双曲线的简单几何性质测试卷
双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点， 所以，且803m->， 即，且0m <，解得221m =，且0m <， 所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=， 所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=， 故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<， 故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点， 则有2ba>， 即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >， 故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-， 化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--， 整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得2212232S c b a =⋅⋅=， 即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=， 消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=， 所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---， 将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。
双曲线的简单几何性质练习题
课时作业(十一)[学业水平层次]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) －x 218＝1 －y 218＝1 －y 28＝1－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)，∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y218＝1.【答案】 B2．(2014·天水高二考试)已知双曲线方程为x 2－y24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．42【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．(2014·广东高考)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k .可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D 二、填空题5．(2014·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 26．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 447．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－9b 2－a 2＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题8．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.9．(2014·玉溪高二检测)已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2,0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x 23－y 2b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A 、B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升层次]1．(2014·山东省实验中学高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于( )【解析】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．(2014·北京市东城区)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A 、B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2,0)， 将直线AB 方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．(2014·安徽师大)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k 2＋361－3k 2>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
双曲线的几何性质练习题及答案
三、解答题新课标第一网
9．在双曲线 的一支上不同的三点 ， ， 与焦点F（0，5）的距离成等差数列
（1）试求 ；
（2）证明线段AC的垂直平分线经过一个定点，并求出该定点坐标。
三、9． （2）必过定点
10．方程为 11．l：x=-2或
10．设双曲线中心是坐标原点，准线平行于x轴，离心率为 ，已知点P（0，5）到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程。
11．已知直线l与圆 相切于点T，且与双曲线C： 相交于A、B两点，若T是线段AB的中点，求直线l的方程。
答案与提示
一、1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D
二、7．3条8．
A．1 B． C．2 D．4
3．双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知双曲线 的焦点为 、 ，弦AB过 且在若 ，双曲线的一支上，则|AB|等于（ ）
A．2aB．3aC．4aD．不能确定
5．椭圆和双曲线有相同的中心和准线，椭圆的焦Байду номын сангаас 、 三等分以双曲线点 、 为端点的线段，则双曲线的离心率e′与椭圆的离心率e的比值是（ ）
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．双曲线 的一条准线l与一条渐近线F是与l相应的焦点，则|PF|等于（ ）交于P点，F是与l相应的焦点，则|PF|等于（ ）
A．aB．bC．2aD．2b
2．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为（ ）
双曲线的简单几何性质练习题
课时作业(十一)[学业水平层次]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2014·天水高二考试)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．(2014·广东高考)假设实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 假设0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D二、填空题5．(2014·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4， ∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 26．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．假设PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 447．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，假设点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－ba x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2， ∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，即3b 2a 2－(9b 2－a 2)＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52. 【答案】 52 三、解答题8．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.9．(2014·玉溪高二检测)已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2,0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A 、B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升层次]1．(2014·山东省实验中学高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．(2014·北京市东城区)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．假设在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A 、B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2,0)， 将直线AB 方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3.【答案】 34．(2014·安徽师大)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.。
(完整版)双曲线的简单性质练习题及答案
双曲线1．到两定点 F 1 3,0 、 F 2 3,0 的距离之差的绝对值等于6 的点 M 的轨迹（）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程x 2 y 2表示双曲线，则k 的取值范围是（）1 k 1 1kA ． 1 k 1B ． k 0C ． k 0D ． k 1 或 k12y 23． 双曲线x m 21 的焦距是（）m 212 4A ． 4B ． 2 2C ． 8D ．与 m 相关4．已知 m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x － y+n=0 与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）yyyyoxoxoxox25．焦点为 0,6 ，且与双曲线x y 2 1 有同样的渐近线的双曲线方程是（）2A ． x 2 y 2 1B ． y 2 x 2 1C ．y 2x 2 1D ．x 2y 2 112 2412 2424 1224 126．若 0k a ，双曲线x 2y 2 1与双曲线 x 2y 21 有 （）a 2 kb 2 k a 2 b 2A ．同样的虚轴B ．同样的实轴C ．同样的渐近线D ． 同样的焦点7．过双曲线 x2y 21左焦点 F 1 的弦 AB 长为 6，则 2为右焦点） 的周长是 （ A ）16 9ABF 2（ FA ． 28B． 22C ． 14D ． 12 8．双曲线方程为x 2y 21 ，那么 k 的取值范围是（）| k | 2 5 kA ． k ＞5B ． 2＜k ＜ 5C ．－ 2＜k ＜ 2D ．－ 2＜ k ＜ 2 或 k ＞ 59．双曲线的渐近线方程是y=± 2x ，那么双曲线方程是2＝（）2－A ． x 2－2．x2－4y 1．x2－y4y =1BC 4=1x 2 2D ．4－y =110．设 P 是双曲线 x2y 2 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2 y 2分别 a 290, F 1 、 F是双曲线的左、右焦点，若 | PF 1 | 3 ，则 | PF 2 | （ ）A ． 1 或 5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线x 2y 2 1,(a 0, b 0) 的左， 右焦点分别为 F 1, F 2 , 点 P 在双曲线的右支上，a 2b 21且 | PF1 | 4 | PF2 |,则双曲线的离心率 e 的最大值为（）A．4B．5C．2 D．7 3 3 312 ．设 c、 e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线x 2 y21 (a>0, b>0) 的一个极点到a 2 b2它的一条渐近线的距离是（）A．aB．bC．aD．b c c e e13 ．双曲线x2y 2 1( n 1) 的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且知足|PF1|+|PF2|= 2 n 2 , n则△ PF1F2的面积为（）A．1B． 1 C． 2 D． 4 214 ．二次曲线x2y 2 1， m [ 2, 1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是（）4 mA．[2,3] B．[3, 5] C．[5, 6 ] D．[3,6] 2 2 2 2 2 2 2 215 ．直线 y x 1 与双曲线x2 y2 1 订交于A, B两点，则 AB =_____ 2 316 ．设双曲线x2y 2 1的一条准线与两条渐近线交于A、B 两点，相应的焦点为F，若以 AB a 2 b 2为直径的圆恰巧过 F 点，则离心率为17 ．双曲线 ax 2 by 2 1的离心率为 5 ，则a:b=18 ．求一条渐近线方程是3x 4 y 0 ，一个焦点是 4,0 的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．19．( 此题 12 分 ) 已知双曲线x2 y21的离心率e2 3，过 A(a,0), B(0, b) 的直线到原点的a2 b 2 3距离是3. 求双曲线的方程；22一， 选择题DDCCB DADDC BDBC二，填空题， 15. 4 6 16.2 或1418.[ 分析 ] ：设双曲线方程为： 9 x 2 16 y 2，∵双曲线有一个焦点为（ 4，0）， 0双曲线方程化为： x 2 y248 2，1 916 1625916∴双曲线方程为： x 2y 21∴e 4 525614416 42525519.[ 分析 ] ∵ （ 1 ）c2 3 ,原点 到直线 AB ：xy 1 的距离a3 abd abab 3..a 2b 2c2b1, a3 .故所求双曲线方程为x 2 y 2 1 .33。
双曲线的简单几何性质习题集
2．3.2 双曲线的简单几何性质自测自评1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x2．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．43．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 自测自评1．解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x .答案：C2．解析：∵a 2＝2，∴a ＝ 2.又b 2＝14，∴c 2＝a 2＋b 2＝16.∴c ＝4.∴e ＝ca＝2 2. 答案：B3．解析：考虑焦点在x 轴或y 轴两种情况，选B. 答案：B忽略标准方程与渐近线的对应关系致错． 基础巩固1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 21．解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C.答案：C2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 2．解析：2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2. 答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.433．解析：根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.答案：C4．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．4．解析：∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 答案：1 能力提升5．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 5．解析：由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A6．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 6．解析：不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43(负值舍去)，∴e ＝ca＝1＋（ba）2＝1＋（43）2＝53.答案：B7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．7．解析：由题意得m ＞0，所以a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：28．双曲线C 1与椭圆C 2：x 29＋y 225＝1共焦点，且C 1与C 2的离心率之和为145，则双曲线C 1的标准方程为______________．8．解析：椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，所以c ＝4，e ＝45，所以双曲线的离心率等于145－45＝2，所以4a＝2，所以a ＝2，所以b 2＝42－22＝12.所以双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.答案：y 24－x 212＝19．设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．9．解析：双曲线x 29－y 216＝1中a ＝3，c ＝5，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 而|F 1F 2|＝2c ＝10，得|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝100， 即|PF 1|·|PF 2|＝64，S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝16 3.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．解析：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点M (3，m )在双曲线上， 所以9－m 2＝6，得m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2，所以MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，底边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝6.。
