2019届高考理科数学一轮复习课时提升作业：第2章 2.3《函数的奇偶性与周期性》(含答案)

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高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性课时作业理

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72 C.12 D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )．A ．－x ＋1B ．－x －1C ．x ＋1D ．x －13．(2013届湖南师大附中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g x ，x <0，且函数f (x )为偶函数，则g (－2)＝( )．A ．6B ．－6C ．2D ．－2 4．定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2(2)2xx ⊕⊗-为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 013)＋f (－2 014)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．26．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数7．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题8．(2013届湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )是奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19的值为__________． 9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________．三、解答题11．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：f (12log 6) ＝－f (12log 6-)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)＝－(2log 622-－2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2 ＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．A 解析：g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数． 5．C 解析：依题意得，x ≥0时，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.6．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．①由y ＝f (x －1)为奇函数知f (x －1)＝－f (－x －1)．②由①得f (－x )＝－f (2＋x )；由②得f (－x )＝－f (x －2)，∴f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)．∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)，∴函数f (x ＋3)是奇函数．7．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题8．2 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－log 319＝2. 9.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.10．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )关于直线x ＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题11．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)，故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立，∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数，故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)，同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1.∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．12．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )， ∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

(江苏专版)2019年高考数学一轮复习专题2.3 函数奇偶性与周期(讲)

专题2.3 函数奇偶性与周期【考纲解读】【直击教材】1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.【答案】－22．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________. 【答案】－13．定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________．【答案】4【知识清单】1 函数奇偶性的判断2 函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．3.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【考点深度剖析】函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】判断函数f(x)＝1－x2＋x2－1的奇偶性；【答案】f(x)既是奇函数又是偶函数．【解析】解：∵由221010xx⎧-≥⎨-≤⎩得x＝±1∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．【1-2】判断函数f(x)＝4－x2|x＋3|－3的奇偶性；【答案】f(x)是奇函数．【解析】∵由240|3|30xx⎧-≥⎨+-≠⎩得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．【1-3】判断函数f (x )＝22,0,0x x x x x x ⎧+>⎨-<⎩的奇偶性；【答案】f (x )是偶函数．【1-4】判断函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的奇偶性；【答案】f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为3{}2，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【思想方法】1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件考点2 函数奇偶性的应用【2-1】已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 【答案】－1.【解析】(1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.【2-2】设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()()0f x f x x+->的解集为________.\【答案】 (－∞，－2)∪(0,2)．【2-3】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝2x，则f (2 014)－f (2 013)的值为_______. 【答案】14【解析】由题可知函数的周期为4，故f (2 014)－f (2 013)＝f (2)－f (1)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－14，f (1)＝－f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (2 014)－f (2 013)＝－14＋12＝14.【2-4】已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.【答案】-1【解析】由已知必有m2－m ＝3＋m ，即m2－2m －3＝0，∴m ＝3，或m ＝－1；当m ＝3时，函数即f(x)＝x －1，而x ∈[－6,6]，∴f(x)在x ＝0处无意义，故舍去；当m ＝－1时，函数即f(x)＝x3，此时x ∈[－2,2]，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1. 【思想方法】①若函数f (x )为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数f (x )为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．考点二函数的周期性设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．[即时应用]1．若f(x)是R上周期为 5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________. 【解析】由f(x)是R上周期为5的奇函数，知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(3)－f(4)＝－1.【答案】－12．已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为________．【答案】1 345【解析】因为f (x ＋2)＝－1f x，考点三函数性质的综合应用角度一：奇偶性的应用1．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x，则当x >0时，f (x )＝________. 【答案】－2－x【解析】x >0时，－x <0，因为x <0时，f (x )＝2x ，所以当x >0时，f (－x )＝2－x.因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x. 角度二：单调性与奇偶性结合2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 角度三：周期性与奇偶性结合3．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－1,4)【解析】因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1，化简得(a －4)(a ＋1)<0，解得－1<a <4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________．【答案】f (0)<f (－6.5)<f (－1)[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． [演练冲关]1．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 【答案】－2【解析】因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 018)＝________.【答案】0【解析】设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值．【易错试题常警惕】1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．4.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式. 解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1). 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.。

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件理

答案 A 若x1+x2=0,则x1=-x2, f(x1)=f(-x2)=-f(x2),从而f(x1)+f(x2)=0,故充分性成立; 若f(x)=0,则x1=1,x2=2时, f(x1)+f(x2)=0,但x1+x2≠0,故必要性不成立,所以 “x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分而不必要条件.
=f 2

1 2
=f 12
,f 92 =f 4
1 2
=f
1 2

,
又∵f 52 =f 92 ,
∴f 12
=f 12
,即- 1 +a= 1 ,解得a= 3,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+ 3=- 2.
1-2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)= 1 ,当2≤x≤3
5
f (x)
时, f(x)=x,则f(105.5)= 2 .
答案 5
2
解析由f(x+2)= 1得,
f (x)
f(x+4)=f[(x+2)+2]= =1 f (x 2)
1
=f(1x),
f (x)
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有关于④ 原点对称 ③ f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)是奇函数
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤ 相同 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑥ 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是⑦ 奇函数 ,两个奇函数的积是⑧ 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是⑨ 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩ 奇函数 . (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.

