含字母系数方程与绝对值方程解析
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
⎧
⎪⎪
=⎨
⎪
-
⎪⎩
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：
所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
初一上册数学一次方程的应用的知识点归纳
初一上册数学一次方程的应用的知识点归纳
初一上册数学关于一次方程的应用的知识点归纳
（一）、概念梳理
⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，注意单位统一，注意设未知数；
①解：设出未知数（注意单位），
②根据相等关系列出方程，
③解这个方程，
④答（包括单位名称，最好检验）。
⑵一些固定模型中的等量关系：
①数字问题：表示一个三位数，则有=100a+10b+c（数位上的数字×位数）
②行程问题：基本公式：路程=时间×速度
甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程+乙走的路程=总路程
甲走的时间=乙走的时间；
甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程—乙走的路程=甲乙之间距离
③工程问题（整体1）：基本公式：工作量=工作时间×工作效率
各部分工作量之和 = 总工作量；
④储蓄问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间
⑤商品销售问题：商品利润=售价—进价（成本价）
商品利润率=（售价—进价）/进价
⑥等积变形问题：面积或体积不变
⑦和、差、倍、分问题：多、少、几倍、几分之几
⑧按比例分配问题：一般设每份为x如：2：3：4为2x、3x、4x
⑨资源调配问题：资源、人员的调配（有时要间接设未知数）
（二）、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
⑴模型思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学
模型，建立一元一次方程的思想。
⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想（如：按比例分配、线段的长、角的`大小等）就是方程思想。
⑶转化（归纳）思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去
分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式。体现了化“未知”为“已知”的化归思想。
沪科版七年级数学上册基础知识点总结
沪科版七年级数学上册知识总结
第一章有理数
1.1 正数与负数
①大于0的数叫正数。
②在正数前面加上“-”号的数，叫做负数。
③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。
④搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等。
⑤正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。
1.2 数轴
①通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
②数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
③数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。
④只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）
⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。从几何意义上讲，数
的绝对值是两点间的距离。（绝对值等于本身的有：正数和0，绝对值等于其相反数的有：负数和0）
⑥正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
⑦两个负数，绝对值大的反而小。
⑧倒数：如果两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。倒数等于其本身的有1和-1
1.3 有理数的大小
①数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。
②负数小于零，零小于正数，负数小于正数。
③两个负数的比较大小，绝对值大的反而小。
1.4 有理数的加减法
①有理数加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减
去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
初一数学一元一次方程应用题(全参数方程解法(二)设元(二))
拓闻教育教学讲义 课 题
参数方程解法（二）+设元（二） 课程类型：秋季初一数学班 授课日期：2015 – 11- 21
课次：第 11 次 教学内容
含参一元一次方程的解法（二）
一、 含字母系数的一元一次方程】、
当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程能化成ɑx=b 的形式，方程ɑx=b 的解根据ɑ、b 的取值范围分类讨论。
（1） 当ɑ≠0时，方程有唯一解b x ɑ
= （2） 当ɑ=0且b=0时，方程有无数个解，解是任意数
（3） 当ɑ=0且b ≠0时，方程无解
【例1】 已知：关于x 的方程ɑx+3=2x-b 有无数多个解，试求()
