微积分习题之无穷级数共21页文档

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无穷级数习题课含解答

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无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:(1)(2)(3)(4)(5)()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解:(1)为正项级数,当时, ,根据比较审敛准则,与有相同敛散性,根据积分审敛准则,与反常积分有相同敛散性, 而发散,故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å(2)为正项级数,当时,,而收敛,根据比较审敛准则,收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å(3)为正项级数, 令,其中,易证单调递增且,故收敛;令,由,两边取极限得,,(舍去);,,根据达朗贝尔比值审敛法,该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+(4)看成交错级数,单调递减趋于0,根据Leibniz 定理,该级数收敛; 其绝对值级数发散(这是因为当时,,而且),故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数,其绝对值级数为,当时,, 所以,该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设,且,证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明:设级数的部分和为,则 ,因为,所以,于是 ,即级数收敛;其绝对值级数为,因为, 所以级数发散,故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛,则幂级数在处( 绝对收敛 ),在处( 发散 ); (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解:令,原级数变为变量t的幂级数.因为,所以收敛半径.又时级数发散,时级数收敛, 故收敛域为;再由,解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数(1) (2)221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解:(1).令,,所以收敛半径. 当时,级数发散,所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为,对幂级数逐项积分得,, 对上式两边求导得, .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-(2). 易求该幂级数的收敛域为;设级数的和函数为,,, 两边取积分,逐项求积分得, ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时,,求导得 , 当时,由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解:考虑幂级数,收敛区间,设和函数为, 则当且时,,. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设,试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解:,取0到x 的定积分,幂级数逐项求积分, .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛,试证:当时,级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛,所以,从而有界. 即存在,使得 ,所以,;级数收敛,根据比较审敛准则,级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数,(1)展开为傅立叶级数; (2)证明;(3)求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解:(1)在处间断,其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理,时,级数收敛于,所以当时,有,亦即:.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å(2)是连续点,所以即:;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å(3)积分是正常积分,不是瑕点, 对,令,.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立:(1);(2).并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明:将函数展开为余弦级数和正弦级数.(1) 对作偶延拓,再作周期延拓,得到的周期函数处处连续,根据Dirichlet 定理,时,的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上,.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓,再作周期延拓,得到的周期函数处处连续,根据Dirichlet 定理,时,的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上,. 令,有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

(完整版)无穷级数习题及答案.doc

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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1. n 2n 1; .1;3. 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性.n! ;5. n e; 6.n 1;7. 2n 3;8. n 4 ;n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9.;10.3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛.1n 1n 1 ; 12.1n1; 13.1.1 1.01 1.001 1.0001;112 nln nn 1n 214.122 2 3 1 4 1 ;21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.3n x n;16.1 n x n ; 17.n! xn; .1 n;n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119.1 2n 1; 20. n 2n;1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21. n 1 nxn 1; 22. n 1 21n 1 x2n 1;将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23. shx e xe x , x 00 ;24. cos 2 x , x 00 ;225. 1 x ln 1 x , x 00 ; 26. 1, x 0 3 ;x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27. A xcos x,x。

28. f x 2t , x22x , 3x t 029.将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30.将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1.1;2.1; 3.n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n. ; 5.;6. ,( a 0 );4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7.,其中 a na ( n), a n , b , a 均为正数;n 1a n11x8.n,( a 0);9. n 42x ;1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110.1;11.n 1;12.1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域.nx 2 n;14.x n ,( a 0 ,b 0 ); 1312n!n 1 anb nn 115.n12 n 1; 16. 3n2 nn;12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17. nx 2n ;18.2n 1x 2 n ; 19. n 2 x n ;n 1n 1n ! n 120.求证: ln 21;n ;; 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21.f x21,x 0 0 ;22.f x12 ,x 01;23. x ,x 0 0 ; 2x3x 1x1 x 224.证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项;25.写出函数 f x1 x 2k , x2k 1 , 2k1 , k 0, 1, 2,的2付里叶级数,并讨论收敛情况。

