高中数学 核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
人教版高中数学知识与巩固_对数及对数运算(提高)
人教版高中数学知识与巩固•对数及对数运算(提高)【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4.了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.5.能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用. 【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果a b Na 0,且a 1 ,那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0且a 1, N>0 , b R.2.对数log a N a 0,且a 1具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即N 0；(2)1的对数为0,即log a1 0 ;(3)底的对数等于1,即log a a 1.3.两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，10g l0N简记作lgN .以e (e是一个无理数，e 2.7182 )为底的对数叫做自然对数，log e N简记作ln N .4.对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表本.指数式对数式指数对数孑其数底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化^要点二、对数的运算法则已知log a M ,log a N a 0且a 1, M、N 0(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；log a MN log a M log a N推广：log a N1N2 ||Nk log a N1 log a N \\\血$ Np 电、| 小N 0(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；M log a log a M log a NN(3)正数的哥的对数等于哥的底数的对数乘以哥指数；log a M log a M要点诠释：(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:10g2(-3)(-5)=log 2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 10g2(-3)(-5)是存在白1 但 10g2(-3)与 10g2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、哥的对数与对数的和、差、积、商、哥混淆起来，即下面的等式是错误的：log a(M N)=log a M log a N,l0g a(M N)=l0g aM log a N ,M log a M lOg aN log a N要点三、对数公式 1 .对数恒等式: ba N log a N b2 .换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0, awl M>0的前提下有：⑴ log a M log n M n(n R) a令 log a M=b ,则有 a b=M,(a b )n =M n,即(a n)b M n,即 blog a n M n,即：log a Mlog a n M n.log c M 人八b (2) log a M -------- (c 0,c 1),令 log a M=b,则有 a b=M ,则有 log c a log c M (c 0, c 1)log c alog c M log c M即 b log c a log c M ,即 b —，即 log a M —(c 0,c 1) log c a log c a当然，细心一些的同学会发现 (1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个 重要的结论：【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化：【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重 要手段. 举一反三：【变式1 ］求下列各式中x 的值：11c C__2(1)log 16x -(2) log x 8 6(3)lg1000=x(4) -2ln e x2【答案】(1) 1； (2) 72; (3) 3; (4) -4.4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数哥的运算性质求出x.1212( 1) 11⑴ x (16) 2(42) 2 4 241 1；41111(2)x 6 8,所以 x (x 6)6(8)6(23)622 拒；⑶10x=1000=103,于是 x=3;x2x 2 二 2(4)由 2ln ex,得 -lne,即e 2e 所以 x 4.【变式2】计算：10g 2 4;10g 2 8;10g 2 32并比较. 【答案】2 3 52【解析】1og 2 4 log 2 2 2;lo g aNalog a blog b a(a 0, a 1,b 0, b 1).⑴10g 216 4； (2) log 1273【解析】运用对数的定义进行互化3 13； (3) log 3 x 3； (4)5 125； (5)21 2；1 2 Q(6)-9.341 - 31⑴2⑹⑵32九⑶石x ；(4)l0g5125 3；⑸10g2万1； (6)log 」923log 28 1og 2 25log 2 32 log 2 2类型二、利用对数恒等式化简求值【解析】将骞指数中的乘积关系转化为骞的骞，再进行运算类型三、积、商、哥的对数 例3.用log a X, log a y, log a Z 表示下列各式厂⑴logaA;(2)log a (x 3y 5);(3)log a—;(4)log 【解析】(1) log a ^y log a x log a z x 、y 23-log a 3 =10g a (x y) log a '. Z 210g a\Z【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确 地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、哥的对数运算对应着对 数的和、差、积得运算. 举一反三： 【变式1】求值3；例2.求值: 【答案】35 【解析】71【总结升华】 举一反71 10g 75 log 757 710g 7 5对数恒等式a 7 5log a NN35.中要注意格式：①它们是同底的； ②指数中含有对数形式； ③其值为真数.log a blog b clog c N 的值(ab, cC R+,且不等于 1, N>0)log a b log b c log c N alog a b 10g b e(a )log c N(b10g b e )1og c N c log c Nyzy 1og a Z ；(2) (3) 3 5 3 .— 510g a (x y ) log a x 10g a y10g a — 10g a X 10g a (yz) yz 310g a X 11”2lOg a X510g a y ；lOg a y 10g a Z ；(4)1 1x -log a y -lOg a Z .2 3⑴ 210g 5 25 【答案】(1) 3log 264 8log 10122; (2) 1; (3) 2. (2)1g2 lg50+(1g5)2(3)1g25+1g2 1g50+(1g2) 2【解析】⑴2 log 5 25 31og 2 64262 log 5 5 31og 2 2 8 0810g 10I4 18 0 22.(2)原式=1g2(1+1g5)+(1g5) 2=1g2+1g21g5+(1g5) 2=1g2+1g5(1g2+1g5)=1g2+1g5=1(3)原式=21g5+1g2(1+1g5)+(1g2) 2=21g5+1g2+1g21g5+(1g2) =1+1g5+1g2(1g5+1g2)=1+1g5+1g2=2. 【变式2】（1）已知2X(2)已知 10g 2 3 a,3b 3【答案】(1) 1; (2)— 5y 10 ,则 xy 7 ,求 1og 12 56 .ab【解析】（1）2x 5y10 ,x 10g 210, y 10g 510,故答案为:,n 182 x1og 18一 a9 a bx210g 181810g 18 9【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.(3)解决这类问题要注意隐含条件’log a a 1 ”的灵活运用.举一反三：1 【变式 1】求值：⑴(10g 4 3 10g 8 3)(10g 32 10g 9 2)；(2) 10g 8 9 10g 27 32 ； (3) 92【答案】(1) 5 ； (2) 10; (3)-25【解析】(1) (10g 4 3 10g 8 3)(10g 3 2 10g 9 2)x y xylg5 lg2 lg10⑵ Jog 23故 56 23 ab2a 3, 又3b2ab故 log 12 56 33 ab2a 4 2a 2,从而562a 23 ab2 a3 ab12210g 1212 2ab类型四、换底公式的运用例 4.已知 10g l89 a,18b5 ，求 log 36 45 .【解析】 110g l8 9 a,18b5 ，10g 18 5 b,于是 10g 36 4510g 18 45 10g 18(9 5) 10g 18 9 10g 18 5 10g 18 36 10g 18(18 2)1 10g 18 2a b7718 110g18 W9解法二：.10g 189 a,18b 5，10g 18 5 b,是 1og 36 45 10g 18 45 10g 18(9 5)10g 18 9 10g 18 5 10g183610g 18 解法三：.1og 1891g 4510g 36 45 1g36 b .a,18 51g(9 5)18291g9 1g9 210g 18 18 10g 18 9a1g18,1g5b1g18 ,1g5 1g解法四：110g l8 9 又 118b5, 45 令 log 36 45 x,贝U182918a21g18 1g9a1g18 b1g18 21g18 a1g189.36即36x 吕百)a 18 18bt 18a18ab. 45 18ab,b,(曳)x18ab9b. 10g 3 5Z l0g 2 310g 2 3()(log3 210g 2 4 10g 2 8(2) log 8 9 log 27321g9 Ig8 10g 3 2log 39 lg 32 lg27 log 2 3 log 2 3 21g 3 3lg2 110g 3 5 ⑶法一：921 2(- log 3 5) 3 2251g 2 3lg33310 9喇2萼） 31 log 32510g3 25251 I 匚 10g 3 5 法二：921 1 log g 2592195 910g 9 25 3 25 类型五、对数运算法则的应用 例5. （2016春安徽桐城市月考） (1) 计算：（丝严 9log 232 112" ,3log 2 3 10g 94(2) 1g14 21g 3 lg7 lg18 (3) 10g 2(log 2 32 lo g 3 1 log 4 36)42(4) 若 log 2 x log 4(x 2),求 x 的值. 【思路点拨】（1） （2） （3）利用指数与对数的运算法则即可得出; （4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出. (1) 3；⑵ 0； (3) 3； (4) (1)原式（3）20.5 (2) , -5 - log 2 2 2 32 lg3 2lg lg2 2lg 36 113 3 3 (2)原式=1g(2 7) 2(1g7 lg 3) lg7 =lg 2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3 lg(32 lg2 02)(3)原式=10g 2(5 log 2 32\1 log 22 6 )4 210g 2(5log(4) log 2 x log 4(x 2) 5 356 10g23- 10g3 2 -；3 2 log 2 6) log 2 8 3 4,Igx . lg2lg(x 2) lg4 ' ,igx. lg21g(x 2)2lg 2 x 2, 解得x= — 1或x=2, ,. x> 0, . ・ x=2 举一反三:【变式1】求值：71g21 1g —(12) 10【解析】71g2另解：设71g21g(1)1021 1g(1) 10210g7 2而710 11g 7 17 (2)(71Og72)1Og710111X 1o g710(2 5)2 2.•• 1g 2 1g 7•1-1g2=1gm , 例6.设函数=m (m>0). 1- 1g 71g2.7.1, .一1g ——1g —1gm，.二1g 210 21g工2=m ,即71g 2(-) 102af(x) 1g(ax) 1g 2 x(1)当 a=0.1,求 f (1000)的值.