工程力学-9
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工程力学9 平面汇交力系的合成与平衡
2、再利用解析法求合力的大小和方向。
RX F1X F2X 17.3 20 37.3KN RY F1Y F2Y 10 34.6 44.6KN
R
R
2 x
R
2 y
37.32 44.62 58.1KN
tan R y Rx
44.6 37.3
1.1957
α=50.1°
4.平面汇交力系平衡的解析条件
平面汇交力系平衡的充要条件是其合力为零。
解析式： R
R
2 x
R
2 y
0
即：
R x Fx 0 R y Fy 0
此式称为平面汇交力系的平衡方。若一个平
衡的汇交力系中存在两个未知力，可应用这两个独立
方程求得。
F
例 3：求图示绳子BC和BD的拉力。
解：1、绳子为柔性约束，只能承受拉力，由
CB
Fx
bx
正方向
F在坐标轴上的投影正负规定：当从力F始 端的投影a到终端b的方向与投影的正向一 致时，力的投影取正值；反之，取负值。
例题1：已知F1=100N，F2=F3=150N，F4=200N，试求各力 在在坐标轴上的投影值大小。
y
F1Y=F1sin45°=100 ×0.707=70.7N
F1
F1Y
FBD 14.14KN FBC 10KN
tan
Ry Rx
Y X
为合力R与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由各力在轴上
投影和正负确定。
例题2：如图所示，力F1和F2汇交于O点，已知
F1=20KN,F2=40KN,试求R的大小和方向。
Ry
y
F2y
F2
R 我们可以利用解析法 求合力的大小和方向
工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章
m ( F ) 0 P 1 Q 0.5 0 Q 2 P
mA ( F ) 0 1.5Q 3.5P 5 FB 0 FB 1.3P mB ( F ) 0 1.5P 3.5Q 5FA 0 FA 1.7 P
课
P 2. 4 4 2. 4 9.6(kN m) 2 8 2 P =2.561(kN ) FN cos 2 2 22 2.42
w.
9.6
A
25
-
2.561
+
FN （kN
25
z
co
）
FQ D2
M
M 图（ kN .m ）
m
P/2
补充 2： 水塔盛满水时连同基础总重量为 G， 在离地面 H 处， 受一水平风力合力为 P 作用， 圆形基础直径为 d,基础埋深为 h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m ，试校核基础的承载
梁上各横截面上轴力弯矩均为常2510253应力分析判危险点如右所示图整个横截面上均有n引起的均布的拉应力my引起后拉前压的弯曲应力mz引起上拉下压的弯曲应力点于d100025pa1010101010206060mpa140mpa四点的应力值
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ww
w.
max
（4）强度计算选择槽钢的型号：
1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：
工程力学C-第9章 扭转
T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学-第9章 扭转
第9章扭转（6学时）教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：9.1 引言工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图9-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图9-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
图9-1图9-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。
工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
工程力学第9章 应力状态与强度理论
27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16
工程力学第9章(扭转)
例：图示传动轴，主动轮B 输入的功率 B=10kW，若不计 图示传动轴，主动轮 输入的功率P ， 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为P 轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为 A=4kW， ， PC=6kW，轴的转速 = 500r/min，试作轴的扭矩图。 ，轴的转速n ，试作轴的扭矩图。
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
工程力学 第9章 扭转_2
两轴的横截面面积之比： 两轴的横截面面积之比：
π 2 2 (D2 − d2 ) D2(1−α2 ) A 4 2 2 = = = 1.1942(1− 0.82 ) = 0.512 2 π 2 A d1 1 d1 4
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料. 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
空心轴远比 实心轴轻
第9章 扭转 章
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形（相对扭转角） 圆轴扭转变形（相对扭转角）
dφ T = dx GIp
T(x) dφ = dx GIp (x) T(x) φ =∫ dx l GI (x) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度 圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
2. 刚度校核
T dφ = 1 dx 1 GIp T2 dφ = dx 2 GIp
因 T > T2 1
dφ dx max
T dφ dφ 故 = = 1 dx max dx 1 GIp 180 N⋅ m 180 = = 0.43(o ) / m<[θ] (80×109 Pa)(3.0×105 ×10-12 m4 ) π
Tmax = ≤ [τ ] Wp
第9章 扭转 章
四、圆轴合理强度设计 1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
若 Ro/δ 过大 将产生皱褶
第9章 扭转 章
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓 应力集中
第9章 扭转 章
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ ] = 50 MPa，试根据强度条 ， ， 的空心圆轴，并进行比较。 件设计实心圆轴与 α = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径 ： 确定实心圆轴直径