微积分无穷级数作业

微积分无穷级数作业

12.1 无穷级数的概念与基本性质一、填空题1.级数111(1)2n n n -∞-=-∑的部分和n S = ,其和S = .2.若级数1n n u∞=∑收敛,则级数1(0.01)n n u ∞=+∑ (填收敛或发散).3.级数11(32)(31)n n n ∞=-+∑的部分和n S = ,其和S = . 4.已知无穷级数的部分和212n n n S -=,则级数的一般项n u = . 5.若级数1n n u∞=∑收敛于S ,则级数11()n n n u u ∞+=+∑= .6.已知12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑,则1n n a ∞==∑ . 二、判别级数12(3)5n nn n ∞=+-∑的收敛性,若收敛求和.三、判别级数1111n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性一、单项选择题1.下列级数收敛的是 . A.21ln n n ∞=∑ B.1121n n ∞=+∑C.1n ∞=D.211n n n ∞=+∑2.正项级数1n n u∞=∑收敛是级数21n n u ∞=∑收敛的 条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要二、判别以下级数的敛散性1.n ∞= 2.21sin 33n n n n π∞=∑3.221(!)23n n n n ∞=∑ 4.(1)112n n n ∞+-=∑三、求极限2lim (!)nn n n →∞一、单项选择题1.下列级数为绝对收敛的是 .A .11(1)n n n ∞=-∑ B .31arctan n n n ∞=∑ C .11sin n n n ∞=∑ D.1(1)n n ∞=-∑ 2.下列级数为条件收敛的是 .A .1(1)1nn n n ∞=-+∑ B.1(1)n ∞=-∑ C.1(1)n n ∞=-∑ D .211(1)nn n ∞=-∑ 3.设10(1,2)n a n n ≤<=,则下列级数中肯定收敛的是 . A .1n n a∞=∑ B .1(1)n n n a ∞=-∑ C.n ∞= D .21(1)n n n a ∞=-∑ 二、判断以下级数的敛散性,若收敛,判断是绝对收敛还是条件收敛 1.1sin 3n n n ∞=∑2.11(1)ln n n n∞=-∑三、已知级数21nn a ∞=∑收敛,试证明1n n a n ∞=∑均绝对收敛.12.3 幂级数一、填空题1.幂级数12nn n x n ∞=∑的收敛半径为 ,收敛区间为 .2.幂级数1(1)2nn n x ∞=-∑的收敛域为 ,其和函数()S x = . 3.幂级数11n n nx∞-=∑的收敛域为 ,其和函数()S x = , 级数112n n n ∞-=∑的和为 . 二、求下列幂级数的收敛域1.1(2)5nn n x n ∞=-∑2.211(1)21n nn x n +∞=-+∑三、求幂级数1(1)2nn n x n ∞=-∑的收敛区间,并求和函数.12.4 函数展开成幂级数一、填空题1.利用ln(1)x +的展开式,可以把()ln f x x =展开为2x -的幂级数,展开式为 .2.将函数2()ex f x -=展开为x 的幂级数,结果为 . 3.幂级数30(1)!nn n x n ∞+=-∑的和函数()S x = . 4.将1()3f x x=-展开为1x -的幂级数,结果= . 二、将下列函数展开为x 的幂级数,并求展开式成立的区间 1.()f x =2.2()cos f x x =三、将24()253x f x x x +=--展开为1x -的幂级数,并求展开式成立的区间.12.7 傅里叶级数一、填空题1.设()f x 是以2π为周期的周期函数,则在闭区间[,]ππ-上有10()10x x f x x x ππ--≤<⎧=⎨+≤<⎩则()f x 的傅里叶级数在x π=处收敛于 . 2.设1)(+=x x f 在[,]ππ-上的傅里叶级数的和函数为)(x s ,则)0(s = , )1(s = ,)5(πs = 。

