九年级数学上册第二章一元二次方用公式法求解一元二次方程问题一、P43随堂练习1素材(新版)北师大版
同步练习题：用公式法求解一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册一、选择题1.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.x2+1=0B.9x2-6x+1=0C.x2-x+2=0D.x2-2x-2=02.把一块长80cm、宽60cm的矩形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子.设小正方形的边长为xcm，则可列出方程为( ）A.x2-70x+825=0B.x2+70x-825=0C.x2-70x-825=0D.x2+70x+825=03.关于x的一元二次方程x2+4x十k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )A.k≤-4B.k＜-4C.k≤4D.k＜44.关于x的一元二次方程x2-(k十3)x十k=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.若关于x的一元二次方程x(x+1)十ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ).A.-1B.1C.-2或2D.-3或16.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，与其相邻的另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ）A.7mB.8mC.9mD.10m.7.如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为xm，则可列方程为( ).A.100×80-100x-80x=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644C.(100-x)(80-x)=7644D.100x+80x=3568.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程且有两个相等的实数根，那么下列结论正确的是( ).A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c9.关于x的一元二次方程x2-23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ).A.m<3B.m>3C.m≤3D.m≥3二、填空题10.方程(2x-1)(x+3)=15的根的判别式的值是________.11.关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为______.12.关于x 的方程mx 2-2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是______.13.关于x 的一元二次方程x 2-kx+1=0有两个相等的实数根，则k=______.14.已知关于x 的方程(k-1)x 2-2kx+k-3=0有两个相等的实数根，则k 的值是____.15.一个软件群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个软件群里的好友个数为________.16.某市体委要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空.解：设应邀请x 支球队参加比赛，则每队共打______场比赛，比赛总场数用代数式表示为___________，根据题意，可列出方程为________________，整理得____________，解这个方程，得____________,经检验，符合实际的解为______________,答：应邀请_____支球队参加比赛.三、解答题17.用公式法解下列方程：(1)x 2-2x-1=0; (2)x 2+16=8x; (3)6(x+3)=x(x+3); (4)2x 2-4x-2=0.18.若关于x 的一元二次方程x 2-(2a+1)x+a 2=0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.19.两个正方形的面积和为106cm 2，它们的周长差是16cm ，求这两个正方形的边长分别为多少厘米.20.当m 取什么值时，关于x 的方程41x 2+(m+2)x+m 2=4, (1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？21.如图，有一块矩形空地，一边靠着20m的墙，另三边由一根长35m的铁丝围成，已知这块矩形空地的面积为125m2，求它的长和宽.22.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，某单位准备将院内一块长30m、宽20m 的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草.如图，要使种植花草的面积为532m，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度均相等，且每段小道均为平行四边形)23.如图，在直角墙角AOB(OA⊥O B，且OA，OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96m2，求这块矩形地面的长.24.如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25m)，围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有46m长的围墙的材料.若矩形花园的面积为299m2，则矩形花园的长为多少米？25.如图是一个六边形的风筝骨架示意图，它是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形组成的，其中甲的长比宽长8dm，甲、乙的面积和比丙、丁的面积和小12dm2，求此六边形的面积.26.一个矩形的周长为56cm.(1)当矩形面积为180cm2时，长和宽分别为多少厘米？(2)能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由.27.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.。
九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时公式法的实际应用同步练习(含答案)