2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：第2章函数、导数及其应用第3节函

第三节函数的奇偶性、周期性与对称性[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第13页)[基础知识填充]1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反．即f (－x )＝－f (x )，反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数一定是奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f (x )中，f (x )＝f (－x )，反之，满足f (－x )＝f (x )的函数一定是偶函数．2．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)． (2)在公共定义域内①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f (x )是奇函数且x ＝0处有定义，则f (0)＝0.3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．4．函数的对称性常见的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )；函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b .特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；函数y ＝f (x )关于(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)． [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－xD [D 中，f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．]4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2B [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.]5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.](对应学生用书第14页)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； (3)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． [规律方法] 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法(2)图像法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [跟踪训练] (1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝xC ．y ＝2|x |D ．y ＝|lg x |(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(1)C (2)C [(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B ，D ；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A ；y ＝2|x |是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C 正确，故选C.(2)A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](1)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.【导学号：79140031】(2)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为________．(1)－2 (2)1 347 [(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.(2)∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1f x ＋2＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f 1＝－1， f (4)＝－1f 2 ＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＋f (504×4＋3) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3－1＝1 347.]f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.1 [由函数f (x )是周期为2的奇函数，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.]◎角度1 单调性与奇偶性结合(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]◎角度2 奇偶性与周期性结合(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]◎角度3 单调性、奇偶性与周期性结合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)(2)已知定义在实数上的偶函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，当x∈[0,2]时，y＝f(x)递减，下列四个命题中正确命题的序号是________．①f(2)＝0；②x＝－4是y＝f(x)图像的一条对称轴；③y＝f(x)在[8,10]单增；④f(x)是周期函数；⑤若方程f(x)＝m在[－6，－2]上有两根x1，x2，则x1＋x2＝－8.(1)D(2)①②④⑤[(1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．(2)令x＝－2得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(2)＝0，故f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，y轴是f(x)的对称轴，故x＝－4是y＝f(x)的一条对称轴，由函数的对称性和周期可判断y＝f(x)在[8,10]上单调递增，因[－6，－2]为f(x)的一个周期，x＝－4为f(x)在[－6，－2]上的对称轴，故x1＋x2＝－8，因此①②④⑤正确，③错误．][跟踪训练] (1)(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 2 5，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)(2018·青岛质检)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 017)＝________.【导学号：79140032】A ．0B ．1C ．－1D ．－2(3)偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. (1)C (2)B (3)3 [(1)∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c . 故选C.(2)由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 017)＝f (1)＝1，故选B.(3)∵函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (3)＝f (1)＝3，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)＝3.]。

2019届高考数学一轮复习第二篇函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性训练理新人教版

第3节函数的奇偶性与周期性知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,4函数周期性的应用3,9函数奇偶性的应用2,5,6,7,8,10,12 函数基本性质的综合应用11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·北京顺义区二模)下列函数中为奇函数的是( D )(A)y=x2+2x (B)y=ln|x|(C)y=()x (D)y=xcos x2.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1),又当x>0时,f(x)=x2+,所以f(1)=12+1=2,所以f(-1)=-2.故选A.3.(2017·浙江台州一模)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)等于( B )(A)-2 017 (B) 0 (C)1 (D)2 017解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(1)=f(-1),所以-f(1)=f(-1)=f(1),所以f(1)=f(-1)=0,所以f(2 017)=f(1)=0.故选B.4.(2017·广东深圳一模)已知f(x)=,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( D )(A)h1(x)=f(x)+g(x)是偶函数(B)h2(x)=f(x)·g(x)是奇函数(C)h3(x)=是偶函数(D)h4(x)=是奇函数解析:f(x)=,g(x)=|x-2|,A.h1(x)=f(x)+g(x)=+|x-2|=+2-x,x∈[-2,2].h1(-x)=+2+x,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数.B.h2(x)=f(x)·g(x)=|x-2|=(2-x),x∈[-2,2].h2(-x)=(2+x),不满足奇偶性的定义.C.h3(x)==,x∈[-2,2),不满足函数的奇偶性定义.D.h4(x)==,x∈[-2,0)∪(0,2],函数是奇函数.故选D.5.(2017·湖南郴州二模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),且f(lo4)=-3,则a的值为( A )(A)(B)3 (C)9 (D)解析:因为奇函数f(x)满足f(lo4)=-3,lo4=-2<0,所以f(2)=3,又因为当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(2)=a2=3,解之得a=±(舍负).故选A.6.导学号 38486027(2017·山东济宁二模)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln,b=(ln π)2,c=ln,则( C )(A)f(a)>f(b)>f(c) (B)f(b)>f(a)>f(c)(C)f(c)>f(a)>f(b) (D)f(c)>f(b)>f(a)解析:由已知条件知f(x)在(0,+∞)上是减函数;且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|);|a|=ln π>1,b=(ln π)2>|a|,c=∈(0,|a|),所以f(c)>f(a)>f(b).故选C.7.已知f(x)=lg(+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( B )(A)(-∞,0) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:由f(x)+f(-x)=0,即lg(+a)+lg(+a)=0可得a=-1,所以f(x)=lg.解0<<1可得-1<x<0.故选B.8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=.解析:令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(+1),即x<0时,f(x)=-(+1)=--1.答案:--19.若偶函数y=f(x)为R上周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于.解析:因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1-a)x-a,所以1-a=0,所以a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.答案:-1能力提升(时间:15分钟)10.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( A )(A) (B)2 (C) (D)解析:设x>0,则-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)+2]=-x2+3x-2.所以在[1,3]上,当x=时,f(x)max=;当x=3时,f(x)min=-2.所以m≥且n≤-2.故m-n≥.故选A.导学号38486028(2017·宁夏中卫一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(-1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(2 017)的值为( C )(A)1 (B)0 (C)-2 (D)2解析:因为f(2-x)=f(x),所以f[2-(2+x)]=f(2+x),即f(-x)=f(2+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4.因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(-1)=2,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)=504·[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2 017)=504×(-2+0+2+0)+f(1)=0+(-2)=-2.故选C.12.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .解析:由题意知,f(x)的定义域为R,因为f(x)是偶函数,所以f (-1)=f(1),从而有ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a,解得a=-.答案:-13.导学号 38486029已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .解析:因为f(x)为奇函数并且f(x-4)=-f(x).所以f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(4-x)=f(x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.因为f(x)在[0,2]上是增函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上为减函数,据此可画出y=f(x)的示意图.其图象也关于x=-6对称,所以x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-8.答案:-814.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f(+x)=-f(-x)成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值;(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.解:(1)由f(+x)=-f(-x),且f(-x)=-f(x),-f(-x)=f(x-)=f(+x),所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数, 所以a=0.。

2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2.3《函数的奇偶性与周期性》(含解析)

2.3函数的奇偶性与周期性考情分析1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．基础知识1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意事项1.。

奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2.。

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3.。

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．4.。

(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．[:(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1或f(x＋a)＝－1，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.典型例题题型一判断函数的奇偶性【例1】下列函数：①f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f(x)＝x 3－x ；③f(x)＝ln(x ＋x 2＋1)；④f(x)＝3x －3－x 2；⑤f(x)＝lg 1－x 1＋x .其中奇函数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ①f(x)＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x 2＋x 2－1是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x 3－x 的定义域为R ，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x 3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x 3－x 是奇函数；③由x ＋x 2＋1>x ＋|x|≥0知f(x)＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f(－x)＝ln(－x ＋－2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； ④f(x)＝3x －3－x2的定义域为R ，又f(－x)＝3－x －3x 2＝－3x －3－x 2＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x<1，f(x)＝ln 1－x 1＋x 的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f(x)，则f(x)为奇函数．答案 D【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3； (2)f(x)＝x 2－|x －a|＋2.解 (1)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0<x≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f(x)＝4－x 2x.[: f(－x)＝4－－2－x ＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝x 2－|x|＋2，f(－x)＝x 2－|－x|＋2＝x 2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a 2＋2，f(－a)＝a 2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．题型二函数奇偶性的应用【例2】已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.(1)解法一 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)．故f(x)是偶函数．法二 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝32，f(－1)＝32，∴f(x)不是奇函数． ∵f(x)－f(－x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2x 1－2x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2x －1＋1＝x(－1＋1)＝0， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，所以f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.【变式2】已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.题型三函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x －1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．[:(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．[:∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.【变式3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C重难点突破【例4】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．[解析 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4 (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．巩固提高1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.12解析因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A. 答案 A2． f(x)＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝1－x －(－x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案 C[:数理化]3．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x)＋|g(x)|是偶函数B ．f(x)－|g(x)|是奇函数C ．|f(x) |＋g(x)是偶函数D ．|f(x)|－g(x)是奇函数解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案 A4．对于函数f(x)＝asin x ＋bx ＋c(其中，a ，b ∈R ，c ∈Z)，选取a ，b ，c 的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2解析 ∵f(1)＝asin 1＋b ＋c ，f(－1)＝－asin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f(1)＋f(－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D.答案 D5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析法一∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.答案0。

2019届高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本文

第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )A.y=x-1B.y=ln x2C.y=D.y=-x22.已知函数f(x)=3x-,则f(x)( )A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数3.设f(x)是定义在R上周期为3的函数,当x∈[-2,1)时, f(x)=则f=( )A.0B.1C.D.-14.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( )A. B.C. D.5.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( )A.2B.1C.-1D.-26.若函数f(x)=ln(ax+)是奇函数,则a的值为.7.函数f(x)在R上为奇函数,且当x>0时, f(x)=+1,则当x<0时, f(x)=.8.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是.9.(2018贵州贵阳质检)设f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=.(1)求当x<0时, f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)<-.10.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.B组提升题组1.若f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时, f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[1,3]上的解集为( )A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)2.(2017四川成都第二次诊断检测)已知函数f(x)的定义域为R,当x∈[-2,2]时, f(x)单调递减,且函数f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(π)<f(3)<f()B.f(π)<f()<f(3)C.f()<f(3)<f(π)D.f()<f(π)<f(3)3.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.4.函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对任意x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)如果f(4)=1, f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.D 由函数的奇偶性排除A、C,由函数的单调性排除B,由y=-x2的图象可知,当x>0时,此函数为减函数,又该函数为偶函数,故选D.2.B 本题考查函数的奇偶性、单调性.易知函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),∴f(x)为奇函数,又∵y=3x在R上为增函数,y=-在R上为增函数,∴f(x)=3x-在R上是增函数.故选B.3.D 因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f=f=f=4×-2=-1,故选D.4.A 由f(x)是偶函数知f(x)=f(|x|),则f(2x-1)<f⇔f(|2x-1|)<f,结合f(x)在[0,+∞)上单调递增得|2x-1|<,解这个不等式即得x的取值范围是.故选A.5.A 设g(x)=f(x+1),∵f(x+1)为偶函数,∴g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),∵f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x), f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2,∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.6.答案±1解析∵f(x)=ln(ax+)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,即ln(-ax+)+ln(ax+)=0恒成立,所以ln[(1-a2)x2+1]=0, 即(1-a2)x2=0恒成立,∴1-a2=0,即a=±1.7.答案--1解析因为f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)=+1,所以当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(+1),即当x<0时, f(x)=-(+1)=--1.8.答案f(1)>g(0)>g(-1)解析在f(x)-g(x)=中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.联立得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1).9.解析(1)f(x)是奇函数,当x<0时,-x>0,此时f(x)=-f(-x)=-=.(2)f(x)<-,当x>0时,<-,所以<-,所以>,所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2);当x<0时,<-,所以>-,所以3-x>32,所以x<-2,所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).10.解析(1)设x<0,则-x>0,所以f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].B组提升题组1.C f(x)的图象如图.当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈⌀;当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).2.C 因为函数f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又当x∈[-2,2]时, f(x)单调递减,所以当x∈[2,6]时, f(x)单调递增, f()=f(4-),因为2<4-<3<π,所以f()<f(3)<f(π).3.解析(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时, f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4≤x≤4时, f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,。

