中考数学一轮复习习题及答案
中考数学一轮复习习题及答案
实数考点1 实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数． 例1 比较3－2与2－1的大小．例2 在-6,0,3,8这四个数中，最小的数是（ ）A.-6B.0C.3D.8考点2 无理数常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。
如：35,3注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环；（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327就是有理数）．例3 下列是无理数的是（ ）A.-5/2B.πC. 0D.7.131412例4在实数中－23，03.14） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点3 实数有关的概念实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数例5若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )A. －a 2B. －( a +1)2C.－2aD.－(a -+1) 例6实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =例7 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A.5－2 B. 2－5 C. 5－3 D.3－5例8已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为 考点4 平方根、算术平方根、立方根与二次根式若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是3a 。
中考数学一轮复习各章节复习有答案完美版
中考数学一轮复习第1讲：实数概念与运算一、夯实基础1、绝对值是6的数是________2、|21|-的倒数是________________。
3、2的平方根是_________.4、下列四个实数中，比－1小的数是（ ）A ．－2 B.0 C ．1 D ．25、在下列实数中,无理数是( )二、能力提升 6、小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为（ ） A ．4℃ B ．9℃ C ．－1℃ D ．－9℃ 7、定义一种运算☆，其规则为a ☆b =＋，根据这个规则、计算2☆3的值是（ ） A ．65 B ．C ．5D ．68、下列计算不正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D 三、课外拓展9、实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是________。
四、中考链接10、数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（ ）131a 1b 1531222-+=-21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭33-==A. 6或6- B. 6 C. 6- D. 3或3-11、如果a与1互为相反数，则a等于（）．A．2 B．2- C．1 D．1-12、下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（）A、 4.84B、0.484C、0.0484D、0.0048413、― 2×63＝14、在﹣2，2，2这三个实数中，最小的是15、写出一个大于3且小于4的无理数。
参考答案一、夯实基础1、6和-62、23、4、A5、C二、能力提升6、C7、A8、A三、课外拓展>9、a b四、中考链接10、A11、C12、C13、-214、﹣215、解：∵π≈3.14…，∴3＜π＜4，故答案为：π（答案不唯一）．第2讲：整式与因式分解一、夯实基础1．计算（直接写出结果）①a ·a 3=③(b 3)4=④(2ab )3=⑤3x 2y ·)223y x -（=2．计算：2332)()(a a -+-＝ ．3．计算：)(3)2(43222y x y x xy -⋅⋅-＝ ．4．1821684=⋅⋅n n n ，求n ＝ ．5．若._____34,992213=-=⋅⋅++-m m y x y x y x n n m m 则二、能力提升6．若)5)((-+x k x 的积中不含有x 的一次项，则k 的值是（）A ．0B ．5C ．－5D ．－5或57．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（）A ．－5B ．5C ．－2D ．28．若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（）A ．－5B ．－3C ．－1D ．19．如果552=a ，443=b ，334=c ，那么（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a三、课外拓展10．①已知,2,21==mn a 求n m a a )(2⋅的值.②若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值11．若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值．四、中考链接12．（龙口）先化简，再求值：（每小题5分，共10分）（1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5），其中x =2．（2）342)()(m m m -⋅-⋅-，其中m =2-13、（延庆）已知，求下列各式的值：（1）； （2）．14、（鞍山）已知：，.求：（1）；（2）.15、计算：；参考答案一、夯实基础1．a 4，b 4，8a 3b 3，-6x 5y 3；2．0；3．-12x 7y 9；4．2；5．4二、能力提升6．B ；7．C ；8．B ；9．B ；三、课外拓展10．①161；②56； 11．8；四、中考链接12．(1)-3x 2+18x-5，19；(2)m 9，-512；13.（1）45；（2）5714.（1）9；（2）115.第3讲：分式检测一、夯实基础1．下列式子是分式的是( )A ．x 2B ．x x ＋1C ．x 2＋yD ．x 32．如果把分式2xy x ＋y 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A ．扩大3倍 B ．缩小3倍C ．扩大9倍D ．不变3．当分式x －1x ＋2的值为0时，x 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－24．化简：(1)x 2－9x －3＝__________. (2)aa －1＋11－a＝__________. 二、能力提升5．若分式2a ＋1有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ≠－1 D ．a ≠06．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( ) A ．.2x －1 B ．2x 3－1 C ．2x ＋1D ．2(x ＋1) 7．化简m 2－163m －12得__________；当m ＝－1时，原式的值为__________． 三、课外拓展8．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －2＋42－m ÷(m ＋2)的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．(m ＋2)29．下列等式中，不成立的是( )A ．x 2－y 2x －y ＝x －y B ．x 2－2xy ＋y 2x －y ＝x －yC ．xy x 2－xy ＝y x －yD ．y x －x y ＝y 2－x 2xy10．已知1a －1b ＝12，则aba －b 的值是( )A ．12B ．－12C ．2D ．－211．当x ＝__________时，分式x －2x ＋2的值为零．12．计算（—）·的结果是（ ） A ． 4 B ． －4 C ．2a D ．－2a13．分式方程的解是（ ）A ．x=－2B ．x=2C ． x=±2 D．无解14．把分式中的,都扩大3倍，那么分式的值（）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C ．扩大为原来的9倍D ．不变四、中考链接15．(临沂)先化简，再求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝－1.(2)3－x 2x －4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2，其中x ＝3－3. 2-a a2+a aa a 24-2114339x x x +=-+-(0)xyx y x y +≠+x y 13参考答案一、夯实基础1．B B 项分母中含有字母．2．A 因为x 和y 都扩大3倍，则2xy 扩大9倍，x ＋y 扩大3倍，所以2xy x ＋y 扩大3倍．3．B 由题意得x －1＝0且x ＋2≠0，解得x ＝1.4．(1)x ＋3 (2)1 (1)原式＝(x ＋3)(x －3)x －3＝x ＋3；(2)原式＝a a －1－1a －1＝a －1a －1＝1.二、能力提升5．C 因为分式有意义，则a ＋1≠0，所以a ≠－1.6．C 原式＝2(x ＋1)(x －1)·(x －1)＝2x ＋1. 7．m ＋43 1 原式＝(m ＋4)(m －4)3(m －4)＝m ＋43.当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 三、课外拓展8．B 原式＝m 2－4m －2·1m ＋2＝(m ＋2)(m －2)m －2·1m ＋2＝1. 9．A x 2－y 2x －y ＝(x ＋y )(x －y )x －y＝x ＋y . 10．D 因为1a －1b ＝12，所以b －a ab ＝12，所以ab ＝－2(a －b )，所以ab a －b ＝－2(a －b )a －b＝－2.11．2 由题意得x －2＝0且x ＋2≠0，解得x ＝2.12. B13. B14. A四、中考链接15．解：(1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ＝a －2a －1·a (a －1)(a －2)2＝a a －2.当a ＝－1时，原式＝a a －2＝－1－1－2＝13.(2)3－x2x－4÷⎝⎛⎭⎪⎫5x－2－x－2＝3－x2(x－2)÷⎝⎛⎭⎪⎫5x－2－x2－4x－2＝3－x2(x－2)÷9－x2x－2＝3－x2(x－2)·x－2(3－x)(3＋x)＝12x＋6.∵x＝3－3，∴原式＝12x＋6＝36.第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间 二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012的值是__________．7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.9．当－1＜x＜3时，化简：x－2＋x2＋2x＋1＝__________.10．如果代数式4x－3有意义，则x的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 －1312、若最简根式m2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= .13、若 5 的整数部分是a，小数部分是b，则a－1b= 。
中考数学一轮复习专题过关检测卷—轴对称、平移、旋转(含答案解析)
中考数学一轮复习专题过关检测卷—轴对称、平移、旋转（含答案解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．下列图形中，对称轴最多的图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．该图有无数条对称轴；B．该图有一条对称轴；C．该图有两条对称轴；D．该图有三条对称轴．所以对称轴最多的图形是选项A．故选：A．2．如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为（）A．12B．13C．19D．20【答案】B【解答】解：由折叠可知，AD＝CD，∵AB＝7，BC＝6，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝7+6＝13．故选：B．3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）【答案】B【解答】解在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点是（3，﹣2）．故选：B．4．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到的点坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）【答案】D【解答】解：将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到的点坐标为（﹣3+5，﹣2），即（2，﹣2），故选：D．5．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（）A．1cm B．2cm C．D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∵AB＝AD＝2cm，∠A＝90°，∴BD＝AB＝2（cm），由平移变换的性质可知BB′＝1cm，∴DB′＝BD﹣BB﹣1）cm，∴小正方形的边长＝DB′＝×（2﹣1）＝（2﹣）cm，故选：C．6．如图，把三角形ABC沿BC方向平移1个单位长度得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为10，则三角形ABC的周长为（）A．8B．10C．12D．14【答案】A【解答】解：∵把三角形ABC沿BC方向平移1个单位长度得到三角形DEF，∴AD＝BE＝1，△ABC≌△DEF，∵四边形ABFD的周长为10，∴AD+BF+AB+DF＝10，∵BF＝BE+EF＝1+EF，∴1+1+EF+AB+DF＝10，即EF+AB+DF＝8，又∵DF＝AC，EF＝BC，∴AB+AC+BC＝8，∴三角形ABC的周长为：8．故选：A．7．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC ＝3，则AB′的长为（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，点A在边B′C上，∴CB′＝CB＝5，∴AB′＝CB′﹣CA＝5﹣3＝2．故选：D．8．已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．﹣5B．5C．3D．﹣3【答案】B【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，∴a＝4，b＝﹣1．∴a﹣b＝4﹣（﹣1）＝5．故选：B．9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（）A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）【答案】D【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．故选D．10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
中考数学一轮复习《圆》专项练习题-附带答案
中考数学一轮复习《圆》专项练习题-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（）A．d≤3B．d=3C．d>3D．0≤d<32．如图，在⊙O中，半径OA垂直弦BC于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为（）A．24°B．33°C．34°D．66°3．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD=100°，则∠E的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是BC延长线上一点.若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是（）A．124°B．114°C．94°D．66°5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4则BC⌢的长为（）A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（）A．32B．32√2C．3 D．3√27．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧AB̂上的一点，则∠ADB＝（）A．108°B．72°C．54°D．126°8．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A和点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（）A．9√3−3πB．6π−9√3C．3π−9√3D．9√3−6π二、填空题9．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D=100°，则∠B的度数是.11．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠P=40°，则弦AB所对的圆周角的度数为度.12．如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为．13．如图，在Rt△ABC中AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4√2cm，则图中阴影部分的面积为cm2．三、解答题14．如图，四边形内接于，为的直径．（1）求的度数；（2）若，AD=1，求的长度．15．如图，中，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的值．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】45°10．【答案】80°11．【答案】70°或110°12．【答案】6√313．【答案】(π+2)14．【答案】（1）解：为的直径；（2）解：．，．15．【答案】（1）解：是的切线证明：连接在和中∵OD是圆的半径是的切线（2）解：．设在中．设的半径为则在中．在中16．【答案】（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．【答案】（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．【答案】（1）解：AC与⊙O的相切，理由如下又OD⊥BC是半径是的切线AC与⊙O的相切；（2）解：过A作于M，如图设在中解得第 11 页 共 11 页在中扇形 阴影部分扇形。
初中数学中考一轮复习一轮复习-章节测试习题(45)
章节测试题1.【题文】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】6.64米．【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD 的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离．【解答】如图：连接CO并延长，交AB于点D，∵OD⊥AB，AB=6，∴AD=AB=3，在Rt△OAD中，∠OAB=41.3°，cos∠OAD=，∴AO=，∵sin∠OAD=，∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米．2.【题文】如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．【答案】见解答．【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x，构建方程求出x即可解决问题．【解答】（1）如图，线段CD即为所求．（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x．∵是直径，∴，∴，∵，∴，∴，BE=DE，∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2∴，解得：，∵BO=OA，BE=DE∴为的中位线，∴，∴四边形的周长为：．3.【题文】在三角形纸片（如图1）中，，．小霞用张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）______°；（2）求正五边形的边的长．参考值：，，．【答案】30°，9.6．【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形．【解答】（1）∵五边形是正五边形，，，故答案为；（2）作于，在中，，，在中，，，．4.【题文】如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．（1）求证：是圆的切线；（2）若，，求优弧的长．【答案】见解答．【分析】（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）连接BD、OB，如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6，再利用正弦定义求出∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6，则∠BOC=120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．【解答】（1）证明：连接交于，如图，∵点是的内心，∴平分，即，∴，∴，，∵，∴，∴是圆的切线；（2）解：连接、，如图，∵点是的内心，∴，∵，∴∴，∵，在中，，∴，而，∴为等边三角形，∴，，∴，∴优弧的长＝．5.【答题】⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A. 点A在⊙O上B. 点A在⊙O内C. 点A在⊙O外D. 无法确定【答案】B【分析】本题考查了点与圆的位置关系．【解答】根据点到圆心的距离与半径的关系进行判定，由题目可求出点到圆心的距离d=OA=3，r=5，d＜r所以点在圆内，选B.6.【答题】已知⊙的半径长是5，点在上，且，如果⊙与⊙有公共点，那么⊙的半径长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为、两圆的半径分别为、：①两圆外离⇔；②两圆外切⇔；③两圆相交⇔（）；④两圆内切⇔（）；⑤两圆内含⇔（）．【解答】∵⊙的半径长是5，点在上，且，∴点到⊙的最大距离为8，最小距离为2，∵⊙与⊙有公共点，∴．选D.7.【答题】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了切线的性质．【解答】∵AC是⊙O的切线，∴，且，∴，选B.8.【答题】如图，四边形内接于，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了圆内接四边形．【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝40°，∴∠C＝180°-40°＝140°，选D.9.【答题】已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC ＝7，那么⊙C的半径长是（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】C【分析】本题考查了圆与圆的位置关系．【解答】设⊙A的半径为X，⊙B的半径为Y，⊙C的半径为Z．解得选C.10.【答题】如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）A. PA＝PBB. ∠BPD＝∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD 【答案】D【分析】本题考查了切线长定理．【解答】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，选D.11.【答题】如图，边长为的等边的内切圆的半径为（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质．【解答】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵为等边三角形，∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即内切圆的半径为1．选A．12.【答题】阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，．如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有满足等式：．设，则满足的等式是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了阅读材料题．【解答】∵点，点，点为弦的中点，∴，，∴，又满足等式：，∴，选D．13.【答题】如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD. 下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【分析】本题考查了切线的性质与判定、圆周角定理的推论、相似三角形的判定与性质．【解答】连结．为的直径，为的切线，，，，．又，，在和中，，，．又点在上，是的切线；故①正确，，，，垂直平分，即，故②正确；为的直径，为的切线，，，，，，，，故③正确；，，，，，，故④正确；选A.14.【答题】如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【分析】本题考查了圆的性质、切线的性质、勾股定理．【解答】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O 于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，∵，，∴∵，∴∵点O是AB的三等分点，∴，，∴，∵⊙O与AC相切于点D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值为，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值，，∴MN长的最大值与最小值的和是6．选B．15.【答题】直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为______．【答案】2【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．【解答】直角三角形的斜边，所以它的内切圆半径．故答案为2．16.【答题】如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝______°．【答案】219【分析】本题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质．【解答】连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°，∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为：219°．17.【答题】在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标______．【答案】（2，2）【分析】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系．【解答】如图，连结OA，OA＝＝5，∵B为⊙O内一点，∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．18.【答题】如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为______．【答案】52°【分析】本题考查了圆内接四边形．【解答】∵圆内接四边形，∴，∵点关于的对称点在边上，∴，∴．故答案为：．19.【答题】在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质，作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．【解答】作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．20.【答题】如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为______．【答案】5【分析】本题考查了确定圆的条件、点与圆的位置关系．【解答】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．。
