数值分析实验指导 - 7 积分
数值分析实验指导书
数值分析课程实验指导书应用科学学院数学系目录前言 (1)第一部分数值实验报告格式 (1)第二部分数值实验报告范例 (2)第三部分数值实验 (6)数值实验一 (6)数值实验二 (8)数值实验三 (10)数值实验四 (12)数值实验五 (13)数值实验六 (16)数值实验七 (17)第四部分MATLAB入门 (19)前言该实验指导书是《数值分析》课程的配套数值实验教材。
《数值分析》是理工科大学本科生与硕士研究生的必修课程，学习本课程的最终目的，是用计算机解决科学和工程实际中的数值计算问题，因此熟练地在计算机上实现算法是必备的基本技能。
数值实验是数值分析课程中不可缺少的部分，利用计算机进行数值实验，以消化巩固所学的内容，增加对算法的可靠性、收敛性、稳定性及效率的感性认识，体会和重视算法在计算机上实验时可能出现的问题。
学生通过选择算法、编写程序、分析数值结果、写数值实验报告等环节的综合训练，逐步掌握数值实验的方法和技巧，获得各方面的数值计算经验，培养学生运用所学算法解决实际问题和进行理论分析的能力。
该实验指导书由王希云、刘素梅、王欣洁、李晓峰等老师编写。
第一部分数值实验报告格式一个完整的实验，应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法，最终对实验结果进行分析，以达到对理论知识的感性认识，进一步加深对相关算法的理解，数值实验以实验报告形式完成，实验报告格式如下：一、实验名称实验者可根据报告形式需要适当写出。
二、实验目的及要求首先要求做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出。
三、算法描述（实验原理与基础理论）数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及到的理论基础，算法原理详尽列出。
四、实验内容实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法以及可能用到的仪器设备。
数值积分实验报告
数值积分实验报告数值积分实验报告导言：数值积分是数学中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的意义。
本实验旨在通过数值积分方法，探索如何近似计算函数的积分值，并对结果进行分析和比较。
一、实验目的本实验的主要目的有以下几点：1. 了解数值积分的基本概念和原理；2. 掌握常见的数值积分方法，如矩形法、梯形法和辛普森法；3. 进行实际函数的数值积分计算，并与解析解进行对比。
二、实验原理1. 数值积分的基本概念数值积分是一种通过将函数曲线下的面积近似分解为多个小矩形、梯形或抛物线的面积之和，从而计算函数积分值的方法。
常见的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法。
2. 矩形法矩形法是一种简单的数值积分方法，它将函数曲线下的面积近似为多个矩形的面积之和。
常见的矩形法有左矩形法、右矩形法和中矩形法。
3. 梯形法梯形法是一种更精确的数值积分方法，它将函数曲线下的面积近似为多个梯形的面积之和。
梯形法的计算公式为：积分值≈ (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2，其中a和b为积分区间的上下限。
4. 辛普森法辛普森法是一种更加精确的数值积分方法，它将函数曲线下的面积近似为多个抛物线的面积之和。
辛普森法的计算公式为：积分值≈ (b-a) * (f(a) +4f((a+b)/2) + f(b)) / 6。
三、实验步骤1. 确定积分区间和函数表达式；2. 根据所选的数值积分方法，编写相应的计算代码；3. 运行代码，得到数值积分的结果；4. 将数值积分的结果与解析解进行对比，并分析误差。
四、实验结果与分析在本次实验中，我们选择了函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上进行积分计算。
根据不同的数值积分方法，得到的结果如下：1. 矩形法：- 左矩形法：积分值≈ 0.25- 右矩形法：积分值≈ 0.5- 中矩形法：积分值≈ 0.3752. 梯形法：积分值≈ 0.3753. 辛普森法：积分值≈ 0.3333与解析解进行对比，我们可以发现不同的数值积分方法得到的结果与解析解（积分值为 1/3）存在一定的误差。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析课程实验设计——数值积分实习题
