分式的恒等变形(二)
奥数-分式恒等变形师
分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
（1/8） 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
（3）例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x ，y ，z 全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 【解析】 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a +++=++++++-+44816448161111a a a a =+++-+++1616161611a a =+-+32323232112a ==--例6. 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，求证： 7777771111a b c a b c++=++.【证明】：由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=，有()()()0a b b c a c +++=，则a ，b ，c 中一定有两个数互为相反数。
分式的基本性质
分式的基本性质
分式的基本性质——分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
注：
（1）分式的基本性质是各种分式变形的理论依据，运用分式的基本性质变换分式形式的过程，是一个恒等变形的过程。
变换前后的分式只是形式不同，其本质是完全一样的。
（2）分式的基本性质要求分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，是因为零乘以任何数还得零，所以当分子和分母同乘以一个值为零的整式时，分母则为零，此时分式无意义。
由分式的基本性质可以推得分式的符号法则：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注：
在最后结果中，习惯上只保留一个符号，写在分数线的前面。
分式的概念和性质+答案
分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数 要点诠释： 根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式 （1 除外）， 那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式， 不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母： 一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积； 如果各分母都是多项式， 就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形， 约分是对一个分式而言， 而通分则 是针对多个分式而言 .典型例题】 类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，， ， ， ，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式， 如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义； 当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义； 当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义； 当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】 分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零． 举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】 － 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2， ，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处： 一个是把 π 也看作字母来判断， 没有弄清 π 是一个常数； 另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义， 分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、 分式的概念和性质 例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式 的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义， 分数线代表除号， 又起括号的作用； (2) 、添括号法则： 当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号 举一反三：解： 由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】 列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为 其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂． 通分的关键是确定几个分式的最简公分 母，若分母是多项式， 则要因式分解， 要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变 化情况． 类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】 本题可利用分式的基本性质， 采用整体代入法， 或把分式的分子与分母化成只 含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】 本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想． 一般情况下， 在条件中含 有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简 的目的． 举一反三： 【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解： 设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】 一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（ ）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ． 化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个 的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当 时， 的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（ 已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题 答案】 B ； 解析】 由题意 2. 答案】 C ； 解析】 3. 答案】 解析】 4. 答案】 解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】 解析】①④正确 . 答案】 解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】 ，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】 解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得： 将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。
分式的基本性质2
例4 通分 1
1
（1）
a
2b（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂
可以对分式进行约分和通分.
例3 约分 （1）16 x2 y3
20 xy4
（2） x2 4
x2 4x 4
约分的依据：分式的基本性质。
约分的方法：分子和分母同除以它们的公因 式。因此，约分的关键是要首先找到它们的 公因式，分子分母是多项式的要分解因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫 最简分式。
复习：
1、什么是分式？
2、使分式有意义要有什么条件？
两个整式A、B相除时，可以表示为 A的形 式。如果B中含有字母，那么 A 叫做B分式。
分母B≠0时分式 A 有意义 B B
5 53，9 93 ， 8 8 3 24 24 3
分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以 （或除以）同一个不等于零的数，分数的值 不变。
x
3y
（2）a b
3ab
2a2+2ab
6a2b
解：（1）∵x≠0
∴
x2 x2 x x 3xy 3xy x 3y
即填3y
（1）∵a≠0
∴
ab 3ab
a b 2a
3ab 2a
2a2 2ab 6a 2b
即填2a2+2ab
与分数类似，根据分式的基本性质，
;
；
人觉得微笑很困难，以为是一个如何掌控面容的技术性问题，其实不然。不
初中数学竞赛——分式的恒等变形(二)
