非齐次Bernoulli方程的一个可积定理

* ] Q
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科
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报
第K D卷
则非齐次 ! 方程 ) 可积 , 且具有参数形式的通解 " # $ % & ’ ’ ( * + @ ? 其中
1
= ;< , 4 0 5 . 3 . / ) 0 + 7 89 6 8: 6 / ) 0 +
1 1
2 ) 0 +
4 6
) D +
A> 5 3/ ) 0 + B 2 ) 0 +C 6 , =为任意常数 E 为参数 , 这里的不定积分 F G 系指被积函数的任何一个确定的原函数 , 即积分 6 <
) H +
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I J I J I J
B 1 B 1 K 2 ) 0 + / ) 0 +L 2 ) 0 +K 2 ) 0 +K 4 > 1 ; M ) 0 +; 6 ;: / ) 0 + 6 57 / ) 0 + E 4 0 1 / ) 0 + 2 ) 0 + / ) 0 + / ) 0 + 由所设条件 ) 式成为 P + , ) H L +
这是非齐次 E 方程 1 其中 L 由于 F G C H I J J K 4 " 5 -% ! 7 " 1 6 4 " 5 -$ 7: "1 3 4 " 5 - : "1 M -$ 7 ! 2 且 3 4 " 5 6 4 " 5- $N 0 1 3 4 " 53 4 " 5 O PO PR O P Q : 6 4 " 5 " ! :" :" % #! Q " (: ")(% " )R O: " +(" )PS 02 L 4 " 5#
1
2 ) 0 +
4 6
) S +
其中
=为任意常数 E < 将) 并视 6 为参数 E 定理 K得证 E H + , ) S +联立 , 定理 Q 如果非齐次 ! 方程 ) " # $ % & ’ ’ ( Q +的系数 M ) 0 + , 2 ) 0 +和自由项 / ) 0 +满足条件 -
1 T ) 0 + / ) 0 +L @ K 2 / ) 0 + VW % $ X Y Z9 , / ) 0 + 1 / ) 0 + 2 ) 0 + A 2 ) 0 +U 则非齐次 ! 方程 ) 可积 , 通解可表为参数形式 " # $ % & ’ ’ ( Q + 通解为 ) K + 当/ ) 0 + 2 ) 0 +\ ]时 ,
M = *# L 4 " 5 = -6 4 " 5 =
4 $ . 5
$ 7 4 $ %M 5
可积 1 通解为 = -F X Y% L 4 " 5 ; " 4 $% M 5 6 4 " 5 F X Y4 M %$ 5L 4 " 5 ; "; " #D 其中 D为任意常数 2 证明 在定理 $中 1 令’ -% $ 1 Z - 0立得 2 推论 . 如果 [ 方程 K \ \ B A K
! 定理及其证明
为方便计 ( 将方程 E 写成 * F
_ X Y Z X [ \] E [ F Y \l ^ E [ F Y ‘m g E [ F ( E U F 其中 l 均为实常数 都是已知的连续函数 不失一般性 否则只需改变 ( m ( _E _ b+ F ( ] E [ F ( ^ E [ F ( g E [ F ’ E 常数 l 的符号 F 假定 ^ 且设 g 有 ( m ( E [ F ( g E [ F在所考虑的区间上同号 ( E [ F Z ^ E [ F具有导数 ( 定理 ! 如果方程 E U F的系数 ] E [ F ( ^ E [ F及自由项 g E [ F满足条件
第! "卷第 #期 * + + *年 ! *月
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$ % & ’ ! " ( ) % ’ # = > ? ’ ( * + + *
, . / 0. 0 / 1 2 0 1 .3 4 5 6 2 74 89 1 : 9 / 7 15 2 / ; 1 6 . / 9 / 1 .
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$ 7 " - ! : =7 " %! J C , $% : =7 " ,# D 1 即 !: = % ! " J C , $% : =7 " ,# D " -$ 2
. 若干推论
利用定理 $和定理 !易得下列推论 U 推论 $ 设函数 L 则一阶线性微分方程 4 " 5 1 3 4 " 5V W 1 = *# L 4 " 5 = -3 4 " 5 可积 1 通解为 = -F X Y% L 4 " 5 ; " 其中
常数为零 ) 下同 + E 证明 作未知函数的线性拓扑变换 1
.
则
> 5 3/ ) 0 + B 2 ) 0 +C 6 ) 6 56 ) 0 + + , K B 1 K B 1 8K 4 > / ) 0 + 4 6 K / ) 0 + / ) 0 +L 5 ; 6 E 4 0 2 ) 0 + 4 0 1 2 ) 0 + 2 ) 0 + 将4 代入方程 ) 得 > B 4 0 , > * + ,
非齐次 @ 方程的一个可积定理 > A B % C & & D
张学元
湖南工程学院 数理系 (湖南 湘潭 E # ! ! ! + # F
摘要 H 由著名的 @ 微分方 程 引进 了 非 齐次 @ 方程的概 念 ’ 在一定 的条件 下通 > A B % C & & D > A B % C & & D 过函数的线性拓扑变换将非齐次 @ 方 程 化为变 量分 离方程 得到一 个新 的 I 实 用的 > A B % C & & D ( 可积定理 ’ 熟知 的一阶 线性微分 方 程 I 方 程 及著 名的 J 方程I 方程的一 @ > A B % C & & D D ? ? K L D M N N > & 些经典的可积性结果都是这定理的特例 ’ 从而扩大了常微分方程封闭求积的范围 ’ 关键词 H 方程 O非齐次微分方程 O可积 O通解 @ > A B % C & & D 中图分类号 H P ! Q " ’ ! 文献标识码 H M 文章编号 H ! + + R S T U # ! E * + + * F + # S + U + ! S + "
%$ 7 ! * ! %$ 7 ! %$ 7 !
