高中数学论文：对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究

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对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考

对高中数学函数中一类含参问题的解法的思考摘要：在高中函数类习题当中，一类含参问题是一种较为常见的题型，同时也是学生在学习过程中的主要难点之一。

基于此，本文对高中数学函数一类含参问题的解法展开了分析，通过几种常见的出题类型，来讨论在学习过程中对其准确求解的途径，希望能够以此促进学生在进行解题时的准确率。

关键词：高中数学函数习题一类含参解题教学1引言一类含参问题无论是在学生日常学习还是高考过程中都经常出现，这类题型由于涵盖知识面较广，并且解题过程中较为注重学生的逻辑思维，因此一直都是学生的主要失分环节，因此对一类含参问题的解法展开研究极有必要，能够保证教师在教学过程中帮助学生有效地总结知识规律，使学生掌握正确的解题技巧。

2含参不等式的解法2.1分类讨论法学生在处理这类问题，需要注意到参数的值对不等式的解以及类型能够起到直接的影响作用，因此学生需要首先就参数的情况进行谈论，并在确定了不等式的解之后，根据不同的情况来确定参数的值[1]。

例一：不等式a某2-2〔1+a〕+4>0，请分析在什么情况下该不等式成立。

解析：在处理这道习题的过程中学生应当分别从两个方面进行思考，首先是判断a是否为零，在a=0的情况下，也就是该不等式的二次线系数为零，因此不等式可以转变为4-2某>0，对其进行求解可以判断只要某小于2的情况下该不等式即成立;其次那么是在a不等于0情况新进行思考，如果a≠0，那么该不等式即是一个普通的二次函数不等式，将原函数转化为〔a某-2〕〔某-2〕>0，即可判断某的取值范围在2/a和2之间，随后将该方程的两个根代入不等式，即可对a的情况的进行分析。

2.2变换主元法在得到了参数的具体范围，要求学生去求解未知数的取值范围，那么学生便可以考虑使用变换主元的解题方法去进行求解[2]。

例二：m为不等式m〔某2-1〕<2某-1的参数，在m的绝对值不大于2的情况下，该二次不等式恒成立，请分析某的取值范围。

《高中数学》一道解析式中含绝对值的函数的最值问题

《高中数学》一道解析式中含绝对值的函数的最值问题
有很多关于函数的题目，其解析式中含有绝对值，这为我们做题增加了很多困难，首先就是增加了取绝对值而分类讨论的过程。

下面这道题就是这种类型。

其实这种题有个很简便的方法，就是利用绝对值不等式，数轴和距离等知识(比如，此题的参考答案就是这种方法)。

但是我相信很多同学根本不知道这种做法，或者对此有印象但不会用，那么考试时就会失去这题的分数或者因做这题而耽误很长时间。

既然这样，还不如《硬做》，就像我做的那样。

话不多说，看这道题。

下面就是我做的。

取绝对值，根据a的范围分类讨论。

画出分段函数的草图。

高中数学论文解绝对值不等式题根探讨推荐

解绝对值不等式题根探讨题根四解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。

［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。

在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法

解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。

一堂师生合作的探究课——《对一类求含绝对值的函数最小值问题的解法研究》

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一类绝对值和函数最小值问题的解决

作者：吉瑞刚
作者机构：江苏省溧阳中学,213300
出版物刊名：数学之友
页码： 65-67页
年卷期： 2012年第20期
主题词：绝对值函数和函数最小值问题问题转化最值问题
摘要：函数是高考考查的重点内容，对函数的变形是常见的考查形式近年来绝对值函数频频在试题中出现，主要是因为其基本思想是去绝对值，即将问题转化为熟悉函数的分段形式，而一类一次绝对值和函数的最值问题是相对比较复杂的问题，也是在竞赛中常见的一种类型，本文从简单到复杂来解决这类问题。