第6讲 分式的恒等变形（二）典型例题【例1】 化简：222222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+--+ ⎪⎛⎫+-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--+--+ ⎪⎝⎭.【例2】 求证：222()()()()()()y z z x x y x y x z y z y x z x z y x y y z z x ---++=++---------.【例3】 若1abcd =，且10abc ab a +++≠.求证：11111a b c d abc ab a bcd bc b cda cd c dab da d +++=++++++++++++.【例4】求证：2220 ()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b---++= ++++++.【例5】求证：22()()()()()()a bx a bx a x a x b a b x a b a x b +=+-------.【例6】化简：222111111 ()()()111111()()()a b cb c c a a ba b cb c c a a b-+-+--+-+-.【例7】化简：()()()()()()a b b c c a a b b c c aa b b c c a a b b c c a------+++++++++.【例8】已知y z x z x y x y zpx y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p++的值.【例9】已知：0abc≠，0a b c++=，求222a b cbc ca ab++的值.【例10】 已知：0a b c ++=且0abc ≠，求证：2222221222a b c a bc b ca c ab ++=+++.【例11】 已知：1xyz =，2x y z ++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值.【例12】 设a b c 、、满足2220a b c bc a ca b ab c ++=---.求222222()()()a b c bc a ca b ab c ++---的值.【例13】已知c b a>>,222222()()()8b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=，求证：a b c+=.【例14】已知：y zay z-=+，z xbz x-=+，x ycx y-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a b c---=+++.【例15】已知：2222222221 222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=，求222222222201320132013()()()222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++的值.思维飞跃【例16】 设a b c 、、互不相等，证明： 2222()()()()()()()()()()()()a xb xc b x c x a c x a x b x a b a c b c b a c a c b ------++=------.【例17】 已知非零实数a 、b 、c 满足0a b c ++=.（1）求证：3333a b c abc ++=；（2）求()()a b b c c a c a b c a b a b b c c a---++++---的值.【例18】 已知()()()5()()()132a b b c c a a b b c c a ---=+++，求a b c a b b c c a +++++的值.作业1. 求证：11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1a a b a b c a b c d a ab abc abcd abcd ++++++++++++++=.2. 求证：222()()()()()()x yz y zx xy z x y x z y z y x z x z y ---+=++++++.3. 若a ，b ，c 均不为0，且0a b c ++=，求222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值.4. 已知x 、y 、z 满足1x y z y z z x x y ++=+++，求222x y z y z z x x y +++++的值.5. 已知实数a b c 、、满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值.6. 若0a b c ++=，且0b c c a a b a b c ---++=，求证：2222220bc b c ca c a ab a b b c c a a b +-+-+-++=.。
分式的基本性质2(201911整理)
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） a ac
（2） x 3 x 2
(c 0)
2b 2bc
xy y
解：（1）∵c≠0
∴ a a c ac 2b 2b c 2bc
解：（2）∵x≠0，
∴ x3 x3 x x2 xy xy x y
例2 填空：
（1）3xx2y
x x2
y y2
(___1__) x y
练习3
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
1 a 2 3x
2b
2y
3 x2
2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a2b 6ab2 2 4m3n2 2m3nl 33x2 x x2 x 4 x 2 9 2x 2 6x
例4 通分 1
1
（1）
a
2b
，
ab
2
11
（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂
的积。(最简公分母)
解
（1）
1 a2b
与
1 ab2
x
1
y
＝
1(x y) ＝
(x y)( x y)
x y x2 y2
练习： 课本 第5页 练习1，2
补充练习
练习1：下列等式的右边是怎样从左 边得到的？
b by ( y 0) 2x 2xy
初中分式中的分母有理化繁分式的化简题目
初中分式中的分母有理化繁分式的化简题目【原创实用版】目录1.分式中的分母有理化2.繁分式的化简题目正文一、分式中的分母有理化在初中数学中，我们经常会遇到一些分式的分母中含有无理数的情况，这时候我们需要对分母进行有理化处理，使得分母变为有理数。
有理化处理可以简化计算过程，使问题变得容易解决。
分母有理化的方法主要有以下两种：1.乘法公式法：根据平方差公式或完全平方公式，将分母中的无理数消去。
例如，对于分式 $frac{1}{sqrt{2}+1}$，我们可以利用平方差公式，将分母有理化为$frac{1}{(sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)}=frac{1}{1}=boxed{1}$。
2.恒等变形法：这种方法主要利用分式的基本性质，对分母进行变形，使其成为有理数。
例如，对于分式 $frac{sqrt{3}+1}{2sqrt{3}-1}$，我们可以将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，即$frac{sqrt{3}+1}{2sqrt{3}-1}timesfrac{2sqrt{3}+1}{2sqrt{3}+1}=f rac{(2sqrt{3}+1)(sqrt{3}+1)}{(2sqrt{3}-1)(2sqrt{3}+1)}=frac{7+4 sqrt{3}}{7-4sqrt{3}}$。
然后，我们再利用差平方公式将分母有理化为$boxed{frac{7+4sqrt{3}}{7-4sqrt{3}}}$。
二、繁分式的化简题目繁分式是指分母中含有多个不同变量的分式，对于这类分式的化简，我们需要运用分母有理化的方法，结合分式的基本性质，进行逐步化简。
以下是一个繁分式化简的例子：例题：化简分式 $frac{2x^3+3xy^2-y^3}{x^2y^2-2x^2y+y^3}$。
解：首先，我们可以将分子、分母进行因式分解，得到$frac{(2x^3+3xy^2-y^3)}{(xy-y^2)(xy-x^2)}$。
然后，我们发现分子可以提出公因式 $(xy-y^2)$，于是化简为$frac{(xy-y^2)(2x^2+3y-y^2)}{(xy-y^2)(xy-x^2)}$。
分式恒等变形.学生版
对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y xx ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y x x ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y=⋅- 2x x y =-例题精讲思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值分式恒等变形【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．典题精练恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】已知有理数a、b、c满足1111a b c a b c++=++，求证：a b=-，或b c=-，或c a=-．【解析】1111a b c a b c++=++1111a b a b c c+=-++()()()a ba b c a b cab c a b c c a b c-++---==++++①若0a b+≠则()11ab c a b c-=++∴2ac bc c ab++=-20ab ac bc c+++=∴()()0a b c c b c+++=()()0a cb c++=∴0a c+=或0b c+=②当0a b+=时，即a b=-综上所述c a=-，或a b=-，或b c=-．例题精讲思路导航题型二：分式的恒等变形【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c++++++++=++．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩例题精讲思路导航典题精练题型三：部分分式与分离常数【例5】已知()()237231111x x A Bx x x x-+=++-+-+，其中A、B为常数，求42A B-的值．【例6】⑴若整数m使61mm-+为正整数，则m的值为．⑵若x取整数，则使分式6321xx+-的值为整数的x的值有（）．A．3个B．4个C．6个D．8个【例7】已知a b ckb c a c a b===+++，求k的值．典题精练训练1.⑴若不论x为何值，分式21 2x x c++总有意义，则c．⑵已知分式22153x xx+--的值为零，那么x的值是 .⑶当x时，分式21 5x x -+的值为正数.⑷当x满足时，12xx+<-.训练2.⑴23 22()x y xx yxy x y ⎛⎫⎛⎫-÷-⋅⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2225241244a a aa a a⎛⎫-+-+÷⎪+++⎝⎭，其中23a=+训练3.已知13xx-=，求1242++xxx的值.思维拓展训练(选讲)训练4.已知()22221111x x A B Cx x x x x+-=++--，其中A、B、C为常数，求A B C++的值．题型一分式的混合运算与化简求值巩固练习【练习1】计算：2222211 2326246x x xx x x x x⎛⎫++⎛⎫-÷-⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭【练习2】若4x y+=-，3xy=-，则式子1111x y+++的值为 .题型二分式的恒等变形巩固练习【练习3】已知x、y、z为三个不相等的实数，且111x y zy z x+=+=+，求证：2221x y z=.复习巩固题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？。
