苏教版必修五解三角形教案
必修五第一章《解三角形》教案
§1.1.1 正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又si n1c C c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin ab=sin c=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
必修五解三角形教案
必修五解三角形教案教案标题：必修五解三角形教案教案目标：1. 确保学生理解和掌握三角形的基本概念和性质。
2. 培养学生解决三角形相关问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和推理能力。
教案步骤：第一步：引入三角形的概念（15分钟）1. 引导学生回顾平面几何的基本概念，如点、线、角等。
2. 引入三角形的概念，解释三角形的定义和特点。
3. 通过示意图和实例，让学生理解三角形的构成要素：三条边和三个角。
第二步：介绍三角形的分类（20分钟）1. 介绍根据边长和角度的关系，将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 解释每种三角形的定义和性质，如等边三角形的三边相等、等腰三角形的两边相等等。
3. 通过实例和练习，让学生区分不同种类的三角形，并理解它们之间的关系。
第三步：探究三角形的角度性质（25分钟）1. 引导学生思考三角形内角之和的问题，并让学生猜测三角形内角之和的大小。
2. 引导学生通过实验和推理，发现三角形内角之和恒为180度的规律。
3. 给予学生足够的练习，巩固和应用三角形内角之和的概念。
第四步：解决三角形的问题（30分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们应用所学的知识解决。
2. 引导学生分析问题，确定解题思路，并运用所学的三角形性质解决问题。
3. 鼓励学生在解题过程中提出自己的解决方法，并进行讨论和分享。
第五步：总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的基本概念和性质。
2. 提醒学生在实际生活中运用三角形的知识，如测量高楼的高度、计算航行船只的位置等。
3. 鼓励学生进一步拓展学习，了解更多与三角形相关的知识和应用。
教学评估：1. 在课堂中通过观察学生的参与和回答问题的表现，评估他们对三角形概念和性质的理解程度。
2. 布置练习题，检验学生对三角形解题方法的掌握和应用能力。
3. 鼓励学生在课后自主学习和探究，通过小测验或作业评估他们的学习成果。
教学资源：1. 幻灯片或黑板，用于呈现概念和示意图。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》
《正弦定理与解三角形》教学设计一、教学目标：（1）知识与技能目标：通过自主学习正弦定理，学生能够解斜三角形（2）过程与方法目标：培养学生学会分析问题，合理运用定理解决三角形问题。
培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
（3）情感、态度、价值观：激发学生学习兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
二、教学的重点和难点：本课的教学重点：正弦定理的运用、解三角形中边角互化问题；本课的教学难点：解三角形中恒等变换及综合问题。
三、教学方法：主要采取的教学方法：引导启发法。
在本节课的教学中主要渗透自主探究法、小组讨论法等。
四、教学过程：（一）导入新课本课主要采用：直接导入，情境导入等等本节课由初中的解直角三角形引入如何解斜三角形，让学生复习回顾正弦定理的内容，进而引入正弦定理的证明。
这种方法，不仅能引起学生的兴趣，而且能够引导学生思考，并且引出新课题。
（二）讲授新课在讲授新课时，为了突出本节课的第一维知识与技能目标，首先引导学生自主学习，学生对基本的概念和知识初步感知，学习完成后，会解斜三角形，注意多解的情况，具体过程如下：（讲授第一维目标）通过这种方法，既体现了新课改中以学生为主体的思想，又调动了学生学习的积极性。
这部分讲授完成后，开始讲解本节课的难点，也就是第二维过程与方法目标，引导学生进行探究学习，学生先进行探究学习，具体过程如下：（讲授第二维目标）通过这种方法，既让学生能够深入理解这种方法，也可以增进学生之间相互帮助的情感。