20115ɑb ɑb x x ɑb ɑb +-=-++的解。
【例2】 解关于x 的方程
()()134
m x n x m -=-
【例3】 若ɑ、b 为定值，关于x 的一元一次方程
2236
kx ɑx bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是x=1，求2ɑ+3b 的值。
二、 绝对值方程
绝对值符号中含有未知，数的方程叫做绝对值方程 ，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般飞方程求解。
1. 形如ɑc +=x b 的方程，可分如下三种情况讨论：
（1）c <0,则方程无解
（2）c =0，则根据绝对值的定义可知，0ɑ+=x b （3）
c >0，则根据绝对值的定义可知，ɑc +=±x b 【例4】 解绝对值方程
（1）4812x += （2）4329x x +=+
（3）213x --= （4）324x x -+=
初一期末考前复习知识考点重点解说
初一期末考前复习知识考点重点解说
初一期末考前复习知识考点重点解说
离期末考试仅剩短短的一月，初中的第一个学期即将结束。期末考试不但是对各位同学初一前半年知识掌握情况的检查，也是各位同学半年里学习、生活状态的一个体现。可以说初一期末考试是初中学习、生活的一个重要的阶段性总结。通过这个总结，发现问题，进行改进，为以后的学习打牢基础。以下是店铺为大家收集的初一期末考前复习知识考点重点解说，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
当然我们希望这个总结的内容更多的是好的经验而不是惨痛的教训。所以各位同学应该在扎实学习新的知识的同时，回顾复习旧的知识，查漏补缺，重点攻克易错点和难点，做一个漂亮的总结。
祝各位同学取得一个满意的期末成绩，以轻松的心情过一个愉快的寒假。
初一数学期末考试范围：
一、图形认识初步（立体几何初步）
这一部分内容有些同学可能在初次接触的时候觉得有难度，但题型比较少，主要集中在立体图形的识别（包括三视图）、小正方体的组合、正方体的展开图、截面，相对比较简单。
二、有理数的基本概念
有理数的基本概念中的相反数、绝对值、倒数是中考数学雷打不动的第1题考查的内容，其他的像基本概念的辨析、所属关系、特殊数字（0、1）等也是考试的常客，这种概念考查通常是易错题，要求各位基础扎实，做题细心。
三、代数式
代数式的易错点在于对基本概念的理解，次数、系数的混淆；重点是同类项。同类项的内容不但常有专题考查，而且是整式加减的基础。整式加减、化简求值、整体求值是必考内容。
四、绝对值的性质、平方的性质
两者的非负性是各种数学考试的必考点。
含有字母系数的一元一次方程的解法学案
含有字母系数的一元一次方程的解法
一、知识引导：
解下列方程：
1、
3)1(2123x x -=+- 2、)41(5.125.12)21(25x x -+=-
3、x x 21)64(2
1+-=+
二、思考探究：
任何一个一元一次方程都可以化为最简形式：b ax =
（1） 时，方程有唯一解。是 ；
（2） 时，方程有无数个解；
（3） 时，方程无解；
三、范例学习：
例1、解关于x 的方程：
（1）d cx b ax +=+ （2）
a b
x b a x -=- （3）)1(8-≠-=+a x b ax
例2、当b=1时，关于x 的方程78)32()23(+=-+-x x b x a 有无数个解，求a 的值。
例3、是否存在整数k ，使关于x 的方程x x k 516)5(-=+-有整数范围内有解？并求出各个解。
四、课堂检测：
1、解下列关于x 的方程：
（1）84-=+ax b x （2）nx mx =-1 （3）)2(41)(31m x n x m +=
-
2、若关于x 的方程)12(6
123--=+x x a x 有无数个解，试求a 的值。
3、是否存在整数k ，使关于x 的方程1439+=-kx x 有整数范围内有解？并求出各个解。
4、若a 取符合03≠+na 的任意数时，式子
3
2+-na ma 的值是一个定值，且有6=-n m ，求m 、n 的值
含有绝对值的一元一次方程的解法
一、只含一个绝对值：
方法：直接去绝对值。
1、解方程：（1）1,1,065-=+x （2）5665-=+x x
二、含有多重绝对值：从内向外去绝对值；
初一数学复习资料(很详细)
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
⎧
⎪⎪
=⎨
⎪
-
⎪⎩
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：
所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
MSDC.初中数学.含字母系数和绝对值方程.第02讲(A级).教师版
内容 基本要求
略高要求
较高要求
方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关
系，列出方程
能运用方程解决有关问题
方程的解
了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程
的解
一元一次
方程 了解一元一次方程的有关
概念
会根据具体问题列出一元一次方
程
能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有
关问题
一元一次方程的解
法 理解一元一次方程解法中
的各个步骤
能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解
会运用一元一次方程解决简
单的实际问题
版块一、含字母系数方程
虽然在中考大纲中，对含字母系数方程并没有作任何要求。但是通过学习含字母系数方程可以帮助学生初步养成分类讨论的基本思想，因此也需要学生进行掌握和理解 ☞含字母系数方程有关概念
