第1章矢量分析

• A= 0 (无源） • A= 0 (正源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通 量)源密度；若矢量场中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯(Gauss)公式(散度定理)
div A lim
v 0
1 v
SA d S
由于 A 是通量源 密度，即穿过包围单位体 积的闭合面的通量，对

Az x
rot y A
•x
A y
•Ay
• z
•o
x

•y
A x y
rot z A
•图1.3.1 直角坐标内计算
2. 旋度的计算
在直角坐标系下
Az y A y z A x z Az x A y x A x y
rotA e x (

) ey(

) ez (
引入一个矢性微分算子， 在直角坐标系中有：
ex x ey y ez z
哈米尔顿算子
div A A
2. 散度的计算
•圆柱坐标系:
球坐标系 :
A 1 r
2
1 A A (A ) 1
Az z
n A
d S n dS
面元矢量 : d S n dS

dS
•S
• n的取法有两种情形： 面元矢量
• 一是为一个开表面上的面元 ，这个开表面由一条闭合
曲线围成，如图所示，选择闭合环的环行方向后，按 右手螺旋法则，螺旋前进的方向为的方向； •另一情形是为一个闭合面的外法线方向，则一般取闭合面
的外法线方向。
u l | P0 lim u ( P ) u ( P0 ) l
l 0
P0 grad u P
l
u+u
u
•图1.4.1 方向导数
在直角坐标系中， 设函数u=u(x, y, z)在P0(x0，y0，z0)处可 微， 则有
u u ( P ) u ( P0 ) u x x u y y u z z
( uv ) u v v u
▽×▽u ≡ 0
如果一个矢量场A满足▽×A= 0 ，即A是一个无旋场，则矢量场 A可以用一个标量函数u的梯度来表示， 即A =▽u， 该标量函 数称为势函数(potential function)， 对应的矢量场称为有 势场。
•图1.4.1 方向导数
u l
u l
（2） 标量场u中每一点P处的梯度， 垂直于过该点 的等值面， 且指向函数u (P)增大的方向。 也就是说 ，梯度就是该等值面的法向矢量。
3. 梯度的基本计算公式
c 0
（c为常数）
( cu ) c u
(u v ) u v
式中，α、 β、 分别为l方向与三个坐标轴正方向的 夹角，即l方向的方向角，cosα, cosβ, cos为l方向的 方向余弦。
标量场的梯度
1．梯度的定义 定义一个矢量G， 其方向就是函数u在点P处变化率为 最大的方向， 其大小就是这个最大变化率的值， 这 个矢量G称为函数u在点P处的梯度（gradient）， 记 为
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
图1.3.2 矢量场的通量
二、散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为
点P时, 通量与体积之比的极限存在，即
divA lim
A
Δv 0
1 Δv

A dS
S
称此极限为矢量场A在该点的散度(divergence)
•它表示从该点单位体积内穿出的A的通量
A (r Ar ) (sin A ) r r sin r sin
2
1

1

三、散度的物理意义
divA A
A x x

A y y

A z z
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性 • A= 0 (负源)
三、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环流密度，即围绕单位面积环
路上的环流。因此，其面积分后，环流为
l A d l i
i
( A ) d S i
Stocke’s定理
l A d l
•
图 0.4.3 斯托克斯定理
( A ) d S
S
矢量函数的线积分与面积分的互换。
Δ xΔ yΔ z
A x x A y y A z z )Δ xΔ yΔ z
( 1 div A lim Δv 0 V
A dS
S
v 0
lim
Δ xΔ yΔ z
2. 散度的计算
•直角坐标:
divA A x x A y y A z z
gradu G e x u x ey u y ez u z
在直角坐标系中， 梯度又可以表示为
u gradu u x ex u y ey u z ez
2. 梯度的性质
•梯度有以下重要性质：
P0
g rad u
P l u＋u u
（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影， 即

A z z
（
C
散度运算的基本公式
(cA ) c A
（c为常数）
(A B) A B
1.3 矢量场的环流与旋度
一、环流 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分

例：流速场

A dl
L
环流 (circulation) 图1.3.1 环流的计算
A
散度定理

体积分后，为穿出闭合面
S的通量

A dS
S
lim
n Vn 0 n 1
AV
nLeabharlann Baidu

A dV
V
A d S A dV
S V
高斯公式
• 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
• 例:矢量场
A (r )
•
该公式表明了区域S中场A与边界l上的场A之间的关系
在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的 公式。
• 例1:
在坐标原点处放置一点电荷 q , 在自由空间 产生的电场强度为
E q 4π 0 r
2
3
r
q 4π 0 r
2
3
( xe x ye y ze z )
A (r ) r e x x e y y e z z
• 计算 穿过一个球心在原点,半径为a的 球面的通量,并计算此矢量的散度 A ,验 证散度定理.
A d S A dV
S V
divA A
A x x