（三）巩固练习完成变式１（四）小结（五）作业布置布置课后作业，包括必做题和选做题，必做题主要以基础算式为主，选做题会选用一些开放性较高，需要学生进行发散思考的问题，以满足那些学有余力的同学。
五、板书设计板书设计采用图文并茂的形式，清晰展示全文整体结构，突出重点，彰显文章主题。
第一章解三角形1.1正弦定理教案2苏教版必修5
正弦定理教 学目 标 1. 掌握正弦定理的内容；2. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 教 学重 难点 利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题 教 学参 考 各省高考题 教学与测试授 课方 法自学引导 类比教学辅助手段多 媒 体 专用教室教 学 过 程 设 计教学二次备课 一、 引入新课1．正弦定理：在△ABC 中= = = 。
2．正弦定理可解决两类问题：（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。
二、学生活动1.一个三角形的两角和边分别是30和45，若45角所对边的长为8，那么30角所对边的长是 . 2. 在ABC ∆中，︒=30A ，102c =，10=a ，求角C ． 例题剖析例1. 在ABC ∆中：（1）已知16a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ； （2）已知30a =，26b =，30A = ，求B ，C ，c ； （3）已知25a =，11b =，30B = ，解这个三角形．练习： 学案1,2,31.已知两边一对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？教教 学 二次备课C ABb ca学过程设计例2、仿照正弦定理的证明，证明1sin2ABCS ab C∆=，并运用此结论解决下面问题：（1）在ABC∆中，已知2=a，3=b，︒=150C，求ABCS∆；（2）在ABC∆中，已知10=c，︒=45A，︒=30C，求b和ABCS∆；三、课堂小结1．正弦定理的内容。
2．应用正弦定理解两类三角形问题。
3. 两边一角解的不确定性的判断。
1. 在ABC∆中：（1）已知75,45,32A B c===，求C，b；（2）已知30,120,12A B b===，求a，c．2. 已知两角一边会不会出现以上情况？学生练习：学案：5,76,9板演，课外作业教学小结。
必修5_ch1 解三角形教学案(6课时)
6
江苏省泰兴中学高一数学校本化教学案
江苏省泰兴中学高一数学同步课时训练（2）
【正弦定理的运用】
三、课堂练习： 探究：有人设计这样一个测量方法： 一个人身高 a 1.77 米，站在上海黄浦江对岸测量东方明珠电视塔的高度，他测得塔尖的
，试估算东方明珠 仰角 43.0136 ，测得在黄浦江的倒影中塔尖的俯角 43.2297
电视塔的高度 h ．
四、课堂小结：
五、教学反思：
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江苏省泰兴中学高一数学校本化教学案
例 3、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，用正弦定理证明 分析：
AB BD ． AC DC
例 4、 ． 如图， 从 A 点和 B 点测得上海东方明珠电视塔顶 C 的仰角分别为 38． 3° 和 50° ， AB＝200ｍ，求东方明珠电视塔的高度（精确到 1ｍ） ． （参阅附录） 分析：
江苏省泰兴中学高一数学校本化教学案
必修 5_01
解三角形
课题： 第 1 时正弦定理 目的要求： 1、掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2、初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点： 教学过程： A 一、引入： 1、回忆直角三角形中的边角关系：
b c a B
2、用几何画板演示论证正弦定理： 3、猜想正弦定理： 二、正弦定理的证明： 证法一：转化为直角三角形中的边角关系．
3、根据下列条件解三角形： （1）������ = 40，������ = 20，������ = 25° ； （2）������ = 13，������ = 26，������ = 30° .