数值分析——数值积分实习题管理科学与工程学院 学号：1120140500 姓名：彭洋洋 一、计算实习题1.用不同数值方法计算积分：049xdx =-⎰.（1）取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？ （2）用龙贝格求积计算完成问题（1） （3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4解答：（1）取不同的步长，采用不同的公式，比较精度过程如下： 1.1 复合梯形公式及复合辛普森公式求解复合梯形公式：11*[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑误差关于h 的函数：2(2)()**()12n a b R f h f ξ-=复合辛普森公式：111/201*[()4()2()()]6n n n k k k k hS f a f x f x f b --+===+++∑∑误差关于h 的函数：4(4)()*(/2)*()180n a bR f h f η-=1.2 复合梯形公式及复合辛普森公式Matlab 程序（2）用龙贝格求积计算完成问题（1） 2.1 龙贝格求积算法龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。
它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。
作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。
24133n n n S T T =- 21611515n n n C S S =- 26416363n n n R C C =-1221/201()22n n n k k h T T f x -+==+∑ ()(1)()11(4*)/(41)k m k k mm m m T T T +--=-- 1,2,...k = 2.2 龙贝格求积Matlab 程序画图程序设计①得到关于n各种公式求积的图表如下：对于梯形公式、辛普森公式n代表份数，龙贝格公式n表示从1开始的序列号②关于步长h 的各种公式求积的图表如下其中龙贝格序列步长()/2k h b a =-：观察两幅图表h 越小，精度越高。
数值分析第七章
(6) 切比雪夫多项式的极值性质
Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中
1 ~ Tn ( x) n 1 Tn ( x) 2
与零的偏差最小，且其偏差为
即，对于任何
1 2 n 1
， p ( x) H n ( x) 有
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： (一) 一致逼近
max 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x[ a ,b ] f ( x) p( x)
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
(2k 1) x k cos , (k 1, 2, , n) 2n
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
x k cos k
n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
( x) e
x2
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
1 2 n 1
~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0
1 x 1 1 x 1
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
实验报告7—数值积分
标题：积分方程的数值积分计算1.实验描述：数值积分最突出的优点是它可以计算无法解析求解的积分问题。
根据节点的选择方法可将数值积分分为常见的：组合梯形公式法、组合辛普生公式法、龙贝格积分法、自适应积分法、高斯—勒让德积分法。
本实验利用5种方法计算同一积分，通过误差分析比较各种方法的优缺点。
2.实验内容：计算320sin(4)x x e dx -⎰，并进行误差分析。
具体内容如下： 1.用组合梯形公式10M =计算。
2.用组合辛普生公式5M =计算。
3.用龙贝格积分计算，本次实验中采用4阶公式(4,4)R 计算。
4.用自适应积分方法计算，本次实验中起始容差：0=0.00001ζ。
5.用5点高斯—勒让德积分计算。
通过误差分析比较各种方法的优缺点。
3.实验原理及分析：数值积分的目的是：通过在有限采样点上计算()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
设01...M a x x x b =<<<=，若有：()[][]ba f x dx Q f E f =+⎰，其中[]Q f 形如：0[]()Mk k k Q f w f x ==∑，则称[]Q f 为面积公式，[]E f 为截断误差，0{}M k k x =为面积节点，0{}M k k w =为权。
根据节点{}k x 的选择方法可将积分方法分为：组合梯形公式法、组合辛普生公式法、龙贝格积分法、自适应积分法、高斯—勒让德积分法。
