数值分析实验指导 - 7 积分

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数值分析课程实验设计——数值积分实习题

数值分析——数值积分实习题

管理科学与工程学院学号：1120140500 姓名：彭洋洋一、计算实习题

用不同数值方法计算积分：04

xdx =-⎰.

（1）取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4

解答：（1）取不同的步长，采用不同的公式，比较精度过程如下： 1.1 复合梯形公式及复合辛普森公式求解

复合梯形公式：1

*[()2()()]2n n k k h

T f a f x f b -==++∑

误差关于h 的函数：2

(2)()**()12

n a b R f h f ξ-=

复合辛普森公式：11

1/201

*[()4()2()()]6n n n k k k k h

S f a f x f x f b --+===+++∑∑

误差关于h 的函数：4(4)()*(/2)*()180

n a b

R f h f η-=

1.2 复合梯形公式及复合辛普森公式Matlab 程序

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1） 2.1 龙贝格求积算法

龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

24133n n n S T T =- 21611515n n n C S S =- 26416363

《数值分析》实验书详解

数值分析实验指导书

实验目的 (1)

实验基本要求 (2)

实验一、误差分析 (3)

一、实验目的 (3)

二、算法实例 (3)

三、实验任务 (10)

实验二、插值法 (12)

一、实验目的 (12)

二、算法实例 (12)

三、实验任务 (19)

四、思考题 (20)

实验三、解线性方程组的直接法 (21)

一、实验目的 (21)

二、算法实例 (21)

三、实验任务 (24)

四、思考题 (24)

实验四、解线性方程组的迭代法 (25)

一、实验目的 (25)

二、算法实例 (25)

三、实验任务 (29)

四、思考题 (29)

实验五、常微分方程初值问题的数值解法 (30)

一、实验目的 (30)

二、算法实例 (30)

三、实验任务 (40)

四、思考题 (40)

实验目的

作为实践性非常强的课程，安排上机实验的目的，不仅是为了验证教材和授课内容，更重要的是，要通过实验深入理解方法的设计原理与处理问题的技巧，培养自行处理常规数值计算问题的能力和综合运用知识分析、解决问题的能力。

1、通过上机实验加深课堂内容的理解。

数值分析的主要任务就是研究适合于在计算机上使用的数值计算方法及与此相关的理论。通过编程上机，就可以加深对方法运行过程的理解，同时在编程中领会和理解数值计算方法的计算要领和步骤，体会问题的条件和限制范围，理解一般问题和特殊问题的区别。

2、学会对数值计算结果的分析和处理。

数值分析实验不只是编写程序得到一个数值结果，我们应在掌握数值计算计算方法的基本原理和思想的同时，注意方法处理的技巧及其与计算机的密切结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的讨论。此外，还要注意算法能否在计算机上实现，应避免因数值方法选用不当、程序设计不合理而导致超过计算机的存储能力，或导致计算结果精度不高等。

《数值分析》课程实验教学大纲

课程名称（中文）：数值分析

课程编码：由学校统一编定

课程性质：非独立设课课程属性：数学实验

教材及实验指导书名称：《数值分析实验与实习》

学时学分：总学时80 实验学时24 总学分5

应开实验学期：第五学期

适用专业：信息与计算科学、数学

先修课程：高等代数、数学分析、常微分方程、Matlab语言及程序设计

一、课程简介

《数值分析》是信息与计算科学的专业基础理论核心课程。本门课程研究用计算机求解各种数学问题的数值计算理论与方法，是后续信科专业课程的理论与实践基础。

二、课程实验的目的与要求

1．掌握数学软件平台Matlab的数值计算。

2．掌握工程中数学模型的科学计算。

3．掌握数值算法的设计与实验。

三、实验内容

四、实验方式与要求

实验方式：

上机编程与实验操作。

注意事项：

1．实验前，学生要认真预习实验指导书，明确实验目的和要求，掌握与实验相关的算法设计与Matlab知识；

2．实验中认真记录所得到的实验结果；

3．掌握程序设计的思想与Matlab的应用；

4．对所做实验得出结论，编写实验报告。

五、考核方法

按完成的实验报告评定成绩，并入课程总成绩，占24/80。

撰写人：曾繁慧

系主任：胡行华

教学院长：董春胜

理学院应用数学系

数值分析教案

一、引言

数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，通过数值方法求解数学问题的近似解。本教案以数值分析为主题，旨在帮助学生理解数值分析的基本概念和方法，并培养其数值计算与问题解决的能力。