解
$ 6 4 " 5 3 4 " 5* $ 7 !3 4 " 5 6 4 " 5
$ !
据4 式得所给方程的参数形式通解为 T 5 ? #D 1 9 O P 9 $% : < > :"
%$ 7 ! ! : "7 @= -4 " 5+ < 积分并消去参数 < 得隐式通解 1 %$ 7 ! ! " ; " :"
+ 前
言
! W 习知 ( 著名的 @ 方程 V > A B % C & & D
_ X Y Z X [ \] E [ F Y \^ E [ F Y ‘+ E ! F ! d _ 是可积的一类非线性微分方程 ( 它经函数变换 c 的 E ] E [ F a0 ( ^ E [ F a0 ( _ b+ ( ! F ‘ Y 就化为关于 c 如果将方程 E 则方程 E 一阶线性微分方程 ’ ! F的右端项 e + f视为自由项 g E [ F ( ! F成为
N
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1
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A> 5 3/ ) 0 + B 2 ) 0 + 6 , 当 时 通解为 ) Q + / ) 0 + 2 ) 0 +_ ] , @ ? 其中
非齐次 @ 方程 E 一般是 不 可 积 的 ’ 法国数学家 i 在! > A B % C & & D * F D % C j D & & > T # !年 证 明 了 最 简 单 的 一 阶 * * 这是方程 * 非 线性微分方程 kk X 当 时的特 Y Z X [ ‘ [ \ YE E * F ] E [ F h+ ( ^ E [ F hd ! ( g E [ F ‘[ ( _ ‘* * W 殊情况 F 是不可积的 V 便是一例 ’ 由齐次 @ 方程 E 的解法启迪我们 H 非齐次 @ 方程在什 > A B % C & & D ! F > A B % C & & D 么条件下可经函数变换化为可积方程 ( 从而使得方程 E 可积 ’ 显然 ( 这是一个颇有意义的研究课题 ’ * F
1
= / ) 0 + 4 0 5 ;< , . . 3/ ) 0 + K8 9 6 ;6
1 1
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A> 5 38 / ) 0 + B 2 ) 0 +C 6 , = 为任意常数 为参数 < , 6 E 证明 在定理 K中 , 取: 5X ‘ $ ) / ) 0 + 2 ) 0 + +5
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! ^ E [ F g E [ Fp _ g E [ F ^ E [ F
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^ E [ Fh? B r L st ( V WV Wo V q W % g E [ F g E [ F
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收稿日期 H * + + * S + R S ! + 作者简介 H 张学元 E 男( 湖南省邰阳县人 ( 湖南工程学院教授 ( 主要从事微分方程方面的研究 ’ ! u # * S F (
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K ) / ) 0 + 2 ) 0 +\ ] + ,
且7 立得定理 Q 5K , E 8K ) / ) 0 + 2 ) 0 +_ ] + ,
Q 应用举例
P Q * Q 例 K 解方程 0 ) > L; > +; Q 0 > ;: 5] ) : a] + E Q Q P 解 将方程改写为 > 这是非齐次 ! 方程 ) 也是 b 方程 + 其 L ;) Q B 0 + > ; >58 :B 0E " # $ % & ’ ’ ( ( W W c Y ( , Q P 中M 由于 ) 0 +5 Q B 0 ,2 ) 0 +5 K ,/ ) 0 +58 : B 0,1 5Q E
_ X Y Z X [ \] E [ F Y \^ E [ F Y ‘g E [ F ’ E * F 我们不妨称方程 E 为非齐次 @ 方程 ( 其中右端项 g 当g 即为 * F > A B % C & & D E [ F称为自由项 ’ E [ Fh +时 ( 方程 E 称为齐次 @ 方程 ’ ! F ( > A B % C & & D
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) H L +
K B 1 Q 4 6 B 4 0 5/ ) 0 + I 2 ) 0 + B / ) 0 + J ) 7 89 6 8: 6 + E 方程 ) 是一个变量分离方程 , 积分之 , 得 H R + 1
) H R +
= 4 0 5 / ) 0 + ;< , . . 3 / ) 0 + 7 89 6 8: 6
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3 4 " 5 F X Y L " 5 ; "; 1 9 94 PLeabharlann Baidu O P"# DP
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D为任意常数 2 证明 在定理 $中 1 令’ -0 1 Z - $立得 2 推论 ! 设函数 L 为不等于 0和 $的实常数 1 则E 方程 4 " 5 1 6 4 " 5V W 1 M F G C H I J J K
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非齐次 E 方程的一个可积定理 F G C H I J J K
. 0 .
& ! * ! . ! $ " ’ ’ , ’ , ! ! , ’ , # % ! % & % &+ ! % % / -0 1 " ! ’ " " " " " " ! & 故定理 !的条件满足 2 注意到 3 据4 4 " 5+ 6 4 " 5-% ’ 7 "8 0 1 $ 0 5式得所给方程的通解为