第2课时 公式法的实际应用知识点 公式法在实际生活中的应用1．在一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm 3，则原正方形铁皮的边长为( )A ．10 cmB ．13 cmC ．14 cmD ．16 cm2．如图2－3－2所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m )，另外三边利用学校现有总长38 m 的铁栏围成．(1)若围成的自行车车棚的面积为180 m 2，试求出自行车车棚的长和宽．(2)能围成面积为200 m 2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．图2－3－23．当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x<4x －4，13（x －6）>12（x －6）时，方程x 2－2x －5＝0的根是( ) A ．1± 6 B .6－1 C ．1－ 6 D ．1＋ 64．一幅长20 cm 、宽12 cm 的图案如图2－3－3所示，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm .(1)求图案中三条彩条所占的面积；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．图2－3－35．在一块长16 m 、宽12 m 的矩形荒地上建造一座花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．图2－3－4(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的知识说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图2－3－5中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．图2－3－51．D2．解：(1)设AB ＝x m ，则BC ＝(38－2x )m ， 根据题意列方程，得x (38－2x )＝180，解得x 1＝10，x 2＝9. 当x ＝10时，38－2x ＝18；当x ＝9时，38－2x ＝20，而可利用的墙长为19 m ，不合题意，舍去．答：若围成的自行车车棚的面积为180 m 2，则自行车车棚的长和宽分别为18 m ，10 m. (2)不能．理由：根据题意列方程，得x (38－2x )＝200， 整理，得x 2－19x ＋100＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－19)2－4×100＝－39＜0， 故此方程没有实数根．因此不能围成面积为200 m 2的自行车车棚． 3．D4．解：(1)根据题意，可知横彩条的宽度为32x cm.∴图案中三条彩条所占的面积为20×32x ＋2×12×x －2×32x ×x ＝(－3x 2＋54x )cm 2.(2)根据题意，得－3x 2＋54x ＝25×20×12.整理，得x 2－18x ＋32＝0，解得x 1＝2，x 2＝16(不合题意，舍去)． ∴32x ＝3. 答：横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm. 5．解：(1)不符合．理由：设符合条件的小路的宽度均为x m ， 根据题意，得(16－2x )(12－2x )＝12×16×12，解得x 1＝2，x 2＝12(不合题意，舍去)，∴x ＝2. ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m. (2)答案不唯一，如图：左图中取上边的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图中有横、竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 m 时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-3用公式法求解一元二次方程》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。
北师大版九年级数学上册 第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习题(含答案)
北师大版九年级数学上册第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习题第1课时 公式法1．用求根公式计算方程x 2－3x ＋2＝0的根，公式中b 的值为(B)A ．3B ．－3C ．2D ．－322．用公式法解方程x 2＝6x －4时，b 2－4ac 的值为(C)A ．52B ．32C ．20D ．－123．x ＝2±（－2）2－4×3×（－1）2×3是下列哪个一元二次方程的根(D) A ．3x 2＋2x －1＝0 B ．2x 2＋4x －1＝0C ．－x 2－2x ＋3＝0D ．3x 2－2x －1＝04．一元二次方程x 2－px ＋q ＝0(4q ＜p 2)的两个根是(A) A ．x ＝p ±p 2－4q 2 B ．x ＝－p ±p 2－4q 2C ．x ＝－p ±p 2＋4q 2D ．x ＝q ±p 2＋4q 25．用公式法解方程(2x －1)2＋4＝(x ＋2)2－4，先把它整理为3x 2－8x ＋5＝0，它的根为x 1＝53，x 2＝1． 6．若方程x 2＋x ＋c ＝0的一个根为－1＋32，则另一个根为27．已知一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根是x 1，x 2(x 1＜x 2)，则x 1－x 28．已知m ＋4＋|n －1|＝0，则方程x 2＋mx ＋n ＝0的根是9．方程x 2－3|x|－2＝0的解是x 1＝2，x 2＝210．用公式法解方程：(1)(常德中考)x 2－3x －2＝0；解：∵a＝1，b ＝－3，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝3±172. ∴x 1＝3＋172，x 2＝3－172.(2)3x 2＋2x ＋1＝0.解：∵a＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．11．已知代数式7x(x ＋5)与代数式－6x 2－37x －9的值互为相反数，求x 的值． 解：根据题意，得7x(x ＋5)－6x 2－37x －9＝0，整理，得x 2－2x －9＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－9，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－9)＝40.