工程力学9-扭转
实心圆：
Ip
d 4
32
空心圆：
I
p
(D4
32
d4)
D4
32
(1 4 )
抗扭截面系数
实心圆：
d 3
Wp 16
空心圆：
Wp
D3
16
(1 4 )
工程64力学
例题
传动轴如图所示，动力经齿轮2输送给传动轴，然 后由1、3两轮输出。若齿轮1和3输出的功率分别为 0.76kW和2.9kW，轴的转速为180rpm, 材料为45号钢， 轴的直径为28mm, 则该轴的最大切应力是多少，位于 哪段？
变形特征：横截面绕轴线转动。
工程14力学
扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征 的变形形式。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶 扭力偶矩：扭力偶的矩 轴：凡是以扭转为主要变形的直杆
轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移即扭转角表示。
工程15力学
§9-2 动力传递与扭转 一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
工程25力学
取3-3截面右侧分析
列方程
Mx 0
T3 M D 0 T3 MD 2859 N m
工程26力学
由上述计算得到扭矩值
T1 4300N m T2 6690N m T3 2859N m
画扭矩图
TB
1 TC 2 TA 3 TD
B1C MTx（kN·m）
dA
r
O
M Mx
对圆心O 的微力矩 dM t (r)dAr
内力矩，扭矩 Mx
Mx
dM t (r)rdA A
代入物理关系和几何关系： M x
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度
d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
工程力学—第九章 扭转
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
工程力学(第二版)第9章武汉理工大学出版社 李卓球 朱四荣 侯作富
q 2
lx2 (
2
x3 3
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
lx3 (
6
x4 )
12
C1x
C2
24EI
w qx (l3 2lx2 x3 ) 24EI
由对称性可知, 在两 端支座x＝0和x＝l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y
A
A
l/2
q wmax B
受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角
方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。
解：以梁左端A为原点, y
取直角坐标系, 令x轴
向右, y轴向上为正。
A
F
B x
(1) 列弯矩方程
x
l
M (x) F (l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
FA
FB
ql 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a)
22
2
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
C
B
简单的荷载。 l
wC wCq wCM
工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析
第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１ 圆轴扭转变形特征 －反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 ９－１－２ 变形协调方程 ９－１－３ 物性关系－剪切胡克定律 ９－１－４ 静力学方程 ９－１－５ 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为
工程力学 第9章 扭转
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之 比等于横截面面积之比。
A2 6.87 104 0.31 4 A1 22.2 10
可见在载荷相同的条件下，空 心轴的重量仅为实心轴的31% 。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
扭转变形的标志是两个横截面之间绕轴线的
相对转角（扭转角 ）。
§9.4 圆轴扭转横截面上的应力
Me
p q
Me
_扭转角（rad）
p p
d
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离：
q q
aa ' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R
a
d
O
c p
a
'
b b′ q
aa' Rd ad dx
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
相对扭转角
抗扭刚度
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
当各段内的扭矩不同时，要分段计算，然后按代
数值相加
Ti li i 1 GI Pi
n
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件 Tl GI P
单位长度扭转角 rad/m
d T dx GI p
'
rad/m
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
§9.6 圆轴扭转破坏与强度条件 例 由无缝钢管制成的汽车
传动轴，外径D=89mm，内径 d=85mm，工作时的最大扭矩
T=1.5KN·m，[]=60MPa。校
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
工程力学-第9章
基本概念
梁的位移与约束密切相关
基本概念
三种承受弯曲的梁
AB段各横截面都受有相 同的弯矩（M＝Fa）作用。
三 种 情 形 下 ， AB 段 梁 的
曲率（1／）处处对应相等，
因而挠度曲线具有相同的形 状。但是，在三种情形下， 由于约束的不同，梁的位移 则不完全相同。
对于没有约束的梁，因 为其在空间的位置不确定， 故无从确定其位移。
第9章
弯曲刚度问题
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第9章 弯曲刚度问题
基本概念 小挠度微分方程及其积分 梁的刚度设计 结论与讨 论
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基本概念