微积分第八章无穷级数习题详解

微积分第八章无穷级数习题详解

第8章习题8-11. 判定下列级数的收敛性:(1) 115nn a ∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑(a >0); (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4)∑∞=-+12)1(2n nn; (5) ∑∞=+11ln n n n; (6)∑∞=-12)1(n n;(7) ∑∞=+11n nn ; (8)0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑. 解:(1)该级数为等比级数,公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时,级数收敛,当1||1a≥即01a <≤时,级数发散.(2)n S =+++1= lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散.(3)113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数,而调和级数11n n∞=∑发散,故原级数113n n ∞=+∑发散. (4) 1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2mnn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛,即原级数收敛.(5) lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散. (6) 2210,2n n S S +==-∴lim n n S →∞不存在,从而级数1(1)2n n ∞=-∑发散.(7) 1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n ∞=+∑发散. (8) (1)(1)1, l i m 21212n n n n n n U n n →∞--==++∴ l i m 0n x U →∞≠,故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散. 2. 判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和:(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ; (2) ※∑∞=++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4)πcos2n n ∞=∑. 解: (1)1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛,且其和分别为1和12,则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛,且其和为1+12=32. (2)11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛,且其和为14. (3)πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠,故级数1πsin 2n n n ∞=⋅∑发散.(4)πcos 2n n U =,而4lim lim cos 2π1k k k U k →∞→∞==,42lim lim cos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在,所以级数πcos2n n ∞=∑发散. 3※. 设1nn U∞=∑ (U n >0)加括号后收敛,证明1nn U∞=∑亦收敛.证:设1(0)nn n UU ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛,其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑,并注意到0(1,2,)k U k >= ,故存在0n ,使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立,于是,{}n S 是单调递增且有上界的数列,因此,极限lim nn S →∞存在,即原级数1nn U∞=∑亦收敛.习题8-21. 判定下列正项级数的收敛性:(1) ∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2)∑∞=+1n n n 1; (3) ∑∞=++1n n n n )2(2; (4)∑∞=+1n n n )5(12;(5) 111nn a∞=+∑ (a >0); (6) ∑∞=+1n nba 1(a , b >0);(7)()∑∞=--+1n a n a n 22 (a >0); (8)∑∞=-+1n nn 1214; (9) ∑∞=⋅1n nn n 23; (10) ※∑∞=1n nn n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12)∑∞=1n nn 3; (13) ※∑∞=1n n n 22)!(2; (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn nn n 2cos 32. 解:(1)因为211(1)(2)n n n <++而211n n∞=∑收敛,由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.(2)因为lim 10n n n U →∞==≠,故原级数发散. (3)因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++,而111n n ∞=+∑发散,由比较判别法知,级数12(1)n n n n ∞=++∑发散. (4)321n<=,而1n ∞=p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=.(5)因为111lim lim lim(1)111n n n n n n n a a a aa→∞→∞→∞+==-++ 11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时,11n n a ∞=∑收敛,故111nn a∞=+∑收敛; 当1a =时,11n n a∞=∑=11n ∞=∑发散,故111nn a ∞=+∑发散; 当01a <<时1lim101n n a →∞=≠+,故1lim 1nn a →∞+发散;综上所述,当01a <≤时,级数1lim 1n n a →∞+发散,当1a >时,1lim 1nn a →∞+收敛.(6)因为1lim lim lim(1)n n n nn n n nb a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 11n n b ∞=∑收敛,故11nn a b ∞=+∑收敛; 当1b =时,1111n n n b ∞∞===∑∑发散,故而由0a >, 101a <<+∞+,故11nn a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时,11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散; 综上所述知,当01b <≤时,级数11n n a b ∞=+∑发散;当b >1时,级数11nn a b∞=+∑收敛. (7)因为n n n→∞=0n a ==>而11n n∞=∑发散,故级数10)n a ∞=>∑发散.(8)因为434431121lim lim 212n n n n n n n n→∞→∞++-==-而311n n ∞=∑收敛,故级数21121n n n ∞=+-∑收敛.(9)因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知,级数132nnn n ∞=⋅∑发散. (10)因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+,由达朗贝尔比值判别法知,级数1!nn n n ∞=∑发散.(11)因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+ 232lim1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.(12)因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<,由达朗贝尔比值判别法知,级数13nn n∞=∑收敛. (13)因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知,级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.(14)因为1lim 1212n n n n →∞==<+,由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.(15)因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数,它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛,由比较判别法的极限形式知,级数1π2sin3n nn ∞=∑收敛. (16)因为2πcos 322n n n n n ≤而与(12)题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛,由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛. 2. 试在(0,+∞)内讨论x 在什么区间取值时,下列级数收敛:(1) ∑∞=1n nn x ; (2)nn x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛123. 解:(1)因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知,当1x >时,原级数发散;当01x <<时,原级数收敛; 而当1x =时,原级数变为调11n n ∞=∑,它是发散的. 综上所述,当01x <<时,级数1nn x n ∞=∑收敛.(2)因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知,当12x >即2x >时,原级数发散;当012x<<即02x <<时,原级收敛. 而当12x =即 2x =时,原级数变为31n n ∞=∑,而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散,综上所述,当02x <<时,级数31()2nn x n ∞=∑收敛.习题8-31. 判定下列级数是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛:(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2)11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑; (3) ∑∞=12sin n n nx; (4) 111π(1)sin πn n n n∞+=-∑; (5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ; (6)∑∞=+-1)1(n n xn ; (7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x .解:(1)这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim021n n n U n →∞→∞==-, 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21n n n ∞=--∑.又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑,由1121lim 12n n n→∞-=,及11n n ∞=∑发散,知级数1121n n ∞=-∑发散,所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛. (2)因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故 11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+=而112n n ∞=∑收敛,故132n n ∞=∑亦收敛,由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛,所以级数11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑绝对收敛. (3)因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛,由比较判别法知21sin n nx n ∞=∑收敛,因此,级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛. (4)因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛,由比较判别法的极限形式知,级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛,从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛. (5)因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112nn ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法,易知级数211110n n ∞-=∑收敛,因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛,由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛,所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛. (6)当x 为负整数时,级数显然无意义;当x 不为负整数时,此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件,故它是收敛的,但因11n x n ∞=+∑发散,故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.(7)因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛( 1(1)!lim 01!n n n →∞+=),从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑,绝对收敛.2. 讨论级数∑∞=--111)1(n p n n的收敛性(p >0). 