2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 15离散型随机变量的方差含解析

合集下载

人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念（2）能计算简单离散型随机变量的方差（3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？问题探究二常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值．解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ，所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -；（3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业基础型自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。

2018版数学新导学同步人教A版选修2-3：课时作业 15离散型随机变量的方差包含解析

答案：C
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C ( )k·( )n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()
A．8 B．12
C. D．16
解析：由题意可知ξ～B(n， )，∴ n＝E(ξ)＝24.∴n＝36.
∴D(ξ)＝n× ×(1－ )＝ ×36＝8.
答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：A
4．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则等于()
ξ1(甲得分)
0
1
2
P(ξ1＝xi)
0.2
0.5
0.3
ξ2(乙得分)
0
1
2
P(ξ2＝xi)
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？()
A．甲B．乙
C．甲、乙均可D．无法确定
解析：E(ξ1)＝E(ξ2)＝1.1，D(ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
A．0.5 B.
C. D．3.5
解析：因为X1～B(n,0.2)，所以E(X1)＝0.2n＝2，
所以n＝10.又X2～B(6，p)，所以D(X2)＝6p(1－p)＝，

人教B版选修2-3高中数学2.3.2《离散型随机变量的方差》ppt课件1

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
设事件A 发生的概率为p，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
4．证明：因为ξ 所有可能取的值为 0，1 且 P（ξ
=0）=1-p,P(ξ =1)=p,
所以，Eξ =0×(1-p)+1×p=p 新疆王新敞奎屯
则 D ξ = （ 0-p ） 2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2
＋0×(3-0.7)2＝0.61
乙的技术稳定性较好
例．设随机变量X的分布列为
X1
P
1 n
求 V (X)
2 …n
1 n
…
1 n
E(X)＝
n1(1+2+...+n)＝ n
2
1
V(X)＝
1 n (k n 1)2 1 n [(n 1)2 4k(n 1) 4k 2 ] n2 1
pΒιβλιοθήκη (1 p)
2

1
2 4
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。

2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3： 10离散型随机变量的分布列含解析

课时训练 10 离散型随机变量的分布列(限时：10分钟)1．已知随机变量X 的分布列如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4 5P 115 215 m415 13A.115B.215C.15D.415 答案：C2．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P 2a 3a则a ＝( ) A.12 B.13 C.15 D.110解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.答案：C3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为__________．答案：272205P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310＝0.3.(或P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3(限时：30分钟)一、选择题1．某一随机变量X 的概率分布如表，且m ＋2n ＝1.2.则m －n2的值为( )X 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1A.－0.2 B ．0.2 C ．0.1 D ．－0.1 答案：B2．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜ξ≤4)等于( ) A.316 B.14 C.116 D.15解析：P (2＜ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0＜X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)解析：本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．答案：B5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ≤2)C ．P (ξ＝4)D ．P (ξ≤4)解析：A 项，P (ξ＝2)＝C 27C 88C 1015；B 项，P (ξ≤2)＝P (ξ＝2)≠C 47C 68C 1015；C 项，P (ξ＝4)＝C 47C 68C 1015；D 项，P (ξ≤4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＞C 47C 68C 1015.答案：C 二、填空题6．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为__________．解析：设当选的3人中女生的人数为X .P (X ＝7)＝0.09，P (X ＝8)＝0.28， P (X ＝9)＝0.29，P (X ＝10)＝0.22，P (X ≥7)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.88. 答案：0.888．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为__________．解析：设ξ的分布列为ξ x 1 x 2 x 3 P a －d a a ＋d由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0＜a －d ＜1，0＜a ＋d ＜1.解得－13＜d ＜13.答案：－13＜d ＜13三、解答题：每小题15分，共45分．9．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列．解析：当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18. 所以随机变量Y 的分布列为Y 17 18 19 20 21P18 14 14 14 1811.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 12 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa+b-aa45°A BE 挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》导学案

