微积分习题之无穷级数共21页文档
无穷级数复习题
无穷级数复习题
无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域
中有着广泛的应用。在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。无穷级数是由一系列无穷多个数相加
而得到的数列。通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1、a2、a3等为数列的项。如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和
数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我
们说这个无穷级数收敛，记作S = L。反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无
穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。
接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。
例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
这个级数是一个几何级数，公比为1/2。我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。因此，这个级数是收敛的。
例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
这个级数是一个等差级数，公差为1。我们知道，等差级数只有在公差小于1
时才能收敛。因此，这个级数是发散的。
例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。对于交错级数，我们可以
使用交错级数判别法来判断其收敛性。根据该定理，如果交错级数的绝对值数
列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。在这个例子中，绝
微积分第7章无穷级数
所以 R R, 于是 R R.
即 nan xn1 与 an xn 的收敛半径相同．
n1
n1
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
练习题
一、已知函数序列 sn
结论对什么级数能从每一项的连续性得出和函数的连续性从每一项的导数及积分所成的级数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
sn ( x) sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 ) (1)
级数 un ( x)一致收敛于s( x) ， n1
对 0，必 自然数N N ( ) ，使得当n N 时,
对a,b上的一切 x 都有
同样有
rn
(
x)
3
rn ( x0 )
an xn
n1
n1
nan x n1
,
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数
(A)
用定义判断下列级数的敛散性
1
． n 2n 1
； ．
1
；3． 1
1 。
2
n 1 2n 2n2
n 1
3 n
5 n
n 1
判断下列正项级数的敛散性
．
n! ；5． n e
； 6．
n 1
；7． 2n 3
；8． n 4 ；
n 1 e n
1 2n
n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n
n n
n
1 n
9．
；10．
3n n 1
2n
。
n 1
1
求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
．
1
n 1
n 1 ； 12．
1
n
1
； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；
11
2 n
ln n
n 1
n 2
14．
1
22 2 3 1 4 1 ；
2
1 3
2 4 2
求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
．
3n x n
；16．
1 n x n ； 17．
n! x
n
； ．
1 n
；
n n n 1 2n n n 1 n n 1
n 1
19．
1 2n 1
； 20． n 2
n
；
1 2 n 1
x
n 1 3 n x
n
求下列级数的和函数
21． n 1 nx
n 1
； 22． n 1 2
1
n 1 x
2n 1
；
将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数
23． shx e x
e x ， x 0
0 ；24． cos 2 x ， x 0
0 ；
2
25． 1 x ln 1 x ， x 0
0 ； 26． 1
， x 0 3 ；
x
将下列函数在区间
, 上展开为付里叶级数
27． A x
cos x
，
x
。28． f x 2t ， x
2
2x , 3x t 0
29．将函数 f x
, 0 t 3 展开成付里叶级数。
x
x
, 0 x
无穷级数习题及解答
无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：
2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
（1）
；（2）
；（3）
。
3．求幂级数
的收敛区间。
4．证明级数
当
时绝对收敛，当
时发散。
5．在区间
内求幂级数
的和函数
6．求级数
的和。
7．把
展开成
的幂级数，并求级数
的和
8．设
（
）证明
1）
存在； 2）级数
收敛。
9．设
，
1）求
的
值；
2）试证：对任意的常数
，级数
收敛。
10．设正项数列
单调减少，且
发散，试问
是否收敛？并说明理由。
11．已知
，计算
。
12．计算
。
参考答案：
1．解：（1）
，而
收敛，由比较审敛法知
收敛。
（2）
，而
发散，
由比较审敛法的极限形式知
发散。
（3）
，
，由比值审敛法知
收敛。
（4）
，
，由根值审敛法知
收敛。
2．解：（1）对于级数
，
由
，知级数
绝对收敛，
易知
条件收敛，故
条件收敛。
（2）
，由
，知级数
收敛，
故
绝对收敛。
（3）记
，
，而
发散，故
发散，
令
，
，当
时，
，故
在区间
内单调增加，由此可知
，又
，故
收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。
3．解：收敛半径为
，
当
时，得级数
，发散；
当
时，得交错级数
，收敛。
所求收敛区间为
。
4．证：收敛半径
，
当
时幂级数绝对收敛，当
时幂级数发散，
当
时，得级数
，
，
，因
单调增加，且
，故
，于是得
，由此
，故级数
发散。
5．解：设
（
），
，
，
，
（
）。
6．解：设
（
），则
，
其中
，
（
）。
设
，则
，
于是
，
从而
（
）。
因此
。
7．解：
（
），
（
），
因
在点
处连续，而
在点
处收敛，
从而
（
）。
于是
。
8．证：1）因
，
，
故
是单调减少有下界的数列，所以
存在。
2）由（1）知
，
记
，因
存在，故
存在，所以
收敛，由比较审敛法知
收敛。
9．证：1）因为
微积分无穷级数作业
12.1 无穷级数的概念与基本性质
一、填空题
1．级数1
11(1)2n n n -∞
-=-∑的部分和n S = ，其和S = .