解:当1p >时,由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛,故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时,由于111,(1)n n p p u u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n pn n ∞-=-∑收敛,然而,当01p <≤时,11111(1)n p p n n n n∞∞-==-=∑∑发散,故此时,级数111(1)n pn n ∞-=-∑条件收敛. 综上所述,当01p <≤时,原级数条件收敛;当p >1时,原级数绝对收敛.3※. 设级数∑∞=12n na及∑∞=12n nb都收敛,证明级数∑∞=1n nn ba 及()∑∞=+12n n nb a也都收敛.证:因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛,故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛,从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛,由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑也收敛,从而级数1n nn a b∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑,以及1n n n a b ∞=∑收敛,利用数项级数的基本性质知,221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑,亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题8-41. 指出下列幂级数的收敛区间:(1) ∑∞=0!n nn x (0!=1); (2)∑∞=0!n nn x n n ; (3) ∑∞=⋅022n n nnx ; (4)∑∞=++-01212)1(n n nn x .(5) ∑∞=⋅+02)2(n n nn x ; (6)∑∞=-0)1(2n n nx n. 解:(1)因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+,所以收敛半径r =+∞,幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. (2)因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭,所以收敛半径1e r p ==. 当x =e 时,级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑,此时11(1)n n n u eu n+=+,因为1(1)n n +是单调递增数列,且1(1)nn+<e 所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠,于是级数当x =e 时,原级数发散.类似地,可证当x =-e 时,原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述,级数0!nnn n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e).(3)因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时,级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数(p =2>1);当x =-2时,级数22011(1)2n nn n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数,它满足莱布尼茨判别法的条件,故它收敛.综上所述,级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].(4)此级数缺少偶次幂的项,不能直接运用定理2求收敛半径,改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+,则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时,即||1x <时,原级数绝对收敛.当21x >时,即||1x >时,级数0||n n u ∞=∑发散,从而21(1)21n nn x n +∞=-+∑发散,当1x =时,级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时,级数变为101(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数,且满足莱布尼茨判别法的条件,故它们都收敛.综上所述,级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].(5)此级数为(x +2)的幂级数. 因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+. 所以收敛半径12r p==,即|2|2x +<时,也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时,原级数发散.当4x =-时,级数变为1(1)nn n∞=-∑是收敛的交错级数, 当x =0时,级数变为调和级数11n n∞=∑,它是发散的. 综上所述,原级数的收敛区间为[-4,0).(6)此级数(x -1)的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =. 于是当1|1|2x -<即1322x <<时,原级数绝对收敛.当1|1|2x ->即12x <或32x >时,原级数发散.当32x =时,原级数变为01n n ∞=∑是调和级数,发散.当12x =时,原级数变为11(1)n n n ∞=-∑,是收敛的交错级数. 综上所述,原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.2. 求下列幂级数的和函数:(1) ∑∞=-1)1(n nnn x ; (2)∑∞=-1122n n nx ; (3) n n x n n ∑∞=+1)1(1; (4)∑∞=+0)12(n nxn .解:(1)可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)nnn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ∴001()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x -'===-+<+⎰⎰又当x =1时,原级数收敛,且()S x 在x =1处连续.∴1(1)l n (1) (11)nnn x xx n ∞=-=-+-<≤∑(2)所给级数的收敛半经r =1,设211()2n n S x nx∞-==∑,当||1x <时,有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x x x ∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时,原级数发散.故2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑ (3)可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭且0x ≠. 当1x ±时,级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)nn n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. (4)可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时,级数发散,设1()n n S x nx∞-==∑,则1()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 所以111(21)2nn n n n n n xx nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x <3. 求下列级数的和:(1) ∑∞=125n n n ; (2)∑∞=-12)12(1n nn ; (3) ∑∞=--112212n n n ; (4)1(1)2nn n n ∞=+∑. 解:(1)考察幂级数21nn n x∞=∑,可求得其收敛半径1r = ,且当1x ±时,级数的通项2nn u n x =,2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞,因而lim 0n n u →∞≠,故当1x ±时,级数21n n n x ∞=∑发散,故幂级数21nn n x∞=∑的收敛区间为(-1,1).设21() (||1)nn S x n x x ∞==<∑,则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x∞-==∑,则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰.再令121()n n S x nx∞-==∑,则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰. 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =,则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑. (2)考察幂级数21121n n x n ∞=-∑,可求得收敛半径r =1,设 2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑. 1200d 11()d ln 1-21xxx x S x x x x+'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==-. 于是 111()ln,(||<1)21xS x x x+=-,从而11()()ln (||1)21x x S x xS x x x+==<-取x =则11(21)21nn S n ∞===-∑=+ (3)考察幂级数211(21)n n n x∞-=-∑,可求得其级数半经为r =1,因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑,则22121()d 1xnn x S x x x x ∞===-∑⎰. 所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是212121111(21)2n n n n n n n x n xx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<---取12x =,得 3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∑.(4)考察幂级数1(1)nn n n x∞=+∑,可求得其收敛半径r =1.设1()(1) (||1)nn S x n n xx ∞==+<∑则12111()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰. 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭, 2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 取12x =,则 31121(1)2822112n n n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 习题8-51. 将下列函数展开成x 的幂级数: (1) 2cos2x ; (2) 2sin x ; (3) 2x x -e ; (4) 211x -; (5)πcos()4x -. 解:(1)2201cos 11cos (1)2222(2)!nn n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1) (-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑(2)2101sin (1) ()2(21)!2n nn x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑(3)22210011e()(1) ()!!x nn n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑(4)211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦002011(1)221[(1)]2 ||1n n n n n nn n n n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑(5)πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210sin )(1) ()2(2)!(21)!n n nn x x x x x n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦2. 将下列函数在指定点处展开成幂级数,并求其收敛区间:(1)x -31在x 0=1; (2) cos x 在x 0=3π; (3) 3412++x x 在x 0=1; (4) 21x在x 0=3.解:(1)因为11113212x x =⋅---,而 0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑.收敛区间为:(-1,3). (2)πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑221011(1)()[)2(2)!3(21)!3nn n n x x n n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞.(3)211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<,故收敛区间为(-1,3) (4)因为011113(1)()333313n nn x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 1(3)(1)3n nn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 111(1)(3)3nn n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 2(1)(1)(3)3n n n n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为(0,6).。