3.2.2双曲线的简单几何性质(知识解题达标测试)(原卷版)
3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1： 双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（ ） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（ ） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意． 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1答案 A解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝2 3.故选A.3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解 把方程化为标准形式为x 212－y 222＝1，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c a＝5，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .知识点二求双曲线的离心率 4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 答案 B解析 ∵e ＝c a，c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.故b 2a 2＝12，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B. 5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c .∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c2＝a 2＋b 2知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2 D.3 答案 B解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b ＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c2.又b 2＝c 2－a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝53. 故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A.y ＝±54xB.y ＝±45xC.y ＝±43xD.y ＝±34x答案 D解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选D. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3答案 B解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y2＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a＝2·2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 23＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值X 围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案 x 2－y 2＝8解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值X 围是________．答案 (1，2]解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以|2b ±0|a 2＋b 2≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2，即e ≤2，所以离心率的取值X 围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a 2－232b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.解法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7×13a ＝3×13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
《双曲线的简单几何性质》同步练习
《双曲线的简单几何性质》同步练习一、选择题1.已知P是双曲线2221(0)16x yaa-=>上一点,双曲线的一条渐近线方程为2x－y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若PF1⊥F1F2,则|PF2|=( )A.12B.16C.18D.202.已知双曲线221(0)6x ymm m-=>+的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为( )A.221 24x y-=B.221 48x y-=C.2218yx-=D.221 28x y-=3.已知双曲线C的离心率e=2,一个焦点坐标为(0,2),则双曲线C的标准方程为( )A.2213yx-=B.2215yx-=C.2215xy-=D.2213xy-=二、填空题4.已知双曲线221x my+=的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m=______.5.若双曲线的渐近线方程为3y x=±,它的一个焦点坐标为),则双曲线的标准方程为______.6.已知双曲线22221(0)(3)x yaa a-=>+的渐近线方程为y=±2x,则a=______.三、解答题7.已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,且经过点(2,2),求双曲线的标准方程.8.过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,求双曲线的离心率.9.已知双曲线的方程是224936x y-=.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且1216PF PF=,求∠F1PF2的大小.参考答案1.答案:A解析:因为双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为20x y -=,所以42a=,即a =2,所以双曲线的标准方程221416x y -=,所以()1F -,所以点P的横坐标为-,代入双曲线的标准方程可得点P 的纵坐标为±8,所以1218,212PF PF a PF ==+=. 2.答案:D解析:由题意可得22,6a m b m ==+,则实轴长为,虚轴长为,所以2=,解得m =2,代入2216x y m m -=+可得双曲线的标准方程为22128x y -=. 3.答案:D解析:由离心率c e a =,可得2c a=,又因为一个焦点坐标为(0,2),所以c =2,所以a =1,所以b ==.又因为焦点在y 轴上,故双曲线C 的标准方程为2213x y -=. 4.答案:14- 解析:将双曲线方程化为标准方程得2211y x m -=-,则1,a b ==依题意得可知b =2a 2= 解得14m =-. 5. 答案:2219y x -= 解析:由双曲线的渐近线方程可知3b a =.①因为它的一个焦点坐标为),所以c =.② 又222c a b =+③,联立①②③,解得a 2=1,b 2=9,所以双曲线的标准方程为2219y x -=. 6.答案:3解析:因为双曲线22221(0)(3)x y a a a -=>+的渐近线方程为3a y x a +=,所以32a a+=,解得a =3.7.答案:见解析解析:由题意可设双曲线的方程为()2240x y λλ-=≠,因为双曲线经过点(2,2),所以λ=－12,故双曲线的标准方程为221312y x -=. 8.答案:见解析解析:如图所示,不妨设F 为右焦点,过F 作FP 垂直于一条渐近线,垂足为P ,过P 作PM ⊥OF 于M .由已知得M 为OF 的中点, 由射影定理知2||PF FM FO =.又F (c ,0),渐近线OP 的方程为bx －ay =0,所以PF b ==,于是22c b c =⋅, 即22222b c a b ==+,因此22a b =,故c e a ===9.答案:见解析解析:(1)由224936x y -=,得22194x y -=, 所以a =3,b=2,c ==, 所以焦点坐标为())12,F F ,离心率为e =, 渐近线方程为23y x =±. (2)由双曲线的定义可知126PF PF -=, 所以22212121212||||cos 2PF PF F F F PF PF PF +-=∠2212121122()2|||2PF PF PF PF F F F PF P -+-=3632521322+-== 所以∠F 1PF 2=60°.。
双曲线-测试
解析 由题意，方程1＋x2 k－1－y2 k＝1 表示双曲线，则满足(1＋k)(1－
k)>0，解得－1<k&目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 解析
2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同
ab(x－c)，与
y＝bax
x＝ac2， 联立，解得y＝acb，即
Pac2，acb.因为直线
PF2
与渐近
线 y＝bax 垂直，所以 PF2 的长度即为点 F2(c，0)到直线 y＝bax(即 bx－ay
＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝ bb2＋c a2＝bcc＝b，所以 b
ab ＝2.因为 F1(－c，0)，Pac2，acb，且直线 PF1 的斜率为 42，所以ac2＋c c＝ 42，
目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
解析
10．(2023·天津高考)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
为 F1，F2.过 F2 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 P.已知|PF2|＝2，直线
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
解析 ∵双曲线ax22－by22＝1 的焦距为 10，∴c＝5＝ a2＋b2
①.又双曲线
的渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2，1)在渐近线上，∴2ab＝1，即 a＝2b ②.
由①②，解得 a＝2 5，b＝ 5，则 C 的方程为2x02－y52＝1.故选 A.
双曲线的简单几何性质Word版含答案
课时提升作业十三双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1【解析】选C.由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A,B,C项的渐近线方程为y=±2x.2.(2016·合肥高二检测)点P为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为( )A. B.1+ C.+1 D.2【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1= 60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.由e==,能求出双曲线的离心率.【解析】选C.由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.e====+1.【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.【解析】选C.依题意·=-1,所以a2=b2.则e2===2,所以e=.3.(2016·宁波高二检测)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),把(-3,2)代入方程得-=λ,所以λ=.故双曲线方程为-=,即-=1.4.设a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是( )A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)【解析】选B.e2==++2=+1,因为a>1,所以0<<1,1<+1<2,所以2<e2<5.又e>1,所以<e<.5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( )A.-4B.-C.1D.0【解题指南】根据题意,设P(x,y)(x≥1),根据双曲线的方程,易得A1,F2的坐标,将其代入·中,可得关于x,y的关系式,结合双曲线的方程,可得·的二次函数,由x的范围,可得答案.【解析】选A.根据题意双曲线x2-=1,设P(x,y)(x≥1),易得A1(-1,0),F2(3,0),·=(-1-x,-y)·(3-x,-y)=x2-2x-3+y2,又x2-=1,故y2=8(x2-1),于是·=9x2-2x-11=9-.当x=1时,取到最小值-4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·山东高考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是. 【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A,代入双曲线方程-=1,可得-=1,所以e2-1=,又e>1,所以可求得e=2.答案:27.(2016·菏泽高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k= .【解析】因为以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°, 所以△OF1A是等边三角形,所以|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF2|-|AF1|=(-1)c,所以e===+1,因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,所以k=2.答案:28.(2016·厦门高二检测)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为.【解析】设椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),由已知得所以所以焦距为2c1=10.又因为8<10,所以曲线C2是双曲线.设其方程为-=1(a2>0,b2>0),则a2=4,c2=5,所以=52-42=32=9,所以曲线C2的方程为-=1.答案:-=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.【解析】椭圆方程为+=1,所以椭圆的焦距为8.①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),所以解得.所以双曲线的标准方程为-=1.②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′>0,b′>0),。
双曲线的简单几何性质测试卷