2．若级数1n n u
∞=∑收敛，则级数1(0.01)n n u ∞=+∑ （填收敛或发散）.
3．级数11(32)(31)n n n ∞
=-+∑的部分和n S = ，其和S = . 4．已知无穷级数的部分和212
n n n S -=，则级数的一般项n u = . 5．若级数1n n u
∞=∑收敛于S ，则级数11()n n n u u ∞+=+∑= .
6.已知12111(1)
2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑，则1
n n a ∞
==∑ . 二、判别级数12(3)5n n
n n ∞
=+-∑的收敛性，若收敛求和.
三、判别级数1111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性
一、单项选择题
1.下列级数收敛的是 . A.21ln n n ∞
=∑ B.1121n n ∞=+∑
C.1n ∞=
D.211n n n ∞=+∑
2.正项级数1n n u
∞=∑收敛是级数21n n u ∞=∑收敛的 条件.
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既非充分也非必要
二、判别以下级数的敛散性
1
．n ∞= 2.21sin 33n n n n π∞
=∑
3.
221(!)23n n n n ∞=∑ 4.(1)112n n n ∞+-=∑
三、求极限2
lim (!)n
n n n →∞
一、单项选择题
1．下列级数为绝对收敛的是 .
A ．11(1)n n n ∞
=-∑ B ．31arctan n n n ∞=∑ C ．11sin n n n ∞=∑ D
微积分第7章无穷级数试题
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收源自文库点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
一、主要内容
un为常数
常数项级数
un
un为函数 un ( x)
n1
取 x x0
函数项级数
一 般 项 级 数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
在收敛 条件下
数
级数与数 相互转化
收
幂级数
三角级数
敛
半 泰勒展开式 傅氏展开式
径
R( x) 0 满足狄 氏条件
R 泰勒级数 傅氏级数
数或函数
函数
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
(0 x )
微积分第八章无穷级数习题详解
第8章
习题8-1
1． 判定下列级数的收敛性：
(1) 1
15n
n a ∞
=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑（a ＞0）； (2) ∑∞
=-+1
)1(
n n n ;
(3) ∑∞
=+131
n n ; (4)
∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
; (5) ∑∞=+11ln n n n
; (6)
∑∞
=-12)1(n n
;
(7) ∑∞=+11
n n
n ; (8)
0(1)21
n n n
n ∞
=-⋅+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1
||1a
≥即01a <≤时，级数发散.
（2）
n S =+++
1= lim n n S →∞
=∞
∴
1
n ∞
=∑发散.
（3）113n n ∞
=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11
n n
∞
=∑发散，故原
级数
11
3
n n ∞
=+∑发散. （4） 1112(1)1(1)22
2n n n
n n n n ∞
∞-==⎛⎫
+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞
-=∑,1
(1)2m
n
n ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)2
2n n n n ∞
-=⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.
（5） ln
ln ln(1)1
n
n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞
=-∞,所以级数
1
ln
1
n n
n ∞
第九章 无穷级数
第九章 无穷级数
练习题9.1
判断下列级数的敛散性 1. 1
1111567
8
9
+
+
+
+
+ 发散
2.