(完整版)无穷级数习题及答案.doc

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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1. n 2n 1; .1;3. 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性.n! ;5. n e; 6.n 1;7. 2n 3;8. n 4 ;n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9.;10.3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛.1n 1n 1 ; 12.1n1; 13.1.1 1.01 1.001 1.0001;112 nln nn 1n 214.122 2 3 1 4 1 ;21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.3n x n;16.1 n x n ; 17.n! xn; .1 n;n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119.1 2n 1; 20. n 2n;1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21. n 1 nxn 1; 22. n 1 21n 1 x2n 1;将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23. shx e xe x , x 00 ;24. cos 2 x , x 00 ;225. 1 x ln 1 x , x 00 ; 26. 1, x 0 3 ;x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27. A xcos x,x。

28. f x 2t , x22x , 3x t 029.将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30.将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1.1;2.1; 3.n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n. ; 5.;6. ,( a 0 );4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7.,其中 a na ( n), a n , b , a 均为正数;n 1a n11x8.n,( a 0);9. n 42x ;1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110.1;11.n 1;12.1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域.nx 2 n;14.x n ,( a 0 ,b 0 ); 1312n!n 1 anb nn 115.n12 n 1; 16. 3n2 nn;12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17. nx 2n ;18.2n 1x 2 n ; 19. n 2 x n ;n 1n 1n ! n 120.求证: ln 21;n ;; 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21.f x21,x 0 0 ;22.f x12 ,x 01;23. x ,x 0 0 ; 2x3x 1x1 x 224.证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项;25.写出函数 f x1 x 2k , x2k 1 , 2k1 , k 0, 1, 2,的2付里叶级数,并讨论收敛情况。

微积分 无穷级数

微积分 无穷级数

微积分
第八章 无穷级数
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定理2(比较判别法) 推论:
微积分
第八章 无穷级数
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例1 判断下列级数的敛散性.
(1)
sin 1
n=0
2n
;

(2)
1
n1 n (n 1)
解:(1) 因为 sin 1 1
2n 2n
,
而且
n=0
1 2n
收敛.
所以,由比较判别法可知,级 数

(2) 当|q|>1 时, (3)当q-1时,
因因为为snlnim当 snn为奇,数所时以等此于时a级;数当n0anq为n 偶发数散.
时等于零。

所所以以 ssnn的的极极限限不不存存在在,, 从从而而这这时时级级数数aaqqnn 也也发发散散..
nn00
微积分
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因此,仅当|q|1 时,

几何级数 aqn (a0)收敛,
n1
其和为
a 1-q
.