二、教学目标

1. 理解数值分析的基本定义和应用领域；

2. 掌握数值分析的常用技术和算法；

3. 能够利用数值方法解决实际问题，如数值积分、方程求根等；

4. 培养学生的编程思维和解决实际问题的能力。

三、教学内容

1. 数值分析的概述

1.1 数值分析的定义和发展历程

1.2 数值分析的应用领域

2. 数值逼近与插值

2.1 插值多项式的定义和性质

2.2 插值方法的选择与应用

2.3 最小二乘逼近的原理和方法

3. 数值微积分

3.1 数值求导的基本原理和方法

3.2 数值积分的基本原理和方法

3.3 数值微分方程的初值问题求解

4. 数值线性代数

4.1 线性方程组的直接解法

4.2 线性方程组的迭代解法

4.3 线性最小二乘问题及其解法

5. 非线性方程求解

5.1 非线性方程求解的基本概念

5.2 数值解法的选择与比较

5.3 牛顿法与割线法的原理和应用

四、教学方法

1. 理论授课：通过讲解数值分析的基本概念和方法，帮助学生建立起基本的数值计算思维；

2. 计算机实验：利用数值分析软件或编程语言，进行相应的数值计算实验，加深学生对数值方法的理解和应用；

3. 课堂讨论：引导学生结合实际问题，讨论并解决数值计算过程中的困难和挑战；

4. 课后作业：布置相关的数值计算作业，加强学生对数值分析的巩固和应用能力。

五、教学评价

1. 平时表现：包括课堂参与、实验报告完成情况等；

数值积分方法

数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。

数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。

数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。

数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限

元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。

武汉大学《数值分析》课件-第7章

论．
二、误差估计
求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？若被积函数 f ( x) Cn 1[ a, b] ，记 M n 1 ma xa xb | f ( n1) (x ) | ，对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-
Cotes求积公式的误差估计式为
一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多．
例１验证求积公式
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
具有3次代数精确度．
解：当 f (x) 1时， I ( f ) a b1d x b a，
可知，R(1, f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具
有n次的代数精确度．进一步可以证明，当n为偶数时，
求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次．
三、几种常见的Newton-Cotes求积公式
对 n=0, 1, 2, 按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes 求积公式.
时的插值型求积公式的构造等问题．
7.2.1 Newton-Cotes求积公式

数值分析方法计算定积分

数值分析⽅法计算定积分⽤C语⾔实现⼏种常⽤的数值分析⽅法计算定积分，代码如下：

1 #include <stdio.h>

2 #include <string.h>

3 #include <stdlib.h>

4 #include <math.h>

6#define EPS 1.0E-14 //计算精度

7#define DIV 1000 //分割区间，值越⼤，精确值越⾼

8#define ITERATE 20 //⼆分区间迭代次数，区间分割为2^n，初始化应该⼩⼀点，否则会溢出

10#define RECTANGLE 0 //矩形近似

11#define TRAPEZOID 1 //梯形近似

12#define TRAPEZOID_FORMULA 2 //递推梯形公式

13#define SIMPSON_FORMULA 3 //⾟普森公式

14#define BOOL_FORMULA 4 //布尔公式

16double function1(double);

17double function2(double);

18double function3(double);

19void Integral(int, double f(double), double, double); //矩形, 梯形逼近求定积分公式

20void Trapezoid_Formula(double f(double), double a, double b); //递推梯形公式

21void Simpson_Formula(double f(double), double a, double b); //⾟普森公式

数值分析—实验报告1

yi =
-0.50660833333333
jqz=log(0.6)
jqz =
-0.51082562376599
wc=yi-jqz
wc =
0.00421729043266
x=[0.70 0.80
0.90];y=log(x);xin=0.6;yi=lg201541110131(x,y,xin)
yi =
-0.50595469353139
一阶均差
2.23144000000000 -1.83026666666667
1.68236000000000
0
0
0
二阶均差
三阶均差
-0.916291000000000
2.231440000000001
-1.830266666666669
-0.693147000000000
1.682360000000000
31
左上方框里填写学号后两位，学习委员按此顺号（报告展开排序）交给老师
数值分析实验报告
专业信息与计算科学班级 15 级 1 班组别指导教师汪玉霞
姓名
史博强
同组人
实验时间 2017 年 10 月 20 日
实验地点 k7—403
实验名称
插值函数与数据拟合
实验目的：
（1）由函数 f (x) 的 n 1个节点处函数值得出 n 次 Lagrange 插值函数；（2）由函数 f (x) 的 n 1个节点处函数值得出 n 次 Newton 插值函数；（3）由函数 f (x) 的个 n 1节点处函数值得出 Hermite 插值函数或分段三次 Hermite 函数；（4）由未知函数的离散数据 f (xi ),i 1, 2, , n 得出最小二乘拟合函数。