A y y
1.4 标量场的梯度
一.方向导数
u u ( P ) u ( P0 ) u x x u y y u z z
P0
grad u P
l
u+u
u
将上式两边同除以Δl并取极限得到方向导数的计算公式：
u l u x cos u y cos u z cos
u ( x , y , z ) const
矢量场--矢量线(stramline)
图1.1.1 等值线
图1.1.2 矢量线
• 例如，无界自由空间中，位于原点的、电量 为q 的点电荷的等位面 • 为一簇以原点为球心的同心球面，
• 电力线 • 为一簇经过坐标原点的直线。
一、通量 (flux)
1.2 矢量场的通量与散度
其中， r
x y z
r 0
2
求自由空间任意点(
E
A ex( Az y
。
)处的电场强度的旋度
Az x A y x A x y
A y z
) ey(
A x z

) ez (

)
1.4 标量场的梯度
一.方向导数 函数u (P)在点P0处沿l方向的方向导 数(directional derivative)， 记为：
r Ar
4. 旋度运算的基本公式
(A B) A B
(A B) B A A B
A ( A) A
2
( A) 0
• 如果有一个矢量场B的散度等于零， 则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示， 即若▽· = 0 B 则有 B =▽×A
三、标量场和矢量场的表示方法
• （1）表达式
u ( x , y , z ) xy xyz
A (x , y , z) e x yz e y xz e z xy
• 标量场:
• 矢量场：
(2)形象描绘场分布的工具--场线(面)
标量场--等值面 (equivance surface). 其方程为
S P
lim

A dl S
ΔL
rot n A
若在某区域中各点的，
rotA 0
则称矢量场为无旋涡场或保守场。
2. 旋度的计算
以研究的点M为顶点，取一个平行于
z
Az M 4
y
3 1 Ay
yz面的矩形面元（图1.3.1）, 则面元 矢量与x轴平行, 其模用Sx表示。M o (x,y,z)点的
电磁场与微波技术
主要内容
矢量分析 电磁场与电磁波的基本原理 传输线理论 微波传输线 微波网络 微波元件
updated date 2007.2.27
• 参考书:
•
• 电磁场与电磁波. 谢处方 .高等教育出版社 • 微波技术与天线.王新稳.西安电子科技大学.
•后续课程:
• 雷达原理与雷达系统, 卫星通信, 卫星导航, 无 线电导航系统
第1章 矢量分析
•场的定义及表示方法 •矢量场的通量与散度
•矢量场的环流与旋度
•标量场的梯度
1.1 场(field)的概念
一、场的定义 :
如果某个物理量在某区域中的每一点处，在每 一时刻都有确定的值，就说在该区域中存在该物 理量的场(field) 。
二、场的分类
静态场(static field)和时变场(time-varying field ) 标量场(scalar field)与矢量场(vector field)

) A
ex A
x
ey
y
ez
z
Ax
Ay
Az
2. 旋度的计算 柱坐标和球坐标中的计算公式
e A A
er A r sin
2
e A
e r sin rA
ez z Az
e r r sin A
一、通量 (flux) 矢量 A 沿有向曲面S 的面积分
Φ
1.2 矢量场的通量与散度
n
A d S A n dS
s S

A cos dS
S
n
A cos dS
若S 为闭合曲面 Φ

A d S，
s

s
可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:
= 0 (无源)
A(r ) e x A x (r ) e y A y (r ) e z Az (r )
x
2
z
y
S x 0
lim
A dl
1， ，， 2 3 4
图1.3.1 直角坐标内计 算rotA
S x

A z y

A y z
•z •Az •M
rot x A
• y
Ax z
2. 散度的计算
• A从左右一对表面穿出的净通量为
A y Δ z Δ x (A y A y y Δ y) Δ z Δ x A y y Δ xΔ yΔ z
从上下一对表面和前后一对表面穿 出的净通量分别为
Az z
。
Δ xΔ yΔ z 和
Ax x
•图1.2.2 直角坐标内计算
水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，不作旋涡状运动
流体做涡旋运动 0，作旋涡状运动
二、旋度
1. 环流密度 过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线 方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限
dΓ dS lim 1 ΔS
ΔS P

Α dl
环流密度
ΔL
2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环流密度的最大值；方向为 最大环流密度时面元的方向。
rot A n lim [ A d l ] max
ΔL
旋度(rotation or curl)
Δs 0
ΔS
环流密度与面的方向的关系?
二、旋度
rot A n lim [ A d l ] max
ΔL
Δs 0
ΔS
•环流密度与旋度的关系:
环流密度为rotA在面元矢量（用n表示其方向）上的投影，