分式(基础)知识讲解
分式(基础)知识讲解分式的概念和性质（基础）研究目标】1.理解分式的概念，能够求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件。
2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算。
要点梳理】要点一、分式的概念分式是由两个整式相除得到的商式，其中分母中含有字母。
分数是整式，不是分式。
分数的分子、分母中都不含字母。
分式与分数是相互联系的，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a/πx^2y是整式而不能当作分式。
要点二、分式有意义、无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零。
2.分式无意义的条件：分母等于零。
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。
要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质。
用式子表示是：A/M ÷ B/M = A/B，其中M是不等于零的整式。
在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
要点四、分式的变号法则在变形后，字母x的取值范围可能变大了。
对于分式中的分子、分母和分式本身的符号，只要改变其中任何两个，分式的值不变；但改变其中任何一个或三个，分式的值会变成原分式的相反数。
要点解释：根据分式的基本性质，我们可以得出上述结论。
同时，根据有理数除法的符号法则，我们可以知道，分式与分子、分母同号，结果为正；异号，结果为负。
分式的符号法则在分式的运算中非常重要。
要点五、分式的约分和最简分式与分数的约分类似，我们可以利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
要点解释：约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式。
分式(三)分式恒等变形
分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。
分式分式的基本性质
2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。
分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。
定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。
分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。
分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。
分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。
分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。
02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。
分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。
02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。
分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。
通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。
通分后结果通分后的结果是同分母的分式。
分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。
分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。
03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。
异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。
通分分母不变，分子相加减得到结果。
分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。
约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。
通分按照分数的乘除法规则进行计算。
分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
分式的基本性质2(新编201911)
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示是：
A A M , A A M （M≠0，B≠0） B BM B BM
注：分式的基本性质是约分、通分及化简繁分式 的理论依据。就是说，分式的基本性质是分式恒 等变形的理论依据。
；好用的云控 云控爆粉 爆粉 / 好用的云控 云控爆粉 爆粉
x
3y
（2）a b
3ab
2a2+2ab
6a2b
解：（1）∵x≠0
∴ห้องสมุดไป่ตู้
x2 x2 x x 3xy 3xy x 3y
即填3y
（1）∵a≠0
∴
ab 3ab
a b 2a
3ab 2a
2a2 2ab 6a 2b
即填2a2+2ab
与分数类似，根据分式的基本性质，
复习：
1、什么是分式？
2、使分式有意义要有什么条件？
两个整式A、B相除时，可以表示为 A的形 式。如果B中含有字母，那么 A 叫做B分式。
分母B≠0时分式 A 有意义 B B
5 53，9 93 ， 8 8 3 24 24 3
分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以 （或除以）同一个不等于零的数，分数的值 不变。
例4 通分 1
1
（1）
a
2b
，
ab
2
11
（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
；
启蛰至雨水 诏祭古帝王陵及开皇功臣墓 以去大暑日数；自今已后 改行参军为行书佐 男子多务农桑 已下为半弱 西魏入关 一人案京师
分式的基本性质2
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。 通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂 的积。(最简公分母)
解 （1）
1 a 2b
与
1 ab 2
的最简公分母为a2b2，所以
b 1 b 1 ＝ 2 ＝ 2 2 2 a b a b b a b
1 2 ＝ ab
1 x y (_____) 2 2 x y x y
练习3
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
a 1 2b 3x 2 2y x 2 3 2a
练习4
用分式表示下列各式的商，并约分：
1 4a b 6ab
2 3 2
2
2 4m n 2m nl
该也对得上了,因为那家伙就是这样の壹个狂徒,剑痴.""他拿自己来当剑灵,来炼剑真有可能."陈三六说."恩,他确实是这么做の,不过咱也不知道,他以前还有这么壹段往事."根汉说："不过也许当年の事情,还有出入吧,毕竟过了这么多年了."他本来是想和陈三六讲,有这样の壹位现成の炼 金术士の先祖在の,若是陈三六以后能够和多姆大帝学壹学.壹定是会突飞猛进の,实力也会暴增.可是现在这陈三六好像对这个多姆大帝印象并不好,甚至是有些痛恨这个多姆大帝.因为是人都痛恨背叛者,而多姆大帝当年就背叛了炼金术士壹族."大哥你不知道,如果只是这样の话,咱也不会 说什么了."陈三六说："主要是他当年,还做了另壹件天怒人怨の事情.""什么事情?"根汉皱眉问道："还有别の事情?"陈三六点了点头,手上の针线也放下了,他沉声说道："当年因为这家伙消失の时候,还带走了炼金术士壹族の炼金图.&
恒等变换知识
恒 等 变 换——初中数学教师学科素养之三常用数学解题方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学问题的一种工具。
不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以用不同的方法，同时还依赖于已有知识的掌握程度、记忆程度和思维的灵活性、创造性。
从这一意义上说，掌握一些特殊的解题方法和技能技巧，常常能缩短思考过程，尽快谋取最优解题方法，在解决较复杂的问题中应把各种思想方法结合使用。
我们不仅要学会各种解题方法，还要知道题是用什么方法去解的，如2003年杭州市中考中出现了这样一道题：求函数的最小值，较合适的解题方法应该是 法，当然还可以用 法等方法解决。
一. 等式用等号连接的两个解析式叫做等式。