数值分析-数值积分详解

ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ，然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：
这样，只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法. 用两端点“高度“ f (a) 与 f (b) 的算术平均作为平均高
度 f ( )的近似值，这样导出的求积公式
T ba [ f ( a ) f (b)] 2
是梯形公式(几何意义参看图4-2).
5
图4-2 用区间中点 c
Ak lk ( x)dx.
a b
由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式，其余项 n
I n Ak f ( xk ) ( n 1) k 0 b f ( ) R[ f ] I I n ( x)dx, a (n 1)!
式中ξ与变量
x有关， ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ).
n 1 m A x (b m 1 a m 1 ). k k m 1 k 0
10
如果事先选定求积节点 xk ，譬如，以区间 [a, b]的等

积分问题-数值分析上机实验报告

数值分析上机报告

姓名：

学号：

专业：

学院：

授课教师：胡杰

昆明理工大学

2012.01。01

《数值分析》实验报告

——数值积分问题

一、问题的提出

在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的,即依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分：⎰

dx x f ）（I ，只要找到被积函数f （x)的原函数F

(x)，便有下列

牛顿—-莱布尼茨(Newton —Leibniz ）公式：）

（）（）（a b dx x f b

F F -=⎰

.然而有的原函数寻找往往比较困难,许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数。为此研究数值积分问题是非常必要的.数值积分的至今普遍应用主要有五种：梯形公式、Simpson 公式及其两种算法的复化公式、高斯求积公式。本实验只要选用复合Simpson 公式及高斯求积公式对特定某个积分，例如:

dxdy e

⎰⎰-D

，D=｛0〈x 〈1,0<y<1｝进行数值计算，比较分析两种算法的

结果，理解数值积分法的意义，明确数值积分精度和步长之间的关系等。

二、目的和意义

1、深刻理解数值积分的意义：

在微积分中,积分值是通过原函数的解析式求得的，然而原函数的寻找往往比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数;另外,当()f x 是由测量或者数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，为此研究数值积分问题是非常必要的。

2、明确数值积分的精度与步长的关系：

复化的求积方法对提高精度是行之有效的，但是在使用求积之前必须给出合适的步长，并且高斯求积公式具有比复化求积公式更高的精度，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。

数值分析第七版课程设计

一、实验背景

数值分析是计算数学的重要分支，是研究利用计算机求解数值问题的方法和理论的一门学科。本课程设计旨在通过实验，加深对数值分析相关算法的理解，提高数学建模和计算机编程的能力。