当 q 1 时,几何级数 aqn发散.
n 1
例例3
判别无穷级数


n1
1 n(n1)
的收敛性.
解:因为
sn

1 12

1 23

1 34





1 n(n 1)
(1(1--1212))((1212--1313))((1n1n--nn1111))11--nn1111,,
所以级数 n sin 1
的敛散性。
sin 1 lim n n
发散。

高等数学无穷级数上课习题与答案

高等数学无穷级数上课习题与答案

第一次作业1.写出级数√x2+x2?4+x√x2?4?6+x22?4?6?8+?的一般项。

解:一般项为u n=(x12)n (2n)!!2.已知级数∑2n n! n n∞n=1收敛,试求极限limn→∞2n n!n n。

解:由级数收敛必要条件可知lim n→∞2n n!n=03.根据级数性质,判定级数∑(15n+2n)∞n=1的敛散性。

解:因为级数∑(1 5n )∞n=1收敛,级数∑(2n)发散,∞n=1所以由性质可推导出级数∑(15n+2n)发散。

∞n=14.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n−1−√n)的敛散性,∞n=1若收敛,求其和。

解:设u n=√n−1−√n ,S n=√2−1+√3−√2+√4−√3+?+√n−1−√n=√n+1−1=n1+√n+1因为limn→∞S n=limn1+√n+1=∞ ,所以所求级数发散。

5.判定级数∑√n +1n∞n=1的敛散性。

解:因为lim n→∞u n =lim n→∞√n +1n=1≠0 , 所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n∞n=1发散 。

6.1√2−1−1√2+1+1√3−1−1√3+1的敛散性。

解:原式=(1√2−1−1√2+1)+(1√3−1−1√3+1)+?=12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n∞n=1 第二次作业1.根据P—级数的敛散性,判定级数∑2n +1()2()2∞n=1 的敛散性。

解:因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2n 3由∑1n3∞n=1是收敛的,所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞n=1收敛。

2.如果∑a n ∞n=1,∑b n ∞n=1为正项级数且收敛,试判定∑√a n b n ∞n=1的敛散性 。

解:因为√n b n ≤a n +b n2,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞n=1收敛。

3.根据极限审敛法,判别级数∑sin πn 的敛散性 。

无穷级数习题答案

无穷级数习题答案

无穷级数习题答案无穷级数是数学中一个非常重要的概念,它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

无穷级数的求和问题一直是学生们在学习过程中面临的难题。

在这篇文章中,我将给出一些常见无穷级数习题的答案,并尝试解释其中的一些思路和技巧。

首先,让我们来看一个经典的无穷级数:1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 这个级数被称为几何级数,它的通项为1/2的n次方。

我们的目标是求出这个级数的和。

要解决这个问题,我们可以使用一个重要的公式,即几何级数的求和公式。

根据这个公式,当公比小于1时,几何级数的和等于首项除以(1减公比)。

在这个例子中,首项是1,公比是1/2,因此这个级数的和等于1除以(1减1/2),即2。

所以,这个级数的和是2。

接下来,让我们考虑另一个无穷级数:1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... 这个级数的通项是1除以(2n-1)。

我们的目标是求出这个级数的和。

这个级数是一个调和级数的变形。

调和级数是指形如1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...的级数。

调和级数是发散的,也就是说它的和是无穷大。

但是,当我们去掉其中的偶数项时,级数的和会发生变化。

要解决这个问题,我们可以使用一个技巧,即将级数中的每一项乘以一个适当的因子。

在这个例子中,我们将每一项乘以2,得到2/1 + 2/3 + 2/5 + 2/7 + ... 这个级数的和等于2乘以(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...)。

这个级数是一个调和级数,它的和是无穷大。

因此,原始级数的和也是无穷大。

除了几何级数和调和级数,还有许多其他类型的无穷级数。

其中一个常见的类型是幂级数,形如a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...的级数。

幂级数在微积分中有广泛的应用。

让我们考虑一个幂级数的例子:1 + x + x^2 + x^3 + ... 这个级数的通项是x的n次方。

我们的目标是找到这个级数的和。

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[填空题]1.数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为 21。

