人教B版数学必修四同步过关提升特训：2.2.1平面向量基本定理

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数学人教B版必修4 2.2.1平面向量基本定理学案 Word版缺答案

2.2.1平面向量基本定理
一．学习要点：向量基本定理及其简单应用
二．学习过程：
（一）复习：
1 向量的加法运算;
2 向量共线定理；
（二）新课学习：
1．平面向量基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，，使a = ．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的。

注：
①1e ，2e 均非零向量；
②1e ，2e 不唯一（事先给定）；
③1λ，2λ唯一；
④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ== 时，0a =．
2．例题：
例 1 已知向量1e ，2e （如图），求作向量122.53e e -+．
例 2 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，用a 、b 1e
2e D b C B a A M
表示MA 、MB 、MC 和MD ．
例3 已知向量a 和b 不共线,实数x,y 满足向量等式(2)45(2)x y a b a x y b -+=+-,求实数x,y 的值.
例4如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈，用OA 、OB 表示OP ．
(三) 巩固练习
教材98页练习
(四) 作业: 见作业（18）。

高中人教版数学必修4 2.2.1平面向量基本定理

1 2
我们把不共线的向量e1 、 e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底。
平面向量基本定理
注意：① e1 , e2 均为非零向量
②.任意向量a都能被表示 1、零向量能否被表示？ 2、与基底的其中一个向量共线的向量能否被表示？ ③.基底唯一吗？ ④.若 e1 , e2共线，还能表示向量a吗？
思考
o
1 （ a b ） 2
M
A
B
如果e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量a , 有且只有一对实数a1 , a2 , 使a a1e1 a2 e2 .
平面向量基本定理
对基本定理的理解注意三点： ① 基底中两向量不共线 ② 表达形式的唯一确定性 ③ 可表示平面内任一向量
平面向量基本定理
1.复习:
⑴向量共线充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当当当
| 倍; 0 时， b 与 a 同向，且 | b | 是 |a的 | | 倍 | ; 0 时， b 与 a 反向，且 | b | 是 |a的 0 时， b 0 ，且 | b | 0 。
例1
且 AB a ， AD b，用a、 b表示MA 、 MB、 MC、 MD ?
如图所示，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 M，
D M
A B
C
例2. O A, O B 不共线，
AP t AB(t R ), 用O A ， OB 表示O P O
P
B
A
解:
AP t AB OP OA AP OA t AB OA t (OB OA) OA tOB tOA (1 t )OA tOB

数学人教b版必修4教案：2.2.1 平面向量基本定理含答案

学生学情分析：1.平面向量基本定理的学习是在学生系统学习了向量的概念及线性运算的基础上进行的，是对向量加法和数乘运算的进一步应用.此前，学生已在物理中初步掌握了力、速度、位移等的分解，为理解平面向量基本定理奠定了一定基础. 2．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

3．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

教材分析：1.教材中给出了一个实际例子(火箭升空的某一时刻速度的分解)，已经让学生感受到向量分解的实际背景，但这个背景对于学生来说有些陈旧，且图片有些偏离实际(火箭与地面形成了45度的夹角，与实际上火箭发射方向一般开始时垂直于地面不符).因此需要设计一个更具时代气息的问题，通过类比来激发学生学习新知的兴趣和欲望.2本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养.3.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解.4.本课之后要研究向量的坐标表示及运算.本课要从向量的线性运算中得出平面向量基本定理，为下一课定义向量的坐标提供理论基础，从而彻底实现“向量运算的代数化”.所以本课具有承前启后的作用.课标分析向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。

数学人教B版必修4示范教案：2.2.1 平面向量基本定理 Word版含解析

示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略．应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来解决.例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则 OM →＝12(OA →＋OB →)．这是线段AB 的中点的向量表达式．这个公式很重要，应让学生理解并记忆.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B组2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b . 设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .① 又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .② 由①②，得⎩⎨⎧ －1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →. ∴C 、P 、L 三点共线．∴AD 、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB → C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB → 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、CC ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC→的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6。

数学：2.2.1《平面向量基本定理(一)》教案(新人教B版必修4)

2.2.1平面向量基本定理(人大附中乜全力)
一、教学目标 1。

知识与技能
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。

2。

过程与方法
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。

3。

情感态度与价值观
通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．二、教学重点与难点
重点：平面向量基本定理的应用；
难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性．三、教学方法
探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．四、教学过程
点出发，以初速度υ
2. OC s s =+
2s 和为水平方向和
、e 是同一平面内两e 、e 是同一平面内两个不共14EF -=e 2GH =-e 2. 自主探索作图的方法. 总结作图步骤，CM //OB 与直线OA 交于M ，过C
11
a =e ,
11a =+a e 设存在实数如果（课本P97
例1） 11
教师提问：能否用a,b 成过程，培养学生分析问.tOB
根据平面向量基本定
()t OB OA +- (1)t OA tOB -+OM P。