二、实验内容

本次课程设计包括以下两个实验：

实验一：插值与逼近

1.将函数$f(x)=\\dfrac{1}{x}$在区间[1,2]上进行等距节点插值，节

点数分别为5、10、15和20，误差使用最大误差和平均误差来比较。

2.使用Newton插值法和Lagrange插值法对于函数$f(x)=\\sin x$进行

插值，比较两种方法的误差。

3.对于函数f(x)，给定节点x0,x1,x2,x3，计算出f(x)在x=1.5处的三

次Hermite插值。

4.对于函数$f(x)=\\dfrac{1}{1+x^2}$，使用最小二乘法对其进行多项

式逼近，比较多项式次数为1、2、3和4时的逼近结果。

实验二：数值微积分

1.使用五点中心公式，计算f″(x)的近似值，并比较二、四、六、八次

公式的精度。

2.使用梯形公式和Simpson公式分别求解函数$f(x)=\\cos(x^2)$在区

间[0,1]上的定积分，比较两种方法的精度。

3.使用数值微积分方法计算曲线y=x3+2x+1在区间[0,1]上的弧长，

步长分别为0.2、0.1、0.05和0.025，并比较不同步长对计算结果的影响。

三、实验要求

1.使用MATLAB或Python等编程语言完成实验，并提交完整的程序代码

以及实验报告。

2.实验报告应包括实验的目的、原理、过程、结果及其分析等内容。

数值分析数值微积分实验

实验报告

一、实验目的

复化求积公式计算定积分。

二、实验题目

1.用复化梯形公式、复化辛普森公式求下列定积分，要求绝对误差为3

10-=ε，并将计算结果与精确解进行比较： dx e x e x 232

143

2⎰= 三、实验原理

复化求积公式程序，复化辛普森公式程序。

四、实验内容及结果

五、实验结果分析

实验1中复化梯形公式和复化辛普森公式的比较：

运行复化梯形公式的时候，因为要去找区分精度，所以花的时间比较长，需要将区间分为365份时才能达到规定的误差范围。

而复化辛普森公式则只需要将区间分为12份即可。

说明复化辛普森比较好。

数值分析-7__数值积分_微分

n
Ln (x) =
k=0 b b
f (xk )lk (x), lk (x) =
n
x − xj . xj − xk j =0,j =k
n b
n
f (x)dx ≈
a a k=0
f (xk )lk (x)dx =
k=0 n
f (xk )
a
lk (x)dx
= (b − a)
k=0
1 b−a 1 b−a
(n)
(n)
=
1 b−a
b a
x − xj 1 = xj − xk n j =0,j =k
n
b a
t−j dt. k − j j =0,j =k
n
进一步化简有
(n) Ck
(−1)n−k 1 = k !(n − k )! n
1 0
t−j dt. k−j j =0,j =k 6
n
(1.3)
因此Cotes系数Ck , k = 0, 1, · · · , n不仅与被积函数无关，而且与求积区间与没有关系。有上式知道 n (n) (n) Ck = Cn−k , k = 0, 1, · · · , [ ] 2 . 利用(1.3)可以求解Cotes系数。令f (x) = 1,则
证明：误差 E1 (f ) = = f (x) −
2
由L’Hospital法则值被积函数在[a, b]上连续，由积分中值定理 E1 (f ) = 注意到

数值分析第七章

Ln ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 k 0
n
2
3/17
1.5
S f ( x )dx
a
0 5
b
积分数值计算要解决的问题: 1. 定积分与线积分的计算? 2. 重积分的数值计算? 3. 由离散数据计算面积和体积？ 4. 数值积分的误差和精度？
4/17
例4. 两点埃尔米特插值推导数值求积公式
解: 取
h ba
( x a) / h
b
H ( x) f (a)0 ( x) f (b)1 ( x) f (a) 0 ( x) f (b)1 ( x)

b a
b
a
f ( x )dx H ( x )dx R[ f ]
f ( ) f ( x ) l k ( x ) f ( xk ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! k 0
1 l 0 ( x ) 2h 2 ( x x1 )( x x 2 ) 1 l1 ( x ) 2 ( x x0 )( x x 2 ) h 1 l 2 ( x ) 2h 2 ( x x0 )( x x1 )
b 1 2

11/17
h B0 0 ( x )dx h (1 ) d a 0 12 b 1 h 2 2 B1 1 ( x )dx h (1 ) d a 0 12

东北大学数值分析第七章数值积分

3
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
1
具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少? 解令公式对ƒ(x)=1,x,x2都精确成立,则

A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3
1
,解得:A0=A2=1/3, A1=4/3.
A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3
A0x03+A1x13=0
1
A0 A1 1 ,解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3 求积公式的代数精度为3。
C
( 2) 0
1 2 1 0 (t 1)(t 2)dt , 4 6
C
( 2) 1
C 2( 2 )
于是有
1 2 4 0 t (t 2)dt , 2 6 1 2 1 0 t (t 1)dt , 4 6
ba ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] =S. a f ( x)dx 6 2
称式(7.4)为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数. 2 例1 设(x)C [a,b],求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解计算Cotes系数

数值分析上机实验——数值积分

实验报告

哈尔滨工程大学教务处制

实验三数值积分

一．数值积分的基本思想

1.复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h

2∑-=1

)](n k xk f ；

2.复合辛普森公式：Sn=6h

[f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1

)2/1(n k x f ]；

以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh,

x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。

3.龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式

（1）Sn=34T2n-31

（2）Cn=1516S2n-151

（3）Rn=6364C2n-63

Cn4

)

(k m

44-m m T )1(1+-k m - 141-m

T )

(1k m -，k = 1，2，… 二.实验题目及实验目的

(第4章计算实习题第1题)用不同数值方法计算积分xdx x ln 1

⎰

= -9

。

（1）取不同的步长h 。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到104-。三．实验手段：

指操作环境和平台:win7系统下MATLAB R2009a

程序语言：一种类似C 语言的程序语言，但比C 语言要宽松得多，非常方便。四.程序

①复合梯形求积程序

function t=TiXing_quad(a,b,.h) format long