2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。

2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。

3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。

【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。

2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。

【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。

我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。

2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。

3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。

【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。

观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。

那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。

2018年人教版高中数学选修2-3课件：离散型随机变量的均值与方差

袋中有20个大小相同的球，其中记号为0的有10个, 记号为n的有n个（n=1,2,3,4），现从袋中任取一球，设x表示所取球的标号. (1)求x的分布列，均值和方差. (2)若Y aX b ，E(Y)=1, D(Y)=11,试求a，b的值. 解：（1）∵由题意可知 X的可能取值为0,1,2,3,4. ∴X的分布列为 X 0
袋中有20个大小相同的球，其中记号为0的有10个, 记号为n的有n个（n=1,2,3,4），现从袋中任取一球，设x表示所取球的标号. (1)求x的分布列，均值和方差. (2)若Y aX b ，E(Y)=1, D(Y)=11,试求a，b的值. （2） ∵ Y aX b 3 ∴E(Y)= aE( X ) b a b 1 ① 2 2 2 11 D(Y)= a D( X ) a 11 ② 4 联立①②，解得
பைடு நூலகம்
（2008海南理19）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2 ,根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 P 5% 10% 0.8 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 12% 0.5 0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100－x）万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值. （注：D(aX b) a 2 D( X ) ）
a2 b 2
或
a 2
b4
袋中有20个大小相同的球，其中记号为0的有10个, 记号为n的有n个（n=1,2,3,4），现从袋中任取一球，设x表示所取球的标号. (1)求x的分布列，均值和方差. (2)若Y aX b ，E(Y)=1, D(Y)=11,试求a，b的值.

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》教案1

2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。

【教学重点】应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题。

【教学难点】对离散型随机变量的方差、标准差的理解。

一、课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X的方差。

离散型随机变量的方差反映了：_____________________________。

2.离散型随机变量的标准差：_____________________________。

离散型随机变量的标准差反映了______________________________。

3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D 。

4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D 。

二、课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲：射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y ，求(),()D X D Y 。

三、课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么()_D X =。

2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同。

两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平。

人教版高中选修(B版)2-32.3.2离散型随机变量的方差课程设计

人教版高中选修(B版)2-32.3.2离散型随机变量的方差课程设计一、课程目标1.理解离散型随机变量的基本概念与特点；2.掌握离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等相关概念；3.能够通过实际问题分析并应用离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等知识进行计算。

二、教学重点1.离散型随机变量的概念；2.离散型随机变量的概率分布；3.离散型随机变量的期望值；4.离散型随机变量的方差。

三、教学难点1.离散型随机变量的方差的计算方法；2.在实际问题中如何应用离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等知识进行计算。

四、教学内容和教学方法（一）教学内容1.离散型随机变量的概念；2.离散型随机变量的概率分布；3.离散型随机变量的期望值；4.离散型随机变量的方差。

1.理论讲解：通过讲解相关的概念、公式、计算方法等内容，让学生具备相关的理论基础；2.实例讲解：通过实际问题的分析和解决，让学生能够将所学知识应用于实际问题的解决中；3.课堂练习：通过在课堂上布置相关的习题，让学生巩固相关的知识点，提高理解与应用能力。

五、教学计划时间内容教学方法第一课时离散型随机变量的概念理论讲解、实例讲解第二课时离散型随机变量的概率分布理论讲解、实例讲解、课堂练习第三课时离散型随机变量的期望值理论讲解、实例讲解、课堂练习第四课时离散型随机变量的方差理论讲解、实例讲解、课堂练习第五课时实际问题应用实例讲解、课堂练习第六课时综合练习课堂练习、复习总结六、教学评估（一）评估方法1.课堂练习：通过在课堂上布置相关的习题，检验学生对所学知识的掌握程度和应用能力；2.作业评估：通过作业的批改与评估，检验学生对所学知识的理解能力和综合运用能力；3.考试评估：通过期末考试的试题设置，检验学生对所学知识的掌握情况。

1.离散型随机变量的概念；2.离散型随机变量的概率分布；3.离散型随机变量的期望值；4.离散型随机变量的方差；5.在实际问题中如何应用离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等知识进行计算。