高一数学人教b版必修4同步训练：2.2.1 平面向量基本定理含解析

§2.2 向量的分解与向量的坐标运算2．2.1 平面向量基本定理一、基础过关1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R)，则( )A ．a ＝0，b ＝0B ．λ＝μ＝0C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝04．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.7．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF→与EG →.8．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E.求证：BE ＝14BA.二、能力提升9． M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA→＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME→B ．－6MF→C ．0D ．6MD→ 10．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连接CF 并延长交AB 于E ，则AEEB 等于 ( )A.112B.13C.15D.11011．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC→＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.12．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展13．如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AGGD 及BGGE的值．。

高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.2 2.2.1 平面向量基本定理 Word版含答案

向量的分解与向量的坐标运算2．2.1平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题(1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理(1)定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.(2)基底把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t ，使OP ＝(1－t ) OA ＋t OB ；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式OP ＝(1－t ) OA ＋t OB 叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，OP ＝12(OA ＋OB )，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 直线的向量参数方程式中，其OA ，OB 的系数和为1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 的中心，AB ＝4e 1，BC ＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(BC －AB )＝12(AD －AB ) ＝12BD ＝BO . 答案：BO (答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ＝a ，BD ＝b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________. 解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：∵AD ＝2DB ，∴A ，B ，D 三点共线，又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23平面向量基本定理的应用[典例]2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] 设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－3λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ＝45AM ，BP ＝35BN ，∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM ＝a ，CN ＝b ，试用a ，b 表示CP ，解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2，则NP ＝25NB ，CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．层级一学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC 所在直线上一点，且BP ＝t BA ＋(t －1)BC ，则t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B BP ，BA ，BC 共始点，且P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④―OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而BD ＝DC ，即AD －AB ＝AC －AD ，从而AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a＋b )．4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1) 解析：选A 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC ＝e 1，DC ＝e 2，所以OC ＝12(BC ＋DC )＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A 由题意得AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13AC －13AB ＝－13AB ＋43AC .6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k 22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．已知O 为△ABC 内一点，且OB ―→＋OC ―→＝2AO ―→，且λAD ―→＝AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则实数λ的值为________．解析：设点E 为边BC 的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意，得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋λ4AD ―→，因此若B ，O ，D 三点共线，则14＋λ4＝1，即λ＝3.答案：39.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．解：NP ＝AP －AN ＝13AB －23AC ＝13a －23b ， MN ＝CN －CM ＝－13AC －23CB ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM ＝－MP ＝－(MN ＋NP )＝13(a ＋b )．10.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO ―→＝3DM ―→，线段CO 上有点N 满足OC ―→＝λON ―→(λ>0)，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，已知MN ―→＝μa －16b ，试求实数λ，μ的值．解：依题意得BD ―→＝b －a ，AC ―→＝a ＋b ，且DM ―→＝16DB ―→＝16(a －b )＝16a －16b ，AN ―→＝AO ―→＋ON ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋12λAC ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋12λ(a ＋b )， ∴AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝b ＋⎝⎛⎭⎫16a －16b ＝16a ＋56b ， AN ―→＝AM ―→＋MN ―→＝16a ＋56b ＋⎝⎛⎭⎫μa －16b ＝ ⎝⎛⎭⎫16＋μa ＋23b ，即AN ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋12λ(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫16＋μa ＋23b ，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧12＋12λ＝23，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.层级二应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：选C ∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC .∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23BC ＝AB ＋23(AC －AB )＝13AB ＋23AC ＝13a ＋23b .2．设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( ) A ．BO ―→＝－16AB ―→＋12AC ―→B ．BO ―→＝16AB ―→－12AC ―→C ．BO ―→＝56AB ―→－16AC ―→D ．BO ―→＝－56AB ―→＋16AC ―→解析：选D 依题意，得BO ―→＝AO ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→＝13×12(AB ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－56AB ―→＋16AC ―→.故选D. 3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( )A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧ e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . 答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO的中点，若BE ＝λBA ＋μBD (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：因为BE ＝BO ＋OE ＝12BD ＋EB ＝12BD ＋EB ＋BA ，所以BE ＝12BA ＋14BD ，所以λ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34. 答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23. ∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ＝34AB ＋14AC . (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ＝x BM ＋y BN ，求x ，y 的值．解：(1)如图，由AM ＝34AB ＋14AC 可知M ，B ，C 三点共线，令BM ＝λBC ⇒AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB ＋λAC ⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO ＝x BM ＋y BN ⇒BO ＝x BM ＋y 2BA ，BO ＝x 4BC ＋y BN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧ x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝47，y ＝67.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.2.1 平面向量基本定理》9