∴x ＝2±402＝1±10.12．解关于x 的方程：ax 2＋(1－a)x －1＝0(a 为参数)．解：当a≠0，ax 2＋(1－a)x －1＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－1a； 当a ＝0时，x －1＝0，解得x ＝1.综上所述，当a≠0时，x 1＝1，x 2＝－1a； 当a ＝0时，x ＝1.13．准备在一块长为30米，宽为24米的矩形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路的面积为80平方米，求小路的宽度．解：设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为4x 米，依题意，得(30＋4x ＋24＋4x)x ＝80.整理，得4x 2＋27x －40＝0，解得x 1＝－8(舍去)，x 2＝54. 答：小路的宽度为54米．第2课时 一元二次方程根的判别式1．一元二次方程x 2－7x －1＝0的根的情况是(A)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．若关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有实数根，则k 的取值范围是(B)A ．k ＞－94B ．k ≥－94C ．k ≥－94且k≠0D ．k ＜－943．关于x 的一元二次方程x 2－ax －2＝0，下列结论一定正确的是(B)A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根C ．该方程没有实数根D ．无法确定4．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是(D)A ．a>0B ．a ＝0C ．c>0D ．c ＝05．已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋m －1＝0有两个相等的实数根，则m 的值为3．6．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是0．7．已知关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m>－14且m≠0． 8．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0有两个相等的实数根，则1a＋c 的值等于2．9．若关于x 的方程kx 2－x －34＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－13．10．已知函数y ＝kx －b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0的根的情况是有两个不相等的实数根．11．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋3＝0，当b ＝a ＋3时，请判断此方程根的情况．解：Δ＝b 2－4a×3＝b 2－12a ，∵b ＝a ＋3，∴Δ＝(a＋3)2－12a＝(a－3)2≥0.∴此方程有两个实数根．12．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25＝2(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.(1)若x(－4)＝6，求x的值；(2)若3a的值小于10，请判断方程2x2－bx－a＝0的根的情况．解：(1)∵x(－4)＝6，∴x[x－(－4)]＋1＝6，即x2＋4x－5＝0.解得x＝1或x＝－5.(2)∵3a＜10，∴3(3－a)＋1＜10.∴10－3a＜10.∴a＞0.∴Δ＝(－b)2＋8a＝b2＋8a＞0.∴该方程有两个不相等的实数根．13．已知关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0无实数根，判断方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0的根的情况．解：∵关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0无实数根，∴Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝－4m＋16＜0.解得m＞4.∴在方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0中，若m－5≠0，则Δ＝b2－4ac＝[2(m＋2)]2－4m(m－5)＝36m＋16＞0.∴当m－5＝0，即m＝5时，方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0有一个实数根，当m＞4且m≠5时，方程(m－5)x2＋2(m＋2)x＋m＝0有两个不相等的实数根．14．已知关于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋3m－12＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程只有一个根是正数，求m 的取值范围． 解：(1)证明：∵Δ＝(m －1)2－4(3m －12) ＝m 2－14m ＋49＝(m －7)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)由(1)知x ＝m －1±（m －7）2， 解得x 1＝3，x 2＝m －4.∵方程只有一个根是正数，∴m －4≤0，解得m≤4.。
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程
(2)3x2－1＝8x；
解：∵a＝3，b＝－8，c＝－1， ∴b2－4ac＝64－4×3×(－1)＝76.
∴x＝82±×736＝4±3 19，
即
x1＝4＋3
19，x2＝4－3
19 .
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(3)(2x＋1)(x－3)＝－6x； 解：原方程化简为 2x2＋x－3＝0. ∵a＝2，b＝1，c＝－3， ∴b2－4ac＝1－4×2×(－3)＝25， ∴x＝－1±4 25＝－14±5， ∴x1＝－23，x2＝1.
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归类探究
类型之一 用公式法解一元二次方程
解方程：
(1)x2－2x－2＝0；
(2)2x2－4x－5＝0.