2019版高考数学理培优增分一轮全国经典版培优讲义：第2章第3讲函数的奇偶性与周期性含答案精品

第3讲函数的奇偶性与周期性板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1函数的奇偶性考点2函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[必会结论]1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(3)函数y＝1－x＋x－1既是奇函数又是偶函数．()(4)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2018)＝2018.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．[2017·北京高考]已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A. 3．[课本改编]如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )答案 B解析设g (x )＝xf (x )．因为f (－x )＝－f (x )，所以g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，所以g (－x )＝g (x )，所以B 正确．4．[课本改编]若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.答案 13 0解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为偶函数，所以二次函数的对称轴－b2a ＝0，易得b ＝0.5．[2016·四川高考]若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )的周期为2，∴f (2)＝0，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 6．[2018·沈阳模拟]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)．板块二典例探究·考向突破考向函数奇偶性的判断例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]；(2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0. 解 (1)由于f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f (x )是非奇非偶函数．(2)定义域是R ，关于原点对称，且f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．触类旁通判断函数奇偶性的必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 解 (1)定义域为{x |x ＝±1}，化简得f (x )＝0，故f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )＝4－x 2x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f(x)为奇函数．考向函数奇偶性的应用命题角度1 利用奇偶性求函数值例 2 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10答案 A解析解法一：令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数，从而g (－2)＝－g (2)，又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18，∴g (2)＝－g (－2)＝－18.∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8， ①f (2)＝25＋a ·23＋b ·2－8， ② ①＋②得f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10，∴f (2)＝－26.命题角度2 利用奇偶性求参数值例 3 [2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.答案 1解析解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．命题角度3 利用奇偶性求解析式例 4 f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．解当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1.因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎝ ⎛ －2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0. 命题角度4 利用奇偶性的图象特征解不等式例 5 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.触类旁通应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．考向函数奇偶性与周期性的综合问题例6(1)[2017·山东高考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案 6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.(2)奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值为________．答案－1解析函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.触类旁通奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【变式训练2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝_______. 答案 2.5解析由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为4. ∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.核心规律1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)．满分策略1.函数具有奇偶性的一个必要条件是函数定义域关于原点对称，因此判断函数的奇偶性不可忽视函数定义域．2.函数f (x )是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0，使f (－x 0)＝－f (x 0)．同样偶函数也是如此．3.判断分段函数奇偶性时，要以整体观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇(偶)函数，而否定函数在整个定义域上的奇偶性.板块三启智培优·破译高考题型技法系列3——利用函数的奇偶性解抽象不等式 [2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．解题视点由已知可得出f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)，利用单调性将f (2|a －1|)>f (2)转化为2|a －1|<2，解该不等式即可．解析 ∵f (x )是偶函数且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)， ∴原不等式可化为f (2|a －1|)>f (2)．故有2|a －1|<2，即|a －1|<12，解得12<a <32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答题启示解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.跟踪训练[2018·贵阳适应性监测]若f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3－8，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |－2<x <0或x >2}B ．{x |0<x <2或x >4}C．{x|x<0或2<x<4}D．{x|x<－2或x>2}答案 B解析当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当－2<x－2<0或x－2>2，即0<x<2或x>4时，有f(x－2)>0.故选B.板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．[2018·合肥质检]下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |答案 B解析因为y ＝x 3是奇函数，y ＝|x |＋1，y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x |均为偶函数，所以A 错误；又因为y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在(0，＋∞)上均为减函数，只有y ＝|x |＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C ，D 两项错误，只有B 正确．2．[2018·南宁模拟]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|g (x )是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 B解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数．故选B.3．[2017·齐鲁名校模拟]已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案 A解析因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，43 答案 B解析因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，则－53<2x －1<53，解得－13<x <43.5．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )答案 B解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．6．[2018·贵阳模拟]已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2 答案 B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.7．[2018·德州模拟]设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 答案 A解析由f (x )＋f (－x )x >0，可得2f (x )x >0，即f (x )x >0，当x <0时，f (x )<0，即f (x )<f (－1)，解得－1<x <0；当x >0时，f (x )>0，即f (x )>f (1)，解得x >1.故不等式f (x )＋f (－x )x>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 8．[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.答案 12解析解法一：令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.解法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 9．[2017·豫东十校联考]若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.答案 12解析依题意得f (1)＋f (－1)＝0，由此得121－1＋a ＋12－1－1＋a ＝0，解得a ＝12.10．[2018·衡水模拟]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案－1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.[B 级知能提升]1．[2018·金版创新]已知函数f (x )是定义在R 上的函数，若函数f (x ＋2016)为偶函数，且f (x )对任意x 1，x 2∈[2016，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (2019)<f (2014)<f (2017)B ．f (2017)<f (2014)<f (2019)C ．f (2014)<f (2017)<f (2019)D ．f (2019)<f (2017)<f (2014) 答案 A解析因为f (x )对任意x 1，x 2∈[2016，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，所以f (x )在[2016，＋∞)上单调递减，所以f (2017)>f (2018)>f (2019)．又因为f (x ＋2016)为偶函数，所以f (－x ＋2016)＝f (x ＋2016)，所以f (－2＋2016)＝f (2＋2016)，即f (2014)＝f (2018)，所以f (2017)>f (2014)>f (2019)．故选A.2．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )答案 D解析由f (x )＋g (x )＝e x ，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x .又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x ，则两式相减，可得g (x )＝e x－e－x 2.选D.3．[2018·苏州模拟]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，则f (119)＝________.答案 1解析 ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴周期T ＝4，f (119)＝f (3)．令x ＝－1，f (1)f (－1)＝1，∴f (1)＝1，f (3)＝1f (1)＝1.4．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，解得－2<m <1.②综合①②可知－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)．5．[2018·大同检测]函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。

