高中数学排列组合染色问题(公开课)(共10张PPT)
§106染色、错排等问题与递推法
§106染色、错排等问题与递推法一、错排问题：三、其他问题：二、染色问题：2.走楼梯问题：3.汉诺塔问题：4.概率问题：1.条型域：2.环型域：①无心环型域②有心环型域3.其他型：§106递推法解染色、错排等问题1.传球(踢毽子)问题：概率与统计简述总体样本抽样估计推断回归分析相关分析分布列及期望概率计数计数问题总述复杂的计数问题简单的计数问题排列组合型计数原理型十大题型两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法不同元素——公式法⑩染色——递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配先分组后分配分组1.相同元素的分组：2.不同元素的非均匀分组：3.不同元素的均匀分组：4.不同元素的混合分组：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有种分法②将3n 个不同元素均匀的分成3组,共有种分法先均匀后非均匀参分配常规法处理分配1.不同元素的分配：2.相同元素的分配(分组)：先分组后分配将n个相同元素分成k组，共有种分法注：将n个相同元素看成是n个“0”然后将k-1个隔板“1”插入n-1个空位即可0000……00所以称为0—1法；隔板法；挡板法0—1法含与不含：在与不在：至多与至少：特殊优先直接法正难则反间接法定序1.倍缩(等概率)法：本质上、是不尽相异元素的全排列已知n个元素中，有m1个元素相同，又有m2个元素相同不尽相异元素的全排列公式则这n个元素所有的排列数为：称其为不尽相异元素的全排列……又有mk个元素相同(m1+m2+…+mk≤n)含与不含：在与不在：至多与至少：特殊优先直接法正难则反间接法定序1.倍缩(等概率)法：本质上、是不尽相异元素的全排列2.逐个插空法：相邻问题捆绑法1.定义：n元中有m个元素要求排在一起的排列2.解法：先捆可邻成大元次变个数全排列不邻(相离)问题插空法1.定义：n元中有m个元素都不能排在一起的排列2.解法：先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相间问题位置法相邻相离综合体一般解法位置法一、错排问题：三、其他问题：二、染色问题：2.走楼梯问题：3.汉诺塔问题：4.概率问题：1.条型域：2.环型域：①无心环型域②有心环型域3.其他型：§106递推法解染色、错排等问题1.传球(踢毽子)问题：一、错排：1.定义：某排列所有元素不在原位置的排列2.解法：①背诵法：②递推法：练习1.错排：(1)(1993年全国)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有A.6种B.9种C.11种D.23种【B】a2＝1；a3＝2；a4＝9；a5＝44……参新课课件§244的内容……(2)(1991年上海)设有编号为1，2，3，4，5的五个球，和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为A.20种B.30种C.60种D.120种解：N＝【B】二、染色问题：1.条型域：,相邻…32n1注1：染色基础是条型方法多多随爱好从头到尾逐个染乘法原理显神功练习2.条型域染色：区域不能同色,则共有种染法注2：隐含了颜色有剩余(3)如图，用5种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，相邻格子颜色不同则不同的涂色方法共有种解：如图,用k种颜色染n块区域，二、染色问题：1.条型域：,相邻…32n1区域不能同色,则共有种染法如图,用k种颜色染n块区域，给涂圆中n块区域涂色相邻的区域不同色，则2.环型域：①无心环型域:①公式法：②递推法：参新课课件附录37的内容……如图，用k种不同的颜色(4)如图,用5种不同的颜色,涂圆中颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有_____种析：练习3.无心环型域染色：4块区域，要求每个区域染一种解：(5)如图,用6种不同的颜色,涂圆中颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有_____种5块区域，要求每个区域染一种解：给涂圆中n块区域涂色相邻的区域不同色，则2.环型域：①无心环型域:①公式法：②递推法：参新课课件附录37的内容……如图，用k种不同的颜色②有心环型域无心环型域先染心(6)如图,用5种不同的颜色,涂圆中5块区域,要求则不同的染色方法有______种析1：A5有5种染色方法析2：剩余4块区域，4色染之综上，N＝5×84＝420练习4.有心环型域染色：每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，有心环型域无心环型域先染心给涂圆中n块区域涂色相邻的区域不同色，则2.环型域：①无心环型域:①公式法：②递推法：参新课课件附录37的内容……如图，用k种不同的颜色②有心环型域无心环型域先染心③其他型域：两理两数四优先……练习5.其他型域的染色：(7)用5种不同的颜色给四棱锥P-ABCD的5个面涂色要求每个面染一种颜色，相邻的两面不同色，则不同的染色方法有______种PDCBA到此，Ex6也……N＝5×84＝420三、其他问题：1.传球(踢毽子)问题：注1：该类问题；解法甚多，可参新课件附录37的内容……注2：该类问题等价于无心环型域的染色问题可转换成：k种颜色n块区域的无心环型域的染色问题k个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次传球后，球仍回到甲手中的传球方法数(8)4个人进行传球游戏，由甲先传，经过4次传球后,球仍回到甲手中的传球方法共有A.21种B.24种C.27种D.42种练习6.传球(踢毽子)问题：可以转换成k种颜色n块区域的无心环型域的染色问题k个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次传球后，球仍回到甲手中的传球方法数①现来看：甲→乙→丙→丁→甲的传球与4色4环染色的等价关系②甲→乙→丙→甲→丁③【A】一、错排问题：三、其他问题：二、染色问题：2.走楼梯问题：1.传球(踢毽子)问题：练习7.走楼梯问题：(9)欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A.34种 B.55种 C.89种D.144种析：设走n级有an种走法，则故an=an-1+an-2i：当第一步是一步一级时，ii：当第一步是一步两级时，则余下的n-1级有an-1种走法则余下的n-2级有an-2种走法由递推可得a10=89易得，a1=1，a2=2【C】一、错排问题：三、其他问题：二、染色问题：2.走楼梯问题：3.汉诺塔问题：4.概率问题：1.传球(踢毽子)问题：上述问题，高考中暂未涉及，故从略有时间，有精力的同学，可参考新课课件附录37的内容……针对训练：预习：1.《精炼案》P：83Ex52.《新考案》P：152Ex5二项式定理及求特定项3.(2004年湖北)将标号为1,2,3,…,10的10个球，放入标号为1，2,…,10的10个盒子内，每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_______种。
高中数学竞赛讲座 14染色问题与染色方法