高中数学人教B版选修2-3第二篇精要离散型随机变量的方差课件

2.3.2 离散型随机变量的方差
【学习要求】
填一填研一研练一练
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
本 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
课时
3．掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，
栏目
会利用公式求它们的方差．
开关
【学法指导】
1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会
6
填一填研一研练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3 随机变量的方差与样本的方差有何不同？
答样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随
机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随
机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而
本
课非变量．
时栏
问题 4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？
参加正式比赛？
高中数学人教B版选修2-3第二篇精要离散型随机变量的方差
4
研一研·问题探究、课堂更高效
答 x 甲＝ x 乙＝7，利用样本的方差公式
填一填
本
s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，求得：
课
研一研
时
s2甲＝2.2，s2乙＝1.2.
栏
目
∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛.
DX≈1.71.
高中数学人教B版选修2-3第二篇精要离散型随机变量的方差
9
研一研·问题探究、课堂更高效
填一填研一研练一练
小结充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质
本
课时栏

2018年高中数学人教版选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差(二)

析:审清题意是解决该题的关键.
1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列.
●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，最后一只必为果蝇，所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●” P （ξ=0 ） = ，同理有P （ξ=1 ）=
AA 7 8 A8 ● ☆28 ξ=2“表示 ● ●●☆●●”有P （)＝n(n－1)p2＋np－(np)2＝np－np2＝np(1－p)．
1、设随机变量X的分布列为P(x=k)=1/4,k=1,2,3,4,则EX=
。
2、若X是离散型随机变量，则E(X-EX)的值是
A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
。
3、已知X的概率分布为
2
且Y= aX+3,EY=7/3, 则a=
[解析]
设 X 为打开此门所需的试开次数，则 X 的可
能取值为 1,2,3,4,5. X＝k 表示前 k－1 次没打开此门，第 k 次才打开了此门． 1 1 P(X＝1)＝C1＝5， 5
1 C4 1 1 P(X＝2)＝C1· 1＝， C 5 5 4 1 1 C4 C3 1 1 P(X＝3)＝ 1· 1· 1＝， C5 C4 C3 5 1 1 1 C4 C3 C2 1 1 P(X＝4)＝C1· 1· 1· 1＝， 5 5 C4 C3 C2
⑶p( E ) p( 2) p( 2) p( 3) p( 4) p( 5) p( 6) 15 28
• [ 例 5] 某人有 5 把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差． • [分析] 由题目可获取以下主要信息：①某人有5 把钥匙及其各自的功能；②不放回地取钥匙打开门． • 解答本题可先设出试开此门所需的次数，再逐一试开，求出分布列，然后根据公式求解．