高中数学函数论文

高中数学函数论文函数是高中数学第一个比较抽象，难理解的概念之一。

下面店铺给你分享高中数学函数论文，欢迎阅读。

高中数学函数论文篇一【摘要】随着教学内容的推进，许多更为复杂的数学知识渗透到课堂教学中.对于高中阶段的数学教学，函数是引进的一种重要的数学模型.这一模型在其他学科或是我们的日常生活中都有深远的影响，尤为重要的一点，函数的思想贯穿于整个高中数学的始终，是学生学习高中数学的重点之一.因此，本文重点阐述了在进行函数教学时应注意的几个方面，以及如何利用函数的图像去解决问题.【关键词】高中数学;函数;函数图像;解题应用初中阶段是学生接触到函数这一数学思想的时期，此时的函数思想是较为简单，是比较容易理解的.当学生进入高中以后，新的函数概念逐渐增加，内容较为复杂，主要以映射的观点来阐明函数.这就要求学生对自己的知识理解提出更高的要求，深入理解函数的内涵，熟悉并应用之解决问题.还需明确的一点是，函数的思想来源并不抽象，它来源于我们的现实生活.人类社会一直都是运动变化着的，主要是以量的变化为主要的呈现方式，为了解决社会中各个变量间关系的问题，函数的思想应运而生，被人类运用于解决现实生活中的问题.一、进行函数教学时应注意的几个问题函数思想贯穿于整个中学阶段包括初中与高中，并且在整个数学教学过程中具有主线作用.教师的教学应着重这一点.1.初始阶段：兴趣为先，使学生产生学习动机教师应在学习的每个学习阶段把握好侧重点.在学生刚开始接触到函数思想的时候，就应该以学生的学习兴趣为先导.通过日常生活的一些例子和提问的导入方式，调动学生的学习积极性，使学生产生学习动机.与此同时，教师应注意让学生正确把握函数的定义式，抽象概括函数的数学定义.函数关系是两个变量的对应关系，如何阐释得更为具体一些，函数的图像则是函数的直观展示.尤其在直角坐标系中，函数图像就能形象生动地把变量x和y展示出来.2.深入学习阶段：建立模型，使知识具体化随着函数学习的深入，学生不可能长期处于抽象的讨论中，必须佐以重要的实习模型.这些实习模型可以帮助学生理解函数和其他数学知识之间的关系.关于指数函数的单调性这一性质，指数的底数相同，那么值的大小就可通过函数的单调性来判断.但是必须注意的一点是有一些函数的单调性是有区间的，不能一概而论.教师还需多指导学生认识一些具体的函数模型，比如幂函数、对数函数和三角函数等.三角函数在日常生活中运用的范围相当广泛.3.应用阶段：联系生活实际，解决问题由于上文所述，我们了解到，函数并不是凭空捏造，而是随着现实社会生活中的需要而产生的，因此，必然是来源于生活、应用于生活了.比如，我们日常生活中所接触到的很多场景都有函数规律或是函数应用的存在，如机场、酒店等.一个酒店的采购部采购物品包括食物的数量都是有严格规定的，他们是如何界定的呢?他们会根据客流量的多少来确定应采购物品的种类及数量，那么这些变量之间的关系就是一个函数关系.二、利用函数图像解决问题函数的图像犹如砍柴的柴刀一样，是一项非常重要的解决数学问题的工具.数学是一门较为抽象的学科，因此，以图像作为教学辅助，帮助学生们深入了解数学思想是相当科学的.利用函数的图像解答填空、选择题，所用时间较为简短，学生在考试中可尽量使用这种方法.2.利用函数图像解答应用题举例说明有一座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20 m，河面距拱顶4 m.(1)在如图所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式;(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m.求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只.分析根据抛物线在坐标系的特殊位置，本题可以设抛物线的顶点式、交点式或者一般式，求出抛物线解析式，再运用解析式解决实际问题.解首先要画出抛物线的图像(有了直观图像就能够明了解题思路).三、结束语综上所述，数学思想中的函数思想是较为重要的，因此，教师与学生都应当高度重视.教师在仔细梳理教学重点之后，注意结合学生的学习阶段，采用不一样的教学策略，帮助学生更快更好地掌握函数的思想，并且让学生学会利用函数图像去解答不仅是考试中还有生活中的问题，学以致用.高中数学函数论文篇二数学是作为衡量一个人能力的一门重要学科，高中数学是初中数学的提高和深化，初中数学在教材表达上采用形象通俗的语言，研究对象多是常量，侧重于定量、计算和形象思维，而高中数学语言表达抽象，逻辑严密，思维严谨，知识连贯性和系统性强。

对一类含绝对值函数最值问题的探究

对一类含绝对值函数最值问题的探究摘要：研究形如的一类含绝对值函数性质，需要学生很强的直观想象与逻辑推理能力。

特别是此类函数的最值问题，对学生思维的缜密度和创新意识要求非常高。

本文拟对形如一类函数最值问题进行探究,帮助学生开拓解题思路,加深数学理解，形成理性思维。

关键词：最大值中的最小值纵向距离平口单峰正文：1.问题的提出形如一类含绝对值函数的最值问题，是高中阶段较为常见的一类问题，其数学特征明显，但综合性非常强。

解决绝对值相关问题主要有两个思路：一是代数化简，另一是几何直观。

本文试从这两个思路进行探究，最终形成解决这类问题的一般方法。

引例1：已知函数 ,若对于 ,使得求实数的取值范围。

2.对问题的理解按问题所给条件，只需满足，因为M要受到参变量的影响，不妨设，因为a,b的任意性，显然须满足的最小值都要大于或等于 .综上分析，问题的本质是求函数的最大值的最小值。

3.解法探究思路1：研究绝对值问题的基本思路就是分类讨论，本例中需要考虑抛物线的对称轴不同位置，对函数的最大值的影响。

解法1：①当，即，此时函数在上单调，则有 ,所以②当，此时函数在上满足：,则有 ,所以 .③当，此时函数在上满足：,则有 ,所以 .综上：当且仅当 ,即时，函数的最大值的最小值为，所以 .思路2：对于函数，我们可以理解为函数在上的函数值的偏差值的绝对值，也可以说是这两个函数图像在上的纵向距离（或铅垂距离）。