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程． 【例1】 请说出下列关于x 的方程中的参数
⑴ax b =； ⑵x
n c m
=+
【解析】因为以上方程均是关于x 的方程，所以x 是未知数，方程⑴中的参数有a 、b ，方程⑵中的参数
有m 、n 、c
【答案】略
【巩固】请说出下列关于y 的方程中的参数
⑴21y ax -=；⑵x
m n y -=；⑶0ay b c -+=
【解析】略
【答案】方程⑴中的参数有a 、x
方程⑵中的参数有x 、m 、n
例题精讲
中考要求
含字母系数和绝对值方程
方程⑶中的参数有a 、b 、c
☞分类讨论产生的原因→等式的性质②
等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．
第8讲_绝对值方程
第八讲 含字母系数的方程、绝对值方程
一、知识要点
1. 关于x 的方程ax b =有：
(1)当0a ≠时，方程有唯一解b x a =；(2)当0,0a b =≠时，方程无解； (3)当0,0a b ==时，方程有无数多个解，且解为任意数。
以上结论，反过也是正确的。
2.含有绝对值符号的方程，应去掉绝对值符号而转化为一个或几个一元一次
方程。
含绝对值方程的解法：
含绝对值方程指的是绝对值符号内含有未知数的方程，最简单的绝对值方程是x a =，它的解的情况是：
(1)当a ＞0时，方程的解为x a =或x a =-；
(2)当0a =时，方程的解为0x =；
(3)当a ＜0时，方程无解。
二、知识运用典型例题
例1:当1b =时，关于x 的方程(32)(23)87a x b x x -+-=-有无数多个解，则
a 等于（ ）
.2A .2B - 2.3
C - .
D 不存在
例2:方程5665x x +=-的解是_______________。
例3:解关于x 的方程 (1)11()(2)34
m x n x m -=+ (2)22mnx n mn m x -=-
例4:若a b c x b c a c a b =
==+++，试求x 的值。
例5:解方程：421x x x +--=+。
例6: 是否存在整数x ，使322411?x x x x ++++-+-=如果存在，求出
所有整数x ；如果不存在，请说明理由。
例7:有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数的和都
第八讲 知识运用课后训练 等级
1.已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无数多个解，那么___,a = ____b =。
人教版初一数学上册一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：
(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a
=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8
初一数学讲义(学生版整理)
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()
||0a a a a a a ⎧⎪⎪
=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
()()()()
()()
111
1
112220072007ab a b a b a b ++++
++++++
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：
初一上册数学期末知识点
初一上册数学期末知识点
人教版初一上册数学期末知识点汇总
在年少学习的日子里，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺整理的人教版初一上册数学期末知识点汇总，仅供参考，希望能够帮助到大家。
初一上册数学期末知识点篇1
一.线段、射线、直线
1.正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：
名称图形表示方法端点长度
直线直线AB(或BA)
直线l无端点无法度量
射线射线OM1个无法度量
线段线段AB(或BA)
线段l2个可度量长度
2.直线公理:经过两点有且只有一条直线。
二.比较线段的长短
1.线段公理:两点间线段最短；两之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
2.比较线段长短的两种方法:
①圆规截取比较法；
②刻度尺度量比较法。
3.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分；
用圆规可以画出线段的和、差、倍。
三.角的度量与表示
1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
这个公共端点叫做角的顶点；
这两条射线叫做角的边
2.角的表示法：角的符号为“∠”
初一上册数学期末知识点篇2
①求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a 的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数(负奇负，负偶正)。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
②偶次方等于一个正数的值有两个(两个互为相反数)如：a2=4，a=2或a=-2
注意：|a|+b2=0 得：a=0 且 b=0
强记：a0=1(a≠0)；(-1)2=1 ；-12=-1；(-1)3=-1；