教学设计：教材分析：平面向量基本定理是高中数学必修4第二章第二部分第一节的内容。

是在学习了共线向量基本定理的前提下,进一步研究平面内任一向量的表示,为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

因此,平面向量基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识,同时又为后继的内容作了奠基,起到了承前启后的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础，同时平面向量基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。

课标分析：：新课标对平面向量基本定理的要求是：理解平面基本定理及其意义。

平面向量的基本定理贯穿整个向量的教学，对后面向量的坐标运算起到了很好的铺垫，对知识的理解有很强的促进作用，并且提供了很好的解题思路与思想方法。

本节着重讲述了平面向量基本定理的推导过程，推出了任意性，不共线的基底，以及唯一性，不是直接把定理告诉学生，那样不容易理解，再就是着重讲述了直线的向量参数方程----考试的重点内容。

本节课的重点是：对平面向量基本定理的探究。

难点是：对平面向量基本定理的理解及其应用；本部分应该分为两个课时，第一课时，基本定理的推导及一些简单题目的处理，第二课时，本部分一些题目的深化和加强。

题型是新授课和习题课为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我把本节课的教学实施分为以下环节来进行：1、复习引入：由于向量分解之后与基底共线，所以先复习向量的共线条件，便于后面的应用。

2、创设情景:对于速度的分解学生已经非常熟悉，先从火箭的速度入手分解，在推广到任意情况，体会平行四边形的作用。

接着提出在平面内，向量AB 怎样用21,e e 表示，接着提问不共定点的能这样表示吗？如果能如何解决？从而得到2211e a e a a +=引出这一节要讲的课题，也就证明了定理的存在性3、新课讲授：由于唯一性的证明用到反证法，所以定理直接给出，结合上面的例子强调基底的不共线，基底的表示方法，基底的组数等注意的问题。

【创新设计】2021-2022学年高一数学人教B版必修4学案：2.2.1 平面向量基本定理

2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．2.1 平面对量基本定理[学习目标] 1.理解平面对量基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.把握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题．[学问链接]1．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答通过观看，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 2．0能不能作为基底？答由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底． 3．平面对量的基底唯一吗？答不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． [预习导引]1．平面对量基本定理假如e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 2．基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式． 3．直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式OP→＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．4．线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝12(OA →＋OB →)，这是线段AB 的中点的向量表达式.要点一用基底表示向量例1 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →，PM →表示出来．解 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．规律方法 (1)用基底表示平面对量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要留意解题途径的优化与组合．(2)将向量c 用a ，b 表示，常接受待定系数法，其基本思路是设c ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，然后得到关于x ，y 的方程组求解．跟踪演练1如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .要点二平面对量基本定理的应用例2 如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．解设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面对量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1.规律方法 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．留意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应依据条件机敏应用，娴熟把握．跟踪演练2 如图，已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)∵A 为BC 的中点，∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)∵OE →＝λOA →，∴CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b .∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝⎛⎭⎫－2a ＋53b ，即(λ＋2m －2)a ＋⎝⎛⎭⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．已知O 、A 、B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，且P 为靠近A 点的线段AB 的一个三等分点，则OP →等于( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.14a ＋34b D.34a ＋14b 答案 B解析 ∵AP →＝13AB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b . 2．已知AD 为△ABC 的中线，则AD →等于( ) A.AB →＋AC → B.AB →－AC → C.12AB →－12AC → D.12AB →＋12AC → 答案 D解析延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，BE ，则四边形ABEC 是平行四边形，则 AD →＝12AE →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋12AC →.3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于________．答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC → ＝14a ＋34b . 4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.解连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23×⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．精确理解平面对量基本定理(1)平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、基础达标1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案D解析选项A 、B 、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面对量的基底． 2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B 4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0. 5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.∴p ＝－74m ＋138n .6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .7.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .二、力量提升8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF → C ．0 D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →等于( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 答案 B 解析如图，∠1＝∠2， ∴|CB ||CA |＝|BD ||DA |＝12， ∴BD →＝13BA →＝13(CA →－CB →)＝13(b －a )， ∴CD →＝CB →＋BD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，假如E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，假如O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b . 12．已知向量a ＝－e 1＋3e 2＋2e 3，b ＝4e 1－6e 2＋2e 3，c ＝－3e 1＋12e 2＋11e 3，问a 能否表示成a ＝λb ＋μc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．解由a ＝λb ＋μc 得－e 1＋3e 2＋2e 3＝(4λ－3μ)e 1＋(－6λ＋12μ)e 2＋(2λ＋11μ)e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ－3μ＝－1， ①－6λ＋12μ＝3， ②2λ＋11μ＝2. ③由①②联立解得⎩⎨⎧λ＝－110μ＝15，代入③也成立．∴a 能表示成a ＝λb ＋μc 的形式，即a ＝－110b ＋15c .三、探究与创新13．如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ). 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