(2)若 f (10) =10,求 a 的值；【思路点拨】(1)当a=0.1时,f(x)af (10) 1g(10a) 1g — (1100(1) — 14； (2) a 104或a(1)当 a=0.1 时, f(x). 1••• f (1000) 1g100 1g —7⑵•• f(10)1g(10a) 1喂1g2a 1ga12 0(1g a 4)(1ga 3) 01ga4 或1ga 34 . 3a 10 或a 10举一反三：【变式1】若a,b是方程2(1g x)2【答案】12【解析】原方程可化2t24t 1 0. 11t22,t1t2由已知a,b是原方程的两个根,则t1 1g a,t2 1g b ,即1g a 1g b 1g(ab) (1og a b 1og b a) (1g a1 1g—叱)101g7 (1g7 1)(1g 2) 1g m,1g(0.1x)x=1000代入可求1g a)(1ga2) 1g2a 1g a 2 10,可求1g a ,进而可求10 311g(0.1x) 1g祓7) 14(1 1g a)(1g a 2) 1g2 a1g x4 1 0的两个实根，求1g a 21g(ab)10(1og a b 1og b a)的值.为2(1g x)241g x 1 012设1g x t 则原方程化为1 2,1g a 1gb -,21gb)她地1ga1gblg a lg b lg b lg a=lgalg a lg b2lg b lg a 2lg algb lgb - ------ ------- .. —lg alg b22=2 —2 1 产12.2即lg ab log a b log b a 12. 【巩固练习】1.有以下四个结论：①lg （lg10）的是（）A.①③B.②④=0;② ln (lne) =0;③若 10=lgx ,贝UC.①②D.③④x=10; ④若e=lnx,则x=e2,其中正确2.下列等式成立的有（①lg100 2 ；② log3 3石;③ 210g255；④ e ln e 1；⑤ 31g33；A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④⑤3,已知3a 2,那么脸8 2log3 6用a表不是（B. 5aC. 3a (1 a)2D. 3a4. （2016杭州模拟）已知2x 72y2, 则A的值是（B. 772C. 7^2D. 985.若y log 5 6 log 6 7 10g78 10g89 10g910,A. y (0,1) B. y (1,2) C. (2,3)D. y (3,4)6.设a1 A .一c b, c为正数，且3a=4b=6c,则有（1 2— B.—b cC.27.若lg a ,lg b是方程2x 4xD.0的两个实根,则ab的值等于A. 2B. 1C. 1002 D. ,108.已知函数 f （x）满足：当x 4 时，f(x);当乂4时，f（x）f(x 1),则f(2 10g23)=()1A . 一241B. 一121C.一8D. 19.已知a24一,贝U log 2 a9 310 . (1) log 281 log 216 log 2 2011 .已知 a=0. 33, b=30 3, c=1og 30. 3, d=1og o 33,则 a, b, c, d 的大小关系是12 .已知 f(3x ) 4x1og 23 233,则 f (2) f(4) f(8) f (28)的值等于.13 .计算：(1) 10g 2(4725) lg^WQ 10g 23 10g 34.⑵若a b1g 32 1g 35 31g 2 1g5,求 3ab a 3b 3.14 .已知实数x 满足32x 4 103x19 0且f(x) 10g 2x log 方近 3 22(1)求实数x 的取值范围；(2)求f (x)的最大值和最小值，并求此时 x 的值.15 . 2010年我国国民生产总值为 a 亿元，如果平均每年增长 8%,那么经过多少年后国民生产总值是 2 倍(1g 2 0.3010,1g1.080.0334,精确至U 1 年)？(2) 7 log 7 6 10g 6 510g 54log 2 30=2010年的【答案与解析】1 .【答案】C【解析】由log a a 1,log a 1 0知①②正确. 2 .【答案】B1 2【解析】lg ——lg10 2;1003 .【答案】A3【解析】原式=log 3 2 2(log 3 2 1) = log 3 2 2 a 2 ,故选 A. 4 .【答案】B1 1【解析】2x 72yA,且一一2,x ylog 2 A x, log 49 A y ,1 1, c , c , cc c•• 一 一 log A 2 log A 49 log A 98 2 , x y.2___•• A 98,解得A 7,2, 故选B. 5 .【答案】B故选B.2【解析】••• lg a ,lg b 是万程2x 4x 1 0的两个实根,4由韦达TE 理得：lg a lg b —— 2 ,2ab=100. 故选C.点评：本题考查对数的运算，由题意得到 lga lgb 2是解决问题的关键.8 .【答案】A【解析】由于1 log 2 3 2 ,所以3 2 log 2 3 4 ,lg 6 Ig7 Ig8 Ig9 lg5 lg6 lg7 lg8lg10 lg910g 510 1 log 5 2 , 因为0 log 5 2 1 ,所以1 y 2,6.【答案】B【解析】设3a =4b=6c =k ,贝U a=log 3k, b=log 4k, 1 1 1.1 • • — ----- log k 3,同理一log k 4 ,— a log 3 k bc一 1 11 1而一log k 2,- log k 3 logk 2 ,，— — 2bcc ac=log 6k,log k 6,2b解得 32x 410 3x 2 9 0,则 f(2 log 23) f(2 log 23 1) f(3 log 23)9 .【答案】44 【解析】因为a 2-, 910 .【答案】 (1) -3; (2) 4.一，一， 2 故答案为：212;522⑵ a b (1g2 1g5)(1g 2 lg 21g5 lg 5) 31g 21g52 ___2lg 2 21g 21g5 lg 521g2 1g512 2 _ . 2,(a b)(a ab b ) 3ab = a b 114 .【答案】(1) 2WxW4； (2)当 10g 2X 。
高中数学核心素养在知识点的提升：4.对数平均数的不等式链的几何解释及应用
对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学训练专家安振平先生在剖析2022年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a ba b+->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明白对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深化地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，依据左图可知，由于ABNM ABQPABFES S S 矩形曲边梯形梯形，所以12ln ln ,badx b ab a xab①又1ln ln ab AUTPaS dx ab a x曲边梯形，11ln ln 22ABQP b a S 曲边梯形， 11111222AUTPABCD b a S abaS aabab梯形梯形， 依据右图可知，AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln bab aab， ② 另外，ABQX ABYP ABQPABQPS S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：11111ln ln ,2b a b ab ab a baba③综上，结合重要不等式可知：211111ln ln 2b a ba b ab ab ab a ba ba baab ，即20112ln ln a bb a baba b a b aab. ④2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，供应了多种奇妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以依据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.10ln ln b a ba ab a的应用例1（2022年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）由于()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 依据0ba时，ln ln b abb a ，即1ln ln ,ba b a b令,1,an bn 则1ln 1ln ,1n n n所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+， 将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度实行多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其其次问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤照旧繁琐，求解过程简单，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于同学理解、把握．当0ba时，ln ln b aa b a，即1ln ln ,b ab a a令,1,a n bn则1ln 1ln ,n nn可得：111ln 1123n n. 例2 （2022年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．依据0b a 时，ln ln b abb a，即1ln ln ,bab a b令21,21,a n bn 则22ln 21ln 21,21121n n n n2ln 3ln1,32ln 5ln 3,52ln 7ln 5,,72ln 21ln 21,211n n n将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.22202ln ln b b abab a的应用例3 设数列{}n a 的通项n a =，其前项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 依据0ba222ln ln b b ab a，即222ln ln b a b aab，令1,,b n an 则222ln 1ln 1n nnn 22221nn22222n a nn ，易证()ln 1n S n <+．2.302ln ln a bb aba b a的应用例4 设数列{}n a 的通项111123n a n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 依据0ba 时，2ln ln a bb ab a，即2ln ln b ab aa b，令21,21,b n a n 则1ln 21ln 21n n n，易证()ln 21n a n <+． 2.42011ln ln b a b a b aab的应用例5 （2010年湖北）已知函数0b f x axc a x的图象在点1,1f 处的切线方程为1y x ．（1）用表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：1111ln 11.2321nn nnn解析 （1）1,12b a c a ；（3）当0b a时，211ln ln b ab aab，即111ln ln 2b ab a a b，令,1,a n b n 则111ln 1ln ,21n nn n所以111ln 2ln1,212111ln 3ln 2,223，111ln 1ln ,21n nnn将以上各不等式左右两边分别相加得：111111ln 1,223421n n n即111111ln11,234212n nn 故1111ln 1.2321nn nn例6 （2021年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n na a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2)当0ba时，211ln ln b ab aab，即111ln ln 2b ab a a b，令,1,a n b n 则 111ln 1ln ,21n nn n所以111ln 1ln ,21n nnn111ln 2ln 1,212n n n n111ln3ln 2,223n n n n111ln 2ln 21,2212n n n n将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n nn n n n n n即111111ln 2,2123214nn nn n n故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题供应标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k =，有()121111ln 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.50ln ln b aab b a b a的应用例7 （2022福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数均成立． 解析 （2）依据0b a时，ln ln b aab b a，即ln ln ,b ab aab令21,21,b n a n 则22ln 21ln 21,41n n n变形可得：2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n 则 212ln 3ln1,4411213ln 5ln 3,,4421211ln 21ln 21,441n n n n 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数均成立． 评注 本题供应标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能留意到两种方法的区分吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机灵.这里的领悟解题的数学机灵从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发觉还在于我们对问题信息的端详和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，查找其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。