引例1所求问题本质是求这两个函数图像在时的纵向距离最大值的最小值。

为了帮助同学的理解，我们可以先思考一个折筷子的实验：一根固定长度的筷子，从其中何处折断，才能使较长一段的的长度最短？显然从筷子中间折断，能够使较长一段最短,且最短长度就是筷子的一半。

把这个实验迁移到本题，那么函数在上的图像应该如图所示：解法2：当直线如图所示时，抛物线上的点到直线的最大距离最小。

即。

4.发现与归纳对于解法1，很大程度上是要依赖于函数的特殊性，通过函数的单调性，对最大值进行分类整理，比较。

绝对值最小值的解题技巧_解释说明以及概述

绝对值最小值的解题技巧解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在解题过程中，经常会遇到一类问题，即求解绝对值最小值的情况。

绝对值最小值问题在数学和工程领域都具有广泛的应用，掌握相关的解题技巧和策略对于解决这类问题非常重要。

本文旨在介绍绝对值最小值的解题技巧以及其应用。

首先我们将概述绝对值最小值问题的背景和意义，并针对该问题提出一些基础概念和关键点。

接下来，我们将详细介绍常见的解题技巧和策略，以帮助读者更好地理解如何处理这类问题。

1.2 文章结构本文分为五个部分。

除了本引言部分外，第二部分将详细解释什么是绝对值最小值，并讨论它的特性和应用。

第三部分将通过三个具体示例来分析解题过程，展示如何运用所学知识来求解不同类型的绝对值最小值问题。

第四部分将进一步扩展应用范围，介绍多元函数、不等式以及数列与级数中的绝对值最小值问题。

最后，在第五部分中，我们将总结文章的主要观点，并提出一些建议，同时探讨未来可能的研究方向。

1.3 目的本文的目的是帮助读者理解和掌握解决绝对值最小值问题的技巧。

通过详细解释基础概念和关键点，以及提供示例分析和进阶应用，我们希望读者能够在实际问题中灵活运用这些技巧。

同时，我们也希望启发读者对于该领域未来研究的兴趣，并为进一步拓展和深化相关问题提供思路和指导。

2. 解题技巧解释2.1 什么是绝对值最小值在数学中，绝对值最小值指的是一个函数或方程中，当自变量取某个特定值时，其对应的函数值或方程解的绝对值达到了最小。

这意味着该特定值是使得函数或方程解取得最接近零的解。

2.2 绝对值最小值的特性和应用绝对值最小值有一些重要的特性和应用。

首先，绝对值最小值问题通常可以转化为求函数或方程导数为零的点，这些点就是函数或方程在横坐标上使得纵坐标达到绝对值最小的位置。

其次，绝对值最小值问题经常出现在优化问题、极限计算以及不等式证明中。

通过研究和理解绝对值最小值的特性和应用，我们能够更好地解决各种数学问题。

追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究

追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究蒋志飞【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】2页(P88-89)【作者】蒋志飞【作者单位】江苏省丹阳市吕叔湘中学【正文语种】中文最近，在高三的一轮复习课堂上接连出现含绝对值的函数最值问题，笔者在教学中发现很有规律可循，现整理成文，与同行探讨．求函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值．（2011年高校自主招生联盟之一“北约”试题）众所周知，函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a＜b）的最小值为ba，此时x∈［a，b］．这不仅可以利用函数图像求得，也可以用绝对值不等式的性质很快得出结果．这类问题可以推广为n元的情况，同样可以结合这类函数的图像特征，求出相应的最小值，并且发现有规律可循．但是，“北约”将这道题继续推广：当绝对值内x的系数不全为1时，函数的最小值问题．那么这类问题该如何求出，是否具有一般性的规律呢？下面就借助首先给出函数的最小值的求法．先给出引理：函数f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bn|（b1＜b2＜…＜bn，n∈N+）一定有最小值．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=bk时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［bk，bk+1］时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．引理证明：（1）当n=2k-1（k∈N+）时，f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bk|+…+|x-b2k-1|（b1＜b2＜…＜bk＜…＜b2k-1）．由绝对值不等式的性质得|x-b1|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b1，当且仅当x∈［b1，b2k-1］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-2|≥b2k-2-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-2］时，等号成立；……|x-bk-1|+|x-bk+1|≥bk+1-bk-1，当且仅当x∈［bk-1，bk+1］时，等号成立；|x-bk|≥0,当且仅当x=bk时等号．又bk∈［bk-1，bk+1］⊆［bk-2，bk+2］…⊆…⊆［b1，b2k-1］，所以当且仅当x=bk时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-1-b1+b2k-2-b2+…+bk+1-bk-1=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|．