数学人教B版选修2-3课后导练 2.3.2离散型随机变量的方差含解析精品

课后导练基础达标 1．（江苏南京联考）设随机变量X~B(n,p),且EX=1.6,DX=1.28,则（）A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45 解析：∵X~B(n,p)， ∴EX=np,DX=np(1-p).从而有⎩⎨⎧=-=,28.1)1(6.1p np np得n=8，p=0.2.答案：A2．已知ξ~B(n,P),Eξ=8，Dξ=1.6，则n 与P 的值分别是（）A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8 解析：若随机变量ξ~B(n,p), 则Eξ=nP=8,且Dξ=nP(1-P)=1.6, ∴n=10,P=0.8,故选D. 答案：D3．一种掷骰子的游戏规则是：交一元钱可掷一次骰子（每次一个骰子），若骰子朝上的点数是1，则中奖4元；若点数是2或3，则中奖1元；若点数是4或5或6，则无奖.某人投掷一次，那么：他中奖的概率是_____________；他赚金额的数学期望是_____________.解析：中奖概率为63=21, Eξ=(4-1)·61+(1-1)61+(1-1)61-61·1-61·1-61·1=0.答案：21 04．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量X 1，X 2，已知EX 1=EX 2，DX 1>DX 2，则自动包装机_____________的质量较好.解析：EX 1=EX 2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样，DX 1>DX 2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好. 答案：乙5.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52,则甲回家途中遇红灯次数的期望为_____________. 解析：设甲在途中遇红灯次数为X ，则X~B （3,52）, 所以EX=3×52=1.2.答案：1.26.证明事件在一次试验中发生次数方差不超过41. 证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，显然ξ可能的取值为0和1，又设事件在一次试验中发生的概率为P ，则P （ξ=0)=1-p ，P （ξ=1）=p ， ∴Eξ=0(1-p)+1·p=p ，Dξ=（1-p ）（0-p ）2+p （1-p ）2=（1-p ）p 2+p （1-p ）2=p （1-p ）≤(21p p -+)2=41. 7.假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时，全天停止工作.若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获得的利润为0万元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？解：用随机变量ξ表示1周5天内发生故障的天数，则ξ服从二项分布，即ξ~B （5，0.2） ,从而P （ξ=k ）=kC 5(0.2)k (0.8)5-k ,k=0,1,2,…5.于是P （ξ=0)=(0.8)5=0.328.P （ξ=1）=15C （0.2）×(0.8)4=0.410, P(ξ=2)=25C (0.2)2×(0.8)3=0.205,P(ξ≥3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)=1-0.328-0.410-0.205=0.057. 用X 表示所获得的利润，则X=g(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-===3,2;2,0;1,5;0,10ξξξξ因此1周期望的利润是E （X ）=10×0.328+5×0.410+0×0.025+(-2)×0.057=5.216(万元).8.膨胀仪是测量金属膨胀系数的一种精密仪器，现在同一膨胀仪上，用两种底片多次测量某种合金的膨胀系数，分布列如下表：玻璃底片测量结果若方差越大，表示越不稳定，测量效果差，现问哪一种底片测量效果好？解：EX 1=13.4×0.05+13.5×0.15+13.6×0.60+13.7×0.15+13.8×0.05=13.6, DX 1=(13.4-13.6)2×0.05+(13.5-13.6)2×0.15+(13.6-13.6)2×0.60+(13.7-13.6)2×0.15+(13.8-13.6)2×0.05=0.007 0. EX 2=13.3×0.05+13.4×0.05+13.5×0.15+13.6×0.50+13.7×0.15+13.8×0.05+13.9×0.05=13.6, DX 2=(13.3-13.6)2×0.05+(13.4-13.6)2×0.05+(13.5-13.6)2×0.15+(13.6-13.6)2×0.50+(13.7-13.6)2×0.15+(13.8-13.6)2×0.05+(13.9-13.6)2×0.05=0.016 0. ∴EX 1=EX 2,DX 1<DX 2. 故玻璃底片的测量效果好.9.抛掷两枚骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数η的期望和方差.解析：抛掷两枚骰子一次，成功的概率为1-（32）2=95,而30次试验中成功的次数ξ~B(30,95)，所以Eξ=np=30×95=350,Dξ=np(1-p)=30×95×94=27200. 综合运用10．设在15个同类型的零件中有两个是次品，每次任取一个，共取3次，并且每次取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的期望Eξ和方差Dξ.解：ξ可能取的值是0,1,2,P(ξ=0)=2522315313=C C ,P(ξ=1)=351231521312=C C C , P(ξ=2)=35131511322=C C C .∴Eξ=0×35+1×35+2×35=5, Dξ=(0-52)2×3522+(1-52)2·3512+(2-52)2·351=17552.11．设甲、乙两名射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下：甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10 乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9 试问哪一名射手的射击技术较好？解析：∵EξA =101(10+6+7+10+8+9+9+10+5+10)=8.4, EξB =101(8+7+9+10+9+8+7+9+8+9)=8.4, DξA =4(10-8.4)2+2(9-8.4)2+(8-8.4)2+(7-8.4)2+(6-8.4)2+(5-8.4)2=30.40, DξB =(10-8.4)2+4(9-8.4)2+3(8-8.4)2+2(7-8.4)2=6.44. DξA>DξB ,说明甲的着弹点比乙的分散，即甲的技术没有乙稳定，因此乙的射击技术比甲好.12．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X 、Y 的求：（1）a 、b 的值；（2）计算X 、Y 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况. 解：（1）因为a+0.1+0.6=1, 所以a=0.3.同理，得b=0.4.(2)EX=2.3,EY=2.0,EX 2=6.1,EY 2=4.6. ∴DX=0.81;DY=0.6.由计算结果EX>EY ，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高；但DX>EY ,说明甲得分的稳定性不如乙，因而甲、乙两人的技术都不够全面. 拓展探究 13．（2005全国江西，19）A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止，设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数. （1）求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望Eξ. 解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-,91,,5|1|ξξn m m 可得当m=5,n=0或m=0,n=5时，ξ=5; 当m=6,n=1或m=1,n=6时，ξ=7；当m=7,n=2或m=2,n=7时，ξ=9，所以ξ的所有可能取值为5，7，9.（2）P （ξ=5）=2×(21)5=322=161; P(ξ=7)=215C (21)7=645;P(ξ=9)=16455645161=--; Eξ=5×161+7×5645+9×6455=32275.。

