计算方法2012 2

(1) 将方程 x3 x 1 0 改写成等价形式
x x3 1 则迭代公式为
xk1 xk3 1 (k=0,1,2,…) 取初始近似值为x0=1.5，迭代结果见下表。
k
1
2
3
xk 2.375
12.3965 1904.0028
由表可见，迭代是发散的。
4 6902441984
迭代法举例
例2.3 求方程 x3 x 1 0
if(f(c)==0) break; else if (f(a)*f(c)<0)
b=c; else
a=c; } printf("%f",c); }
2.4 迭代法
等价变换
f (x) = 0
x = φ (x)
f (x) 的根
φ(x) 的不动点从一个初来自 x0 出发，计算 x1 =φ(x0), x2 = φ(x1), …,
2.2 根的隔离-作图法
例2.2 求方程 f (x) x3 3x 1 0 的隔根区间。
解
f (x) 3x2 3， f (x) 6x ，当x<0时，
f (x) 0 ；当x>0时， f (x) 0 ，画出 f (x)
的草图如图2-1，
从图中可大致确定隔根区间为(-2,-1)、(-1,1)和(1,2)。
其导函数为 f (x) 6x2 6x 12 6(x 1)( x 2) 所以当 x (,2) 时， f (x) 0 ，函数单调上升；当
x (2,1) 时， f (x) 0 ，函数单调下降；当
x (1,) 时， f (x) 0 ，函数单调上升。
试值法
于是在每个区间上至多只有一个根。 取几个特殊的点计算函数值， f (-4)= - 40，f (-3)=1，f (-1)=5， f (0)= -8，f (2)= -4，f (3)=37
ax x+h x+2h
x x+h
b 直到x>b为止
扫描法的算法
(1)输入有根区间的端点a, b及子区间长度h；
(2) a x,0 i
(3) 若 f (x) f (x h) 0 ，则
i 1 i, x pi , x h qi ；输出隔根区间 pi , qi
(4) x h x
(5) 若x<b-h/2，则返回(3)；否则结束。
对于代数方程
f (x) a0 xn a1xn1 an1x an 0 (a0 0)
设 A max( a1 , a2 , , an ) ，则其实根的上、下界分别为
1 A a0
和
(1 A ) a0
由此即可确定其有根区间[a,b]。
对分法
2.3 对分法
什么时候停止？
a
ac x*
cb b
y=x3-3x-1的曲线图
2.2 根的隔离——扫描法
❖ 扫描法就是将有根区间等分为若干个子区间，然 后逐个小区间检验是不是隔根区间，检验的办法 就是判断区间端点的函数值是否异号。
连续函数的介值定理：
f (a) f (b) 0 x, s.t., f (x) 0
扫描法
令x=a,取步长h，检验区间[x,x+h]上是否有根 [x,x+h]为一隔根区间，继续看下一个区间是否有根
cb
否则
ca
(4) 若b-a<eps，则输出根的近似值c，结束； 否则转向(2)继续。
对分法C程序
float f(float x) {return x*x*x-2*x*x-4*x-7;} main () { float a,b,c,eps;
scanf("%f%f",&a,&b); scanf("%f",&eps); while (b-a>=eps) { c=(a+b)/2;
扫描法的算法
1、输入数据
输入有根区间的端点a, b及子区间长度h
2、赋初值 a x,0 i
3、判断[x,x+h]内是否有根 若 f (x) f (x h) 0 则
i 1 i, x pi , x h qi
4、继续判断下一个区间
xhx
若x<b，则返回(3)；
否则结束
代数方程的实根的上、下界
根的隔离，求隔根区间 试值法、作图法、扫描法
判断是否有根,确定根的存在范围；
n次的代数方程最多有n个根，可 能有一对共轭复根
2.2 根的隔离-试值法
根据函数的性质，进行一些试算。 例2.1 求方程 2x3 3x2 12x 8 0 的隔根区间。
解 设 f (x) 2x3 3x2 12 x ，8 其定义域为 (,)
所以，隔根区间可取为(-4,-3)、(-1,0)和(2,3)。 由于f (x)为三次多项式，至多有3个实根。 因此方程f (x)=0所有的隔根区间为 (-4,-3)、(-1,0)和(2,3)。
f (x) 2x3 3x2 12x 8
的函数曲线
f (x)=0所有的隔根区间为 (-4,-3)、(-1,0)和(2,3)
b - a ε1
或 f (x) ε2
每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢， 且只能求一个根，使用条件限制较大
不能保证 x 的精度
2
x*
x
对分法的算法
(1) 输入隔根区间的端点a, b及预先给定的精度要求eps；
(2) (a+b)/2=>c； (3) 若f (c)=0，则输出c，结束；
否则若 f (a) f (c) 0 ，则
2012
计算机基础教育系
解决的问题
求方程
f(x)=0 的实根
本章恒设f(x) 连续
主要内容
何谓数值解法 根的存在性——介值定理 根的存在范围——根的隔离 根的精确化方法 重点算法：对分法、迭代法和牛顿法
非线性方程的求解过程
Step 1
Step 2
Step 3
根的精确化 对分法、迭代法、牛顿法、弦割法
思
路
xk+1 = φ(xk), … 若
xk
k0
收敛，即存在
x*
使得
lim
k
xk
x，*且
φ
连续，则由
lim
k
xk 1
可lim知
k
xx*k
=
φ(x* )，即x* 是 φ 的不动点，也就是f 的根。
迭代法举例
例2.3 求方程 x3 x 1 0
在x0=1.5附近的根的近似值，精度要求为10-4。
在x0=1.5附近的根的近似值，精度要求为10-4。 解 (2) 可将方程改写成等价形式
x 3 x 1
于是有迭代公式
xk1 3 xk 1 (k=0,1,2,…)
将初值x0=1.5代入，可得迭代序列x1,x2,…，
例2.3
取初值x0=1.5
xk 1 3 xk 1