等式两边的解析式的定义域的公共部分（交集），称为此等式的定义域。
等式是命题，如果等号两边的解析式对于其定义域内所有允许值都有相等的数值，叫做这两个解析式恒等，这样的等式叫做恒等式，如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值中，只有某些数才有相等的数值，这样的等式叫做条件等式。
如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值，它们的值都不相等，这样的等式叫做矛盾等式。
例如22()()x y x y x y +-=-，３＋５＝８等都是恒等式；ｘ＋３＝１０是条件等式；53x x +=+是矛盾等式，有时为了强调一个等式是恒等式，常用""≡代替""=。
二. 恒等变换把一个解析式换成另一个与它恒等的解析式，这种变换叫做恒等变换或叫做恒等变形。
三.多项式恒等定理1.多项式恒等于零的定理：给定数域上标准形式的多项式，如果对自变量的任意数，该多项式的值总等于零，那么它的所有系数都等于零。
2.两个标准形式的多项式恒等的充要条件是同类项的系数都对应相等。
四.解题方法( 一 ) 配方法在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负性质，达到增加题目的条件等，从而达到解决数学问题的目的，配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或化简、解方程及函数的最值等方面。
分式方程知识点归纳
分式方程知识点归纳1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
例：若 ，则求6. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式的基本性质2
到一种时尚美妙的味道……大厅的地面是用明亮怪异的飞黄色影怪玉和美秋色天明铜铺成，四周高大的冰火铜墙壁雕绘着辉宏而帅气的巨幅壁画……大厅前方，隐隐可见一座
光彩亮丽、正被仙雾光环笼罩的圣坛，但见仙雾朦胧萦绕，光环耀眼梦幻，所以很难看清圣坛上的身影和圣人……通向圣坛的豪华地毯两旁摆放着两排精美的硕大花盆，花盆
中生长着整齐繁茂、鲜花盛开、香气四溢的巨大乔本花卉……每个花盆前面都摆放着一只精巧怪异的大香炉，缕缕飘渺幽静、带着异香的紫烟正袅袅地升上大厅高高的穹顶…
…抬头看去，大厅穹顶完全是用可自动变幻景物的神秘材料魔化而成，穹顶的景色一会儿是云海，一会儿是星空，一会儿是海底，一会儿是巨洞……穹顶中央巨大焰火雾淞般
赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的考场上，让洒满金辉的考场在水红色的天空和水红色的云朵映衬下越发怪异夺目……考场四周悬浮着十几处色彩造型各不相同的看
台，看台上坐满了将近五亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观看的师生都带着一只备有压缩彩屏的三维，虽
然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到五十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角度和距离观看现场所有的超清晰立体景像。这毕竟是几十
年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个考场的气氛显得十分热烈高涨……在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨
而神奇的海洋。再看考场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园
林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的峨然巨藤体，这个峨然巨藤体由五个葫芦形的高低错落的暗白色 和一座高达二十多米的，墨黑色的青曲飞的骨架构成。一缕
分式恒等变形(难)60
分式恒等变形（难）一．试题（共60小题）1．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定2．若x+y+z＝3a（a≠0），则的值为．3．设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．已知a+，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．不能确定5．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定6．（1）n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．（2）计算：．7．已知a、b、c满足a2+b2+c2＝1，，那么a+b+c 的值为．8．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为．9．如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．410．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b11．设a、b、c满足abc≠0，且a+b＝c，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．312．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（）A．﹣1B．C．2D．13．已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1＝8，a7＝5832，，则a5为（）A．648B．832C．1168D．194414．已知x2﹣5x﹣1991＝0，则代数式的值为（）A．1996B．1997C．1998D．199915．（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0；（2）设a+b+c＝0，求的值．16．（1）已知b2＝ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．17．（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0，求a8+7a﹣4的值．（2）已知，求的值．18．已知xyz＝1，x+y+z＝2，x2+y2+z2＝16，求代数式的值．19．如果，那么的值是（）A．0B．1C．2D．420．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A．3B．C．2D．21．已知，求的值．22．已知x+y+z＝3a，求的值．23．已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2＝1，①，；②求a+b+c的值．24．设1995x3＝1996y3＝1997z3（xyz＞0），且．求的值．25．已知：，，，且x+y+z≠0，试求的值．26．已知m＞0，n＞0，且，求的值．27．已知，且x≠y，求的值．28．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz 的值．29．证明以下各式：（1）若abc＝1，则（2）若a+b+c＝0，则（3）已知：且，求证：（4）若：x＝by+cz，y＝cz+ax，z＝ax+by．求证：．30．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值．31．已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝．32．（1）化简；（2）已知＝，用含a的式子表示．33．如果，那么＝（）A．1B．2C．D．34．已知：ax＝by＝cz＝1，求的值．35．若实数a，b，c满足条件，则a，b，c中（）A．必有两个数相等B．必有两个数互为相反数C．必有两个数互为倒数D．每两个数都不等36．若正数a、b、c满足（）2+（）2+（）2＝3，求代数式++的值．37．已知，求证：abc＝1．38．已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，，求：三角形的面积．39．已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为．40．已知a+＝，则a5+＝．41．在公式c＝中，r＝，设e、R、r不变，则n增至为n1，n1＝2n，此时c值为c1，则＝．42．方程组的解是．43．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．（1）求的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．44．设互不相等的非零实数a，b，c满足a+＝b+＝c+，求（a+）2+（b+）2+（c+）2的值．45．已知正数a，b，c，d满足，，，，求（a+c）﹣（b+d）的值．46．已知：a+b+c＝0，则求：的值．47．若a+b+c＝0，求的值．48．已知a＝，b＝，c＝，则的值为．49．已知a2+b2+c2＝m，a+b+c＝，则的值为．51．已知实数a，b，c满足a+b+c＝13，a2+b2+c2＝77，abc＝48，求++的值．52．已知三个方程构成的方程组．恰有一组解x ＝a，y＝b，z＝c，则a3+b3+c3＝（）A．﹣1B．1C．0D．1753．求值：20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006＝（）A．2036216432B．2000000000C．12108216000D．055．已知abc＝1，则关于x的方程的解为．56．若y＝（abc≠0），则x2+y2+z2＝（）A．B．C．D．57．已知：a+b+c＝0，则的值是．58．在公式y＝kx+b（k，b为常数）中，当﹣3≤x≤1时，1≤y≤9，则2k﹣b的值为或．59．已知a+b＝2，，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．60．已知x+﹣＝0，则|x16﹣46x8﹣6x4﹣3x2|＝（）A．1B．2C．3D．4分式恒等变形（难）参考答案与试题解析一．试题（共60小题）1．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么++的值（）A．