湖南师大附中2011届高三第六次月考(数学理)

炎德•英才大联考湖南师大附中2011届高三月考试卷(六）

数学（理科）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数

A. —1

B. 1

C. —i

D. i

2. 给出下列四个命题：

①命题“若X2 = 1，则x= 1”的否命题为：“若:x2 = 1，则”；

②命题“”的否定是“”；

③命题"若:x=y，则”的逆否命题为真命题；

④“x=—1”是“的必要不充分条件.

其中真命题的个数是

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

3. 已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线：=1的右焦点，则此抛物线的方程是

A..

B.

C. D.

4. 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24,则正视图中a的值为

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

5. 若函数/(X)=|x|x(x-b)在区间[0，2]上是减函数,则实数b的取值范围是

A.—

B.

C. D.

6. 一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是

A. B.

C. D.

7. 在中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、C，若，则角A的值为

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

8. 已知函数对任意自然数x，y均满足：，且

，则等于

A. 2010

B. 2009

C. 1005

D. 1004

二、填空题：本大题共7小题，每小题S分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

9. 已知向量a和b的夹角为120°，，且，则= ____ .

10. 已知点A，B，C为同一个球面上三点，且，若球心O到平面ABC的距离为2，直线AO与平面ABC成30°角，则球O的表面积等于_____________________________.

11. 若的展开式中X3的系数与常数项相等，则a=______________

12. 若直线.绕其与X轴的交点逆时针旋转90°后恰与曲线M:

为参数)相切，则c的值为______________.

13. 若是函数的两个零点，则的值为

_____________________

14. 已知，且，则的最小值是_______.

15. 设，其中或1()，并记.对于给定的，构造无穷数列如下：

(1) 若，则=_______ (用数字作答）；

(2) 给定一个正整数m，若，则满足（，且）的n的最小值为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分）

已知函数和.

(1) 设是的一个极大值点，是的一个极小值点，求的最小值；

(2) 若，求的值.

17. (本小题满分12分）

如图，在四边形ABCD中，对角线于O，且.沿BD将

翻折成，使平面平面.点P、Q分别在BC、CD上，沿PQ将

翻折，能使点C与点A1重合，点F为PQ与AC的交点.

(1) 求证：直线PQ 丄平面；

(2)求面与面

所成二面角的余弦值.

18.(本小题满分12分）

某工厂有120名工人，其年龄都在20〜60岁之间，各年龄段人数按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分组，其频率分布直方图如下图所示.工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示.假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响.

(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全厂工人的平均年龄；

(2)随机从年龄段[20，30)和[40,50)中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望

19.(本小题满分13分）

如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m 3，每天流过甲厂的河水流量是500万m 3 (含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内

排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3(含乙广排放的污水).由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时；有20¾可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.

}

(1) 求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到0.01%)

(2) 根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处理一部分污水.已知甲厂处理污水的成本是1000元/万m3，乙厂处理污水的成本是800元/万m3，求甲、乙两厂每天应分别处理多少万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？

20. (本小题满分13分）

已知点P是圆上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件(为非零常数)的点M的轨迹为曲线C.

(1) 求曲线C的方程；

(2) 若存在过点N()的直线l与曲线C相交于A、B两点，且（O为坐标原点），求A的取值范围.