数学高一对数的知识点归纳
数学高一对数的知识点归纳在高中数学中，对数是一个非常重要的概念，它在很多数学题目中都扮演着重要的角色。
本文将对高一数学中对数的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握对数的基本概念和性质。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数是指数运算的逆运算。
设 a 为正实数，且a≠1，b 为正实数，则满足 a^x = b 的方程 x 称为以 a 为底 b 的对数，记作x=logₐb。
2. 对数的性质（1）对数的底数不得为 0 或 1。
（2）对数可以转化为指数形式，即 a^x = b 等价于x=logₐb。
（3）对数运算中常用的性质有对数之和等于取对数之积、对数之差等。
（4）常用对数的底数是10，自然对数的底数是e≈2.718，其中e 是自然对数的底数。
二、对数的运算1. 对数的乘除法（1）对数的乘法性质：logₐ(mn) = logₐm + logₐn。
（2）对数的除法性质：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn。
2. 对数的幂次法则（1）对数的幂法则：logₐ(m^k) = klogₐm。
（2）对数的根法则：logₐ√(m) = 0.5 * logₐm。
3. 对数的换底公式（1）换底公式1：logₐm = logᵦm / logᵦa。
（2）换底公式2：logₐm = logc(m) / logca。
三、对数方程和对数不等式1. 对数方程的解法对数方程是形如logₐm = n 的方程，可以通过变换为指数形式求解。
例如，对于方程 log₃(2x+1) = 2，可以转化为 3^2 = 2x+1，进而求得 x 的值。
2. 对数不等式的解法对数不等式是形如logₐm < n 或logₐm > n 的不等式，可以通过构造指数形式来解决。
例如，对于不等式 log₂(x+1) > 2，可以转化为 2^(x+1) > 2^2，通过求解不等式得到 x 的取值范围。
四、常用对数和自然对数1. 常用对数常用对数是以 10 为底的对数，记作 log(m) 或 log10(m)。
基于核心素养的对数函数教学设计
基于核心素养的《对数函数》教学设计一、教材分析函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一 .本节内容是在学生已经学过指数函数、对数的基础上引入的，既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解 .对数函数在生产、生活实践中都有许多应用 . 本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识 . 二、教学目标(一) 知识与技能：1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
2．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
3．知道指数函数xay=与对数函数xyalog=互为反函数（1,0≠>aa）。
（二）过程与方法：1．通过与指数的比较，引出对数的定义、运算性质，使学生亲身经历推理、归纳的过程。
2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点。
3．通过对数函数图像和性质的学习，渗透数形结合、分类讨论、类比等数学思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力。
（三）情感态度价值观：1．通过指、对数函数图像间的关系，对学生进行对称美，简洁美的审美教育。
2．通过指数函数类比研究对数函数，使学生体会知识间的有机联系，激发学生的学习兴趣，增强学习的积极性，养成良好的思维品质。
3．通过师生间的相互交流，培养学生的合作精神。
三、教学重点与难点1. 教学重点: 对数函数概念、图象和性质.2. 教学难点: 类比指数函数，探索、概括对数函数的性质.四、教学方法与手段：1．启发研讨法：采用“问题情境——建立模型——解析、讲解——探讨研究——拓展与应用”的模式展开教学。
高中数学核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几何证
高中数学核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几何证对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平指出，其理论背景是：如果b>a>0，则b>a+bb-a>>2lnb lnaab>211+AB>a，其中a?b被称为“对数lna？LNB平均值“安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.对数平均数不等关系的几何解释反比例函数f?x??1?x?0?的图象，如图所示，ap??bc??tu??kv，mn??cd??x轴，x1??1??1a?b2?作在点fxa?a,0?,p?a,?,b?b,0?,q?b,?,t?ab,,k,处的切线分别与?ab??a??b2a?b?ap,bq交于e,f，根据左图可知，因为它是弯曲的梯形abqp，所以>s梯形abfe=s矩形abnm，2（b？a）。
①A.Bxab1dx？lnb？lna？S曲线梯形autp？？ABA1111DX？lnab？lna？（lnb？lna）？S曲线边abqpx22s梯形autp?1111b?a(?)(ab?a)??2a2abab根据右图可知，s曲边梯形autp此外，s矩形abqx11111(b?a)?lnb?lna?(?)(b?a)?(b?a)③总的来说，结合重要的不等式，我们可以知道：b>A+bb-A>>2lnb lnaab>211+AB>A （b>A>0）④2对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均不等式链为落点的最后一道试题相继出现，如湖北卷2022、天津2022、新课标I 2022、陕西卷2022、福建预赛2022、绵阳2022的第一、第三诊断、合肥最后一卷2022、等等。
对对数平均不等式链的变异探索十分必要为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式A+bb-A>，用公式表示①; 将2lnb-lnab-a>LNB lnaab写成公式②; 将b>b-a2>写成等式③lnb-lna11+abx1?x2x2?x1.于是，可编制如下试题：已知?2lnx2?lnx1变式探究1：取a?x1,b?x2，则由①知：x2？x1？0，验证：lnx2？lnx1？2（x2？x1）。
第21讲对数平均不等式及其应用导数专题提升讲义)
第14讲 对数平均不等式及其应用整理：广西南宁覃荣一、对数平均不等式及其证明设0b a >>，则211ln ln 2b a a b a b b a a b-+<<<<<-+，其中ln ln b a b a --叫做对数平均数，2a b+叫做几何平均数，211a b+叫做调和平均数，ln ln 2b a a bb a -+<<-称之为：“对数平均不等式”．ln ln 2b a a bb a -+<<-． （1ln ln b ab a-<-．ln ln b ab a -<-得ln ln b a -<，即ln b a <．记t =12ln t t t <-(1)t >．令1()2ln f t t t t=-+(1)t >， 221()1f t t t'=--2221t t t -+-=22(1)0t t --=<， 所以()f t 在(1,)+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1()2ln 0f t t t t=-+<恒成立，即lnb a < （2）再证ln ln 2b a a bb a -+<-． 由ln ln 2b a a b b a -+<-得2()ln ln b a b a a b --<+，即2(1)ln 1bb a b a a-<+．令b t a =(1)t >，则有2(1)ln 1t t t -<+(1)t >，设2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >，22214(1)()0(1)t(1)t g t t t t -'=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞递增，而(1)0g =， 因此当1t >时，2(1)()ln 01t g t t t -=->+恒成立，即ln ln 2b a a bb a -+<-． 本证法，通过比值换元构造函数，再利用函数的单调性来证明不等式，这种把双变量变为单变量的方法是证明不等式的基本方法．几何意义：首先，我们先对对数平均不等式进行变形：2ln ln 1a b a b a b ab-<<+-，ln ln a b a b --表示经过曲线ln y x =上两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b 的直线斜率，2a b +表示曲线ln y x =在2a bx +=ab表示曲线ln y x =在x ab = 由此可知2ln ln a b a b a b ab-<<+-的几何意义是：曲线ln y x =上两点连线的斜率大于曲线ln y x =在两端点横坐标算术平均数处的切线的斜率，小于曲线ln y x =在两端点横坐标几何平均数处的切线的斜率．于是ln ln 2a b a bab a b -+<-的几何意义为： 对于曲线ln y x =上任意两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b ()a b <，在区间(,)a b 上都存在唯一实数0x ，使得曲线ln y x =在0x x =处的斜率等于割线AB 02a bab x +<<，这里的0x 就是a ，b 的对数平均，(这个表述实际上就是高等数学里的拉格朗日中值定理)拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数()f x 满足下列条件：①()f x 在闭区间[,]a b 上连续；②()f x 在开区间(,)a b 上可导，则在 (,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．拉格朗日中值定理的几种常见表达形式：①()()()()f b f a f b a ξ'-=-，b a ξ<<；②()()[()]()f b f a f a b a b a θ'-=+--，01θ<<； ③()()()f a h f a f a h h θ'+-=+，01θ<<．对数平均不等式主要是用来处理一些与指数、对数有关的不等式问题． 对数平均不等式解题范式：下面以“已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点为1x ，2x ，求证：12()02x x f +'< ”为例说明一下对数平均不等式解题范式． 步骤1：构建等量关系式．因为1x ，2x 是函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点，所以12()()0f x f x ==，即22111222ln (2)ln (2)x ax a x x ax a x -+-=-+-．步骤2：对等量关系式进行处理．对题目给出的是含自然底数的指数形式，我们通常需要把指数分离出来，然后再对等式两边同时取对数，而像本例本身就是含有自然底数的对数形式，不需要再进行两边取对数，我们通常把对数ln x 分离出来即可：22121221ln ln (2)(2)x x ax ax a x a x -=-+---．