含字母系数方程与绝对值方程
含字母系数方程与绝对值方程
【知识要点】
1.关于x 的方程ax=b ，我们有： （1） 当a ≠0时，方程有唯一解； （2） 当a=0,b ≠0时，方程无解；
（3） 当a=0,b=0时，方程有无数多个解，且解为任意数. 反过来，结论也是正确的,即对方程ax=b,我们有： （1） 若方程有唯一解，则a ≠0； （2） 若方程无解，则a=0且b ≠0； （3） 若方程有无数多个解，则a=0且b=0. 2.关于x 的方程a x =:
（1） 当a>0时，方程有两个解:a x a x -==,; （2） 当a=0时，方程有一个解:0=x ； （3） 当a<0时，方程无解;
注: (1) 绝对值方程不是一元一次方程.
(2) 解绝对值方程的关键:
根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，化为一般方程，从而解决问题．
【典型例题】
例1．已知关于x 的方程 23()ax a x -=+ 的根是2，求a 的值.
例2．关于x 的方程n x mx -=+34，分别求m ，n 为何值时原方程：
（1）有惟一解； （2）有无数多解； （3）无解．
例3．解关于x 的方程nx mx =-1．
例4．解关于x 的方程),0,0(b a b a a
b
a b x b a x ≠≠≠=---
例5．若1x =是关于x 的方程(0)ax b c a +=≠的解，求：
（1）2001)(c b a -+的值； （2）b
a c
+的值； （3）1c a b ---的值.
例6．（1）解关于x 的程4(1)(5)2a x a x b -=-+有无数多个解，试求b a ,
几种类型的一元一次方程的解法
几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.
一、含绝对值的方程的解法
解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：
（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .
例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.
（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13
（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，
分别解得113
x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若
||,x a =则||x a -=（ ）.
（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；
当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.
（A ）20或－21 （B ）－20或21
（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，
分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.
(word完整版)初一数学培训班讲义
初一数学基础知识讲义
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
⎧
⎪⎪
=⎨
⎪
-
⎪⎩
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A
）
A ．-3a
B ． 2c －a
C ．2a －2b
D ． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：
华东师大初中数学七年级下册解一元一次方程(提高)知识讲解
解一元一次方程（提高）知识讲解
责编:康红梅
【学习目标】
1. 了解一元一次方程及其相关概念，熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 会求解含字母系数的一元一次方程及含绝对值的一元一次方程.
【要点梳理】
要点一、一元一次方程的有关概念
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1．④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a ≠0，a,b 是常数) .
（3）一元一次方程的最简形式是： ax ＝b （其中a ≠0，a,b 是常数）.
要点二、解一元一次方程的一般步骤
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点三、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，然后再分类讨论：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含字母系数方程与绝对值方程
【知识要点】
1.关于x 的方程ax=b ，我们有：
（1） 当a ≠0时，方程有唯一解；
（2） 当a=0,b ≠0时，方程无解；
（3） 当a=0,b=0时，方程有无数多个解，且解为任意数.
反过来，结论也是正确的,即对方程ax=b,我们有：
（1） 若方程有唯一解，则a ≠0；
（2） 若方程无解，则a=0且b ≠0；
（3） 若方程有无数多个解，则a=0且b=0.
2.关于x 的方程a x =:
（1） 当a>0时，方程有两个解:a x a x -==,;
（2） 当a=0时，方程有一个解:0=x ；
（3） 当a<0时，方程无解;
注: (1) 绝对值方程不是一元一次方程.