典型例题一例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率． 解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 43±= 〔1〕设所求双曲线方程为12222=-by a x∵43=a b ,∴a b 43= ① ∵()332-，A 在双曲线上 ∴191222=-ba ② 由①－②,得方程组无解〔2〕设双曲线方程为12222=-bx a y∵43=a b ,∴a b 34= ③ ∵()332-，A 在双曲线上,∴112922=-ba ④ 由③④得492=a ,42=b∴所求双曲线方程为：144922=-x y 且离心率35=e 解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()091622≠=-λλy x ∵点()332-，A 在双曲线上,∴41991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ,即144922=-x y ． 说明：〔1〕很显然,解法二优于解法一．〔2〕不难证实与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()091622≠=-λλy x ．一般地,在渐近线方程或与双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方程()02222≠=-λλb y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ． 〔3〕以上优美巧妙的解法,到达了化繁为易的目的．教学中,要引起重视．典型例题二例2 作方程21x y -=的图象．分析：∵21xy -=()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⇔111122x x x x∴方程图象应该是圆122=+y x 及双曲线122=-y x 在x 轴上方的图象．说明：在根据方程作出相应图象时,应遵循：“如果曲线C 的方程是()0=y x f ，,那么点()00y x P ，在曲线C 上的充要条件是()000=y x f ，〞这一原那么；另外,须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大,而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一局部．典型例题三例 3 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程,确定出其斜率,结合条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵⎪⎩⎪⎨⎧-==--+2201042222x y x y x ,∴⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-==23y x ,∴渐近线方程为x y 32±=当焦点在x 轴上时,由32=a b 且6=a ,得4=b ． ∴所求双曲线方程为1163622=-y x 当焦点在y 轴上时,由32=b a ,且6=a ,得9=b ．∴所求双曲线方程为1813622=-x y 说明：〔1〕“定量〞与“定位〞是求双曲线标准方程的两个过程,解题过程中应准确把握． 〔2〕为防止上述的“定位〞讨论,我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解,请读者自行完成．典型例题四例 4 双曲线的渐近线方程为023=±y x ,两条准线间的距离为131316,求双曲线标准方程．分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系,设出双曲线方程,进而求出双曲线标准方程．解：∵双曲线渐近线方程为x y 32±=,∴设双曲线方程为()019422≠=-λλλy x 〔1〕假设0>λ,那么λ42=a ,λ92=b∴准线方程为：λ131342±=±=c a x ,∴13131613138=λ,∴4=λ 〔2〕假设0<λ,那么λ92-=a ,λ42-=b∴准线方程为：131392λ-±=±=c a y ,∴131316131318=-λ,∴8164-=λ ∴所求双曲线方程为：1361622=-y x 或12568164922=-x y 说明：〔1〕准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便． 〔2〕通过待定系数法求出参数N ．典型例题五例5 中央在原点,一个焦点为()01，F 的双曲线,其实轴长与虚轴长之比为m ,求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为12222=-b y a x ,那么⎪⎩⎪⎨⎧===+mb ac b a 221222,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11122222m b m m a ∴111122222=+-+m y m mx 为所求双曲线的标准方程． 说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法,注意其中的运算技巧．典型例题六例6 求中央在原点,对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：()0122≠=-k ky k x ,那么()1312=--k k , ∴191=-kk ,∴8-=k ,∴所求双曲线方程为18822=-x y 说明：〔1〕以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的根底上的,即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线的充要条件,它的证实如下：设等轴双曲线()0222>=-m m y x ,那么222m b a ==,∴22222m b a c =+=∴m c 2=,∴22===mm a c e 反之,如果一个双曲线的离心率2=e ．∴2=ac,∴a c 2=,222a c =,∴2222a b a =+,∴22b a =,b a = ∴双曲线是等轴双曲线〔2〕还可以证实等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中央的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．典型例题七例7 点()03，A ,()02，F ,在双曲线1322=-y x 上求一点P ,使PF PA 21+的值最小． 解：∵1=a ,3=b ,∴2=c ,∴2=e设点P 到与焦点()02，F 相应准线的距离为d 那么2=dPF∴d PF =21,∴d PA PF PA +=+21至此,将问题转化成在双曲线上求一点P , 使P 到定点A 的距离与到准线距离和最小．即到定点A 的距离与准线距离和最小为直线PA 垂直于准线时,解之得,点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ．说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中,将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的水平．典型例题八例8 ：()11y x M ，是双曲线12222=-by a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．分析：利用双曲线的第二定义．解：如图,设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ．当M 点在双曲线的右支上时,a x ≥1,且有e d MF d MF ==2211∴a ex c a x e ed MF +=+==12111,a ex ca x e ed MF -=-==12122 当点M 在双曲线的左支上时,a x -≤1,且有e d MF d MF ==2211∴()a ex c a x e ed MF +-=+==12111,()a ex ca x e ed MF --=-==12122 说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式,它在解题过程中发挥着很大的优越性,可使解题过程的运算量简化,从而得到避繁就简效果．例如：在双曲线1121322-=-y x 的一支上有三个不同点()11y x A ，、()622，x B 、()33y x C ，与焦点()501，F 的距离成等差数列,求31y y +的值． 解：直接利用焦半径公式,得：a ey AF -=11,a e BF -=61,a ey CF -=31 ∴1112BF CF AF =+,∴()a e a y y e 212231-=-+,即1231=+y y注意：一般地,在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题,应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．典型例题九例9 如下图,梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 满足EC AE λ=,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点,当4332≤≤λ时,求双曲线离心率的取值范围． 分析一：依题意,建立恰当的坐标系,并通过A 、B 、E 的坐标及双曲线的方程求解．解法一：以直线AB 为x 轴,以AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy ,那么y CD ⊥轴,因双曲线过点C 、D ,且以A 、B 为焦点,由双曲线的对称性可知C 、D 关于y轴对称．设()0，c A -、⎪⎭⎫ ⎝⎛h c C ，2、()00y x E ，,其中AB c 21=为双曲线的半焦距,h 是梯形的高．由EC AE λ=,即()⎪⎭⎫⎝⎛--=+00002y h x c y c x ，，λ,得()()λλ+-=1220c x ,λλ+=10h y 设双曲线方程为12222=-b y a x ,那么离心率为a c e =．由点C 、E 在双曲线上,将C 、E 的坐标和ace =,代入双曲线方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-②①111241422222222bh e bh e λλλλ由①得14222-=e b h ,将③代入②式中,整理得：()λλ214442+=-e ∴2312+-=e λ,又∵4332≤≤λ,∴43231322≤+-≤e ,∴107≤≤e ∴双曲线的离心率取值范围为[]107，．分析二：建立直线AC 方程,再与双曲线方程联立,借助一元二次方程根与系数关系解题．解法二：前面局部同解法一． 可求得直线AC 方程为()c x chy +=32,将其代入双曲线方程222222b a y a x b =-中,得()()094849222222222222=+---c b a h a cx h a x h a cb又∵0x 、2c为上述二次方程的两根,∴()222222222094942c b h a c b a h a x c -+=⋅ ① 又∵⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2在双曲线上,∴()44222-=e b h ②∵()()1220+-=λλc x ③ 将②③代入①中,得：()()()()2222222222294942122c ca b e a b a b e a c c ⋅--+-=⋅+-λλ ∵a c e =,∴2312+-=e λ 以下同解法一分析三：借助焦半径公式解题． ∵EC AE λ=,∴()()1220+-=λλc x ① ∴λλ+=1CAEA ,由焦半径公式,得：λλ+=⋅+--120c e a ex a ②将①代入②,得：()()λλλλ+=⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-⋅--12122c e a c e a∵a c e =,∴2312+-=e λ 以下同解法一 说明：〔1〕此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系〔如：c 、h 、λ、e 〕．难点：如何自始至终保持思路清楚,有条不紊．〔2〕比拟以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然,但由于采取了联立方程消元的思想,也就导致了解题过程的运算繁琐,这对于学生的计算水平要求是很高的,解法三因巧妙地运用了焦半径公式,使得求解过程变得简洁快捷,而且给人以一种心满意足的感觉,这说明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．典型例题十例10 设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ,直线l 过)0,(a 、),0(b 两点,且原点到直线l 的距离为c 43,求双曲线的离心率． 分析：由两点式得直线l 的方程,再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式,从而解出ac的值． 解：由l 过两点)0,(a ,),0(b ,得l 的方程为0=-+ab ay bx ．由点到l 的距离为c 43,得c ba ab 4322=+．将22a cb -=代入,平方后整理,得0316)(1622222=+⋅-ca c a ．令x c a =22,那么0316162=+-x x ．解得43=x 或41=x ． 而a ce =,有x e 1=．故332=e 或2=e ． 因b a <<0,故212222>+=+==ab a b a ac e ,所以应舍去332=e ．故所求离心率2=e ． 说明：此题易得出错误答案：2=e 或332=e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<,从而离心率2>e ．而2332<,故应舍去． 典型例题十一例11 根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ,离心率25=e ． (2)双曲线的右准线为4=x ,右焦点为)0,10(F ,离心率2=e ．(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上一点,且︒=∠6021PF F ,31221=∆F PF S ,又离心率为2．分析：(1)、(3)用待定系数法,(2)用定义法．解：(1)依题意,双曲线的实轴可能在x 轴上,也可能在y 轴上,分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上,设12222=-b y a x 为所求．由25=e ,得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上,得12922=-ba ． ② 又222cb a =+,由①、②得12=a ,412=b ． ③假设双曲线的实轴在y 轴上,设12222=-b y a x 为所求．同理有4522=a c ,19222=-ba ,222c b a =+．解之,得2172-=b 〔不合,舍去〕． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上,所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线上任意一点),(y x P ,由于双曲线右准线4=x ,右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,根据双曲线的第二定义,有24)10(22=-+-x y x ,化简,得03612322=---x y x , 即14816)2(22=--y x ． ∴所求双曲线方程为14816)2(22=--y x ． (3)设双曲线方程为12222=-b y a x ,因c F F 221=,而2==ace ,由双曲线的定义,得c a PF PF ==-221．由余弦定理,得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ,∴21224PF PF c c ⋅+=． 又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF , ∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ,162=c ,得42=a ,122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ． 说明：对于此题(1)的解法,由于双曲线的焦点位置没有明确,假设不分情况讨论,将会造成解法的片面性．对于题(2),容易造成以下三种误解：误解一：由10=c ,42==c a x ,得402=a ,那么60222=-=a c b ．故所求双曲线方程为1604022=-y x ． 误解二：由焦点坐标)0,10(F ,知10=c ．又2==ace ,得5=a ．故7525100222=-=-=a c b ．∴所求双曲线方程为1752522=-y x ． 误解三：由2==a ce ,42=c a ,得8=a ,16=c ,那么192222=-=a c b ．故所求双曲线方程为11926422=-y x ． 这三种误解的错因都是按双曲线中央在原点得出结论,造成遗漏题条件,从而导致错误的结果．题(3)虽属待定系数法,但要用到公式ab b a b a 2)(222+-=+和双曲线的定义,以及正弦定理、余弦定理等知识,具有较强的综合性．假设在其中某个环节上出现错误,将无法得出正确结果．典型例题十二例11 在双曲线1131222=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差数列．(1)求31y y +；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点,并求出定点的坐标． 分析：利用双曲线的第二定义解(1),利用点差法结合(1)的结果证(2)． 解：(1)依题意,得B 在双曲线上支上,故A 、B 、C 三点都在双曲线上支上,且上准线的方程为512=y ． AF 、BF 、CF 成等差数列,根据双曲线的第二定义,得 )512(1)512(1)5126(231-+-=-y e y e e ,故1231=+y y ． (2)由点A 、C 在双曲线上,故113122121=-xy ,113122323=-x y ．两式相减,得013))((12))((31313131=-+--+x x x x y y y y ．∴13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--．