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载， 梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑 曲 线 称 为 弹 性 曲 线 （ elastic curve ） ， 或 挠 度 曲 线 （deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角 度，称为转角（slope）用表示；
基本概念
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，种位置的 改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平 位移（horizontal displacement），用u表示。
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和
AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
小挠度微分方程及其积分
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第9章 应力状态分析
难度：一般
解答：
正确答案是D。
四个应力状态的主应力， 、 、 ；其主力方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。
9－30关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa；
（B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa；
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答
第9章 应力状态分析
9－1木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：
1．面内平行于木纹方向的切应力；
2．垂直于木纹方向的正应力。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析
难度：易
解答：
（a）平行于木纹方向切应力
MPa
垂直于木纹方向正应力
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：一般
解答：
MPa
MPa
MPa
9－21液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa， = 0.30。试求当内压p=10MPa时，液压缸内径的改变量。
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：难
解答：
缸体上
MPa
MPa
9－22试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能
知识点：应力状态的基本概念
难度：一般
解答：
正确答案是B。
MPa
MPa
，为单向应力状态。
9－28试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。
（A）四者均等价；
（B）仅（a）和（b）等价；
（C）仅（b）、（c）等价；
（D）仅（a）和（c）等价。
解答：
正确答案是D。
四个应力状态的主应力， 、 、 ；其主力方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。
9－30关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
（A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa；
（B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa；
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答
第9章 应力状态分析
9－1木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：
1．面内平行于木纹方向的切应力；
2．垂直于木纹方向的正应力。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析
难度：易
解答：
（a）平行于木纹方向切应力
MPa
垂直于木纹方向正应力
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：一般
解答：
MPa
MPa
MPa
9－21液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa， = 0.30。试求当内压p=10MPa时，液压缸内径的改变量。
知识点：广义胡克定律、压力容器应力分析
难度：难
解答：
缸体上
MPa
MPa
9－22试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能
知识点：应力状态的基本概念
难度：一般
解答：
正确答案是B。
MPa
MPa
，为单向应力状态。
9－28试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。
（A）四者均等价；
（B）仅（a）和（b）等价；
（C）仅（b）、（c）等价；
（D）仅（a）和（c）等价。
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第9章 应力状态分析
1． MPa
MPa
MPa
2．
MPa
MPa
9－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
1．只承受轴向载荷FP = 250kN；
2．只承受内压p=5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p=5.0MPa（两端封闭）
难度：一般
解答：
（1）当 = 40℃
mm＜
mm＜
所以铝板内无温度应力，
（2）当 = 80℃
mm＞
mm＞
∴ （1）
（2）
所以解得qx = qy=70MPa（压）
， MPa
MPa
9－18对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、 ，且由实验测得 和 。试证明：
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
难度：一般
解答：
正确答案是C。
（A）不满足切应力互等定律；
（B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
9－27微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
MPa
9－7受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。
知识点：应力圆的应用
难度：难
解答：
应力圆半径
9－8从构件中取出的微元，受力如图所示。试：
1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