2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第2章第3节

第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性已知y ＝f (x )，x ∈A ，则f (x )奇偶性定义见下表：2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．提醒：(1)函数奇偶性的重要结论①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．④奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．⑤在公共定义域内，有下列结论成立“奇函数±奇函数＝奇函数”，“偶函数±偶函数＝偶函数”；“奇函数×奇函数＝偶函数”，“偶函数×偶函数＝偶函数”，“奇函数×偶函数＝奇函数”．(2)函数周期性的重要结论①周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝1f(x)，f(x＋a)＝－1f(x)(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．②对称性与周期的关系：a．若函数f(x)的图像关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a －b|是它的一个周期．b．若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．c．若函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√2．(教材习题改编)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在R上的奇函数，则系数a，b，c需满足()A ．a ＝0B ．c ＝0C ．a ＝c ＝0D ．b ＝0解析：选C 当a ＝c ＝0时，f (x )＝bx ，有f (－x )＝－bx ＝－f (x )．3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13C ．12D ．－12解析：选B 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.4．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2x解析：选B 选项A ，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－x 2sin x ＝－f (x )，所以为奇函数；选项B ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，所以为偶函数；选项C ，f (－x )＝|ln(－x )|，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，所以非奇非偶函数；选项D 非奇非偶函数．判断函数的奇偶性 [明技法]判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断； (2)图像法：即利用奇、偶函数的对称性来判断；(3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断． [提能力]【典例】 (1)(2018·肇庆模拟)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：(1)选D 由函数奇偶性的定义知D 项为偶函数．(2)选C f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C ．[刷好题]1．(金榜原创)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上递增的函数为( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|log 2x | C ．y ＝－x 2D ．y ＝|x |解析：选D y ＝x 3是奇函数；函数y ＝|log 2x |的定义域(0，＋∞)不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；y ＝－x 2在(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝|x |是偶函数，且在区间(0，＋∞)上递增，∴D 正确．2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝x 3＋3x －3－xC ．y ＝log 3xD ．y ＝e x解析：选B 选项A ，y ＝－1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B ，y ＝f (x )＝x 3＋3x －3－x 在其定义域R 上是增函数，又f (－x )＝－x 3＋3－x－3x ＝－ (x 3＋3x －3－x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )为奇函数；选项C ，y ＝log 3x 的定义域为(0，＋∞)，是增函数但不是奇函数；选项D ，y ＝e x 在其定义域R 上是增函数，但为非奇非偶函数．函数的周期性 [明技法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[提能力]【典例】定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．335B ．338C ．339D ．340解析：选C 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[母题变式]本例中若将条件“f(x)满足f(x＋6)＝f(x)”改为“f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)”，其他条件不变，则结果又是什么？解：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为6.∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，故在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[刷好题](2018·阜阳检测)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x －x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝__________.解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.答案：1 010函数性质的综合[析考情]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．[提能力]命题点1：已知函数的奇偶性求参数【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__________.解析：由题意得f(x)＝x ln(x＋a＋x2)＝f(－x)＝－x ln(a＋x2－x)，所以a＋x2＋x＝1，解得a＝1.a＋x2－x答案：1命题点2：利用函数的奇偶性求值【典例2】(2018·武汉联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )解析：选D ∵f (x )＋g (x )＝e x ，① ∴f (－x )＋g (－x )＝e －x ，又f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，所以f (x )－g (x )＝e －x ，②由①②可解得g (x )＝e x －e －x2.故选D.命题点3：利用函数性质解不等式【典例3】已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是__________.解析：∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2，当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)命题点4：函数单调性、奇偶性与周期性的综合【典例4】 (2018·烟台月考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)解析：选D ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )， ∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)． [悟技法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[刷好题]1．(2018·石家庄质检)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选A ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A ．2．(2018·哈尔滨质检)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选A 由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A ．3．(2018·承德模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C f (x )的图像如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．4．(2018·日照模拟)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝__________.解析：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0，即(1＋1)(1＋a )1＋(－1＋1)(－1＋a )－1＝0，∴a ＝－1. 答案：－1课时作业提升(六) 函数的奇偶性与周期性A 组夯实基础1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞， 0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求．2．(2018·江西三校联考)设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．x 3B ．cos xC ．1＋xD ．x e x解析：选B 由题意，只要g (－x )为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数；故选B.3．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选C ∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |，∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin (x ＋π)|＝lg|sin x |，∴函数f (x )的最小正周期为π.4．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．(2018·邯郸月考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选A 依题意，函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0，不等式f (lg x )＜0＝f (0)等价于lg x ＜0，故0＜x ＜1，故选A ．6．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D 令y ＝g (x )＝f (x )＋x ，∵f (2)＝1，∴g (2)＝f (2)＋2＝1＋2＝3，∵函数g (x )＝f (x )＋x 是偶函数，∴g (－2)＝3＝f (－2)＋(－2)，解得f (－2)＝5.故选D.7．(2018·大庆模拟)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数解析：选D 对任意非零整数k ，[x ＋k ]＝[x ]＋k ，所以f (x ＋k )＝x ＋k －[x ]－k ＝x －[x ]＝f (x )，任意非零整数均是函数f (x )的周期．故选D.8．(2018·本溪模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0g (x )，x ＜0，且函数f (x )为奇函数，则g (－2)＝__________.解析：∵函数f (x )为奇函数，∴f (－2)＝g (－2)＝－f (2)＝－(22＋2)＝－6. 答案：－69．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝__________.解析：∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15.答案：－1510．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是奇函数，则实数a 的值为__________.解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (x )＝h (－x )，解得a ＝1.答案：111．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．解：在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎨⎧f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝⎛⎭⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝xx 4＋x 2＋1.12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．B 组能力提升1．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )．若f (x )在[－1,0]上是减函数，则函数f (x )在[1,3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增解析：选D 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为2.又f (x )在[－1,0]上是减函数且f (x )是偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数，在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，故函数f (x )在[1,3]上先减后增．2．(2018·惠州模拟)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝3，则f (2 019)的值为( )A ．3B ．0C ．－3D ．±3解析：选A 因为g (－x )＝f (－x －1)，所以－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 019)＝f (3)＝3.3．(2018·江西模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＝cB ．b ＞a ＝cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A 依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c .4．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称， f (3)＝3，则f (－1)＝__________.解析：∵f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴f (4－x )＝f (x )，∴f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－1)＝f (1)＝3.答案：35．(2018·沧州一中月考)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.给出下列命题： ①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为__________.(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0；对②，由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；对③，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数；对④，f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．答案：①②④6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业2.3函数的奇偶性与周期性