数学人教B版必修4预习导航：2.2.1平面向量基本定理含

(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量；
(2)该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；
(3)对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为一组基底；
(4)教材中定理的证明，是用作图法证明了存在性，又用反证法证明了唯一性．
直线的向量参数形式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{ ， }的分解式为＝(1－t) ＋t ，这个等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
(1)直线l的向量参数方程式也可以写成＝ (其中t为实数)．
(2)在直线l的向量参数方程式＝(1－t) ＋t 中，与的系数之和一定为1．
(3)对于平面内任意一点O，若存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ ＋μ ，且λ＋μ＝1，则P，A，B三点共线．
(4)对于平面内任意一点O，若P，A，B三点共线，则一定存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ ＋μ ，且λ＋μ＝1．
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量基本定理的应．
3．了解直线的向量参数方程．
内容
注意问题
平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2．我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．

数学人教B版必修4课后训练：2.2.1平面向量基本定理含

平面向量基本定理练习1．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2.则x －y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．22．设e 1，e 2是一个平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 23．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M .若设AB ＝a ，AD ＝b ，则以下各选项中，与－12a ＋12b 相等的向量有( ) A ．MA B ．MB C ．MC D ．MD4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与b ＝－(e 2－2e 1)共线，则有( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝125．如图所示，已知在△ABC 中，M ，N ，P 是线段AB 的四等分点，CB ＝e 1，CA ＝e 2，则下列正确的是( )A ．CN ＝12e 1＋12e 2，CM ＝14e 1＋34e 2 B ．AB ＝e 1－e 2，CP ＝14e 1＋34e 2 C ．CP ＝34e 1＋14e 2，AM ＝14(e 1＋e 2) D ．AM ＝14(e 1－e 2)，AB ＝e 1＋e 2 6．设e 1，e 2为一组基底，a ＝－e 1＋2e 2，b ＝e 1－e 2，c ＝3e 1－2e 2，以a ，b 为基底可以将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p ，q 的值分别为__________．7．起点相同的三个非零向量a ，b,3a －λb 的终点在一条直线上，则λ＝__________.8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A (1,1)，B (－1,2)，若点C 满足OC ＝αOA ＋βOB ，其中，α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为__________．9．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM .表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由．参考答案1．答案：A2．答案：B3．解析：12-a＋12b＝12(b－a)＝12(AD－AB)＝12BD＝BM＝MD.答案：D4．解析：∵a与b共线，且b≠0，∴存在实数μ，使得a＝μb，即e1＋λe2＝－μ(e2－2e1)，则(2μ－1)e1＝(μ＋λ)e2.∴210,0.μμλ-=⎧⎨+=⎩解得1,21.2μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩答案：D5．解析：由题意得，N为线段AB的中点，所以CN＝12(CB＋CA)＝12(e1＋e2)＝12e1＋12e2，又M为AN的中点，所以CM＝12(CA＋CN)＝212111222⎛⎫++⎪⎝⎭e e e＝14e1＋34e2，故选项A正确．选项B中CP＝34e1＋14e2，选项C中AM＝14(e1－e2)，选项D中AB＝e1－e2.答案：A6．解析：c＝p a＋q b，即3e1－2e2＝(－p e1＋2p e2)＋(q e1－q e2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，所以3,22,q pp q-=⎧⎨-=-⎩解得1,4.pq=⎧⎨=⎩答案：1,47．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝3a－λb＝3OA－λOB，∵A，B，C三点共线，∴3＋(－λ)＝1，∴λ＝2.答案：28．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．答案：x＋2y－3＝09．解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN ＝2e1＋e2.∵A，P，M与B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2，∴BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，∴由平面向量基本定理，得22, 3 3.λμλμ+=⎧⎨+=⎩∴4,53.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AP ＝45AM ，∴AP ∶PM ＝4∶1. 10．解：能．假设a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )，将a ，b ，c 代入a ＝λb ＋μc ，得－e 1＋3e 2＋2e 3＝(4λ－3μ)e 1＋(－6λ＋12μ)e 2＋(2λ＋11μ)e 3，则143,3612,2211,λμλμλμ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩解得1,101.5λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以a ＝110-b ＋15c .所以a 能表示成a ＝λb ＋μc (λ，μ∈R )的形式，表达式为a ＝110-b ＋15c .。