MPa
MPa
2．
MPa
MPa
9－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
1．只承受轴向载荷FP = 250kN；
2．只承受内压p=5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p=5.0MPa（两端封闭）
难度：一般
解答：
（1）当 = 40℃
mm＜
mm＜
所以铝板内无温度应力，
（2）当 = 80℃
mm＞
mm＞
∴ （1）
（2）
所以解得qx = qy=70MPa（压）
， MPa
MPa
9－18对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、 ，且由实验测得 和 。试证明：
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
难度：一般
解答：
正确答案是C。
（A）不满足切应力互等定律；
（B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
9－27微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
MPa
9－7受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。
知识点：应力圆的应用
难度：难
解答：
应力圆半径
9－8从构件中取出的微元，受力如图所示。试：
1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
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1
K
KC K
FR1
K
c1
c2 c3
FR3 FR2
支座移动时的位移计算公式
KC - FRi c i
第四节 荷载作用引起的位移
一、位移计算公式的推导
位移计算的一般公式
荷载作用位移计算公式
无支座移动
Kj FNk du j FSk dv j M k d j
M=1
M P图 M A图
6
Fp=1
MC图
第二节 虚功原理
二、实功和外力虚功的概念
广义力F
作 功 的 两 因 素
力 位移
集中力
力偶
一对集中力
一对力偶
线位移
角位移
相对线位移 相对角位移
广义位移△
W F
第二节 虚功原理
三、变形体系的虚功原理 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由 于其它原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则 外力在相应位移上所做的外力虚功T 恒等于整个变形体 各个微段内力在变形上所做的内力虚功W。
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
单位荷载法
第二节 虚功原理
五、位移计算的一般公式 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置 相应的虚拟力状态。
B
1
求△A
求 A
A 实际状态
A 虚拟状态
1
求△AB B
1
A 虚拟状态
求
A 虚拟状态
AB
B A
1
1
虚拟状态
1
第三节 支座移动引起的位移
整个结构的内力虚功为
第二节 虚功原理
四、内力虚功 虚功原理的两种应用 1、虚设位移状态——可求实际状态的未知力。这 是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用虚功 原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2、虚设力状态——可求实际状态的位移。这是在 给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理， 这种形式的应用即为虚力原理。
第四节 荷载作用引起的位移
【例题1】图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移。
实际状态 虚设状态
1
P
a
k
P
0
0
P
a
1
2 2
1
2P
k
a
kx
a
1
FNP Fi l 1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
第五节 图乘法
一、图乘法的应用条件 杆轴为直线； EI为常数； 两个弯矩图中应有一个是直线图形。
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 受弯构件的位移计算公式: o
1 EI
L
MP M ds EI
dω 形心 C A
L 0
M P Mds M x tan
L 0
y
tan EI
4 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。
第二节 虚功原理
二、实功和外力虚功的概念 实功：力在自身所引起的 位移上做功，称为实功。
力状态
WS =P1 1
虚功：力在沿其它因素 位移状态 引起的位移上所做的功， 称为虚功。其它因素如另 WX =P1 2 外的荷载作用、温度变化 或支座移动等。 虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与 力无关的特点。
在结构的制作、架设、养护等 过程中，需要进行位移计算。
3
计算超静定结构时，还必须考 虑位移条件。
第二节 虚功原理
一、线性变形体 定义：位移与荷载呈线性关系的体系，称为线性变形 体系。 线性变形体的基本假定：
1 荷载与位移成正比σ=Eε；
2 位移是微小的，建立平衡方程可应用变形前几何尺寸；
3 具有理想约束的体系，且体系为几何不变体；
第四节 荷载作用引起的位移
一、位移计算公式的推导
kFSP FS FNP FN MP M ds ds ds EA GA EI
FN , FS , M 为单位力作用下结构产生的轴 力、剪力、弯矩
FNP , FSP , M P为荷载作用下结构产生的轴力、 剪力、弯矩
第四节 荷载作用引起的位移
P A C
△C
B
△ 线位移： B和△C
角位移：
△BC
△B
B和 C
C
绝对位移:相对某一截面△B和△C 相对位移:两个截面之间相对位置 的改变
BC
B
△BC= △B- △C BC= B- C
第一节 概述
二、结构位移计算的目的 1
为了校核结构的刚度，即保证 结构的位移不超过允许值。
2
F F ds EA
•组合结构
不考虑剪切变形
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M M F F ds ds EI EA
第四节 荷载作用引起的位移
一、位移计算公式的推导
Kj FNk du j FSk dv j M k d j
duj ds, dv j ds, d j ds
FNP EA kFSP GA MP EI
FNP FNk kFSP FSk M P Mk kj ds ds ds EA GA EI
二、不同结构的位移计算公式
•梁、刚架
只考虑弯曲变形
ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall P developed by Guild Design Inc.
