1.6最小公倍数-应用题-D-1.docx

1.6 公倍数与最小公倍数

教学重点：
学会求两个数的最小公倍数
教学难点：
区分最大公因数和最小公倍数的求法
教具：
多媒体课件
教学过程设计：
教师活动
学生活动
设计意图
一、情景引入
在上海南站,地铁1号线每隔3分钟发车,轨道交通3号线每隔4分钟发车.如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车,那么(1)再过多少时间它们又同时发车?(2)至少再过多少时间它们又同时发车？
结论：求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
解法三：（短除法）
所以18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90.
例1.用短除法求36和84的最小公倍数.
解：
所以36和84的最小公倍数是2×2×3×3×7=252.
课题：1.6公倍数与最小公倍数(第1、2/2课时)
教学目标：
1、经历实际问题的解决、抽象、概括的过程，理解公倍数和最小公倍数的意义，会根据几个数的倍数，找出它们的公倍数和最小公倍数。
2、理解用短除法求最小公倍数的算哩，会用短除法求两个数的最小倍数。
3、会根据两数为倍数关系或互素的情况直接求它们的最小公倍数。
例2．求30和45的最大公因数和最小公倍数.
解：
30和45的最大公因数是3×5=15;
30和45的最小公倍数是3×5×2×3=90.
巩固练习：
1.书本P21练习1.6；
2.练习册习题1.6.
学生思考并回答问题
学生口述
教师板书
学生试表述概念
学生齐读概念
学生口述、
教师板书
教师板书说明
学生齐读
学生口述，
老师板书

《1.6公倍数与最小公倍数》作业设计方案-初中数学沪教版上海六年级第一学期

《公倍数与最小公倍数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在帮助学生巩固公倍数与最小公倍数的概念，理解并掌握其计算方法，能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力和解题能力。

二、作业内容（一）基础练习1. 识别公倍数与最小公倍数。

通过给出几组数，让学生判断哪些数是哪些数的公倍数或最小公倍数。

2. 计算公倍数与最小公倍数。

包括直接给出两个数，让学生计算其公倍数或最小公倍数；或者给出几个数，让学生找出其中的公倍数或最小公倍数。

（二）进阶练习1. 应用题。

设计一些实际问题，如分配任务、日程安排等，让学生运用公倍数与最小公倍数的知识进行解答。

2. 拓展题。

提供一些具有挑战性的题目，如寻找多个数的最小公倍数等，以拓展学生的思维和解题能力。

（三）思考题设计一些开放性问题，引导学生思考公倍数与最小公倍数的本质和意义，如“公倍数与我们的生活有哪些联系？”等。

三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭。

2. 要求学生认真审题，理解题目要求，按照步骤进行计算和解答。

3. 要求学生注意书写规范，答案清晰，过程详细。

4. 要求学生按时完成作业，并做好复习和预习工作。

四、作业评价1. 评价学生是否理解公倍数与最小公倍数的概念。

2. 评价学生是否能够正确计算公倍数与最小公倍数。

3. 评价学生是否能够运用所学知识解决实际问题。

4. 评价学生的作业态度和习惯，如是否认真审题、书写规范、按时完成等。

五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，进行针对性的讲解和指导，帮助学生解决疑难问题。

2. 对于学生的优秀作业和进步，及时给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

3. 对于学生的不足之处，及时指出并帮助其改正，鼓励学生不断提高自己的数学能力和解题能力。

4. 根据学生的反馈和需求，调整教学方法和策略，提高教学质量和效果。

通过以上作业设计，旨在通过不同层次的练习，帮助学生全面掌握公倍数与最小公倍数的概念和计算方法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

1.6公倍数与最小公倍数(最新整理)

体会数学与生活的密切联系
教材分析
教学重点教学难点相关链接
最小公倍数的意义和求法, 用短除法求两个数的最小公倍数
最小公倍数的意义以及理解用短除法求最小公倍数的算理前期: 倍数、用短除法求几个数的求最大公因数
后期: 分数的通分
1
教学内容
教学过程
课前练习一: 1. 口答:说出下列各组数的最大 (1)出示课前练习一公因数. (1)4 和 9; 4 和 9 的最大公因 (2)学生思考后，口答数是 1. (2)24 和 8; 24 和 8 的最大公因数是 8. (3)13 和 11; 13 和 11 的最大公因数是 1. (4)12 和 18. 12 和 18 的最大公因数是 6.
教后记练习巩固题,逐步要求学生达到熟练程度,为今后学习打下扎实的基础
短除法是工具 2. 用短除法求 18 和 24 的最大 (3)出示题目学生练习(巩固练
3. 公因数.
必须牢固掌握
习 ,同时为求最小公倍数打基
础)
18 和 24 的最大公因数是 2×3 =6.
教师想一想这
意规范化的板书,保留)
教后记
18 和 30 的最小公倍数是 2×3× 3×5=90。
新课探索三
例 1：用短除法求 36 和 84 的最
小公倍数。
(1)出示新探三
解：
(2)学生独立完成(教师巡视指导)
36 和 84 的最小公倍数是 2× 2×3×3×7=252
7
教学内容
教学过程
教后记
新课探索四：
(1)出示新探四
和 30 的最小公倍数。
18 和 30 的所有公有的素因数（1
个 2 和 1 个 3 及各自剩余的素因