（2）当n=2k（k∈N+）时，同理可得|x-b1|+|x-b2k|≥b2k-b1，当且仅当x∈［b1，b2k］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-1］时，等号成立；……|x-bk|+|x-bk+1|≥bk+1-bk，当且仅当x∈［bk，bk+1］时，等号成立．又［bk，bk+1］⊆［bk-1，bk+2］⊆…⊆［b1，b2k］，所以当且仅当x∈［bk，bk+1］时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-b1+b2k-1-b2+…+bk+1-bk=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．从以上证明的过程可知，如果函数的常数bi（i=1，2，···，n）有相等量，只需对bi从小到大排序，同样可以按照上述方法求出其最小值及相应的x值．进而得到推论：对于函数（x1≤x2≤…≤xn，M，n∈N+）的形式．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=xk时，f（x）取最小值；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［xk，xk+1］时，f（x）取最小值．例1求函数y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相应x的值．解故当x∈例2若不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：不等式可化为|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+ |x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立．又函数y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|最小值为f（1）=3，于是只需3＞2m，得故实数m的取值范围为用此推论，易得“北约”考题解答：f（x）min通过对函数i∈N+）的最小值的探究，使我们掌握了一种简捷的求解方法，它回避了描点画图和烦琐的运算，为研究相关的绝对值不等式问题提供了有力的工具，在实际中也具有一定的应用价值．1．注重发散思维，拓展解题方法高中数学是一门重逻辑、重思维的学科，除了涉及到众多理论内容之外，针对不同类型的数学题目也有诸多求解的方法，所以为了更好地解决有关的高中数学问题，需要在明确解题思路的基础上，合理选择一些适宜的解题方法来达到快速求解数学问题的目的，这就要求高中数学教师在平时的解题教学中要注重拓展学生的发散性思维，比如通过“一题多解”或者“多题一解”的变式解题训练可以更好地锻炼学生的解题思维，从而可以为提升学生的高中数学求解能力奠定扎实基础．而高中数学求解中常用的解题法有构建函数法、数形结合法、反证法以及类比法等多种方法．但是无论采用何种解题法，都需要结合题干信息及已求解出的条件来合理选用求解的方法，从而最终达到求解的目的．2．把握解题的适度性，提升解题能力教学中注重把握解题教学训练的适度性，避免陷入题海求解训练，更重要的是要把握解题训练的精炼特性，以便学生解题训练的效果最大化．比如，针对不同类型的高中数学知识，教师可以专门为学生制定一些专项解题训练题目来进行求解训练；引导学生在平时的解题过程中要注重及时反思解题过程中的差误，归纳和总结解题的一些小技巧、小窍门等解题经验，从而逐步借助高效的解题训练和解题知识的积累来逐步提升学生的数学解题能力．总之，教无定法，贵在得法，高中数学解题教学也不例外．传统解题训练过于重视“就题论题”和“题海训练”，却忽视了学生在解题训练中的自主能动性和思维的灵活性，影响了学生的解题效果．若能注意解题中的一题多解、多题一解等解题思想，注意解题的效率，就能提高学生的解题能力，教师的教学效益．。

一类含绝对值函数最值问题的解题思路研究

分成３个区间，即（－∞，１）∪ ［１，３］∪ （３，＋∞ ）。
角度进行了研究，得出了一个简单、实用的结论，值得
当ｘ＜１或ｘ＞３时，ｘ－１＋ｘ－３＞２；
推广，以慰读者。
当１≤ｘ≤３时，ｘ－１＋ｘ－３即距离之和等
１思路１：利用绝对值的几何意义解题
因
为
－
π ２
≤α≤
２π，所
以
－
π ４
≤α＋
π ４
≤３４π，所
以
（）（）－槡２２≤ｓｉｎ α＋４π
≤１，所
以
—１≤
槡２ｓｉｎ
α＋
π ４
≤
的三角代换可以将代数式转化为三角函数，进而利用三角函数的相关知识进行解决。三角代换的应用较为广泛，利用三角代换能够进行代数式求值、求解方程、证明或解答不等式、求函数的值域和最值等。
Hale Waihona Puke 题型５：含ｎ个绝对值的函数。
例５求函数ｙ＝ｘ－ａ１＋ｘ－ａ２＋ｘ－ａ３＋…＋ｘ－ａｎ的最小值。
解析：ｘ－ａ１＋ｘ－ａ２＋ｘ－ａ３＋ … ＋ｘ－ａｎ表示数轴ｘ对应的点到ａ１、ａ２、ａ３、…、ａｎ的距离之和，ａ１、ａ２、ａ３、…、ａｎ可将函数的定义域分为ｎ＋１个区间，即（－∞，ａ１），［ａ１，ａ２），［ａ２，ａ３）， …，［ａｎ－１，ａｎ），［ａｎ，＋∞ ）。
当ｘ＜－１或－１≤ｘ＜１或２＜ｘ≤４或ｘ＞４时，距离之和均大于６；当１≤ｘ≤

对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的

对一类求含绝对值的函数最小值问题一种解法的一点疑惑和探究联丰中学王培良 315000在一次偶然的机会，我去上海听了这么一节课，但听课过程中遇到了一点疑问：就是用代数法解一类含绝对值的函数问题最小值的等价性问题，并作了一些思考，具体如下：问题1：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值。