M M ds EI
•桁架
只考虑轴向变形
ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall NP N developed by Guild Design Inc.
l/3
3l/8
5l/8
hl 2
1
h
3;b)/3 h
1
2hl 3
顶点
3hl 4 hl 2 4
4l/5
l/5
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 复杂图形的处理 说明：若两个M图在杆件的同侧， 乘积取正值；反之，取负值。
×
=
×
+
×
×
=
×
+
第九章 静定结构的位移计算
本章概述
1 2 3 4 5
概述 虚功原理
支座引起的位移
荷载作用引起的位移 图乘法
第一节 概述
一、结构位移 定义：结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作 用下，结构将产生变形和位移。
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
第一节 概述
一、结构位移 位移的分类
虚功方程
T =W
第二节 虚功原理
四、内力虚功
A
RA 力状态 FS FN
ds
P
M
q B ds
位移状态 A
ds
B
q
RB FS+dFS FN+dFN
ds du
ds
d
du ds ,dv ds ,d ds
dv
ds
微段ds上的内力虚功为
dW=FNdu+FSdv+Md FNds FSds Mds
M P xdx
0
M P图 B
图乘法计算公式
dx
EI
α
M
yo
M图 B x
y0
x A x0
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 两个直线图形的图乘公式:
1 1 1 2 aLy1 2 bLy2 EI
a
w1 w2
b d B
L 2ac 2bd ad bc cA 6 EI
第二节 虚功原理
五、位移计算的一般公式 t1 设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及 P1 支座移动等因素引起 位移如图。 求任一指定截面K沿 任一指定方向 k—k上 的位移△Kj 。 虚功原理 c1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 K′
k
c3
K
k
ds
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
F Nk、 Sk、 k F M
y1
y2
L
此公式适用所有直线图形的情况。
第五节 图乘法
二、图乘法的公式
L 2ac 2bd ad bc 6 EI
×
｛ ｛
｛ ｛
×
×
×
×
｛
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 几种图形的面积及形心
2l/3 h l a h (l+a)/3 h l/2 l/2 b 顶点 3l/4 2l/5 3l/5 l/4
×
第五节 图乘法
【例题2】求A点的转角和C点的竖向位移。 解：（1）求A点的转角
A 300 6 1 300 1 2EI 3 EI
A A 6m 300 45 B 10kN/m 20kN C C
B
6m
（2）求C点的竖向位移
CV 300 6 2 6 2 2 EI 3 2 6660 1 6 45 3 3EI EI
K
KC K
FR1
K
c1
c2 c3
FR3 FR2
支座移动时的位移计算公式
KC - FRi c i
第四节 荷载作用引起的位移
一、位移计算公式的推导
位移计算的一般公式
荷载作用位移计算公式
无支座移动
Kj FNk du j FSk dv j M k d j
M=1
M P图 M A图
6
Fp=1
MC图
第二节 虚功原理
二、实功和外力虚功的概念
广义力F
作 功 的 两 因 素
力 位移
集中力
力偶
一对集中力
一对力偶
线位移
角位移
相对线位移 相对角位移
广义位移△
W F
第二节 虚功原理
三、变形体系的虚功原理 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由 于其它原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则 外力在相应位移上所做的外力虚功T 恒等于整个变形体 各个微段内力在变形上所做的内力虚功W。
c2
Ｒ １ Ｒ ２
虚拟状态－力状态
实际状态－位移状态
单位荷载法
第二节 虚功原理
五、位移计算的一般公式 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置 相应的虚拟力状态。
B
1
求△A
求 A
A 实际状态
A 虚拟状态
1
求△AB B
1
A 虚拟状态
求
A 虚拟状态
AB
B A
1
1
虚拟状态
1
第三节 支座移动引起的位移
整个结构的内力虚功为
第二节 虚功原理
四、内力虚功 虚功原理的两种应用 1、虚设位移状态——可求实际状态的未知力。这 是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用虚功 原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2、虚设力状态——可求实际状态的位移。这是在 给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理， 这种形式的应用即为虚力原理。
第四节 荷载作用引起的位移
【例题1】图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移。
实际状态 虚设状态
1
P
a
k
P
0
0
P
a
1
2 2
1
2P
k
a
kx
a
1
FNP Fi l 1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