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解：(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12>0，
∴x＝22±×112，即 x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3.
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知识管理
1．一元二次方程的求根公式
公
式 ： 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的 求 根 公 式 为
__x_＝__－__b_±__2_ba2_－__4_a_c_(_b_2－__4_a_c_≥__0_)____．
注 意：(1)b2－4ac≥0.(2)只要确定了系数 a，b，c，代入公式即可求出
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(4)x＝0.4－0.6x2. 解：原方程可化为 0.6x2＋x－0.4＝0. ∵a＝0.6，b＝1，c＝－0.4， ∴b2－4ac＝1－4×0.6×(－0.4)＝1.96， ∴x＝－21×± 01.6.96＝－11±.21.4， ∴x1＝－2，x2＝31.
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析含习题练习
第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程3
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例题(lìtí)讲解
例 3 解方程：x2-5x+12=0
解：这里(zhèlǐ) a=1, b= -5, c= 12. ∵b2 - 4ac=(-5)2 - 4×1×12=-23<0,
因为负数不能开平方，所以(suǒyǐ)原 方程无实数根。
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归纳(guīnà)
Image
12/11/2021
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2.3 用公式法求解一元(yī yuán) 二次方程
第1课时 用公式法求解
一元二次方程
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知识 回顾 (zhī shi)
一、用配方法解一元二次方程: (1)2.x24x10 (2)3.x2 12x10
3
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知识 回顾 (zhī shi)
一元二次方程通过配方转化成 情况 是什么？ (qíngkuàng)
w3.配方:方程两边都加上一次项系数
绝对值一半的平方;
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探究(tànjiū)
由①得
方程有两个(liǎnɡ ɡè)不等的实数 根
方程(fāngchéng)有两个相等的实数 根
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探究(tànjiū)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ由①得
而x取任何(rènhé)实数都不能使 (x b )2 0. 2a
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
w老师提示: w用公式法解一元二次方程的前提是:
w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
w2.b2-4ac≥0.
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例题讲解
w 例1、用公式(gōngshì)法解方程 5x2-4x-12=0
北师大版九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程(含答案和解析)
初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程一、单选题1.小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（）A. 、3、B. 、3、1C. 、、D. 1、、2.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（）A. 16B. 12C. 14D. 12或163.已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是( )A. -2< x1<-1B. -3< x1<-2C. 2< x1<3D. -1< x104.方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )A. 3B. 2C. 1D.二、填空题5.如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为________．三、计算题6.先化简，再求值：，其中是方程的实数根.7.（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：.8.已知关于x的方程是ax2-3（a-1）x-9=0．（1）证明：不论a取何值，总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．四、综合题9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧·交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD·（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．（2）设BC=a,AC=b.线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由。
10.甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？答案解析部分一、单选题1.答案：A解：∵-x2+3x=1，∴-x2+3x-1=0，∴a=-1，b=3，c=-1，故答案为：A．根据公式法，a、b、c对应，解出a、b、c的值。
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2(