2342
3
4
222223
3
3
3
3
n n
+
+
+
++
+ 收敛
3. 12312
3
4
5
++++ 发散
4 0.002+ 发散
5 2
2
3
3
11111111(
)(
)()()232
3
2
3
2
3
n
n
+++
++
+++
+
练习题9.2 1．
+⋅+
+⋅+
⋅+
⋅n
n n 2
3
2
33
2
23
2
133
32
2发散
2．∑
∞
=+1)]
1[ln(1
n n
n 收敛
3．∑∞
=1
3
sin
2n n
n π
收敛
4．∑
∞
=1
22
n n
n 收敛
5. ++++
+++++++
2
2
2
113
1312
1211n
n 发散
6.11
(0)1n
n a a
∞
=>+∑ 讨论1a > 收敛 01a <≤发散 7
135792
4
6
8
10
+
+
+++ 发散
练习题9.3
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
1、∑∞
=---1
1
1
3
)1(n n n n ； 绝对收敛
2、
+-+
-
5
ln 14
ln 13
ln 12
ln 1；条件收敛
3、2
1
sin (1)
n na n ∞
=+∑
； 绝对收敛
4、∑∞
=++-11
)!1()1(n n n
n
n 绝对收敛
5. 1
(1)21
n
n n n ∞
=-+∑ 发散
练习题9.4
一．求级数的收敛区间: 1、
2
224
24(2)
n
x x
x
n +++
+⋅⋅⋅⋅ ； (,)-∞+∞
2、
2
2
2
22
2
2
5
1
n
n
x x x n +
++
++ ；11
[,]22
-
3、∑
∞
=--1
2
22
12n n n
x
n ； （
）
4、∑
∞
=+1
)
12(n n
n
x [1,0)-
5．3
第十一章---无穷级数---习题课
第十一章无穷级数
习题课
1
2
典型例题
目录
主要内容
01主要内容
一、主要内容
常数项级数函数项级数
一般项级数正
项
级
数
幂级数三角级数
收
敛
半
径
R
泰勒展开式
数或函数函数
数
任
意
项
级
数
傅氏展开式
傅氏级数
泰勒级数
)
(→
x
R
n
为常数
n
u)
(x
u
u
n
n
为函数
满足狄氏条件
x
x=
取
在收敛级数与数条件下相互转化∑∞=1
n
n
u
二、典型例题
;
)
1()
1(:
1
1∑
∞
=+
+n n
n
n n
n n
判断级数敛散性例1解n n
n
n n n n n u )1(1+⋅=,
)
11(21n
n
n
n
+=
n
n n n n n
n 1
22])11[(lim )11(lim 2
+=+∞→∞→ ;10
==e x
x n
n x n 11
lim lim ∞
→∞→=}ln 1
lim exp{x x x ∞→=}1
lim exp{x
x ∞→=;10==e ,
01lim ≠=∴∞
→n n u 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
;23cos
)2(1
2
∑∞=π
n n n n 解
,2
23cos
2
n n
n n n n u <π=,
2
n n n
v =令n n v v n
n n n
n n 221lim lim 11⋅+=++∞→++∞→ n n n 21lim +=+∞→,121<=,2
1收敛∑∞
=∴n n n
根据比较判别法，原级数收敛．
∑∞
=>++1
).
0()
1()
2ln()3(n n
a n
a n 解n a n u n
n n
n n 1)2ln(lim lim +
+=+∞→+∞→,)2ln(lim 1
n n n a +=+∞→,
2,2n e n n <+≥时 从而有,
《无穷级数》练习题参考答案
无穷级数
P127-练习1
判别下列级数的敛散性：
1．
31
2
ln n n
n
∞
=∑
；
【解】32
14
54
ln ln lim lim 01
→∞
→∞
==n n n
n
n
n
n
，而级数51
4
1
∞
=∑
n n
收敛（5
4
p =
的p -级数），则由正项级数的极限形式的比较判别法知
31
2
ln n n
n
∞
=∑
收敛.
2．
21
sin
2
n n n π∞
=∑．【解】因为2
2
sin 22ππ≤n n n n ，
由于2
1
1
2(1)12
lim lim 122n n n n n
n
n u
n u p p ++®¥®¥
+==<，故由正项级数的比值判别法知级数2
12π∞
=∑n n n 收敛.再由正项级数的比较判别法知
21
sin
2n
n n π
∞
=∑收敛，且为绝对收敛.P128-练习2设常数0,a >试判别级数
1
(1)(1cos n
n a n ∞
=−−∑是条件收敛还是绝对收敛．（1992）【解】211
1(1)(1cos )(1cos )2sin 2n
n n n a a a n n n ∞
∞∞
===−−=−=∑∑∑，因为正项级数212n a n ∞
=⎛⎞⎜⎟⎝⎠
∑收敛，而2
2sin 22a a n n ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠，
所以
正项级数211
(1cos 2sin 2n n a a n n ∞
∞
==−=∑∑收敛，
从而
级数
1
(1)(1cos )n
n a
n ∞
=−−∑绝对收敛.
P129-练习3设正项级数1n n a ∞
=∑收敛，且常数(0,)2πλ∈，则21
(1)(tan )n n n n a n λ
∞
=−∑（
）．
（A ）绝对收敛
（B ）条件收敛（C ）发散
微积分 第十一章 无穷级数
|q | < 1; |q | > 1; q = 1; q = −1.