初中数学中考一轮复习一轮复习-章节测试习题(37)
章节测试题1.【答题】把一块含有角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若，则______．【答案】68【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质．【解答】如图，∵是含有角的直角三角板，∴，∵，∴，∵，∴；故答案为68．2.【答题】将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=______．【答案】40°【分析】本题考查了三角形的内角和定理．【解答】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．故答案为40°．3.【答题】在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为______度．【答案】60或10【分析】本题考查了三角形的内角和定理．【解答】分两种情况：①如图1，当时，∵，∴；②如图2，当时，∵，，∴，∴，综上，则的度数为或；故答案为：或；4.【题文】已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．【答案】见解答．【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．【解答】如图，过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．5.【题文】如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，E为AC的中点，AB=6，求DE的长．【答案】DE的长为3．【分析】由条件可知DE为△ABC的中位线，由中位线性质定理可得DE的长．【解答】∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=AB=12×6=3．6.【题文】如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】．【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC．【解答】（1）（2）．7.【题文】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．【答案】60°．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，∴∠AED=85°，∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED-∠B=85°-50°=35°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=70°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°．8.【题文】已知如图在△ABC中，∠ABC平分线与∠ACE的外角平分线相交于点P．若∠A＝70°，求∠P的度数．【答案】35°.【分析】利用角平分线得∠ABP＝∠CBP，∠ACP＝∠ECP，由外角性质得∠ACE＝70°+∠ABC，即可推出∠P＝∠A．【解答】∵BP平分∠ABC，PC平分∠ACE∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠ECP＝∠ACE∵∠A＝70°，∴∠ACE＝70°+∠ABC同理∠PCE＝∠P+∠PBC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠PBC∴∠P＝∠A＝×70°＝35°.9.【题文】定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A 的大小；（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．【答案】（1）36°；（2）如图所示：（3）∠C的度数为24°或36°．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可设∠A＝∠ABD＝x，然后再由三角形的外角和定理及内角和定理用x表示∠C，然后求解即可；（2）根据题目中的定义和等腰三角形的性质画出即可；（3）分两种情况讨论：分别可由三角形的外角和定理和三角形的内角和定理计算可得．【解答】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝（180°-x），可得2x＝（180°-x），解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）如图所示：（3）分两种情况：①如图所示：当AD＝AE时，∵2x+x＝36°+36°，∴x＝24°；②如图所示：当AD＝DE时，∵36°+36°+2x+x＝180°，∴x＝36°；综上所述，∠C的度数为24°或36°．10.【答题】如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（）A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧【答案】C【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定．【解答】由作图可知作图步骤为：①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．④过点N作射线CP．根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．选C．11.【答题】如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．【解答】∵DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中，∵∠C=∠AED，∠CAD=∠EAD，AD=AD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE，CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，所以，△DEB的周长为6cm．12.【答题】如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（）A. 0.5B. 1C. 1.5D. 2【答案】B【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．【解答】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴．13.【答题】如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A. AB=DEB. AC=DFC. ∠A=∠DD. BF=EC【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定．【解答】选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．选C.14.【答题】下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 只有丙【答案】B【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【解答】乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；选B.15.【答题】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED 的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质、角的平分线、全等三角形的判定与性质．【解答】∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．选A．16.【答题】如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．【解答】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，但不能得出，∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，选C．17.【答题】如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定．【解答】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，选C.18.【答题】如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．【解答】∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°．∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，∴∠ADC=∠DCA=65°，∴∠CAD=180°-∠ADC-∠DCA="50°，∴∠BAE=50°．选C.19.【答题】如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD 翻折，得到△，DC与AB交于点E，连结，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC’，BD垂直平分CC，证△ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，CM==，BM=2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC′的长，在△BDC中利用面积法求出DH的长．【解答】如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，∵AD=AC'=2，D是AC边上的中点，∴DC=AD=2，由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M，∴AD=AC'=DC′=2，∴△ADC′为等边三角形，∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°，∵DC=DC′，∴∠DCC′=∠DC′C=×60°=30°，在Rt△CDM中，∠DC′C=30°，DC′=2，∴DM=1，C′M=DM=，·.BM=BD-DM=3-1=2，在Rt△BMC中，BC′=∴.BM=BD-DM=3-1=2，在Rt△C'DM中，∴∴选B．20.【答题】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的______．【答案】SAS【分析】本题考查了全等三角形的判定．【解答】由题意可得：∴△ACB≌△DCB（SAS）∴AB=DB所以答案为：SAS。
中考数学一轮复习中考数学压轴题(讲义及答案)含答案
一、中考数学压轴题1．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点．（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度．（2）已知M 是O 一点，1cm OM =．①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________．②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ．2．如图1，在O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ，AD AB =．（1）求证：2CAO CDB ∠=∠（2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE +=（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．4．如图，AB ∥CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有一动点P ． （1）如图1，当P 点在EF 的左侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ，如图2，当P 点在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ． （2）如图3，当∠EPF ＝90°，F P 平分∠EFC 时，求证：EP 平分∠AEF ；（3）如图4，QE ，QF 分别平分∠PEB 和∠PFD ，且点P 在EF 左侧．①若∠EPF ＝60°，则∠EQF ＝ ．②猜想∠EPF 与∠EQF 的数量关系，并说明理由；5．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值．（拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．10AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD 的值．6．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．（1）求外接圆⊙O 的半径；（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ．①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ；③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725m n m n +=⎧⎨-=⎩．（1）求点A ，C 的坐标；（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．8．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．11．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．12．如图1，已知抛物线21833y x x c =--+与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的左侧），与y 轴相交于C 点，且10AB =．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图2，D 点在x 轴上，且在A 点的右侧，E 点为抛物线上第二象限内的点，连接ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ，点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1，已知4tan 3BDE ∠=，求点E 的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 由B 出发，沿x 轴负方向运动，连接EG ，点H 在线段EG 上，连接DH ，EDH EGB ∠=∠，过点E 作EK DH ⊥，与抛物线相交于点K ，若EK EG =，求点K 的坐标．13．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．15．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．16．在平面直角坐标系中，直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 32==EQ EF PM ，∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接FN ，求EFN 的面积．17．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点()0, 3B ，点(0,0)O(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处．①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标；②连接AF ，当AEF ∆为直角三角形时，求E 点坐标：(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ∆沿OP 所在的直线折叠，得到'A OP ∆，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．18．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．19．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值；（2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？20．如图1，Rt △ABC 中，点D ，E 分别为直角边AC ，BC 上的点，若满足AD 2+BE 2＝DE 2，则称DE 为R △ABC 的“完美分割线”．显然，当DE 为△ABC 的中位线时，DE 是△ABC 的一条完美分割线．（1）如图1，AB ＝10，cos A ＝45，AD ＝3，若DE 为完美分割线，则BE 的长是 ． （2）如图2，对AC 边上的点D ，在Rt △ABC 中的斜边AB 上取点P ，使得DP ＝DA ，过点P 画PE ⊥PD 交BC 于点E ，连结DE ，求证：DE 是直角△ABC 的完美分割线．（3）如图3，在Rt △ABC 中，AC ＝10，BC ＝5，DE 是其完美分割线，点P 是斜边AB 的中点，连结PD 、PE ，求cos ∠PDE 的值．21．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点（1）则m =_________；C 点坐标为___________；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由．（3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．22．综合与探究：如图1，抛物线24832999y x x =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ，P 为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线AD 与y 轴于点C ，过点P 作//PF AD ，交x 轴于点F ．（1）求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标；（2）如图2，当//PC x 轴时，将AOC ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移，当点C 与点P 重合时停止平移．设平移t 秒时，在平移过程中AOC ∆与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）如图3，过点P 作x 轴的平行线，交直线AD 于点E ，直线DF 与PE 交于点M ，设点P 的横坐标为m ．①当3DM MF =时，求m 的值；②试探究点P 在运动过程中，是否存在值m ，使四边形AFPE 是菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图①，在ABC ∆中，90C ∠=︒，10,8AB BC ==．点,D E 分别是边,AC BC 上的动点，连接DE ．设CD x =（0x >），BE y =，y 与x 之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式；（2）将DCE 沿DE 翻折，得DME ．①点M 是否可以落在ABC ∆的某条角平分线上?如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由；②直接写出．．．．DME 与ABC ∆重叠部分面积的最大值及相应x 的值．24．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．25．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．A解析：（1）图见解析，33cm ；（2）①25cm 42cm AB ≤≤26【解析】【分析】（1）连接AO ，直线l 垂直平分PO ．13cm 22OH PO ==，在Rt △AHO 中即可求解； （2）①分两种情况求解；②过O 作弦AB 的垂直与圆交于点D ，与弧AB 交于点C ，与AB 交于点E ，过M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO ，得到OO'垂直平分AB ，O'为弧ABM 所在圆的圆心，10cm OO '=，在Rt △ADO 中即可求解；【详解】（1）如图，直线l 为所求，连接AO ．∵点P 与点O 关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分PO ． ∴13cm 22OH PO ==． 在Rt AHO ∆中，∵222AH HO AO +=，∴2233cm 2AH AO HO =-=． 在O 中，∵PO AB ⊥，PO 为半径，∴233cm AB AH ==．（2）如图1：∵弧AB 翻折与M 重合，OM=1，∴DM=1，在Rt△ADO 中，AO=3，DO=2，∴5AD =；如图2：∵弧AB 翻折与M 重合，OM=1，∴MD=2，DO=1，在Rt△ADO 中，AO=3，∴22AD =，∴2542AB ≤≤， 故答案为2542AB ≤≤；（3）如图3：过O 作弦AB 的垂线与圆O 交于点C ，与AB 交于点D ，连接OM ，过点M 作OM 的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO ，∴OO'垂直平分AB ，O'为弧ABM 所在圆的圆心，∵折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，∴MO'=3，CO=EO'，在Rt△OO'M 中，OM=1，∴'10OO =，在Rt△ADO 中，102DO =，AO=3， ∴26AD =， ∴26AB =26【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键．2．B解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）5410MN =【解析】【分析】（1）连接OB ，OD ，利用圆周角定理结合三角形内角和定理可得结果；（2）过O 作OT ⊥BC 于T ，连接OB ，OC ，在ED 上找点G ，使得CE=EG ，连接BG ，证明AOH OBT ∆∆≌，得到OH=BT ，设∠BDC=α，利用垂直平分线的性质得到BC=BG ，结合三角形外角的性质得到BC=BG=GD ，从而可得结果；（3）在AF 上作点Q ，使得AQ=BQ ，连接BQ ，OQ ，过B 作BW ⊥AF 于点W ，设BF=x ，则AF=3x ，推出△QBF 为直角三角形，利用勾股定理得出AQ 、BQ 、BW 、FW 、AW 的表达式，从而得到4tan 3BW F FW ∠==，1tan 3BW CAB AW ∠==，设BE=n ，则DE=3n ，EG=3n-12，在△BEG 中，利用勾股定理求出n 的值，得到BE 、DE 、EG 、EC 的值，利用三角函数算出NE 的长，再证明△CBE ∽△ADE ，得到13CE BC BF AE AD AF ===，算出AE ，从而得到AN ，最后在△AMN 利用勾股定理求出MN 的长.