人B版数学必修4讲义：第2章 2.2.1 平面向量基本定理

2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理1.了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示.(重点)2.理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.(难点)[基础·初探]教材整理1平面向量基本定理阅读教材P96～P97“例1”以上内容，完成下列问题.1.平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.2.基底：把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.()(3)若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.()【解析】(1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示.(3)错误.当e 1与e 2共线时，结论不一定成立.【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 直线的向量参数方程式阅读教材P 97“例2”～P 98以上内容，完成下列问题.1.向量参数方程式：已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图2-2-1所示)，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数.图2-2-12.线段中点的向量表达式：在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →).这是线段AB 的中点的向量表达式.已知AD 为△ABC 的边BC 上的中线，则AD →等于( )A.AB →＋AC →B.AB →－AC →C.12AB →－12AC →D.12AB →＋12AC →【解析】根据线段BC 的中点向量表达式可知AD →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋12。

人教B版高中数学必修四课件2.2.1《平面向量基本定理》

a a1 e1 a2 e2
不共线向量e1、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底， e2 记为 e1 , e2 . a1 e1 a2 e2叫做向量a关于基底 e1 , e2 的分解式.

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几点说明：
2 a是平面内的任一向量，且实数对a1、a2 是惟一的；

1 1 1 MD DB a b. 2 2 2
1 1 1 MC AC a b, 2 2 2
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已知：三角形ABC的两边对应的向量 AB= p,AC =q, A1是BC中点写出在基底 p, q 下， AA1的分解式为

A1
C
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例3
设点P在直线l上，则由平行向量基本定理知，证明： l P 存在实数 t ，使 AP t AB （ t OB OA ） . 所以OP OA AP B
OA tOB tOA A 1 t OA tOB. O 设点P满足等式OP 1 t OA tOB, 则OP OA tOA tOB, 即OP OA t OB OA 亦即AP t AB, 故 AP / / AB. 又因为有公共点A，
•
新课引入
H
D
E
B
C
F
A e1
G
e2
e1 , e2是两个不平行向量，观察上图 AB 2 e1 3 e2 ， CD e1 4 e2 EF 4 e14 e2 ， GH 2 e1 5 e2