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2（新版）新人教版◆随堂检测1、长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（ ）A 、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米B 、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米C 、第一块木板长9米，宽4.5m ，第二块木板长13.5m ，宽7米D 、以上都不对3、从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，求原来的正方形铁片的面积是多少？4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．（点拨：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．）•◆典例分析如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ B C A Q P解:◆课下作业 ●拓展提高1、矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ） A、4+ B、12+、2+ D、212++3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ． （1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 2吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？4、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？图② 图①A DC EB（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m.)●体验中考1、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A 、213014000x x +-=B 、2653500x x +-=C 、213014000x x --=D 、2653500x x --=2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？●挑战能力1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。
九年级数学上册用公式法求解一元二次方程的实际应用同步练习及答案
公式法的实际应用——典型题专项训练知识点公式法在实际生活中的应用1．在一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm2．如图2－3－2所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m)，另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成．(1)若围成的自行车车棚的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长和宽．(2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．图2－3－23．当x满足不等式组2x<4x－4，112)（x－6）时，方程x2－2x－5＝0的根是( ) A．1±6 B.6－1 C．1－6 D．1＋64．一幅长20 cm、宽12 cm的图案如图2－3－3所示，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm.(1)求图案中三条彩条所占的面积；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．图2－3－35．在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上建造一座花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．图2－3－4(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的知识说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图2－3－5中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．图2－3－51．D2．解：(1)设AB＝x m，则BC＝(38－2x)m，根据题意列方程，得x(38－2x)＝180，解得x1＝10，x2＝9.当x＝10时，38－2x＝18；当x＝9时，38－2x＝20，而可利用的墙长为19 m，不合题意，舍去．答：若围成的自行车车棚的面积为180 m2，则自行车车棚的长和宽分别为18 m，10 m.(2)不能．理由：根据题意列方程，得x(38－2x)＝200，整理，得x2－19x＋100＝0，Δ＝b2－4ac＝(－19)2－4×100＝－39＜0，故此方程没有实数根．因此不能围成面积为200 m2的自行车车棚．3．D4．解：(1)根据题意，可知横彩条的宽度为32x cm.∴图案中三条彩条所占的面积为20×32x＋2×12×x－2×32x×x＝(－3x2＋54x)cm2. (2)根据题意，得－3x2＋54x＝25×20×12.整理，得x2－18x＋32＝0，解得x1＝2，x2＝16(不合题意，舍去)．∴32x＝3.答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.5．解：(1)不符合．理由：设符合条件的小路的宽度均为x m，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12，解得x1＝2，x2＝12(不合题意，舍去)，∴x＝2.∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m.(2)答案不唯一，如图：左图中取上边的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图中有横、竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 m时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 实际应用问题习题课件 (新版)
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两个顶点,此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图中有横、竖两条小路,且
小路在每一处的宽都相同,其小路的宽为 4 m 时,除去小路剩下的面积为矩形面
积的一半.
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编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花心思
解：(1)不符合. 理由：设符合条件的小路的宽度均为 x m, 根据题意,得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12, 解得 x1＝2,x2＝12(不合题意,舍去),∴x＝2. ∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为 2 m. (2)答案不唯一,如图：
左图中取上边的中点作为三角形的顶点,下边的长的两个端点为三角形的另外
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第2课时 公式法的实际应用