是正数B．是零C．是负数D．正、负不能确定【分析】根据abc＝6，可以将所求式子化简，然后再根据a+b+c＝0，可以得到bc+ac+ab 的正负情况，从而可以判断所求式子的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵abc＝6，∴++＝＝，∵bc+ac+ab＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝0，∴bc+ac+ab＝﹣（a2+b2+c2），∵a、b、c均不为0，∴bc+ac+ab＜0，∴＜0，即++的值是负数，故选：C．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．2．若x+y+z＝3a（a≠0），则的值为．【分析】设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p，则m+n+p＝0，代入所求分式化简即可得出答案．【解答】解：设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p，则m+n+p＝0，代入，＝，＝，＝﹣，＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是正确设出x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p的形式，然后再化简求值．3．设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】根据，则，不等式同时加上1化简后即可得出答案．【解答】解：∵a、b、c均为正数，根据，则，上式同时加1得：，化简得：，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是把已知不等式进行变形进而求解．4．已知a+，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．不能确定【分析】把a，b中的一个当作未知数，就可得到一个方程，解方程即可求解．【解答】解：两边同乘以a，得到：a2+（﹣2b）a﹣2＝0，解这个关于a的方程得到：a＝2b，或a＝﹣，∵a+≠0，∴a≠﹣，故选：C．【点评】把其中的一个字母当作未知数，转化为方程问题是解决关键．5．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定【分析】由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，然后代入化简即可得出答案．【解答】解：由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，代入，＝++，＝，＝0．故选：C．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度一般，关键是把a+b+c＝0分别变形为b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac的形式．6．（1）n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．（2）计算：．【分析】（1）由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；（2）首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算【解答】解：（1）因n+6|（n3+63）+1780，而n+6|n3+63整除，故n+6|1780，得n＝4，14，83，172，350，439，884，1774，所以，所有吉祥数的和为4+14+83+172+350+439+884+1774＝3720．（2）∵+＝＝2∴原式＝49×2+1＝99【点评】本题考查数的整除性问题以及对规律性问题的考查，关键是通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决以及首尾配对，把数值计算转化为分式的运算．7．已知a、b、c满足a2+b2+c2＝1，，那么a+b+c 的值为0，1，﹣1．【分析】由，那么（a+b+c）（++）＝0，即可求解．【解答】解：由，那么（a+b+c）（++）＝0，∴a+b+c＝0或++＝0，当++＝0时，ab+bc+ac＝0，∵a、b、c满足a2+b2+c2＝1，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝1，∴a+b+c＝±1，故答案为：0或1或﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是由变形为（a+b+c）（++）＝0．8．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为1．【分析】先用未知数x表示y，z，再根据解分式方程的步骤求出x的值，代入从而得到xyz的值．【解答】解：因为，所以4（4x﹣3）＝x（4x﹣3）+7x﹣3，解得．从而，．于是．故答案为1．【点评】本题考查了分式方程的解法．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．本题解题的关键是用一个未知数表示另两个未知数．9．如果，，那么等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．【解答】解：由已知得＝1﹣a，b＝1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）＝1，展开，得1﹣﹣a+＝1去分母，得ac+2＝2a两边同除以a，得c+＝2．故选：B．【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．10．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果，那么（）A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b【分析】利用等比性质即可求得a＝2b，代入即可求得b，c的关系．【解答】解：由等比性质可得：＝＝＝，∴a＝2b，把a＝2b代入＝得，3b＝2c．故选：A．【点评】本题主要考查了等比性质，正确利用等比性质是解决本题的关键．11．设a、b、c满足abc≠0，且a+b＝c，则的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】由a+b＝c，可得b＝c﹣a，c＝a+b，a＝c﹣b，然后对所求分式进行变形，先利用平方差公式变形，再根据需要代入b＝c﹣a，c＝a+b，a＝c﹣b，进行变形，再利用分数的性质化简即可求值．【解答】解：∵a+b＝c，∴b＝c﹣a，c＝a+b，a＝c﹣b，∴++，＝++，＝++＝++＝++＝1+1﹣1＝1故选：B．【点评】本题利用了等式的性质、分数的性质、平方差公式以及整体代入的有关知识．12．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（）A．﹣1B．C．2D．【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac＝；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，将已知代入，得ab+bc+ac＝；由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），∴原式＝++＝＝＝＝＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．13．已知﹣列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1＝8，a7＝5832，，则a5为（）A．648B．832C．1168D．1944【分析】列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，假设仅知道a1＝8，a7＝5832，因而要想法用a1，a7表示出k的关系，进而求出k的值．观察发现，只有将各式分子分母分别相乘，才能最终剩余a1，a7，k即解得k，利用上面的原理也可以化为，那么a5就能解得．【解答】解：令＝k，则⇒，即，解得，⇒，解得a5＝＝＝648．故选：A．【点评】做好本题的关键是注意观察虚拟一个比值k，再利用已知条件a1＝8，a7＝5832，k找到他们间的关系，进而找到a1，a5，k间的关系，问题就能解决．本题虽是选择题，但也有一定难度，也可作为大题出现．14．已知x2﹣5x﹣1991＝0，则代数式的值为（）A．1996B．1997C．1998D．1999【分析】首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可．【解答】解：＝＝＝＝＝x2﹣5x+8；∵x2﹣5x﹣1991＝0，∴x2﹣5x＝1991，∴原式＝1991+8＝1999．故选：D．【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大．15．（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0；（2）设a+b+c＝0，求的值．【分析】（1）先把分式化简，再代入求值即可；（2）由已知可得a+b＝﹣c，c＝﹣a﹣b，则2a2+bc＝2a2+b（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+a+b）＝（a﹣b）（a﹣c），同理2b2+ac＝（b﹣c）（b﹣a），2c2+ac＝（c﹣a）（c﹣b），代入所求代数式计算即可．【解答】解：（1）原式＝＝；∵a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，∴原式＝＝1；（2）由已知可得a+b＝﹣c，c＝﹣a﹣b，则2a2+bc＝2a2+b（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+a+b）＝（a﹣b）（a﹣c），同理2b2+ac＝（b﹣c）（b﹣a），2c2+ab＝（c﹣a）（c﹣b），∴原式＝＝，∵b＝﹣a﹣c，∴a2（b﹣c）﹣b2（a﹣c）+c2（a﹣b）＝a2（﹣a﹣2c）﹣（a+c）2（a﹣c）+c2（a+a+c）＝﹣a3﹣2a2c﹣a3﹣a2c+ac2+c3+2ac2+c3＝﹣2a3﹣3a2c+3ac2+2c3＝2（c3﹣a3）+3ac（c﹣a）＝（c﹣a）（2c2+5ac+2a2）＝（c﹣a）（2c+a）（c+2a）＝（c﹣a）（2c﹣b﹣c）（﹣a﹣b+2a）＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c）∴原式＝＝＝1．