数学人教B版选修2-3课堂探究 2.3.2离散型随机变量的方

课堂探究探究一求离散型随机变量的方差解决求离散型随机变量的方差问题，首先要理解随机变量X 的意义，写出X 可能取的全部值，其次求出X 每个取值对应的概率，列出分布列，然后由期望的定义求出E (X )，最后由方差计算公式求出D (X )．【典型例题1】某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．思路分析：(1)先求出ξ的分布列，再求期望，再利用方差公式求出方差．(2)利用条件概率或用古典概型概率公式求解．解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，“男生甲被选中”包含的基本事件数为C 25＝10，“男生甲被选中，女生乙也被选中”包含的基本事件数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25.故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.探究二离散型随机变量方差的性质及运算1．简化运算：当求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量．2．性质应用：注意利用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 及D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)求期望与方差．【典型例题2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差．(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．思路分析：(1)先求出ξ的分布列，再利用公式求出期望与方差． (2)通过ξ与η的线性关系表示出E (η)，D (η)，列方程组求解．解：(1)ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．探究三方差的实际应用离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，因此在实际决策问题中，通常需先计算期望，比较一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的稳定性较好，因此在利用期望和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要考虑．【典型例题3】有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两个建材厂进行抽样检查，他们从中各取等量的样品进行检查，得到它们的抗拉强度指数如下：其中X 和Y 120，比较说明甲、乙两厂的钢筋哪一种稳定性较好．思路分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望，然后比较这两种钢筋质量的稳定性，即方差．解：E (X )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E (Y )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (X )＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，D (Y )＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.由E (X )＝E (Y )，可知甲、乙两厂的钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120，但由于D (X )＜D (Y )，即乙厂的钢筋的抗拉强度与其平均值偏差较大，故可认为甲厂的钢筋的质量稳定性较好．探究四易错辨析易错点：用错公式而致误【典型例题4】已知随机变量X 的概率分布如下表所示：求E (X )，D (X )，D (X )的值．错解：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(x 1－E (X ))p 1＋(x 2－E (X ))p 2＋(x 3－E (X ))p 3＝⎝⎛⎭⎫－1＋13×12＋⎝⎛⎭⎫0＋13×13＋⎝⎛⎭⎫1＋13×16＝0，所以D (X )＝0. 错因分析：错误的原因是在利用方差的定义求解时，把(x i －E (X ))2p i 中(x i －E (X ))2的平方漏掉了．正解：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋(x 3－E (X ))2p 3 ＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，所以D (X )＝59＝53.。

2018版高中数学选修2-⒊学案：第二章概率 2.5-2 离散

2.5.2离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X 和Y的概率分布如下：思考1试求E(X)，E(Y)思考2能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：①方差：V (X )＝σ2＝，其中，p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.变形公式：V (X )＝∑i ＝1nx 2i p i －μ2.②标准差：σ＝________.③意义：方差刻画了随机变量X 与其均值μ的________程度． (2)方差的性质：V (aX ＋b )＝________.知识点二两点分布、超几何分布与二项分布的方差 1．两点分布：若X ～0－1分布，则V (X )＝________________________________________________________________________. 2．超几何分布：若X ～H (n ，M ，N )，则V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).3．二项分布：若X ～B (n ，p )，则V (X )＝__________.类型一求随机变量的方差例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的概率分布．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求V(X)．跟踪训练1甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．类型二两点分布与二项分布的方差例2某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．反思与感悟解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率)．跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)，则V (3ξ)＝________.1．已知随机变量X 的概率分布为则下列式子：①E (X )＝－13；②V (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确式子的序号为________．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V (ξ)＝________.3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，若E (X )＝0，V (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.4.已知随机变量X ～B (100,0.2)，那么V (4X ＋3)的值为________．5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和V (ξ)．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差V(X)越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差V(X)越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)．答案精析问题导学知识点一思考1 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710， E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为E (X )＝E (Y )．思考3 方差．梳理 (1)①(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ②V (X ) ③平均偏离 (2)a 2V (X ) 知识点二1．p (1－p ) 3.np (1－p ) 题型探究例1 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5. P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝45×14＝15，P (X ＝3)＝45×34×13＝15，P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15，P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的概率分布为由定义知，E (X )＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V (X )＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.跟踪训练1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2，则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，∴P (A ＋B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2) ＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92， ∴0.6＋P 2－0.6P 2＝0.92，则0.4P 2＝0.32，即P 2＝0.8. (2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B ) ＝0.4×0.2＝0.08，P (X ＝1)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44. ∴X 的概率分布为E (X )＝0×0.08＋1×0.44＋2×＝0.44＋0.96＝1.4，V (X )＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48 ＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4. 例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02， P (ξ＝1)＝0.98，所以V (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6. (2)用X 表示抽得的正品数，则X ～B (10,0.98)，所以V (X )＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差为V (X )≈0.44. 跟踪训练2 (1)13(2)10解析 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.(2)由题意知，ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则V (ξ)＝5×13×23＝109，所以V (3ξ)＝9V (ξ)＝9×109＝10.当堂训练1．①③ 2.158 3.512 144.2565．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.V (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。