初等数论1.6(最小公倍数)

定理5 [ka1,ka2, ,kan ] k[a1, a2 an ].
an ]的充
定理6 [a,b](a,b) ab.
推论1若 (a,b) 1,则[a,b] ab.
推论2 [an ,bn ] [a,b]n. 推论3 若 (a,b) 1,则[a,bc] b[a,c]. 定理7 [a1, a2, , an ] mk ,则 [a1, a2 an ]=[mk , ak1 an ](1 k n). 推论若 [a1, a2 , , ak ] mk , [ak1, , an ] qk ,则 [a1, a2 an ]=[mk , qk ](1 k n).
3、先求最大公约数法(一般用于求公因数不明显的两个数的最小公倍数)
例5 求[24871,3468]
小结：本节主要讲述有最小公倍数的概念，性质及其求法，重点掌握最小公倍数数的求法。
作业：习题1.6第4题.
教学后记：最小公倍数的性质理解不是很好，应用有困难，应多加练习。
三、最小公倍数的求法
1、分解2)写成各分解式中所有的质因数及其最高次数,并把得到的幂连乘起来. 例3 求[2940,756,168] 解：因为 2940 22 35 72
756 22 33 7 168 23 37 所以[2940,756,168] 23 33 5 72 52920.
定理8 若(h,am )=1(m k 1, k 2, , n),则 [ha1, ha2, , hak , ak1 an ] h[a1, a2 ak , ak1, , an ].
例1 求[2,4，12，9，17，18].
例2 求证：[a,b,c](ab,ac,bc) abc.特别地,若a,b,c 两两互质,则[a,b,c] abc.