【详解】解：（1）连接OB ，OD ，∵AD=AB ，∴弧AC=弧AD ，∴∠AOB=∠AOD ，∴∠OAB=∠OBA ，∠OAD=∠ODA ，∴BAO DAO ∠=∠，∵CAB CDB ∠=∠， ∴2CAO CDB ∠=∠；（2）过O 作OT ⊥BC 于T ，连接OB ，OC ，在ED 上找点G ，使得CE=EG ，连接BG ， ∵∠COB=2∠CAB ，∠CAB=∠CDB ，∠AOB=∠AOD ，2CAO CDB ∠=∠，∴2∠OAH=2∠BAO=∠COB ，∵OC=OB ，OT ⊥BC ，∴∠OAH=∠BOT ，又∵∠OTB=∠OHA=90°，OB=OA ，∴AOH OBT ∆∆≌，∴OH=BT ，∵BC=2BT ，∴2OH=BC ，设∠BDC=α，∴∠BCD=∠BAD=2α，∵CE=GE ，AB ⊥CD ，∴BC=BG ，则∠BGC=∠BCG=2α，∵∠BDC=α，∴∠GBD=α，∴BC=BG=GD ，∴DE=EG+GD=CE+BC=CE+2OH ，即2OH CE DE +=；（3）在AF 上作点Q ，使得AQ=BQ ，连接BQ ，OQ ，过B 作BW ⊥AF 于点W ， ∵AQ=BQ ，OA=OB ，∴OQ 垂直平分AB ，∴∠QAB=∠QBA ，∵AF=3BF ，设BF=x ，则AF=3x ，∵AB ⊥CD ，∴∠ACD+∠CAB=90°，∵∠ACD=∠ABD ，∴∠ABD+∠ABQ=90°，∴△QBF 为直角三角形，设AQ=QB=a ，则FQ=3x-a ，在△QBF 中，()2223x a a x -=+，解得：43a x =， 即AQ=BQ=43x ，QF=53x ， ∴BW=BF×BQ÷QF=45x ， ∴2235BF BW x -=， ∴AW=AF-FW=125x ， ∴4tan 3BW F FW ∠==，1tan 3BW CAB AW ∠==， 由（2）知：BC=BG=DG=12，CE=EG ，∴BE=ED·tan ∠BDC ， 设BE=n ，则DE=3n ，EG=3n-12，在△BEG 中，()22231212n n +-=，解得：n=365或0（舍）， ∴BE=365，DE=1085，EG=EC=485， 在△DMC 和△BDE 中，∠MCD=∠EBD ，∠DMC=∠DEB ，∴∠MDC=∠EDB ，∴tan ∠MDC=tan ∠EDB=tan ∠CAB=13， ∴NE=DE×13=365， ∵∠BCE=∠BAD ，∠CBE=∠ADE ，∴△CBE ∽△ADE ，∴13CE BC BF AE AD AF ===， ∴AE=3CE=1445， ∴AN=AE-NE=1085， ∴设MN=m ，则AM=3m ，在△AMN 中，()22210835m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得：m=5410或5410-（舍） ∴541025MN =.【点睛】本题属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，难度较大，要会综合题中的条件作出适当辅助线帮助解决问题.3．A解析：（1）12；（2）5s或373s；（3）163s或685s或72s【解析】【分析】（1）AD与BC之间的距离即AB的长，如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E，在RtDEC中可求得DE的长，即AB的长，即AD与BC间的距离；（2）四边形QDCP为平行四边形，只需QD=CP即可；（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD，情况二：PD=QD，情况三：QP=QD，而每大类中，点P存在2种情况，一种为点P还未到达点C，另一种为点P从点C处返回．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点E∵∠B=90°，AD∥BC∴AB⊥BC，AB⊥AD∴AB的长即为AD与BC之间的距离∵AD=16，BC=21，∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC中，DE=12同理，DE的长也是AD与BC之间的距离∴AD与BC之间的距离为12（2）∵AD∥BC∴只需QD=PC，则四边形QDCP是平行四边形QD=16－t，PC=21－2t或PC=2t－21∴16－t=21－2t或16－t=2t－21解得：t=5s或t=37 3s（3）情况一：QP=PD图形如下，过点P作AD的垂线，交AD于点F∵PQ=PD ，PF ⊥QD ，∴QF=FD∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90°∴四边形ABPF 是矩形，∴AF=BP由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t∵AF=BP∴8+2t =2t 或8+2t =42－2t 解得：t=163或t=685情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理QD=16－t ，PF=AB=12BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26 ∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+- ∵PD=QD ，∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+-－或()()22216t 12226t =+-－ 解得：2个方程都无解情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F同理：QD=16－t ，FP=12BP=2t 或BP=42－2tQF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t在Rt QFP 中，22212PQ t =+或()22212423PQ t =+- ∵PQ=QD ，∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+－或()()22216t 12423t =+-－第一个方程解得：t=72，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度． 4．E解析：（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－12∠EPF 【解析】【分析】（1）如下图，过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF 内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP ；（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ 中得出结论；②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－1EPF 2∠，最后在四边形EPFQ 中得出结论． 【详解】（1）如下图，过点P 作PQ ∥AB∵PQ ∥AB ，AB ∥CD ，∴PQ ∥CD∴∠AEP=∠EPQ ，∠QPF=∠PFC又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF∴∠EPF=∠AEP+∠PFC如下图，过点P 作PQ ∥AB同理，AB ∥QP ∥CD∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°∵PF 是∠CFE 的角平分线，∴∠PFC=∠PFE在△PEF 中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC∴∠PEF=∠AEP ，∴PE 是∠AEF 的角平分线（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=150°在四边形PEQF 中，∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150° ②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF∵EQ 、QF 分别是∠PEB 和∠PFD 的角平分线∴∠PEQ=∠QEB ，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=()1360EPF 2∠︒－=180°－1EPF 2∠ ∴在四边形PEQF 中：∠EQF=360°－∠EPF －(∠PEQ+∠PFQ)=360°－EPF ∠－(180°－1EPF 2∠)=180°－1EPF 2∠ 【点睛】 本题考查“M ”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．5．A解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）32910AB BC =；（3）①125615-；②35AD CD =． 【解析】【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)2k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k k BC ==． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3，∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵10AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=，∴223635AC =+=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ，∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°，∴3CF x =， ∴(23)35AC x =+=，解得：65315DF x ==-∴2125615CD DF ==-．②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =．∵10AB BC =， ∴10AB． ∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=．分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△．∴DF AF AE EC =． ∴33543k k -=，解得35k =∴3552 CD k==，2222959595102AF DFAD⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．∴93525355ADCD===．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．6．A解析：（1）O半径为254；（2）①458AM=；②详见解析；③当1251017x<<时，有2220ND DM-<成立．【解析】【分析】（1）如下图，在Rt△ABH中，先求得AH的值，设OA=r，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求得r的长；（2）①如下图，在Rt BCN，可求得BN的长，然后在矩形NBHD中，求得AD的值，最后利用cos∠MAD求得AM；②如下图，同过证AMN NFC△∽△可得结论；③如下图，通过转换，先得出222ND DM-=22AM MB DM⋅这个等式，然后利用3sin5DMMADAM∠==，设AM=x，可得到关于x的方程，进而求出x的取值范围．【详解】解：（1）如图1，连接OB，∵AH过圆心O，∴AH BC⊥，∵AB AC=，∴162BH CH BC===，在Rt ABH△中，221068AH=-=，设半径OA OB r==，则8OH r=-，在Rt OBH中，222(8)6r r-+=，解得254r =，即O 半径为254． （2）①如图2，连接CN在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠．∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=︒，∴90NBC ∠=︒．∴CN 是O 的直径．2522CN r ==． ∴在Rt BCN 中，2272BN CN BC =-=． ∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH∴四边形NBHD 是矩形，∴72DH BN ==，6ND BH ==，∴79822AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠===，∴458AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，∵DE BC ∥，∴DNC NCB ∠=∠．∵NAB NCB ∠=∠，∴NAB DNC ∠=∠．由DE BC ∥，AB AC =可得AMD ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，∴AMN NFC ∠=∠，AM AF =．∴AMN NFC △∽△，MB CF =．∴NM NM AM CF MB NF==，即NM NF AM MB ⋅=⋅． ③∵AH BC ⊥，DE BC ∥，∴AD MF ⊥，∵AM AF =，∴MD DF =，∴222222ND DM ND DM DM -=-- 2()()ND DM ND DM DM =-+-2NM NF DM =⋅-22AM MB DM =⋅．∵AM x =，∴10BM x =-， 由3sin 5DM MAD AM ∠==，得35DM x =， ∴22223342(10)10525ND DM x x x x x ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭．(010)x << 该函数图象的示意图如图4 易求得点P 坐标为125,017⎛⎫⎪⎝⎭ ∴当1251017x <<时，有2220ND DM -<成立． 【点睛】 本题考查几何图形的综合，解题过程中用到了勾股定理、相似、三角函数和平行四边形、圆的性质，解题关键是将这些知识点综合起来分析题干．7．A解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（3）存在，满足条件的t 的值为3617或36，点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,16--． 【解析】【分析】（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．（2）分两种情形：如图1中，当0＜t ＜4时，如图2中，当t ＞4时，根据S=12•BC•OP 求解即可．（3）分两种情形分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）由725m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：43 mn=⎧⎨=⎩，∴A（0，4），C（3，0）；（2）如图1中，当0＜t＜4时，S=1 2•BC•OP=12×5×（4-t）=-52t+10．如图2中，当t＞4时，S=12•BC•OP=12×5×（t-4）=52t-10．综上所述，S=()()51004251042t tt t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，（3）当04t<<时，由题意，1314(4)3222t t⨯⨯=⨯⨯-⨯，解得3617t=，此时，363241717OP=-=，32(0,)17P∴，(4,0)B-，BQ∴的中点Q的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭，当4t >时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯， 解得36t =，此时36432OP =-=，(0,32)P ∴-，(4,0)B -，BP ∴的中点Q 的坐标为(2,16)--．综上所述，满足条件的t 的值为3617或36．点Q 的坐标为16(2,)17-或(2,16)--． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解方程组，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 8．A解析：（1）详见解析；（2）y x=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ，∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，∴248EF y x x =--+，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x -+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴241482x xPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AE G是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===，∴43x=，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．E解析：（1）y＝﹣21122x-x+3；（2）①EF的长为52；②点H的坐标为（﹣45，135）或（﹣445,99）． 【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①得出EAB ODB ∠=∠，当时，当时，可求出的长；②（Ⅰ）求出直线CE 的解析式为132y x =+，得出APE EBA ∠=∠，则GCH APE EBA CHN MGH ∠=∠=∠=∠=∠，得出//GC PB ，由1tan tan tan 2AE EBA CHN MGH BE ∠=∠=∠==，设CN MG m ==，则2HN m =，12MH m =，则1212MH HN m m +=+=，解得，25m =，可求出H 点的坐标； （Ⅱ）过点H 作MN PB ⊥，过点C 作CN MH ⊥于点N ，过点G 作GM HM ⊥于点M ，证得GCH EBA HCN MHG ∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1tan 2EBA ∠=，则1tan tan 2GM HG MHG GCH HM CH ∠==∠==，设MG a =，则2MH a =，证明HMG CNH ∆∆∽，则2NH a =，4CN a =，又(0,3)C ，得出(3,34)G a a --，代入211322y x x =--+中，得449CN =，可求出H 点坐标． 【详解】解：（1）将A （﹣3，0）、B （2，0）、C （0，3）代入y ＝ax2+bx+c 得，0930423a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， 解得：12123a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣21122x -x+3； （2）①将E （m ，2）代入y ＝﹣21122x -x+3中， 得﹣21122m -m+3＝0，解得m ＝﹣2或1（舍去）， ∴E （﹣2，2），∵A （﹣3，0）、B （2，0），∴AB＝5，AE＝5，BE＝25，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝25，（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为52；②点H的坐标为4(5-，13)5或44(9-，5)9，（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN ＝∠CNH ＝90°，又∠GHC ＝90°，∴∠CHN+∠GHM ＝∠MGH+∠GHM ＝90°，∴∠CHN ＝∠MGH ，∵HN ⊥CO ，∠COP ＝90°，∴HN ∥AB ，∴∠CHN ＝∠APE ＝∠MGH ，∵E （﹣2，2），C （0，3），∴直线CE 的解析式为y ＝12x+3， ∴P （﹣6，0），∴EP ＝EB ＝5∴∠APE ＝∠EBA ，∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠APE ＝∠EBA ＝∠CHN ＝∠MGH ，∴GC ∥PB ，又C （0，3），∴G 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣21122x -x+3中，得：x ＝﹣1或0（舍去）， ∴MN ＝1，∵∠AEB ＝90°，AE 5BE ＝5∴tan ∠EBA ＝tan ∠CHN ＝tan ∠MGH ＝12AE BE =， 设CN ＝MG ＝m ，则HN ＝2m ，MH ＝12m ， ∴MH+HN ＝2m+12m ＝1， 解得，m ＝25，∴H 点的橫坐标为﹣45，代入y ＝12x+3，得：y ＝135， ∴点H 的坐标为（﹣45，135）． （Ⅱ）过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，∴CN ∥PB ，∴∠NCH ＝∠APE ，由（Ⅰ）知：∠APE ＝∠EBA ，则∠NCH ＝∠EBA ，∵∠GMN ＝∠CNH ＝90°，又∠GHC ＝90°，∴∠HCN+∠NHC ＝∠MHG+∠NHC ＝90°，∴∠HCN ＝∠MHG ，∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠EBA ＝∠HCN ＝∠MHG ，由（Ⅰ）知：APE EBA ∠=∠，则NCH EBA ∠=∠，90GMN CNH ∠=∠=︒，又90GHC ∠=︒，90HCN NHC MHG NHC ∴∠+∠=∠+∠=︒，HCN MHG ∴∠=∠，GCH EBA ∠=∠，GCH EBA HCN MHG ∴∠=∠=∠=∠，由（Ⅰ）知：1tan 2EBA ∠=， 则1tan tan 2GM HG MHG GCH HM CH ∠==∠==， 设MG a =，则2MH a =，NCH MHG ∠=∠，N M ∠=∠，HMG CNH ∴∆∆∽，∴12MH MG HG CN NH CH ===， 2NH a ∴=，4CN a =，又(0,3)C ，(3,34)G a a ∴--，代入211322y x x =--+中，得，119a =或0（舍去）， 449CN ∴=， H ∴点的橫坐标为449-，代入132y x =+，得，59y =． ∴点H 的坐标为445(,)99-． 综合以上可得点H 的坐标为4(5-，13)5或445(,)99-． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．10．C解析：（1）①32，3，32CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE =∴OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•60CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，故答案为：22CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b ≥2（1-b ）， 解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭， 而11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥． （3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，。
中考数学第一轮复习专题练习(有答案)