竞赛讲座14-染色问题与染色方法1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.例1 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k 色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.例2 (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.例3 （1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n 一定是8的倍数.2．线段染色和点染色下面介绍两类重要的染色问题.(1) 线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.例4 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题例5 （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例6 (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例7 （首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.例8 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF 都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.练习二十九1．6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.2．（第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.3．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.4．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？5．设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有 r名能用同一种语言通话.6．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.7．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.练习二十九１．将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论．２．设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重合．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其余的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一个方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重合的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．３．把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。
同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。
例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜 色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。
②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。
③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
总计有108432192732++=种不同的涂色方法。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。
解决排列组合中涂色问题专题讲座
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，① ②③ ④ ⑤ ⑥4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
排列组合中染色问题(教师用)
排列组合中的染色问题辅导教师：朱屿 电话：染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色 注意问题：颜色的种类，是否有颜色限制。
必要时可对颜色进行分类。
1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，颜色不能有剩余，则不同的涂法种数为（90）解：906121212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有121212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到且不能有剩余有以下重复的现象出现共六种,所以总计有:90种,）如果方格数有变化，应该怎样解？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120）562341解：先安排1、2、3有2434=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则4、5、6的栽法有 B-C-D B-D-C D-B-C D-B-D D-C-D 共计五种。
所以共计有24*5=120种。
3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260）解：①.如果用4种颜色，有12045=A 种1432②.如果用3种颜色，选色的1035=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，B BBC CCAAABC A③.用2色图，20225=⨯C ，综上共计120+120+20=260种。
4.用五种颜色涂如图所示的区域，有多少种不同的涂法？（180） 解：1432①.如果用3种颜色，603335=⨯A C ；②. .如果用4种颜色，有12045=A 种。
所以共计180种。
5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。
（480）1432解：4804456=⨯⨯⨯6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。
排列组合中的涂色问题
排列组合中的涂色问题 1．用6种不同的颜色为图中4个区域图色，相邻的 区域不能涂相同的颜色，问有 种不同的涂法？
480
2．用5种不同的颜色为图中4个区域图色，相邻的
区域不能涂相同的颜色，问有 种不同的涂法？ 120
3．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同 一块种同一种植物，相邻的两块种不同的植物， 现有4种不同的植物供选择，
则有 种栽植方法。
732
4．一个太阳伞的伞蓬由八个区域组成，它由七种不同的 颜色面料拼接而成，若恰有一组相对的区域用同一颜色 的面料，则可搭配成颜色排列不同的伞面种数为（ ） A ．40320 B ．5040 C ．20160 D ．2520 D
5．某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分， 现要栽种4种不同的颜色的花，每部分栽种一种且 相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种。
120
1 2
4 3
5
6
A B C
D
E
F。
解决排列组合中涂色问题专题讲座(有详细答案)
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；①②③④ ⑤⑥（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。
同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。
例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜 色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。
②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。
