13.1.2线段的垂直平分线性质(第二课时)

合集下载

13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)画法

13.1 .2线段的垂直平分线（第2课时）
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： ∵MN是AB的垂直平分线 N ∴ PA＝PB （线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上（与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
学习目标
1.掌握线段垂直平分线的画法． 2.会画两个成轴对称的图形(或一个轴对
称图形)的对称轴．
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个图形的一对对应点，然后画出以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线就可以了．提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?

自学指导1
认真看课本P62页例题，动手进行尺规
作图思考导学案P41第三题
检查自学效果1

请用自己的语言叙述如何画一条线段的垂直平分线
作线段的垂直平分线. 已知：线段AB. 求作：线段别以点A，B为圆心，作法：
以大于 1 AB的长为半径作弧，
2
D
两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求.
的直线就是角的对称轴.
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴.
课堂小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线．

人教版初中数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)

13.2线段的垂直平分线的性质（2）
一、复习回顾 1.线段的垂直平分线的性质定理： 2.线段的垂直平分线的判定定理：
尺规作图：经过已知直线外的一点作这条直线的垂线。已知：直线AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C。
（教材62页）
这样作垂线的原理是什么？
下面的交通标志是轴对称图形吗?如果是轴对称图形,你能找到它的对称轴吗?
活动:画对称轴
我们已经学过,如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,所以我们只要找到两个图形的一对对应点,然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可,如何作线段的垂直平分线呢?
例2.如图(1)所示,已知点A和点B关于某条
直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
过这两点的直线,即为对称轴.
思考
作对称轴的前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形,否则,不存在对称轴。
两个图形成轴对称时,任找一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线就是对称轴.
检测反馈 1.正六边形的对称轴有 ( B )
A.3条 B.6条 C.9条 D.12条
2．如图所示的四角星图形是轴对称图形,它共有对称轴 ( D ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图所示,共有 4条对称轴.故选D.
3.下列图形中,对称轴条数最多的是 ()
解析:A.如图所示,该图形的对称轴有4 条;
C.如图所示,该图形的对称轴有3条;
B.如图所示,该图形的对称轴有 6条;
D.如图所示,该图形
的对称轴有5条.
综上所述,对称轴条数最多的是B选项.故选B.
4.如图所示,作出它们的对称轴.
解析: 找对称点,作对称点连线的垂直

13.1.2 线段的垂直平分线的性质(2)

13.1.3 对称轴的画法
八年级数学备课组
学习目标
1.会作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 2.利用线段垂直平分线的尺规作图解决一些简单的实际问题.
自学指导（6分钟）
认真阅读课本P62和P63内容，回答下列问题： 1.如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的___________. 垂直平分线 _________________ 因此，作成轴对称的两个图形的对称轴的方作出对应点所连的找到一对对应点法是:（1）__________（2）_____________. 线段的垂直平分线. 2.P63例2，对照图13.1-9，口述作线段AB的垂直平分线的尺规作图方法。根据这种方法中点也可以确定线段的_____. 3.作轴对称图形的对称轴的方法是: 作出对应点所连的线段的找到一对对应点（1） ___________（2）_________________. 垂直平分线.
p1 A M P O N B p2
1、某地有两所大学M、N到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。
A M N B O
当堂训练（6分钟）
2、如图，∠AOB内一点P，P1P2分别为P 关于OA，OB的对称点， P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 =5cm，求△PMN的周长。
学以致用（5分钟）
完成P64练习第1、2、3题
课堂检测（5分钟）
1、如图，A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站。使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
B A
2、如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到AC,AB距离相等。
A
B C

13.1.2线段的垂直平分线(第二课时)教学设计2

13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第二课时)【教学目标】1.进一步了解线段的垂直平分线的性质，能够确定两个图形成轴对称的对称轴，掌握住线段的垂直平分线的画法。

2.通过线段的垂直平分线的画法的学习进一步培养学生的画图能力。

【教学重点、难点】重点：线段垂直平分线的作法．难点：探索轴对称图形对称轴的作法【教学准备】启发引导、尝试研讨、动手操作【教学过程设计】一、合作学习，探索新知（约15分钟）1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题【1】轴对称图形的性质是什么？◆如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．◆轴对称图形的对称轴如何来作呢？只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．【2】如何作出线段的垂直平分线？◆提示：由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相等的两点即可．已知：线段AB[如图（1）]．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）（1）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；（2）作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．◆在上述作法中，为什么要以“大于12AB的长”为半径作弧？（1）如果以12AB长为半径作弧，两弧只有一个交点，正好是线段AB的中点．•这样就找不到到端点A、B距离相等的两点，也就作不出线段AB的垂直平分线．（2）如果以小于12AB长为半径，两弧就没有交点，这样找不到到A、B两端点距离相等的点，也就作不出线段AB的垂直平分线了．只有以大于12长为半径作弧才可以作出线段AB的垂直平分线．【3】根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流．（1）从作法的第一步可知AC=BC，AD=BD．∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．【4】我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．【5】同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么．（1）是为了作出轴对称图形的对称轴．（2）那怎么作出一个轴对称图形的对称轴呢？（3）我们只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴．四、归纳总结巩固新知（约15分钟）1、知识点的归纳总结：2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）【1】我们来看下面的例题．下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：（1）找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．（2）作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．【2】现在同学们自己画一个轴对称图形，再按照上述方法，作出这个轴对称图形的对称轴．【3】画出下图甲中的各图的对称轴．【4】如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半4题图5题图【5】如上图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，•要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？附：板书设计。