步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解．变形可得：12121212ln ln ()()(2)()x x a x x x x a x x -=+----，转化出对数平均数（或它的倒数）：2121121ln ln ()2x x x x a x x a -=-++-．步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．本题目标：证1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，故工具的选择上应该是 ln ln 2b a a bb a -+<-，即211221121ln ln ()22x x x x x x a x x a -+=<-++-，再把12x x +当一个整体解出来代入目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，从而证明目标． 当然，考虑到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+的结构形式，将目标变形为：12122()2a x x a x x ++->+，步骤3转化出对数平均不等式的倒数212112ln ln 2x x x x x x ->-+，即12122()2a x x a x x ++->+更加有利于后面的操作，只需将12122()2a x x a x x ++->+左边移到右边，即可得到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+．二、对数平均不等式在极值点偏移中的应用类型一：不含参数的极值点偏移问题【例1】（2010年高考天津理科第21题（3））已知函数()xf x xe-=()x R ∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．解析：由12()()f x f x =得1212x x x ex e --=，又12x x ≠，所以1x 和2x 同号，当0x <时，()(1)0xf x x xe -'=->，()f x 单调递增，若10x <，20x <，则由12()()f x f x =得12x x =，这与题设不符，所以10x >，20x >． 将等式1212x x x e x e --=两边同时取以自然对数得1122ln ln x x x x -=-，即2121ln ln x x x x -=-，所以21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得12212112ln ln x x x x x x +->=-，即1212x x+>，所以122x x +>．下面证明121212ln ln 2x x x xx x -+<-．证明：（比值换元+构造函数）11122212122(1)2()ln1x x x x x x x x x x -->=++，构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，所以214()(1)g t t t '=-+22(1)0(1)t t t -=≥+，所以()g t 是增函数，又因为121x x >，所以12()(1)0x g g x >=，即1122122(1)ln1x x x x x x ->+，故121212ln ln 2x x x xx x -+<-成立，命题得证． 【方法小结】利用对数平均不等式解题的一般步骤：步骤1：构建等量关系式；步骤2：对等量关系式进行处理；步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解；步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．在这特别强调一下：利用对数平均不等式证明的时候，必须要证明一下对数平均不等式．本文为了节约篇幅，今后都把证明对数平均不等式省略，特此说明．【变式训练1】已知1212ln ln x x x x =12()x x ≠，求证：212x x e >．解析：设1212ln ln x x a x x ==，则1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式相减得1212ln ln ()x x a x x -=-，即1212ln ln x x a x x -=-，不妨设12x x >，所以212x x e >两边取对数得12ln ln 2x x +>，由等比性质知结合1212ln ln x x a x x ==可得：1212ln ln x x a x x +=+，1212ln ln ()x x a x x +=+，故命题等价于证明12()2a x x +>成立，将1212ln ln x x a x x -=-代入12()2a x x +>得121212ln ln ()2x x x x x x -+>-，即121212ln ln 2x x x x x x -+<-，这就是对数平均不等式，显然成立． 类型二：含参数的极值点偏移问题【例2】已知函数2()ln f x x x ax =-+．（1）当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 为递减函数，求a 的取值范围；（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：12()02x x f +'<． 解析：（1）1a ≤（过程略）．（2）证明：由1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，所以21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得：22221211ln ()()0x x x a x x x --+-=，所以211221ln()x x a x x x x =++-， 所以12()2x x f +'2112121221ln22()x x x x a x x x x x x =-++=+++-212121212()ln x x xx x x x x --+=-， 要证12()02x x f +'<，只需证2121212()ln 0x x x x x x --<+即可． 解法一（对数平均不等式）由2121212()ln 0x x x x x x --<+变形得211221ln ln 2x x x x x x -<+-．由对数平均不等式可知，上式显然成立．解法二（比值换元+构造函数）由2121212()ln 0x x xx x x --<+变形得2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，记211x t x =>，则有2(1)ln 1t t t ->+(1)t >，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+(1)t >， 22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++(1)t >，()h t 在(1,)+∞单调递增，∴2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，∴2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，∴12()02x x f +'<．【方法小结】本例跟例题1相比，要构建对数平均数（或它的倒数）的障碍就是参数m ，所以这种含参数的应该首先消去参数再按照常规的对数平均数解题范式进行解题． 【变式训练】（2016年4月湖北七市教科研协作体高三文科第21题） 已知函数1()ln f x m x x=--()x R ∈，若恰有两个零点1x ，2x 12()x x <，求证：122x x +>． 解析： 1x ，2x 是()f x 的两个零点，∴ 11221ln 1ln m x x m x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得121211ln ln x x x x +=+，即212112ln ln x x x x x x -=-，所以2121121ln ln x x x x x x -=-， 又由对数平均不等式得2121ln ln x x x x -->即121x x >，则121x x >，所以122x x +>>，命题得证． 三、对数平均不等式在双变量中的应用【例1】（2015年合肥高三模拟最后一卷）已知函数()ln f x x kx =-()k R ∈． （1）若0k >，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的两个相异的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．解析：（1）()f x 的单调增区间为1(0,)k ；减区间为1(,)k+∞，过程略． (2)证明：因为1x ，2x 是函数()y f x =的两个相异的零点，必有0k >，不妨设210x x >>则有1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩，两式相减得：2121ln ln ()x x k x x -=-，可得 2121ln ln x x k x x -=-．要证212x x e >，即证：12ln ln 2x x +>，将1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩两式相加得1212ln ln ()x x k x x +=+，故只需证1212ln ln ()2x x k x x +=+>，即2121ln ln x x k x x -=-122x x >+，由对数平均不等式211221ln ln 2x x x xx x -+<-可知上式显然成立．【方法小结】用对数平均不等式解决双变量的不等式证明问题时，解题的模式还是用范式的步骤来解．这种问题往往需要对证明目标进行变形，然后将对数平均数对变形的结果进行整体代换即可．【变式训练2】（2015江南十校联考部分）已知函数()ln f x x ax =-．若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴，且11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明：211111k x x -<<-． 证明：由题意知，1()f x a x '=-，1(1)01f a '=-=，即 1a =，所以()ln f x x x =-． 直线AB 的斜率为2122112121(ln )(ln )y y x x x x k x x x x ----==--2121ln ln 1x x x x -=--．故要证211111k x x -<<-，即证21111k x x <+<，只需证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，由对数平均不等式知211221ln ln 2x x x x x x -<<+- 又12x x <，所以22212122x x x x x =<++，11x <=，故有212211ln ln 11x x x x x x -<<-，命题得证．四、对数平均不等式在证明数列不等式中的应用 1、应用ln ln b aa b b a-<<-(0)a >证明数列不等式．由对数平均不等式ln ln 2b a a b b a -+<<-(0)a b <<，可得ln ln 2b a b bb a -+<<-，即ln ln b a a b b a-<<-(0)a >．【例1】（2014年陕西卷理科第21题）设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x '=，0x ≥，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）导1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，n N +∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析：（1），（2）略；（3）证法一：（利用ln ln b a b b a -<-放缩证明）由题意，得()1xg x x=+，所以 12(1)(2)()231n g g g n n +++=++++111()231n n =-++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，因此，只需比较12231nn ++++和ln(1)n +的大小关系即可．现证12ln(1)231nn n +>++++．