第五节 图乘法
一、图乘法的应用条件 杆轴为直线； EI为常数； 两个弯矩图中应有一个是直线图形。
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 受弯构件的位移计算公式: o
1 EI
L
MP M ds EI
dω 形心 C A
L 0
M P Mds M x tan
L 0
y
tan EI
4 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。
第二节 虚功原理
二、实功和外力虚功的概念 实功：力在自身所引起的 位移上做功，称为实功。
力状态
WS =P1 1
虚功：力在沿其它因素 位移状态 引起的位移上所做的功， 称为虚功。其它因素如另 WX =P1 2 外的荷载作用、温度变化 或支座移动等。 虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与 力无关的特点。
在结构的制作、架设、养护等 过程中，需要进行位移计算。
3
计算超静定结构时，还必须考 虑位移条件。
第二节 虚功原理
一、线性变形体 定义：位移与荷载呈线性关系的体系，称为线性变形 体系。 线性变形体的基本假定：
1 荷载与位移成正比σ=Eε；
2 位移是微小的，建立平衡方程可应用变形前几何尺寸；
3 具有理想约束的体系，且体系为几何不变体；
第四节 荷载作用引起的位移
一、位移计算公式的推导
kFSP FS FNP FN MP M ds ds ds EA GA EI
FN , FS , M 为单位力作用下结构产生的轴 力、剪力、弯矩
FNP , FSP , M P为荷载作用下结构产生的轴力、 剪力、弯矩
第四节 荷载作用引起的位移
P A C
△C
B
△ 线位移： B和△C
角位移：
△BC
△B
B和 C
C
绝对位移:相对某一截面△B和△C 相对位移:两个截面之间相对位置 的改变
BC
B
△BC= △B- △C BC= B- C
第一节 概述
二、结构位移计算的目的 1
为了校核结构的刚度，即保证 结构的位移不超过允许值。
2
F F ds EA
•组合结构
不考虑剪切变形
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M M F F ds ds EI EA
第四节 荷载作用引起的位移
一、位移计算公式的推导
Kj FNk du j FSk dv j M k d j
duj ds, dv j ds, d j ds
FNP EA kFSP GA MP EI
FNP FNk kFSP FSk M P Mk kj ds ds ds EA GA EI
二、不同结构的位移计算公式
•梁、刚架
只考虑弯曲变形
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M M ds EI
•桁架
只考虑轴向变形
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l/3
3l/8
5l/8
hl 2
1
h
3;b)/3 h
1
2hl 3
顶点
3hl 4 hl 2 4
4l/5
l/5
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 复杂图形的处理 说明：若两个M图在杆件的同侧， 乘积取正值；反之，取负值。
×
=
×
+
×
×
=
×
+
第九章 静定结构的位移计算
本章概述
1 2 3 4 5
概述 虚功原理
支座引起的位移
荷载作用引起的位移 图乘法
第一节 概述
一、结构位移 定义：结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作 用下，结构将产生变形和位移。
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
第一节 概述
一、结构位移 位移的分类
虚功方程
T =W
第二节 虚功原理
四、内力虚功
A
RA 力状态 FS FN
ds
P
M
q B ds
位移状态 A
ds
B
q
RB FS+dFS FN+dFN
ds du
ds
d
du ds ,dv ds ,d ds
dv
ds
微段ds上的内力虚功为
dW=FNdu+FSdv+Md FNds FSds Mds
M P xdx
0
M P图 B
图乘法计算公式
dx
EI
α
M
yo
M图 B x
y0
x A x0
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 两个直线图形的图乘公式:
1 1 1 2 aLy1 2 bLy2 EI
a
w1 w2
b d B
L 2ac 2bd ad bc cA 6 EI
第二节 虚功原理
五、位移计算的一般公式 t1 设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及 P1 支座移动等因素引起 位移如图。 求任一指定截面K沿 任一指定方向 k—k上 的位移△Kj 。 虚功原理 c1
k
K
△Kj
P2
ds
k PK=1
t2 K′
k
c3
K
k
ds
Ｒ ３
du j、 dv j、 d j
F Nk、 Sk、 k F M
y1
y2
L
此公式适用所有直线图形的情况。
第五节 图乘法
二、图乘法的公式
L 2ac 2bd ad bc 6 EI
×
｛ ｛
｛ ｛
×
×
×
×
｛
第五节 图乘法
二、图乘法的公式 几种图形的面积及形心
2l/3 h l a h (l+a)/3 h l/2 l/2 b 顶点 3l/4 2l/5 3l/5 l/4
×
第五节 图乘法
【例题2】求A点的转角和C点的竖向位移。 解：（1）求A点的转角
A 300 6 1 300 1 2EI 3 EI
A A 6m 300 45 B 10kN/m 20kN C C
B
6m
（2）求C点的竖向位移
CV 300 6 2 6 2 2 EI 3 2 6660 1 6 45 3 3EI EI