方法一（一般解法）：数形结合将函数f(x)=|x-1|+|x-2|化为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-=)2(,32)21(,1)1(,23)(x x x x x x f 然后作图，由图易知，f(x)的最小值为1。

方法二：几何法（1）在数轴上取点A(1，0)和点B(2，0)；（2）在数轴上取动点P(x ，0)；即|PA|+|PB|的最小值为所求。

则f(x)≥1（当且仅当1≤x ≤2时，取“=”号）。

方法三：代数法0)1(|1|2≥-=-x x最小，要使|2||1|)(-+-=x x x f 最小，只需22)2()1()(-+-=x x x g，由21)23(2562)(22+-=+-=x x x x g 。

最小，即时，当1)()(23min ==x f x g x 问题2：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

也有类似的三种解法其中方法三：代数法0)1(|1|2≥-=-x x最小，要使|3||2||1|)(-+-+-=x x x x f 最小，只需222)3()2()1()(-+-+-=x x x x g ，由2)2(314123)(22+-=+-=x x x x g。

最小，即时，当2)()(2min ==x f x g x类比推广问题3：求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|的最小值。

方法二：由画数轴可知：|x-10|≥0，|x-9|+|x-11|≥2，… …|x-1|+|x-19|≥18，当且仅当x=10时，它们的和最小。

即f(x)≥0+2+4+…+18=90。

初高中衔接绝对值教学论文

初高中衔接绝对值教学论文概要：每个高中生都是怀着信心和梦想踏入高中校门的，在衔接过程中兴趣和习惯的养成至关重要。

进行衔接教学之前，笔者与同僚首先了解到初高中课标的不同要求，制定适合本校学生的衔接教材，在假期以及开学之初进行专门讲评，精心的备课以外，深入了解学生的学生习惯。

从学生的角度考虑该怎样“教”，不断引导学生养成课前预习、学会听课、及时复习、系统小结的好习惯。

在教学过程中重视不断渗透贯穿高中的基本数学思想，如，数形结合、函数、分类讨论、等价转化等，教育不只是要学生模仿，更多是传授思路和方法。

概要：综上，不等式的解集为.高中阶段的数学概念、符号很多，有些也比较抽象，在衔接教学中培养学生对数学语言的识别和理解能力至关重要。

因此，数学语言的衔接是整个衔接过程的第一步，将绝对值的代数意义的文字语言归纳为符号语言，即这既体现了分类与整合的数学思想，同时也突出了解决绝对值问题的关键：去绝对值，将含有绝对值问题转化为不含绝对值的问题。

绝对值的几何意义即一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

如，表示数轴上表示数的点到原点的距离，即同样类比可得表示在数轴上数和数之间的距离。

一、各项突破，实现数学内容和方法的衔接高中数学教材人教A版选修4-5是不等式选讲部分，第一章的第二节的内容即为绝对值不等式，除此之外，高中课本中并没有对绝对值问题专门的研究和探讨，但含绝对值的方程、函数、不等式在高中学习中仍是经常出现的考点，作为数学学习的基础，在衔接教学过程中，从简单的函数和方程入手，重点强调含绝对值问题的解决办法，实现内容的衔接以及核心素养的培养。

1.含一个绝对值问题例1：探究：与的区别与联系（1）列表，分别画出两个函数图像（2）观察图像，说明区别与联系教师引导：步骤一：分别观察和时两个函数的图像;步骤二：联系绝对值的含义，将用函数表达式表示，进而可以通过函数的对称性画出图形.变式1：画出函数的图像变式2：解不等式变式3：解不等式教学过程中发现，通过对上述题目的数、形的分析，能够不断加深学生对绝对值的理解，在例题和变式中渗透着几种解决绝对值问题的方法：分类讨论法、几何意义法（以变式2为例，通过数轴寻求大于等于2的数的集合）、数形结合法，在教学过程中引导学生总结绝对值不等式问题的规律方法，即2.含两个绝对值问题例2：解不等式。