四、课堂小结：
五、教学反思：
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江苏省泰兴中学高一数学校本化教学案
苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思
苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思一、教学背景《解三角形》是高中数学必修5中的重要章节，这一章的重点是如何通过已知角度或边求解三角形的其他未知角度和边长。
在这一章中，学生需要掌握三角函数的基本概念和运用，特别是正弦、余弦和正切，同时还需要掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。
本节课程旨在帮助学生深刻理解三角函数的概念和应用，掌握几何意义和图形意义，同时加强学生的数学思维和推理能力。
二、教学目标1.理解三角函数的基本概念，特别是正弦、余弦和正切。
2.掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。
3.能够运用所学的知识，解决实际问题。
4.提高学生的数学思维和推理能力。
三、教学内容1. 三角函数的基本概念正弦、余弦和正切•正弦函数：$\\sin A = \\frac{a}{c}$•余弦函数：$\\cos A = \\frac{b}{c}$•正切函数：$\\tan A = \\frac{a}{b}$其中，a、b、c分别表示三角形的三条边，A表示对应的内角。
2. 三角函数的运算法则和三角三边的关系三角函数的运算法则•$\\sin (A \\pm B) = \\sin A \\cos B \\pm \\cos A \\sin B$•$\\cos (A \\pm B) = \\cos A \\cos B \\mp \\sin A \\sin B$•$\\tan (A \\pm B) = \\frac{\\tan A \\pm \\tan B}{1 \\mp \\tan A \\tan B}$三角三边的关系•正弦定理：$\\frac{a}{\\sin A} =\\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$•余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \\cos A$•正切定理：$\\tan \\frac{A}{2} = \\frac{r}{s - a}$其中，R表示三角形外接圆半径，r表示三角形内切圆半径，s表示三角形半周长。
高中数学 第一章 解三角形 第一课时 正弦定理教案 苏教版必修5
第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.a sin A ＝bsin B＝csin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A ＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R ∴csin C＝2R同理可得asin A ＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B＝csin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
苏教版-必修五-第一章 解三角形-1.2 余弦定理【区一等奖】
《余弦定理》教学设计一、教学目标（一）知识与技能1．学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2．能熟练地运用余弦定理解斜三角形；（二）过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性（三）情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；二、教学重难点重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形； 难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形三、教学用具多媒体、实物投影仪．四、教学过程（一）创设情景，揭示课题1．余弦定理的内容？2．如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？3．利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？（二）研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例 1 （教材16P 例6）在ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长．例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积．（三）巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a ,=−→−AC b ，且|a |2=,|b |3=,a •b 3-=，则_____=AB 2． 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________ 3．已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4．已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积（四）归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：。
—学数学苏教版必修5同步教学案第1章解三角形§1.2 余弦定理
§1.2余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形任何一边的______等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______的余弦的积的______．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.2．余弦定理的推论cos A＝______________；cos B＝______________；cos C＝______________.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.一、填空题1．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝______________.3．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为________．4．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝____________.5．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．§1.2 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab3．(1)90° (2)60° (3)135° 作业设计 1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12， ∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°.6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34.7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 10．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.13. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3. 14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．§1.2余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝______. (2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.(3)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________. 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝________________. (2)cos A ＝________________. (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为______；c 2>a 2＋b 2⇔C 为______；c 2<a 2＋b 2⇔C 为______． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝______，A ＋B2＝____________.(2)sin(A ＋B )＝________，cos(A ＋B )＝________，tan(A ＋B )＝________.(3)sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B 2＝__________.一、填空题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为________．2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________． 3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为________．4．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形的形状是________． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是______．7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________． 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．二、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cos B=35，且·AB →·BC →＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是________． 