【点评】此题考查分式的化简求值，难度较大，已知条件的反复应用、因式分解的应用都要灵活．16．（1）已知b2＝ac，求的值；（2）已知x、y、z满足，求代数式的值．【分析】（1）先把分式化简，再代入求值即可；（2）由已知可得，则，同理求得所求代数式中的后两个式子的表达式，相加并化简即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝，∵b2＝ac，∴原式＝1；（2）由已知可得，则①，同理②，③，①+②+③得＝（x+y+z）﹣＝x+y+z﹣y﹣x﹣z＝0．【点评】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．此题难度较大．17．（1）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0，求a8+7a﹣4的值．（2）已知，求的值．【分析】（1）由条件得a2＝a+1，通过不断平方，把原式用较低次方的多项式表示，代入所求代数式计算；（2）已知条件三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出的值．【解答】解：（1）由已知得a2＝a+1，两边平方，得a4＝a2+2a+1＝3a+2，两边再平方，得a8＝9a2+12a+4＝21a+13，∴a8+7a﹣4＝21a+13+＝＝＝＝48；（2）∵++＝＝＝＝﹣＝﹣，∴（+1）+（+1）+（+1）＝3﹣＝，即++＝，∴＝．【点评】本题考查了分式的恒等变形，采用了降次、通分、因式分解等方法，运算量大，考查学生的运算能力，需要仔细．18．已知xyz＝1，x+y+z＝2，x2+y2+z2＝16，求代数式的值．【分析】根据xy+2z＝xy+2（2﹣x﹣y）＝（x﹣2）（y﹣2），同理即可把所求的式子的分母进行转化，即可求解．【解答】解：∵x+y+z＝2，∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，即4＝16+2（xy+yz+xz），∴2（xy+yz+zx）＝﹣12．xy+2z＝xy+2（2﹣x﹣y）＝（x﹣2）（y﹣2）同理，yz+2x＝（y﹣2）（z﹣2），zx+2y＝（z﹣2）（x﹣2）．原式＝＝＝﹣【点评】本题主要考查了代数式的化简求值，正确对分母进行变形是解决本题的关键．19．如果，那么的值是（）A．0B．1C．2D．4【分析】本题通过对题中式子进行分析，可先求出的平方值，根据题中条件求出x的平方值，然后代入即可求出答案．【解答】解：＝，∵，∴x2＝﹣代入即可得＝+2+＝16，则的值是4．故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值问题，对于求带有根号的式子值，可先求出其平方，开方时注意正负号．20．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A．3B．C．2D．【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a ﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．【解答】解：由于根号下的数要是非负数，∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，∴a只能等于0，将a＝0代入等式得﹣＝0，∴x＝﹣y，即：y＝﹣x，由于x，y，a是三个不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x＝﹣y代入原式得：原式＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．21．已知，求的值．【分析】由已知得（x﹣4）2＝3，即x2﹣8x+13＝0，则x2﹣8x＝﹣13，把分子、分母变形利用x2﹣8x表示，代入求值即可．【解答】解：已知得（x﹣4）2＝3，即x2﹣8x+13＝0，则x2﹣8x＝﹣13．分子x4﹣6x3﹣2x2+18x+23，＝x4﹣8x3+2x3﹣2x2+18x+23，＝x2（x2﹣8x）+2x3﹣2x2+18x+23，＝﹣13x2+2x3﹣2x2+18x+23，＝2x3﹣16x2+x2+18x+23，＝2x（x2﹣8x）+x2+18x+23，＝﹣26x+x2+18x+23，＝x2﹣8x+23，＝﹣13+23，＝10，分母是x2﹣8x+15＝﹣13+15＝2，∴＝＝5．故答案为：5．【点评】本题使用了整体代换的方法．正确对分子进行变换是解题的关键．22．已知x+y+z＝3a，求的值．【分析】由x+y+z＝3a得：（x﹣a）+（y﹣a）+（z﹣a）＝0，可设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z ﹣a＝p，则p＝﹣（m+n），将所求代数式中x﹣a、y﹣a、z﹣a分别用m、n、p代替，化简求值．【解答】解：设x﹣a＝m，y﹣a＝n，z﹣a＝p，则p＝﹣（m+n），∴原式＝＝＝＝﹣．【点评】本题解题的关键是根据已知等式设未知数，寻找几个未知数之间的关系，将所求分式进行转化，达到约分化简的目的．23．已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2＝1，①，；②求a+b+c的值．【分析】先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论们每个式子等于0的情况，最后求出a+b+c的所有值．【解答】解：将②式变形如下，a（）+1+b（）+1+c（）+1＝0，即a（）+b（）+c（）＝0，∴（a+b+c）（）＝0，∴（a+b+c）•＝0，∴a+b+c＝0或bc+ac+ab＝0．若bc+ac+ab＝0，则（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）＝a2+b2+c2＝1，∴a+b+c＝±1．∴a+b+c的值为0，1，﹣1．【点评】将3拆成1+1+1，最终都是将①式变形为两个式子之积等于零的形式，再利用两数相乘，积为0，讨论两数的值的情况，并会利用公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）及开方运算．24．设1995x3＝1996y3＝1997z3（xyz＞0），且．求的值．【分析】设1995x3＝1996y3＝1997z3＝k，显然k≠0，代入式子从而形成等式而求得．【解答】解：设1995x3＝1996y3＝1997z3＝k（k≠0），∴，，，代入已知得，即，由k≠0，xyz＞0，可知x＞0，y＞0，z＞0，∴，故原式＝1．【点评】本题考查了分式的混合运算，设定定植k，代入很容易求得．25．已知：，，，且x+y+z≠0，试求的值．【分析】把，，代入化简即可得出答案．【解答】解：∵x+y+z≠0，把，，代入得：＝++＝，＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的化简求值，难度不大，主要是先把，，代入再进行化简．26．已知m＞0，n＞0，且，求的值．【分析】将已知条件先做乘法，再因式分解求出m、n的关系式，代入所求算式进行计算．【解答】解：由，得（）2﹣2﹣15（）2＝0，即（﹣5）（+3）＝0，∵m＞0，n＞0，∴m＝25n，＝＝＝3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将已知条件变形，求出m、n的关系式是解题的关键．27．已知，且x≠y，求的值．【分析】由于＝，故只需分别求出x2+y2与xy的值即可．而由已知等式易知x2+y2＝2+（x+y），故先求出x+y的值，再代入计算出x2+y2的值，然后结合完全平方公式得出xy的值．通过观察发现，两个等式的右边都是，所以左边相等，得到x2+y＝y2+x，将它变形，可得x+y＝①；进一步计算出x2+y2＝2﹣2②，把①式两边平方，再将②式代入，可得xy＝2﹣③，然后将所求式子通分，把②③代入，即可求出其值．【解答】解：∵，，∴x2+y＝y2+x，∴x2﹣y2＝x﹣y，∴（x﹣y）（x+y﹣）＝0，∵x≠y，∴x+y＝．又∵x2+y2＝（﹣y）+（﹣x）＝2﹣2，∴x2+y2+2xy＝（x+y）2＝2，即2﹣2+2xy＝2，∴xy＝2﹣．∴＝＝＝．【点评】本题主要考查了完全平方公式及代数式求值，难度中等，关键是求出x+y的值．28．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz 的值．【分析】（1）根据题意，可知，然后变形整理，即可得到所求式子的值；（2）根据材料2中的例子，可以求得所求式子的值；（3）根据材料中的例子，将题目中的式子整理，化简，即可得到所求式子的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）设，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，∴；（3）设，∴①，②，③，①+②+③，得，④，④﹣①，得：，④﹣②，得：，④﹣③，得：，∴，，，∵∴，∴，解得，k＝4，∴，，，∴．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．29．证明以下各式：（1）若abc＝1，则（2）若a+b+c＝0，则（3）已知：且，求证：（4）若：x＝by+cz，y＝cz+ax，z＝ax+by．求证：．【分析】（1）由于abc＝1，可以把题目中的第一个分式的1分子变为abc，或者把分子中的ac乘以b变为1，最后就可以变为同分母的分式加减，由此即可求解；（2）由于a+b+c＝0，由此得到a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b），然后分别代入题目中的分母中，接着利用完全平方公式分解即可求解；（3）首先把两边平方，然后把变为，然后分别代入所证明的等式的左边，由此即可解决问题；（4）首先联立已知等式组成方程组，解方程组可以分别得到（x+y+z）＝2ax+2by+2cz，y+z﹣x＝2ax，x+z﹣y＝2by，x+y﹣z＝2cz；接着得到x+y+z＝2（1+a）x＝2（1+b）y＝2（1+c）z，由此即可证明题目的问题．