∴AC 的垂直平分线的斜率为3113x x +-．又AC 的中点坐标为)6,2(31x x +,故AC 的垂直平分线方程为 )2(1363131x x x x x y +-+-=-当0=x 时,225=y ,故AC 的垂直平分线过定点)225,0(． 说明：1．此题属定值问题,存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚,摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．2．关于定值问题,一般通过计算证实其值与曲线的点的位置无关,或与直线的斜率无关．为了证实的目的更明确,可通过特殊情况,求出一个常数,猜测出这个定值．不同的设法,可以得到不同的证法．典型例题十三例13 双曲线12222=-by a x 的离心率21+>e ,左、右焦点分别为1F 、2F ,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找到一点P ,使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离,故可考虑用双曲线的第二定义解题． 解：设在左半支上存在P 点,使d PF PF ⋅=221,由双曲线的第二定义,知e PF PF dPF ==121,即12PF e PF =． ①再由双曲线的第一定义,得a PF PF 212=-． ②由①、②,解得121-=e a PF ,122-=e aePF ． 在21F PF ∆中,有c PF PF 221≥+,∴c e aee a 21212≥-+-． ③ 利用ac e =,从③式得0122≤--e e ．解得2121+≤≤-e ． 由1>e ,得211+≤<e ,与21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在． 说明：(1)解答探索性命题,一般可先设点P 存在,再利用条件探求．假设得出矛盾,那么说明P 点不存在；否那么,便得到P 点的位置．(2) 211+≤<e 是双曲线12222=-by a x 左支上存在P 点,使d PF PF ⋅=221成立的充要条件．典型例题十四例14 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ,B 两点,设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围．分析：首先应写出直线l 的方程,因此需求出AB 的中点坐标,将直线1+=kx y 与双曲线方程122=-y x 联立,消去y 得到关于x 的一元二次方程,利用韦达定理可得到AB 中点的坐标表达式．解：由方程组⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得022)1(22=---kx x k ． ①设),(11y x A 、),(22y x B ,AB 中点的坐标为),(00y x ． ∵直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ,B 两点, ∴方程①有两个不大于-1的不等实根．令22)1()(22---=kx x k x f ,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-⋅-<->-+-=∆,0)1()1(,01,0)1(8)2(2222f k k k k k 解得21<<k ,222012k k x x x -=+=,200111kkx y -=+=． ∴直线l 的方程是21201122+-+=---k kx k o y令0=x ,得1617)41(122222+--=++-==k k k y b ． ∵21<<k ,∴22-<b 或2>b ．说明：(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题,0>∆是必不可少的条件． (2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题,不但要考虑0>∆,同时要考虑方程根的取值范围,以下以双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 为例作简单说明．⎪⎩⎪⎨⎧=-12222b y ax 直线方程关于x 的一元二次方程02=++s nx mx ．①假设直线与双曲线右支相交于不同两点,那么其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且②假设直线与双曲线左支相交于不同两点,那么其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且③假设直线与双曲线不同两支交于两点,那么其充要条件是⎩⎨⎧<>∆≠.0,0021x x m 且典型例题十五例15 1l ,2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线,且1l ,2l 与双曲线122=-x y 各有1A ,1B 和2A ,2B 两个交点．(1)求1l 的斜率1k 的取值范围；(2)假设22115B A B A =,求1l ,2l 的方程； (3)假设1A 恰是双曲线的一个顶点,求22B A 的值．分析：第(1)小题利用直线1l ,2l 与双曲线都有两个交点,从而可以转化为一元二次方程有两个不等实根,判别式大于零,由此可以得到1k 满足的不等式组；第(2)小题利用弦长公式求1k ,再由点斜式方程求出直线方程； 第(3)小题利用直线1l 过A 点求1k ,再由弦长公式求22B A ．解：(1)依题意,直线1l ,2l 的斜率都存在,设1l 的方程为)2(1+=x k y )0(1≠k 直线2l 的方程为)2(2+=x k y )0(2≠k ,且121-=k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(221x y x k y 消去y ,整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ①假设0121=-k ,那么方程①只有一个解,即l 与双曲线只有一个交点,与题设矛盾． 故0121≠-k ,即11≠k ．∵直线1l 与双曲线有两个不同交点,∴0)13(4)12)(1(4)22(2121212211>-=---=∆k k k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(222x y x k y 消去y ,整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ②同理0122≠-k ,0)13(4222>-=∆k ．所以1l ,2l 与双曲线各有两个交点,等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=≠≠>->-,1,1,1,013,01321212221k k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ．(2)设),(111y x A ,),(221y x B ；由方程①可得122212121-=+k k x x ,112212121--=k k x x ． ∴221212122121211)1()13)(1(4))(1(--+=-+=k k k x x k B A ③ 同理,由方程②可得2222222222)1()13)(1(4--+=k k k B A ． ④ ∵121k k -=,代入④得 2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=． ⑤ 由22115B A B A =,得2222115B A B A =．将式③和式⑤代入得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+．解得21±=k ． 当21=k 时,)2(21+=x y l ：,)2(222+-=x y l ：； 当21-=k 时,)2(21+-=x y l ：,)2(222+=x y l ：． (3)双曲线122=-x y 的顶点为)1,0(,)1,0(-． 取)1,0(1A 时,有1)20(1=+k ,解得221=k ,于是2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程②得03242=++x x ．设2l 与双曲线的两个交点),(332y x A ,),(442y x B ,那么2443-=+x x ,343=x x ．那么24322222))(1(x x k B A -+=]4))[(1(4324322x x x x k -++=60]34)24[(32=⨯--=．∴15222=B A ．当取)1,0(1-A 时,由双曲线关于x 轴对称,知15222=B A ．说明：(1)直线与曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式∆,那么有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点； ⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点； ⇔<∆0直线与双曲线无交点．假设得到关于x (或y )的一元二次方程,那么直线与双曲线相交于一个点,此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(2)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+,其中k 是直线l 的斜率,),(11y x ,),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ,B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-,21x x +,21x x 可由韦达定理整体给出．典型例题十六例16 双曲线的渐近线方程是043=+y x ,043=-y x ,求双曲线的离心率． 分析：由渐近线的斜率与a ,b 的关系得到a ,c 的关系,从而求出e ．解：(1)设双曲线方程为12222=-by a x )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ,043=-y x , ∴43=a b ． 又∵1222222-=-==e aa c ab a b ,∴4312=-e ．∴45=e ． (2)设双曲线方程为12222=-bx a y )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ,043=-y x ,∴43=b a ． ∵12-=e a b ,∴3412=-e ,35=e ． ∴离心率45=e 或35=e ．说明：(1)必须分两种情况求离心率,共渐近线的双曲线方程为：λ=-2222by a x )0(≠λ的形式,它们的渐近线为x aby ±=． (2)关于双曲线的渐近线,可作如下小结：假设知双曲线方程为12222=-b y a x 或12222=-bx a y ,那么它们的渐近线方程只需将常数“1〞换成“0〞,再写成直线方程的形式即可；假设知双曲线的两渐近线,先写成一个方程即02222=-b y a x 的形式,再设出双曲线方程λ=-2222b y a x )0(≠λ； 实轴长焦矩长离心率=e ；假设焦点在x 轴上,渐近线斜率为虚轴长比实轴长；假设焦点在y 轴上,渐近线斜率为实轴长比虚轴长．典型例题十七例17 双曲线S 的两条渐近线过坐标原点,且与以)0,2(A 为圆心,1为半径的圆相切,双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称,设直线l 过点A ,斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时,在双曲线S 的上支求点B ,使其与直线l 的距离为2；(3)当10<≤k 时,假设双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2,求斜率k 的值及相应的点B 的坐标．分析：此题考查的内容多,其中有直线与圆相切,关于直线x y =的对称点,双曲线的性质,点到直线的距离等等,如果采取各个击破的方法,那么问题便能解决． 解：(1)由得双曲线的渐近线为x y ±=,因而S 为等轴双曲线,其中一个顶点为)2,0('A ,所以双曲线S 的方程为12222=-x y ． (2)假设)2,(2+x x B 是双曲线S 的上支上到直线2-=x y l ：的距离为2的点,那么22222=-+-x x ,解得2=x ,2=y ．故B 点坐标为)2,2(．(3)由于当10<≤k 时,双曲线S 的上支在直线l 的上方,所以点B 在直线l 的上方．设直线'l 与直线)2(-=x k y l ：平行,两线间的距离为2,直线'l 在直线l 的上方,双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2,等价于直线'l 与双曲线S 的上支有且只有一个公共点． 设'l 的方程是m kx y +=,由l 上的点A 到'l 的距离为2,可知2122=++k m k ,解得)1(22k k m -+±=,其中)1(22k k m -+-=舍去．由方程222=-x y 及m kx y +=,消去y 得,022)1(222=-++-m mkx x k ． ∵12≠k ,∴)123(8)22(4222+-=+-=∆k k k k m ． 令0=∆．∵10<≤k ,解得0=k ,552=k ． 当0=k 时,2=m ,解得0=x ,2=y ,∴点B 的坐标为)2,0(．当552=k 时,510=m ,解得22=x ,10=y ,∴点B 的坐标为)10,22(． 说明：假设双曲线渐近线方程为0=±qy px ,那么共渐近线的双曲线方程为λ=-2222py q x ,其中λ为不等于零的常数,另外要善于把问题转化,(3)便是把原题转化为m kx y l +=：'与双曲线S 上支有且只有一个公共点问题．典型例题十八例18 如下列图,给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：,B 是直线l 上的动点,BOA ∠的角平分线交AB 于C ,求点C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．分析：根据曲线的条件求轨迹方程,是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件,分清主动点与从动点的关系,综合利用所学知识求出C 点横坐标与纵坐标的关系．解：依题意,记),1(b B -,R b ∈,那么直线OA 与OB 的方程分别为0=y 和bx y -=, 设C 点坐标为),(y x ,那么有a x <≤0,由OC 平分AOB ∠,知点C 到OA 、OB 距离相等,根据点到直线的距离公式, 得：21bbx y y ++=①依题设,点C 在直线AB 上,故有)(1a x aby -+-=． 由0≠-a x ,得,ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式,得22222)1()()1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y ． 整理得：0])1(2)1[(222=++--y a ax x a y ,假设0≠y ,那么0)1(2)1(22=++--y a ax x a ．)0(a x << 假设0=y ,那么0=b ,π=∠AOB ,点C 的坐标为)0,0(,满足上式． 综上,得点C 的轨迹方程为：0)1(2)1(22=++--y a ax x a )0(a x ≤≤ (1)当1=a 时,轨迹方程化为x y =2)10(<≤x ③ 此时,方程③表示抛物线弧段(2)当1≠a 时,轨迹方程为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x ,其中a x <≤0 ④ ∴当10<<a 时,方程④表示椭圆弧段,当1>a 时,方程④表示双曲线一支的弧段． 说明：此题求轨迹问题,要求考生有较高的水平和扎实的根本功,同时要求对问题考虑完整和有较强的运算水平．对字母系数a 的讨论是高考重点考查的内容．典型例题十九例19 双曲线C 的实轴在直线2=x 上,由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射,反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中央M ．假设4=PQ ,过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为98,求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．分析：光线反射的问题,实质上是寻找点关于直线的对称点的问题,而求双曲线方程,实质上是求双曲线中点),(k h M 与a 、b 的问题．解：依题意,设双曲线中央为)2,(h M ,又点A 关于x 轴的对称点为)4,4('--A ,所以直线O A '的方程为x y =,与2=y 联立,得2=h ． 设双曲线方程为1)2()2(2222=---b y a x ,焦点)2,2(1c F -,)2,2(2c F +,右准线c a x 22+=,从而1'F A 的方程为：)4(664+-=+x cy , 2'F A 的方程为：)4(664++=+x cy ． 在上面两式中分别令0=y ,那么P 点坐标为)0,32(c -,Q 点坐标为)0,32(c ,再由4=PQ ,那么3=c ,∴P 点坐标为)0,2(-,Q 点坐标为)0,2(． 在)4(6642'++=+x c y F A ：中,令98=y ,得310=x ,在31022=+c a 中,由3=c ,得42=a ,52=b ,所以,所求双曲线方程为15)2(4)2(22=---y x ．直线AP 的方程为2=3-+yx．44x,直线AQ的方程为02=++y说明：此题关键要掌握中央不在原点的双曲线的焦点坐标,准线方程的求法,通过逆向思维,求出x轴上的点P、Q的坐标,从而使问题迎刃而解．。