14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 余弦定理(二)答案知识梳理1．(1)2R (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C (3)a 2R b 2R c 2R(4)a ∶b ∶c 2.(1)b 2＋c 2－2bc cos A (2)b 2＋c 2－a 22bc (3)直角 钝角 锐角 3.(1)π π2－C 2(2)sin C －cos C －tan C(3)cos C 2 sin C 2作业设计1．120°解析 ∵(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°. 2．等腰三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin (A ＋B)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，∴A ＝B.3.60°解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∴C ＝120°.∴最小外角为60°. 4.19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.5．等边三角形解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c)2，又b 2＝ac ，即(a －c)2＝0.∴a ＝c.∴2b ＝a ＋c ＝2a.∴b ＝a ，即a ＝b ＝c.6．a>b解析 在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab.∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab.∴a 2－b 2＝ab>0，∴a 2>b 2，∴a>b.7．锐角三角形解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b)x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c)x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．8．2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a>12，最大边为2a ＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2化简得：0<a<8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a>2，∴2<a<8.9．12解析 S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝12AB·AC·sin 60°＝23，∴AB·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB·AC ＝(AB ＋AC)2－3AB·AC ，∴(AB ＋AC)2＝BC 2＋3AB·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10.13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4， 由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393， ∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 11．证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 12．∵AB →·BC →＝－21，·BA →·BC →＝21.·BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B . ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c<b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.13．0<C ≤π6解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A ∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1， ∴0<sin C ≤12.∵AB<BC ，∴C<A ，∴C 为锐角， ∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6. 14．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C. 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca·cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac·cos B ＝5，∴(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
高中数学第1章解三角形1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教案苏教版必修5(2021学年)
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1.3 正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题;2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题;３．通过复习、小结,使学生牢固掌握两个定理,应用自如.教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题,牢固掌握两个定理,应用自如．教学过程：一、复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式,解斜三角形的要求和常用方法.１.正弦定理、三角形面积公式：ﻩ R C cB bA a2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆.2．正弦定理的变形:(1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;（2)R cC R bB R aA 2sin ,2sin ,2sin ===;(3)sin sin sin ::::A B C a b c =．3.利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:(1）已知两角和任一边，求其他两边和一角;（2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角．4.余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=.5．应用余弦定理解以下两类三角形问题:(１)已知三边求三内角；（2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．二、例题（学生自主学习讨论后到黑板板演，教师规范解题格式）例1 如图,为了测量河对岸两点A ，B 之间的距离，在河岸这边取点C ，D ,测得∠ADC =85°,∠B ＤＣ=６０°，∠ＡCD =4７°，∠B ＣＤ=72°，CD =1０0m.设A ，B ,C ，D 在同一平面内，试求A ，B 之间的距离（精确到1 m ）．解 在△A ＤC 中,∠A ＤＣ=85°,∠ACD ＝4７°，则∠DAC =4８°.又D Ｃ＝100，由正弦定理，得 sin 100sin85sin sin 48DC ADC AC DAC ∠︒==∠︒≈１3４。
苏教版高中数学必修五—学同步教学案解三角形§正弦定理
§1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，A 为锐角a <b sin A a ＝b sin Ab sin A <a <b a ≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶22．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析由正弦定理得2sin A＝6sin 60°，∴sin A＝22.∵BC＝2<AC＝6，∴A为锐角．∴A＝45°.∴C＝75°.7.102解析∵tan A＝13，A∈(0°，180°)，∴sin A＝1010.由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，∴AB＝BC sin Csin A＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．§1.1 正弦定理(二)课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______； (3)a ＝__________，b ＝________，c ＝____________；(4)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________.2．三角形面积公式：S ＝____________＝____________＝____________.一、填空题1．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于________．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 的形状是________．3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．5．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .1．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2. 2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．§1.1 正弦定理(二)答案知识梳理1. (1)a ∶b ∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C (4)a 2R b 2R c2R2.12ab sin C 12bc sin A 12ca sin B 作业设计 1. 