一类含有绝对值的函数最小值的求法

一类含有绝对值的函数最小值的求法第22卷第4期集宁师专年12月”Joun~of-l_mi1hersvo1.22No.4Dee.20o0文章编号:1007—7171(2OOO}O4—0089—02一类含有绝对值的函数最小值的求法㈨…中学…川C/z摘要讨论含有绝对值号函数的最小值求法.关键调塞型堕塑\}数,求l本文拟就形如,()=b1J:nJI+b2I一.2∈Q.,=1,2,…)的函数的最小值的求法作一些探讨.为研究上述问题,我们先来证明下面的结论.命题1若n≤6,则当n≤z≤6时,函数,(z)=l且最小值为b一..+…+bJz—nI(其中bI一nIJz一6I取最,J,值,证明,():I—nI+Iz—bI=『一.『+Ib—zI≥I(一.)+(6一z),I=b—n当(一.)(6一z)≥0即n≤z≤6时,”=“成立.所以当.≤≤6时.,()取到最小值b —n.本命题的结论包括两部分:若.≤z≤b时,)有最小值b—n.若.=b当z=.时,z)有最小值0.利用命题1的结论,我们可以得到如下更一般的结论.命题2若nJ口2…Ⅱ,函数f(z)=一Ⅱ『l+l∈R)的最小值.则当n为偶数时,m=_,(z),其中d/2≤≤.(,2)+l当为奇数时,rYt=,((/2)证明为了叙述问题的方便,我们作如下规定:若i=,则[q,q]=Ia设为偶数时.由命题1可知当xE[nI,”]时,I一”】I+一%I取到小值89当∈[Ⅱ2,Ⅱ一1]时,l一口2+一一ll取到最小值当∈[aa]2,.(12)+-]时,一Ⅱ,2l+l一.(,2)一jl取到最小值以上各区间的公共区间是[“,()+-],则对任意实数t∈[.,.()+1],()=—all+1—n2+…+l一l取到最小值卅=f(t),(an/2≤≤.(,2)+1)(2)当n为奇数时,同理可证m=f(a(+1],2)现在我们来考虑本文开头提出的问题,我们把它归结炽如下三种类型:1当bl=b2一～b时,可直接用命题,我们把它归结为如下三种类型: 2当bib2…b不尽相同或两两不等,且均为正整数时,可转化为命题2中当,n2,…,‰不尽相异的情形予以解决.(如本文倒3)3当blb2…不尽相同或两两不等,且不都是正整数时,可先提取其分母的晟小公倍数,从而转化为第2.类型处理.下面我们来看一下以下结论在解决具体问题中的应用.例120台机器人排成一直线做流水作业,它们都要从位于该直线上的一个固定的工具箱中拿工具,问工具箱放在哪里可使其到各机器人距离总的最小? 解取机器人所在流水为数轴,建立一维坐标系,设这20个机器人所在的坐标由小而大依次为nn,…,n.,工具箱所在点的坐标为z,则该问题转化为求函数. ff):1一口l1+1一.21+…+1一.201取最小值.根据命题2可知:al O≤≤n11例2解方程l一1l+一2l+…+l一1999l=9.99×10解由命题可知,函数f(x)=l一1l+l一2l+…+1.f一1999l当=1000时,取到最小值厂(10CO)=999+998+---+1+0+1+2+?--+999=9.99×105 故该方程的解为=1000例3求函数f(x)=l+1l+2一1l+3lz一2的最小值解f(x)=l+1+2一1+31一2l=+1+l一1l+l一11+一1f+一2+l一2l+l一2由命题2可知,当1≤z≤2时,,(z)取到最小值5例4解不等式l+2l+3x一1l+l一1l+3一7l>9 解:令f(x)=+21+一1l+一11+l3一7,则由命题2f(x)=+2l+3l一(1/3)+l一1l+3(7/3)l:lz+2l+l一(1/3)l+(一(1/3)l+一(t/3)l+l一1l+.一(7/3)+lz一(7/3)l+lz一(7/3)≥9当1/3≤≤1时,”=“成立.所以,原不等式解为>1或z<1/3。

高中数学教学论文绝对值不等式试题类型论文

高中数学教学论文绝对值不等式试题类型论文摘要：我重点介绍了绝对值不等式在高中阶段的主要解题方法。

由于当前绝对值不等式学习资源相对较少，所以高中生在学习过程中还是存在较多困惑。

我将不等式绝对值与实际问题连接在一起，进而增强最后学习效果，提高学习效率。

但是，作为一名在校高中生，由于知识水平所限，可能存在不足之处，希望有更多的同学、老师予以批评指正。

就不等式而言，绝对值不等式难度相对处于中等状态，但许多同学在解答绝对值不等式问题时，还是存在大量问题，特别是针对含参数不等式恒成立类型。

在整个研究过程中，我也将探讨不等式与最值直接存在的关系，并进一步证明。

最后根据各种不同解题方法进行总结，希望能够为学生的学习提供帮助。

在研究绝对值不等式的过程中，经常会出现我们所学习过的解题方式。

大多数同学对绝对值不等式不够了解的主要原因是还没有充分掌握高中数学解题思想，在数学学习过程中，应该重点考虑化归、换元、函数以及树形结合等方面的问题。

而绝对值不等式的研究也应该与上述内容形成关联。

一、绝对值不等式的解题方法例析若x属于实数范围，那么x+1+x-3≥a处于恒成立，求a对应的范围。

第一种解法：x+1+x-3≥（x-3）=4，因此就能够得出该等式对应的最小值为4，因此a≤4的时候，整个不等式处于恒成立状态。

第二种解法：将x+1+x-3等于y，随后根据y的范围画出对应函数图形，因为y≥4，所以y的最小值只能等于4，即a≤4时，不等式保持在恒成立状态。

总的来说，上述两种方式都具备自身特征，方法一相对来说更为简单，而方法二则更便于理解，同学们可以根据自身实际的需要，选择适合自己的方法。

若同学们想要追求解题速度，则可以使用方法一；若同学们的基础能力相对较差，想要更好地理解题目含義，则推荐使用方法二。

二、绝对值不等式内的数学思维1.分类讨论若一个问题想要直接就能够完成研究，必须对问题展开分类，同时得到对应结论，随后对各个不同结论进行整理。

一次绝对值函数的最小值问题的探讨

一次绝对值函数的最小值问题的探讨问题引入：如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使这5台机床到供应站P 的距离总和最小，点P 建在哪？最小值为多少？8421-1E D C B A相关概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

