高中数学 核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
高中数学核心素养
高中数学核心素养
数学的核心素养主要包括：
数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程;主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征;
数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中;数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统;
在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验;学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题;
逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程;主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎;
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质;
在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学
交流能力;
数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程;主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题;
高中数学核心素养
高中数学核心素养
数学的核心素养主要包括：
数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程;主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征;
数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中;数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统;
在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验;学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题;
逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程;主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎;
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质;
在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学
交流能力;
数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程;主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题;
高中数学与核心素养
高中数学与核心素养
在当今的社会中，数学一直是人们生活中不可或缺的一部分。数学不仅仅是一门学科，更是一种思考方式。随着我国经济和科技的发展，越来越多的人开始关注数学所扮演的角
色以及数学对核心素养的影响。
高中数学对于学生的教育和人生发展都有着重要的意义。它不仅仅包括数学的理论和
公式，还涉及到学生的思维能力、逻辑能力等方面。高中数学课程的学习能够帮助学生培
养解决问题的能力，提高他们的分析和推理能力，拓宽他们的视野，提高他们的创造力。
随着社会的发展，数学技能对于工作的要求也越来越高。在职场上，人们需要能够处
理复杂的数学问题，以便为公司或个人提供最优解决方案。在金融、保险、科技等行业中，数学能力是非常重要的，可以有效地支持公司的商业战略。
除了对于职场的要求，数学对于我们生活中的方方面面也有着很大的帮助。数学能够
提高人们的财务管理技能，帮助我们更有效地管理我们的财务。数学还能帮助我们更好地
理解各种现象，例如天气预报、医学上的诊断等等。此外，数学能够促进健康的生活习惯，例如计算身体质量指数、了解饮食热量等等。
高中数学不仅仅包括基本的算术、代数、几何和统计学概念，还涉及到数字化、数据
分析、可视化等领域。这些技能将不断改变未来的工作环境，并将成为未来求职者的重要
竞争优势。
高中数学对于核心素养的培养有着极其重要的作用。核心素养是指一系列对于全球生
活和工作必不可少的能力和优秀品质，例如批判性思维、创造性思维、解决问题的技能、
沟通和协作的技能等等。高中数学培养了学生的批判性思维能力，这是拥有优秀的自我反
思和分析问题的能力，具备独立思考和有效解决问题的能力的基础。
高中数学核心素养在知识点的提升：4.对数平均数的不等式链的几何解释及应用
对数平均数的不等式链的几何解释及应用
中学数学训练专家安振平先生在剖析2022年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：
设,0,,a b a b >≠
则2ln ln a b a b
a b
+->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数.
童永奇老师构造函数，借助于导数证明白对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深化地探讨，给
出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.
1 对数平均数的不等关系的几何解释
反比例函数()()1
0f x x x
=
>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫
⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，依据左图可知，
由于ABNM ABQP
ABFE
S S S 矩形曲边梯形梯形，
所以
12ln ln ,b
a
dx b a
b a x
a
b
①
又1
ln ln ab AUTP
a
S dx ab a x
曲边梯形，
1
1
ln ln 2
2
ABQP b a S 曲边梯形， 11111
222
AUTP
ABCD b a S ab
a
S a
ab
ab
梯形梯形， 依据右图可知，AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln b
a
b a
ab
， ② 另外，ABQX ABYP ABQP
ABQP
S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：
11111ln ln ,2b a b a
高中数学学科核心素养
高中数学学科核心素养
数学抽象
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的研究中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推
理，推理形式主要有演绎。逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能把握推理的根本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。
数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
基于核心素养的对数函数教学设计
基于核心素养的《对数函数》教学设计
一、教材分析
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一 .
本节内容是在学生已经学过指数函数、对数的基础上引入的，既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解 .
对数函数在生产、生活实践中都有许多应用 . 本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识 . 二、教学目标
(一) 知识与技能：
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
2．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
3．知道指数函数
x
a
y=与对数函数x
y
a
log
=
互为反函数（
1
,0≠
>a
a）。
（二）过程与方法：
1．通过与指数的比较，引出对数的定义、运算性质，使学生亲身经历推理、归纳的过程。2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点。
3．通过对数函数图像和性质的学习，渗透数形结合、分类讨论、类比等数学思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力。
（三）情感态度价值观：
1．通过指、对数函数图像间的关系，对学生进行对称美，简洁美的审美教育。
2．通过指数函数类比研究对数函数，使学生体会知识间的有机联系，激发学生的学习兴趣，增强学习的积极性，养成良好的思维品质。
高中数学核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几何证
高中数学核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几
何证
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家安振平指出，其理论背景是：如果b>a>0，则b>a+bb-a>>2lnb lnaab>211+AB>a，其中
a?b被称为“对数
lna？LNB平均值“
安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.