1.6 最小公倍数

1.6 最小公倍数先看一个实际问题:排练团体操时,要使队伍排成10行,15行,18行,24行时,队形都成矩形,最少需要多少人参加排练?解决这个问题,需要寻找这些行数公有的倍数之最小者.下面我们讨论几个数公有的倍数及其最小者的定义、性质和求法.本届讨论问题的范围与上节相同,仍是整数集.一、最小公倍数的概念由2|48,3|48,6|48,知48是2,3,6公有的倍数,我们称之为2,3,6的一个公倍数. 一般地,设k a (1,2,k =…,n ),m 都是整数,如果k a |m ,那么m 叫做1a ,2a ,…,n a 的一个公倍数.例如, 6±,12±,24±,48±,…都是2,3,6三个数的公倍数.其中, 6是这些公倍数中最小的一个正整数,叫做2,3,6的最小公倍数,记作[]2,3,6=6.可见,几个数的公倍数有无穷多个,几个数的最小公倍数有且只有一个.定义1 设1a ,2a ,…,n a 是n (n ≥2)个整数.若d 是这n 个数的倍数,则d 就叫作这n 个数的一个公倍数.又在1a ,2a ,…,n a 的一切公倍数中的最小正数叫作最小公倍数,记作[1a ,2a ,…,n a ].由于任何正数都不是0的倍数,故讨论整数的最小公倍数时,一概假定这些整数都不是零.定理1 几个非零整数1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数惟一存在.证明：存在性显然, 1a 2a …n a 是1a ,2a ,…,n a 的一个公倍数,这说明1a ,2a ,…,n a 存在公倍数.根据最小数原理,其正的公倍数中必存在最小正整数,即存在最小公倍数.惟一性设12[,,a a …,]n a m =,12[,,a a …,]n a q =.若m <q ,则与12[,,a a …,]n a q =矛盾；若m >q ,则与12[,,a a …,]n a m =矛盾.故m q =,即1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数惟一存在.定理2 若1a ,2a ,…,n a 是几个非零整数,则1a ,2a ,…,n a 与12a a ⎪, ⎪,…n a , ⎪有相同的公倍数,且12[a a ,,…]n a ,=12a a [ ⎪, ⎪,…]n a , ⎪.(请读者自己证明)12[,,a a …,]n a [,](1)k k m q k n = ≤<.例如, [4,8,12][[4,8],12]48==,[2,4,9,8,27][[2,4,8][9,27]]216==.定理8 若(,)1(1,2,m h a m k k = =++…,)n ,则12[,,ha ha …1,,,k k ha a +…,]n a 12[,,h a a =…1,,,k k a a +…,]n a .证明：由(,)1(1,2,m h a m k k = =++…,)n ,知1(,k h a +…)1n a =,又因为1[,k a +…,]n a 1k a +|…n a ,所以(,h 1[,k a +…,]n a )1=.由定理5和定理6的推论3可知12[,,ha ha …1,,,k k ha a +…,]n a12[[,,ha ha =…,,],k ha 1[,k a +…,]n a ][h =12[,,a a …,]k a ,1[,k a +…,]n a ][h =12[,,a a …,]k a ,1[,k a +…,]n a ]12[,,h a a =…1,,,k k a a +…,]n a .例1 求[2,4,12,9,17,18].解：[2,4,12,9,17,18]2[1,2,6,9,17,9]=22[1,1,3,9,17,9]=⨯43[1,1,1,3,17,3]=⨯123[1,1,1,1,17,1]=⨯3617612=⨯=.例2 求证：[,,](,,)a b c ab ac bc abc =.特别地,若,,a b c 两两互质,则[,,]a b c abc =. 证明： [,,][[,],]a b c a b c =[,](,)([,],)([,],)ab c a b c a b a b c a b c == ((,)[,],(,))abc a b a b a b c =(,(,))(,,)abc abc ab ac bc ab ac bc ==. 特别地,若,,a b c 两两互质,即(,)1,(,)1,(,)1a b a c b c ===,那么(,)1ab c =,所以[,,][[,],]a b c a b c =[,]ab c abc ==.三、最小公倍数的求法根据最小公倍数的定义和性质,对照最大公约数的求法,可以得到几种求最小公倍数的方法.1.分解质因数由于几个数的最小公倍数首先是这几个数的一个公倍数,又是这几个数的任意公倍数的约数,所以我们可以按照下述步骤求几个数的最小公倍数：(1)写出各数的标准分解式；(2)写出各分解式中所有的质因数及其最高次数,并把得到的幂连乘起来.例3 求[2940,756,168].解：因为2229402357=⨯⨯⨯,233756237=⨯⨯,3168237=⨯⨯,所以[2940,756,168]332235752920=⨯⨯⨯=.2.提取公因数法根据定理5和定理8,求几个数的最小公倍数可以用提取公因数的方法,步骤如下：(1)先提取这几个数的最大公约数(此时所得商互质但不一定两两互质)；(2)在不互质的商中提取公约数,其他商照写下来,直到各商两两互质为止；(3)把提取的各数及各商数连乘起来.例4 求[162,216,378,108].解：[162,216,378,108]2[81,108,189,54]=29[9,12,21,6]=⨯183[3,4,7,2]=⨯542[3,2,7,1]=⨯1083271=⨯⨯⨯⨯4536=.这一过程通常简写成下面的形式,叫做短除式.2162216378108981108189543912216234723271因为3,2,7,1两两互质,所以[162,216,378,108]293232714536=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=. 3.先求最大公约数法根据定理6,通过[,](,)a b a b ab =,先求(,)a b ,再求[,]a b .这种方法一般用于求公因数不明显的两个数的最小公倍数.例5 求[24871,3468] .解：由辗转相除法,可得(24871,3468)17 =,从而[24871,3468]248713468175073684 = ⨯ ÷=. 例6 一个老汉去赶集,一根扁担两筐梨,小伙驾车行路急,撞上老汉撒了梨,小伙下车忙扶起,大爷别急我赔你,老汉起身开言道,小伙你要听仔细：两个两个剩一个,三个三个剩两个,四个四个剩三个,五个五个剩四个,六个六个剩五个,要是七个七个数,刚好数不差分离,各位看官悉心算,老汉筐中多少梨?解：两个两个数剩一个,则说明梨的总数除以二余数为一,同理除以三余二、除以四余三、除以五余四、除以六余五,如果将余数都加一则刚好除尽,即梨的总数加一是23456、、、、的倍数.[2,3,4,5,6]60=梨的总数加一可能为60,120,180……,而梨的总数刚好可以除以七，所以梨的总数为119.例7 大帅共有多少个兵：民国时期,某大帅是一位非常迷信的土军阀.有一次,他要领兵出征,攻打另外的一个军阀.不到3000名士兵出发前要来一次检阅,他命令士兵每10人一排排好,谁知排到最后缺1人.他认为这样不吉利,就改为每排9人,可最后一排又缺了1人,改成8人一排,仍缺1人,7人一排缺1人,6人一排缺1人……直到两人一排还是凑不齐.该大帅非常沮丧,认为这都是自己时运不济,不宜出兵,于是只好收兵不再出战.这当然不是他的时运不济,也没有人恶作剧,只怪该大帅数学差,他的兵数正好排不成整排.你能猜出大帅共有多少个兵吗?解：要想每排士兵数一致,且最后刚好站齐,人数必须是每排人数的倍数,或是10的倍数或是9的倍数,如果是10,9,8,7,……,2的公倍数,那无论怎样排都没有问题.[10,9,……,2]2520=所以,大帅共有2519个兵.例8 N 为1,2,3,……,1995,1996,1997的最小公倍数.那么, N 等于多少个2与一个奇数的乘积?解：1到1997中, 1010242=,它所含的2的因数最多,所以最小公倍数中2的因数为10个,所以等于10个2与一个奇数的乘积.例9 从自然数列1,2,3,……,中依次划去3的倍数和4的倍数,保留5的倍数(例如15,20等不能划去),将剩下的数依次写成数列12341,2,5,7,A A A A ====……，求2004A .解：因为[3,4,5]60=,把自然数列从1开始分成每连续60个正整数为一组,这样,在第1n +组排在第m 个位置上的数为60n m +(n 为自然数, m 为正整数).在每组中, 3的倍数有60320÷=(个), 4的倍数有60415÷=(个), 5的倍数有60512÷=(个), 12的倍数有60125÷=(个), 15的倍数有60154÷=(个), 20的倍数有60203÷=(个), 60的倍数有1(个).所以每组按要求划去各数后剩下602015543136--++=-=(个)数.由于2004A 表示在新的数列中排在第2004个位置,由于20043655÷=……24,试验可知, 1~40中可以剩下24个数,所以说明2004A 在原数列排在第56组第40个位置,所以20046055403340A =⨯+=.例10 将长、宽、高分别为571,,361295分米的长方体分割为若干同样大小的正方体.这些正方体的棱长最大是多少？解：[6,9,12]36=.535210*********,,36636123699365=====.(210,21,112)7=. 所以,这些正方体的棱长最大是736. 例11 已知两个正整数a 与b 的差为120,他们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么,a b 中较大的是多少?解：设11,(,),,,a b a b d a a d b b d >===则120,[,]105.a b a b d -=⎧⎨=⎩得1111()120,105.a b d a b -=⎧⎨=⎩所以,最大的数为225.例12 把一个时钟改装成玩具钟,使得时针每转一圈,分针转16圈,秒针转36圈.开始时三针重合,问在时针旋转一周的过程中,三针重合了几次?(不计起点和终点的重合位置)解：[16,36]144=,可将一圈分为144格,并设时针的速度为1,则分针速度为16,秒针速度为36.先分别研究分针、秒针与时针在何处重合,再讨论三针在何处重合.这时,需要求出一个分数,使它分别是14415和14435的整倍数. 所以，三针重合了4次.例13 三个互不相同的正整数之和为370,他们的最小公倍数最小能够是多少?并求出这三个数.解：设三数为,,a b c .要使[,,]a b c 尽可能小,就得使(,,)a b c 尽可能大.所以,最小公倍数为222,这三个数为37,111,222. 例14 有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发,三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟.假设这三辆公交车中途不休息,请问它们下次同时到达公交总站将会是几点?解：402550、、的最小公倍数是200,也就是说,经过200分钟后,这三辆车再次相遇同时达到终点.也就是经过3小时20分之后,到达三车再次相遇, 8点整,经过3小时2分之后,是11点20分.例15 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个；如果每次取5个或7个,最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个?解：2+[5,7]1⨯(个) 例16 已知a 与b ,a 与c 的最大公因数分别是12和15, ,,a b c 的最小公倍数是120，求a ，b ，c 。