解：(1)设 AB＝x m,则 BC＝(38－2x)m, 根据题意列方程,得 x(38－2x)＝180, 解得 x1＝10,x2＝9. 当 x＝10 时,38－2x＝18； 当 x＝9 时,38－2x＝20,而可利用的墙长为 19 m,不合题意,舍去. 答：若围成的自行车车棚的面积为 180 m2,则自行车车棚的长和宽分别为 18 m,10 m. (2)不能. 理由：根据题意列方程,得 x(38－2x)＝200, 整理,得 x2－19x＋100＝0,
北师版九年级数学上册 第2章 2.3 《用公式法求解一元二次方程》 同步测试(包含答案)
北师版九年级数学上册第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程同步测试题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．方程x 2－4x ＝0中，b 2－4ac 的值为（ ）A ．－16B ．16C ．4D ．－42．方程x 2＋x －1＝0的一个根是（ ）A ．1－ 5 B.1－52 C ．－1＋ 5 D.－1＋523．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．－44. 方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号5. 关于x 的一元二次方程x 2－23x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （）A ．m ＜3B ．m ＞3C ．m ≤3D ．m ≥3C ．无实数根D ．不能确定7. 若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，则判别式Δ＝b 2－4ac 和完全平方式M ＝(2at ＋b)2的关系是（）A ．Δ＝MB ．Δ>MC ．Δ<MD ．不能确定8．方程(m －2)x 2－3－m x ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．m>52B ．m ≤52且m≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m≠29. 用公式法解方程4y 2－12y －3＝0，得到（ ）A ．y ＝－3±62 B ．y ＝3±62 C ．y ＝3±232D ．y ＝－3±23210. 若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0没有实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象可能是 （）第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 一元二次方程2x 2－3x ＋1＝2的解为x 1＝，x 2＝．12. 方程(2x －1)(x ＋3)＝2x 化成一般形式是________________，用公式法解此方程时，b 2－4ac ＝______.13．一元二次方程2x 2－x ＋1＝0根的情况是_____________________.14. 下列一元二次方程，①x 2＋6x ＋9＝0 ；②x 2＝x ；③x 2＋3＝2x ；④(x －1)2＋1＝0________．有两个不相等的实数根的是________________（填序号）15．已知关于x 的一元二次方程2x2－kx ＋3＝0有两个相等的实根，则k 的值为___________ 16. 若关于x 的一元二次方程(1－k)x 2＋2kx －k ＋1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是__________ 17．已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是_________________________．方程”．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则mn＝____．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)不解方程，判断下列一元二次方程根的情况．(1)9x2＋6x＋1＝0；(2)16x2＋8x＝－3；20. (6分) 用公式法解方程．(1)x2＋2x－3＝0；(2)3x2＋2x＋1＝0.21. (6分)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2（a－2）2＋b2－4的值．22．(6分) 已知关于x的一元二次方程(a＋b)x2＋2cx＋(b－a)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；23．(6分) 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．24．(8分) 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．25．(8分)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 的边长，易知AE＝2c，这时我们把关于x的形如ax2＋2cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)试判断方程2x2＋10x＋3＝0是不是“勾系一元二次方程”；(2)求关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的实数根；(3)当c＝2，且△ABC的面积为1时，求证：x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的根．参考答案 1-5 BDABA 6-10AABCA 11.3＋174，3－17412. 2x 2＋3x －3＝0，33 13. 没有实数根 14. ② 15. ±26 16. k ≥12且k ≠1.17. 有两个不相等的实数根 18. -219. 解：(1)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1， ∴Δ＝b 2－4ac ＝36－36＝0， ∴此方程有两个相等的实数根 (2) 化为一般形式为16x 2＋8x ＋3＝0， ∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴Δ＝b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0， ∴此方程没有实数根20. 解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－3，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16>0， ∴x ＝－2±162＝－2±42，∴x 1＝1，x 2＝－3 (2) ∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0， ∴原方程没有实数根.21. 解：∵ax 2＋bx ＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即b 2－4a ＝0， ∴b 2＝4a ，∵ab 2（a －2）2＋b 2－4＝ab 2a 2－4a ＋4＋b 2－4 ＝ab 2a 2－4a ＋b 2＝ab 2a 2，又∵a≠0，∴ab 2a 2＝b 2a ＝4aa ＝422. 