中考数学第一轮复习专题练习（有答案）同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇中考数学第一轮复习专题练习，希望可以帮助到大家!A级基础题1.下列各条件中，不能作出唯一三角形的条件是()A.已知两边和夹角B.已知两边和其中一条边所对的角C.已知两角和夹边D.已知两角和其中一角的对边2.如图6-3-10，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC 的平分线;②∠ADC=60°; ③点D在AB的中垂线上; ④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点C为圆心，AB的长为半径画弧;②以点A为圆心，BC的长为半径画弧;③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图6-3-11).乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M;②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD 即为所求(如图6-3-12).对于两人的作业，下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对4.如图6-1-13，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°.按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q.②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若CE=4，则AE=________.5.两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图6-3-14.电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处?请在下图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹).6.某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图6-3-15，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图).参考答案：1.B2.D3.A4.85.解：作线段AB的垂直平分线，作两条公路夹角的平分线，两线分别交于点C1，C2.如图48，所以点C1、C2就是符合条件的点.6.解：如图49，点M为所求.B级中等题7.已知△ABC，且∠ACB=90°.(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹，不写作法和证明).①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A;②以点B为顶点，在AB边的下方作∠ABD=∠BAC.(2)请判断直线BD与⊙A的位置关系(需证明).8.(2019年江苏宿迁)如图6-3-17，在平行四边形ABCD中，AD>AB.(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF. w求证：四边形ABFE为菱形.C级拔尖题9.(2019年山东德州)(1)如图6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC 外作等边三角形ABD和等边三角形ACE.连接BE，CD.请你完成图形，并证明：BE=CD(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹);(2)如图6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE.连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系?简单说明理由;(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图6-3-18(3)，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长.(1) (2) (3)参考答案7.解：(1)如图50.(2)直线BD与⊙A相切.证明如下：∵∠ABD=∠B AC，∴AC∥BD.∵∠ACB=90°，⊙A的半径等于BC，∴点A到直线BD的距离等于BC.∴直线BD与⊙A相切.8.解：(1)如图51.(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO=∠FBO.∵AF⊥BE于点O，∴∠AOB=∠FOB=∠AOE=90°.又∵BO=BO，∴△AOB≌△FOB.∴AO=FO，AB=FB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO=∠FBO.∴△AOE≌△FOB.∴AE=BF.又∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.又∵AB=FB，∴平行四边形ABFE是菱形.11.(1)证明：如图52.∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.即∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴BE=CD.图52 图53(2)解：BE=CD.理由：∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.∴∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴BE=CD.(3)解：如图53，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100，∠ABD=45°.∴BD=100 2.连接CD，则由(2)可知BE=CD.∵∠ABC=45°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 2.∴CD=1002+?100 2?2=100 3.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
2024年九年级中考数学一轮复习专项练习题：相似(含答案)
2024年九年级中考数学一轮复习专项练习题：相似一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．各有一个角是70°的等腰三角形相似B ．各有一个角是95°的等腰三角形相似C ．所有的矩形相似D ．所有的菱形相似2．如图，在 △ABC 中， DE//BC ， AD =6 ， DB =3 ， AE =4 ，则 AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为（ ）A ．323B ．163C ．103D ．83 4．如图，在三角形ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，AM ＝ 14 AB ，AN ＝ 14 AC ，则三角形AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比（ ）A ．12B ．115C ．14D ．116 5．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ， OC 的中点， 则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:26．如图， △ABC 中， AB =AC =3 ，将 △ABC 绕点 B 顺时针方向旋转得到 △DEB ，当点 D 落在 BC 边上时， ED 的延长线恰好 B 经过点 A ，则 AD 的长为（ ）A ．3√5−3B ．3√5−32C ．92D ．92√5 7．如图，四边形 ABCD 中， P 为对角线 BD 上一点，过点 P 作 PE//AB ，交 AD 于点E ，过点 P 作 PF//CD ，交 BC 于点F ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．A ．PE AB =PF CD B ．AE DE =BF CFC ．CF BC +AE AD =1 D ．PE AB +PF CD =1 8．如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ，对角线 AC 、 BD 交于点 O 有以下四个结论其中始终正确的有（ ）①ΔAOB ∽ΔCOD ； ②ΔAOD ∽ΔACB ；③S ΔDOC :S ΔAOD =DC:AB ； ④S ΔAOD =S ΔBOCA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ，使AE=13AB ，AF=14AD ，连接EF 交对角线AC 于G ，则AG的值是．AC10．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC= ．11．已知：如图，PAB、PCD是⊙O的割线，PA=4cm，AB=6cm，CD=3cm .则PD = cm .12．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．13．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE 相交于点D，连接OD，AB=√2，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．三、解答题14．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F.求证：△BEC∽△DCF .15．如图，在边长为1的正方形网格内有一个三角形ABC（1）把△ABC沿着轴向右平移5个单位得到△A1B1C1，请你画出△A1B1C1（2）请你以O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；（3）请你写出△A2B2C2三个顶点的坐标。
2024年中考数学一轮复习综合练习题：圆 含参考答案
2024年中考数学一轮复习综合练习题：圆一、单选题1．两个圆的半径分别为4cm 和3cm ，圆心距是7cm ，则这两个圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离2．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm3．正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是（）A ．6B ．7C ．8D ．44．如图，在⊙O 中，∠BOC ＝50°，则∠A 的度数是（）A ．50°B ．25°C ．40°D ．35°5．扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，那么扇形的半径是（）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．28cm6．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC∠的度数是（）A ．20°B ．70°C ．30°D ．90°7．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF ，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）A ．6B ．12C ．12D ．248．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积（)A ．π-4B ．2π-4C ．4-πD ．4-2π9．如图，正六边形ABCDEF 中，点P 是边AF 上的点，记图中各三角形的面积依次为12345S S S S S ，，，，，则下列判断正确的是（）A ．1232S S S +=B ．253S S S +=C ．2432S S S +=D ．153S S S +=10．如图、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A ．258πB ．254πC ．2516πD ．2532π二、填空题11．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为.12．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，⊙O 的圆心在AB 边上，且分别与AC 、BC 相切于点D 、B ，若AB=6cm ，AC=10cm ，则⊙O 的半径为cm ．14．如图，如AE 是⊙O 的直径，半径OD 垂直于弦AB ，垂足为C ，AB=8cm ，CD=2cm ，则BE=．15．已知正六边形的边长为4cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为cm ．(结果保留π)三、解答题16．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，若26AB =，8EB =，求弦CD 的长.17．如图，圆O 是ABC 的内切圆，其中75AB BC ==，，8AC =，求其内切圆的半径．18．如图，BC 是O 的弦，半径OA BC ⊥，点D 在O 上，且50AOC ∠=︒.求ADB ∠的度数.19．如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，连接AB 交OC 于点D ．（1）求证：AC=CD ；（2）如果OD=1，tan ∠OCA=52，求AC 的长．20．已知：AB 是⊙O 的直径，DA 、DC 分别是⊙O 的切线，点A 、C 是切点，连接DO 交弧AC 于点E ，连接AE 、CE ．（1）如图1，求证：EA=EC ；（2）如图2，延长DO 交⊙O 于点F ，连接CF 、BE 交于点G ，求证：∠CGE=2∠F ；（3）如图3，在（2）的条件下，DE=12AD ，，求线段CG 的长．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】12．【答案】相离13．【答案】8314．【答案】6cm 15．【答案】8π16．【答案】解：连接OC ，如图所示：∵AB 为O 的直径，CD AB ⊥，∴12CE DE CD ==，1132OC OB AB ===，∴1385OE OB EB =-=-=，在Rt OCE 中，由勾股定理得：12CE ==，∴224CD CE ==.17．【答案】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，切点分别为E 、F 、G ，连结OE ，OF ，OG ，设AD=x ，CD=8-x ，其内切圆的半径为r ，根据勾股定理2222AB AD BC CD -=-，即()2222758x x -=--，解方程得112x =，∴==∵圆O 是ABC 的内切圆，∴OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，OG ⊥BC ，OE=OF=OG=r ，∴S △ABC=()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r ⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅，∴()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅，∴8220AC BDr AB BC AC⋅===++18．【答案】解：∵BC OA ⊥，OA 为半径，∴ AB=AC，∴11502522ADB AOC ∠=∠=⨯︒=︒.19．【答案】（1）证明：∵直线AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠DAC=90°，∵OC ⊥OB ，∴∠B+∠ODB=90°，∵OA=OB ，∴∠B=∠DAB ，∵∠ODB=∠ADC ，∴∠ADC=∠DAC ，∴AC=CD ；（2）解：在Rt △OAC 中，∠OAC=90°，∵tan ∠OCA=2，∴OA AC =2，∴设AC=2x ，则AO=x ，由勾股定理得：OC=3x ，∵AC=CD ，∴AC=CD=2x ，∵OD=1，∴OC=2x+1，∴2x+1=3x ，解得：x=1，∴AC=2．20．【答案】证明：（1）如图1，连接OC ，∵DA 、DC 分别是⊙O 的切线，点A 、C 是切点，OA 、OC 是半径，∴OA ⊥DA ，OC ⊥DC ，∴∠DAO=∠DCO=90°，在Rt △ODA 和Rt △ODC 中，O =OO =O，∴Rt △ODA ≌Rt △ODC ，∴∠EOA=∠EOC ，∴AE=CE ；（2）证明：如图2，连接OC ，BE ，由（1）证得∠AOE=∠COE ，又∵∠B=12∠AOE ，∠F=12∠COE ，∴∠B=∠F ，∵OB=OE ，∴∠B=∠OEB ，∴∠F=∠OEG ，∵∠EGC 是△EGF 的外角，∴∠EGC=∠F+∠GEF=2∠F ，即∠EGC=2∠F ；（3）解：∵EF 是⊙O 的直径，∴∠ECF=90°∵，∴OA=OE=12∵DE=12AD ，设DE=m ，∴AD=2m ，在Rt △DAO 中，OA 2+DA 2=OD 2，∴()(2222m m +=+，解得m 1=0（舍去），m 2=3，∴DA=43DO=53∴在Rt △ADO 中，tan ∠DOA=DA OA =43，cos ∠DOA=DA OA =35，∵∠EOA=2∠B ，∠EGC=2∠F ，∴∠EGC=∠EOA ，∴tan ∠EGC=43，如图3，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，在Rt △EOH 中OH=OE•cos ∠35=35，∴EH=45﹣3525在Rt △EHA 中，EA 2=AH 2+EH 2，∴EA=2，∵AE=CE ，∴EC=2，在Rt △ECG 中，tan ∠EGC=EC GC =2GC =43，∴GC=32．。
2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化(提升卷)
2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化（提升卷）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD=C ．DE DC BC +=D ．AB CD∥【答案】D【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵60ABC ∠<︒，∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CB CE =，∵120EDC ∠=︒为钝角，∴CE CD >，∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；∵DE DC CE +>，∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DC AC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒．∴180ACD BAC ∠+∠=︒，∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为A ．10B ．6C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图所示，n 的最小值为3，故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．5.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（）A ．(2--,或2)-B ．(2,C ．(2,-D ．(2--,或(2,【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点A 有两次落在x 轴上，当点A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，易证此时C′′与点A 重合，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则23tan AOE=2∠，，∴∠AOE=60°，∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 是等边三角形，当A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，此时旋转角为60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，∵OC′=OA=4，∴OF=C'O cos ∠，C′F=C'Osin C'OF=2∠，∴C′（2,--），当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°又∵OA=OC′′，∴此时C′′点A 重合，C C′′(2,，综上，点C 的对应点的坐标为(2--,或(2,，故答案为：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A 的运动情况，分情况讨论．8.如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴=10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=25 4，∴CE=2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．9.在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10.如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，B β∠=∠．当AC 平分''B AC ∠时，α∠与β∠满足的数量关系是（）A ．2αβ∠=∠B ．23αβ∠=∠C ．4180αβ∠+∠=︒D ．32180αβ∠+∠=︒【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AB=AC ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=α∠，根据AC 平分''B AC ∠可得∠B′AC=∠CAC=α∠，即可得出4180αβ∠+∠=︒，可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，B β∠=∠，∴AB=AC ，∴∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠=1(180)2β︒-∠，∵将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，∴∠CAC′=∠BAB′=α∠，∵AC 平分''B AC ∠，∴∠B′AC=∠CAC=α∠，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2α∠=1(180)2β︒-∠，∴4180αβ∠+∠=︒，故选；C ．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．12.如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D 的位置，则阴影部分的面积是______________；【答案】2323-【分析】CD 交11B C 于点E ，连接AE ；根据全等三角形性质，通过证明1AB E ADE △≌△，得1EAB EAD ∠=∠；结合旋转的性质，得130EAB EAD ∠=∠=︒；根据三角函数的性质计算，得1EB ，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】解：如图，CD 交11B C 于点E ，连接AE根据题意，得：190AB E ADE ∠=∠=︒，11AB AD ==∵AE AE=∴1AB E ADE△≌△∴1EAB EAD∠=∠∵正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D ∴130BAB ∠=︒，90BAD ∠=︒∴119060B AD BAB ∠=︒-∠=︒∴130EAB EAD ∠=∠=︒∴111tan 3EB EAB AB =∠=∴13EB =∴111112236AB E ADE S S AB EB ==⨯=⨯=△△∴阴影部分的面积()()122AB E ADE AB BC S S =⨯-+△△23=-故答案为：23-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．13.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____．【答案】2【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝，∵BD，∴AD＝AB﹣BD＝，∵∠AHD＝90°，∴DH＝12AD＝332，∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB ∴B′J≥DH﹣DB′，∴B′J≥3 2，∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为3 2；故答案为2．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识．14.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==2222543BC OB OC =--∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．15.如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF ，连接EF ．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF=__________．【答案】13【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3，AC=AF=2，∵∠B+∠BAC=90°，且α+β=∠B ，∴∠BAC+α+β=90°，∴∠EAF=90°，∴22AE AF +1313【名师点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．16.如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM=1，再由CM//C D ''证明△CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形AB C D '''∴AB AB '=，,AD AD '=B AB C D D '''∠=∠=∠=∠，BAD B AD ''∠=∠∴BAB DAD ''∠=∠，B D '∠=∠∴ABB ADD ''∆∆∽∴3,4BB AB AB DD AD BC ''===∵1BB '=∴43DD '=∴C D C D DD ''''=-CD DD '=-AB DD '=-433=-53=AB C AB C CB M ABC BAB '''''∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠CB M BAB ''=∠∵413B C BC BB ''=-=-=∴B C AB'=∵AB AB '=∴∠AB B AB C ABB ''''=∠=∠∵//AB C D '''，//C D CM''∴//AB CM'∴∠AB C B MC'''=∠∴∠AB B B MC''=∠在ABB '∆和B MC '∆中，BAB CB M AB B B MC AB B C ∠=∠⎧⎪∠='''∠''⎨⎪=⎩∴ABB B CM''∆≅∆∴1BB CM '==∵//CM C D'∴△CME DC E'∆∽∴13553CM CE DC DE '===∴38CE CD =∴333938888CE CD AB ====故答案为：98．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．17.