课时分层作业六函数的奇偶性与周期性一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数f(x)=-x的图象关于( )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称【解析】选C.f(x)=-x是奇函数,所以图象关于原点对称.2.下列函数中,在其定义域内是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=2|x|C.f(x)=log2D.f(x)=sin x【解析】选 C.f(x)=x2和f(x)=2|x|是偶函数,但在(-∞,0)上单调递减,f(x)=sin x为奇函数,f(x)=log2是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增.【变式备选】下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=( )A.-3B.-C.D.3【解析】选A.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.【变式备选】已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)= ( )A.2B.-2C.-98D.98【解析】选B.因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期T=4,又f(x)在R上是奇函数,所以f(7)=f(-1)=-f(1)=-2.4.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=,若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数【解析】选A.由题意知f(x+2)==f(x),所以f(x)的周期为2,又函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(x)在[2,3]上是增函数.5.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为( )A.-B.C.D.-【解析】选B.设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-+,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.【一题多解】选B.当x>0时,f(x)=x2-x=-,最小值为-,因为函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.6.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=则f= ( )A.0B.1C.D.-1【解析】选 D.因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f=f=f=4×-2=-1.7.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.由于函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)为偶函数,则由f(2x-1)<f,得-<2x-1<,解得<x<.故x的取值范围是.【变式备选】已知f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x 的取值范围是 ( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.因为f(x)为奇函数,所以有f(0)=0,即f(0)=lg(2+a)=0,解得a=-1.所以函数为f(x)=lg.令>0,解得-1<x<1,所以f(x)的定义域为(-1,1).令f(x)<0.可得0<<1,解得-1<x<0,所以x的取值范围为(-1,0).二、填空题(每小题5分,共15分)8.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=__________.【解析】由偶函数的定义得f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,-3x=2ax,a=-.答案:-【一题多解】因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1),即ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a,即2a=ln=ln e-3=-3,所以a=-.答案:-9.(2018·长春模拟)已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=______________.【解析】根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.答案:10.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是______________.【解题指南】利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)解题.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|),故不等式f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>0.因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以|x-1|<2.即-2<x-1<2,解得-1<x<3.所以x的取值范围是(-1,3).答案:(-1,3)【一题多解】(优化解法):利用偶函数的对称性画出图形,借助图象的生动性和直观性来阐述数量之间的关系,可快速判断不等式的解集. 因为f(x)为偶函数,且f(2)=0,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-2<x-1<2时,有f(x-1)>0,所以x的取值范围是(-1,3).答案:(-1,3)【变式备选】定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f=0,则满足f(x)>0的x的集合为____________.【解析】由奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f=0,得函数y=f(x)在(-∞,0)上递增,且f=0,所以x>或-<x<0.答案:1.(5分)(2018·唐山模拟)已知函数f(x)=-x+log2+1,则f+f的值为 ( )A.2B.-2C.0D.2log2【解析】选A.由题意知,f(x)-1=-x+log2,f(-x)-1=x+log2=x-log2=-(f(x)-1),所以f(x)-1为奇函数,则f-1+f-1=0,所以f+f=2.2.(5分)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(lo3),c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系是 ( )A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c【解题指南】由f(x)是偶函数,则f(x)=f(|x|),单调性在对称轴两侧相反,通过比较自变量的绝对值的大小,可得对应函数值的大小. 【解析】选B.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),因为log47=log2>1,|lo3|=|log23-1|=log23,又因为2=log24>log23>log2>1,0.2-0.6==50.6>>=2,所以0.2-0.6>|log23|>|log47|>0.又因为f(x)在(-∞,0]上是增函数且为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数;所以f(0.2-0.6)<f(lo3)<f(log47),即c<b<a.3.(5分)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,若在区间[-2,0)∪(0,2]上,f(x)=则f(2 018)=__________.【解析】设0<x≤2,则-2≤-x<0,f(-x)=-ax+b.f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-ax+1=-ax+b,所以b=1.而f(-2)=f(-2+4)=f(2),所以-2a+1=2a-1,解得a=,所以f(2018)=f(2)=2×-1=0.答案:0【变式备选】函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为______________.【解析】因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=f(2 016)+f(2 016+2)=f(2 016)-f(2 016)=0, 所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.答案:44.(12分)(2018·郑州模拟)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△×=4.OAB=45.(13分)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3].。

2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课时作业

第三节函数的奇偶性与周期性课时作业 A 组——基础对点练1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x－e －x为奇函数，故选D. 答案：D2．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：A 选项，记f (x )＝x 2sin x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－x 2sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；B 选项，记f (x )＝x 2cos x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，故f (x )为偶函数；C 选项，函数y ＝|ln x |的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D 选项，记f (x )＝2－x，定义域为R ，f (－x )＝2－(－x )＝2x＝1f x，故f (x )为非奇非偶函数，选B.答案：B3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点．答案：D5．函数y ＝log 21＋x1－x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x 为奇函数，故选A.答案：A6．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为RD ．f (x )是周期函数解析：因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；因为f (x )在R 上单调递增，所以f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故选D. 答案：D7．定义运算a b ＝a 2－b 2，a b ＝a －b2，则f (x )＝2xx 2－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数解析：由定义得f (x )＝4－x2x －22－2.∵4－x 2≥0，且x －22－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]．∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x (x ∈[－2,0)∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：A8．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．答案：C9．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如图：选D. 答案：D10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x，则f (1)＋f (4)等于( ) A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32，选B.答案：B 11．若f (x )＝a 2x ＋1－22x＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为__________．解析：∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1.答案：112．(2018·安徽十校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 4 9)＝__________.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝＝－13.答案：－1313．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)B 组——能力提升练1．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：B2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f ()＞f (－2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(0，3) C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)， ∴f (2log 3a )＞f (2)．∵＞0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0＜＜2⇒log 3a ＜12⇒0＜a ＜3，故选B.答案：B3．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (8)＝f (0)＝0，∴f (8)＋f (9)＝1.答案：D4．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13C ．5D ．8解析：由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.故选C. 答案：C5．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A ．f (x )－1为奇函数 B ．f (x )－1为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．故选C. 答案：C6．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：法一：偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，进而转化为不等式|2x －1|＜13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.故选A.法二：设2x －1＝t ，若f (t )在[0，＋∞)上单调递增，则f (x )在(－∞，0)上单调递减，如图，∴f (t )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，有－13＜t ＜13，即－13＜2x －1＜13， ∴13＜x ＜23，故选A. 答案：A7．已知定义在R 上的奇函数满足f (x ＋4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 解析：∵f (x ＋4)＝－f (x )， ∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)， ∴f (x ＋8)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8，∴f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)，又∵奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D. 答案：D8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜0，或x ＞1}B ．{x |x ＜－1，或0＜x ＜1}C ．{x |x ＜－1，或x ＞1}D ．{x |－1＜x ＜0，或0＜x ＜1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]＜0，∴xf (x )＜0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，从而有函数f (x )的图象如图所示：则有不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为{x |－1＜x ＜0或0＜x ＜1}，选D. 答案：D9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)( ) A ．336 B ．337 C ．1 678D ．2 018解析：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，由周期可得f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1，而f (2 017)＝f (6×336＋1)＝f (1)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝336×1＋1＝337.故选B. 答案：B10．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数，令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)，即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0，则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2.故选B. 答案：B11．(2018·保定调研)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)，若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14的最小值为0，所以f (a )＝－2时，a ＜0，因为f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x (－x ＋1)＝x 2－x ＝－f (x )，所以x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x ，则f (a )＝－a 2＋a ＝－2，所以a ＝－1. 答案：－112．已知函数f (x )＝x 2(2x －2－x)，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是__________．解析：因为f (－x )＝(－x )2(2－x－2x )＝－x 2(2x －2－x)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥f (－1)．易知，当x ＞0时，函数f (x )为增函数，所以函数f (x )在R 上为增函数，所以f (2x ＋1)≥f (－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x ≥－1. 答案：[－1，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥03x 2＋ln1＋x 2－x ，x ＜0，若f (x －1)＜f (2x ＋1)，则x的取值范围为__________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋－x2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，x ＜0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)＜f (2x ＋1)等价于|x －1|＜|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)＞0，解得x ＞0或x ＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)14．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为__________．解析：因为f (x －2)是偶函数，所以函数f (x )的图象关于x ＝－2对称，由题意知f (x )在(－∞，－2)上为增函数，则f (x )在(－2，＋∞)上为减函数，所以不等式f (2sin x －2)＞f (sinx －1－m )恒成立等价于|2sin x －2＋2|＜|sin x －1－m ＋2|，即|2sin x |＜|sin x ＋1－m |，两边同时平方，得3sin 2x －2(1－m )sin x －(1－m )2＜0，即(3sin x ＋1－m )(sin x －1＋m )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＞0sin x －1＋m ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＜0sin x －1＋m ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＞m －1sin x ＜1－m或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＜m －1sin x ＞1－m，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜－31－m ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞31－m ＜－1，即m ＜－2或m ＞4，故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)。