下面着重介绍5种方法的原理：①组合梯形公式法及误差分析：设等距节点k x a kh =+，0,1,...,k M =将区间划分为宽度为b a h M-=的M 个子区间，M 个子区间的组合梯形积分公式有3种等价表示方法： 11(,)(()())2Mk k k h T f h f x f x -==+∑011(,)=(2...2)2M M h T f h f f f f -++++ 11(,)(()())()2M k k h T f h f a f b h f x -==++∑ ②组合辛普生公式法误差分析：设等距节点k x a kh =+，0,1,...,2k M =将区间分为2M 个宽度为2b a h M-=的子区间,2M 个子区间的组合辛普生积分公式也有3种等价表示方法：222121(,)(()4()())3Mk k k k h S f h f x f x f x --==++∑ 012322212(,)(424...24)3M M M h S f h f f f f f f f --=+++++++ 12211124 (,)(()())()()333M Mk k k k h h h S f h f a f b f x f x --===+++∑∑ ③龙贝格积分法及误差分析：龙贝格积分法是利用理查森外推法来提高精度的，下面给出一般公式：4(,1)(1,1)(,)41K K R J K R J K R J K ----=- 其中J K ≥ (,0)()R J T J =,为梯形公式；(,1)()R J S J =,为辛普生公式；(,2)()R J B J =，为布尔公式。
数值分析计算实习题答案
数值分析计算实习题答案数值分析计算实习题答案数值分析是一门研究如何利用计算机对数学问题进行近似求解的学科。
在数值分析的学习过程中，实习题是一种重要的学习方式，通过实践来巩固理论知识，并培养解决实际问题的能力。
本文将为大家提供一些数值分析计算实习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数值分析的相关知识。
一、插值与拟合1. 已知一组数据点，要求通过这些数据点构造一个一次插值多项式，并求出在某一特定点的函数值。
答案：首先，我们可以根据给定的数据点构造一个一次插值多项式。
假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个一次多项式p(x) = a0 + a1x，其中a0和a1为待定系数。
根据插值条件，我们有p(x0) = y0，p(x1) = y1。
将这两个条件代入多项式中，可以得到一个方程组，通过求解这个方程组，我们就可以确定a0和a1的值。
最后，将求得的多项式代入到某一特定点，就可以得到该点的函数值。
2. 已知一组数据点，要求通过这些数据点进行最小二乘拟合，并求出拟合曲线的表达式。
答案：最小二乘拟合是一种通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线的方法。
假设给定的数据点为(x0, y0), (x1, y1)，我们可以构造一个拟合曲线的表达式y =a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为待定系数。
根据最小二乘拟合原理，我们需要最小化误差平方和E = Σ(yi - f(xi))^2，其中yi为实际数据点的y值，f(xi)为拟合曲线在xi处的函数值。
通过求解这个最小化问题，我们就可以确定拟合曲线的表达式。
二、数值积分1. 已知一个函数的表达式，要求通过数值积分的方法计算函数在某一区间上的定积分值。
答案：数值积分是一种通过将定积分转化为数值求和来近似计算的方法。
假设给定的函数表达式为f(x)，我们可以将定积分∫[a, b]f(x)dx近似为Σwi * f(xi)，其中wi为权重系数，xi为待定节点。
数值分析上机实验指导书
“数值计算方法”上机实验指导书实验一 误差分析实验1.1（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。
对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。
通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=−=−−−=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB 函数：“roots ”和“poly ”。
roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++−n n n n a x a x a x a的全部根；而函数 poly(v)b =的输出b 是一个n+1维向量，它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数（从高到低排列）。
可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
))20:1((;)2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +===上述简单的MATLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
数值分析7-牛顿-科特斯公式