1.6 公倍数与最小公倍数(2)

1.6 公倍数与最小公倍数（2）
基本训练
一、填空题
1．20以内的正整数中，3的倍数有.
2．50以内的正整数中，3和5的公倍数有.
3．3和5的最大公因数是，最小公倍数是.
4．5和15的最大公因数是，最小公倍数是.
5．10和25的最大公因数是，最小公倍数是.
二、简答题
6、求下列每组数最大公因数和最小公倍数.
（1）15和65 （2）24和30
7、6年级1班大约有50人左右，排座位时老师发现刚好可以排成6排或8排，求6年级1班的学生人数.
提高训练
五、简答题
8、某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数有多少个？求最小的一个.。

1.6 公倍数与最小公倍数课件

所以12分钟后地铁1号线和3号线再次同时发车。
1.6 公倍数与最小公倍数
几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
例1：求18和30的最小公倍数。
方法1：列举法
解：
18的倍数有18，36，54，72，90，… 30的倍数有 30，60，90，120，150，… 所以18和30的最小公倍数是90.
知识回顾
1、18和6的最大公因数是____6____
9和10的最大公因数是____1____
24和32的最大公因数是___8_____
2、写出2的倍数_2__、_4__、_6__、_8__、_1__0_、__1_2_…__
（至少写出6个）
写出3的倍数_3__、_6__、_9__、_1__2_、__1_5_、__2_4__…
30和45的最大公因数是 3×5＝90 30和45的最小公倍数是 3×5×2×3＝9__
思考
在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，地铁3号
线每隔4分钟发车。如果地铁1号线和3号线早上6:00同
时发车后，那么至少再过多少时间它们又同时发车？
1号线发车间隔时间
3号线发车间隔时间
3的倍数
4的倍数
这个问题可以转化为: 求3和4的最小的公有倍数
例1：求18和30的最小公倍数。
方法2：分解素因数法
解：18 ＝ 2 × 3 × 3 30 ＝ 2 × 3 × 5
所以18和30的最小公倍数是 2 ×3×3×5 ＝90
最小公倍数＝所有公有素因数的积× 各自剩余的素因数
例1：求18和30的最小公倍数。
方法3：短除法
解： 2 18 30 3 9 15 35
3的倍数有： 3，6，9，12，15，18，21，24，27，… 4的倍数有： 4，8，12，16，20，24，28，32，…