©R©S©C
ln
∞ n=1
n+1 n
(3)
1
Sn = (ln 2 − ln 1) + (ln 3 − ln 2) + · · · + (ln(n + 1) − ln n)
© 7© (3) b©c ©C ©©@ R©S 7© ©1©d1e ©f C D©g 11.1.1 h 7© a R©S©&(U i j a = S, k©Y
∞ n ∞ n=1 n n=1
= ln(n + 1) → +∞,
lim an = 0.
T l
an = Sn − Sn−1 ,
lim Sn = S.
m©n©o©p@qsr©t©u 7© R1S1©v1w©x1y1z l 2: m©n©o d©{©| t©u 7© ©} b1c z ~ P (−1) b©c & 4 lim(−1) ©© C P n sin 1 b©c & 4 lim n sin 1 = 1 = 0. n n l 3: lim a = 0 V © © a R©S©C ~ P ~ 2 9s& lim ln n + 1 = 0, 7© ln n + 1 b©c C n n 1 T 7© ©Y©a©2©©`1a© &U Y©a12©11 f V©1`©a11'©1 D©g 11.1.2 h a 2 b R©S©& α, β 4©© &(U
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[填空题]
1．数项级数∑
∞
=+-1)
12)(12(1n n n 的和为 21
。
2．数项级数∑∞
=-0
)!2()1(n n
n 的和为 1cos 。
注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分
和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。
3．设1))1((lim ,1,01
=->>∞
→n n
p
n n a e n p a 且，若级数∑∞
=1
n n a 收敛，则p 的取值范
围是),2(+∞。
分析：因为在∞→n 时，)1(1-n
e 与
n 1
是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞
→n n
p
n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与
1
1-p n 是等价无穷小量。由因为
级数∑∞=1
n n a 收敛，故∑
∞
=-11
1
n p n
收敛，因此2>p 。
4．幂级数∑∞
=-0
2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。
分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径
为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞
=∞
==-0
2)
1(n n n n
n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。
5．幂级数∑∞
=-+12)
3(2n n n
n x n
的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因
为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx
x n n n
n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
n ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221ln 1
的收敛域为 )1,1[-。
分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数n
n x n n ∑
∞
=2
ln 1收敛半径为1，收敛域为)1,1[-；幂级数n
n n
x ∑
∞
=22
1收敛域为)2,2(-。因此原级数在)1,1[-收敛，在），）21[1,2(Y --一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在),2[]2,(+∞--∞Y 也一定发散。故应填)1,1[-。
7．已知),(,)(0+∞-∞∈=∑∞
=x x a x f n n n ，且对任意x ，)()(x f x F ='，则)(x F 在
原点的幂级数展开式为 ),(,)0(11+∞-∞∈+∑∞
=-x x n
a F n n
n 。
分析：根据幂级数的逐项积分性质，及),(,)(0
+∞-∞∈=∑∞
=x x a x f n n n ，得
∑⎰∑⎰
∞
=+∞=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-010
00
1)()0()(n n n x
n n n x
x n a dt t a dt t f F x F ，
故应填),(,)0(1
1+∞-∞∈+∑∞
=-x x n a F n n
n 。 8．函数
x xe x f =)(在1=x 处的幂级数展开式为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∞=1)1(!1)!1(11n n x n n e 。
分析：已知∑
∞
==0!
1n n
x
x n e )),((+∞-∞∈x ，所以
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--=+-=∑∑∞=∞
=--001
1
)1(!1)1(!1)1(])1[(n n n n
x x x x n x n x e e
e
x e xe
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑∞=1)1(!1)!1(11n n x n n e 。 根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。
9．已知]1,0[,1)(∈+=x x x f ，)(x S 是)(x f 的周期为1的三角级数的和函数，则)21(),0(S S 的值分别为 23，2
3。
10．设⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<-≤≤=,
121
),1(2,210,)(x x x x x f ),(,cos 2)(1
+∞-∞∈+=∑∞=x x n a a x S n n π，
其中 ),2,1,0(cos )(21
0Λ==⎰n xdx n x f a n π，则=-)25(S 4
3。 [选择题]
11．设常数0>α，正项级数∑∞=1
n n a 收敛，则级数∑∞
=-+-1
2
12)1(n n n
n a α
[ ]
(A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与α的值有关。
答 C
分析：因为∑∑-==-≤
121
112n k k
n
k k a
a ，且正项级数∑∞=1
n n a 收敛，所以∑∞
=-1
12n n a 收敛。
又因为
⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤
+---αα
212212121)
1(n a n a n n n
， 所以原级数绝对收敛。 12．设),3,2,1()11ln(cos Λ=+
=n n
n a n π，则级数[ ]