面面垂直的判定——二面角

O H
C1
G B1
例3.已知在一个60的二面角的棱l上有两个点
A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内， 且AC⊥l，BD⊥l ，又知AB=4cm,AC=6cm， BD=8cm, 求线段CD的长
C
练习2、已知CD= 2 17 ,
求二面角的大小
A
B
D
一、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。
19
CD CO 2 DO2 7 32 4
例5、如图，设E、F、G是正方体AC1的棱AA1、 AB、BC的中点，求二面角E－FG－A的大小。 解：如图，过点A作AH⊥FG交GF的延长线于点H，连结EH。
由 EA⊥平面AC得：AH为EH在面AC内的射影。
所以EH ⊥FG， 故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
1. A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB 在平面 内且与棱 CD 成 45º 角，又 AB 与平面 成30º ，求二面角－CD－ 的大小
B

解：作BE于E，连结AE 过E作EOCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD
C A
O E
D
则 ∠BOE是二面角 CD
A
l D O

解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角—l—的平面角，即 ∠OAC ＝120， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， 2 2 2 ∴ CO AC AO 2 AO AC COS120 7 在Rt △COD中，DO=AB=3
l
半 平 面
面
面 棱l
3、二面角的表示方法
A
C
B D

B

A
二面角－AB－
二面角C－AB－ D
F A B

l
E

D
C
二面角－ l－
二面角C－AB－ E
类比角与二面角
角 A 边 二面角
A
棱a B
图形
顶点 O
面 面

边 B
定义
从一条直线出发的两个 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 做二面角。
B
E
O
D C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
14
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
点 , 过 P 分 别 在 , 内 引 射 线 PM,PN, 且 ∠MPN=600,∠BPM =∠BPN =450,求此二面角的 度数
P
C
B
β
B
P
O
l
A

1. A 为二面角 α –CD–β 的棱 CD 上一点， AB 在平面 α 内且与棱 CD 成 45º角 , 又 AB 与平面 β 成30º,求二面角α –CD–β 的大小
B α

B
作
业
C
A
D

D
C A
β
2.如图，已知A、B是120的二面角—l—棱 l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段 CD的长
练 习:
1、如图，AB是圆的直径， PA垂 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 2、已知P为二面角 l 内一 点，且 P 到两个半平面的距离都 等于 P 到棱的距离的一半，则这 个二面角的度数是多少？ 60º
1
l
O1
思考: 二面角的范围 [0°,180°]
A
A1

O
9
二、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角
注意：

A
二面角的平面角的三个特征:
2.线在面内
1.点在棱上
3.与棱垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角
l
O B
构成
边—点—边 （顶点）
∠AOB
面—直线—面 （棱）
表示法
二面角—l— 或二面角—AB—
二、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B B1
？ ∠A O B
1 1
复习
1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？ 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样 定义的？
二面角
问
题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射 线所组成的图形叫做角。
o

2、等角定理？
A
答：如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，并且方向相 B 同，那么这两个角相等。
C M
例1.如图,已知P是二面角 AB 棱上一
A
P
O
D N
B

一“作” 二“证” 三“计算”
例2 在正方体AC1中， 1、求二面角A—B1C—B的正弦值; 2、E为BC中点，求二面角E—B1D1—C1 的正切值。 D D C C
E A B A B
F
D1 A1 B1
C1
A1
D1
（ 2）
想一想
B
B
B B
O
两个面组成的图形
A
B

?
B
B




角
一、半平面及二面角的定义
1、半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成 两部分，每一部分都叫做半平面。 2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。
半 平 面
二 面 角 －AB－ 二 面 角 C－AB－ D 二 面 角 － l－
小
二、二面角的表示方法：
三、二面角的平面角：
结
1、二面角的平面角必须满足 三个条件 2、二面角的平面角的大小与 四、二面角的平面角的作法： 其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面 1、定义法 五、二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 角的大小来度量 2、三垂线（逆）定理法 2、证明 1中的角就是所求的角 3、垂面法 一“作”二“ 证”三“ 计算” 3、计算所求的角
的平面角
2 a 2
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2 a 在RtAEB中，BAE= 30º , AB= 2a, BE=
在RtBEO中，sin ∠BOE= ∴所求二面角的大小为45º
BC OB
2 2
2. 如图，已知A、B是120的二面角—
E B
l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面 C ，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2， BD=1，AB=3，求线段CD的长。
D1 A1 B1 C1
在 Rt△EAH 中，易得
2 AH＝ 2 AF，AF＝EA，
EA ∴tan∠EHA＝ AH
=
2，
E
D
G F
C
∴∠EHA＝arctan 2 。
∴
A
二面角E－FG－A的大小为 arctan 2
H
B
。

2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ∠APB ②、点P在一个半平面上 —垂线法 ③、点P在二面角内 —垂面法
l P B


A
P
B


B P
A
l
l
O
A

练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
正方体 A’C中 D’ A’ D A 二面角B--B’C--A B B’ O C C’ A