迭代过是否满足收敛条件，常用的收敛性判断标准包括相对误差和绝对误差 等。
终止条件
当满足终止条件时，迭代过程应停止，常用的终止条件包括达到最大迭代次数、达到预设的容差等。
牛顿-科特斯公式的实现步骤和算法流程
实现步骤
首先需要计算函数值、导数值和雅可比矩阵，然后根据牛顿-科特斯公式计算下一个迭 代点，重复此过程直到满足收敛条件。
算法流程
算法流程包括初始化、计算函数值和导数值、计算雅可比矩阵、迭代更新解、判断收敛 性、终止迭代等步骤。
04
牛顿-科特斯公式的应用案例
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在求解非线性方程中的应用
01
牛顿-科特斯方法用于求解非线性方程的根，通过迭代的方式逐 步逼近方程的解。
牛顿-科特斯公式的应用条件和限制
应用条件
牛顿-科特斯公式适用于求解非线性方程的根，要求方程连续且可导，且导数不为0。此外，初始近似值的选择也 是关键，应尽可能接近根的真实值。
限制
虽然牛顿-科特斯公式在许多情况下都能有效地求解非线性方程的根，但它也有一些限制。例如，如果方程有多 个根或者根在边界上，或者函数在某些点处不可导，那么牛顿-科特斯公式可能无法得到正确的结果。
通过构造函数的Hessian矩阵 和梯度向量，可以确定搜索方 向和步长，以找到函数的最小 值点。
03
牛顿-科特斯方法在处理非凸函 数优化问题时可能遇到局部最 小值或鞍点的问题，需要谨慎 处理。
在数值积分和微分中的应用
01
牛顿-科特斯公式可用于数值积分和微分计算。
02
通过选取适当的插值多项式和节点，可以将积分或 微分问题转化为线性方程组求解问题。
数值分析课程——数值积分实验报告
0.74718 0.946146
0.746834 0.946083
1 0
sin x x
分析：随着结点数目的增加，积分公式的代数精度逐渐增高，截断误差减小，得到的 结果也越加接近精确值。
（2） 编写 C++程序，分别用区间逐次分半的复化梯形公式和区间逐次分半的复化 Simpson 公式计算上述积分的近似值，比较它们的迭代次数。 答: 精度为 1e-6 积分函数 复化梯形公式 复化 Simpson 公式 1 （迭代次数） （迭代次数） x 0.746823 0.746825 I1 e d x 0 8 22
I1
I2
1
e
0
x
2
dx
dx
0.746824 0.946083
4 4
1 0
sin x x
分析：在相同精度要求下，龙贝格公式的迭代次数比复化梯形公式的迭代次数少，比复 化 Simpson 公式的迭代次数少，因此龙贝格公式的收敛速度比复化梯形公式的收敛速度 快，比复化 Simpson 公式的收敛速度快。
应用高阶的newtoncotes型求积公式计算积分会出现数值不稳定而低阶公式又因为积分区间步长过大使得离散误差很大然而若积分区间愈小则离散误差愈小因此为提高求积公式的精确度可以将积分区间分成若干个子区间在每个子区间上使用低阶求积公式然后将计算的结果加起来据成了复化求积公式
数值分析课程—数值积分实验报告
dx
1 0
sin x x
精度要求 1 0
6
。
（1） 编写 C++程序，分别用梯形公式、Simpson 公式和 Cotes 公式计算上述积分的近似值。 并对计算结果作一比较。 答： 梯形公式 Simpson 公式 Cotes 公式
数值计算实验报告积分
一、实验目的1. 理解积分的概念和基本性质。
2. 掌握数值积分的方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 通过实际计算，加深对积分概念的理解。
二、实验原理积分是微积分学中的一个基本概念，表示一个函数在某区间内的累积变化量。
数值积分是指利用数值方法求解积分，常见的方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
1. 矩形法：将积分区间分成若干等份，用每个小区间的宽度乘以函数在该区间的值，再将所有小区间的乘积相加，得到积分的近似值。
2. 梯形法：将积分区间分成若干等份，用每个小区间的宽度乘以函数在该区间的平均值，再将所有小区间的乘积相加，得到积分的近似值。
3. 辛普森法：将积分区间分成若干等份，用每个小区间的宽度乘以函数在该区间的二次多项式近似值，再将所有小区间的乘积相加，得到积分的近似值。
三、实验步骤1. 选择一个具体的积分问题，例如：计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的积分。
2. 根据所选择的积分方法，设置相应的参数。
例如，对于矩形法，需要设置小区间的数量n；对于梯形法，需要设置小区间的数量n；对于辛普森法，需要设置小区间的数量n。
3. 计算每个小区间的宽度，例如，对于区间[0,1]，小区间的宽度为h = (1-0)/n。
4. 根据所选的积分方法，计算积分的近似值。
5. 比较不同积分方法的近似值，分析误差来源。
四、实验结果与分析以函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的积分为例，进行数值积分实验。
1. 矩形法：取n=4，计算得到积分的近似值为0.5625。