高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：2.2.1平面向量基本定理含解析

2.2向量的分解与向量的坐标运算平面向量基本定理课时过关·能力提高1.已知命题“若 k1a+k 2b= 0,则 k1=k 2= 0”是真命题 ,则下边对 a,b 的判断正确的选项是()A. a 与 b 必定共线B.a 与 b 必定不共线C.a 与 b 必定都为 0D.a 与 b 中起码有一个为0分析 :由平面向量基本定理知 a 与 b 必定不共线 .答案 :B2.在 ?ABCD 中 ,交于点M.若设=a,= b,则以下各选项中,与 - a+ b 相等的向量有()A. B.C. D.分析 :- a+ b= (b-a) =.答案 :D3.设 e1,e2是两个不共线的向量,若向量 a= e1+ λe2 (λ∈ R)与 b=- (e2-2e1)共线 ,则 ()A. λ= 0B. λ=- 1C.λ=- 2D. λ=-分析 :由已知得存在实数k 使 a=k b,即 e1+ λe2=-k (e2-2e1),于是 1=2k 且λ=-k ,解得λ=- .答案 :D4.如图 ,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点 ,AE 的延伸线与CD交于点 F.若= a,= b,则=()A. a+ bB. a+ bC. a+ bD. a+ b答案 :D5.设 O,A,M,B 为平面上四点 ,= λ+(1- λ) ,且λ∈ (1,2),则()A.点 M 在线段 AB 上B.点 B 在线段 AM 上C.点 A 在线段 BM 上D.O,A,B,M 四点共线分析 :由= λ+ (1-λ) ,得= λ(),即= λ.又由于λ∈ (1,2),因此点 B 在线段 AM 上.答案 :B6.若 AD 与 BE 分别为△ ABC 的边 BC,AC 上的中线 ,且= a, = b,则等于()A. a+ bB. a+ bC. a- bD. - a+ b分析 :设 AD 与 BE 交于点 F,则a, b .由= 0,得( a-b),因此= 2= 2() = a+ b.答案 :B7.设 e1,e2为一组基底 ,a=- e1+ 2e2,b=e1-e2,c= 3e1-2e2,以 a,b 为基底将 c 表示为 c=p a+q b,则实数p,q 的值分别为.分析 :c=p a+q b,即 3e1-2e2= (-pe1+ 2pe2)+( qe1-qe2)= (q-p) e1+ (2p-q)e2,∴答案 :1,48.如图 ,在△ ABC 中 ,,P 是BN 上的一点,若=m, 则实数m 的值为.分析:由,得.设=n,因此+n=+n ()= (1-n)=m.由 n= ,得 m= 1-n=.答案 :9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点 ,已知两点A(1,1),B(-1,2),若点 C 知足= α+ β,其中,α,β∈ R,且α+β= 1,则点 C 的轨迹方程为.分析 :由α+ β= 1,可知点 C 的轨迹是直线 AB,经过直线的两点式求解直线AB 的方程即可 .答案 :x+ 2y-3= 010.如图 ,在△ ABC 中 ,点 M 是 BC 的中点 ,点 N 在边 AC 上 ,且 AN= 2NC,AM 与 BN 订交于点P,求 AP∶PM.解 : 设= e1,= e2,则=- 3e2-e1,= 2e1+ e2 .∵A,P,M 与 B,P,N 分别共线 ,∴存在实数λ,μ,使 = λ =- λe1-3λe2,= μ= 2μe1+ μe2,∴= (λ+2μ)e1 + (3λ+ μ)e2,而= 2e1 2+ 3e ,∴由平面向量基本定理,得∴,∴AP∶PM= 4∶1.★11.如图 ,在△ ABC 中 , = a, = b,= c,= λa(0< λ< 1),= μb(0< μ< 1),试用 a,b 表示 c.剖析第一利用共线, 假定=m=n, 再依据向量减法的三角形法例,求出( 用a,b,m,n,λ,μ表示 ), 再借助解方程 ,进而得出用a,b 表示 c.解:∵共线,共线,∴假定=m=n,∴=m=m ()=m (μb-a).∴= a+m (μb-a )= (1 -m)a+m μb .①∴=n=n ()=n (λa-b).∴= b+n (λa-b)=n λa+ (1-n)b .②由①②,得 (1-m)a+m μb=n λa+ (1-n)b .∵a与 b 不共线 ,∴解得代入①式 ,得c= (1-m)a+m μb=a+ μ·b=[ λ(1-μ)a+ μ(1-λ)b] .★12.如图 ,在△ ABC 中 ,点 M 是 AB 边的中点 ,E 是中线 CM 的中点 ,AE 的延伸线交BC 于点 F.MH ∥AF 交 BC 于点 H,求证 :.证明设= a,= b,则= a+ b,=-+2 +2=- a-b+ 2a+ 2b= a+ b,=-=- b+=- b+ a+ 2=- b+ a+ 2b- b= a+ b.综上 ,得= a+ b .因此.。