高二数学寒假作业 专题06 双曲线的简单几何性质测含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校专题6双曲线的简单几何性质【测一测】一．选择题〔5*10=50〕1．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x2.双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2，那么椭圆mx2+ny2=1的离心率为()3.：双曲线C的方程为22xa－22yb＝1(其中)0,0>>ba；：双曲线C的渐近线方程为y＝±ba x；那么甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有一样的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝x ，那么双曲线的方程为()A ．2x2－4y2＝1B ．2x2－4y2＝2C ．2y2－4x2＝1D ．2y2－4x2＝35．双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，那么这双曲线的离心率为〔〕 A.25B.23C.34 D.56.等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，那么以下关于1e 、2e 的关系式不正确的选项是()A ．221=+e eB ．212=-e eC ．221=e e D.212>e e【答案】A【解析】试题分析：此题要求我们用椭圆、双曲线的定义解决问题，设等边△ABC 的边长为2m ，对椭圆来讲，22,2(13)c m a m ==+，12231213c c e a a ====-+，对双曲线来讲，22,2(31)c m a m ==-，22231231c c e a a ====+-，故21e e >． 7.A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个顶点，P 为双曲线上〔除顶点外〕的一点，假设直线PA ，PB 的斜率乘积为12，那么双曲线的离心率e ＝()A.52B.62C.2D.1538.双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 1PF ·2PF ＝()A.－12B.－2C.0D.4【答案】C【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线为2b y x =，2b =1，解得2b =.所以双曲线的方程为22122x y -=.又因为点0(3,)P y 在曲线上，所以201y =.又因为12(2,0),(2,0)F F -.所以21102020(23,),(23,),10PF y PF y PF PF y =---=--∴⋅=-+=.应选C.9.双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，那么此双曲线的离心率e 的最大值为()A.BC.2D.10.设1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐过线M 、N 两点，且满足120MAN ∠=，那么该双曲线的离心率为〔〕A.213B.193C.23D.733二、填空题〔4*5=20〕22x y 1n -=(n ＞1)的左、右两个焦点为F1,F2,P 在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2n 2+，那么△PF1F2的面积为_____.【答案】1【解析】试题分析：不妨设点P 在双曲线的右支上，那么1212PF PF 2n PF PF 2n 2,-=+=+，又12PF n 2n,PF n 2n ∴=++=+-，又c n 1,=+∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴∠F1PF2=90°,12PF F 121SPF PF 1.2∴== 12.双曲线22221x y ab -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，那么此双曲线的方程为_____.13.双曲线22214x y m m -=+的右焦点到其渐进线的间隔为22,那么此双曲线的离心率为_____.14.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点P ，作与实轴平行的直线，交两渐近线M 、N 两点，假设22b PN PM =⋅，那么该双曲线的离心率为____.【答案】26【解析】三．解答题〔2*15=30〕15.双曲线2222100(,)x y a b a b -=>>，1A 、2A 是双曲线的左右顶点，00(,)M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是14425， 〔1〕求双曲线的离心率；〔2〕假设该双曲线的焦点到渐近线的间隔是12，求双曲线的方程.试题解析：〔1〕设(,)M x y ，12(,0),(,0)A a A a -，那么22221x y a b -=，变形为22222y b x a a =-，122222214425MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，∴22222222169125c a b b e a a a +===+=，135e =．〔2〕双曲线的一条渐近线为b y x a =，即0bx ay -=，焦点为(,0)c到渐近线的间隔为12d b ===，由〔1〕22221214425b a a ==，∴225a =，因此双曲线方程为22125144x y -=．16.双曲线C 与椭圆14822=+y x(Ⅰ)求双曲线C 的方程；(Ⅱ)假设直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>(其中O 为原点),求k 的取值范围.。
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质检测试题 新人教A版选修11
一、选择题1.双曲线=1的一个焦点为(2,0),则此双曲线的实轴长为( )A.1B.C.2D.2答案:C解析:由已知焦点在x轴上,∴m>0.∴m+3m=4,m=1.∴双曲线的实轴长为2.2.如果椭圆=1(a>0,b>0)的离心率为,那么双曲线=1的离心率为( )A. B.C. D.2答案:A解析:由已知椭圆的离心率为,得,∴a2=4b2.∴e2=.∴双曲线离心率e=.3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则该双曲线的方程为( )A.x2-y2=1B.x2-=1C.x2-=1D.-y2=1答案:B解析:由已知=2,c-a=1,∴c=2,a=1.∴b2=c2-a2=3.∴所求双曲线方程为x2-=1.4.若双曲线=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为( )A.2B.3C.4D.5答案:B解析:由已知可知双曲线的焦点在y轴上,∴.∴m=9.∴双曲线的焦点为(0,±),焦点F到渐近线的距离为d=3.5.已知双曲线C:x2-y2=1,F是其右焦点,过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点,则直线l的斜率等于( )A.1B.-1C.±1D.±2答案:C解析:依题意,直线l与双曲线C的渐近线平行.又x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,∴直线l的斜率k=±1.二、填空题6.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.答案:(4,0),(-4,0) y=±x解析:椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),故c=4,且满足=2,故a=2,b==2,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.7.若双曲线=1的离心率e∈(1,2),则b的取值范围是.答案:(-12,0)解析:由=1表示双曲线,得b<0,∴离心率e=∈(1,2).∴-12<b<0.8.过双曲线=1的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,且双曲线的右顶点A满足MA⊥NA,则双曲线的离心率等于.答案:2解析:由题意知△AMN为等腰直角三角形,所以|AF|=|FM|.易求|FM|=.又|AF|=a+c,所以=a+c,所以e2-e-2=0.故e=2.三、解答题9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:=0;(3)求△F1MF2的面积.解:(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)不妨设F1(-2,0),F2(2,0),∴=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±,∴△F1MF2的高h=|m|=.∴=6.10.设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)直线l与y轴交于点P,且,求a的值.解:(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①∴解得0<a<且a≠1.双曲线的离心率e=.∵0<a<且a≠1,∴e>且e≠,即离心率e的取值范围为∪(,+∞).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).由此得x1=x2.由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,∴x2=-=-,消去x2,得-.由a>0,∴a=.。
双曲线简单几何性质练习题
双曲线的简单几何性质练习题班级 姓名 学号1．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x . 2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又e ∈(1,2)，∴1<1－k 4<4，∴－12<k <0. 4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1答案第2页，总3页解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 5．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：26．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x . 不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215. 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m . 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。
双曲线及双曲线的简单几何性质测试(满分：120分)(精)
双曲线及双曲线的简单几何性质测试(满分:120分班级: 姓名 : 得分:一、选择题(共 10题,每题 5分共 50分1. “ 0ab <”是“曲线 221ax by +=为双曲线”的 (A .充分不必要条件B .必要不充分条件C . 充要条件D .既非充分也非必要条件2. 双曲线2214x y k+=的离心率 e 满足 12e <<,则 k 的取值范围是 ( A . 0k <或 3k >B . 30k -<<C . 120k -<<D . 143. 双曲线 2221kx ky -=的一个焦点坐标是 (0,4,则 k 等于 (A .232B. 4C . 332-D. 4-4.已知双曲线的两个焦点为 (12, F F , P 是此双曲线上的一点,且 12PF PF ⊥,122PF PF ⋅=,则该双曲线的方程是 (A .22123x y -= B .22132x y -= C . 2214x y -= D . 2214y x -= 5. 已知 1F 、 2F 是双曲线的两个焦点, PQ 是经过点 1F 且垂直于实轴的弦, 若 2PQF △是等腰直角三角形, 则双曲线的离心率是 (AB1 C1D146. 已知双曲线 2212y x -=的焦点为 1F 、 2F ,点 M 在双曲线上且 120MF MF = ,则点 M 到 x 轴的距离为 (A .43B .53CD7. 双曲线 22221x y a b-=的一条准线被它的两条渐近线截得的线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离,则此双曲线的两条渐近线的夹角为 (A . 120︒B . 90︒C . 60︒D . 30︒8. 如图,过双曲线 (221mx y m m -=>的左焦点作直线 l 交双曲线于P 、 Q 两点,若 2PQ m =,则这样的直线 l 共有 (A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条9. 双曲线上一点到两焦点的距离分别是 14和 6,此双曲线两准线间的距离为325,则双曲线的标准方程是 (A .221169x y -= B . 221169y x -=C .221169x y -=或 221169y x -= D . 221169x y -=或 221916y x -=10. 设 1a >,则双曲线 (222211x y a a -=+的离心率 e 的取值范围是 (A.B.C . (2,5D. (二、填空题(共 4题,每题 5分,共 20分11. 双曲线 229161x y -=的焦距是 ; 12. 若双曲线的渐近线方程为 3y x =±, 它的一个焦点是, 则双曲线的方程是13. 过 (0,0的直线与双曲线22164x y -=有一个公共点,这样的直线可有条; 14.设双曲线 (222210, 0x y a b a b -=>>的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P 、 Q 两点,如果PQF △是直角三角形,则双曲线的离心率 e = .三、解答题 (每题 10分,共 40分 15. 求以 13y x =±为渐近线且过点 810, 3M ⎛⎫⎪⎝⎭的双曲线方程. 16. 过双曲线221916x y -=的右焦点 F 作倾角为4π的直线 l 交双曲线于 A B 、两点,求 AB 中点 C 到 F 的距离.17. 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 (13,0F -20y -=(1 求双曲线 C 的方程; (2 若以(0k k ≠ 为斜率的直线 l 与双曲线 C 交于不同的点 M 、 N , 且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为812,求 k 的取值范围. 18. 已知双曲线 222x y -=的左右焦点分别为 12F F 、 ,过点 2F 的动直线与双曲线交于 A B 、两点,若动点M 满足 1111FM F A F B FO =++(O 为坐标原点 ,求点 M 的轨迹方程.双曲线及双曲线的简单几何性质测试(满分:120分班级:姓名得分:一、选择题(共 10题,每题 5分共 50分二、填空题(共 4题,每题 5分,共 20分12. 13. 14. 三、解答题 (15题 10分, 16题 12, 17题 15, 18题 13分,共 50分15.16.17.18.。
《双曲线的简单几何性质 》同步提升训练小卷