2.数项级数∑∞=-0)!2()1(n nn 的和为 1cos 。

注:求数项级数的和常用的有两种方法,一种是用和的定义,求部分和极限;另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况,求函数项级数的和函数在此点的值。

3.设1))1((lim ,1,01=->>∞→n npn n a e n p a 且,若级数∑∞=1n n a 收敛,则p 的取值范围是),2(+∞。

分析:因为在∞→n 时,)1(1-ne 与n 1是等价无穷小量,所以由1))1((lim 1=-∞→n npn a e n 可知,当∞→n 时,n a 与11-p n 是等价无穷小量。

由因为级数∑∞=1n n a 收敛,故∑∞=-111n p n收敛,因此2>p 。

4.幂级数∑∞=-02)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛,则其收敛域为 ]2,0[。

分析:根据收敛半径的定义,2=x 是收敛区间的端点,所以收敛半径为1。

由因为在0=x 时,级数∑∑∞=∞==-02)1(n n n nn a x a 条件收敛,因此应填]2,0[。

5.幂级数∑∞=-+12)3(2n n nn x n的收敛半径为 3。

分析:因为幂级数缺奇次方项,不能直接用收敛半径的计算公式。

因为22)1(21131)3(2)3(21lim x nxx n n nn n n n n =-+-+++++∞→, 所以,根据比值判敛法,当3<x 时,原级数绝对收敛,当3>x 时,原级数发散。

由收敛半径的定义,应填3。

6.幂级数n n n x nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221ln 1的收敛域为 )1,1[-。

分析:根据收敛半径的计算公式,幂级数nn x n n ∑∞=2ln 1收敛半径为1,收敛域为)1,1[-;幂级数nn nx ∑∞=221收敛域为)2,2(-。

因此原级数在)1,1[-收敛,在),)21[1,2(Y --一定发散。

有根据阿贝尔定理,原级数在),2[]2,(+∞--∞Y 也一定发散。

故应填)1,1[-。

7.已知),(,)(0+∞-∞∈=∑∞=x x a x f n n n ,且对任意x ,)()(x f x F =',则)(x F 在原点的幂级数展开式为 ),(,)0(11+∞-∞∈+∑∞=-x x na F n nn 。

分析:根据幂级数的逐项积分性质,及),(,)(0+∞-∞∈=∑∞=x x a x f n n n ,得∑⎰∑⎰∞=+∞=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-010001)()0()(n n n xn n n xx n a dt t a dt t f F x F ,故应填),(,)0(11+∞-∞∈+∑∞=-x x n a F n nn 。

8.函数x xe x f =)(在1=x 处的幂级数展开式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∞=1)1(!1)!1(11n n x n n e 。

分析:已知∑∞==0!1n nxx n e )),((+∞-∞∈x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-=∑∑∞=∞=--0011)1(!1)1(!1)1(])1[(n n n nx x x x n x n x e eex e xe⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑∞=1)1(!1)!1(11n n x n n e 。

根据函数的幂级数展开形式的惟一性,这就是所求。

9.已知]1,0[,1)(∈+=x x x f ,)(x S 是)(x f 的周期为1的三角级数的和函数,则)21(),0(S S 的值分别为 23,23。

10.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=,121),1(2,210,)(x x x x x f ),(,cos 2)(1+∞-∞∈+=∑∞=x x n a a x S n n π,其中 ),2,1,0(cos )(210Λ==⎰n xdx n x f a n π,则=-)25(S 43。

[选择题]11.设常数0>α,正项级数∑∞=1n n a 收敛,则级数∑∞=-+-1212)1(n n nn a α[ ](A)发散。

(B)条件收敛。

(C)绝对收敛。

(D)敛散性与α的值有关。

答 C分析:因为∑∑-==-≤121112n k knk k aa ,且正项级数∑∞=1n n a 收敛,所以∑∞=-112n n a 收敛。

又因为⎪⎭⎫⎝⎛++≤+---αα212212121)1(n a n a n n n, 所以原级数绝对收敛。

12.设),3,2,1()11ln(cos Λ=+=n nn a n π,则级数[ ](A) ∑∞=1n n a 与∑∞=12n na 都收敛。

(B) ∑∞=1n n a 与∑∞=12n n a 都发散。

(C) ∑∞=1n n a 收敛,∑∞=12n na 发散。

(D) ∑∞=1n n a 发散,∑∞=12n n a 收敛。

答 C分析:因为)11ln()1()11ln(cos nnn a nn +-=+=π,所以级数∑∞=1n n a 是满足莱布尼兹条件的交错级数,因此∑∞=1n n a 收敛。