当0b a >>时，有ln ln b a b b a -<-，即1()ln ln b a b a b-<-，令a n =，1b n =+，则1ln(1)ln 1n n n <+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：1ln 2ln12<-， 1ln 3ln 23<-，1ln 4ln 34<-，，1ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上式子左右两边分别相加可得：111ln(1)231n n +++<++，故12ln(1)231nn n +>++++得证，从而命题得证． （证法二：由对数平均不等式的单变量形式证明）由题意，得()1xg x x=+，所以12(1)(2)()231ng g g n n +++=++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，由1(1)1ln 21()2g f n =>-=-进行猜想，有(1)(2)()()g g g n n f n +++>-，该不等式等价于12231nn ++++ln(1)n <+．由对平均不等式的单变量形式：当1x >-时，恒有ln 1x x x ≥+，可知当0x >时，恒有ln(1)1xx x +>+，令1x k =，有11ln(1)11k k k+>+，即1ln(1)ln 1k k k +->+，其中k N +∈，于是有111[ln(1)ln ]()1n nk k k k k ==+->+∑∑，即12ln(1)231nn n +>++++，猜想得证． 【方法小结】本题作为压轴题，难度较大，题目采取多步设问，层层递进的方式出题，上一 问的结论可用于下一问，其中第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，但是还是步骤繁琐，求 解过程复杂．在这里，证法一利用对数平均不等式的变形ln ln b ab b a-<-，进一步变形为1()ln ln b a b a b-<-，再根据所要证明的式子的需要，对a ，b 进行赋值a n =，1b n =+ 从而使问题大大地简化，易于被学生接受．证法二则是利用对数平均不等式的单变量形式来 证明，这需要学生掌握对数平均不等式的单变量常见的几种形式：①当01x <≤2(1)ln 1x x x -≤≤+；②当1x ≥时，恒有2(1)ln 1x x x -≤≤+事实上，对于这两个命题，当1x =时，是显然成立的．当1x ≠ln ln 2b a a bb a -+<<-， 令1a =，b x =11ln 2x x x -+<，再注意到ln x 正，负两种情况，容易得到这两 个命题．③当1x >-时，恒有ln 1x x x ≤≤+，现证这个结论如下： 证明：当0x >时，(1)1(1)11ln(1)12x x x +-++<<<+-112xx =+<+，即11ln(1)1x x x <<++-⇔ln(1)1xx x x <+<+．当10x -<<时，(1)1(1)11ln(1)ln12x x x x +-+++<<<+-112x=+<，即11ln(1)x x x +<<+⇔11ln(1)x x x x <<++⇔ln(1)1xx x x <+<+，当且仅当0x =时等号成立．【变式训练1】（2012年天津卷理科第20题）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >． （1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （3）证明：122ln(21)222121ni n i n =-+<-<-+∑ ()n N*∈．解析：(1)、（2）略；（3）证明：由(1)知，1a =，所以待证不等式等价于：2222ln(21)35721n n ++++<+-． 当0a b <<时，ln ln b a b b a -<-，变形得1()ln ln b a b a b-<-，令21a n =-，21b n =+，则22ln(21)ln(21)2(1)121n n n n =<+--+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：2ln 3ln 23<-，2ln 5ln 35<-，2ln 7ln 57<-，，22(1)1n +-ln(21)n <+ln(21)n --，将以上式子左右两边分别相加得：2222ln(21)35721n n ++++<+-， 即12ln(21)221ni n i =-+<-∑ ()n N *∈．2．应用211ln ln b ab aa b-<-+(0)b a >>证明数列不等式．[例2] （2013年大纲卷理科第22题）已知函数1()ln(1+)1x x f x x xλ(+)=-+．(1)若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；(2)设数列}{n a 的通项111=1+23n a n +++，证明：21ln 24n n a a n -+>． (1) 解析：由已知(0)0f =，2212()1x x f x x λλ(-)-'=(+)，(0)0f '=． 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，()0f x '>，所以()0f x >．若12λ≥，则当0x >时，()0f x '<，所以当0x >时，()0f x <．综上，λ的最小值是12．(2) 证法一：(利用211ln ln b ab a a b-<-+证明)： 当0b a >>时，211ln ln b ab a a b-<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-， 令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +- 111()21n n <++，所以，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，ln(2)ln(1)n n +-+ 111()212n n <+++，ln(3)ln(2)n n +-+111()223n n <+++，， ln 2ln(21)n n --111()2212n n<+-，将以上不等式左右两边分别相加得： 111111ln 2()2123214n n n n n n <+++++++++-11111122124n n n n n=+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证． 证法二：(对数平均不等式的单变量形式证明)：由命题2知，当1x >时，有ln x <，令2x t =，可得12ln t t t <-(1)t >，再令1k t k +=，得112ln 1k k kk k k ++<-+ 111k k =++，即1111ln ()21k k k k +<++，分别令k n =，1n +，2n +，，21n -，得到n 个不等式，两边叠加，化简得111ln 2ln 21n n n n -<⋅++，两边叠加，化简可得ln 2ln n n -<1111212n n n ⋅++++1112122n n+++⋅-11111122124n n n n n =+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证． 证法三：(利用第一问结果证明）令12λ=．由(1)知，当0x >时，()0f x <，即2ln(1)22x x x x (+)>++，取1x k =，则211>ln 21k k k k k ++(+)， 于是212111[] 422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑212121n k n k k k -=+=(+)∑211ln n k nk k -=+>∑ln 2ln ln 2n n =-=，所以21ln 24n n a a n-+>．【方法小结】方法二利用对数平均不等式的单变量形式ln x <，先对x 赋值变形2x t =，再对t 进行赋值1k t k+=，构建对数不等式，最后对k 进行赋值，这个思路不宜想 到，另外操作赋值过多，难度较大；方法三借助第一问12λ=，2ln(1+)22x x x x(+)<+(0)x ≥，加以赋值，并进行变形，令1x k=，121111ln(1)<()2121k k k k k k ++=+(+)+，即ln(1)ln k k +- 111()21k k <++从而达到放缩的目的；方法一利用对数平均不等式衍生211ln ln b ab a a b-<-+，再变形为111ln ln ()()2b a b a a b-<+-，再结合结论进行恰当赋值令a n =，1b n =+，相对其他两种方法而言，还是比较容易操作．【变式训练2】（2010年高考湖北省理科数学第题）已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线为1y x =-． （I ）用a 表示b ，c ；（II ）若()ln f x x ≥在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ (1)n ≥．解析：（I ）1b a =-，12c a =-；（II ）1[,)2+∞（端点效应+分类讨论）．（III ）证明：当0b a >>时，211ln ln b ab a a b -<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-，令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +-111()21n n <++，所以， ln(1)ln n n +-111()21n n <++，因此111ln 2ln1()212-<+，111ln 3ln 2()223-<+， ，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，将以上不等式左右两边分别相加得： 11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++，即11ln(1)123n +<+++1112(1)2n n ++-+，可化得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++，命题得证．3ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式． 【例3】设数列}{n a 的通项公式n a =n 项和为n S ，求证：ln(1)n S n <+．证明：当(0)b a >>ln ln b a b a ->-，即ln ln b a ->，令1b n =+，a n =，则ln(1)ln n n +->=n a >>，即ln(1)ln n a n n <+-，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得1ln 2ln1a <-，2ln 3ln 2a <-，3ln 4ln 3a <-，，ln(1)ln n a n n <+-，将以上不等式左右两边分别相加得：122n a a a a ++++(ln 2ln1)(ln3ln 2)(ln 4ln3)<-+-+-+(ln(1)ln )n n ++-，即ln(1)n S n <+．4．应用ln ln 2b a a bb a -+<-(0)b a >>证明数列不等式．[例4]设数列}{n a 的通项公式111123n a n=++++，证明：ln(21)n a n <+．证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a b b a -+<-，2()ln ln b a b a a b -->+，令21a n =-，21b n =+，则1ln(21)ln(21)n nn+-->，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得：ln3ln11->，1ln 5ln 32->，1ln 7ln 53->，，1ln(21)ln(21)n n n+-->，将以上不等式左右两边分别相加化简得：111123n++++ln(21)n <+，ln(21)n a n <+．【变式训练】（2102年高考湖北文科第题）设函数()(1)nf x ax x b =-+ (0)x >，n 为正整数，a ，b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的最大值（3）证明：1()f x ne<．解析：（1）1a =，0b =；（2）1(1)nn n n ++； （3）证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a bb a -+<-，令a n =，1b n =+，则(1)ln(1)ln n n n n +-+-(1)12n n n ++<<+，即(1)ln(1)ln n n n n +-+-1n <+，所以1ln(1)ln 1n n n +->+，即 11ln 1n n n +>+，该不等式两边同乘以1n +得11ln()1ln n n e n ++>=，即11()n n e n++<，所以11(1)n n n n ne +<+，由（2）知11()(1)n n n f x n ne+≤<+，命题得证． 5．应用ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式．【例5】（2014年福建预选赛）已知函数1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈． 解析：（1）a 的取值范围为[2,)-+∞．