2021-2022学年高二数学（人教A 版2019选择性必修一）3.2.2 双曲线的简单几何性质一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．双曲线221y x m -=的充要条件是（ ）A ．﹣1≤m ＜0B ．0＜m ≤1C ．m ≤﹣1D ．m ≥12．双曲线22:148x y C -=的离心率为（ ）AB C ．2D ．33．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x =D 20y ±=4．斜率存在的直线l 点()0,1-且与双曲线C ：2214y x -=有且只有一个公共点，则直线l 斜率为（ ）A ．B ．2±C ．2D ．2±5．已知左、右焦点分别为12,F F 的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线:20l x y -=相互垂直，点P 在双曲线上，且123PF PF -=，则双曲线的焦距为（ ）A ．B ．6C ．D ．36．P 是双曲线222116x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线的方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线的左､右焦点，若112PF F F ⊥，则2PF =（ ） A ．12B ．16C ．18D ．207．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率等于2，则其渐近线与圆22(4)3x y ++=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定8．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点F 作倾斜角为60︒的直线交E 于A ，B 两点，交y 轴于点C ，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，且满足3||||FN FC ≥，则E 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9．已知双曲线22:13x y C m -=过点，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的焦距为4B ．CC ．C 的渐近线方程为y x =D ．直线210x -=与C 有两个公共点10．（多选）已知ABC 是一个等腰直角三角形，如果圆锥曲线以ABC 的两个顶点为焦点，且经过另外一个顶点，则该圆锥曲线的离心率可以等于（ ）AB ．2C 1D 111．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q .当2||||PF PQ +的最小值为3时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则（ ）A．C 的方程为22122x y -=B ．C C ．C 的渐近线方程为y x =±D ．C 的方程为221x y -=12．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 的图象不经过第三象限 B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点 三、填空题：本题共4小题13．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.14．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为__________.15．已知双曲线2212x y a -=（0a >）则该双曲线的渐近线方程为________.16．倾斜角为30︒的直线l 经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F ，交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线过右焦点2F ，则此双曲线的渐近线方程为_______.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点()的双曲线方程.18．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为8，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求一个焦点为()5,0，渐近线方程为43y x =±的双曲线标准方程．19．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m m ，30m ，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）；20．已知双曲线24x －y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.21．已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F ，且过点(4,， （1）求双曲线的方程；（2）若点(),0M a 为x 轴上一定点，P 为双曲线右支上一点，求线段PM 长的最小值.22．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．参考答案1．B【解析】解：因为双曲线221y x m-=所以01m e >⎧⎪⎨<=⎪⎩解得：0＜m ≤1． 故选：B ． 2．B【解析】因为双曲线22:148x y C -=，所以2a =，b =则c =所以==ce a故选：B 3．A【解析】因为椭圆222:143x y C +=的焦点为()1,0±为顶点，左顶点为()2,0-，右顶点为()2,0， 又双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，所以1a =，2c =，则b即双曲线的方程为2213y x -=，由2203y x -=0y ±=，0y ±=. 故选：A. 4．D【解析】由题意，设直线l 的方程为1y kx =-，代入双曲线方程化简可得()224230k x kx ---=， 当24k =即2k =±时，()224230k x kx ---=只有一解，满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；当2k ≠±时，令()2241240k k ∆=+-=，解得k =满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；所以2k =±或k = 故选：D. 5．C【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为b y x a=±，一条渐近线与直线:20l x y -=相互垂直，可得2ba=，即2b a =， 由双曲线的定义可得1223a PF PF =-=，可得3,32a b ==，所以c ===2c = 故选：C 6．A【解析】不妨设0a >，因为双曲线222116x y a -=的一条渐近线的方程为20x y -=，所以42a =即2a =，所以双曲线的方程为221416x y -=，所以点()1F -，所以点P 的横坐标为-P 的纵坐标为8±， 所以18PF =，21212PF a PF =+=. 故选：A. 7．C【解析】由于双曲线的离心率等于2，所以2c a=，即2224a b a +=，所以b a =方程为y =．圆22(4)3x y ++=的圆心为(0,4)-离2d ==>22(4)3x y ++=相离． 故选：C 8．A【解析】设O 为坐标原点，直线AB 倾斜角为60︒，30FCO ∴∠=,OF c =，2FC c ∴=，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为N ， ∴由双曲线的性质，可知FN b =，3||||FN FC ≥，∴32b c >，两边平方得2294b c ≥，()22294c a c ∴-≥，即2259c a ≥，295e ∴≥，即e ≥故选：A. 9．AC【解析】由双曲线22:13x y C m -=过点，可得1m =，则双曲线C 的标准方程为：2213x y -=；所以1,2a b c ==，因为椭圆C 的焦距为24c =，所以选项A 正确；因为椭圆C 的离心率为c a =，所以选项B 不正确；因为椭圆C 的渐近线方程为y =，所以选项C 正确；将直线210x -=与双曲线2213x y -=联立消y 可得：23440x x -+=，()24434320∆=--⨯⨯=-<，所以直线210x -=与双曲线 C 没有公共点，所以选项D 不正确； 故选：AC. 10．BCD【解析】不妨设ABC 的直角边长为m ，如果圆锥曲线是椭圆，当椭圆以两个非直角顶点为焦点且经过直角顶点时，离心率22c e a ===当椭圆以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点时，离心率212c e a ===. 如果圆锥曲线是双曲线，则双曲线只能以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点，这时离心率212c e a ===. 故选：BCD. 11．BCD【解析】因为21||||2PF PF a -=，所以21122.PF PQ PF PQ a FQ a +=++≥+ 因为焦点到渐近线的距离为b ，所以1FQ 的最小值为b ，所以2 3.b a += 不妨设直线OQ 为b y x a =，因为1F Q OQ ⊥，所以点1(,0)F c -，2(,)a ab Q c c--，1F Q 的中点为22(,2a c c +-)2ab c -.将其代入双曲线C 的方程，得2222222()144a c a a c c+-=，即2222222(1)144a a c a c c +-=，解得.c = 又因为22223,b a a b c +=+=，所以1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=，渐近线方程为y x =± 故选：BCD 12．ACD【解析】由题意，方程||||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2214xy +=，表示椭圆在第一象限的部分；当0,0x y ><时，2214xy -=，表示双曲线在第四象限的部分；当0,0x y <>时，2214xy -+=，表示双曲线在第二象限的部分；当0,0x y <<时，2214x y --=，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，2214x y +=，即2214x y =-则PO 0x =时，min 1PO =，所以C 正确；令()0g x =，可得()20f x x +=，即()12f x x =-，则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与12y x =-的交点，又由直线12y x =-为双曲线2214x y -=和2214x y -+=渐近线，所以直线12y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零点，所以D 是正确的. 故选：ACD.13．34yx 【解析】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx14【解析】解：取AB 中点E ，连接2EF ， 则由已知可得12BF EF ⊥，1F A AE EB == 设1F A x =，则由双曲线定义可得22AF a x =+， 12322BF BF x a x a -=--=，即2x a =，在12Rt F EF 中， 由勾股定理可得()()()22242a c +=，则ce a==15．y ==2320a a --=，解得1a =，所以渐近线的方程为by x a=±=.故答案为：y =. 16．y x =±【解析】解：如图2MF 为2ABF 的垂直平分线， 可得22AF BF =， 且1230MF F ∠=︒，可得22sin 30MF c c =︒=，12cos30MF c =︒， 由双曲线的定义可得122BF BF a -==，212AF AF a -=， 即有11222(2)4AB BF AF BF a AF a a =-=+--=，即有2MA a =，2AF112AF MF MA a =-=-，由212AF AF a -=2)2a a -=，可得22243a c c +=，即c ，b a ，则渐近线方程为y x =±．故答案为：y x =±．17．221128x y -=【解析】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由题意易求得c =()，所以221841a b-=；因为(222a b +=，所以212a =，28b =. 故所求双曲线的方程为221128x y -=. 18．（1）2211612x y +=；（2）221916x y -=. 【解析】（1）设椭圆标准方程为：()222210x y a b a b+=>>由长轴长知：28a =，则4a =.由焦距知：24c =，则2c =，b ∴=∴椭圆的标准方程为：2211612x y +=； （2）双曲线焦点在x 轴上，∴可设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>， ∴双曲线渐近线方程为：43b y x x a =±=±，43b a ∴=，又焦点为()5,0，5==，解得：29a =，216b ∴=， ∴双曲线的标准方程为：221916x y -=. 19．2219006300x y -=，[]70,30y ∈- 【解析】最窄处即双曲线两顶点间， 30a ∴= 设双曲线的标准方程为：2221900x y b-=，由题意知：当40x =（地面半径）时对应y 的值是，当x =时，y ，100=，解得：b = ∴双曲线的标准方程是2219006300x y -=，[]70,30y ∈-. 20．3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1， 由223114y kx k x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ， 整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴1228(31)41k k x x k ++=-. ∴A (3，－1)为MN 的中点， ∴1232x x +=，即28(31)32(41)k k k +=-，解得34k =-. 当34k =-时，满足0∆>，符合题意， ∴所求直线MN 的方程为3544y x =-+， 即3x ＋4y －5＝0.解法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴M ，N 均在双曲线上， ∴221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减，得222221214x x y y -=-， ∴212121214()y y x x x x y y -+=-+. ∴点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2. ∴2121212134()4MN y y x x k x x y y -+===--+. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.21．（1）226x y -=；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）因为e = 所以可设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠因为双曲线过点（4，，所以1610λ-＝，即6λ= 所以双曲线方程为226x y -=（2）设(,)(P x y x ≥，PM x ==令22()226f x x ax a =-+-=222()622a a x -+-(x ≥ ∴当2a ≤a ≤x =2min ())f x a =，min PM a = ∴当2a >a >2a x =时，2min ()62a f x =-，min PM =22．（1）22136x y -=；（2. 【解析】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y -=； （2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F 所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==。
高中试卷-【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2)-A基础练(含答案)
3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)-A 基础练一、选择题1．（2020·河南太康高二月考）双曲线2214y x m-=的离心率为32，则其渐近线方程是（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．y x =D ．y x =【答案】D【解析】双曲线2214y x m-=，即2,a b ==c =，由离心率为32，所以32c a ==，解得5m =，所以双曲线22145y x -=，则渐近线方程为a y x x xb =±==，故选：D.2．（2020·珠海市斗门区第一中学高二月考）直线3b y x a=+与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】A【解析】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其渐近线方程为b y x a =，因为直线3b y x a=+与双曲线的一条渐近线b y x a=平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选：A.3．（2020·全国高二课时练）若直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1)-B ．C ．(D ．(1,1)-【答案】D【解析】当直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的渐近线y x =±平行时，1k =±，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：因为直线:2l y kx =+与双曲线22:4C x y -=的左、右两支各有一个交点，所以k 的取值范围为(1,1)-，故选：D .4．（2020·湖南株洲二中高二月考）已知双曲线22123x y -=的左右焦点分别是1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足AB =的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析】双曲线22123x y -=，过1F 的直线l 垂直于x 轴时，22b AB a ===；双曲线两个顶点的距离为\满足AB =的直线l 有3条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C5．（多选题）（2020·辽宁凌源·高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线12:l y x =，2:2=-l y x ，则下列表述正确的有（ ）A ．a b > B ．2a b=C ．双曲线ED ．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E 的焦点在x 轴上【答案】CD【解析】因为双曲线E 的两条渐近线方程分别为2y x =，2y x =-，所以2ba=，所以2b a =，故AB 不正确；所以双曲线E 的离心率e ==E 的焦点在x 轴上.故CD 正确 .故选：CD.6．（多选题）（2020·湖南益阳高二月考）已知双曲线22:13x y C m-=过点，则下列结论正确的是（）A ．C 的焦距为4B ．CC ．C 的渐近线方程为y x =D ．直线210x -=与C 有两个公共点【答案】AC【解析】由双曲线22:13x y C m -=过点，可得1m =，则双曲线C 的标准方程为：2213x y -=；所以1,2a b c ====，因为椭圆C 的焦距为24c =，所以选项A 正确；因为椭圆C的离心率为c a ==，所以选项B 不正确；因为椭圆C 的渐近线方程为y x =，所以选项C 正确；将直线210x --=与双曲线2213x y -=联立消y 可得：23440x x -+=，()24434320D =--´´=-<，所以直线210x -=与双曲线C 没有公共点，所以选项D不正确；故选：AC.