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用23函数的奇偶性与周期性课后作业理.doc

2.3函数的奇偶性与周期性E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. (2017 •重庆测试)下列函数为奇函数的是(答案D解析函数y=/+3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数尸三一是偶函数,3 — x排除B ；函数y=xsinx 是偶函数，排除C ；函数y=log 专肓;的定义域是(一3, 3)，且/(— x) 3+v= log2書二=—f(x),是奇函数，D 正确.故选D.2. 下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(一8, 0)上单调递增的函数是()A. f{^=xB. A^)=2lxl答案C解析函数f(x) =x 在(一8, 0)上单调递减，排除A ；当xW ( —8, °)时，函数/'(x) =2 ' =(*)在(一8, 0)上单调递减，排除B ；当圧(一8, °)时，函数=i og2—^-= — log 2(-^)在(一co, 0)上单调递增，且函数代劝在其定义域内是偶函数，C 正确；函数fd) = sin 才是奇函数，排除D.故选C.3. (2017 •唐山统考)f(x)是R 上的奇函数，当时，f(x)=/+ln (l + x).则当 *0 时，f\x)=( ) A. — ^―In 仃一方 C. In (1 —x)答案C解析当 *0 时，一x>0, f(~x) = ( —y)34-ln (1—x), V Ax)是只上的奇函数，.••当水0 时,f(x)= — f{—x) = — [(—jr)3+ln (1 — 0], .\f(x) =x — In (1—A ).故选 C.4. 已知/tr)是定义在R 上的偶函数，并且/(%+2)=-—^―,当2W/W3时，/(%)JL /AT则 f(105.5) = ()A. —0. 5B. 0・ 5C. —2. 5D. 2. 5 答案D解析 V/U+2)=-—x+ln (1一方 ~x+] n (1 —x)•I f(x+4) =f\_ d+2) +2]=———占R ----------- 七—=f{x).~ f x・・・函数f(x)的周期为4.・•・/(105. 5)=A4X27-2. 5) =f( — 2. 5) =f(2. 5).T2W2. 5W3, ・・・f(2. 5)=2. 5.A A105. 5)=2. 5.故选D.5.(2017 •金版创新)已知函数/'3在V^eR都有fd—2)= — f3,且当圧[一1,0]时，f(x) =2r,则A2017)等于( )1 1A.-B. --C. 1D. -1答案B解析由f\x—2) = — f\x),得f(x—4) = —2) =f(x),所以函数f(x)的周期为4. 所以r(2017)=A4X504+l)=AD =-A-D =-|.故选B.6.(2018 •青岛模拟)奇函数fd)的定义域为R,若fCi+1)为偶函数，且代1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A. 2 B・ 1 C. 一1 D. 一2答案A解析V/a+1)为偶函数，fd)是R上的奇函数，・・・f(-x+i)=/V+i), f(0 = — f(—0, Ao) =o,・・・ f(x+ 1) = f(_x+ 1) = —f(x-l),・•・f(x+ 2) = —f\x), f{x+ 4) = /U+ 2+2) = — /U+2) = f(x),故4 为函数/*(劝的周期，则f(4)=f(0)=0, f(5)=f(l)=2,・・・ f(4) + f(5) =0+2=2.故选A.7.(2018 •襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当*0时，rW=/-l;当一1W/W1 时，/(—x) = — f{x)；当x>0 时,f{x+1) = f{x),则A2018)=( )A. -2B. -1C. 0D. 2答案D解析因为当Q0时，fa+l)=f(0,所以当QO时，函数/tv)是周期为1的周期函数，所以/(2018)=/(1),又因为当一lWxWl 时，/(-%)=-/(%),所以Al)=-A-1) =—[(—I)5—1]=2.故选D.8.已知函数f(x)是R上的偶函数，g&)是R上的奇函数，且—1),若代2) =2,则A2018)的值为()A. 2B. 0C. 一2D. ±2答案A解析V /U)是R上的偶函数，gd)是R上的奇函数，且gd)=fa—l),/. — X)=f{ — X —Y) =f(x+l) = —g (A )= — f(x —l)・即 f(x+ 1) = — fix — 1)・f(x+ 2) = — f{x)・・・・fCv+4) =/[(/+2) +2] = —fd+2) =f(0 .・・・函数f(x)是周期函数,且周期为4.・•・ A2018)=r(2)=2.故选 A.9. (2017・石家庄模拟)已知代方是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若A1X1, A5) O a ——Q =:百，则实数日的取值范围为() A. (-1,4) B. (-2,0) C. (-1,0) D. (-1,2)答案A解析・・・代方是定义在R 上的周期为3的偶函数，得—l<a<4,故选A.10. 己知fd)是定义在R 上的奇函数，当*20时，fd)=# — 3x,则函数g{x)=f\x) —无+3的零点所构成的集合为()A. {1,3}B. {-3, -1, 1,3}C. {2—⑴，1,3}D. {一2—⑴，1,3}答案D解析当 K0 时，f(x) = — f( —x) = — [( —x)" + 3x] = — "―3x,易求得 g(x)=—4/+3,心0,[—x —4x+3, X0,当x~4x+3 = 0吋，可求得x 】=l,疋=3；当一/—4x+3 = 0 时，可求得疋=一2-£, %1=-2+^7(舍去). 故呂3的零点为1,3, —2—5•故选D. 二、填空题i —9'11. (2018 •武昌联考)若函数心)=]+打2」在定义域上为奇函数，则实数匸答案土 1k-2~x _k-2x-l 1 +斤・2二尸2”+& /( — X)+f (A )H 公+k + k ・公一\・1 + W ・2” = 1 + 12” 2”+&护一1 対+1= 2r +& •・・・f(5)=f(5—6)=f(—l)=f(l), VA1X1, /(5)=<1,即臼一4 日+1<0,解解析由f(~x) +f{x) =0,可得斥=1, /. A=±l.12.设代0是定义在R上且周期为2的函数，在区间[— 1,1)上，f(x)=9答案一匸39则 f(5<3)=f(3) =f(4 —1) =f( — l)= — l+-=—~o 513. (2017 •郑州联考)对于函数心，若存在常数$工0,使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)=-f^a -x),则称/V)为准奇函数.给出下列函数：①/V) = (x —1尸，② 代劝=占，③£(劝=玄，④/U)=cos^,其中所有准奇函数的序号是 ________________________________ •答案②④解析对于函数f\x),若存在常数日H0,使得取定义域内的每一个/值，都有f3 = —f(2白一方，则函数的图彖关于(马0)对称.对于①，= 1尸，函数图彖无对称中心；对于②，代劝=计亍函数f(x)的图象关于(―1,0)对称；对于③，t\x) = x ,函数 f(x)的图象关于(0, 0)对称；对于④，f(x)=cosx,函数f(x)的图象关于严11+~^~，0(£丘 Z)对称.