2018高中数学北师大版选修2-3教学案：第二章 5 第二课时离散型随机变量的方差含解析

第二课时离散型随机变量的方差[对应学生用书P33][例1] 已知随机变量X 的分布列为若EX ＝23，求DX 的值．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1nP i ＝1求出p 的值，然后借助EX ＝23求出x 的取值，最后代入相应的公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又EX ＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴DX ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－232×16＝59. [一点通] 求离散型随机变量的方差的方法： (1)根据题目条件先求分布列．(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.解析：由题意设P(ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E(ξ)＝1，可得p ＝35，所以D(ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：252．已知随机变量X 的分布列为试求DX 和D(2X －1)．解：EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1 ＝1.8.所以DX ＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X －1的分布列为所以E(2X －1)＝2EX －1＝2.6.所以D(2X －1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.[例2] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨] 确定X 的取值→计算概率 →列出分布列 →求EX ，DX[精解详析] X 可能取值为1,2,3,4,5.。

高二数学(人教B版)选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差

中课求E(X)，D(X)
程标
解：依题意知离散型随机变量X服从参数为n=4，
准 p=0.1的二项分布，所以
Liangxiangzhongxue
E(X)=np=4×0.1=0.4，
D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36，
四、应用举例
普例3.有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把能
通把大门上的锁打开，用它们去试开大门上的锁。设
1000 0.4
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
1400 0.3
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.2
1800 0.1
2200 0.1
甲单位不同职位月工资X1/元获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元获得相应职位的概率P2
1200 0.4 1000 0.4
1400 0.3 1400 0.3
P
Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk … Cnn pnq0
标
准则，D(X)=npq，(q=1-p)。
Liangxiangzhongxue
证明：略(见本章附录)
四、应用举例
普例1.已知两名射手在同一条件下进行射击，供选拔
通参加大型比赛，其分布列如下：
高
中所得环数
10
Liangxiangzhongxue
D(X)=q2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq。
这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq。
三、概念形成
普概念2. 离散型随机变量的方差的性质
通性质2：若随机变量X服从二项分布(q=1-p)，

