有限元分析及应用 第一讲

4/3/2004
1-2 场问题的一般描述
---微分方程+边界条件
1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导 3) 电磁场----电磁学 4) 流速场----流体力学 A、B----微分算子（如 对坐标或时间的微分） u----未知场函数，可为 标量场（如温度）， 也可为矢量场（如位 移、应变、应力等） 严格讲，都属张量场； 4/3/2004
x
X 4/3/2004 (a)
(b) ¼ Í
(c) 2-1
实例2
材料力学方法求解直杆拉伸： 图(b)---位移法
考虑微段dx，内力 N=q (L-x) dx的伸长为 N(x)dx
Δ(dx)
EA
q(L x)dx EA
x截面上的位移：
u
x 0
x q(L x)dx N(x)dx q x2 (Lx ) 0 EA EA EA 2
• • 弹性力学的基本方程 虚功原理及最小势能原理
• 连续弹性体的有限元法 • 平面问题的有限元法
• • • 空间问题的有限元法 轴对称问题的有限元法 薄板弯曲问题的有限元法
• • • • •
离散结构的有限元法
杆梁结构的有限元法
有 限 元 分 析 及 应 用
• • • • • •
有限元建模的基本原则 几何模型的简化处理 物理问题的等效处理 单元类型选择与常见单元 网格布局与划分 模型检查与处理
• 一、求解策略： • 1、直接法：求解基本方程和相应定解条件的解； • 2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解 条件的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题 的近似解。即将微分形式转化与其等价的泛函变分的 积分形式； • 二、求解方法： • 1、解析或半解析法： • 2、数值法： • A）基于直接法的数值法，如差分法； • B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹 法）、有限元法等 •
EA 1 k31 cos2 l 1 e
1 k 41
EA cos sin l1
实例1（单元分析）
1 1 、 v 、 v • 同理可求 u1 2 1 2 分别作单位位移时相应的刚度系 数，考虑到节点的实际受力为 Fx11, Fy11, Fx12 , Fy12 和实际 1 1 1 位移为 u1 ，则据各个节点节点力平衡得： , v1 , u1 , v 2 2 • 单元1节点力平衡方程 F 1 k 1 u1 k 1 v1 k 1 u1 k 1 v1
有限元 法
可非均匀离散求解域；分片连续函 数近似整体未知场函数；解线性方 程组。有限元法的数学基础仍是变 分法（同上）。
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节点可任意配置，边 界适应性好；适应任 意支撑条件和载荷； 计算精度与网格疏密 和单元形态有关，精 度可控。对裂缝和无 限域的分析存在不足
1-4 有限元法基本思想
x1
11 1
12 1
13 2
14 2
1 1 1 1 1 1 1 1 Fy11 k21 u1 k22 v1 k23 u2 k24 v2 1 1 1 1 1 1 1 1 Fx12 k31 u1 k32 v1 k33 u2 k34 v2 1 1 1 1 1 1 1 1 Fy12 k41 u1 k42 v1 k43 u2 k44 v2
实例1（引入约束求解）
• 整体矩阵记为： • 将 u1 v1 u3 v3 0 代 入可得整体方程
K R
2 12 2 22
k k k k
1 33 1 43
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2 11 2 21
k k u2 X 2 k k v2 Y2
整 体 平 衡
总 刚 方 程
方 程 求 解
节 点 位 移
Y2
实例1(离散系统)结构离散
• 节点位移向量表示： 1 1 1 1 1 T { } [u1 , v1 , u2 , v2 ] • 节点力向量表示：
{F1} [Fx11, Fy11, Fx12 , Fy12 ]T
v1 2 F u
①
1 2 1 y2
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1-1 工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题， 可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、 建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示 平面桁架结构，是由6 个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系 统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技 术。
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 du q 应变 εx (L X) dX EA q 应力 σ x Eε x (L X) EA
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实例2 （结构离散）
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
L 1
1 2
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L2
e 1
yi
Yi
• 结合前式推导得：
1 k11 1 k21 1 k31 1 k41 0 0 1 k13 1 k23 1 k14 1 k24
0 0
1 1 2 1 2 2 k32 k33 k11 k31 k12 k13 1 1 2 1 2 2 k42 k43 k21 k44 k22 k23 2 2 2 0 k31 k32 k33
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0
2 k41
2 k42
2 k43
0 u1 X 1 0 v1 Y1 2 u2 X 2 k14 2 k24 v2 Y2 2 u3 X3 k34 2 v Y k44 3 3
1 34 1 44
实例2 （连续问题）
通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
0 u
x L
L-x
N
N dx N
L 3 L 3 L 3
5 qa2 2 EA
a
L 3
8 qa2 2 EA
9 qa2 2 EA
• 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点 相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合 近似代替 • 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物 理量来表示----通常称为插值函数或位移函数 • 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即 单元刚度方程） • 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体 的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形 方程组，引入边界条件求解该方程组即可。
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2 ②
①
1

3
Fy22 Fx12
• 节点1沿x方向的位 1 u 移 1 1、其余节点位 F 移全为0时轴向压力 v 为： EA EA cos 1
1 1
2
2
②
Fx22
1 y1
Fy23 u
1 1
(
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l1
)l1
Fx11
l1
3
Fx23
实例1（单元分析）
• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：
ui 1 ui N i 1 A E ( ) Li 1
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实例2 （单元分析）
有限单元法求解直杆拉伸：
Ni
i
q (Li Li1 ) 2
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1-4 有限元法基本思想
节点
m( xm ym ) Fmy vi
vm
um Fmx vj
u
j
y
单元
i ( xi yi )
ui Fiy j(x j y j )
Fix x
力 学 模 型 4/3/2004
问 题 分 析
结 构 离 散
节 点 单 元
分 片 近 似
位 移 函 数
单 元 平 衡
单 刚 方 程


y x
A (u) 1 A(u)= A (u) 0 2 ...

在 内
B1(u) B(u) B2(u) 0 ...

在上
实例：二维热传导（稳态）问题
i-1
Li Li1
i-1 i i+1
Li
i
Li1
n-1 n
q (Li Li1 ) 2
i+1 ¼ Í 2-3
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¼ Í
2-2
实例2 （单元分析）
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
x i1
i-1 u
x
u i1
Li
i
u (x ) ui
X ¼ 2-4 Í
u i u i 1 u u ( x) u i 1 ( X X i 1 ) Li du u i ui 1 εx dX Li u i ui 1 i E i E ( ) Li u u N i A i A E ( i i 1 ) Li
•有限元结果分析及可视化 • 有限元计算结果分类
• • 有限元结果分析 有限元结果的可视化
•常用有限元分析系统简介 • 有限元分析系统的基本组成
• • 有限元分析系统的基本功能 常见商业化有限元分析系统
等参单元与数值积分 结构动力学问题的有限元法 温度场的有限元法 4/3/2004
本章内容
• • • • • • • • • 1-1工程和科学中典型问题 1-2 场问题的一般描述 1-3 场问题的求解策略及求解方法比较 1-4 有限元法基本思想 1-5 有限元法的基本步骤 1-6 有限单元法的发展 1-7 有限单元法的基本内容 1-8 有限单元法的应用 1-9 有限元法的几个热点问题