人教版数学高一B版必修4优化练习平面向量基本定理

2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列各组向量中，一定能作为基底的是( )A.a =0，b ≠0B.a =3e ，b =-3e (e ≠0)C.a =2e 1-e 2，b =e 1+2e 2(e 1，e 2不共线)D.a =e 1+e 2，b =-2e 1-2e 2(e 1，e 2不共线) 解析：由平面向量基本定理知，a 、b 应不共线，∴选C.答案：C2.O 为平面上任一点，=x +y ,若A ，B ，C 三点共线，则必有( )A.x+y=1B.x-y=1C.x=-yD.x ，y 为任意实数解析：A 、B 、C 三点共线,则OC =(1-t)OA +t OB ，知x+y=1-t+t=1.答案：A3.M 为线段AB 的中点，O 为平面上任一点，OM =x OA +y OB ，则有x=____________，y=____________.解析：由线段AB 的中点的向量表达式知x=y=21. 答案：21 21 4.已知四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，设AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示DB =____________.解：由=+知，四边形ABCD 为平行四边形，∴=-=a -b .答案：a -b10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是( )A.若实数λ1，λ2使λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0B.空间任一向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内，其中λ1，λ2∈RD.对于平面a 内任一向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：利用平面向量基本定理.答案：A2.已知ABCDEF 为正六边形，且=a ，=b ，则BC 等于( ) A.21(a -b ) B.21(b -a ) C.a +21b D.21(a +b ) 解析：∵==a ，∴=+=b +a ， ∴=21AD =21(a +b ).答案：D 3.向量e 1，e 2不共线，则a =e 1-2e 2，b =λe 1+4e 2共线的条件是( )A.λ=0B.λ=21- C.λ=-2 D.λ=2 解析：要使a ∥b ，即存在k 使e 1-2e 2=k(λe 1+4e 2)，∴⎩⎨⎧-==.24,1k k λ 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,21λk答案：C4.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（）A.λ（AB +AD ），λ∈（0，1）B.λ（AB +BC ），λ∈（0，22） C.λ（AB -AD ），λ∈（0，1） D.λ（AB -BC ），λ∈（0，22）解析：如图，由向量的运算法则AC =AB +AD 及点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |＜|AC |，故AP =λ（AB +AD ），λ∈（0，1）.答案：A5.若2x+y=a ，x-2y=b ，其中a ，b 为已知向量，则x=____________，y=____________.解析：可解方程组⎩⎨⎧=-=+,2,2b y x a y x 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.5451),(51b a y b a x 答案：51(a +b ) 51a -54b 6.若A ，B ，C 三点共线，OA +λOB =2OC ，则λ=____________.解析：由OA =-λOB +2OC ，且A ，B ，C 三点共线知-λ+2=1，∴λ=1.答案：130分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设AB =22(a +5b )，BC =-2a +8b ，CD =3(a -b )，那么下面各组中三点一定共线的是( ) A.A ，B ，C B.A ，B ，D C.A ，C ，D D.B ，C ，D 解析：BD =a +5b ，AB =22(a +5b )， ∴AB =22BD ，∴AB ∥BD ，且AB ，BD 有共同点B.∴A ，B ，D 共线. 答案：B2.e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A.e 1+e 2和e 1-e 2 B.3e 1-2e 2和4e 2-6e 1C.e 1+2e 2和e 2+2e 1D.e 2和e 1+e 2解：由题意,知e 1，e 2不共线，所以易看出B 中4e 2-6e 1=-2(3e 1-2e 2)，即3e 1-2e 2与4e 2-6e 1共线.答案：B3.如图2-2-1，已知△ABC 中，N ，M ，P 顺次是AB 的四等分点，CB =e 1，CA =e 2，则下列正确的是( )图2-2-1A.=21e 1+21e 2，CM =214341e e + B.=e 1-e 2，=214341e e + C.=214143e e +，AM =41(e 1+e 2) D.AM =41(e 1-e 2)，AB =e 1+e 2 解析：N 为AB 中点，即得=21(+)=21(e 1+e 2)，而M 又为AN 中点， CM =21(+)=21(e 2+21e 1+21e 2)=41e 1+43e 2，∴A 正确. B 中应是=43e 1+41e 2，C 中=41(e 1-e 2)，D 中=e 1-e 2. 答案：A4.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则：①EF =21(b +c )；②BE =a +21b ；③AD =21(b +c ). 其中正确的有______________个.（） A.0 B.1 C.2 D.3解析：①EF =-21a =-21 (-b -c )=21 (b +c );②BE =BC +CE =a +21b ; ③AD =21(AB +AC )=21(c -b ).∴①②正确. 答案：C5.如图2-2-2,已知OA =a ，OB =b ，且|a |=|b |，O 点关于线段AB 的对称点为S ，则OS 等于( )图2-2-2A.a -bB.2(a +b )C.b -aD.a +b解析：由|a |=|b |知，|OA |=|OB |，∴OS 垂直平分AB ，四边形OBSA 为平行四边形， ∴OS =a +b .答案：D6.(2006高考湖南卷，文10)如图2-2-3，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且OP =x OA +y OB ，则实数对(x ，y)可以是（）图2-2-3A.（43,41) B.（32,32-） C.（43,41-） D.（57,51-）解析：=a OM +b (a ,b ∈R +,0＜b ＜1)=a λ+b （λ＞0)=a λ(-)+b =-a λ+(a λ+b )=x +y ,则x=-a λ＜0,y=a λ+b ,∴x+y=b ∈(0,1).∴选C.答案：C7.设e 1，e 2为一组基底，a =-e 1+2e 2，b =e 1-e 2，c =3e 1-2e 2，用a ，b 为基底将c 表示为c =p a +q b ，则实数p ，q 的值分别为____________与____________.解析：c =p a +q b ,即3e 1-2e 2=(-p e 1+2p e 2)+(q e 1-q e 2)=(q-p)e 1+(2p-q)e 2，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=-.4,1,22,3q p q p p q 答案：1 4 8.若=3e 1，=-5e 2，且||=||，=53-，则四边形ABCD 是____________. 解析：∵AB =53-CD ，∴AB ∥CD ，且|AD |=|BC |.∴四边形ABCD 为等腰梯形. 答案：等腰梯形9.起点相同的三个非零向量a ，b ，3a -λb 的终点在一条线上，则λ=_____________. 解析：设=a ，=b ，=3a -λb =3-λ，∵A ，B ，C 三点共线，∴3+(-λ)=1.∴λ=2.答案：210.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC ，BC 的中点，求证：四边形BDEF 为平行四边形.证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴AD =21AB ，AE =21， =-=21(-)=21.又F 是BC 的中点. ∴=21. ∴=.所以DE ∥BF 且DE=BF ，即四边形BDEF 为平行四边形.11.已知向量a =-e 1+3e 2+2e 3，b =4e 1-6e 2+2e 3，c =-3e 1+12e 2+11e 3，问a 能否表示成a =λb +μc 的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由.解：假设a =λb +μc ，将a ，b ，c 代入a =λb +μc 得-e 1+3e 2+2e 3=(4λ-3μ)e 1+(-6λ+12μ)e 2+(2λ+11μ)e 3，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-=-.51,101,1122,1263,341μλμλμλμλ解得∴a =101-b +51c .∴a 能表示成a =λb +μc 的形式.。