两个数的差的绝对值的几何意义：b a -是指数轴上表示数a 的点到表示数b 的点的距离。

绝对值的零点：使得绝对值为零的未知数x 的取值。

如3x -的零点是3x =．典型例题：例1：求当x 取何值时，函数1y x =-取得最小值。

例2：求当x 取何值时，函数12y x x =-+-取得最小值。

例3：求当x 取何值时，函数123y x x x =-+-+-取得最小值。

例4：求当x 取何值时，函数1234y x x x x =-+-+-+-取得最小值。

例5：求当x 取何值时，函数123...19y x x x x =-+-+-++-取得最小值。

例6：求当x 取何值时，函数123...1920y x x x x x =-+-+-++-+-取得最小值。

例7：求当x 取何值时，函数42611y x x x x x =-+++-+++-取得最小值。

例8：求当x 取何值时，函数426311y x x x x x x =-+++-+++++-取得最小值。

小结:①求当x 取何值时，函数()y x a x b a b =-+-≤取得最小值。

分析：()(),20=,,,,2,,2,==a b y x a b a x a b a b a x b x x ay x a b x a x b x a x b x b a b x x a y b a a x b x a b x b a b y x a x b b a a x b a b y x a x b b a a x b ==-≥=-==<-+-<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+->⎩+-<⎧⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩∴<=--≥-≤≤≤=--≥-≤≤当时其中“”当且仅当时成立；当时，，当时函数+其中“”当且仅当时成立综上，若，则函数+其中“”当且仅当时成()立 ②已知：1231n n a a a a a -≤≤≤≤≤，求当x 取何值时，函数1231n n y x a x a x a x a x a -=-+-+-++-+-取得最小值。

高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略

高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略近年来，含有绝对值函数的高考题目呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，成为高考的热点。

解这些客观题需要掌握绝对值函数的图像和性质，利用函数y=f（x）图像的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图像，然后利用图像求解。

对于常见的含绝对值的函数的图像和性质，也需要熟练掌握，才能提升解题速度。

例如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等。

举例来说，对于函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数，可以通过求解f（x）=2xlog0.5x-1=0，得到log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图像，观察它们的交点个数，即为函数f（x）零点的个数。

因此，答案为2，选项B。

对于函数f（x）=x-4+，x∈（，4），当x=a时，f（x）取得最小值b的问题，可以通过求解（x+1）2=9，得到a=2，b=1.然后，根据函数图像的变换规律，可以得到函数g（x）的图像为y=x+1.因此，答案为B。