③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
总计有108432192732++=种不同的涂色方法。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种； ㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种； ㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。
根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4解析：依题意至少要用3种颜色。
①若用3种颜色，区域2与4必须同色， 区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。
共有4种。
根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有 一组对角小方格涂相同的颜色。
高中数学排列组合涂色与整除问题
高中数学排列组合涂色与整除问题高中数学排列组合涂色与整除问题排列与组合中的涂色问题例析北京师大燕化附中(102500) 钱月华史树德在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。
拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。
一、带状区域的涂色题mA带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式的思想方法类似，可构n mm造排好顺序的个空位(格)，从n个不同元素中任取()个填充.此类m,n涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法, 解析:从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类: 3A一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有种，且右面两相邻格涂3 311A,A,12A法有种.共有种. 23231AA 二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有种，末一格涂法有种，共32 31A,A,12有种. 324A三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有种，其中产生与一类重复的4 有6种(如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿).31314AA，AA，(A,6),42综上得:(种). 32324点评:本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。
例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法, 3C解析:首先考虑同色的三个格子排列法有种，且任选4种颜色之一涂色，5 33CA共有4种。
第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有5333CA,,种，共有(4) =240种。
53点评:注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法33CA简化，某同学列出算式时否,为什么, 54例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种,(07天津市理科高考16题)图2解析:题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色(用1种颜色不合题意)，启示我们把解法分成两类:2C一类是用2种颜色涂有种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子6 222CAA涂法有种，共有=30种。
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分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方 法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法
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练习1： 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如 图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，共有多少不同的栽种方 法
练习2：某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌 为"太阳伞"的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组 成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且 恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图 案的此类太阳伞至多有（ ）种
染色问题
例.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中 的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同， 则不同的涂色方法有（ ）种。
A
①
B
②
C
③
D
④
分析：A 4种 B 3种 C 3种 D 3种
变式1.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如 图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 相同，则不同的涂色方法有（ ）种。 A D B C
（A）40320 （B）5040 （C）20160 （D）2520
总结
Hale Waihona Puke 对区域染色的常见思路： （1）直接根据两个基本原理求解； （2）根据所用的颜色的种数分类； （3）根据某两个区域同色或不同 色分类； （4）根据相间区域使用的种类分 类。
作业
（1）用5种颜色给图中的5个车站候车牌（A、B、C、D、E）
分析：A B C D 4种 3种 3种 ？？
为什么第四个区域不确定是几种情况呢？
解：分类：BD同色： BD异色： 36+48=84种
变式2.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如 图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 相同，则不同的涂色方法有（ ）种。
分析：BD可能相同可能不同因此影响E的 判断。对BD进行分类。
染色，要求相邻的两个车站间的候车牌颜色不同，有多少种不 同的染色方法？
（2）如图为一张有5个行政区划分的地图，今要用5种颜色给地
图着色要求相邻的区域不同色（B与E，C与D不算相邻区域）， 共有多少种方案？
解：分类：BD同色 BD不同色 48+24=72种
变式3：用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在“田”字 形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻的两格涂不 同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种涂色 方法？
变式4用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省 （区）的地图染色，每一省（区）一种颜色，只要 求相邻的省（区）不同色，则不同的染色方法有多 少种？