二、填空题7.（2020·宁夏石嘴山高二月考）已知双曲线2212x y a -=（0a >，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】y ==，即2320a a --=，解得1a =，所以渐近线的方程为by x a=±=.8．（2020·安徽宣城高二期末）设双曲线2219y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线1x =与双曲线的其中一条渐近线交于点P ，则12PF F △的面积是________.【答案】【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：3y x =±，焦点()1F，)2F ，则直线1x =与双曲线的渐近线交于点()1,3，()1,3-，不妨设()1,3P ，则12132PF F S =´=△9．（2020·黑龙江大庆实验中学月考）如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，14AE AC =uuu r uuu r，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=，由双曲线是以,A B 为焦点，(),0A c \-，(),0B c ，把12x c =代入22221x y a b-=，可得y =，即1,2C c æççè，又(),0A c -，3,2AC c æ\=ççèuuu r ，设(),E x y ，(),AE x c y \=+uuu r ，14AE AC =Q uuu r uuu r ，()13,,42x c y c æ\+=ççè，解得58x c =-，y =，可得58E c æ-ççè，代入双曲线的方程可得22222511164164c c a a æö--=ç÷èø，即2225115646416e e -=，解得252e =，所以e =.10.（2020·西南大学附中高二月考）斜率存在的直线l 点()0,1-且与双曲线C ：2214yx -=有且只有一个公共点，则直线l 斜率为_____________.【答案】2±【解析】由题意，设直线l 的方程为1y kx =-，代入双曲线方程化简可得()224230k x kx ---=，当24k =即2k =±时，()224230k x kx ---=只有一解，满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；当2k ¹±时，令()2241240k k D =+-=，解得k =，此时方程有两个相等实数根，满足直线l 与双曲线有且只有一个公共点；所以2k =±或k =.三、解答题11.（2020·全国高二课时练习）由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典型例题一例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率． 解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 43±=（1）设所求双曲线方程为12222=-by a x∵43=a b ，∴a b 43= ①∵()332-，A 在双曲线上 ∴191222=-ba ② 由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为12222=-bx a y∵43=a b ，∴a b 34= ③∵()332-，A 在双曲线上，∴112922=-ba ④ 由③④得492=a ，42=b∴所求双曲线方程为：144922=-x y 且离心率35=e解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()091622≠=-λλy x ∵点()332-，A 在双曲线上，∴41991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ，即144922=-x y ． 说明：（1）很显然，解法二优于解法一．（2）不难证明与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()091622≠=-λλy x ．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02222≠=-λλb y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ． （3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．典型例题二例2 作方程21x y -=的图象．分析：∵21x y -=()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⇔111122x x x x∴方程图象应该是圆122=+y x 及双曲线122=-y x 在x 轴上方的图象．说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是()0=y x f ，，那么点()00y x P ，在曲线C 上的充要条件是()000=y x f ，”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．典型例题三例3 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵⎪⎩⎪⎨⎧-==--+2201042222x y x y x ，∴⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=当焦点在x 轴上时，由32=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为1163622=-y x 当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且6=a ，得9=b ．∴所求双曲线方程为1813622=-x y说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．典型例题四例 4 已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，求双曲线标准方程．分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．解：∵双曲线渐近线方程为x y 32±=，∴设双曲线方程为()019422≠=-λλλy x（1）若0>λ，则λ42=a ，λ92=b∴准线方程为：λ131342±=±=c a x ，∴13131613138=λ，∴4=λ （2）若0<λ，则λ92-=a ，λ42-=b∴准线方程为：131392λ-±=±=c a y ，∴131316131318=-λ，∴8164-=λ ∴所求双曲线方程为：1361622=-y x 或12568164922=-x y 说明：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便． （2）通过待定系数法求出参数N ．典型例题五例5 中心在原点，一个焦点为()01，F 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧===+mb ac b a 221222，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11122222m b m m a∴11112222=+-+m y m mx 为所求双曲线的标准方程． 说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．典型例题六例6 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：()0122≠=-k ky k x ，则()1312=--k k ， ∴191=-kk ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为18822=-x y说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线()0222>=-m m y x ，则222m b a ==，∴22222m b a c =+=∴m c 2=，∴22===mma c e 反之，如果一个双曲线的离心率2=e ． ∴2=ac，∴a c 2=，222a c =，∴2222a b a =+，∴22b a =，b a = ∴双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．典型例题七例7 已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线1322=-y x 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小．解：∵1=a ，3=b ，∴2=c ，∴2=e 设点P 到与焦点()02，F 相应准线的距离为d 则2=dPF∴d PF =21，∴d PA PF PA +=+21至此，将问题转化成在双曲线上求一点P ， 使P 到定点A 的距离与到准线距离和最小．即到定点A 的距离与准线距离和最小为直线PA 垂直于准线时，解之得，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ．说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．典型例题八例8 已知：()11y x M ，是双曲线12222=-b y a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．分析：利用双曲线的第二定义．解：如图，设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ．当M 点在双曲线的右支上时，a x ≥1，且有e d MF d MF ==2211∴a ex c a x e ed MF +=+==12111，a ex ca x e ed MF -=-==12122当点M 在双曲线的左支上时，a x -≤1，且有e d MF d MF ==2211∴()a ex c a x e ed MF +-=+==12111，()a ex ca x e ed MF --=-==12122 说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：在双曲线1121322-=-y x 的一支上有三个不同点()11y x A ，、()622，x B 、()33y x C ，与焦点()501，F 的距离成等差数列，求31y y +的值．解：直接利用焦半径公式，得：a ey AF -=11，a e BF -=61，a ey CF -=31 ∴1112BF CF AF =+，∴()a e a y y e 212231-=-+，即1231=+y y注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．典型例题九例9 如图所示，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 满足λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率的取值范围． 分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过A 、B 、E 的坐标及双曲线的方程求解．解法一：以直线AB 为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则y CD ⊥轴，因双曲线过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性可知C 、D 关于y 轴对称．设()0，c A -、⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2、()00y x E ，，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由λ=，即()⎪⎭⎫⎝⎛--=+00002y h x c y c x ，，λ，得()()λλ+-=1220c x ，λλ+=10h y 设双曲线方程为12222=-b y a x ，则离心率为ace =． 由点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和ace =，代入双曲线方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-②①111241422222222bh e bh e λλλλ由①得14222-=e b h ，将③代入②式中，整理得：()λλ214442+=-e∴2312+-=e λ，又∵4332≤≤λ，∴43231322≤+-≤e ，∴107≤≤e ∴双曲线的离心率取值范围为[]107，．分析二：建立直线AC 方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．解法二：前面部分同解法一．可求得直线AC 方程为()c x chy +=32，将其代入双曲线方程222222b a y a x b =-中，得()()094849222222222222=+---c b a h a cx h a x h a c b又∵0x 、2c为上述二次方程的两根，∴()222222222094942c b h a c b a h a x c -+=⋅ ① 又∵⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2在双曲线上，∴()44222-=e b h ②∵()()1220+-=λλc x ③ 将②③代入①中，得：()()()()2222222222294942122c ca b e a b a b e a c c ⋅--+-=⋅+-λλ ∵a c e =，∴2312+-=e λ 以下同解法一分析三：借助焦半径公式解题． ∵EC AE λ=，∴()()1220+-=λλc x ① ∴λλ+=1CAEA ，由焦半径公式，得：λλ+=⋅+--120c e a ex a ②将①代入②，得：()()λλλλ+=⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-⋅--12122c e a c e a∵a c e =，∴2312+-=e λ 以下同解法一 说明：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：c 、h 、λ、e ）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．典型例题十例10 设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率． 分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而解出ac的值． 解：由l 过两点)0,(a ，),0(b ，得l 的方程为0=-+ab ay bx ．由点到l 的距离为c 43，得c ba ab 4322=+． 将22a cb -=代入，平方后整理，得0316)(1622222=+⋅-ca c a ．令x c a =22，则0316162=+-x x ．解得43=x 或41=x ． 而a ce =，有x e 1=．故332=e 或2=e ． 因b a <<0，故212222>+=+==ab a b a ace ，所以应舍去332=e ．故所求离心率2=e ． 说明：此题易得出错误答案：2=e 或332=e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<，从而离心率2>e ．而2332<，故应舍去． 典型例题十一例11 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ．(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，又离心率为2．分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求．由25=e ，得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-ba ． ② 又222cb a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求．同理有4522=a c ，19222=-ba ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据双曲线的第二定义，有24)10(22=-+-x y x ，化简，得03612322=---x y x ，即14816)2(22=--y x ．∴所求双曲线方程为14816)2(22=--y x ．(3)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a ce ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦定理，得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=． 又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ， ∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ． 说明：对于本题(1)的解法，由于双曲线的焦点位置没有明确，若不分情况讨论，将会造成解法的片面性．对于题(2)，容易造成以下三种误解：误解一：由10=c ，42==c a x ，得402=a ，则60222=-=a c b ．故所求双曲线方程为1604022=-y x ．误解二：由焦点坐标)0,10(F ，知10=c ．又2==ace ，得5=a ．故7525100222=-=-=a c b ．