2. 梯形法：取n=4，计算得到积分的近似值为0.6667。
3. 辛普森法：取n=4，计算得到积分的近似值为0.6667。
通过比较不同积分方法的近似值，可以发现辛普森法的误差较小，且随着n的增大，误差逐渐减小。
这表明辛普森法在数值积分中具有较高的精度。
五、实验总结1. 本实验通过数值积分方法，计算了函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的积分，加深了对积分概念的理解。
数值分析数值微积分实验
实验报告
一、实验目的
复化求积公式计算定积分。
二、实验题目
1.用复化梯形公式、复化辛普森公式求下列定积分，要求绝对误差为3
10-=ε，并将计算结果与精确解进行比较： dx e x e x 232
143
2⎰= 三、实验原理
复化求积公式程序，复化辛普森公式程序。
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
实验1中复化梯形公式和复化辛普森公式的比较：
运行复化梯形公式的时候，因为要去找区分精度，所以花的时间比较长，需要将区间分为365份时才能达到规定的误差范围。
而复化辛普森公式则只需要将区间分为12份即可。
说明复化辛普森比较好。
《数值分析》_实验
( )
( )
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系
第5页
数值分析实验，宋伦继
6
实验四 数值积分与数值微分
一、问题提出 选用复合梯形公式，复合 Simpson 公式，Romberg 算法，计算
x
*
⎡ 0 ⎤ ⎢ −6 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 20 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 23 ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢− 22⎥ ⎢ − 15 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 45 ⎦ ⎣
=
( 1,
-1,
0,
2,
1,
-1,
0,
2)
T
第7页
数值分析实验，宋伦继
8
3、三对角形线性方程组
⎡ 4 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 7 ⎤ ⎢− 1 4 − 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 − 1 4 − 1 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ − 13⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 − 1 4 − 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 − 1 4 − 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x5 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 − 1 4 − 1 0 0 0 ⎥ ⎢ x6 ⎥ ⎢− 12⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 −1 4 −1 0 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 14 ⎥ ⎥ ⎢ 7⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 − 1 4 − 1 0 ⎥ ⎢ x8 ⎥ ⎢−4⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 − 1 4 − 1⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ 9⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 4 ⎦ ⎢ −5⎦ ⎣ ⎣ ⎣ x10 ⎦
数值分析实验——数值积分
数学与计算科学学院实验报告
实验室： 06406 实验日期： 2021 年 11 月 21 日
院〔系〕
数学与应用数学
年级、专业、班
成绩
课程
名称
数值分析实验
实验工程
名 称
实验积分
指导
教师
光云
一 、实验目的
通过实验掌握利用Matlab进展数值积分的操作，掌握Matlab中的几种置求积分函数，进一步理
五、实验过程原始记录〔数据，图表，计算等〕
一、
复化Simpson公式程序：
function s=Simpson(a,b,n)
%输出s为积分的数值解，输入(a,b)为积分区间，n为等分区间的个数.
h=(b-a)/(n*2);
s1=0;
s2=0;
s=h*(f(a)+f(b))/3;%先计算特殊两点相加.
