆ2 z 1 使得齐次方程组（3.1.4）的解为
代入式（3.1.17）后就得到初始条件 0 y Rqi y0 通过R的逆矩阵求出 qi ，进一步代入式（3.1.17）就能完全 解出齐次方程（3.1.4）
y R y et 1 y0 R y 0
பைடு நூலகம்
i 1
2n
yi qi i e i t
使得一般振动状态表达成以下形式
y i y t e qi T y yi i yiT 令 R y T 为模态矩阵 i
T i
(3.1.17) (3.1.18)
k2 0 k2
(3.1.6)
2 m1 r k1 k2 r k 2 0 2 r k 2 m2 r k2
作为特征值 λ的解有
4 a1 3 a 2 2 a3 a 4 a5 0
(3.1.7) 也就是说一个n自由度的系统就有2n个特 征值。与无阻尼系统相反，求出的四个特 征值却是成对的互为共轭复数
图3.1.1 车身－车轮－路面关系 的四分之一汽车模型的一个例子
二质量模型的运动方程如下
1 rz 1 rz 2 k2 z1 k2 z2 k1 z1 k1 z0 m1 z 2 rz 2 rz 1 k2 z2 k2 z1 0 m2 z
变成矩阵形式
（3.1.2）
其中 P 1 k1 z0 也可以写成 My Dy Ky P （3.1.3） D为阻尼阵， K 为刚度阵， M 为质量阵， P为激励矢量， T 而 y z1 z2 则为运动矢量。
3.1.1
自由振动
如前所述，自由振动是从相关微分方程组的齐次方程 组中通过 e t 代换得出的
除车身相对路面激励的绝对值外，感兴趣的还有：
定义 评价指标 定义式
车身加速度和激励 路径之比 车身与车架的相对 位移除以激励路径 的商值 车架与路面的相对 运动比上激励路径 车身相对路面的运 动与激励路径之比
平顺性 车轮在轮室内的 运动范围或弹力 大小 车轮载荷变化以 及路面承载 底盘自由运动范 围
ˆ jr k z ˆ m jr k k z ˆ m jr k z ˆ 0 jr k z
2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2
2
ˆ0 k1 z
(3.1.21)
此方程组用克莱姆法则求解。
传递函数将如此得出
1
4


1 a3 2 a1
1 a3 4 a1
2

a5 a1
一个特征值，也就是车身的自激频率，很大程度上由 车身质量m2和车身弹性系数k2决定，因此设 ξ 12＝k2/m2 另外，车轮自激频率，也就是车轮质量m1相对轮胎和 车身的振动频率，大多可设 ξ 22＝(k1+k2)/m1 式（3.1.7）中代入这些缩略之后变为