（2）证法一:(利用ln ln b a b a ->-证明）当(0)b a >>时，ln ln b ab a->-，变形得ln ln b a -<21a n =-，21b n =+，ln(21)ln(21)n n +--<，变形可得：2111[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<=<-，对该不等式的n 赋 值1，2，3，，n 得：212(ln 3ln1)4411-<⨯-，212(ln 5ln 3)4421-<⨯-， 312(ln 7ln 5)4421-<⨯-，，211[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<⨯-，将以上不等式 左右两边分别相加化简得：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯- 1ln(21)4n >+，n N +∈． 证法二:(利用第一问进行赋值）由（1）知，当0x >时，有1312ln(1)1x x x +->++，令221x k =-()k N +∈，则有211211ln [ln(21)ln(21)]414214k k k k k k ++>=+--⨯--，对该不等式的k 赋值1，2，3，，n 得：221(ln 3ln1)4114>-⨯-，221(ln 5ln 3)4214>-⨯-，321(ln 7ln 5)4214>-⨯-，，2141n n +⨯- 1[ln(21)ln(21)]4n n >+--，将以上不等式左右两边分别相加化简得： 2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈．【方法小结】证法一本题根据目标1ln(21)4n +和左边式子的通项公式2141n n +⨯-，恰当选择不等式ln ln b a -<，然后再对变量进行赋值21a n =-，21b n =+；证法二利用 第一问可得出的不等式1312ln(1)1x x x +->++进行对变量x 进行赋值令221x k =-，不 等式放缩的目标和通项公式是不等式证明的导航灯，它指引着我们解题工具的选用，赋值的选择，这恰恰是这种问题证明的最难之所在，例3，例4操作的方法也基本上通过这样的路 径来选择不等式证明的工具和对变量进行赋值． 三、巩固练习1．（2016年全国课标卷I 理科第21题）已知函数错误!未找到引用源。
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解1对数平均数不等式链的几何证明1如图，先画反比例函数f（X ）= —（X >0 ）的图象，再画其他的辅助线，其中Xf1MN 11 CD ll x 轴，A(a , 0 ), P (a,—AP,BQ交于点E,F，则根据左图可知:ABFEb 1 2所以J -dx= In b- In a >X因为2曲边梯形AUTPJ -dx= In Tab- In a 二Q X1 12(lnb-In a) = 2边梯形ABQP，S梯形AUTP= 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD，设b> a> 0 ,则b> a+^>2b- a -- >In b- In a 'Tab^-2—1 1a b> a，其中a —b----------- 被称为“对数In a — In b 中学数学教育专家安振平在剖析.基于此，笔者进AP II BC U TU II KV，.设函数f （X）在点(b- a).a+ bS矩形ABNM，因为S a边梯形ABQP > S梯形K F?,走〕处的切线分别与直线b - a 而根据右图可知：S 曲边梯形AU TPv S 梯形AUT P ,所以Inb- I nav —.J ab综上，结合重要不等式可知:X — X求证：In X 2 T 门％<^^^.VX 1X2知 X 2 > X 1 > 0，求证：1一互 < I n X2T n % <X 21(b- a )v4vInb- b' ' a+ bInavb-a屁<1骣 2?吿+1 j b- a )v1(b-a)，即 b>U b- a >2 In b- In aT ab > 2------- > 1 1 —+ - a ba (b> a> 0).2对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如年新课标I 、 2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的 . 2010年湖北卷、 2012年天津、2013 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 ，记为①式；将 In b- In a b- a ---- > In b- In a J Ob ，记为②式；将b> ln b- b- a ---- > In a，记为③式 变式探究1:取a = X i ,b = X 2，则由①知:X 1 +x 2 2X 2-X 1 >In X 2 Tn x 1于是，可编制如下试题：已知X 2 >X i >0， 求证：lnx 2-lnx .>2(X2—X1)X 1 +X 2变式探究2 :取a=x ,,b=X 2，则由②知:X 2 -X 1 In X 2 Tn x 1>7x1x r .于是，可编制如下试题：已知另外，根据S 矩形ABQX < S 曲边梯形ABQP <S弟形ABQP< S 矩形ABYP ，可得:[(b- a ) v Inb- Inav + - j (b- b 2?® b ■ a)<^(b- aa ).X 2 AX j >0， 变式探究 3:取a =捲山=X 2，则由③知:2>—-—.于是，可编制如下试题：已In X 2 Tnx 1 丄 + 丄X 1 X 2X 2> X 2-X 12 2X 2-X 12X 1X 2变式探究4：取 a =X 1 +1,b =X 2 +1，则由①知：（X1+1）+（X2+1）A 区+“^为十.于是，可 " In （X 2 +1） -1 n （捲 +1）编制如下试题: 对任意X i , X 2 € （ —h ），且 X i 工 X 2 , X 2 — Xi X i +X 2求证：In （X 2 +1）-Ind j +1） V —厂 +1.变式探究 5：取a=X i +1,b =X 2 +1，则由②知:朋：肌时丙.于是，可编制如下试题: 对任意X i , X 2 匸（—1, ，且 X i H X 2 , X 2 - X1求证： -------- -- ------- > J X 1X ^ X <l- X ^1 . In （X2+1）—I n （X 1 +1） J变式探究 6:取 a +1,b =X 2 +1，则由③知:一（X2+1） —（X1+1）2 X <H 1 > -------------------------- > ------------ ---In （X2+1）—I n^ +1） 1 + 1人+1 X2+1是，可编制如下试题：对任意 X 1,X 2 忘(一1,母)，且 X 1 H X 2，求证: X 2 —X1 2（X 1+1）（X 2+1）X2 +1 > ---------- = --- : -------- > In （X 2 +1）—I 门（为 +1） 为 +X 2 +2变式探究 7：取a =为-1,b =X 2 -1，则由①知: （x 1 1）rx 2-1）于是, In （X 2—1） —I n （X 1 —1） 编制如下试题: 对任意 X 1, X 2 € （1,邑），且 X 1 HX 2，求证: .4—1. In （X 2 -1） —I 门（为-1） 2 变式探究 =X 1 -1,b =X 2 —1，则由②知:（X 2 -"-（花 一1） In （X 2 -1） jnd j T ） > J （X 1 -1）（X 2 -1）.于是， 编制如下试题: 对任意 X 1,X 2 巳1,+^），且 X 1 KX 2，求证: X 2 — X1 In （X 2 T ）Tn （为 T ） > J X ,X2 - % - X 2 +1 .变式探究 9：取 a = X 1—1,b = X 2-1，则由③知：X 2_1 A （X 2 -“-（捲-1）In （X 2 -1） —In （X 1 -1） +为 一1 X 2 -1可编制如下试题：对任意 X 1,X ^(1^)，且X 1 H X 2， 求证: X 2 十化-1）“-1）In （ X 2 -1） Tn （ X i-1） >2（X 1-1）（X 2-1） X j + X 2 -2X1 变式探究 10：取a=e X1,b=e'严，则由①知：— +e X 22A 兰三.于是，可编制如下试题：对任意X 2 -X 1总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、 名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学 机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我 们对问题信息的审视和挖掘 .水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学 思维素养的有效途径.【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和 关注，我们将会做得更好】X j , X 2 壬 R ，且 X 2 >x 1，求证: X 2 X 1 X 2e -e 1~> X 1X2e^e "2变式探究11：取a =e Xl ,b XX 1= e X2，则由②知：eeX2.于是，可编制如下试题：对任意X i ,X 2 迂 R ，且 X 2 >X i ，求证: (X 2-X i 丫尹2变式探究12 ：取a = e x , b X 2 -X i<(e J”eX2e X2-e "1> -------------------X 2 — X12> 一2一 .于是，可编制如下试题：对 丄+―1X ie eX 22eXi恢e X 2 _e X 1任意 X2 R ，且 X ^X1，求证：e X2>K 〉E-X 22e X11-严 1 e* + e X^ X 2 -X-i V。
核心素养下基本不等式的简单应用探究
核心素养下基本不等式的简单应用探究【摘要】：基本不等式是研究不等关系的一种重要工具,从不同视角去感受和认知，帮助理解、支持记忆养成自觉运用相关知识解决实际问题.【关键词】：基本不等式、数形结合相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，相等关系是相对的，局部的，不等关系是绝对的，普遍的，相等关系和不等关系具有内在的必然联系，既相互对立也是相互统一的，基本不等式是研究不等关系的一种重要工具，其由《普通高中课程标准实验教科书》必修5第三章调整到新课标《普通高中教科书》第一册第三章，可见其所处地位及应用的独特性、重要性，以下我们从不同视角去感受和认知，以达到能理解记忆并自觉运用其解决数学内外的各种问题的目标.一、基本不等式概念公元3世纪，三国时期数学家赵爽在《勾股圆方图注》中对勾股定理的证明用到了图1，利用勾股定理不难看出：四个全等的直角三角形面积之和不大于正方形的面积，其数学符号语言为：.一方面：一般地，仅当(重要不等式)，用替换以上可得到即，当且仅当时等号成立.这称之为基本不等式，显然其对于任意非负实数都成立.另一方面：以之和为直径AB的长构造圆O，如图2所示.在直径AB上取点C，使得.过C作,交圆于点D，联结OD.显然线段OD的长度不小于垂线段CD的长度.由得到，及，即，表述为：两个正数的算术平均数不小于这两个数的几何平均数！二、基本不等式引伸拓展如图3所示，易知类比上述证明，由得到，所以另一方面：其中分别叫做正数的调和平均数和平方平均数，统称为两正数的均值不等式（以上几何证明最早由古希腊数学家帕普斯公元4世纪提出），这四个数之间或之外是否还有其他的平均数（对数平均值）存在呢？有兴趣的可以查阅相关资料继续探索！以上为二个数的平均值不等式，可推广至个数的情况，对，有三、基本不等式应用方法与技巧在不等量关系问题的解决过程中，常用的方法就是对不等式进行变换如：倒数、对称、平方、整式等，促使其可直接应用基本不等式，以下从几方面进行归纳总结：例1.已知，求的最大值.,，当且仅当.一般地：已知，求的最大值.，当且仅当.例2.已知，求的最小值.，当且仅当.，(消元凑定值)当且仅当.变式：已知，求由此可知当分子分母最高次数之比为2:1求最值时，通常可进行拆分、配凑转化为例3.已知，求的最小值.（以退为进，常量代换，目的是为了凑定值！）当且仅当.变式：已知，求的最小值.由此可知一般：已知，求的最值.以同正为例：.例4.已知，求的最小值.以上1、2类型都是直接应用基本不等式即可，而3、4直接使用遇到了阻碍，需要常量代换，转化为熟悉的结构从而运用基本不等式.例5.已知，求的最小值.例6.（）已知，求的取值范围.例7.已知，证明：例8.已知，证明：最后需关注：①条件中的充分性，即是否为正数；②过程中的“=”是否具有连续性与一致性！例9.下列四个命题，是真命题的是（）A BC D以基本不等式的形成发生过程及其变换与简单应用为载体，是落实数学学科核心素养中的数学抽象、逻辑推理、直观想象等能力的重要开端之一，研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变，通过类比、变换、数形结合、分类讨论等转化化归，逐步形成应该具有的数学思维方式和行为方式，具备良好的数学素养.以至崇尚理性和弘扬科学的精神！注：本文系2021-2023惠州市市级课题“《基于核心素养的高中数学概念教学探索》”课题编号：2021hzkt175 系列研究成果之一参考文献：【1】刘绍学.《普通高中课程标准实验教科书》必修5;【2】章建跃，李增沪.《普通高中教科书数学必修》第一册;【3】史宁中，王尚志等.普通高中数学课程标准（2017年版）解读.高等教育出版社.2017;【4】陈双双，王海平.《高中数学“说概念”》课题《基于核心素养的高中数学概念教学探索》。