1到6的最小公倍数

1到6的最小公倍数
1到6的最小公倍数可以通过多种方法来计算，以下是其中一些常见的方法：
- 倍数法：如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大数。

例如，12和24的最小公倍数是24。

- 互质法：如果两个数只有公因数1时，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。

例如，3和7的最小公倍数是21。

- 列举法：把两个数的公倍数分别列举出来，然后找出它们的最小公倍数。

例如，6和9的最小公倍数是18。

- 翻倍法：从前面的列举法可以看出，两个数的最小公倍数分别是较大数和较小数的倍数，把较大数进行翻倍（如：扩大到原来的2倍、3倍等），直到找到最小公倍数为止。

例如，求18和24的最小公倍数，可以将24翻倍为48，然后发现48是18的倍数，所以18和24的最小公倍数是48。

- 短除法：用两个数的公因数去除这两个数，一直除到最后两个商只有公因数1为止，再把除数和商连乘起来，就是它们的最小公倍数。

例如，求18和24的最小公倍数，可以用2去除18和24，然后将6和9相乘得54，因此，18和24的最小公倍数是54。

不同的方法适用于不同的情况，你可以根据具体情况选择合适的方法来计算1到6的最小公倍数。

1.6公倍数和最小公倍数

18 和 30 的最小公倍数是 2 ×3 ×3 × 5＝90 公有素因数各自剩余的素因数
最小公倍数＝所有公有素因数 × 各自剩余的素因数乘积
练习1:用适当的方法求以下各组数的最小公倍数（1）求24和36的最小公倍数. （2）求75和45的最小公倍数. （3）求48和64的最小公倍数. （4）求9和11的最小公倍数.
公倍数:
几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数
最小公倍数:
几个整数的,最小的一个公倍数叫做它们的最小公倍数
求18和30的最小公倍数 18的倍数有 18, 36 ,54 , 72 , 90 ,…; 30的倍数有 30, 60 ,90 , 120 ,160 ,…. 所以18和30的最小公倍数是90.
（1）已知，A=2×3×3×3×5， B=2×2×3×3×5
A和B的最大公因数是多少 A和B的最小公倍数是多少
（2）已知，A=2×3×3×a B=2×2×3×a
已知A和B的最小公倍数为180，求a
求18和30的最小公倍数 ( 短除法 )
法二
2 18
30
39
15
35ຫໍສະໝຸດ ( 用公有的素因数2除 ) ( 用公有的素因数3除 ) ( 除到两个商互素为止)
求两个数的最小公倍数的方法
法一:
分解素因数法
法二:
短除法
求18和30的最小公倍数
( 分解素因数法 )
法一把 18 和 30 分解素因数.
18 ＝ 2 × 3 × 3 30 ＝ 2 × 3 × 5
所以 18 和 30 的最小公倍数是 2x3 x 3x5 ＝90
最小公倍数＝所有公有素因数 × 各自剩余的素因数乘积
（5）求16和32的最小公倍数.