m2 250 12.5 m1 20
面图 3.1.2 中以波德曲线及矢量轨迹图形式表达的振幅 相应和相位响应。
1 r 1 并且雷氏阻尼量D＝ 2 m2 1 ＝0.3及0.5，就得出下
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图3.1.2 车架、路面激励响应及矢量轨迹 （a）振幅响应；（b）相位响应；（c）矢量轨迹图
第三章
垂向动力学
第一节 四分之一汽车模型与路面激励
第二节 随机激励下汽车垂向模型
第三节 汽车部件垂向动力学
第四节 垂向动力学的其它简单线性模型
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第一节 四分之一汽车模型与路面激励
垂向运动的汽车模型 忽略一辆汽车是靠四个轮子支 撑的，并且假设汽车只能作垂 向运动，即不存在滚动和侧倾 自由度。就能将四个同时工作 的车轮悬架装置归结在一个系 m2为四 统里。这个系统含有： 分之一的车身质量，k2 为车身 m1 弹性系数,r为车身阻尼常数， 为车轮质量，k1 为车轮弹性系 数；车身阻尼与速度成比例。 车轮中的阻尼由于影响不大而 忽略不计。
1
4
2 m2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 4 m1
粗略地选择数值ξ 1＝2π *1.1s-1及ξ 2=2π *10s-1(车 身自激频率大约在1.1Hz左右，车轮自激频率约在 10Hz)选择质量比m2/m1=250/20=12.5,就能求出 λ 1＝j*2π *1.01,λ 3=-λ 1 λ 2＝j*2π *10.00,λ 4=-λ 2 把这些特征值代入式（3.1.5）则有
λ 1和λ 3＝ 1*
* λ 2和λ 4＝ 2
(3.1.8) λ i＝α i+jω 0i (3.1.9)
并且具有形式
式（3.1.7）没有明确的解，只能应用数字计算法 来解决。为了给选的例子一个大致的特征值，暂 时忽略阻尼作用（r＝0）。借此消去式中的a2和 a4（a2=a4=0）. 简化了的特征值等式的解即为
传递函数的另一种写法是
Gi Vi ( j i1 )( j i 2 ) Vi ( j 1 )( j 2 )( j 3 )( j 4 )
( j
m 1 2n k 1
n
im
)
( j )
k
(3.1.28) 其中V为增益系数， im为复数零值点，而λ 为复数极值点。 它们同处于一个n自由度系统的传递函数中。 再为垂向振动汽车模型选择以下数值 k2 k1 k 2 2 2 2 2 1 (2 1.1) s 2 (2 10) 2 s 2 m2 m1
且λ ＝λ 1 和λ ＝λ 2 时
(3.1.10)
(3.1.11)
式（3.1.11）中出现的和，与在无阻尼系统中一样， 是任意值。按照它们中的一个整理一下，就有
2 1 m1 1r k1 k 2 ˆ1 z ˆ2 0 z 1r k 2
以及
r k2 j ˆ2 k1 z m2 m2 G2 ( j ) rk1 k1k 2 ˆ0 m1 4 z 3 r ( m1 m2 ) 2 m1k 2 m2 ( k1 k 2 ) j j m1m2 m1m2 m1m2 m1m2 这两个式子大括号外的部分是增益系数，而括号内分子和分母部分都 是关于ω 的多项式。一个系统中所有传递函数的分母多项式都相同， 它的复数零值点就是式（3.1.2）及式（3.1.6）行列式的零值点，也 就是齐次方程的特征值，它详尽的描述了系统本身的特性。自然这些 零值点也同时是整个传递函数的极值点。分子多项式在系统的每一个 传递函数中都不一样，它由激励矢量的形式决定。分子多项式的复数 零值点也同时是整个传递函数的零值点。
m1 0 z1 r r z1 k1 k2 0 m z r r z k 2 2 2 2 k2 z1 P 1 k2 z2 0
（3.1.1）
My Dy Ky 0
这就引出特征值的问题
(3.1.4)
M D K y 0
2
(3.1.5)
而求其解必须让行列式的值等于零
det M D K 0
2
m1 0
2
0 r r k1 k 2 m2 r r k 2
y t
y q e
i 1 i i
4
it
(3.1.14)
其中 q i 是主观展开过程中引入的任意变量。 由于特征值λ 3，λ 4与λ 1，λ 2互为共轭，特征矢量y3,y4 自然也是y1和y2的共轭复数
y t yi qi e j 0 it yi*qi*e j 0 it e i t
ˆi Di z Gi ( j ) ˆ0 D z
其中
(i 1;...; n; n 为自由度数量）（3.1.22）
( 2 m1 j r (k1 k2 )) ( j r k2 ) D ( j r k2 ) ( 2 m2 j r k2 )（3.1.23） D1 k1 0 ( j r k2 ) ( 2 m2 j r k2 )
M D K y 0
2 i i
(i=1~4)
m r k k zˆ r k zˆ 0 m r k k zˆ r k zˆ 0
2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2
i 1 2


2e
i t
Re yi qi e j 0 it
i 1
2


(3.1.15)
这里自由变量 qi 由初始值 y 0 y 0 和
0 (0) y 0 (3.1.16) y
确定——即将初始条件代入式（ 3.1.15 ）中求解，先对式 （3.1.14）求导
t y
ˆ ˆ z z 2 ( j ) 2 2 ˆ0 ˆ0 z z
ˆ2 z ˆ1 z ( j ) ˆ z0
ˆ1 z ˆ0 z ( j ) ˆ0 z
ˆ2 z ˆ0 z ( j ) ˆ0 z
图3.1.3 车身/路面激励响应及矢量轨迹 （a）振幅响应；（b）相位响应；（c）矢量轨迹图
图3.1.4
振幅响应——车身加速度/激励路径
图3.1.5
振幅响应——车身与车架相对位移/路面激励