高中数学新学习常识对数与指数
高中数学新学习常识对数与指数高中数学新学习常识：对数与指数数学作为一门科学，经过不断的发展和进步，积累了丰富而有趣的知识体系。
在高中数学学习的过程中，对数与指数是很重要的一部分内容。
本文将介绍关于对数与指数的基本概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、对数的概念和性质1. 对数的定义：对数是指y = logₐx中，x为正实数，a为底数，y为对数。
其中，a不等于1且大于0，a不等于x。
这里的对数表达的是“将底数a提高到幂y等于x”的含义。
2. 对数的性质：(1) 对数运算与指数运算互为逆运算：logₐa = 1，aⁱ = x，则logₐx = i。
(2) 对数的底数为10时，称为常用对数（log），常用对数的底数为e时，称为自然对数（ln）。
(3) 对数的特殊性质：logₐ1 = 0，logₐa = 1。
(4) 对数的换底公式：logₐx = logᵦx / logᵦa，其中a、b不等于1，且a、b大于0。
二、指数的概念和性质1. 指数的定义：指数是指数学中使用上标表示幂运算的一种简写形式。
例如，aⁿ表示a的n次方，其中a为底数，n为指数。
2. 指数的性质：(1) 指数运算的法则：aⁿ⁺ᵐ= aⁿ × aᵐ，aⁿ⁻ᵐ= aⁿ / aᵐ，(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ。
(2) 零指数与单位指数：a⁰ = 1，a¹ = a。
(3) 负指数的概念：a⁻ⁿ = 1 / aⁿ。
(4) 指数函数与对数函数的关系：指数函数y = aˣ与对数函数y =logₐx是互为反函数的关系。
三、对数与指数的应用1. 对数与指数在计算中的应用：对数可以将大数缩小，使得计算更加方便；指数表达式可以简化复杂的计算过程。
2. 对数与指数在科学问题中的应用：对数与指数在科学计算、物理、化学等领域中被广泛应用，帮助解决实际问题。
3. 对数与指数在经济学中的应用：对数与指数在经济学中常用于指数增长模型、复利计算、财务分析等方面。
高中高一数学知识点对数
高中高一数学知识点对数高中高一数学知识点：对数对数作为数学中的重要概念，是高中数学中必学的内容之一。
掌握对数的基本概念和相关的运算性质对于进一步学习数学以及应用数学都具有重要的意义。
本文将介绍对数的定义、性质和一些常见的运用。
一、对数的定义对数是指数运算的逆运算。
在给定一个底数和一个真数的情况下，对数可以表示为幂的指数。
用符号记作log_a x，其中 a 表示底数，x 表示真数。
对数的定义可以表示为以下等式：x = a^p 等价于 p = log_a x其中，x 为正数，a 为正数且不等于 1 ，p 为实数。
二、常见的对数在实际应用中，以 10 和自然对数（底数为 e）为底的对数比较常见。
分别记作 log x 和 ln x。
1. 以 10 为底的对数，常用符号为 log x。
底数为 10 的对数运算就是在数的左上角加上 log，例如 log 100 = 2，表示底数为 10，真数为 100 时的对数等于 2。
2. 自然对数，常用符号为 ln x，其中底数为e ≈ 2.718。
自然对数与以 10 为底的对数之间可以互相转换，常用的换底公式为：log x = ln x / ln 10 或者 ln x = log x / log e三、对数的性质对数具有一些重要的性质，通过这些性质我们可以进行对数的运算。
下面是对数的一些基本性质：1. 对数的乘法性质：log_a (x * y) = log_a x + log_a y这个性质表明，对数运算中的真数相乘，等价于对数运算中的底数相加。
2. 对数的除法性质：log_a (x / y) = log_a x - log_a y对数运算中的真数相除，等价于对数运算中的底数相减。
3. 对数的幂运算性质：log_a (x^m) = m * log_a x这个性质指出，对数运算中的真数进行幂运算，等价于对数运算中的指数与底数相乘。
4. 对数的换底公式：log_b x = log_a x / log_a b这个公式可以用于不同底数的对数之间的转换，方便进行计算。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用【摘要】对数平均不等式是数学中的重要不等式之一，它在分析和应用中都有着广泛的用途。
本文通过对对数平均不等式的证明和应用进行深入探讨，展示了其在数学领域的重要性和实用性。
文章介绍了对数平均不等式的证明过程，详细解释了其推导和原理。
接着，分析了对数平均不等式在实际问题中的应用，展示了其在求解各种数学问题中的价值。
通过实例分析和一般形式的推广，展示了对数平均不等式在不同领域的灵活运用。
文章探讨了对数平均不等式与几何平均和算术平均的关系，为读者提供了更深入的理解。
结论部分总结了对数平均不等式的重要性、在数学中的应用和意义，强调了其在数学研究和实际问题中的不可或缺性。
通过本文的研究，读者可以更好地认识和应用对数平均不等式，提升数学问题的解决能力和分析水平。
【关键词】对数平均不等式、证明、应用、实例分析、推广、几何平均、算术平均、关系、重要性、数学应用、意义1. 引言1.1 对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中经常用到的一个重要不等式，其证明及应用涉及到多个领域，包括数学、物理、经济等。
本文将对对数平均不等式进行详细的介绍和分析。
我们将详细介绍对数平均不等式的证明过程。
通过推导和分析，我们可以明确对数平均不等式的成立条件和相关性质。
接着，我们将探讨对数平均不等式在实际问题中的应用。
这些应用涉及到各种不同的情境和领域，例如在统计学中的数据分析、在金融学中的投资决策等。
在实例分析部分，我们将通过具体的案例来展示对数平均不等式的具体应用以及其解决问题的能力。
我们还将对对数平均不等式进行一般形式的推广，以便更好地理解这一不等式的应用范围和特点。
我们将讨论对数平均不等式与几何平均与算术平均的关系，进一步揭示其在数学中的重要性。
结合以上内容，我们将总结对数平均不等式在数学中的应用和意义，以及其在实际问题中的重要性和价值。
通过本文的介绍和分析，相信读者们对对数平均不等式的理解和应用能力将会得到提升。
高一对数知识点梳理
高一对数知识点梳理一、引言对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高中阶段的数学学习中，对数是一个必不可少的内容。
本文将从对数的定义、性质、运算、应用以及解题技巧等方面对高一的对数知识进行梳理和总结。
二、对数的定义与性质对数的定义是在确定底数的情况下，求指数与对数之间的关系。
通常我们用“log”表示对数运算，其中“a”称为真数，底数为“b”，对数为“x”，表示为logba=x。
对数具有以下几个基本性质：对数的底数不能为0或1，对数和指数是互逆的，即logba=x和b^x=a。
三、对数的运算对数的运算主要包括换底公式、对数的乘法与除法、对数的幂与根等。
首先，换底公式是对数运算中常用的一种技巧，它可以将不同底数的对数互相转换，并且在求解特定问题时能够提供更便利的方式。
其次，对数的乘法与除法利用对数的性质相应地进行运算，如loga(b*c)=logab+logac, loga(b/c)=logab-logac。
最后，对数的幂与根运算可以将对数的幂与根与指数的幂与根相对应，如loga(b^x)=xlogab, loga√b=1/2logab。
四、对数的应用对数在实际应用中具有广泛的用途。
以生物学为例，生物的种群增长通常呈现出指数增长的趋势，而对数函数可以对种群的增长趋势进行描述和预测。
在电子工程领域，对数可以用于计算电子元件的增益或损耗。
此外，在金融领域，对数可以用于计算利息的复合增长。
这些都是对数在实际应用中的典型案例。
五、对数题目解题技巧在解决对数题目时，我们需要掌握一些解题技巧。
首先，在对数运算中，我们可以利用已知条件求解未知数，例如通过使用对数的性质将方程进行转换，从而简化问题。
其次，注意对数运算中的特殊情况，例如当真数为1时，其对数为0；当真数与底数相等时，其对数为1。
最后，我们需要理解对数与指数之间的相互转化关系，并能够熟练运用。
六、总结通过对高一对数知识的梳理，我们了解了对数的定义与性质、运算法则、应用场景以及解题技巧。
论数学核心素养在高中数学课堂落地生根以高中“对数”教学为例
论数学核心素养在高中数学课堂落地生根以高中“对数”教学为例一、本文概述随着教育改革的不断深化，核心素养已成为当前教育领域关注的热点。
数学核心素养作为其中重要的一部分，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
高中数学课堂作为培养学生数学核心素养的主阵地，如何将数学核心素养有效落地生根，成为当前高中数学教育亟待解决的问题。
本文以高中“对数”教学为例，探讨如何在高中数学课堂中落实数学核心素养。
文章将概述数学核心素养的内涵及其在高中数学教育中的重要性，明确数学核心素养包括数学思维、数学技能、数学应用和数学情感等方面。
文章将分析当前高中数学课堂在培养学生数学核心素养方面存在的问题和不足，如教学内容单教学方法陈旧、评价体系不完善等。
文章将提出在高中“对数”教学中落实数学核心素养的具体策略和方法，如通过情境创设、问题探究、合作学习等方式激发学生的学习兴趣和主动性，培养学生的数学思维能力和创新精神，提高学生的数学应用能力和实践能力。
本文旨在通过实证研究和实践探索，为高中数学课堂有效落实数学核心素养提供有益的参考和借鉴。
也希望本文能够引起广大教育工作者对数学核心素养的重视，共同推动高中数学教育的改革和发展。
二、数学核心素养在高中数学课堂的落地生根在高中数学课堂中，数学核心素养的培养和落地生根至关重要。
这不仅是数学教育的目标，也是学生全面发展的需要。
数学核心素养包括数学思维、数学技能、数学应用等多个方面，这些素养的培养需要贯穿于整个数学教学过程中。
以高中“对数”教学为例，我们可以探讨如何在课堂中实现数学核心素养的落地生根。
数学思维的培养是对数教学的核心。
对数作为一种重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
在教学过程中，教师需要引导学生理解对数的本质，掌握对数的基本性质，并学会运用对数解决实际问题。
通过不断的思维训练和问题解决，学生可以逐渐形成数学思维，提高数学素养。
数学技能的培养也是对数教学的重要任务。
高三对数函数总结知识点
高三对数函数总结知识点1. 引言对数函数是高中数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在高三阶段学习中，对数函数也是重要的内容之一。
本文将对高三对数函数的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用这一知识。
2. 对数函数的定义和性质对数函数的定义是指数与底数之间的关系。
对于正数a、b(a≠1)，其中b>0，b≠1，a^x=b，称x为以a为底b的对数，记作logₐb。
对数函数有一些重要的性质，如对数的底数不能为0或1，底数为a的对数函数是单调递增函数等。
3. 对数函数的图像和性质对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状，具有一些独特的性质。
对于底数为a的对数函数logₐx，当x>1时，函数值递增；当0<x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0。
此外，对数函数的图像在直线y=1和y=-1上分别有一条水平渐近线。
4. 常见对数函数的性质常见的对数函数包括以10为底的常用对数函数和以自然常数e为底的自然对数函数。
以10为底的对数函数log₁₀x常用于计算，有一些特殊性质，如log₁₀10=1，log₁₀1=0。
以e为底的自然对数函数lnx在数学和科学中应用广泛，同样具有一些特殊性质，如ln1=0，lne=1。
5. 对数的运算法则对数的运算法则是进行对数运算时常用的一些规则。
其中包括换底公式、对数的乘法法则和除法法则等。
通过熟练掌握对数运算法则，可以简化对数运算的过程，方便计算和推导。
6. 对数方程和对数不等式对数方程和对数不等式是对数函数的应用之一。
对数方程是指等式中存在对数的方程，解对数方程的方法通常可以利用对数的反函数指数函数的性质。
对数不等式是指不等式中存在对数的不等式，解对数不等式通常需要结合对数的性质进行推导和求解。
7. 实际问题中的对数函数对数函数在实际问题中具有广泛应用，如人口增长模型、物种滤过模型等。
通过将实际问题进行建模，可以利用对数函数的性质解决实际问题，并对问题进行分析和预测。
高三对数知识点总结
高三对数知识点总结在高三数学学习中，对数是一个重要的知识点。
对数的概念和性质在数学的各个领域都有广泛的应用，是解决各类问题的重要工具。
接下来我将对高三对数的知识点进行总结。
1. 对数的定义与性质对数是指数与底数的关系。
如果aᶺ = x，则称数a为底数，指数ᶺ为x的对数。
对数的定义为logₐx=ᶺ。