∴所求双曲线方程为1752522=-y x ． 误解三：由2==a ce ，42=c a ，得8=a ，16=c ，则192222=-=a c b ．故所求双曲线方程为11926422=-y x ．这三种误解的错因都是按双曲线中心在原点得出结论，造成遗漏题条件，从而导致错误的结果．题(3)虽属待定系数法，但要用到公式ab b a b a 2)(222+-=+和双曲线的定义，以及正弦定理、余弦定理等知识，具有较强的综合性．若在其中某个环节上出现错误，将无法得出正确结果．典型例题十二例11 在双曲线1131222=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差数列．(1)求31y y +；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标． 分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)． 解：(1)依题意，得B 在双曲线上支上，故A 、B 、C 三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为512=y ． AF 、BF 、CF 成等差数列，根据双曲线的第二定义，得)512(1)512(1)5126(231-+-=-y e y e e ，故1231=+y y ． (2)由点A 、C 在双曲线上，故113122121=-xy ，113122323=-x y ．两式相减，得013))((12))((31313131=-+--+x x x x y y y y ．∴13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--．∴AC 的垂直平分线的斜率为3113x x +-．又AC 的中点坐标为)6,2(31x x +，故AC 的垂直平分线方程为 )2(1363131x x x x x y +-+-=-当0=x 时，225=y ，故AC 的垂直平分线过定点)225,0(． 说明：1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．典型例题十三例13 已知双曲线12222=-by a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．解：设在左半支上存在P 点，使d PF PF ⋅=221，由双曲线的第二定义，知e PF PF dPF ==121，即12PF e PF =． ①再由双曲线的第一定义，得a PF PF 212=-． ②由①、②，解得121-=e a PF ，122-=e aePF ． 在21F PF ∆中，有c PF PF 221≥+，∴c e aee a 21212≥-+-． ③ 利用ac e =，从③式得0122≤--e e ．解得2121+≤≤-e ．由1>e ，得211+≤<e ，与已知21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在． 说明：(1)解答探索性命题，一般可先设点P 存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明P 点不存在；否则，便得到P 点的位置．(2) 211+≤<e 是双曲线12222=-by a x 左支上存在P 点，使d PF PF ⋅=221成立的充要条件．典型例题十四例14 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．分析：首先应写出直线l 的方程，因此需求出AB 的中点坐标，将直线1+=kx y 与双曲线方程122=-y x 联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得到AB 中点的坐标表达式．解：由方程组⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得 022)1(22=---kx x k ． ①设),(11y x A 、),(22y x B ，AB 中点的坐标为),(00y x ． ∵直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点， ∴方程①有两个不大于-1的不等实根．令22)1()(22---=kx x k x f ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-⋅-<->-+-=∆,0)1()1(,01,0)1(8)2(2222f k kk k k 解得21<<k ，222012k k x x x -=+=，20111k kx y -=+=． ∴直线l 的方程是21201122+-+=---k kx k o y令0=x ，得1617)41(122222+--=++-==k k k y b ． ∵21<<k ，∴22-<b 或2>b ．说明：(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，0>∆是必不可少的条件． (2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑0>∆，同时要考虑方程根的取值范围，以下以双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 为例作简单说明．⎪⎩⎪⎨⎧=-12222b y ax直线方程关于x 的一元二次方程02=++s nx mx ．①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是⎩⎨⎧<>∆≠.0,0021x x m 且典型例题十五例15 已知1l ，2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1l ，2l 与双曲线122=-x y 各有1A ，1B 和2A ，2B 两个交点．(1)求1l 的斜率1k 的取值范围； (2)若22115B A B A =，求1l ，2l 的方程；(3)若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22B A 的值．分析：第(1)小题利用直线1l ，2l 与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到1k 满足的不等式组；第(2)小题利用弦长公式求1k ，再由点斜式方程求出直线方程； 第(3)小题利用直线1l 过A 点求1k ，再由弦长公式求22B A ．解：(1)依题意，直线1l ，2l 的斜率都存在，设1l 的方程为)2(1+=x k y )0(1≠k 直线2l 的方程为)2(2+=x k y )0(2≠k ，且121-=k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(221x y x k y 消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ①若0121=-k ，则方程①只有一个解，即l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故0121≠-k ，即11≠k ．∵直线1l 与双曲线有两个不同交点，∴0)13(4)12)(1(4)22(2121212211>-=---=∆k k k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(222x y x k y 消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ②同理0122≠-k ，0)13(4222>-=∆k ．所以1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=≠≠>->-,1,1,1,013,01321212221k k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ．(2)设),(111y x A ，),(221y x B ；由方程①可得122212121-=+k k x x ，112212121--=k k x x ． ∴221212122121211)1()13)(1(4))(1(--+=-+=k k k x x k B A ③ 同理，由方程②可得2222222222)1()13)(1(4--+=k k k B A ． ④ ∵121k k -=，代入④得 2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=． ⑤ 由22115B A B A =，得2222115B A B A =．将式③和式⑤代入得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+．解得21±=k ． 当21=k 时，)2(21+=x y l ：，)2(222+-=x y l ：； 当21-=k 时，)2(21+-=x y l ：，)2(222+=x y l ：． (3)双曲线122=-x y 的顶点为)1,0(，)1,0(-． 取)1,0(1A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ，于是2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程②得03242=++x x ．设2l 与双曲线的两个交点),(332y x A ，),(442y x B ，则2443-=+x x ，343=x x ．则24322222))(1(x x k B A -+=]4))[(1(4324322x x x x k -++= 60]34)24[(32=⨯--=．∴15222=B A ．当取)1,0(1-A 时，由双曲线关于x 轴对称，知15222=B A ．说明：(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点； ⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点； ⇔<∆0直线与双曲线无交点．若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(2)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．典型例题十六例16 已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ，043=-y x ，求双曲线的离心率． 分析：由渐近线的斜率与a ，b 的关系得到a ，c 的关系，从而求出e ．解：(1)设双曲线方程为12222=-by a x )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ，043=-y x ， ∴43=a b ． 又∵1222222-=-==e aa c ab a b ，∴4312=-e ．∴45=e ．(2)设双曲线方程为12222=-bx a y )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ，043=-y x ，∴43=b a ． ∵12-=e a b ，∴3412=-e ，35=e ． ∴离心率45=e 或35=e ．说明：(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：λ=-2222by a x )0(≠λ的形式，它们的渐近线为x aby ±=． (2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：若知双曲线方程为12222=-b y a x 或12222=-bx a y ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即02222=-b y a x 的形式，再设出双曲线方程λ=-2222b y a x )0(≠λ； 实轴长焦矩长离心率=e ；若焦点在x 轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在y 轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．典型例题十七例17 已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；(3)当10<≤k 时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点B 的坐标．分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线x y =的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．解：(1)由已知得双曲线的渐近线为x y ±=，因而S 为等轴双曲线，其中一个顶点为)2,0('A ，所以双曲线S 的方程为12222=-x y ．(2)若)2,(2+x x B 是双曲线S 的上支上到直线2-=x y l ：的距离为2的点，则22222=-+-x x ，解得2=x ，2=y ．故B 点坐标为)2,2(．(3)因为当10<≤k 时，双曲线S 的上支在直线l 的上方，所以点B 在直线l 的上方．设直线'l 与直线)2(-=x k y l ：平行，两线间的距离为2，直线'l 在直线l 的上方，双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2， 等价于直线'l 与双曲线S 的上支有且只有一个公共点．设'l 的方程是m kx y +=，由l 上的点A 到'l 的距离为2，可知2122=++k m k ，解得)1(22k k m -+±=，其中)1(22k k m -+-=舍去．由方程222=-x y 及m kx y +=，消去y 得，022)1(222=-++-m mkx x k ．∵12≠k ，∴)123(8)22(4222+-=+-=∆k k k k m ．令0=∆．∵10<≤k ，解得0=k ，552=k ． 当0=k 时，2=m ，解得0=x ，2=y ，∴点B 的坐标为)2,0(．当552=k 时，510=m ，解得22=x ，10=y ，∴点B 的坐标为)10,22(． 说明：若已知双曲线渐近线方程为0=±qy px ，则共渐近线的双曲线方程为λ=-2222py q x ，其中λ为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为m kx y l +=：'与双曲线S 上支有且只有一个公共点问题．典型例题十八例18 如下图，给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出C 点横坐标与纵坐标的关系．解：依题意，记),1(b B -，R b ∈，则直线OA 与OB 的方程分别为0=y 和bx y -=， 设C 点坐标为),(y x ，则有a x <≤0，由OC 平分AOB ∠，知点C 到OA 、OB 距离相等，根据点到直线的距离公式， 得：21bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-=． 由0≠-a x ，得，ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得22222)1()()1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y ． 整理得：0])1(2)1[(222=++--y a ax x a y ，若0≠y ，则0)1(2)1(22=++--y a ax x a ．)0(a x <<若0=y ，则0=b ，π=∠AOB ，点C 的坐标为)0,0(，满足上式． 综上，得点C 的轨迹方程为：0)1(2)1(22=++--y a ax x a )0(a x ≤≤ (1)当1=a 时，轨迹方程化为x y =2)10(<≤x ③ 此时，方程③表示抛物线弧段(2)当1≠a 时，轨迹方程为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x ，其中a x <≤0 ④ ∴当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段，当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段． 说明：本题求轨迹问题，要求考生有较高的能力和扎实的基本功，同时要求对问题考虑完整和有较强的运算能力．对字母系数a 的讨论是高考重点考查的内容．典型例题十九例19 已知双曲线C 的实轴在直线2=x 上，由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M ．若4=PQ ，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为98，求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．分析：光线反射的问题，实质上是寻找点关于直线的对称点的问题，而求双曲线方程，实质上是求双曲线中点),(k h M 与a 、b 的问题．解：依题意，设双曲线中心为)2,(h M ，又点A 关于x 轴的对称点为)4,4('--A ，所以直线O A '的方程为x y =，与2=y 联立，得2=h ． 设双曲线方程为1)2()2(2222=---b y a x ，焦点)2,2(1c F -，)2,2(2c F +，右准线c a x 22+=，从而1'F A 的方程为：)4(664+-=+x cy ， 2'F A 的方程为：)4(664++=+x cy ． 在上面两式中分别令0=y ，则P 点坐标为)0,32(c -，Q 点坐标为)0,32(c ，再由4=PQ ，则3=c ，∴P 点坐标为)0,2(-，Q 点坐标为)0,2(． 在)4(6642'++=+x c y F A ：中，令98=y ，得310=x ，在31022=+c a 中，由3=c ，得42=a ，52=b ，所以，所求双曲线方程为15)2(4)2(22=---y x ．直线AP 的方程为2=3-+yx．44x，直线AQ的方程为02=++y说明：本题关键要掌握中心不在原点的双曲线的焦点坐标，准线方程的求法，通过逆向思维，求出x轴上的点P、Q的坐标，从而使问题迎刃而解．。