1.6 最小公倍数

1.6 最小公倍数先看一个实际问题:排练团体操时,要使队伍排成10行,15行,18行,24行时,队形都成矩形,最少需要多少人参加排练?解决这个问题,需要寻找这些行数公有的倍数之最小者.下面我们讨论几个数公有的倍数及其最小者的定义、性质和求法.本届讨论问题的范围与上节相同,仍是整数集.一、最小公倍数的概念由2|48,3|48,6|48,知48是2,3,6公有的倍数,我们称之为2,3,6的一个公倍数. 一般地,设k a (1,2,k =…,n ),m 都是整数,如果k a |m ,那么m 叫做1a ,2a ,…,n a 的一个公倍数.例如, 6±,12±,24±,48±,…都是2,3,6三个数的公倍数.其中, 6是这些公倍数中最小的一个正整数,叫做2,3,6的最小公倍数,记作[]2,3,6=6.可见,几个数的公倍数有无穷多个,几个数的最小公倍数有且只有一个.定义1 设1a ,2a ,…,n a 是n (n ≥2)个整数.若d 是这n 个数的倍数,则d 就叫作这n 个数的一个公倍数.又在1a ,2a ,…,n a 的一切公倍数中的最小正数叫作最小公倍数,记作[1a ,2a ,…,n a ].由于任何正数都不是0的倍数,故讨论整数的最小公倍数时,一概假定这些整数都不是零.定理1 几个非零整数1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数惟一存在.证明：存在性显然, 1a 2a …n a 是1a ,2a ,…,n a 的一个公倍数,这说明1a ,2a ,…,n a 存在公倍数.根据最小数原理,其正的公倍数中必存在最小正整数,即存在最小公倍数.惟一性设12[,,a a …,]n a m =,12[,,a a …,]n a q =.若m <q ,则与12[,,a a …,]n a q =矛盾；若m >q ,则与12[,,a a …,]n a m =矛盾.故m q =,即1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数惟一存在.定理2 若1a ,2a ,…,n a 是几个非零整数,则1a ,2a ,…,n a 与12a a ⎪, ⎪,…n a , ⎪有相同的公倍数,且12[a a ,,…]n a ,=12a a [ ⎪, ⎪,…]n a , ⎪.(请读者自己证明)12[,,a a …,]n a [,](1)k k m q k n = ≤<.例如, [4,8,12][[4,8],12]48==,[2,4,9,8,27][[2,4,8][9,27]]216==.定理8 若(,)1(1,2,m h a m k k = =++…,)n ,则12[,,ha ha …1,,,k k ha a +…,]n a 12[,,h a a =…1,,,k k a a +…,]n a .证明：由(,)1(1,2,m h a m k k = =++…,)n ,知1(,k h a +…)1n a =,又因为1[,k a +…,]n a 1k a +|…n a ,所以(,h 1[,k a +…,]n a )1=.由定理5和定理6的推论3可知12[,,ha ha …1,,,k k ha a +…,]n a12[[,,ha ha =…,,],k ha 1[,k a +…,]n a ][h =12[,,a a …,]k a ,1[,k a +…,]n a ][h =12[,,a a …,]k a ,1[,k a +…,]n a ]12[,,h a a =…1,,,k k a a +…,]n a .例1 求[2,4,12,9,17,18].解：[2,4,12,9,17,18]2[1,2,6,9,17,9]=22[1,1,3,9,17,9]=⨯43[1,1,1,3,17,3]=⨯123[1,1,1,1,17,1]=⨯3617612=⨯=.例2 求证：[,,](,,)a b c ab ac bc abc =.特别地,若,,a b c 两两互质,则[,,]a b c abc =. 证明： [,,][[,],]a b c a b c =[,](,)([,],)([,],)ab c a b c a b a b c a b c == ((,)[,],(,))abc a b a b a b c =(,(,))(,,)abc abc ab ac bc ab ac bc ==. 特别地,若,,a b c 两两互质,即(,)1,(,)1,(,)1a b a c b c ===,那么(,)1ab c =,所以[,,][[,],]a b c a b c =[,]ab c abc ==.三、最小公倍数的求法根据最小公倍数的定义和性质,对照最大公约数的求法,可以得到几种求最小公倍数的方法.1.分解质因数由于几个数的最小公倍数首先是这几个数的一个公倍数,又是这几个数的任意公倍数的约数,所以我们可以按照下述步骤求几个数的最小公倍数：(1)写出各数的标准分解式；(2)写出各分解式中所有的质因数及其最高次数,并把得到的幂连乘起来.例3 求[2940,756,168].解：因为2229402357=⨯⨯⨯,233756237=⨯⨯,3168237=⨯⨯,所以[2940,756,168]332235752920=⨯⨯⨯=.2.提取公因数法根据定理5和定理8,求几个数的最小公倍数可以用提取公因数的方法,步骤如下：(1)先提取这几个数的最大公约数(此时所得商互质但不一定两两互质)；(2)在不互质的商中提取公约数,其他商照写下来,直到各商两两互质为止；(3)把提取的各数及各商数连乘起来.例4 求[162,216,378,108].解：[162,216,378,108]2[81,108,189,54]=29[9,12,21,6]=⨯183[3,4,7,2]=⨯542[3,2,7,1]=⨯1083271=⨯⨯⨯⨯4536=.这一过程通常简写成下面的形式,叫做短除式.2162216378108981108189543912216234723271因为3,2,7,1两两互质,所以[162,216,378,108]293232714536=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=. 