新人教B版学高中数学选修概率离散型随机变量的方差讲义

学习目标：１．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.２．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．（重点）３．掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．（难点）教材整理１离散型随机变量的方差的概念阅读教材P6２例１以上部分，完成下列问题．离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x１，x２，…，x n，这些值对应的概率是p１，p２，…，p n，则D（X）＝（x１—E（X））２p１＋（x２—E（X））２p２＋…＋（x n—E（X））２p n，叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度）.标准差D（X）的算术平方根错误!叫做离散型随机变量X的标准差.１．下列说法正确的有________．（填序号）１离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的概率的平均值；２离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平；３离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的波动水平；４离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的波动水平．【解析】１错误．因为离散型随机变量X的期望E（X）反映了X取值的平均水平．２错误．因为离散型随机变量X的方差D（X）反映了随机变量偏离于期望的平均程度．３错误．因为离散型随机变量的方差D（X）反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E（X）反映了X取值的平均水平．４正确．由方差的意义可知．【答案】４２．已知随机变量X，D（X）＝错误!，则X的标准差为________．【解析】X的标准差错误!＝错误!＝错误!.【答案】错误!教材整理２二点分布、二项分布的方差阅读教材P6３例２以下部分，完成下列问题．服从二点分布与二项分布的随机变量的方差（１）若X服从二点分布，则D（X）＝p（１—p）；（２）若X～B（n，p），则D（X）＝np（１—p）．若随机变量X服从二点分布，且成功概率P＝0．５，则D（X）＝________，E（X）＝________.【解析】E（X）＝0．５，D（X）＝0．５（１—0．５）＝0．２５．【答案】0．２５0．５离散型随机变量的方差的性质及应用【例１】设在１２个同类型的零件中有２个次品，抽取３次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．（１）求X的分布列、期望及方差；（２）求Y的分布列、期望及方差．【精彩点拨】（１）可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；（２）可由Y分布列及其期望、方差公式求解，也可由期望、方差性质求解．【解】（１）X的可能取值为0,１,２．若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P（X＝0）＝错误!＝错误!，同理，有P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!.∴X的分布列为X 0 １２ P错误!错误!错误!∴E （X D （X ）＝错误!２×错误!＋错误!２×错误!＋错误!２×错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（２）Y 的可能取值为１,２,３，显然X ＋Y ＝３．法一：P （Y ＝１）＝P （X ＝２）＝错误!，P （Y ＝２）＝P （X ＝１）＝错误!， P （Y ＝３）＝P （X ＝0）＝错误!，∴Y 的分布列为Y １２３P 错误! 错误! 错误!E （Y ）＝１×D （Y ）＝错误!２×错误!＋错误!２×错误!＋错误!２×错误!＝错误!.法二：E （Y ）＝E （３—X ）＝３—E （X ）＝错误!，D （Y ）＝D （３—X ）＝（—１）２D （X ）＝错误!.１．由本例可知，利用公式D （aX ＋b ）＝a ２D （X ）及E （aX ＋b ）＝aE （X ）＋b 来求E （Y ）及D （Y ），既避免了求随机变量Y ＝aX ＋b 的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．２．若X ～B （n ，p ），则D （X ）＝np （１—p ），若X 服从二点分布，则D （X ）＝p （１—p ），其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．１．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知E （X ）＝３，D （X ）＝错误!，求n ，p 的值．【解】由题意知，X 服从二项分布B （n ，p ），由E（X）＝np＝３，D（X）＝np（１—p）＝错误!，得１—p＝错误!，∴p＝错误!，n＝6．求离散型随机变量的方差、标准差【例２】编号为１,２,３的三位学生随意入座编号为１,２,３的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E（ξ）和D（ξ）．【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E（ξ）和D（ξ）的值．【解】ξ的所有可能取值为0,１,３，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有２种情况，即编号为１,２,３的座位上分别坐了编号为２,３,１或３,１,２的学生，则P（ξ＝0）＝错误!＝错误!；ξ＝１表示三位同学只有１位同学坐对了．则P（ξ＝１）＝错误!＝错误!；ξ＝３表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P（ξ＝３）＝错误!＝错误!.所以，ξ的分布列为ξ0１３P错误!错误!错误!E（ξ）＝0×错误D（ξ）＝错误!×（0—１）２＋错误!×（１—１）２＋错误!