高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.2.1 平面向量基本定理 Word版含答案

2.2.1平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？思考3若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？梳理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么该平面内的________向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝________.(2)基底把________向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.知识点二直线的向量参数方程式思考1 什么是直线的向量参数方程？思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？梳理 (1)直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上________一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝____________，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有________的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝________叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称________. (2)线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t ＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝________，这是线段AB 的中点的向量表达式.类型一对基底概念的理解例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.②反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1－e 2，e 1－12e 2C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2类型二平面向量基本定理的应用例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 如图所示，在△AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于点P ，用基底a ，b 表示OP →.1.下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A.① B.② C.①③ D.②③2.如图，已知A B →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A.a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 3.已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.4.如图所示，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则当以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，当以a ，c 为基底时，AC →可表示为________.5.已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →，BC →，EF →.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.答案精析问题导学知识点一思考1 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．思考3 由已知得λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2. 梳理 (1)不平行任一 a 1e 1＋a 2e 2 (2)不共线知识点二思考1 若P 在直线AB 上(或P 、A 、B 共线)，则一定存在实数t ，使得OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. 思考2 利用直线的向量参数方程可证明三点共线．梳理 (1)任意 (1－t )OA →＋tOB →唯一 (1－t )OA →＋tOB →参数 (2)12(OA →＋OB →) 题型探究例1 B 跟踪训练1 D例2 解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究解取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43(a ＋12b )＝43a ＋23b . 又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC → ＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12(43a ＋23b )＝23a ＋43b . 跟踪训练2 OP →＝15a ＋25b .当堂训练1．C 2.B 3.－15 －12 4.a ＋b 2a ＋c5．解连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB ，∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD → ＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝⎛⎭⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .。

高中数学人教B版必修4 2.2 同步习题《平面向量基本定理》(人教B版)

《平面向量基本定理》同步练习1. 已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系( )A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2. 已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.23. 设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +pb ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ，CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −2b ，若A 、B 、C 三点共线，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.-2 D.-14. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________5. 已知向量a 和b ⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x-y ）a +4b ⃗ =5a +（x-2y ）b⃗ ，则x+y 的值等◆选择题◆填空题◆于_________6. 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是不共线的向量，点P 在AB 上，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=_________7. 设向量a , b ⃗ 不共线，若3x a +(10-y) b ⃗ =(4y-7) a +2x b⃗ ，求x ，y 分别等于多少? 8. 若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于多少？答案与解析【答案】1. B解析：a+b=3e 1-e 2 2(a+b)=c 故答案选B 。

2. A解析：{3x −4y =62x −3y =3解得：{x =6y =3 x-y=3 故答案选A 。

3. D解析：BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b ，所以p=-1，故答案选D 。

高中数学人教B版必修四2.2.1《平面向量基本定理》ppt课件

•平面向量基本定理的应用
•
Hale Waihona Puke 如图所示，用绳子AC和BC吊一重物，绳
子与垂直方向夹角分别为60°和30°，已知绳子AC和
BC所能承受的最大拉力分别为80 N和150 N，那么重
物的重力的大小应不超过多少？
• [解析] 设重物的重力为G，如图所示：
C→B方向上的力的大小为 |G|cos30°＝ 23|G|；
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章平面向量
第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．
易错疑难辨析
如图，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点
O，设A→D＝a， A→B＝b，若A→B＝2D→C，则A→O＝________(用 a