解复化梯形，复化辛普生公式，并编程实现求数值积分
二、实验原理
Matlab中，有置函数计算积分：
>> z = trapz(x,y)
其中，输入x，y分别为数据的自变量和因变量构成的向量，输出为积分值。
>> z = quad(fun,a,b)
这个命令是使用自适应求积的方法计算积分的命令。其中，fun为被积函数，a，b为积分区间。
for k=1:n
x1=a+h*(2*k-1); %利用循环计算其他点的相加.
s1=s1+f(x1);
end
for k=1:(n-1)
x2=a+h*2*k; %利用循环计算其他点的相加.
s2=s2+f(x2);
end
s=s+h*(4*s1+2*s2)/3;
数值分析实验报告数值积分
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用龙贝格算法求解积分
首先得到龙贝格积分表
RT =
0.92064341802145 0 0 0
0.93969524184872 0.94604584979115 0 0
0.94441400943698 0.94598693196639 0.94598300411141 0
0.945590985433080.94598331076511 0.94598306935170 0.94598307038726
迭代次数
迭代结果
迭代次数
迭代结果
0
0.94604584
2
0.94598331
1
0.94598693
3
0.94598308
通过计算可以发现，用复化Simpson公式，当迭代3次时，迭代误差小于
（3）用龙贝格算法求解积分
首先得到龙贝格积分表
RT =
0.683939720585721 0 0
0.731370251828563 0.747180428909510 0 0
用区间逐次分半的复化Simpson公式计算上述积分的近似值
迭代次数
迭代结果
迭代次数
迭代结果
0
0.74718042
3
0.74682425
1
0.74685537
4
0.746824140
2
0.74682612
通过计算可以发现，用复化Simpson公式，当迭代4次时，迭代误差小于
对于积分 ，用区间逐次分半的复化梯形公式计算上述积分的近似值。
(3)复化梯形公式设计算法如下：
1输入求积区间 及精度要求 ，令 ， 计算
数值分析实验指导 - 7 积分
数值分析实验指导潘志斌2014年3月实验七 数值积分数值实验综述：通过数值积分实验掌握数值积分的实现，理解各种数值积分公式的特性，并能用数值积分求解积分方程和微分方程。
基础实验7.1 Newton-cotes 型求积公式实验目的：学会Newton-cotes 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分⎰πcos xdx e x实验要求：选择等分份数n ,用复化Simpson 求积公式求上述定积分的误差不超过810-的近似值,用MATLAB 中的内部函数int 求此定积分的准确值,与利用复化Simpson 求积公式计算的近似值进行比较。
7.2 Romberg 算法实验目的：学会数值求积的Romberg 算法,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ⎰15.0dx x实验要求：（1）要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg 算法中的加速收敛过程,直到定积分近似值的误差不超过610-为止,输出求得的定积分近似值。
（2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Romberg 算法计算的近似值进行比较。
7.3 Gauss 型求积公式实验目的：学会Gauss 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ⎰-+4421xdx实验要求：（1）把Gauss 点的表格存入计算机,以Gauss-Legendre 求积公式作为本实验的例子,要求程序可以根据不同的阶数n ,自动地用n 阶Gauss-Legendre 求积公式计算上述定积分的近似值.体会Gauss型求积公式是具有尽可能高的代数精度的数值求积公式。
（2）可用MATLAB中的内部函数int求得此定积分的准确值与Gauss型求积公式求得的值进行比较。
数值分析数值积分
实验报告专用纸实验项目名称数值积分课程名称计算机数值方法教师评语及成绩：实验成绩：教师签字：（请按照实验报告的有关要求书写，一般必须包括：1、实验目的；2、实验内容；3、实验步骤与方法；4、实验数据与程序清单；5、出现的问题及解决方法；6、实验结果、结果分析与体会等内容。
）1、实验目的（1）学会用复合辛普森公式、复合梯形公式、牛顿-科特斯积分公式计算积分；（2）学会用MATLAB或C等实现数值积分。
2、实验内容计算定积分（1）用牛顿-科特斯积分法计算定积分；（2）取不同的步长h，分别用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度。