因为 )11(ln 22na n+=在∞→n 时与n 1是等价无穷小量,且调和级数∑∞=11n n 发散,所以∑∞=12n n a 发散。

13.设),3,2,1(10Λ=<<n na n ,则下列级数中肯定收敛的是[ ] (A)∑∞=1n n a 。

(B) ∑∞=-1)1(n n na 。

(C) ∑∞=2ln n n n a 。

(D) ∑∞=22ln n nn a 。

答 D分析:因为n a n 10<<,所以22ln ln 0nn n a n <<。

又因为0ln lim 2=∞→n n n n n ,且∑∞=11n nn 收敛,所以∑∞=22ln n n n a 收敛。

另外,取n a n 21=,可以说明不能选(A)及(C);取212)12(1-=-n a n ,na n 412=,因为()))12(41(41211122--=-∑∑∞=∞=-n n n a an n n n发散,所以∑∞=-1)1(n n na 发散。

14.下列命题中正确的是[ ](A)若),3,2,1(Λ=<n v u n n ,则 ∑∑∞=∞=≤11n n n n v u 。

(B) 若),3,2,1(Λ=<n v u n n ,且∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛。

(C)若1lim =∞→nnn v u ,且∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛。

(D) 若),3,2,1(Λ=<<n v u w n n n ,且∑∞=1n n w 与∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛。

答 D分析:因为n n n v u w <<,所以n n n n w v w u -<-<0。

又因为∑∞=1n n w 与∑∞=1n nv 收敛,所以∑∞=-1)(n n n w v 收敛,因而∑∞=-1)(n n n w u 收敛。

故∑∞=1n n u 收敛。

因为只有当级数收敛时,才能比较其和的大小,所以不能选(A);选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上,显然不对。

例如取级数∑∞=-11n n 与∑∞=121n n 可以说明(B)不对,取级数∑∞=-1)1(n n n 与∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11)1(n n n n 就可以说明(C)不对。

15.下列命题中正确的是[ ](A) 若∑∞=12n nu 与∑∞=12n nv 都收敛,则21)(n n n v u +∑∞=收敛。

(B) 若∑∞=1n n n v u 收敛,则∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 都收敛。

(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥。

(D) 若),3,2,1(Λ=<n v u n n ,且∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散。

答 A分析:因为)(22)(22222nnnn n nn n v u v v u u v u +≤++=+,所以当∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 都收敛时,21)(n n n v u +∑∞=收敛。

取nv nu n n 1,1==可以排除选项(B);取nu n 21=排除选项(C);取级数n u n 1-=与21n v n =可以说明(D)不对。

16.若级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则[ ](A) ∑∞=+1)(n n n v u 发散。

(B) n n n v u ∑∞=1发散。

(C) ∑∞=+1)(n n n v u 发散。

(D) ∑∞=+122)(n n nv u 发散。

答 C分析:取n v n u n n 1,1=-=可以排除选项(A),(B)及(D)。

因为级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv都发散,所以级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,因而∑∞=+1)(n n n v u 发散。

故选(C)。

17.设正项级数∑∞=1n n u 收敛,则[ ](A) 极限n n n u u 1lim+∞→小于1。

(B) 极限nn n u u1lim +∞→小于等于1。

(C) 若极限n n n u u 1lim +∞→存在,其值小于1。

(D) 若极限nn n u u1lim +∞→存在,其值小于等于1。

答 D分析:根据比值判敛法,若极限nn n u u 1lim+∞→存在,则当其值大于1时,级数∑∞=1n n u 发散。

因此选项(D)正确。

取21n u n =排除选项(C)。

因为正项级数∑∞=1n n u 收敛并不能保证极限nn n u u 1lim+∞→存在,所以选项(A),(B)不对。

18.下列命题中正确的是[ ](A) 若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径为0≠R ,则R a a nn n 1lim1=+∞→。

(B) 若极限nn n a a 1lim +∞→不存在,则幂级数n n n x a ∑∞=0没有收敛半径。

(C) 若幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛域为]1,1[-,则幂级数n n n x na ∑∞=1的收敛域为]1,1[-。

(D) 若幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛域为]1,1[-,则幂级数nn n x n a ∑∞=+01的收敛域为]1,1[-。

答 D分析:极限ρ=+∞→nn n a a 1lim只是收敛半径为ρ1=R 的一个充分条件,因此选项(A)不对。

幂级数n n n x a ∑∞=0没有收敛半径存在而且惟一,所以选项(B)不对。

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