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C的距离分别为4则正方形ABCD 的面积为________【答案】314【解析】【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【详解】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵2，∠PBM=90°，∴2PB=2，∵PC=4，3，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH=HM ，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=（）2+12，∴正方形ABCD 的面积为14+4．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．18.如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE △按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．【答案】5【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF=AE ，DF=DE ，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x ，DN=5x ，则BE=1-2x ，CN=1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x -=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=．∴103DE ===．过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP=y ，则2BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222210233y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得，223y =．∴222210222333EP E D DP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴在Rt △DEP 中，253sin 5103EP EDP ED ∠==．即5sin 5EDM ∠=．故答案为：55【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB=3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x=-4，即A （-4，3），∴OB=3，AB=4，，由旋转可知：OB=O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA=O 1A=O 2A 1=…=5，AB=AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA+AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：387 5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解析】（1）如下图所示，点A1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A（4，1），∴=∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：290(17)360⨯π⨯=174π．【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）1511BM =；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠，90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅ ，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA ' 的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【详解】（1）在Rt ABC 中，4AC ==．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =．∵1122ABC S AB CD AC BC == ，即543CD ⨯=⨯，∴125CD =．在Rt BCD 中，2295DB BC CD =-=，∴185BE =．∴335C E BE BC ''=+=．∵//CE A B '，∴BM BC CE C E '='，即33335BM =，∴1511BM =．（3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D '' 中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅ ，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA ' 的中位线，∴12DE A C '=，即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为1．【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．23.已知在 ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将 AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当∠BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC ＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．【答案】（1）AE CF =；（2）成立，证明见解析；（3）5113【分析】（1）结论AE CF =．证明()AOE COF SAS ∆≅∆，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明90AED ∠=︒，再利用相似三角形的性质求出AE ，利用勾股定理求出DE 即可．【详解】解：（1）结论：AE CF =．理由：如图1中，∠=︒，OC OB=，BAC，90=AB AC⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，90AOC EOF∴∠=∠，AOE COF，OE OFOA OC==，∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，，OC OB=，BAC∠=︒90∴==，OA OC OB，AOC EOF∠=∠∴∠=∠，AOE COFOA OC=，OE OF=，()AOE COF SAS∴∆≅∆，AE CF∴=．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OE OC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OA CF OC=，5CF OA== ，∴5 53 AE=，253 AE∴=，5113 DE∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）②求证：AF DM ⊥；③若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）【答案】（1）AF=2DM （2）①成立，理由见解析②见解析③622+【解析】【分析】（1）根据题意合理猜想即可；=，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明（2）①延长DM到点N，使MN DM△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．【详解】（1）猜想AF与DM的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM仍然成立，=，连接CN，理由如下：延长DM到点N，使MN DM∵M是CE中点，∴CM=EM又∠CMN=∠EMD，∴△MNC≌△MDE∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB=∠EDA∴△ADF≌△DCN∴AF=DN∴AF=2DM②∵△ADF≌△DCN∴∠NDC=∠FAD，∵∠CDA=90°，∴∠NDC+∠NDA=90°∴∠FAD+∠NDA=90°∴AF ⊥DM③∵45α=︒，∴∠EDC=90°-45°=45°∵2EDM MDC ∠=∠，∴∠EDM=23∠EDC=30°，∴∠AFD=30°过A 点作AG ⊥FD 的延长线于G 点，∴∠ADG=90°-45°=45°∴△ADG 是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k ，k ，k ，∴故ADED 622+=．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．25.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF =【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB=60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF=1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE=3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F=60°，EF=1，∴13,22FH EH ==，∴CH=13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =，∴112263OF =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．26.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，BE BC =，EF CD ⊥，垂足为F ．将四边形CBEF 绕点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到四边形CB E F '''．B E ''所在的直线分别交直线BC 于点G ，交直线AD 于点P ，交CD 于点K ．E F ''所在的直线分别交直线BC 于点H ，交直线AD 于点Q ，连接B F ''交CD 于点O ．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形；（2）如图2，当点Q 和点D 重合时．①求证：GC DC =；②若1OK =，2CO =，求线段GP 的长；（3）如图3，若//BM F B ''交GP 于点M ，1tan 2G ∠=，求'GMB CF H S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3）125-【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据BE BC =证得结论；（2）①证明''CGB CDF ≅ 即可得到结论；②方法一：设正方形边长为a ，根据'~'B KO F CO ，求出11''22B K BC a ==，利用勾股定理得到222''B K B C CK +=，求出a，得到5B C '=，5B K '=，根据B KC ' ∽△CKG ，求出KG ，再根据PKD GKC ≅ ，求出答案；方法二：过点P 作PM GH ⊥于点M ，根据CG CD =，2CD CK =求出6CG =，由26PM CK ==，12GM =，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，证明~'GBM CRF ，求出'1'2F H CF =，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，证明'~'RB C RF H ，求得2'''22CF R CF H S S x == ，由'~'GB C GE H，求出)21GB x =-，利用~'GBM CRF ，求出'6255GMB CF R S S -= ，即可得到答案；方法二，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，求得(2'465GBN CHF S GB S CH -⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，证明~'GBN GCB，求出55GB GC =，再证明~''MBN B F C ，求出答案；方法三：设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，证明~'MBN F OC，得到(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，根据12GBN S BG BN =⨯⨯ ，求出答案．【详解】（1）在矩形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，∵EF AB ⊥，则90EFB ∠=︒，∴四边形BEFC 是矩形．∵BE BC =，∴矩形BEFC 是正方形．（2）①如图1，∵90GCK DCH ∠=∠=︒，∴'90CDF H ∠+∠=︒，90KGC H ∠+∠=︒，∴'KGC CDF ∠=∠，又∵''B C CF =，''GB C CF D ∠=∠，∴''CGB CDF ≅ ，∴CG CD =．②方法一：设正方形边长为a ，∵PG ∥CF '，∴'~'B KO F CO ，∴'1'2B K OK CF CO ==，∴11''22B K BC a ==，∴在'Rt B KC 中，222''B K B C CK +=，∴222132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴5a =．∴5B C '=，5B K '=，∵90,CB K GCK B KC GKC ''∠=∠=︒∠=∠，∴B KC ' ∽△CKG ，∴2CK B K KG '=⋅,∴KG =∵1,,2B K a KE DKE B KC DE K KB C ''''''==∠=∠∠=∠，∴△B’CK ≌△E’KD ，∴DK=KC ，又∵∠DKP=∠GKC ，∠P=∠G ，∴PKD GKC ≅ ，∴PG=KG ，∴PG =；方法二：如图2，过点P 作PM GH ⊥于点M ，由''CGB CDF ≅ ，可得：CG CD =，由方法一，可知2CD CK =，∴6CG =，由方法一，可知K 为GP 中点，从而26PM CK ==，12GM =，从而由勾股定理得PG =．（3）方法一：如图3，延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，由题意可知，'//CF GP ，'//RB BM ，∴~'GBM CRF ，'G F CR ∠=∠，∴'1tan tan ''2F HG F CH CF ∠=∠==，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，∴''''''2CB CF E F B E BC x =====，∵'//'CB HE ，∴'~'RB C RF H ，∴''1''2F H RH RF B C RC RB ===，∴CH RH =，'''B F RF =，∴2CR CH ==，2'''22CF R CF H S S x == ，∵'//'CB HE ，∴'~'GB C GE H ，∴'22'33GC B C x GH E H x ===，'2'3B C E H ==，∴)21GB x =，∵~'GBM CRF ，∴22'216255GMBCF Rx S GB S CR ⎡⎤-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∵'''2CF R CF H S S =，∴'125GMB CF HS S -= ．方法二，如图4，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．由题意可知，'//CF GP ，'//HE BN ，∴~'GBN CHF ，∴2'GBN CHF S GB S CH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵'//CF GP ，∴'NGB F CH ∠=∠，∴'1tan tan ''2CB FH G F CH GB CF ∠=∠===，设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，∴CH =，CG =，则)21GB x =，∴(22'21465GBN CHF x S GB S CH ⎛⎫--⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∵2'1'2CF H S CF FH x =⋅= ，∴(2465GBNSx -=，∵'//HE BN ，∴~'GBN GCB，∴55'5GB GC CB BN -===，∵'//CB BN ，//''BM B F ，'//'CF GB ，∴~''MBN B F C ，∴22''55625'55MBN B F C S BN S CB ⎛⎫-⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2''26655MBNB FC SS x --==，∴(((222462626555MBGNBG MBN SS S xxx ---=-=-=，∴'12455GMB CF H S S -= ．方法三：如图5，设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，由题意可知，'//CF GP ，//''BM B F ，//BN CO ，∴~'MBN F OC ，∴2'MBN F OC S BN S CO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由方法（2）可知，)251GB x =，所以)51BN x =-，又∵22533CO CK x ==，∴(2'96520MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，∴((229625362542035BMNSxx --=⨯=，∵)(222151652GBN S BG BN x x =⨯⨯==- ，∴(((2223625262562555GBMGBN NBM SS S x xx --=-=--=，∴2'1''2CF H S CF F H x =⨯⨯= ，∴'12455GMB CF H S S -= ．【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．。
2024年中考数学一轮复习练习题：相似含参考答案
2024年中考数学一轮复习练习题：相似一、选择题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，若AD＝6，BD＝3，AE＝8，则EC的长是（）A．4B．2C．5D．942．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论不正确的是（）A．AD BD=AE EC B．AF AE=DF BE C．AE EC=AF FE D．DE BC=AF FE3．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（）A．3B．10C．4D．234．如图，已知ΔABC和ΔEDC是以点C为位似中心的位似图形，且ΔABC和ΔEDC的位似比为1∶2，ΔABC 面积为2，则ΔEDC的面积是（）A．2B．8C．16D．32 5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，AD AB=25，AE＝6cm，则AC的长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm6．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量灯塔的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与灯塔的水平距离CD为114m，则灯塔的高度AB是（）A．74.2m B．77.8m C．79.6m D．79.8m7．如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝24，AC＝12，则MN的长是（）A．13B．252C．403D．148．如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH＝3cm，EH＝6cm，AH＝4cm，则HC的长为（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm二、填空题9．如图，以点O为位似中心，将△ABO缩小后得到△CDO，OC＝3，AC＝4，AB CD＝.10．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有对．11．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是m.12．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，则OA：OA1=1：2，△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积是．13．如图，已知点A、B分别在反比例函数y=1x(x>0)，y=−4x(x>0)的图象上，且OA⊥OB，则OB OA的值为．三、解答题14．如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE 的长.15．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点E 在AB 上，∠DEC=90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB 的长．16．在△ABC 中，AD⊥BC，BC=AD=20cm，现有若干张长为5cm 宽为3cm 的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内，（纸片均不能重叠和超出三角形ABC 三边）（1）如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；（2）三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．17．已知：如图，在半径为4的O 中，AB CD 、是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交O 于点E ，且EM MC >，连接,15DE DE =（1）求证：AMC EMB ∆∆∽；（2）求EM 的长。
中考数学一轮复习专题过关检测卷—与圆有关的计算(含答案解析)
中考数学一轮复习专题过关检测卷—与圆有关的计算（含答案解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（）A．5B．6C．8D．10【答案】A【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故选：A．2．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150°B．144°C．135°D．120°【答案】B【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：B．3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，AB＝12，则的长为（）A．πB．2πC．4πD．.6π【答案】B【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∵AB＝12，∴OB＝6，∴的长为＝2π，故选：B．4．如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（）A．B．C．D．π【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵BC＝，∴OB＝OC＝BC＝1，∴的长为：＝π，故选：C．5．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧的长为（）A．8πB．5πC．4πD．6π【答案】C【解答】解：连接OA、OC，∵AB⊥CD，∠A＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，∴的长为：＝4π，6．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．18πB．27πC．36πD．54π【答案】B【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r＝9，＝＝27π，∴S扇形故选：B．7．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC 的面积为（）A．2πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．15πcm2【答案】C【解答】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝30°，∴∠CBE＝∠AEB＝30°，＝＝12π（cm2），∴S扇形EBC故选：C．8．已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（）cm2．A．15πB．45πC．30πD．20π【答案】A【解答】解：圆锥的侧面积：2π×3×5÷2＝15π（cm2），故选：A．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．，πB．，πC．，D．，2π【答案】D【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴，∴，∴的长为：，故选：D．10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA n B n∁n D n E n，当n＝2022时，正六边形OA n B n∁n D n E n的顶点D n的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，∴45°×8＝360°，当n＝2022时，2022÷8＝252⋅⋅⋅6，则D2022的坐标与D6的坐标相同，∵∠DOD6＝2×45°＝90°，则OD⊥OD6，如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6F6⊥y轴于点F6，∵OE＝DE＝2，OD＝OD6，∴Rt△ODF≌Rt△OD6F6（HL），∴DF＝D6F6，OF＝OF6，∵正六边形OABCDE的一个外角∠DEF＝，∴，∵∠DEO＝180°﹣∠DEF＝120°，DE＝EO，∴∠DOF＝30°，∴，∴，∴，∴，故选：A．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：一次函数(附答案解析)