13.1.2__线段的垂直平分线性质

13.1.2 线段的垂直
平分线的性质
M P
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
B
A N
C
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
几何语言：
∵AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点(已知)， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).
P A B
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
12.3 角的平分线
D A P O E
13.1 线段的垂直平分线
M P A N 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合. B
你能用其他方法证线的判定：
定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． P ∵ ∴
用数学符号表示为： PA =PB，点P 在AB 的垂直平分线上． A
B
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
归纳：
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ P 这些点能组成什么几何图形？线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l A 上，所以直线l 可以看成与两点A、 B 的距离相等的所有点的集合．
C
B
课堂练习

新人教版八年级上册数学13.1.2_线段的垂直平分线的性质[2]

聚焦中考
• △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF
A
C
E
M
F
B
D
随堂练习
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果 EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 ∠ECD=600,那么∠EDC= 60 0.
C
AE
B D
A 2、如图所示，
在△ABC中，
AB=AC＝32， MN是AB的垂
M
直平分线，且
N
有BC=21，求
△BCN的周长。 B
C

已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称，
P与B关于OM对称。若AB长为15cm
求：PCD的周长.
解: P与A关于ON对称
N A
ON为PA的中垂线（
反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？
通过探究可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 l
线段的垂直平分线上。
∵PA=PB
P
∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
l
∴∠ACP=∠BCP= 90
13.1.2线段的垂直平分线的性质
A
A
M PP1 P2 P3
C
B
B
•已,MAN如 AA是知C上BB=左l :任B钉，的如C图在 P意,点，图1M一，一、N木⊥起分P点条2A，别、.BLL,量与PP垂3一木是直…量条于…点求P证1、:PPA2=、PBP.3……到Ａ与

人教版数学八年级上册课件：13.1.2线段的垂直平分线(2)

与1．一能条用线尺段规两作个已(端1知点)线用距段离尺的相垂等规直的平作点分，图线在．这的(难条点方线）段法的垂在直直平分线线上l上．求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示：
M
A
P
O
N
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的
点在两点连线的垂直平分线上.
作轴对称图形的对称轴
想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？
2．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．
例1 如图，已知点AAB、点垂B以直及平直线分l. 线与公路的交点便是.
B
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.
线段垂直平分线的有关作图
A
公共汽车站
问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．A
P B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
问题1：有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的.
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.

人教版八年级上册数学教案：13.1.2线段的垂直平分线的性质

小组合作学习
如下图．木条L与AB钉在一起，
L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L
上的点，•分别量一量点P1，P2，
P3，…到A与B的距离，你有什么
发现？
小组内个人展示先学成
果，相互交流，明确答案。

对疑难问题，小组内共同
讨论完成。

提出质疑，组长解答。

汇报交流
教师指导学生归纳总结，并适时点拨、
评价。

线段垂直平分线上的点与这
条线段两个端点的距离相等．即
AP1=BP1，AP2=BP2，…
与一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上．
各小组代表汇报小组合作学习成
果，并讨论各小组提出的疑难问题。

班级集体讨论给出各种解决方
案．师生共同解决疑难，记录要点。

巩固拓展练习：P62 1、2
小结：
本节课你有何收获？
学生独立完成练习，小组长
批改，小组内纠正。

个别学生总结收获，相互补
充,让全班学生更加明确本节课
的知识点。

作业布置
课后作业：习题13．1的第6题第9题
前置性作业设计： 1.到三角形的三个顶点距离相等的点是的交点.
2. 线段是轴对称图形，它有两条对称轴；分别是_________________.
3. 如图，已知△ABC 中，BC=4,AB 的垂直平分线交AC 于点D ，若AC=6,则△BCD 的周长=_____________
板书预设
13．1．2 轴对称（二）一、线段垂直平分线的定义
二、线段垂直平分线的性质
教导处（教研组）审阅意见。

人教版八年级上册数学课件第十三章轴对称线段的垂直平分线的性质第2课时作轴对称图形的对称轴

有几条对称轴？并把它们画出来．解：如图，4个图形对称轴的条数分别为：一条、两条、两条、四条
4．(4分)(抚州中考)如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
解：如图所示
5．(4 分)(教材 P65 习题 T6 变式)如图，在△ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于12 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN 分别交 BC，AC 于点 D，E，若△ABC 的周长为 23 cm，△ABD 的周长为 13 cm，则 AE 的长为__5__cm.
6．(9分)如图，A，B，C是三个村庄，现要修建一座变电站P，使变电站P到三个村庄A，B，C的距离都相等，请用尺规作图作出点P的位置(保留作图痕迹，不写作法).
解：依题意要使PA＝PB＝PC，则点P既在AB的垂直平分线上，又在 BC的垂直平分线上，故只需做出AB，BC的垂直平分线的交点即为所求的P点，作图略
人教版
第十三章轴对称
13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时作轴对称图形的对称轴
1．(8 分)下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程．请依据作法
填空并完成作图．
已知：线段 AB(如图①).
求作作法：：线如段图②AB，的(1垂)分直别平以分_线__．点__A__，_点__B____为圆心，大于__12__A__B__的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点；
7．(9分)(教材P66习题T12改)如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在∠MON内，到两个城镇A，B的距离相等，且到两条高速公路OM和ON的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．