【解答】（1）证法1：∵abc＝1∴左边＝＝右边所以等式成立．证法2：∵abc＝1∴∴左边＝＝右边等式成立．（2）∵a+b+c＝0∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b）∴原式左边＝＝右边即等式成立．（3）∵∵；又∵∴由（2）式得：∴等式左边＝＝1＝右边所以等式成立．（4）∵由（1）+（2）+（3）得：（x+y+z）＝2ax+2by+2cz（4）由（4）﹣（1）×2得：y+z﹣x＝2ax；由（4）﹣（2）×2得：x+z﹣y＝2by；由（4）﹣（3）×2得：x+y﹣z＝2cz；∴x+y+z＝2（1+a）x＝2（1+b）y＝2（1+c）z令x+y+z≠0，∴（1+a）x≠0，（1+b）y≠0，（1+c）z≠0．∴∴∴，同理：∴【点评】此题主要考查了由分式等式向整式等式转化的方法，因式分解在整式变形中的作用．几个因式的积为0，这几个因式中至少有一个为0．30．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值．【分析】令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，继而知abc+3c ＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理得出abc+3k＝（k2﹣3）a、abc+3k＝（k2﹣3）b，根据（k2﹣3）a＝（k2﹣3）b＝（k2﹣3）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝3，从而得出答案．【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，由ab+3＝bk，可得abc+3c＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理可得：abc+3k＝（k2﹣3）a，abc+3k＝（k2﹣3）b，∴abc+3k＝（k2﹣3）＝abc+3k＝（k2﹣3）b，∵a，b，c为互不相等的非零实数，∴k2﹣3＝0，即k2＝3，则＝9．∴．【点评】本题主要考查分式的化简求值，设k法得到则是解题的关键．31．已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝．【分析】由已知求出a+的值，把＝2变形成含a+的形式即可求解；【解答】解：∵a2﹣6a+1＝0，∴a≠0，将方程两边除以a得：a﹣6+＝0即a+＝6，而＝＝，∵＝2，∴，即，解得m＝，经检验m＝是原方程的解，故答案为：．【点评】本题考查解分式方程，题目有难度，解题关键是将方程变形为只含a+的形式再代入求解．32．（1）化简；（2）已知＝，用含a的式子表示．【分析】（1）对分母进行通分运算，然后约分得结果；（2）利用等式的性质，把方程转化为a＝x2+，右边配方，开平方求倒数得结果．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝1；（2）因为＝所以x2a+x2＝x4+x2+1即a＝x2+等式的两边都加2，得a+2＝x2+2+即a+2＝（x+）2所以＝所以＝±【点评】本题考查了分式的化简、分式方程的变形．解决（1）还可利用分式的基本性质，解决（2）的关键是配方．33．如果，那么＝（）A．1B．2C．D．【分析】由于，利用它们可以分别得到用b表示a和c，然后代入所求分式中计算即可求解．【解答】解：∵，∴a＝，＝1﹣b，∴＝，c＝，那么＝＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，解题的关键会利用分式的混合运算法则变形．34．已知：ax＝by＝cz＝1，求的值．【分析】根据题意可得x＝，y＝，z＝，由此可计算出+、+及+的值，从而可得出答案．【解答】解：根据题意可得x＝，y＝，z＝，∴+＝+＝+＝1，同理可得：+＝1；+＝1，∴＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，有一定难度，注意掌握解答此类题目的步骤．35．若实数a，b，c满足条件，则a，b，c中（）A．必有两个数相等B．必有两个数互为相反数C．必有两个数互为倒数D．每两个数都不等【分析】首先把等式去分母得到b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc＝0，用分组分解法将上式左边分解因式（a+b）（b+c）（a+c）＝0，得到a+b＝0，b+c＝0，a+c＝0，根据相反数的定义即可选出选项．【解答】解：，去分母并整理得：b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc＝0，即：（b2c+2abc+a2c）+（bc2+ac2）+（a2b+ab2）＝0，∴c（a+b）2+c2（a+b）+ab（a+b）＝0，（a+b）（ac+bc+c2+ab）＝0，（a+b）（b+c）（a+c）＝0，即：a+b＝0，b+c＝0，a+c＝0，必有两个数互为相反数，故选：B．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，因式分解的分组分解法，相反数，单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式等知识点，去分母后分解因式是解此题的关键．36．若正数a、b、c满足（）2+（）2+（）2＝3，求代数式++的值．【分析】根据题意，可知a、b、c具有轮换对称性，不妨设0＜a≤b≤c，然后分三种情况讨论c与a+b的大小关系，即可求得所求式子的值．【解答】解：由于a、b、c具有轮换对称性，不妨设0＜a≤b≤c，若c＞a+b，则c﹣a＞b＞0，c﹣b＞a＞0，∴，，，∴，与已知条件矛盾；若c＜a+b，则0≤c﹣a＜b，0≤c﹣b＜a，∴，，，∴，与已知条件矛盾；若c＝a+b，＝1，＝1，＝﹣1，∴（）2+（）2+（）2＝3，符合已知，∴++＝1+1﹣1＝1，由上可得，++的值是1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，利用分类讨论的方法解答．37．已知，求证：abc＝1．【分析】设abc＝k，ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w，然后将各式分别乘以c、a、b 可得出关系式，然后将所给分式两边同乘以uvw再得出一个关系式，从而联立可得出答案．【解答】解：设abc＝k，ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w，两边分别乘以c，a，b得：abc+ca+c＝cu，代入abc＝k并根据ac+c+1＝w得到：k﹣1+w＝cu (1)abc+ab+a＝av，代入abc＝k并根据ab+a+1＝u得到：k﹣1+u＝av (2)abc+bc+b＝bw，代入abc＝k并根据bc+b+1＝v得到：k﹣1+v＝bw (3)已知：++＝1，两边同乘以uvw得：avw+buw+cuv＝uvw（1）两边乘以v；（2）两边乘以w；（3）两边乘以u相加可得：（k﹣1）（u+v+w）+uv+vw+uw＝avw+buw+cuv＝uvw (4)（1）×（2）×（3）三式得：（k﹣1+u）（k﹣1+v）（k﹣1+w）＝abcuvw＝kuvw，∴（k﹣1）3+（u+v+w）（k﹣1）2+（uv+vw+uw）（k﹣1）﹣uvw（k﹣1）＝0，（k﹣1）[（k﹣1）2+（u+v+w）（k﹣1）+（uv+vw+uw）﹣uvw]＝0，与（4）比较可得：（k﹣1）3＝0，∴k＝1，即：abc＝1．【点评】本题考查分式的化简，难度较大，关键是设出abc＝k，ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w，注意在证明的时候要向结论靠拢．38．已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，，求：三角形的面积．【分析】计算b﹣c、c﹣a、a﹣b，可得a≥b≥c、b≥c≥a、c≥a≥b，则a＝b＝c＝1，根据等边三角形的面积公式求解．【解答】解：∵，，解法1：∴当a≥b时有b≥c，即a≥b≥c同理可得：即b≥c≥a同理可得：即c≥a≥b∴a＝b＝c＝1．解法2：∵，∴，，，∴，∴，∴a＝b＝c＝1，∴．【点评】此题根据分式的混合运算求三角形的面积，难度较大，要充分利用已知条件．39．已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为2．【分析】可设＝＝＝，则＝＝＝＝k，即＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k可得k＝，由+＝得k1+k2＝k，代入计算即可求解．【解答】解：设＝＝＝，则＝＝＝＝k，整理得+＝+＝+＝＝k，∴＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k得k＝，由+＝得k1+k2＝k，∴原式＝2×+2×＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和性质是解题的关键．40．已知a+＝，则a5+＝或．【分析】将原等式两边都乘以a，将分式方程化为整式方程，解方程求得a的值，再代入计算可得．【解答】解：∵a+＝，∴a2﹣a+1＝0，解得：a＝或a＝，当a＝时，a5+＝（）5+＝，当a＝时，a5+＝（）5+＝，故答案为：或．【点评】本题主要考查解分式方程和分式的求值能力，根据分式方程求得a的值是解题的关键．41．在公式c＝中，r＝，设e、R、r不变，则n增至为n1，n1＝2n，此时c值为c1，则＝．【分析】由r＝，可知R＝2r，n1＝2n，再相除即可解答．【解答】解：由r＝，可知R＝2r，n1＝2n，代入公式c＝可得c1＝，则＝÷＝．故答案为：．【点评】本题主要考查分式的乘除法，求出c1的值是解答本题的关键．42．方程组的解是．【分析】先把原方程组化为，令x+y+z＝k，代入得新方程组求得用k表示的x、y、z，再代入x+y+z＝k，求得k的值，即可求解．【解答】解：原方程组化为令x+y+z＝k，代入得由（1）+（2）+（3）得由（4）分别减去（1）（2）（3）得由（5）×（6）×（7）得（8）由（8）分别除以（5）（6）（7）得将（9）（10）（11）代入x+y+z＝k，得，从而原方程组的解为：．