2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：一次函数一．选择题（共10小题）1．在一次函数y=12ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．2．如图，直线y=23x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（−32，0）D．（−52，0）3．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线=12+与△ABC有交点时，b的取值范围是（）A．﹣1≤b≤1B．−12≤b≤1C．−12≤b≤12D．﹣1≤b≤12 4．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜15．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．6．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5B．x＞﹣2C．x＞﹣3D．x＜﹣27．若式子−1+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=−12x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较9．已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A．B．C．D．10．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4二．填空题（共5小题）11．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为．12．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝．13．如图，直线y＝2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为．15．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝．三．解答题（共5小题）16．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．（1）求直线AB的解析式．（2）求△OAC的面积．（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，求出这时点M的坐标．17．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是千米/时，t＝小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．18．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．20．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x＝1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ 时，试用含t的式子表示m．2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：一次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在一次函数y=12ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象．【专题】几何直观；模型思想．【答案】B【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．【解答】解：在y=12ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，故B正确．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．2．如图，直线y=23x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB 的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（−32，0）D．（−52，0）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．【答案】C【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=23x+4中x＝0，则y＝4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=23x+4中y＝0，则23x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y＝kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有2=−3+−2=，解得：=−43=−2，∴直线CD′的解析式为y=−43x﹣2．令y=−43x﹣2中y＝0，则0=−43x﹣2，解得：x=−32，∴点P的坐标为（−32，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时P C+PD值最小，如图所示．令y=23x+4中x＝0，则y＝4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=23x+4中y＝0，则23x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（−32，0）．故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．3．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线=12+与△ABC有交点时，b的取值范围是（）A．﹣1≤b≤1B．−12≤b≤1C．−12≤b≤12D．﹣1≤b≤12【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．【答案】B【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线=12+中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【解答】解：直线y=12x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线=12+中，可得32+ b＝1，解得b=−12；直线y=12x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线=12+中，可得12+b＝1，解得b=12；直线y=12x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线=12+中，可得1+b＝2，解得b ＝1．故b的取值范围是−12≤b≤1．故选：B．【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．4．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜1【考点】一次函数与一元一次不等式．【答案】C【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．5．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象．【专题】分类讨论．【答案】C【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．故选：C．【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．6．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5B．x＞﹣2C．x＞﹣3D．x＜﹣2【考点】一次函数与一元一次不等式．【专题】推理填空题．【答案】B【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故选：B．【点评】本题考查了议程函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．7．若式子−1+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．【答案】A【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．【解答】解：∵式子−1+（k﹣1）0有意义，∴−1≥0−1≠0解得k＞1，∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．8．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=−12x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【答案】A【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【解答】解：∵k=−12＜0，∴y随x的增大而减小．∵﹣4＜2，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．9．已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】模型思想．【答案】A【分析】利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小∴k＜0又∵kb＜0∴b＞0∴此一次函数图象过第一，二，四象限．故选：A．【点评】熟练掌握一次函数的性质．k＞0，图象过第1，3象限；k＜0，图象过第2，4象限．b＞0，图象与y轴正半轴相交；b＝0，图象过原点；b＜0，图象与y轴负半轴相交．10．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【考点】正比例函数的性质．【答案】B【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，可得：m＝±2，因为y的值随x值的增大而减小，所以m＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．二．填空题（共5小题）11．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．【考点】正比例函数的图象．【专题】一次函数及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大12．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝﹣1．【考点】正比例函数的定义．【答案】见试题解答内容【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．13．如图，直线y＝2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为（﹣1，2）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移．【专题】数形结合．【答案】见试题解答内容【分析】先求出直线y＝2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y＝2代入y＝2x+4，求得x＝﹣1，即可得到C′的坐标为（﹣1，2）．【解答】解：∵直线y＝2x+4与y轴交于B点，∴x＝0时，得y＝4，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y＝2代入y＝2x+4，得2＝2x+4，解得x＝﹣1．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为16．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．【解答】解：如图所示．∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB＝3．∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4．∴A′C′＝4．∵点C′在直线y＝2x﹣6上，∴2x﹣6＝4，解得x＝5．即OA′＝5．∴CC′＝5﹣1＝4．∴S▱BCC′B′＝4×4＝16．即线段BC扫过的面积为16．故答案为16．【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．15．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝﹣3或﹣2．【考点】一次函数的性质．【答案】见试题解答内容【分析】由于一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则得到+4＞0+2≤0，然后解不等式即可m的值．【解答】解：∵一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，∴+4＞0+2≤0，解得﹣4＜m≤﹣2，而m是整数，则m＝﹣3或﹣2．故填空答案：﹣3或﹣2．【点评】此题首先根据一次函数的性质，利用已知条件列出关于m的不等式组求解，然后取其整数即可解决问题．三．解答题（共5小题）16．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．（1）求直线AB的解析式．（2）求△OAC的面积．（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，求出这时点M的坐标．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：4+=26+=0，解得：=−1=6，则直线的解析式是：y＝﹣x+6；（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，S△OAC=12×6×4＝12；（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m=12，则直线的解析式是：y=12x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的14时，∴M的横坐标是14×4＝1，在y=12x中，当x＝1时，y=12，则M的坐标是（1，12）；在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．则M的坐标是：M1（1，12）或M2（1，5）．【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．17．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是60千米/时，t＝3小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；推理填空题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程÷速度＝时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是多少即可．（2）根据题意，分3种情况：①当0≤x≤3时；②当3＜x≤4时；③4＜x≤7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．（3）根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C 地时；③两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度＝时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．【解答】解：（1）根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，甲车的速度是：（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）＝720÷6＝120（千米/小时）∴t＝360÷120＝3（小时）．故答案为：60；3．（2）①当0≤x≤3时，设y＝k1x，把（3，360）代入，可得3k1＝360，解得k1＝120，∴y＝120x（0≤x≤3）．②当3＜x≤4时，y＝360．③4＜x≤7时，设y＝k2x+b，把（4，360）和（7，0）代入，可得42+=36072+=0解得2=−120=840∴y ＝﹣120x +840（4＜x ≤7）．综上所述：甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x 的函数关系式为y =120o0≤≤3)360(3＜≤4)−120+840(4＜≤7)（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1＝300÷180+1=53+1=83（小时）②当甲车停留在C 地时，（480﹣360+120）÷60＝240÷60＝4（小时）③两车都朝A 地行驶时，设乙车出发y 小时后两车相距120千米，则60y ﹣[120（y ﹣1）﹣360]＝120，所以480﹣60y ＝120，所以60y ＝360，解得y ＝6．综上，可得乙车出发83小时、4小时、6小时后两车相距120千米．【点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间．18．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】销售问题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得10+20=400020+10=3500解得=100=150答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥3313，∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，3313≤x≤70①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤70的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；+S△BOD进行（2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD 计算．【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得−2+=−1+=3，解得=43=53．所以一次函数解析式为y=43x+53；（2）把x＝0代入y=43x+53得y=53，所以D点坐标为（0，53），+S△BOD所以△AOB的面积＝S△AOD=12×53×2+12×53×1=52．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．20．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x＝1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ＝PQ 时，试用含t的式子表示m．【考点】一次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组==3−6，求得该方程组的解即为点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y＝tx、直线E A的解析式为：y＝（2+t）x﹣2（2+t）．则tx＝（2+t）x﹣2（2+t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y＝x2﹣2x；（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2−，2t−2）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t−2），则OQ2＝1+t2（2−）2，PQ2＝（1−）2，所以1+t2（2−）2＝（1−）2，化简得到：t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）＝0，通过解该方程可以求得m与t的关系式．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y＝x．设直线EA的解析式为：y＝kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴0=2+−3=+，解得=3=−6，∴直线EA的解析式为：y＝3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则==3−6，解得=3=3，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y＝tx．设直线EA的解析式为y＝cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴0=2+−2−=+，解得=2+=−2(2+p，∴直线EA的解析式为：y＝（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx＝（2+t）x﹣2（2+t），即t＝x﹣2．则有y＝tx＝（x﹣2）x＝x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y＝tx．直线EA的解析式为y＝（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx＝（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x＝2−．有y＝tx＝2t−2．∴点P的坐标为（2−，2t−2）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t−2），∴OQ2＝1+t2（2−）2，PQ2＝（1−）2，∵OQ＝PQ，∴1+t2（2−）2＝（1−）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）＝0．又∵t≠0，∴t﹣2m＝0或t2﹣2mt﹣1＝0，解得m=2或m=2−12．则m=2或m=2−12即为所求．【点评】本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题．。
中考数学第一轮复习专题练习(有答案)