3.先求最大公约数法根据定理6,通过[,](,)a b a b ab =,先求(,)a b ,再求[,]a b .这种方法一般用于求公因数不明显的两个数的最小公倍数.例5 求[24871,3468] .解：由辗转相除法,可得(24871,3468)17 =,从而[24871,3468]248713468175073684 = ⨯ ÷=. 例6 一个老汉去赶集,一根扁担两筐梨,小伙驾车行路急,撞上老汉撒了梨,小伙下车忙扶起,大爷别急我赔你,老汉起身开言道,小伙你要听仔细：两个两个剩一个,三个三个剩两个,四个四个剩三个,五个五个剩四个,六个六个剩五个,要是七个七个数,刚好数不差分离,各位看官悉心算,老汉筐中多少梨?解：两个两个数剩一个,则说明梨的总数除以二余数为一,同理除以三余二、除以四余三、除以五余四、除以六余五,如果将余数都加一则刚好除尽,即梨的总数加一是23456、、、、的倍数.[2,3,4,5,6]60=梨的总数加一可能为60,120,180……,而梨的总数刚好可以除以七，所以梨的总数为119.例7 大帅共有多少个兵：民国时期,某大帅是一位非常迷信的土军阀.有一次,他要领兵出征,攻打另外的一个军阀.不到3000名士兵出发前要来一次检阅,他命令士兵每10人一排排好,谁知排到最后缺1人.他认为这样不吉利,就改为每排9人,可最后一排又缺了1人,改成8人一排,仍缺1人,7人一排缺1人,6人一排缺1人……直到两人一排还是凑不齐.该大帅非常沮丧,认为这都是自己时运不济,不宜出兵,于是只好收兵不再出战.这当然不是他的时运不济,也没有人恶作剧,只怪该大帅数学差,他的兵数正好排不成整排.你能猜出大帅共有多少个兵吗?解：要想每排士兵数一致,且最后刚好站齐,人数必须是每排人数的倍数,或是10的倍数或是9的倍数,如果是10,9,8,7,……,2的公倍数,那无论怎样排都没有问题.[10,9,……,2]2520=所以,大帅共有2519个兵.例8 N 为1,2,3,……,1995,1996,1997的最小公倍数.那么, N 等于多少个2与一个奇数的乘积?解：1到1997中, 1010242=,它所含的2的因数最多,所以最小公倍数中2的因数为10个,所以等于10个2与一个奇数的乘积.例9 从自然数列1,2,3,……,中依次划去3的倍数和4的倍数,保留5的倍数(例如15,20等不能划去),将剩下的数依次写成数列12341,2,5,7,A A A A ====……，求2004A .解：因为[3,4,5]60=,把自然数列从1开始分成每连续60个正整数为一组,这样,在第1n +组排在第m 个位置上的数为60n m +(n 为自然数, m 为正整数).在每组中, 3的倍数有60320÷=(个), 4的倍数有60415÷=(个), 5的倍数有60512÷=(个), 12的倍数有60125÷=(个), 15的倍数有60154÷=(个), 20的倍数有60203÷=(个), 60的倍数有1(个).所以每组按要求划去各数后剩下602015543136--++=-=(个)数.由于2004A 表示在新的数列中排在第2004个位置,由于20043655÷=……24,试验可知, 1~40中可以剩下24个数,所以说明2004A 在原数列排在第56组第40个位置,所以20046055403340A =⨯+=.例10 将长、宽、高分别为571,,361295分米的长方体分割为若干同样大小的正方体.这些正方体的棱长最大是多少？解：[6,9,12]36=.535210*********,,36636123699365=====.(210,21,112)7=. 所以,这些正方体的棱长最大是736. 例11 已知两个正整数a 与b 的差为120,他们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么,a b 中较大的是多少?解：设11,(,),,,a b a b d a a d b b d >===则120,[,]105.a b a b d -=⎧⎨=⎩得1111()120,105.a b d a b -=⎧⎨=⎩所以,最大的数为225.例12 把一个时钟改装成玩具钟,使得时针每转一圈,分针转16圈,秒针转36圈.开始时三针重合,问在时针旋转一周的过程中,三针重合了几次?(不计起点和终点的重合位置)解：[16,36]144=,可将一圈分为144格,并设时针的速度为1,则分针速度为16,秒针速度为36.先分别研究分针、秒针与时针在何处重合,再讨论三针在何处重合.这时,需要求出一个分数,使它分别是14415和14435的整倍数. 所以，三针重合了4次.例13 三个互不相同的正整数之和为370,他们的最小公倍数最小能够是多少?并求出这三个数.解：设三数为,,a b c .要使[,,]a b c 尽可能小,就得使(,,)a b c 尽可能大.所以,最小公倍数为222,这三个数为37,111,222. 例14 有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发,三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟.假设这三辆公交车中途不休息,请问它们下次同时到达公交总站将会是几点?解：402550、、的最小公倍数是200,也就是说,经过200分钟后,这三辆车再次相遇同时达到终点.也就是经过3小时20分之后,到达三车再次相遇, 8点整,经过3小时2分之后,是11点20分.例15 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个；如果每次取5个或7个,最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个?解：2+[5,7]1⨯(个) 例16 已知a 与b ,a 与c 的最大公因数分别是12和15, ,,a b c 的最小公倍数是120，求a ，b ，c 。