对数平均数不等关系的几何解释
反比例函数f?x??1?x?0?的图象，如图所示，ap??bc??tu??kv，mn??cd??x轴，
x1??1??1a?b2?作在点fxa?a,0?,p?a,?,b?b,0?,q?b,?,t?ab,,k,处的切线分别与?ab??a??b2a?b?ap,bq交于e,f，根据左图可知，
因为它是弯曲的梯形abqp，所以
>s梯形abfe=s矩形abnm，
2（b？a）。①A.Bxab1dx？lnb？lna？S曲线梯形autp？？ABA1111DX？lnab？lna？（lnb？lna）？S曲线边abqpx22
s梯形autp?1111b?a(?)(ab?a)??2a2abab根据右图可知，s曲边梯形autp
此外，s矩形abqx
11111(b?a)?lnb?lna?(?)(b?a)?(b?a)③
总的来说，结合重要的不等式，我们可以知道：b>A+bb-A>>2lnb lnaab>211+AB>A （b>A>0）④
核心素养下基本不等式的简单应用探究
核心素养下基本不等式的简单应用探究
【摘要】：基本不等式是研究不等关系的一种重要工具,从不同视角去感受
和认知，帮助理解、支持记忆养成自觉运用相关知识解决实际问题.
【关键词】：基本不等式、数形结合
相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，相等关系是相对的，局部的，不等关系是绝对的，普遍的，相等关系和不等关系具有内在的必然联系，既
相互对立也是相互统一的，基本不等式是研究不等关系的一种重要工具，其由
《普通高中课程标准实验教科书》必修5第三章调整到新课标《普通高中教科书》第一册第三章，可见其所处地位及应用的独特性、重要性，以下我们从不同视角
去感受和认知，以达到能理解记忆并自觉运用其解决数学内外的各种问题的目标.
一、基本不等式概念
公元3世纪，三国时期数学家赵爽在《勾股圆方图注》中对
勾股定理的证明用到了图1，利用勾股定理不难看出：四个全等的直角
三角形面积之和不大于正方形的面积，其数学符号语言为：
.
一方面：
一般地，
仅当(重要不等式)，用替换以上可得到
即，当且仅当时等号成立.这称之为基本不等式，显然其对于任意非负实数都成立.
另一方面：
以之和为直径AB的长构造圆O，如图2所示.在直径AB上取点C，使得
.过C作,交圆于点D，联结OD.显然线段OD的长度不小于垂线段CD
的长度.
由得到，及，即，表述为：两个正数
的算术平均数不小于这两个数的几何平均数！
二、基本不等式引伸拓展
如图3所示，
易知类比上述证明，由得
到，
所以
另一方面：
其中分别叫做正数的调和平均数和平方平均数，统称为两
正数的均值不等式（以上几何证明最早由古希腊数学家帕普斯公元4世纪提出），
高中数学与核心素养
高中数学与核心素养
高中数学作为学生学习的重要课程之一，不仅仅是为了考试分数和升学考试，更重要
的是为了培养学生的核心素养。高中数学在培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力、创
新意识等方面起着重要的作用。以下将通过数学的基本概念、数学与核心素养的关系以及
数学教育的现状和发展趋势来探讨高中数学与核心素养的关系。
数学是一门重要的学科，它不仅仅是一种学科，更是一种思维方式。正如著名数学家
希尔伯特所说：“数学是为了研究数学而研究数学的一种学科”，可见数学是一种内在的
逻辑关系体系，它的内在逻辑关系又必须通过数学思维方式来表达。数学是世界上最古老、最严谨、最广泛的学科之一，对于基础数学概念的理解和掌握，是未来深入数学研究和应
用数学的基础，也是培养核心素养的重要途径。
当前，我国高中数学教育正处于深刻的发展变革期。在新课程改革的背景下，高中数
学教学也在不断探索和创新。新一轮高中数学课程改革以“促进学生全面发展，培养高素
质人才”为目标，提出要加深数学的数学实践能力、数学建模能力、数学表达能力、数学
应用能力、数学研究能力等方面的培养。这些都是对培养学生核心素养的一种体现，也是
高中数学教育面临的新挑战。
未来，高中数学教育将会面临更多的挑战和机遇。一方面，随着信息技术的不断发展，数学教育也将面临更多的创新和变革，信息技术将成为数学教学的重要工具，促进数学教
学模式的转变；高中数学教育也将面临更多的跨学科融合和实践应用，将数学与其他学科
相结合，增强数学的实践性、趣味性和应用性。这些都是未来高中数学教育的发展方向，
也是培养学生核心素养的关键途径。
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:
平均数”.