中考数学第一轮复习专题练习（有答案）中考数学第一轮复习专题练习（有答案）同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇中考数学第一轮复习专题练习，希望可以帮助到大家!A级基础题1.下列各条件中，不能作出唯一三角形的条件是()A.已知两边和夹角B.已知两边和其中一条边所对的角C.已知两角和夹边D.已知两角和其中一角的对边2.如图6-3-10，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°; ③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点C为圆心，AB的长为半径画弧;②以点A为圆心，BC的长为半径画弧;③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图6-3-11).乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M;迹，必须用铅笔作图).参考答案：1.B2.D3.A4.85.解：作线段AB的垂直平分线，作两条公路夹角的平分线，两线分别交于点C1，C2.如图48，所以点C1、C2就是符合条件的点.6.解：如图49，点M为所求.B级中等题7.已知△ABC，且∠ACB=90°.(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹，不写作法和证明).①以点A为圆心，BC边的长为半径作⊙A;②以点B为顶点，在AB边的下方作∠A BD=∠BAC.(2)请判断直线BD与⊙A的位置关系(需证明).8.(2019年江苏宿迁)如图6-3-17，在平行四边形ABCD中，AD>AB.(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF. w求证：四边形ABFE为菱形.C级拔尖题9.(2019年山东德州)(1)如图6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE.连接BE，CD.请你完成图形，并证明：BE=CD(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹);(2)如图6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE.连接BE，CD.BE与CD有什么数量关系?简单说明理由;(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图6-3-18(3)，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长.(1) (2) (3)参考答案7.解：(1)如图50.(2)直线BD与⊙A相切.证明如下：∵∠ABD=∠BAC，∴AC∥BD.∵∠ACB=90°，⊙A的半径等于BC，∴点A到直线BD的距离等于BC.∴直线BD与⊙A相切.8.解：(1)如图51.(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO=∠FBO.∵AF⊥BE于点O，∴∠AOB=∠FOB=∠AOE=90°.又∵BO=BO，∴△AOB≌△FOB.∴AO=FO，AB=FB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO=∠FBO.∴△AOE≌△FOB.∴AE=BF.又∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形.又∵AB=FB，∴平行四边形ABFE是菱形.11.(1)证明：如图52.∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.即∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴BE=CD.图52 图53(2)解：BE=CD.理由：∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.∴∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴BE=CD.(3)解：如图53，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100，∠ABD=45°.∴BD=100 2.连接CD，则由(2)可知BE=CD.∵∠ABC=45°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 2.∴CD=1002+?100 2?2=100 3.∴BE的长为100 3米.这篇中考数学第一轮复习专题练习的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
2024福建省中考数学一轮复习与检测试卷(原卷版+答案解析)
2024福建省中考数学一轮复习与检测试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1 ．20232024−的相反数是（ ） A ．20232024− B ．20242023 C ．20232024 D ．20242023− 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A. B. C. D.3 .第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为333000平方米，数字333000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.33310×B ．53.3310×C ．43.3310×D ．433.310×4 . 如图，直线a b ∥，Rt ABC △的直角顶点A 落在直线a 上，点B 落在直线b 上，若115∠°，225∠°，则ABC ∠的大小为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．555 .不等式组1230x x +≤ +>的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D.6.下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示：出勤次数 4 5 6 7 8学员人数 2 6 5 4 3研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是（ ）A ．5，6B ．5，5C ．6，5D ．8，67. 如图，在ABC 中，75ABC ∠=°，60A ∠=°，2AB =．按以下步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心、大于12BC 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN 交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）AB ．C 1+D 8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m9 . 已知：ABC 中，AD 是中线，点E 在AD 上，且CE CD =，BAD ACE ∠=∠．则CEAC = （ ）A ．23 B C D 10 . 如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB −−以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止． 设AMN 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11. 分解因式：24ab a −= .12 .一只不透明的袋中装有2个白球和n 个黑球，这些球除颜色外都相同，13 . 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为AD 的中点，若3OE =，则菱形ABCD 的边长是_______14. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为140°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料28π厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米．15. 如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为_________16. 如图，正方形的顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，边BC 的中点F 在y 轴上， 若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E ，则OA 的长为__________．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：()101π2023+12cos30+2− ° −−． 18. 解不等式组：3213126x x x x ≥− −−−<①② 19. 如图，AB CD B C =∠=∠，，点F 、E 在BC 上，BF CE =．求证：AEB DFC =∠∠．20. 先化简，再求值：2111222x x x x x − +÷ −−− ，其中x = 21. 如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径作O ，交AC 于点F ，过C 点作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB ED =．(1)求证：BE 为O 的切线；(2)若2,tan 2AF A ==，求BE 的长． 22 .第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“热爱体育，喜迎大运”系列活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目． 为了解全校1800名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学， 对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：(1)参加问卷调查的同学共______名，补全条形统计图；(2)估计该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数；(3)学校准备组建一支校足球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢足球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中乙、丙两名同学的概率．23. 如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=°，该车的高度 1.7m AO =， 如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ′′处，'AB 与水平面的夹角27B AD ′∠=°．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B ′到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由(结果精确到0.01m ，参考数据：sin270.454°≈，cos270.891°≈，tan270.510°≈ 1.732)≈ 24 .在△ABC 和△ADE 中，BA ＝BC ，DA ＝DE ，且∠ABC ＝∠ADE ，点E 在△ABC 的内部，连接EC ，EB 和ED ，设EC ＝k •BD （k ≠0）．（1）当∠ABC ＝∠ADE ＝60°时，如图1，请求出k 值，并给予证明；（2）当∠ABC ＝∠ADE ＝90°时：①如图2，（1）中的k 值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k 值并说明理由；②如图3，当D ，E ，C 三点共线，且E 为DC 中点时，请求出tan ∠EAC 的值．25 . 如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =−+．(1)求抛物线的表达式；(2)动点D 在直线BC 上方的二次函数图像上，连接DC ，DB ，设四边形ABDC 的面积为S ，求S 的最大值；(3)当点E 为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，请求出点Q 的坐标．2024福建省中考数学一轮复习与检测试卷（解析版）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1 ．20232024−的相反数是（）A．20232024−B．20242023C．20232024D．20242023−【答案】C【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数，互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可．【详解】解：20232024−的相反数是20232024．故选：C．2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，故选：D．3 .第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为333000平方米，数字333000用科学记数法表示应为（）A．70.33310×B．53.3310×C．43.3310×D．433.310×【答案】B【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示方法：10n a ×，110a ≤<，n 为整数，进行表示即可．确定a ，n 的值，即可．【详解】解：5333000 3.3310=×；故选：B ．4 . 如图，直线a b ∥，Rt ABC △的直角顶点A 落在直线a 上，点B 落在直线b 上， 若115∠°，225∠°，则ABC ∠的大小为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．55【答案】C 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.【详解】解：∵a b ∥，∴12180BAC ABC ∠+∠+∠+∠=°， ∵115∠°，225∠°，90BAC ∠=°， ∴1801250ABCBAC ∠=°−∠−∠−∠=°. 故选：C5 .不等式组1230x x +≤ +> 的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】解：1230x x +≤ +> ， 解得：13x x ≤ >−， ∴不等式组的解集为：31−<≤x ；故选：B6.下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示： 出勤次数 4 5 6 7 8学员人数 2 6 5 4 3研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是（ ）A ．5，6B ．5，5C ．6，5D ．8，6【答案】A【分析】根据众数的定义和中位数的定义，对表格进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵根据表格可得：5出现的次数最多，∴研究性学习小组学员出勤次数的众数是5， ∵研究性学习小组共有学员为：2654320++++=（人），∴将出勤次数按从小到大进行排列后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数， ∴中位数为：6662+=， 综合可得：研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是5，6．故选：A ．7. 如图，在ABC 中，75ABC ∠=°，60A ∠=°，2AB =．按以下步骤作图： ①分别以点B 和点C 为圆心、大于12BC 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN 交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）AB ．C 1+D 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和得到∠C =180°-75°-60°=45°，根据线段垂直平分线的性质得到BD =CD ，求得∠BDC =90°，得到∠ADB =90°，利用含30度的直角三角形以及勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC =75°，∠BAC =60°，∴∠C =180°-75°-60°=45°，由作图步骤得，直线MN 是BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴∠DBC =∠C =45°，∴∠BDC =90°，∴∠ADB =90°，∵AB =2，且∠ABD =30°，∴AD =1，BD∴CD =BD =故选：D ．8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m【答案】B【解析】 【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到37m 2AD =， 再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ， ()7m OD OC CD R ∴=−=−，OC 是半径，且OC AB ⊥，137m 22AD BD AB ∴===， 在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，()2223772R R ∴+−= ， 解得：156528m 56R =≈， 故选B9 . 已知：ABC 中，AD 是中线，点E 在AD 上，且CE CD =，BAD ACE ∠=∠．则CE AC= （ ）A ．23B C D 【答案】B【分析】根据已知得出ADB CEA ∽，则B CAE ∠=∠，进而证明BAC ADC ∽△△，得出AC =，即可求解．【详解】解：∵ABC 中，AD 是中线，∴BD CD =，∵CE CD =，∴CED CDE ∠=∠，BD CE =， ∴ADB CEA ∠=∠， 又∵BAD ACE ∠=∠，∴ADB CEA ∽，∴B CAE ∠=∠， ∵BCA ACD ∠=∠， ∴BAC ADC ∽△△， ∴BC AC AC CD=， ∴222AC BC CD CD =×=，即AC =，∴CE CD AC AC ==故选：B ．10 . 如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB −−以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止． 设AMN 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据题意，分三段（01x <<，12x ≤<，23x ≤<）分别求解y 与x 的解析式，从而求解．【详解】解：当01x <<时，M N 、AB AN 、，此时3cm AM x =，cm AN x =21322AMN y S AM AN x ==××= ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 当12x ≤<时，M N 、分别在线段BC AN 、，此时cm AN x =，AMN 底边AN 上的高为3cm AB =，1322AMN y S AN AB x ==××= ，为一次函数，图象为直线； 当23x ≤<时，M N 、分别在线段CD AN 、，此时cm AN x =，AMN 底边AN 上的高为(93)cm DMx =−， 21139(93)2222AMN y S AN DM x x x x ==××=−=−+ ，为二次函数，图象为开口向下的抛物线； 结合选项，只有B 选项符合题意，故选：B二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11. 分解因式：24ab a −= .【答案】()()22a b b +−．【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式a 后继续应用平方差公式分解即可【详解】解：()()()224422a a a a b b b b −=−=+−， 故答案为：()()22a b b +−．12 .一只不透明的袋中装有2个白球和n 个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数是 ． 【答案】6【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为14，∴22n+=14，解得n=6，经检验n=6是原方程的根，故答案为：613 . 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若3OE=，则菱形ABCD的边长是_______【答案】6【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC BD⊥，∵点E为AD的中点，3OE=，∴AAAA=2OOOO=6，故答案为：614. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为140°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料28π厘米，则此圆弧所在圆的半径为厘米．【答案】36【分析】利用弧长公式求解即可．【详解】解：设圆弧所在圆的半径为， 由题意，得14028180πr π=， 解得36r =，∴圆弧所在圆的半径为36厘米．故答案为：3615. 如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为_________【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，在Rt BPC △中，tan PC BC x PBC ==∠，2=，解得，x =)，故答案为16. 如图，正方形的顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，边BC 的中点F 在y 轴上， 若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E ，则OA 的长为__________．解：过E 作EH x ⊥轴于H ，设CO a =，CH b =，过点B 作y 轴的平行线交x 轴于点N ，作AM MN ⊥于点M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=°． ∵90∠=∠=°EHC FOC ， ∴OFC ECH ∠=∠． ∵点F 与点E 分别是BC ，CD 的中点，∴CF CE =，∴()CFO CEH AAS △△≌，∴OF =CH ．∵点F 是BC 的中点，O F B N ∥，∴ONOC a ==，22NB OF b ==， 同理()CNB BMA AAS △△≌，则2MABN b ==，2MB CN a ==，2AM b ON a ===， 故2a b =，则点(),E a b a +，将点E 的坐标代入12y x =， 得()12a a b +=，而2a b =，解得：b =，a =22OA MN BM BN a b ==+=+= 故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：()101π2023+12cos30+2− ° −−． 【答案】2【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：()101π2023+12cos30+2− ° −−)1122=+−112=+2=．18. 解不等式组：3213126x x x x ≥− −−−<①② 【答案】13x ≤<【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可．【详解】解：解不等式32x x ≥−，33x ≥，解得:1x ≥． 解不等式13126x x −−−<， 3336x x −−+<，解得：3x <．所以原不等式组的解集是：13x ≤<．19. 如图，AB CD B C =∠=∠，，点F 、E 在BC 上，BF CE =．求证：AEB DFC =∠∠．【答案】见解析【分析】先证明BE CF =，然后利用SAS 证明ABE DCF △△≌，即可证明AEB DFC =∠∠．【详解】证明：∵BF CE =，∴BF EF CE EF +=+，∴BE CF =，在ABE 和DCF 中，AB CD B C BE CF = ∠=∠ =， ∴()SAS ABE DCF ≌△△，∴AEB DFC =∠∠．20. 先化简，再求值：2111222x x x x x − +÷ −−−，其中x = 【答案】1x −，【分析】根据分式的运算法则和混合运算顺序进行化简，再把x 的值代入计算即可．【详解】解：原式()112=221x x x x x −−⋅ −−−()()12=221x x x x x x x −−⋅ −−−()12=21x x x x x −−⋅−− 1x =−当x =1==x − 21. 如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径作O ，交AC 于点F ，过C 点作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB ED =．(1)求证：BE 为O的切线；(2)若2,tan 2AF A ==，求BE 的长． 【答案】(1)见解析 (2)154【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A =∠ABC ，∠D =∠EBD ，根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ABC ，∠D =∠DBE ，推出∠CBE =90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据圆周角定理得到BF ⊥AC ，根据三角函数的定义得到BF =4，设CF =x ，列出关于x 的方程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AC =BC ，EB =ED∴∠A =∠ABC ，∠D =∠EBD∵CD ⊥AC∴∠A +∠D =90°∴∠ABC +∠EBD =90°∴∠CBE =90°∵BC 是⊙O 的直径．∴BE 是⊙O 的切线．（2）解：连接BF∵BC 是⊙O 的直径．∴∠BFC =∠BFA =90°在Rt △ABF 中，tan A =22BF BF AF ==∴BF =4设CF =x ，则AC =BC =x +2在Rt △BCF 中，222BC CF BF =+即222(2)4x x +=+∴x =3∴CF =3，BC=5∵∠ACB =∠AFB =90°∴BF ∥CD∴∠1=∠2又∵∠CFB =∠EBC =90°∴△CFB ∽△EBC ∴FC FB BE BC= ∴345BE = ∴BE =154 22 .第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“热爱体育，喜迎大运”系列活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目． 为了解全校1800名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学， 对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：(1)参加问卷调查的同学共______名，补全条形统计图；(2)估计该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数；(3)学校准备组建一支校足球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢足球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中乙、丙两名同学的概率．【答案】(1)60，补全条形统计图见详解.(2)该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人.(3)16.