1.6最小公倍数-应用题-C-1.docx

1.6最小公倍数-应用题-C-1一．选择题1.小路的一边从一端种树．每隔4米种一棵，需种37棵树，如果改成每隔6米种一棵，可有（）棵树不动．A．10B．12C．13D．14二．填空题2.如图，在相连的四个边长是48米的正方形边上每隔8米种一棵柳树，交错处都只种一棵，一共要种棵树．3.在公路一旁共种树苗55棵，每相邻两棵树苗的间距是50米，现在要把间距改成60米，可以有棵树苗不必移动．4.有一筐鸡蛋，当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩．已知筐里的鸡蛋不足400个，那么筐内原来共有个鸡蛋．四．解答题5.一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；6个6个数，最后多3个．这些贝壳至少有多少个？6.张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？7.有一箱苹果，每人分5个，多1个；每人分6个，多2个；每人分7个，多3个．这箱苹果最少有多少个？8.一个数除以2余1，除以3余1，除以4余1，除以5余1，除以6余1，这个数是多少？9.一批同样的机器零件，如果每盒装24个，那么多14个；如果每盒装30个，那么多20个．这批零件至少有多少个？10.孙岩家有一些鸡蛋，5个5个数余4个，6个6个数也余4个．已知这些鸡蛋在50﹣65个之间．他家有多少个鸡蛋？11.某班人数在40﹣50人，排队时，每排6人，结果多4人；每排8人，结果多6人．某班共有多少人？12.食堂买来100多棵大白菜后，平均装成3筐，5筐，7筐都正好装完，问最少有多少棵大白菜？13.张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？14.五年级同学站队时，站成5人一排或7人一排都还剩3人，五年级至少有多少人？15.有一筐梨，不论分给9个人，还是12个人，都差2个．这筐梨至少有多少个？。

1.6公倍数与最小公倍数

（4）一个数的倍数是______的，最小的倍数是______。
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看一看想一想
问题：
在上海南站,地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁
1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，
那么至少再过多少时间它们又同时发车？
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地铁1号线发车间隔时间 (分钟)
公倍数，最小公倍数的概念
几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
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做一做：
例题1：求18和30的最小公倍数。
解法1：（列举法） 18的倍数有18，36，54，72，90，…； 30的倍数有 30，60，90，120，160，…；所以18和30的最小公倍数是90.
最小公倍数＝所有公有素因数之积 × 各自剩余的素因数
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练一练
1．求36和84的最小公倍数
∴ 36和84的最小公倍数是2×2×3×3×7=252
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练一练
2．求30和45的最大公因数和最小公倍数
30和45的最大公因数是3×5=15 30和45的最小公倍数3×3×2×5=90
结束
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∴ 18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90.
第9页，共18页。
做一做：
解法3：短除法
∴ 18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90。
第10页，共18页。
归纳：
归纳总结：
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这两个数的最小公倍数。
3的倍数
地铁3号线发车间隔时间 (分钟)

(完整版)最小公倍数和最大公因数的应用题归纳

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。

最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。

补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。

最小公倍数练习题集合

最小公倍数练习题集合最小公倍数是指同时能整除两个或多个数的最小正整数。

在数学中，求最小公倍数是一个重要的概念，我们可以通过练题来巩固这方面的知识。

下面是一些最小公倍数练题，希望能帮助你加深对最小公倍数的理解和运用。

练题 1计算以下两个数的最小公倍数：- 数字 A: 6- 数字 B: 8解答首先，我们可以列出数字 A 和数字 B 的倍数，然后找出它们的公共倍数，即可得到最小公倍数。

对于数字 A 和数字 B，其倍数分别为：- 数字 A 的倍数：6, 12, 18, 24, ...- 数字 B 的倍数：8, 16, 24, 32, ...可以看到，数字 A 和数字 B 的公共倍数中，最小的是 24。

因此，24 就是数字 A 和数字 B 的最小公倍数。

答案：24练题 2计算以下三个数的最小公倍数：- 数字 A: 9- 数字 B: 12- 数字 C: 15解答同样地，我们列出数字 A、数字 B 和数字 C 的倍数，然后找出它们的公共倍数。

对于数字 A、数字 B 和数字 C，其倍数分别为：- 数字 A 的倍数：9, 18, 27, 36, ...- 数字 B 的倍数：12, 24, 36, 48, ...- 数字 C 的倍数：15, 30, 45, 60, ...可以看到，数字 A、数字 B 和数字 C 的公共倍数中，最小的是 36。

因此，36 就是数字 A、数字 B 和数字 C 的最小公倍数。

答案：36练题 3计算以下四个数的最小公倍数：- 数字 A: 4- 数字 B: 5- 数字 C: 6- 数字 D: 8解答同样地，我们列出数字A、数字B、数字C 和数字D 的倍数，然后找出它们的公共倍数。

对于数字 A、数字 B、数字 C 和数字 D，其倍数分别为：- 数字 A 的倍数：4, 8, 12, 16, 20, ...- 数字 B 的倍数：5, 10, 15, 20, 25, ...- 数字 C 的倍数：6, 12, 18, 24, 30, ...- 数字 D 的倍数：8, 16, 24, ...可以看到，数字A、数字B、数字C 和数字D 的公共倍数中，最小的是 24。

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1.6 公倍数与最小公倍数

《1.6公倍数与最小公倍数》作业设计方案-初中数学沪教版上海六年级第一学期

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初等数论1.6(最小公倍数)

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1到6的最小公倍数

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