对数的性质有：（1）logₐ(xy)=logₐx+logₐy（2）logₐ(x/y)=logₐx-logₐy（3）logₐ(xᶺ)=ᶺlogₐx（4）logₐ1=0（5）logₐa=12. 常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，常用记作logx。
自然对数是以e （欧拉数）为底的对数，记作lnx。
常见对数和自然对数的换底公式为：（1）lnx=logₑx=log₁₀x/log₁₀e（2）logₐx=logcxa/logcab3. 对数方程与指数方程对数方程是含有对数函数的方程。
解对数方程的关键是将对数方程转化为指数方程，再进行求解。
对数方程的解还需满足底数的定义域要求。
例如，对数方程log₃(x+1)-log₃(x-2)=1，可转化为指数方程3¹=log₃(x+1)/(x-2)，解得x=0。
4. 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数。
对数函数的定义域是正实数，值域是实数；指数函数的定义域是实数，值域是正实数。
两者之间的关系可以通过对数函数和指数函数的图像进行理解。
例如，y=log₃x和y=3ˣ的图像是关于y=x对称的。
5. 指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中有广泛的应用，如复利计算、化学反应速率等。
6. 对数运算的应用对数运算可以简化复杂的计算，解决实际问题。
例如，在学习生物学中，对数运算可以用于衡量物种数量的增长和衰减。
7. 对数函数的导数对数函数的导数公式为(d/dx)logₐx=1/(xlogₐe)。
根据导数公式，对数函数的单调性可以进行推导。
当底数大于1时，对数函数是递增函数；当底数小于1时，对数函数是递减函数。
掌握高中数学中的指数与对数问题解析与技巧
掌握高中数学中的指数与对数问题解析与技巧数学中的指数与对数问题是高中数学中的重要内容之一，也是学习数学的基础。
掌握这一部分的解析与技巧，对于高中数学知识的理解和应用都有着重要的作用。
本文将为大家介绍一些掌握高中数学中的指数与对数问题的解析与技巧。
1. 指数与幂运算的基本概念指数是数学中的一个重要概念，表示一个数被乘若干次。
以a^n为例，其中a称为底数，n称为指数。
当n为正整数时，a^n表示a连乘n次；当n为负整数时，a^n表示a的倒数连乘n次；当n为0时，a^0表示1。
另外，指数运算具有一些基本的法则，如乘法法则、除法法则、幂的乘法法则和幂的除法法则等。
2. 对数与对数运算的基本概念对数是指数的逆运算，以log_a(x)表示，其中a为底数，x为真数。
对数的性质包括对数的运算法则、对数与指数的互为逆运算、对数的变换法则等。
在解决一些指数问题时，可以通过取对数将问题转化为求对数值的问题，从而简化计算过程。
3. 指数与对数的性质与等式在指数与对数的运算过程中，有一些重要的性质与等式应该掌握。
比如，指数的乘方律、对数的乘法法则、对数的换底公式等。
熟练掌握这些性质与等式，可以帮助我们在计算中更加高效准确。
4. 解决指数与对数问题的一般步骤在解决高中数学中的指数与对数问题时，可以按照以下步骤进行：首先，明确问题要求，理解问题的背景和意义；其次，根据已知条件，运用指数与对数的基本概念和性质列出方程或不等式；然后，通过化简、变形等方法解决所列方程或不等式，得到最终的解；最后，对解的合理性进行验证，将解代入原方程或不等式进行检验。
5. 解析与技巧的应用举例为了更好地理解与掌握指数与对数的解析与技巧，我们通过实际问题举例进行讲解。
例如，对于指数函数的图像研究，我们可以通过画出函数的图像来探索函数的性质；对于对数方程的解法，我们可以通过取对数将方程转化为线性方程，再求解等。
6. 练习与拓展为了加深对指数与对数问题的理解与应用，我们还需要进行一些练习与拓展。
掌握指数与对数的应用技巧提高高中数学成绩
掌握指数与对数的应用技巧提高高中数学成绩在高中数学学习中，指数与对数是一个非常重要的知识点。
掌握好指数与对数的应用技巧，不仅可以提高数学成绩，还可以应用于日常生活和其他学科中。
本文将介绍一些指数与对数的应用技巧，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、指数的应用技巧1. 科学计数法科学计数法是利用指数的表示方法，将一个数表示成一个系数与10的幂的乘积。
在科学研究和实际计算中，常常需要处理非常大或者非常小的数值，使用科学计数法可以简化计算过程。
例如，太阳到地球的距离大约是1.496×10^8千米，这个数量级非常大，使用科学计数法可以更加方便地表示和计算。
2. 基础数学问题的解决指数可以用来解决一些基础的数学问题，例如求幂、乘方、开方等。
通过灵活运用指数运算技巧，能够更高效地解决这些问题。
比如，求2的3次方等于2^3=8。
3. 指数函数的图像和性质掌握指数函数的图像和性质，可以帮助我们更好地理解指数与对数的相关概念和运算规律。
例如，指数函数y=a^x中，当a>1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现衰减趋势。
了解这些性质可以更好地把握指数函数的变化规律。
二、对数的应用技巧1. 计算乘积和商对数运算可以将乘积转化为求和，将商转化为求差。
这种转化在一些复杂的计算中非常有用。
比如，计算log3(27×81)=log3(27)+log3(81)=3+4=7。
2. 指数方程的求解对数与指数是互为反函数的关系，可以通过对数来解决一些指数方程的求解问题。
例如，求解方程2^x=8，可以将其转化为对数形式log2(8)=x。
这样可以更方便地求得方程的解。
3. 对数函数的图像和性质了解对数函数的图像和性质，有助于我们理解指数和对数的关系以及对数运算的特点。
例如，对数函数y=loga(x)中，a>1时，函数呈现增长趋势；0<a<1时，函数呈现衰变趋势。
掌握对数函数的图像和性质可以更好地理解它在实际问题中的应用。
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对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0b
a
，则2112
ln ln a b
b
a b
ab
a b a
a
b
，其中
ln ln a b
a b
--被称为“对数
平均数”.
安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.
1 对数平均数不等式链的几何证明
如图，先画反比例函数()()1
0f x x x
=
>的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫
⎪⎝⎭,,T ab ab ⎛ ⎪
⎭.设函数()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫
⎪+⎝⎭
处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知：
因为ABNM ABQP
ABFE
S S S 矩形曲边梯形梯形，
所以
1
2ln ln b
a
dx b
a
b
a
x
a
b . ①
因为1ln ln ab AUTP
a
S dx ab a x 曲边梯形1
1
ln ln 2
2
ABQP b a S 曲边梯形， 1111222AUTP
ABCD
S ab
a
S a
ab
ab
梯形梯形，
而根据右图可知：AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形，所以ln ln b a
ab
. ② 另外，根据ABQX
ABYP ABQP
ABQP
S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：
11111ln ln 2b a b a
b a
b a b
a
b
a
. ③
综上，结合重要不等式可知：
211111ln ln 2b a b a
b a
b a
b a b
a b
a b
a
ab ，
即20112
ln ln a b
b a b
ab
a b a b a
a
b
. ④
2 对数平均数不等式链的变式探究
近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.
为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式
2
ln ln a b
b a
b a
，记为①式；将ln ln b a ab b a
，记为②式；将211ln ln b a b
b a
a
b
，记为③式.
变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知：
1221
21
2ln ln +->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x
，求证：212112
2()ln ln -->
+x x x x x x .
变式探究2：取12,a x b x =
=，则由②知：
21
21
ln ln ->-x x x x 于是，可编制如下试题：已知
210>>x x ，求证：21ln ln -<
x x 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112
2
11
ln ln ->
>
-+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22
12121212
1ln ln 2--<-<
x x x x x x x x .
变式探究4：取121,1a x b x =+=+，则由①知：
122121(1)(1)(1)(1)
2ln(1)ln(1)
++++-+>
+-+x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：
2112211ln(1)ln(1)2
-+<++-+x x x x
x x .
变式探究5：取121,1a x b x =+=+
，则由②知：
2121(1)(1)
ln(1)ln(1)
+-+>+-+x x x x 于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠
，求证：
21
21ln(1)ln(1)
->+-+x x x x .
变式探究6：取121,1a x b x =+=+，则由③知：2122112(1)(1)
2111
ln(1)ln(1)
11
+-++>
>
+-++
++x x x x x x x .于
是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：
2112221122(1)(1)
1ln(1)ln(1)2
-+++>
>+-+++x x x x x x x x x .
变式探究7：取121,1a x b x =-=-，则由①知：
122121(1)(1)(1)(1)
2ln(1)ln(1)
-+---->---x x x x x x .于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：
2112211ln(1)ln(1)2
-+<----x x x x
x x .
变式探究8：取121,1a x b x =-=-
，则由②知：
2121(1)(1)
ln(1)ln(1)
--->---x x x x 于是，可
编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠
，求证：
21
21ln(1)ln(1)
->---x x x x 变式探究9：取121,1a x b x =-=-，则由③知：2122112(1)(1)
2111ln(1)ln(1)
11
---->
>
---+
--x x x x x x x .于是，
可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：
211222112(1)(1)2(1)(1)
1ln(1)ln(1)2
------>
>---+-x x x x x x x x x .
变式探究10：取1
2
,x x a e b e ==，则由①知：1221
21
2+->
-x x x x e e e e x x .于是，可编制如下试题：对任意
12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：21
12
212-->+x x x x x x e e e e
. 变式探究11：取1
2
,x x a e b e ==
，则由②知：21
21
->-x x e e x x 于是，可编制如下试题：对任意
12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：()()12212
2
21+-<-x x x x x x e e e .
变式探究12：取1
2
,x x a e b e ==，则由③知：212
12
21
2
11->>-+x x x x x e e e x x e e .于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：2112112
2
12122121
2211+--->>⇔<<-++-x x x x x x x x x x x x e e e e e e x x e e e e x x .
…… ……
总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.。