安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大行了深
入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解
1对数平均数不等式链的几何证明
1
如图，先画反比例函数f（X ）= —（X >0 ）的图象，再画其他的辅助线，其中X
f1
MN 11 CD ll x 轴，A(a , 0 ), P (a,—
AP,BQ交于点E,F，则根据左图可知:
ABFE
b 1 2
所以J -dx= In b- In a >
X
因为2曲边梯形AUTP
J -dx= In Tab- In a 二
Q X
1 1
2(lnb-In a) = 2边梯形ABQP，S
梯形AUTP
= 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD，
设b> a> 0 ,则b> a+^>
2
b- a -- >
In b- In a 'Tab^-2—
1 1
a b
> a，其中
a —b
----------- 被称为“对数
In a — In b 中学数学教育专家安振平在剖析
.基于此，笔者进
AP II BC U TU II KV，
.设函数f （X）在点
(b- a).
a+ b
S
矩形ABNM，
因为
S a
边梯形ABQP > S梯形
K F?,走〕处的切线分别与直线
b - a 而根据右图可知：S 曲边梯形AU TP
v S 梯形AUT P ,所以In
b- I n
av —.
J ab
综上，结合重要不等式可知:
X — X
求证：In X 2 T 门％<^^^.
V
X 1
X
2
知 X 2 > X 1 > 0，求证：1
高中数学课堂中数学核心素养的体现
高中数学课堂中数学核心素养的体现
——以高中“对数”教学为例
摘要：“对数”知识是高中数学教学中的重点和难点，学生在学习中会碰到较多的问题，为了提升教学的效果，本文主要对高中数学课堂中数学核心素养的体现进行研究，以“对数”教学为例，分析了教学活动的设计方法，希望可以提升对数教学的效果，为有关人员提供参考。
关键词：高中数学课堂；数学核心素养；“对数”教学
当前强调素质教育，要求对学生的学科核心素养进行培养，促进学生的全面发展，所以，高中数学教师就要在教学中积极的落实学生数学核心素养的培养，主要包括数学运算、数学抽象、数据分析、逻辑推理、直观想象及数据建模。对数是高中数学教学中的重要组成部分，教师在教学设计中就要有效的渗透核心素养，在教授学生知识的同时，培养其数学素养。
一、教学内容分析
“对数及其运算”是人教版高一上册第二章中第三节的内容，属于对数的入门课。对于刚接触对数的学生而言，这是新的概念，学习的过程中会遇到较多的困难。通过这节课的学习，要让学生理解这一概念，深入的认识和理解对数模型，给后面的对数函数学习奠定基础。基于学习对数的概念，能够对学生的对立统一、相互联系、转化的思想进行培养，提升其逻辑思维能力。
二、教学目标
在三维目标方面，首先，知识和技能目标。要让学生理解对数的概念，了解对数运算与指数运算属于互逆关系，还要掌握对数的性质和运算法则；其次，过程和方法目标。基于探究对数的定义，感受相互转化的思想；最后，情感态度和
价值观。通过本节课的学习，让学生形成勇敢探索、善于观察的良好习惯，树立严谨的科学态度。本节课的教学重点就是对数的概念、性质、运算法则，难点就是对数的概念以及运算法则。
高中数学核心素养
高中数学核心素养
数学的核心素养主要包括：
数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。
数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模
高中数学学科核心素养
高中数学学科核心素养
数学抽象
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程;主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征;
数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中;数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统;
在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验;学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题;
逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程;主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎;逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质;
在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学交流能力;
数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程;主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题;
高中数学核心素养
高中数学核心素养
数学的核心素养主要包括：
数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征。
数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,
建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学交流能力。
数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题。
【高中数学】普通高中数学学科核心素养
【高中数学】普通高中数学学科核心素养数学抽象
数学抽象是指通过抛弃事物的所有物理属性而获得数学研究对象的思维过程。它主要包括：从量与量、图形与图形的关系中抽象出数学概念和概念之间的关系，从事物的特定背景中抽象出一般规律和结构，并用数学符号或数学术语来表示。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
在形成数学抽象核心品质的过程中，积累从具体到抽象的活动经验。通过对数学概念的抽象和概括，使学生能够更好地理解和运用数学思维中的一般概念和方法，并逐渐养成学习数学的习惯。
逻辑推理
逻辑推理是指根据逻辑规则从某些事实和命题中推导出一个命题的思维过程。它主要包括两种类型：一种是从特殊到一般的推理，推理的形式主要有归纳和类比；一种是从一般到特殊的推理，推理的主要形式是演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
在形成逻辑推理核心素养的过程中，学生可以发现问题，提出命题；能够掌握推理的基本形式，表达论证过程；能够理解数学知识之间的关系，构建知识框架；形成辩论性、条理性、逻辑性思维品质，增强数学沟通能力。
数学建模
数学建模是对真实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，并用数学知识和方法建立模型来解决问题的过程。主要包括：发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、解决结论、验证结果和改进模型，最后解决实际问题。
高中数学核心素养
高中数学核心素养
数学的核心素养主要包括：
数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程;主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征;
数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中;数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统;
在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验;学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题;
逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程;主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎;
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质;
在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学
交流能力;
数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程;主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题;
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对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0b
a
，则2112
ln ln a b
b
a b
ab
a b a
a
b
，其中
ln ln a b
a b
--被称为“对数
平均数”.