解：(1)△ABC 是等腰三角形，理由：当x ＝－1时， (a ＋b)－2c ＋(b －a)＝0，∴△ABC 是等腰三角形(2)△ABC 是直角三角形，理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2c)2－4(a ＋b)(b －a)＝0， ∴a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 是直角三角形 23. 解：(1)∵a ≠0，∴Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4a ＋4－4a ＝a 2＋4>0， ∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac ＝0，∴可以取a ＝1，b ＝2，则方程变形为x 2＋2x ＋1＝0， 解得x 1＝x 2＝－1(a ，b 的取值不唯一)24. 解：(1)证明：∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4>0， ∴x 2－(m ＋2)x ＋(2m －1)＝0恒有两个不相等的实数根 (2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋(2m －1)＝0，解得m ＝2， ∴原方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ①当该直角三角形的两直角边长分别为1，3时， 由勾股定理得其斜边的长度为32＋1＝10， ∴该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的一直角边长和斜边长分别为1，3时， 由勾股定理得其另一直角边长为32－1＝22， ∴该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2 25. 解：(1)易得a ＝2，b ＝3，c ＝5，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴方程2x 2＋10x ＋3＝0是“勾系一元二次方程” (2)由求根公式可求得x 1＝－2c ＋2（a －b ）2a ＝2a －2b －2c2a，x 2＝－2c －2（a －b ）2a ＝－2a ＋2b －2c2a(3)证明：∵c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.① ∵△ABC 的面积为1，∴ab ＝2.②2解得x1＝x2＝－1.∴x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0的根。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方
第二章一元二次方程2. 用公式法求解一元二次方程1．一元二次方程x2＋22x－6＝0的根是( )A．x1＝x2＝2B．x1＝0，x2＝－2 2C．x1＝2，x2＝－32D．x1＝－2，x2＝3 22．下列方程有两个相等的实数根的是( )A．x2＋x＋1＝0 B．4x2＋x＋1＝0C．x2＋12x＋36＝0 D．x2＋x－2＝03．若一元二次方程x2＋2x＋A＝0有实数解，则A的取值X围是( ) A．A<1 B．A≤4C．A≤1 D．A≥14．用公式法解下列方程：(1)x2－6x－4＝0；(2)3x2－1＝8x；(3)(2x＋1)(x－3)＝－6x；(4)xx 2.5．若等腰三角形的两边长分别是方程x 2－9x ＋14＝0的两根，求三角形的周长．6．若关于x 的一元二次方程(k －1) x 2＋2x －2＝0有不相等的实数根，则k 的取值X 围是( )A ．k ＞12B ．k ≥12C ．k ＞12且k ≠1 D．k ≥12且k ≠1 7．[2017·陵城区模拟]若|B －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋Ax ＋B ＝0有实数根，则k 的取值X 围是___________．8．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0.(1)当m ＝3时，判断方程的根的情况；(2)当m ＝－3时，求方程的根．9．已知关于x 的方程m x 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程的两个根都是整数，求正整数m 的值．10．[2017·江阴市自主招生]对于方程x 2－2|x |＋2＝m ，如果方程实根的个数为3个，则m 的值等于( )A ．1B ．3C ．2参考答案【分层作业】1．C2．C3．C4．(1)解：∵A ＝1，B ＝－6，C ＝－4，∴B 2－4AC ＝36－4×1×(－4)＝52，∴x ＝6±522，即x 1＝3＋13，x 2＝3－13. (2)解：∵A ＝3，B ＝－8，C ＝－1，∴B 2－4AC ＝64－4×3×(－1)＝76.∴x ＝8±762×3＝4±193， 即x 1＝4＋193，x 2＝4－193. (3)解：原方程化简为2x 2＋x －3＝0.∵A ＝2，B ＝1，C ＝－3，∴B 2－4AC ＝1－4×2×(－3)＝25，∴x ＝－1±254＝－1±54， ∴x 1＝－32，x 2＝1. x 2＋x －0.4＝0.∵A ＝0.6，B ＝1，C ＝－0.4，∴B 2－4AC ＝1－4×0.6×(－0.4)＝1.96，∴x ＝－1± 1.962×0.6＝错误!， ∴x 1＝－2，x 2＝13. 5．解：方程的根x 1＝9－81－4×142×1＝2， x 2＝9＋81－4×142×1＝7， 则等腰三角形的三边长为7，7，2或2，2，7，但2，2，7不能构成三角形，∴三角形的周长为16.6．C 【解析】∵关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有不相等的实数根，∴Δ＝22－4(k －1)×(－2)＞0，且k －1≠0，解得k ＞12且k ≠1. 7．k ≤4且k ≠0【解析】 ∵|B －1|＋a －4＝0，∴B ＝1，A ＝4，∴原方程为kx 2＋4x ＋1＝0.∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝16－4k ≥0，解得k ≤4.∵方程kx 2＋Ax ＋B ＝0是一元二次方程，∴k ≠0，∴k 的取值X 围是k ≤4且k ≠0.8．解：(1)当m ＝3时，B 2－4AC ＝22－4×1×3＝－8<0，∴原方程没有实数根．(2)当 m ＝－3时，原方程可化为x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－2±22－4×1×（－3）2＝－2±42， ∴x 1＝－3，x 2＝1.9．解：(1)证明：∵m≠0， Δ＝[－(m ＋2)]2－4×2m＝(m －2)2≥0，∴原方程总有两个实数根．(2)∵A ＝m ，B ＝－(m ＋2)，C ＝2，∴B 2－4AC ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝(m －2)2，∴x ＝m ＋2±||m －22m ，∴x 1＝1，x 2＝2m. ∵x 2为整数，且m 是正整数，∴x 2＝2m必须为整数． ∴m＝1或2.10．