对于含有x-a的绝对值函数，可以先根据x≤a和x>a进行分类，再结合函数的图像求解。

对于含参数的问题，还需要对参数进行分类讨论。

点评：本文需要进行的修改主要是格式方面的错误和删除一些明显有问题的段落，同时需要对每段话进行小幅度的改写。

修改后的文章如下：例6第（2）小题求解的主要流程是将原恒等式转化为a-xXXX成立的形式，然后通过去绝对值分离参数，最终通过求函数的最值来解题。

在数学中，我们经常需要将一个式子转化为另一个等价的形式，以便于我们进行计算或者求解。

在这个例子中，我们需要将一个绝对值不等式转化为一个普通的不等式，以便于我们进行后续的计算。

一类含绝对值函数的单调区间和最小值

一类含绝对值函数的单调区间和最小值作者：甘荣来源：《数学教学通讯·初等教育》2014年第12期摘 ;要：关于含绝对值函数f（x）=aix-bi（ai∈Q且ai≠0，bi∈R）的单调性和最小值问题，通常是采用分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，借助图象进行求解，但过程复杂. 笔者在多年的高中数学教学实践中，通过对该类函数的单调性和最小值的深入探究，掌握了一种简捷的求解方法，避免烦琐的运算和麻烦的作图，本文以定理的形式给出它的一般结论，并说明其应用.关键词：绝对值函数;单调区间;最小值;应用由图象可知，函数f（x）=x-a在（-∞，a）上是减函数，在[a，+∞）上是增函数，当x=a 时，f（x）取最小值f（a）=0;函数f（x）=x-a+x-b（a定理函数f（x）= ;x-bi（b1其中x表示不超过实数x的最大整数，例如 ;=5.8=5，以下文同.证眀：当x≤b1时，f（x）的图象是射线f（x）=-nx+ ;bi，且x→-∞时，f（x）→+∞;当x≥bn时，f（x）的图象是射线f（x）=nx- ;bi，且x→+∞时，f（x）→+∞;当bi≤x≤bi+1（i=1，2，…，n-1）时，f（x）的图象是线段f（x）=（2i-n）x+ci（其中ci=bn+bn-1+…+bi+1-bi-bi-1-…-b2-b1）;（1）当n=2k-1（k∈N*）时，若i≤k-1，则2i-n=2（i-k）+1≤2（k-1-k）+1<0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为减函数;若i≥k，则2i-n=2（i-k）+1≥2（k-k）+1>0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为增函数.所以，当n=2k-1（k∈N*）即n为奇数时，函数f（x）在（-∞，bk]上是减函数，在[bk，+∞）上是增函数，且当x=bk时，f（x）取最小值为f（bk）.又n=2k-1（k∈N*）时， ;= ;+1=k;故当n=2k-1（k∈N*）即n为奇数时，函数f（x）在-∞，b ; ;上是减函数，在b ; ;？摇+1，+∞上是增函数，且当x∈b ; ;？摇，b ; ;？摇+1时，f（x）取最小值为fb ; ;？摇=fb ; ;？摇+1.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇（2）当n=2k（k∈N*）时，若i≤k-1，则2i-n=2（i-k）≤2（k-1-k）<0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为减函数;若i≥k+1，则2i-n=2（i-k）≥2（k+1-k）>0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上为增函数;若i=k，则2i-n=0，所以f（x）在x∈[bi，bi+1]上恒为常数ci. 所以，当n=2k（k∈N*）即n为偶数时，函数f（x）在（-∞，bk]上是减函数，在[bk+1，+∞）上是增函数，当x∈[bk，bk+1]时，f （x）取最小值为f（bk）=f（bk+1）.又当n=2k（k∈N*）时， ;=k， ;+1=k+1，故当n=2k（k∈N*）即n为偶数时，函数f （x）在-∞，b ; ;上是减函数，在b ; ;？摇+1，+∞上是增函数，当x∈b ; ;？摇，b ; ;？摇+1时，f（x）取最小值为fb ; ;=fb ; ;？摇+1. 综上所述，定理得证.特别地，当常数bi（i=1，2，…，n）有相等值时，同样对bi从小到大排序，定理中的结论也成立. 由此可得推广函数f（x）= ;aix-bi（ai∈Q且ai≠0，bi∈R）总可化为f（x）= ; ;x-xi（x1≤x2≤…≤xn，m，n∈N*）的形式，且f（x）在-∞，x ; ;上是减函数，在x ; ;？摇+1，+∞上是增函数，当x∈x ; ;，x ; ;？摇+1 时，f（x）取最小值为fx ; ;=fx ; ;？摇+1.下面举例说明定理及推广的应用例1 ;（2012年“北约” 高校自主招生试题第1题）求x的取值范围，使得f（x）=x+2+x+x-1是增函数.解：由定理知，所求x的取值范围是[0，+∞）.例2 （2006年高考全国卷2试题第12题）函数f（x）= ;x-n的最小值为（ ;）A. 190B. 171C. 90D. 45解：由定理知 f（x）min=f ;？摇+1=f（10）=2（1+2+…+9）=90，故选C.例3 ;（2007年全国高中数学联赛试题）设实数a使得不等式2x-a+3x-2a≥a2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ;）A. - ;， ;B. - ;，C. - ;， ;D. [-3，3]解：原不等式等价于x- ;+x- ;+x- ;+x- ;+x- ;≥a2恒成立. 由推广，对任意实数a都有函数f（x）=x- ;+x- ;+x- ;+x- ;+x- ;的最小值等于f ;= ;.所以，只需;≥a2=a2，解得- ;≤a≤ ;，故选A.例4 求函数f（x）= ;+1+ ;-1+ ;-1+1的单调区间和最小值.解：令g（x）= ;+1+ ;-1+ ;-1，则g（x）= ;（x+2+x+2+x+2+x-3+x-3+x-6）.又g（x）与f（x）的单调性相同，由推广知f（x）在（-∞，-2]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，所以当x∈[-2，3]时，f（x）min=f（3）= ;+1+ ;-1+ ;-1+1=4.例5 ;（2011年“北约” 髙校自主招生试题第7题）求f（x）=x-1+2x-1+3x-1+…+2011x-1的最小值.解：因为f（x）=x-1+x- ;+x- ;+…+ ;，且f（x）的右边共有1+2+3+…+2011=2023066项.由于数列{an}： 1，（2，2），（3，3，3），…，（ ;）（k∈N*，且1≤k≤2011）的前k-1项的和Sk-1= ;，显然 ;+1=n，解得k= ;.因为数列{an}中相同的项有n个（n∈N*），所以，k是 ;的整数部分，于是通项an= ;. 又因为 ;=1011533， ;+1=1011534，所以a1011533= ;=1422，a1011534= ;=1422.于是，由推广知，当x∈ ;， ;时，f（x）min=f ;=1- ;+1- ;+…+1- ;+ ;-1+ ;-1？摇+…+ ;-1=1422- ;+ ;=1422- ;- ;+ ;=1422- ;=1422- ;=1422- ;= ;.。