【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数，用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用1800乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中乙、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：参加问卷调查的同学共1220%60÷=（名）喜爱柔道的人数为6018121416−−−=（名），补全条形统计图如图所示；（2）解：181********×=（人）， ∴该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人；（3）画树状图如下：由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中乙、丙两名同学的概率为21126=． 23. 如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=°，该车的高度 1.7m AO =， 如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ′′处，'AB 与水平面的夹角27B AD ′∠=°．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B ′到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由(结果精确到0.01m ，参考数据：sin270.454°≈，cos270.891°≈，tan270.510°≈ 1.732)≈【答案】(1)2.15m(2)没有碰头的危险，理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点B E AD ′⊥于E ，根据正弦的定义求出B E ′，进而求出车后盖最高点B ′到地面l 的距离；（2）过点C ′作C F B E ′′⊥于点F ，根据题意求出60C B F ′′∠=°，根据余弦的定义求出B F ′，再求出点C ′到地面l 的距离，比较大小证明结论．【详解】（1）解：如图2，作B E AD ′⊥于E ，在Rt AB E ′△中，1m AB AB ′==，27B AD ′∠=°， sin B E B AE AB ′′∠=′， ()sin 1sin270.454m B E AB B AE ′′′∴=⋅∠=×°，∴点B ′到地面l 的距离为：()0.454 1.72.154 2.15m +=≈， 答：车后盖最高点B ′到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点'C 作C F B E ′′⊥于点F ，在Rt AB E ′△中，27B AD ′∠=°， 则902763AB E′∠=°−°=°， 123AB C ABC ′∠=∠=° ，60C B F ′′∴∠=°，0.6m B C BC ′′== ，()1cos 0.60.3m 2B F BC C B F ∴=⋅∠×′′=′′=′， ∴点C ′到地面l 的距离为：()2.150.3 1.85m −=，1.85 1.83> ，∴没有碰头的危险．24 .在△ABC 和△ADE 中，BA ＝BC ，DA ＝DE ，且∠ABC ＝∠ADE ，点E 在△ABC 的内部，连接EC ，EB 和ED ，设EC ＝k •BD （k ≠0）．（1）当∠ABC ＝∠ADE ＝60°时，如图1，请求出k 值，并给予证明；（2）当∠ABC ＝∠ADE ＝90°时：①如图2，（1）中的k 值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k 值并说明理由；②如图3，当D ，E ，C 三点共线，且E 为DC 中点时，请求出tan ∠EAC 的值．【答案】（1）k ＝1，理由见解析；（2）①k 值发生变化，k tan ∠EAC ＝13． 【分析】（1）根据题意得到△ABC 和△ADE 都是等边三角形，证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质解答；（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；②作EF ⊥AC 于F ，设AD ＝DE ＝a ，证明△CFE ∽△CAD ，根据相似三角形的性质求出EF ，根据勾股定理求出AF ，根据正切的定义计算即可．【详解】（1）k ＝1，理由如下：如图1，∵∠ABC ＝∠ADE ＝60°，BA ＝BC ，DA ＝DE ， ∴△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAB ＝∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC = ∠=∠ =， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ）∴EC ＝DB ，即k ＝1；（2）①k 值发生变化，k，∵∠ABC ＝∠ADE ＝90°，BA ＝BC ，DA ＝DE ，∴△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AE AD=AC AB =，∠DAE BAC ＝45°， ∴AE AC AD AB =，∠DAB ＝∠EAC ， ∴△EAC ∽△DAB ，∴EC AE BD AD==ECBD ，∴k②作EF ⊥AC 于F ，设AD ＝DE ＝a ，则AE，∵点E 为DC 中点，∴CD ＝2a ，由勾股定理得，AC，∵∠CFE ＝∠CDA ＝90°，∠FCE ＝∠DCA ，∴△CFE ∽△CAD ，∴EF CE AD CA=，即EF a =解得，EF ，∴AF ， 则tan ∠EAC ＝13EF AF =．25 . 如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =−+．(1)求抛物线的表达式；(2)动点D 在直线BC 上方的二次函数图像上，连接DC ，DB ，设四边形ABDC 的面积为S ，求S 的最大值；(3)当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，请求出点Q 的坐标．【答案】(1)223y x x =−++(2)758(3)存在，Q 的坐标为()0,0或()9,0【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由DFB AOC COFD SS S S =++△△梯形，即可求解； （3）分AQC ECB ∽、QAC ECB △∽△、ACQ ECB △∽△三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：∵直线BC 的表达式为3y x =−+， 当0x =时，得：3y =，∴()0,3C ，3OC =，当0y =时，得：03x =−+，解得：3x =， ∴()3,0B ，3OB =，∵抛物线2y x bx c =−++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ， ∴9303b c c −++= = ， 解得：23b c = =， ∴抛物线的表达式为223y x x =−++； （2）过点D 作DF x ⊥轴于点F ，设()2,23D x x x −++，∴(),0F x ，OF x =，3BF x ， ∴223DF x x =−++，∵抛物线223y x x =−++交x 轴于A ，B 两点， 当0y =时，得：2230x x −++=，解得：11x =−，23x =，∴()1,0A −，1OA =，∵DFB AOC COFD SS S S =++△△梯形 ()()()2211132332313222x x x x x x =−+++−−+++×× 23375228x =−−+ ， 又∵302−<，即抛物线的图像开口向下， ∴当32x =时，S 有最大值，最大值为758．（3）存在，理由：∵()222314y x x x =−++=−−+， ∴()1,4E ，又∵()0,3C ，()3,0B ，∴CEBC =BE =∴((22222220CE BC BE ++===，∴90ECB ∠=°， 如图所示，连接AC ，①()1,0A −，()0,3C ，∴1OA =，3OC =，AC ===∴13AO EC CO BC ==， 又∵90AOC ECB ∠=∠=°， ∴AOC ECB ∽，∴当点Q 的坐标为()0,0时，AQC ECB ∽； ②过点C 作CQ AC ′⊥，交x 轴与点'Q ， ∵Q AC ′ 为直角三角形，CO AQ ⊥′，∴90ACQ AOC ′∠=∠=°，90AQ C CAQ ACO ′′∠=°−∠=∠， ∴ACQ AOC ′ ∽，又∵AOC ECB ∽，∴ACQ ECB ′ ∽，∴AQ EB AC EC ′== 解得：10AQ ′=，∴()9,0Q ′；③过点A 作AQ AC ⊥，交y 轴与点Q ， ∵ACQ 为直角三角形，CA AQ ⊥，∴90QAC AOC ∠=∠=°，90ACQ CQA OAQ ∠=°−∠=∠， ∴QAC AOC △∽△，又∵AOC ECB ∽，∴QAC ECB △∽△，∴QC AC EB CB ==， 解得：103QC =， ∴103Q −，， 此时点Q 在y 轴上，不符合题意，舍去． 综上所述：当在x 轴上的点Q 的坐标为()0,0或()9,0时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似．。
2024年中考九年级数学一轮复习练习题：一元二次方程含参考答案
2024年中考九年级数学一轮复习练习题：一元二次方程一、选择题1．下列方程中①2x 2−13x=1②2x 2−5xy +y 2=0③7x 2+1=0④y 22=0是一元二次方程的（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和③2．用配方法解方程x 2−10x −11=0，配方后可得（）A．(x +5)2=36B．(x −5)2=36C．(x −5)2=25D．(x +5)2=253．关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0的一个根是1，则另一个根和m 的值分别为（）A．−1，3B．1，3C．−3，4D．3，−44．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程x 2+3x −2k =0，一定有实数根的是（）A．k >−98B．k <−98C．k ≥−98D．k ≤−985．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比可以增加视觉美感．如果雕像高度为3m，设雕像下部高为xm，则x 满足（）A．x 2=3(3−x)B．(3−x)2=3xC．x 2=3(3+x)D．(3+x)2=3x6．若关于x 的一元二次方程kx 2−2x −1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A．k >−1B．k >−1且k ≠0C．k <1D．k <1且k ≠07．关于x 的方程2x 2+6x﹣7＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（）A．3B．﹣3C．−72D．728．已知a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足1a+1b=−1，则m 的值是（）A．﹣3或1B．3或﹣1C．3D．1二、填空题9．若(2−a)x a2−2−5=0是一元二次方程，则a =．10．方程x 2=x 的解是．11．关于x 的方程x 2+mx +6=0的一个根为-2，则另一个根是．12．若m、n 是方程x 2+2x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m 2+3m+n＝．13．如果关于x 的一元二次方程x 2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝．三、解答题14．解下列方程：（1）x2−4x+1=0（2）(x−3)2=2(x−3)15．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若(x1+1)(x2−1)=28，求m的值．16．关于x的方程，（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）设是该方程的两个根，记，S的值能为2吗？若能求出此时k的值. 17．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，为保障人民群众的身体健康，我市启动新冠疫苗加强针接种工作，已知今年3月甲接种点平均每天接种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人接种加强针.（1）求3月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？（2）4月份，甲接种点平均每天接种加强针的人数比3月少10m人，乙接种点平均每天接种加强针的人数比3月多30%，在m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值.18．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，说明理由．参考答案1．C2．B3．D4．A5．A6．B7．B8．C9．−210．x1=0，x2=111．-312．113．414．（1）解：∵a=1，b=−4，c=1，∴Δ=b=12，∴x==故方程解为：x1=2+3，x2=3．（2）解：移项得：(x−3)2−2(x−3)=0，∴(x−3)(x−3−2)=0，∴x−3=0或x−5=0，故方程解为：x1=3，x2=5．15．（1）解：∵方程有两个实数根∴Δ=[−2(m+1)]2−4(m2+5)=8m−16≥0∴m≥2（2）解：由根与系数的关系，得：x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5∵(x1−1)(x2−1)=28x1x2−(x1+x2)−27=0∴m2+5−2(m+1)−27=0∴m 1=6，m 2=−4∵m ≥2∴m =616．（1）证明：当，即时，方程为，即方程有一个解；当，即时，方程有两不等实数根.综上所述：无论为何值，方程总有实数根（2）解：.即：解得：又17．（1）解：设3月平均每天有x 人前往乙接种点接种加强针，则3月平均每天有（1+20%）x 人前往甲接种点接种加强针，依题意得：（1+20%）x+x=440，解得：x=200，∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240.答：3月平均每天有240人前往甲接种点接种加强针，有200人前往乙接种点接种加强针（2）解：依题意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，整理得：m 2-50m+225=0，解得：m 1=5，m 2=45.当m=5时，240-10m=240-10×5=190＞0，符合题意；当m=45时，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合题意，舍去.答：m 的值为518．（1）解：设AB=x 米，由题意可得：BC =(80−4x)m ，∴x(80−4x)=300，解得：x1=15，x2=5，∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，BC=80−4×5=60m，∴x=15，答：边AB的长为15米；（2）解：由（1）可得：x(80−4x)=500，化简得：x2−20x+125=0，∴Δ=202−4×1×125=−100<0，∴羊圈的总面积不能为500平方米．。
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例 4 在实数中－ ，0， 3 ，－3.14， 4 中无理数有（）整数⎨零⎪负整数⎪有理数⎪ ⎪⎨ ⎩⎪ ⎪ 实数⎨ ⎪分数⎧正分数⎫有限小数或无限循环小数 ⎪负分数⎭ ⎩实数考点 1 实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．例 1 比较 3 － 2 与 2 －1 的大小．例 2 在-6,0,3,8 这四个数中，最小的数是（ ）A.-6B.0C.3D.8考点 2 无理数常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2) 看似循环而实际不循环的小数，如 0.1010010001···(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)。
(3) 有特定意义的数，如：π =3.14159265···(4).开方开不尽的数。
如： 3, 3 5注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环；（2）无理数不是都带根号的数（例如 π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如 4 ， 3 27 就是有理数）．例 3 下列是无理数的是（ ） A.-5/2 B.π C. 0D .7.13141223A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个考点 3 实数有关的概念实数的分类（1）按实数的定义分类：⎧ ⎧ ⎧正整数 ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎩ ⎪⎧正无理数⎫⎪无理数⎨⎬无限不循环小数⎪⎩负无理数⎭（2）按实数的正负分类：⎩正无理数⎪⎧ ⎧负整数⎪负实数⎪⎨ ⎩负分数 ⎪ ⎩例 10 27 的平方根是_________⎧ ⎧ ⎧正整数 ⎪ ⎪正有理数⎨ ⎪正实数⎨ ⎩正分数⎪⎪ ⎪实数⎨零（既不是正数也不是负数）⎪⎪负有理数⎨⎪⎪ ⎩负无理数例 5 若 a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是()A. － a 2B. －( a +1)2C.－ a 2D.－( - a +1)例 6 实数 a 在数轴上的位置如图所示,化简: a - 1 + (a - 2) 2 =例 7 如图所示,数轴上 A 、B 两点分别表示实数 1， 5 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的实数为（）A.C.5 －2 B. 2－ 55 －3 D.3－ 5例 8 已知 a 、b 是有理数，且满足（ a －2）2+ b - 3 =0，则 a b 的值为考点 4 平方根、算术平方根、立方根与二次根式若 a ≥0，则 a 的平方根是 ± a ，a 的算术平方根 a ；若 a<0，则 a 没有平方根和算术平方根；若 a 为任意实数，则 a 的立方根是 3 a 。
例 916 的平方根是______3例 11 下列各式属于最简二次根式的是（ ）A ． x 2 +1 B. x 2 y 5 C. 12 D. 0.5例 12 下列计算正确的是（Ａ） 20 = 0（Ｂ） 3-1 = -3 （Ｃ） 9 = 3 （Ｄ） 2 + 3 = 5例 13 计算 (-3)2 的结果是例 17 已知 a = 3 ，且 (4 tan 45︒ - b )2 + 3 + b - c = 0 ，以 a 、b 、c 为边组成的三角形面积a+A ．3B ． -3C ． ±3D ． 9二次根式的运算二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各 根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算 性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等．例 14 计算 a 3 +a 2 1 所得结果是______．a例 15 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：1-2a+a 2其中 a=9 时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+ 1-2a+a2 = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17⑴___________是错误的；考点 5 非负数性质的应用若 a 为实数，则 a 2,| a |, a (a ≥ 0) 均为非负数。
非负数的性质：几个非负数的和等于 0，则每个非负数都等于 0。
例 16 已知(x-2)2+|y-4|+ z - 6 =0，求 xyz 的值．1 2等于（）．A ．6B ．7C ．8D ．9考点 6 近似数、科学记数法、有效数字例 18 用科学记数法表示的数正确的是（ ）A ．31.2×103B ．3.12×103C ．0.312×103D.25×105例 19 用四舍五入法取近似值，0.01249 精确到 0.001 的近似数是_________，保留三个有效数字的近似数是___________．考点 7 实数的运算1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念,掌握实数的运算法则,并能熟练地进行计算.2．实数的运算在实数范围内，加、减、乘、除（除数不能为 0）、乘方五种运算都可以进行，各种运算律在实数范围内仍然适用；但开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方．3.对于实数的运算应注意:；3-2,b=(-8)0,c=-0.8-1,则a,b,c三数的大小关系是2(1)实数的混合运算中,应先确定运算的符号及顺序,再进行运算,有小数的一般将其化为分数较为简单；(2)熟练掌握实数的运算需做到三点：一是熟悉运算律（包括正向与逆向）二是灵活运用各种运算法则；三是掌握一定的运算技巧；（3）注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关．4．实数的绝对值正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零．例20计算下列各式：(1)1-2+(-1)2-2sin45+(π-3)01(2)(-2)3⨯()-2+(1+3)0+1311÷+-4 26备考真题过关一、填空题：1、如果2x+3+(2y-1)2=0，那么(x+y)2001＝。
2、若1n+(-1)n=0，则(-1)n＝。
3、如果a＝5，b＝3，比较大小：a b b a24、已知a=(-)π5、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且x－=1，y=2，则式子x a+b+(-cd)2006-y2的值是6、写出和为6的两个无理数（只需写出一对）7、观察下面一列有规律的数：123456,,,,,,………根据这个规律可知第n个数是（n是正整数）．38152435488、我们平常用的数是十进制数，如：2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码：0，1，如二进制中，101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数23．那么二进制中的1101等于十进制的数是．③ a 1”2 3 42009二、选择题：1、一个数的平方是正数，则这个数是（）A 、正数B 、负数C 、不为零的数D 、非负数2、设 a = 355 ， b = 4 44 ， c = 533 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系是（ ）A 、 c ＜ a ＜ bB 、 a ＜ b ＜ cC 、 b ＜ c ＜ aD 、 c ＜ b ＜ a3、按规律找数：①4＋0.2；②8＋0.3；③12＋0.4，则第四个数为（）A 、 12 ＋ 0.5B 、 16 ＋ 0.4C 、 16 ＋ 0.57 ．设a = 3 - 2,b = 2 - 3,c = 5 - 2, 则 a 、b 、c 的大小关系是（）A. a ﹥b ﹥cB. a ﹥c ﹥bC. c ﹥b ﹥ aD. b ﹥c ﹥ a4、小明的作业本上有以下四题：① 16a 4 = 4a 2 ；② 5a • 10a = 5 2a ；1= a 2 • = a ；④ 3a - 2a = a ．做错的题是（）a aA. ①B. ②C. ③D. ④5、现规定一种新的运算“*”： a *b = a b ，如 3*2=32=9，则1*3 等于（）21 1 3 A.B. 8C.D.8626、若“！ 是一种运算符号，且有 1！=1； ！=2×1； ！=3×2×1； ！=4×3×2×1；………则2006!2005!=A ．2006B ．2005C ．2004D ．以上答案都不对7、某专卖店在统计 2005 年第一季度销售额时发现二月份比一月份增加 10%,三月份比二月份减少 10%,那么三月份比一月份()A. 增加 10%B. 减少 10%C. 不增不减D. 减少 1%8、实数22,,2 +1,2π, (3 )0, - 3 中,有理数的个数是()7 2010A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 9、从 A 地到 C 地,可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A 地到 B 地,有 2 条水路、2 条陆路，从 B 地到 C 地,有3 条陆路可选择，走空中从 A 地不经 B 地可直接到 C 地,则从A 地到 C 地可供选择的方案有（）A. 20 种B. 8 种C. 5 种D. 13 种10、下列说法正确的是（）A. 负数和零没有平方根B.12009的倒数是 2009-+⎪⨯18-1.45⨯6+3.95÷（2）2⨯-⎪⨯1⎛11⎫31（3）1C.2 2三、综合1、计算：是分数 D.0和1的相反数是它本身⎛757⎫（1）⎝9618⎭16÷15⎝32⎭11311111-+---1001100010021001100210002、从－56起，逐次加1得到一连串整数，－56、－55、－54、－53、－52、…，问：（1）第100个整数是什么？（2）求这100个整数的和。
3、观察下列算式：12+1=1⨯222+2=2⨯332+3=3⨯4……请你将探索出的规律用自然数n（n≥1）表示出来是。
4、探索规律：①计算下列各式：1⨯2⨯3⨯4+1＝＝( 2⨯3⨯4⨯5+1＝＝( 3⨯4⨯5⨯6+1＝＝( 4⨯5⨯6⨯7+1＝＝()2 )2 )2 )2②从以上过程中把你探索到的规律用式子表示出来，并证明你的结论。