C 【解析】 原方程可化为x 2－2|x |＋2－m ＝0，解得|x |＝1±m －1.∵若1－m －1＞0，则方程有4个实数根，∴方程必有一个根等于0.∵1＋m －1＞0，∴1－m －1＝0，解得m ＝2.。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程《一元二次方程的解法(三)公式法,因式分解法》巩固练习(含解析)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x-1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )A ．x ＝2或x ＝1B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________．8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a※b＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x※x+2※x -2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a※x＝x ，则a 的值为 ．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．三、解答题12. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=； （2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．13．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=014．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a≠0，且b 2-4ac≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0，则x+4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ．2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m-2)＝0，即m-1＝0或m-2＝0， ∴ m＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴ m≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x +=+=．8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到关于x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-．9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m＝1，n ＝-12．10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =．【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-；(3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立． ∴ 14a =．11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．三、解答题12.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞∴x a ==±∴12x a x a =+=-（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞，∴ 2222()2a b a b x ab +±-==， ∴ 222221222a b a b a ax ab ab b ++-===，222222()222a b a b b bx ab ab a +--===，∴ 1ax b =，2bx a =．13.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x -3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8.∴ x =±∴12=2=2.x x +（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1.14.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32；32 ； 3 ；-1. ③ 73- ； 1 ； 43- ； 73- .；；ba - ；ca . (3)1232x x +=-，1212x x =-g ． ①1212123112312x x x x x x -++===-．②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 公式法习题课件
2021/12/11
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第1课时(kèshí) 公式法
解：(1)△ABC 是等腰三角形. 理由：∵x＝－1 是方程的根, ∴(a＋c)×(－1)2＋2b×(－1)＋(a－c)＝0, ∴a＋c－2b＋a－c＝0,∴a－b＝0,即 a＝b, ∴△ABC 是等腰三角形. (2)△ABC 是直角三角形. 理由：∵方程有两个相等的实数根,∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0, ∴4b2－4a2＋4c2＝0,即 a2＝b2＋c2, ∴△ABC 是直角三角形. (3)当△ABC 是等边三角形时, (a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0 可整理为 2ax2＋2ax＝0, ∴x2＋x＝0, 解得 x1＝0,x2＝－1.
＝0 一定有实数根的是( D )
A. a＞0 B. a＝0 C. c＞0 D. c＝0
[解析] ∵关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 有实数根,
∴Δ＝(－4)2－4ac＝16－4ac≥0,且 a≠0,
∴ac≤4 且 a≠0. A 项,若 a＞0,当 a＝1,c＝5 时,ac＝5＞4,故此选项错误；B 项,a＝0 不符合一元 二次方程的定义,故此选项错误；C 项,若 c＞0,当 a＝1,c＝5 时,ac＝5＞4,故此 选项错误；D 项,若 c＝0,则 ac＝0<4,故此选项正确.
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第1课时(kèshí) 公式法
16. 已知关于 x 的方程 x2＋(2m－1)x＋4＝0 有两个相等的实数根,求 m 的值.
解：∵关于 x 的方程 x2＋(2m－1)x＋4＝0 有两个相等的实数根,
∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0,
∴2m－1＝±4, ∴m＝52或 m＝－32.