八年级数学上册-13.1.2(2)线段的垂直平分线的性质教案

第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质（第2课时）【教材分析】教学目标知识技能探索作出轴对称图形的对称轴的方法，会画轴对称图形的对称轴，会画简单的轴对称图形。

过程方法经历探究轴对称图形的对称轴的画法的过程，体会利用操作、归纳获得知识的过程。

情感态度通过提问思考、归纳、探究激发学生学习的兴趣，开拓实践能力，培养创新精神。

重点会画轴对称图形的对称轴难点探索轴对称图形对称轴的作法．【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课情境引入有时我们感觉两个图形是成轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？学生思考，教师提示导入本节课的内容自主探究合作交流【复习】1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连的线.由此我们可以推出，轴对称图形的对称轴应是 .【探究】那么我们应如何作出轴对称图形的对称轴呢？【例1】如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？已知：点A和点B．求作：点A和点B的对称轴．作法：如图，连接AB1．分别以点A、B为圆心，以大于12AB师生回顾知识探究对称轴的做法引导学生分析：只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．提示：由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质知，只要作出到线段两端点距离相等的两点即可．学生分组讨论写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．学生尝试完成组内讨论交流自主探究合作交流的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；2．作直线CD．直线CD就是点A和点B的对称轴．总结：作轴对称图形的对称轴的方法：只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．【例2】如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.作法：1.找出五角星的一对对应点A和B，连接AB．2.作出线段AB的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴追问：你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？五角星的对称轴有什么特点？两生板演作法并说明原因教师出示问题学生分组讨论两生作图并板演作法师生共评价学生尝试完成：五角星的对称轴交于一点尝试应用1.画出下图中的各图的对称轴．2.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．教师出示问题，学生先自主，再合作，交流展示，师生共同评价1、分析：根据对称图形的性质可知：这几个图形的对称轴分别有2条、1条、3条．解：如下图所示．2、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

八年级上册数学13.1.2线段的垂直平分线的性质(第二课时)

求作：AB的垂线，使它经过点C.
D
C
作法: (1)以点C为圆心，任意长为半径作弧， A
交AB于点D和点E；
F
(2)分别以点D和点E为圆心，大于1DE
2
的长为半径作弧，两弧交于点F.
(3)作直线CF.
∴ 直线CF即为所求作的垂线.
E B
例1
（1）经过已知直线外一点作这条直线的垂线
变式练习
（2）经过已知直线上一点作这条直线的垂线
一样吗？
A
D
B
C
归纳：轴对称图形的对称轴可能是一条，也可能是两条，还可能
是三条、四条甚至是无数条.轴对称图形的对称轴的条数是由
图形本身的特点决定的,不一定是唯一的.
线段的垂直平分线的性质（第二课时）
课堂小结
用尺规作图作线段垂直平分线
作轴对称图形的对称轴
这是作对称轴的重要方法，也是作线段的中点和直线的垂线的方法.
2
点C了.同样的方法可以找到点D.
为了方便，我们使作点C和作点D时所取的半径相等，这样作一次弧就可以同时得到点C和点D了. 再由两点确定一直线可知:直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线了.
C
B
D
问题探究
问题2:如何作出线段AB的垂直平分线?
作法:
(1)分别以点A和点B为圆心，大于
1 2
AB
八年级—人教版—数学—第十三章
13.1.2线段的垂直平分线的性质（第二课时）
学习目标
1．能用尺规作出已知线段的垂直平分线； 2．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解
作图的依据； 3．能用尺规作出已知轴对称图形的对称轴； 4．能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题.

新人教版13.1.2线段的垂直平分线的性质(第2课时)

二、学习新知如图，已知线段AB，用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线. 例1
C
⑴分别以点A、B为圆心，以大
1 于 2 AB的长为半径作弧，两弧
相交于C、D两点；
A B 折叠、用刻度尺等 ⑵作直线 CD . 还可以折叠、
用刻度尺等. CD即为所求的直线
D
作图的依据是什么？你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗?
第十三章
轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时
我们已能用尺规完成：
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 （2）为什么要以大于 DE 的长为半径作弧？ 2 （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C D A
作线段的垂直平分线
例1 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
A.
A
B.
B
三、解决问题
例2 如图，△ABC和△AˊBˊCˊ是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．
三、解决问题上述提到的都是两个成轴对称的图形，如果是一个轴对称图形，你怎样作出它的对称轴?如图所示的正五角星有几条对称轴?
证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB（？）. 同理 PB=PC.
B M M’ P C
N N’
∴PA=PB=PC.
你能依据例1得到什么结论？结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。