3、实验原理（1）复合梯形公式（2）复合辛普森公式（3）牛顿-科特斯积分公式4、实验步骤（1）认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的算法；（2）编写上机实验程序,作好上机前的准备工作（3）上机调式程序，并记录计算的结果（4）分析实验结果（5）按照要求撰写实验报告5、实验程序function y=f(x)y=sin(x);%复合梯形function Tn=Tn(a,b,n)format longh=(b-a)/n;sum=0;for k=1:n-1sum=sum+f(a+k.*h);endTn=(f(a)+2*sum+f(b))*h/2;endfunction Sn=Sn(a,b,n)format longh=(b-a)/n;sum1=0;sum2=0;for i=0:n-1sum1=sum1+f(a+(i+1/2).*h);endfor j=1:n-1sum2=sum2+f(a+j.*h);endSn=h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b));%复合Ctoesfunction Cn=Cn(a,b,n)format longh=(b-a)/n;sum1=0;sum2=0;for i=0:n-1sum1=sum1+32*f(a+(i+1/4).*h)+12*f(a+(i+1/2).*h)+32*f(a+(i+3/4).*h);endfor j=1:n-1sum2=sum2+14*f(a+j.*h);endCn=h/90*(7*f(a)+sum1+sum2+7*f(b));%不同区间和分割次数下的精确值和近似值的比较y=[-0.150920964949986,0.106044306328975,-1.260000791649389,1.1227 33727670800,0.185427920752058,0.955618503172607];Tn=[-0.144707438957434,0.103357516942886,-0.809037206720437,1.07 4587530720150,0.176653381231435,0.874739367319743];Sn=[-0.150933735388946,0.106047691917755,-1.267931587831384,1.12 2836754412495,0.185448626084829,0.956086587141625];Cn=[-0.150920958200157,0.106044290463326,-1.259953005777527,1.12 2733636186552,0.185427890841067,0.955744078179222];plot(y,'-k*');hold on;plot(Tn,'-g.');hold on;plot(Sn,'-bo');hold on;plot(Cn,'-r+');legend('精确值','Tn','Sn','Cn');6、实验结果及分析（1）实验结果图1不同区间和分割次数下的精确值和近似值的比较（2）结果分析在上面的数值计算中，复化Cotes公式计算所得的误差最小，其次是复化Simpson公式，误差最大的是复化梯形公式。
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数值分析实验指导
潘志斌
2014年3月
实验七 数值积分
数值实验综述：通过数值积分实验掌握数值积分的实现，理解各种数值积分公式的特性，并能用数值积分求解积分方程和微分方程。
基础实验
7.1 Newton-cotes 型求积公式
实验目的：学会Newton-cotes 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分
⎰
π
cos xdx e x
实验要求：选择等分份数n ,用复化Simpson 求积公式求上述定积分的误差不超过810-的近似值,用MATLAB 中的内部函数int 求此定积分的准确值,与利用复化Simpson 求积公式计算的近似值进行比较。
7.2 Romberg 算法
实验目的：学会数值求积的Romberg 算法,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ⎰
1
5
.0dx x
实验要求：
（1）要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg 算法中的加速收敛过程,直到定积分近似值的误差不超过610-为止,输出求得的定积分近似值。
（2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Romberg 算法计算的近似值进行比较。
7.3 Gauss 型求积公式
实验目的：学会Gauss 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ⎰
-+4
42
1x
dx
实验要求：
（1）把Gauss 点的表格存入计算机,以Gauss-Legendre 求积公式作为本实验的例子,要求程序可以根据不同的阶数n ,自动地用n 阶Gauss-Legendre 求积
公式计算上述定积分的近似值.体会Gauss型求积公式是具有尽可能高的代数精度的数值求积公式。
（2）可用MATLAB中的内部函数int求得此定积分的准确值与Gauss型求积公式求得的值进行比较。