7∶5∶3解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3. 2．等边三角形解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3.⎝⎛⎦⎤0，403 解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.4．等腰解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin (B ＋C)＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin (B －C)＝0，∴B ＝C. 5．8π解析 ∵2R ＝4sin 45°＝42，∴R ＝2 2.∴S ＝πR 2＝8π.6．1解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 7．2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.8．2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2. 9．7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.11．证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 13．75°解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin (π－B －C)＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理教案1 苏教版必修5(2021年整理)
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正弦定理教学目标1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2。
通过对任意三角形的边长、角度关系的探索，培养自主学习、自主探索的能力；教学重难点正弦定理及其证明过程教学参考各省高考题教学与测试授课方法自学引导类比教学辅助手段多媒体专用教室教教学二次备课学过程设计一、 引入新课1. 如右图，ABC Rt ∆中的边角关系:=A sin _______;=B sin _______；=C sin _______；边=c _________=_________=_________．2. 在Rt ABC ∆中,我们得到sin sin sin a b cA B C ==,对于任意三角形，这个结论还成立吗？3. 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角,我们已经证明结论成立。
如何证明C 为锐角、钝角时结论成立? 例题剖析例1。
在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________；练习：学案1，2，3变式教教 学 二次备课C ABb ca。
高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)
课题: §1．1．1正弦定理如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C ==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C 同理可得sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B=sin c C= A c B从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin ab A B =sinc C=等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例1．在∆ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，b =cm ，045A =，解三角形。
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数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。
比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”3．重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。
学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。
针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议1.1正弦定理和余弦定理（约4课时）1.2应用举例（约4课时）1.3实习作业（约1课时）（四）评价建议1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。
在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。
如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。
在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。
对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。
教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
第一课时§1．1．1正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程Ⅰ.课题导入如图（1）固定ABC的边CB 及B，使边AC绕着顶点C转动。
B图（1）图（2）思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图（2）在Rt ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,则从而在直角三角形ABC中，有思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：证法一： 证法二： 证法三：从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 a= ,b= ,c= ;(2)::a b c = ;（3）等价于，， 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
练习：已知ABC 中，，则=[例题分析]例1．在中，已知0045,30,10A B c ===，解三角形。
例2．在中，已知045,2,A a b ===练习：1. 在中，已知0075,45,A B c ===a 、b2. 在中，已知045,2,A a b ===，求B 、C3. 在中，已知018,20,150a b A ===,解三角形评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
例3.仿照正弦定理的证法1，证明111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===，并运用这一结论解决下面的问题：（1）在中，已知02,3,150a b C ===,求ABC S ∆； （2）在中，已知0010,45,30c A C ===,求b 和ABC S ∆； （3）证明正弦定理探究：由例2思考：已知两边a 、b 和一边的对角A,求角B 时，若A 为锐角，有几种情形？画出草图若A 为钝角呢？不解三角形判断下列三角形解得个数（1）07,14,30a b A ===（2）030,25,150a b A ===（3）06,9,45a b A ===（4）09,10,60b c B ===Ⅲ.课堂练习第8页练习第1题。
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；变式： ；面积公式：（2）正弦定理的应用范围：① ；② 。
Ⅴ.课后作业第10页[习题1.1]第1（1）、2（3）题。
同步导学第二课时§1．1．2正弦定理教学目标知识与技能：掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理研究斜三角形中的一些问题和解决一些简单的测量问题。
教学重点正弦定理的运用。
教学难点正确运用正弦定理研究相关的数学问题。
一。
回顾旧知1.正弦定理：2.正弦定理的变形：（1） ；（2） ；（3）3.面积公式： 。
4.三角形解的情况：阅读课本第9、10页的例3、4、5二。
典例分析：题型一：判断三角形的形状例1. 在中，若已知cos cos a A b B =,判断三角形的形状。
（对应例4）练习：在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =,试判断ABC ∆的形状。
题型二：正弦定理与三角变换的综合应用例2.在ABC ∆中，已知AC=2,BC=3,cosA=45-, (1)求sinB 的值；(2)求sin(2)6B π+的值。
例3。
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c=10,cos 4,cos 3A bB a ==求a 、b 及 ABC ∆的内切圆半径r,外接圆的半径R.三、易错点例4.在 ABC ∆中，若B=030,AB=求ABC ∆的面积课后思考1：已知ABC ∆的三边各不相等，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c o s c o s a A b B =， 求a b c+的范围思考2：已知锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设B=2A ，求b a 的取值范围作业：1、在 ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2,,cos 425B a C π===, 求ABC ∆的面积2、在 ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2tantan 4,sin sin cos ,222A B C A a B C +=+==求A 、B 及b 、c第三课时§1.2余弦定理●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。