×（３—１）２＝１．求离散型随机变量的方差的类型及解决方法１．已知分布列型（非二点分布或二项分布）：直接利用定义求解，具体如下，（１）求均值；（２）求方差．２．已知分布列是二点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，（１）若X服从二点分布，则D（X）＝p（１—p）．（２）若X～B（n，p），则D（X）＝np（１—p）．３．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．４．对于已知D（X）求D（aX＋b）型，利用方差的性质求解，即利用D（aX＋b）＝a２D（X）求解．２．有１0张卡片，其中8张标有数字２,２张标有数字５，从中随机地抽取３张卡片，设３张卡片数字之和为ξ，求E（ξ）和D（ξ）．【解】这３张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,１２．ξ＝6表示取出的３张卡片上均标有２，则P（ξ＝6）＝错误!＝错误!.ξ＝9表示取出的３张卡片上两张标有２，一张标有５，则P（ξ＝9）＝错误!＝错误!.ξ＝１２表示取出的３张卡片上一张标有２，两张标有５，则P（ξ＝１２）＝错误!＝错误!.∴ξ的分布列为ξ69１２P错误!错误!错误!∴E（ξD（ξ）＝（6—7．8）２×错误!＋（9—7．8）２×错误!＋（１２—7．8）２×错误!＝３．３6．期望、方差的综合应用[探究问题]１．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床试求１２【提示】E（X１）＝0×0．7＋１×0．２＋２×0．06＋３×0．0４＝0．４４．E（X２）＝0×0．8＋１×0．06＋２×0．0４＋３×0．１0＝0．４４．２．在探究１中，由E（X１）和E（X２）的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为E（X１）＝E（X２）．３．在探究１中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例３】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中１0,9,8,7环的概率分别为0．５,３a，a,0．１，乙射中１0,9,8环的概率分别为0．３,0．３,0．２．（１）求ξ，η的分布列；（２）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】（１）由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．（２）要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【解】（１）由题意得：0．５＋３a＋a＋0．１＝１，解得a＝0．１．因为乙射中１0,9,8环的概率分别为0．３,0．３,0．２，所以乙射中7环的概率为１—（0．３＋0．３＋0．２）＝0．２．所以ξ，η的分布列分别为ξ１0987η１0987P0．５0．３0．１0．１P0．３0．３0．２0．２E（ξ）＝１0×0．５＋9×0．３＋8×0．１＋7×0．１＝9．２；E（η）＝１0×0．３＋9×0．３＋8×0．２＋7×0．２＝8．7；D（ξ）＝（１0—9．２）２×0．５＋（9—9．２）２×0．３＋（8—9．２）２×0．１＋（7—9．２）２×0．１＝0．96；D（η）＝（１0—8．7）２×0．３＋（9—8．7）２×0．３＋（8—8．7）２×0．２＋（7—8．7）２×0．２＝１．２１．由于E（ξ）>E（η），D（ξ）<D（η），说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤１．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．２．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．３．下结论．依据方差的几何意义做出结论．３．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0１２３P0．３0．３0．２0．２Y0１２P0．１0．５0．４【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E（X）＝0×0．３＋１×0．３＋２×0．２＋３×0．２＝１．３；D（X）＝（0—１．３）２×0．３＋（１—１．３）２×0．３＋（２—１．３）２×0．２＋（３—１．３）２×0．２＝１．２１．乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E（Y）＝0×0．１＋１×0．５＋２×0．４＝１．３；D（Y）＝（0—１．３）２×0．１＋（１—１．３）２×0．５＋（２—１．３）２×0．４＝0．４１．因为E（X）＝E（Y），D（X）>D（Y），所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．１．设一随机试验的结果只有A和错误!，且P（A）＝m，令随机变量ξ＝错误!则ξ的方差D（ξ）等于（）Ａ．mＢ．２m（１—m）Ｃ．m（m—１）Ｄ．m（１—m）【解析】随机变量ξ的分布列为：∴E（ξ∴D（ξ）＝（0—m）２×（１—m）＋（１—m）２×m＝m（１—m）．【答案】D２．已知X的分布列为则D（X）等于（Ａ．0．7 Ｂ．0．6１Ｃ．—0．３Ｄ．0【解析】E（X）＝—１×0．５＋0×0．３＋１×0．２＝—0．３，D（X）＝0．５×（—１＋0．３）２＋0．３×（0＋0．３）２＋0．２×（１＋0．３）２＝0．6１．【答案】B３．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X１，X２，已知E（X１）＝E（X２），D（X）>D（X２），则自动包装机________的质量较好．１【解析】因为E（X１）＝E（X２），D（X１）>D（X２），故乙包装机的质量稳定．【答案】乙４．一批产品中，次品率为错误!，现连续抽取４次，其次品数记为X，则D（X）的值为________．【解析】由题意知X～B错误!，所以D（X）＝４×错误!×错误!＝错误!.【答案】错误!５．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若E（X）＝0，D（X 【解】由题意，错误!解得a＝错误!，b＝c＝错误!.。