电磁场课件3 静电场环路定律、高斯定律、电极化

定义
电场强度 F q e E 2 r qt 4 o r
带电体的电场强度
点电荷的电场强度
q
推导
r r' E (r ) 2 4 0 r r ' r r '
1 E (r ) 4 0

rr' rr'
3
V'
dq
电场强度 E 矢量场有什么特性呢？
1.1.1 静电场的环路定律
1 r r'
3
( r r' )
( r r' ) 0
1 r r'
3
( r r' ) 3
r r' r r'
3
( r r' ) 0
故
E (r ) 0
静电场强度的旋场为零。
可以证明，上述结论亦适用于点电荷群和连续分布带电体产生的电场。
dq
d 2
4 0 r x

rdr
2 0 r 2 x 2

R2 x2 x

6) 电场（力）线与等位线（面）
E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度 E 的方向一致， 若 dl 是电场线的长度元，E 矢量将与 dl 方向一致，
电力线微分方程
E dl 0
( r )
1 4 0

i 1
N
qi C r ri '
连续分布电荷体

( r )
q C 4 0 r r '
( r )
dq
1 4 0

v'
dq C r r'
dl
dV ,
dS ,
3) E 与 的微分关系
E
在静电场中，任意一点的电场强度 E 的方向总是沿着电位减少的最快 方向，其大小等于电位的最大变化率。 在直角坐标系中：
.P 注：电势是标量，积分是标量叠加，电势叠加比电场叠 加要简便，一般通过先求电位再来求电场。

V
( r ) dV r r
+q rP
例. 计算均匀带电 q 的圆环轴线上任意一点 P 的电势。
dq
R
解：先考虑环上电荷元 dq 在 P 点产生的电势，再 对环电荷进行积分求总电势。
高斯定理的应用：
q 0 ΦE 0 qi 0 ΦE 0
①当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。 ②当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域的电荷。
3) 利用高斯定理求电场强度
1 ΦE E dS
S
0 ( S内)
E 0
2) 高斯定律的积分形式
E

V
EdV
1
0
E dS EdV V dV
S V
散度定理
0
E dS
S
q
0
静电场中任何一闭合曲面 S 的电通量 E ，等于该曲面所 包围内的电荷的代数和的0 分之一倍。
即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即
E (r ) 0
表明： 静电场是一个无旋场。
2. 静电场的环路定律
由斯托克斯定理，得
E dl ( E ) ds
l s
0
在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 L2 电场力作功：
.b
L1
电位计算——叠加积分法
（1）点电荷的电势：

q 4 0 r
4 0 ri qi
q0
q0
r
r
0
0
点电荷系的电势：
P i
i i
电势叠加原理
dq
（2）连续带电体的电势：
取电荷元 dq ，则任意点 P 处的电势：
dq 1 P 4 0 rP 4 0
W F dl qE dl 0
l l
电场力作功与路径无关，静电场是保守场。 a
.
q0
1.1.2 电位函数 ( Electric Potential )
1) 电位的引出
E 0, 根据矢量恒等式 ( ) 0
E
在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求
高斯定理

S
A dS AdV
V
斯托克斯定理
A dl ( A) dS
l
S
库仑定律
库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间的作用力与这两个电荷 所带电量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向 沿着这两个点电荷的连线，同名电荷相斥，异名电荷相吸。
E [ ex ey ez ] x y z
标量电位函数的引入，把静电场矢量问题转化为标量场 问题，给求解分析问题带来了很大方便。
可以通过先求得电位，再来计算电场强度。
根据 E 与 的微分关系，试问静电场中的某一点 0 E 0 ？ ？ ( ( ) )
1）电场线微分方程（球坐标系）：
dr rd Er E
图1.2.2
电偶极子
将 E 和 E r 分量代入上式，解得Ｅ线方程为
r D sin
2）等位线方程（球坐标系）：
pd cos P C， 2 4 0 r
r C ' cos
电力线与等位线（面）的性质：
E 线不能相交;
Ey Ex E 在直角坐标系中： z 微分方程的解即为电场线 E 的方程。 dx dy dz
在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即 等位线(面)方程:
( x, y,z ) C
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。
电场线的性质： +
(1)电场线起自正电荷, 止于负电荷，或延伸到 无穷远处。 (2)电场线不形成闭 合曲线。 (3)在没有电荷处,

E 0 0
4)

与 E 的积分关系
线积分

P0
P
E dl dl
P
P0
式中 d l ( e x ey e z ) (d xe x dye y d ze z ) x y z dx dy dz d x y z
E 线起始于正电荷，终止于负电荷;
E 线愈密处，场强愈大;
E 线与等位线（面）处处正交；
相邻两等位面之间的电位差相等；
电偶极子的等位线和电力线 等位面愈密处，电场强度愈大。
1.1.3 静电场的高斯定律
1) 静电场的散度——高斯定律的微分形式 静止带电体产生的电场 E (r )
例证：点电荷电场的高斯面积分 q e r dS E d S S S 4 0 r 2 q q 4 0 0
E
+ q

S
E dS EdV
V
E 0
q dV
V
S
说明：

S
E ds
1
0

V
δ—单位冲激函数
1 (r ' ) 所以 E ( r ) ( r ' ) ( r r ' ) d V ' 0 V ' 0
高斯定律微分形式：
物理意义:
E 0
说明静电场是一个有源场，电荷就是场的散度源。
E 0
E 0
dV
①定理中E 是所取的封闭面S（高斯面）上的场强，它是 由S 面内的电荷产生的场强。 ② E 只决定于S 面包围的电荷，S 面外的电荷对E 无贡献。 高斯定理的意义： 1.用电通量方程表示电场与场源电荷之间的关系。
q
2.正负电荷就是场源
i
i
0 ΦE 0 电场线穿出
电场线穿入
无净电场线穿出
1. 静电场的旋度
静止点电荷的电场强度
E( r )
E( r )
q 40
q 4 0

r r' r r'
3
两边取旋度

r r' r r'
3
矢量恒等式 CF C F C F

直接微分得
r r' r r'
3

1 r r'
( r r' ) 3
er
q1
F q2
r
F
1 q1 q 2 er 2 4 o r
库仑定律是1784—1785年间库仑通过扭秤 实验总结出来的。
库仑定律是一个实验定律，也可以说是牛顿 万有引力定律在电学和磁学中的“推论”。
电场强度 E 的定义和计算
库伦定律
F 1 qqt er 2 4 o r
正负点电荷的电场
+ + + + + + + + + + + + +
任两条电场线不会
- - - - - - - - - - - - 平行电极板的电场
相交,也不会中断。
例. 画出电偶极子（正负电子对）的等位线和电力线 (r d ) 。 解：先分别考虑正负点电荷在 P 点产生的电势，再对正负电荷 的电势进行叠加。
其中，p = qd 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。 由电势求电场，得电偶极子产生的电场强度