安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.
1 对数平均数不等式链的几何证明
如图，先画反比例函数()()1
0f x x x
=
>的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫
⎪⎝⎭,,T ab ab ⎛ ⎪
⎭.设函数()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫
⎪+⎝⎭
处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知：
因为ABNM ABQP
ABFE
S S S 矩形曲边梯形梯形，
所以
1
2ln ln b
a
dx b
a
b
a
x
a
b . ①
因为1ln ln ab AUTP
a
S dx ab a x 曲边梯形1
1
ln ln 2
2
ABQP b a S 曲边梯形， 1111222AUTP
ABCD
S ab
a
S a
ab
ab
梯形梯形，
而根据右图可知：AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形，所以ln ln b a
ab
. ② 另外，根据ABQX
ABYP ABQP
ABQP
S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：
11111ln ln 2b a b a
b a
b a b
a
b
a
. ③
综上，结合重要不等式可知：
211111ln ln 2b a b a
b a
b a
b a b
a b
a b
a
ab ，
即20112
ln ln a b
b a b
ab
a b a b a
a
b
. ④
2 对数平均数不等式链的变式探究
近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.
为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式
2
ln ln a b
b a
b a
，记为①式；将ln ln b a ab b a
，记为②式；将211ln ln b a b
b a
a
b
，记为③式.
变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知：
1221
21
2ln ln +->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x
，求证：212112
2()ln ln -->
+x x x x x x .
变式探究2：取12,a x b x =
=，则由②知：
21
21
ln ln ->-x x x x 于是，可编制如下试题：已知
210>>x x ，求证：21ln ln -<
x x 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112
2
11
ln ln ->
>
-+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22
12121212
1ln ln 2--<-<
x x x x x x x x .
变式探究4：取121,1a x b x =+=+，则由①知：
122121(1)(1)(1)(1)
2ln(1)ln(1)
++++-+>
+-+x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：
2112211ln(1)ln(1)2
-+<++-+x x x x
x x .
变式探究5：取121,1a x b x =+=+
，则由②知：
2121(1)(1)
ln(1)ln(1)
+-+>+-+x x x x 于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠
，求证：
21
21ln(1)ln(1)
->+-+x x x x .
变式探究6：取121,1a x b x =+=+，则由③知：2122112(1)(1)
2111
ln(1)ln(1)
11
+-++>
>
+-++
++x x x x x x x .于
是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：
2112221122(1)(1)
1ln(1)ln(1)2
-+++>
>+-+++x x x x x x x x x .
变式探究7：取121,1a x b x =-=-，则由①知：
122121(1)(1)(1)(1)
2ln(1)ln(1)
-+---->---x x x x x x .于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：
2112211ln(1)ln(1)2
-+<----x x x x
x x .
变式探究8：取121,1a x b x =-=-
，则由②知：
2121(1)(1)
ln(1)ln(1)
--->---x x x x 于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠
，求证：
21
21ln(1)ln(1)
->---x x x x 变式探究9：取121,1a x b x =-=-，则由③知：2122112(1)(1)
2111ln(1)ln(1)
11
---->
>
---+
--x x x x x x x .于是，
可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：
211222112(1)(1)2(1)(1)
1ln(1)ln(1)2
------>
>---+-x x x x x x x x x .
变式探究10：取1
2
,x x a e b e ==，则由①知：1221
21
2+->
-x x x x e e e e x x .于是，可编制如下试题：对任意