故答案为：．【点评】用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．43．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．（1）求的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．【分析】（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx ﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．【解答】解：（1）由等式，去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）＝0，∴xyz＝x+y+z，∴原式＝．（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，又∵x，y，z为正实数，∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．【点评】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂，正确计算是关键．44．设互不相等的非零实数a，b，c满足a+＝b+＝c+，求（a+）2+（b+）2+（c+）2的值．【分析】令a+＝b+＝c+＝k，则ab+2＝bk，bc+2＝ck，ac+2＝ak，继而知abc+2c ＝kbc＝k（ck﹣2），即abc+2k＝（k2﹣2）c，同理得出abc+2k＝（k2﹣2）a、abc+2k＝（k2﹣2）b，根据（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝2，从而得出答案．【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k，则ab+2＝bk，bc+2＝ck，ac+2＝ak，由ab+2＝bk可得abc+2c＝kbc＝k（ck﹣2），移项，得：abc+2k＝（k2﹣2）c，同理可得：abc+2k＝（k2﹣2）a，abc+2k＝（k2﹣2）b，∴（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c，∵a，b，c为互不相等的非零实数，∴k2﹣2＝0，即k2＝2，则（a+）2+（b+）2+（c+）2＝3k2＝6．【点评】本题主要考查分式的化简求值，设k法得到（k2﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c是解题的关键．45．已知正数a，b，c，d满足，，，，求（a+c）﹣（b+d）的值．【分析】根据题意将四个式子相乘可得（abcd）2＝1，又a，b，c，d为正数，即abcd＝1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d的值，继而求出答案．【解答】解：根据题意将四个式子相乘可得：（abcd）2＝1，又a，b，c，d为正数，所以abcd＝1，则bcd＝，又bcd＝4a，即＝4a，解得a＝；同理可求出：b＝，c＝2，d＝3，故（a+c）﹣（b+d）＝（+2）﹣（+3）＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d的值是关键．46．已知：a+b+c＝0，则求：的值．【分析】将a+b+c＝0转化为a3+b3+c3＝3abc，将经通分，分解因式，合并同类项转化为，再将a3+b3+c3＝3abc代入上式，至此问题得以解决．【解答】解：∵a+b+c＝0∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a则原式为：∵a+b+c＝0∴a3+b3+c3＝3abc∴上式＝9【点评】本题巧用a3+b3+c3＝3abc（当a+b+c＝0）这一结论，来解题．同学们对这一结论要会简单推理，灵活运用，在分式化简中经常用到．47．若a+b+c＝0，求的值．【分析】由于a+b+c＝0可转化为a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，b2+c2﹣a2＝﹣2bc，将上面各式代入可转化为进一步转化从而解决问题．【解答】解：∵已知a+b+c＝0⇒a+b＝﹣c⇒a2+b2+2ab＝c2⇒a2+b2﹣c2＝﹣2ab同理a2+c2﹣b2＝﹣2ac，b2+c2﹣a2＝﹣2bc分别将a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，b2+c2﹣a2＝﹣2bc代入式得＝＝＝＝0故答案为0【点评】做本类题目主要是有一个整体思想，即将一个表达式用另一个表达式来表示．如本题中a+b+c＝0做适当的转化a2+b2﹣c2就可以用﹣2ab表示．48．已知a＝，b＝，c＝，则的值为1．【分析】把a＝，b＝，c＝代入，再化简计算即可．【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，∴＝＝＝＝＝＝∴＝++＝＝1故答案为：1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的基本性质进行化简是解题的关键．49．已知a2+b2+c2＝m，a+b+c＝，则的值为3．【分析】将a+b+c＝两边同时平方，然后根据完全平方公式及偶次幂的非负性进行分析求得a＝b＝c，从而代入原式进行化简计算．【解答】解：∵a+b+c＝，∴（a+b+c）2＝（）2，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝3m，又∵a2+b2+c2＝m，∴2ab+2ac+2bc＝2m，2（a2+b2+c2）＝2m，∴2（a2+b2+c2）﹣（2ab+2ac+2bc）＝0，∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，又∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0，∴即a＝b＝c，∴原式＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的性质，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构以及偶次幂的非负性是解题关键．50．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣4，0）和B（3，m）两点，则不等式组2x+m﹣6＜kx+b ≤0的解集﹣4≤x＜3．【分析】易得：直线y＝2x+m﹣6经过点B（3．m），根据图象，分别得到不等式2x+m ﹣6＜kx+b和kx+b≤0的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：根据题意得：直线y＝2x+m﹣6经过点B（3．m），如图，不等式2x+m﹣6＜kx+b的解集为：x＜3，不等式kx+b≤0的解集为：x≥﹣4，∴不等式2x+m﹣6＜kx+b≤0的解集为：﹣4≤x＜3，故答案为：﹣4≤x＜3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，考查了数形结合的思想方法，解决此类题目注意交点等关键点，做到数形结合．51．已知实数a，b，c满足a+b+c＝13，a2+b2+c2＝77，abc＝48，求++的值．【分析】根据（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac可得ab+bc+ac的值，将其代入到++＝即可得．【解答】解：∵a+b+c＝13，a2+b2+c2＝77，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，即169＝77+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝46，∴++＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac求得ab+bc+ac的值是解题的关键．52．已知三个方程构成的方程组．恰有一组解x ＝a，y＝b，z＝c，则a3+b3+c3＝（）A．﹣1B．1C．0D．17【分析】首先把已知的每一个等式转化成其倒数形式，再进行约分化简，为了使解题简单，使用换元法设＝A、＝B、＝C，最后解一道关于A、B、C的三元一次方程组求出其A、B、C值，从而可求出x、y、z，最后代入a3+b3+c3中即可求解．【解答】解：原方程组变形为：，方程组化简为：，设＝A、＝B、＝C，则原方程组变形为：，解得：，∴，∴，∴a3+b3+c3＝1+8﹣8＝1，故选：B．【点评】本题是分式方程的解，考查了利用倒数法化简降次，换元法的运用，加减消元法和代入消元法的运用以及求代数值的方法．53．求值：20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006＝（）A．2036216432B．2000000000C．12108216000D．0【分析】针对代数式20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006，首先运用立方差公式进行因式分解、并对分解成包含因数1000的形式．再提取公因数1000，利用合并同类项、完全平方式化简求值．【解答】解：20063﹣10063﹣10003﹣3000×2006×1006，＝（2006﹣1006）（20062+2006×1006+10062）﹣10003﹣1000×3×2006×1006，＝1000×（20062+2006×1006+10062﹣10002﹣3×2006×1006），＝1000×[（20062﹣2×2006×1006+10062）﹣10002]，＝1000×[（2006﹣1006）2﹣10002]，＝1000×（10002﹣10002），＝0．故选：D．【点评】本题考查因式分解的应用、完全平方式、立方差公式．解决本题的关键是先采用立方差公式，使每项都能提取公因数1000．54．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB 的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝+；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（）。