所以所有准奇函数的序号是②④.14. (2018・太原模拟)已知定义在R 上的奇函数代方满足彳|一』=才3,代一2)= — 3,数列｛/｝的前刀项和为S”且创=—1, $=2禺+/?(刀丘2),则f (念)+f (戲)= _______________ .答案3解析 T 奇函数f(x)满足彳|—j=f(x)…••彳|一 j= —f(—劝，•"(方=—彳卄|j= f(x+3), ・・・f(x)是以3为周期的周期函数，・・・$=2禺+/?©, ・・・$+】 = 2%H + /?+1②，②一 ①可得自卄1 = 2自”一1,结合 0 = —1,可得岔= — 31,日6=—63, .'.f (岔)=f( —31) =f(2)= —f(—2)=3,f (越)=f( — 63)=f(0)=0, A Aa,)+/U)=3.三、解答题15. 设函数代才)在(一8, +oo)上满足 f(2 — /)=f(2 + x), A7-^) = A7 + ^), Il 在闭区间［0,7］上，只有AD = A3) =0.(1)证明：函数fd)为周期函数；x+a^ 2— ISO,,OW*1,其中圧R.若(一则f (5爲)的值是解析V A%)是周期为2的函数,(2)试求方程f3 =0在闭区间［-2018, 2018］上的根的个数，并证明你的结论.f x =f 4—x , n=>f(4— 方=f(14一力今/tv) =/tv+10) •f x =f 14 — /・・・广(方为周期函数，7-10.(2)・.・f(3)=f(l)=0, All) = A13) = A-7) = A-9) =0,故 f(x)在［0, 10］和［一10, 0］上均有两个解.从而可知函数y= f{x)在［0, 2018］上有404个解，在［一2018,0］上有403个解，所以函数y= M 在［-2018, 2018］上有807个解.16. 定义在R 上的函数f(x)对任意曰，都有伙为常数). (1) 判断&为何值时，代劝为奇函数，并证明；(2) 设k= — \, 是R 上的增函数，且f(4)=5,若不等式f(〃z/—2〃圧+3)>3对任意 /WR 恒成立，求实数刃的取值范围.解(1)若fd)在R 上为奇函数，则f(0)=0,令 a= 6=0,则 f(0 + 0) =f(0)+f(0) + 斤，所以 k=Q. 证明：由 £(曰+力)=f($)+£(力)，令 a=x, b=_x, 则 f{x —x) =f{x) +f( —A ),又 AO) =0,则有 0 = f{x) +f(—x),即 t\ — x) = — f\x)对任意 xGR 成立,所以 /V) 是奇函数.(2)因为 f ⑷=f(2) +f(2) — 1 = 5,所以 f(2) =3.所以f(/〃,一2/^+3)>3 = f(2)对任意丸WR 恒成立.又f(x)是R 上的增函数，所以刃x'—2〃AY +3>2对任意xUR 恒成立，即刃,一2//7%+1>0对任意A^eR 恒成立，当/〃=0时,显然成立；/77>0,当刃H0时，由9得(KzzKl.f 2 — x ⑴证明：由=f 2 + x=f 7 + x4 =4加一4/风0, 所以实数刃的取值范围是［0,1).。

[精品](江苏专版)2019年高考数学一轮复习专题2.3 函数奇偶性与周期(练)

专题2.3 函数奇偶性与周期1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝________. 【答案】－3【解析】因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．【答案】[－1,3]【解析】偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.【答案】－1【解析】由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1.4．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 【答案】－－x －15．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.【答案】32【解析】依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0ax x ＋，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a ＋b )＝________.【答案】－1【解析】法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－f ，f－＝－f，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝a －1＋，－b ＝2a －2＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知，当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.7.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________. 【答案】18.设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 【答案】－9【解析】观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.9.设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．【答案】－810. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 7【解析】因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0， 6]上与x 轴的交点个数为7.11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. [答案] (1，3].[解析] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增.结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].12.已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．【答案】(1) 详见解析，(2) 503. 【解析】(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12x －，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.13. 已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式.【答案】(1) f (1)＝0，f (－1)＝0. (2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.14.已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2. (1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．【答案】(1) 详见解析，(2) f (x )max ＝6，f (x )min ＝－6. 【解析】(1)证明令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.。

2019届高考理科数学一轮复习课时提升作业：第2章 2.3《函数的奇偶性与周期性》(含答案)

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