(2) 解绝对值方程的关键:
根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，化为一般方程，从而解决问题．
【典型例题】
例1．已知关于x 的方程 23()ax a x -=+ 的根是2，求a 的值.
例2．关于x 的方程n x mx -=+34，分别求m ，n 为何值时原方程：
（1）有惟一解； （2）有无数多解； （3）无解．
例3．解关于x 的方程nx mx =-1．
例4．解关于x 的方程),0,0(b a b a a b
a b
x b a
x ≠≠≠=---
例5．若1x =是关于x 的方程(0)ax b c a +=≠的解，求：
（1）2001)(c b a -+的值； （2）b
a c +的值； （3）1c a
b ---的值.
例6．（1）解关于x 的程4(1)(5)2a x a x b -=-+有无数多个解，试求b
a , （2）当k 取什么整数时，方程24kx kx +=的解是正整数？
例7. 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：｜x+3｜=2
解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=-1
当x+3＜0时，原方程可化为：x+3=-2，解得x=-5
所以原方程的解是x=-1，x=-5
（1）解方程：｜3x-2｜-4=0
（2）探究：当b 为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解.
例8. 解方程：
（1）123=-x （2）
2173
x -=
*（3）45x -= *（4）310x x --+=
* 思考题:
当a 为何值时,关于x 的方程a x =--32恰有三个解?
【初试锋芒】
1. 若方程()0122
=++-c bx x a 是关于x 的一元一次方程,则( ) A.为任意数c b a ,0,21== B.0,0,21=≠≠c b a C.0,0,21≠≠=c b a D.为任意数c b a ,0,2
1≠= 2. 要使方程a ax =有唯一的解1=x ,必须满足条件( )
A. a 任意
B. a>0
C. a<0
D. a ≠0
3．已知1x =是方程12()23
m x x --=的解，那么方程(3)2(25)m x m x --=-的解是（ ） A ．10x = B ．0x = C ．x=1 D ．以上答案都不对
4．如果a 、b 互为相反数，（a ≠0）,则ax +b =0的根为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．－1或1
D ．任意数
5. 方程 x x -=|| 的解是 ( )
A.1-
B.负整数
C.所有负有理数
D. 所有非正有理数
* 6. 若k 为整数,则使得方程x x k 20002001)1999(-=-的解也是整数的k 的值 有( )个.
A.4
B.8
C.12
D.16
7. 关于x 的方程357x a bx -+=+有唯一解，那么a 、b 应满足条件为（ ）
A ．a 、b 是不为0的数；
B ．a b ≠
C ．1a ≠
D ．3b ≠
8. 若2=a ,且02=+b a ,则b=
9. 关于x 的方程)(b a a bx b ax ≠+=+的解为 .
10. 若15.0=x 与方程ax a x =+3的解相同,则=a .
11．已知12
x =是关于x 的方程432ax ax +=-的解，那么a = . 12．已知方程1(2)40a a x
--+=是一元一次方程,求a 与x 的值.
13. 已知12
x =
是方程23)2(6+=+x m x 的解，求关于x 的方程)21(2x m mx -=+的解.
14. 已知3x =是方程45(1)8(2)ax x a x x a a x -+=++--+的解，
0y =是方程232()yb ab y ab y b +-=++的解，求22()()a b a b --+的值.
15．m 为何值时方程(1)72m x x -+=的解为：（1）3； （2）
12
； （3）零.
【大展身手】
1．当a 时，方程b ax =的解为a b
x =
2．方程2=x 的解为 ．
3．（1）已知1=x 是方程x k x k 3)2(+=-的解．求k 的值；
（2）已知-4适合方程0623=-kx ，求2001
k 的值.
4. 当k 取何值时，方程 k x x k -=-4)1(的解为2-=x ？
5．解关于x 的方程x n m x n m m )()(2-=+-.