3 不等式及其性质提高知识讲解

合集下载

不等式的基本性质教案

不等式的基本性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。

2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主学习不等式的性质。

二、教学内容：1. 不等式的概念及表达方式。

2. 不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。

3. 不等式性质在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及其应用。

2. 教学难点：不等式性质的推导和理解。

四、教学方法：1. 采用自主学习、合作探讨的教学方法，让学生在实践中掌握不等式的基本性质。

2. 利用多媒体课件，直观展示不等式的性质，提高学生的学习兴趣。

3. 结合生活实例，让学生感受不等式在实际问题中的应用。

五、教学过程：1. 导入新课：通过简单的例子，引导学生认识不等式，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生自主探究不等式的基本性质，教师巡回指导。

3. 课堂讲解：讲解不等式的概念、表达方式，详细阐述不等式的性质1、性质2、性质3。

4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学的不等式性质。

5. 应用拓展：结合实际问题，让学生运用不等式性质解决问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调不等式性质的重要性。

7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

8. 课后反思：教师对本节课的教学情况进行反思，为下一节课的教学做好准备。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对不等式基本性质的理解和掌握程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其应用能力和创新意识。

3. 收集学生对教学过程的意见和建议，以促进教学方法的改进和教学质量的提高。

七、教学反馈：1. 课后及时批改学生作业，了解学生对不等式基本性质的掌握情况。

2. 根据学生作业中出现的问题，进行有针对性的辅导和讲解，确保学生理解透彻。

3. 定期与学生交流，了解他们在学习不等式过程中的困惑和问题，及时给予解答和指导。

《不等式及其性质》知识清单

《不等式及其性质》知识清单一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。

例如：3 ＜ 5，x ＋ 2 ＞ 1，y 1 ≤ 0 等都是不等式。

不等式反映了两个量之间的大小关系或者范围。

二、不等式的分类1、一元一次不等式含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式，如 2x ＜ 6 。

2、一元二次不等式含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，例如 x²3x ＋ 2 ＞ 0 。

3、简单的分式不等式形如 f(x)／g(x) ＞ 0 或 f(x)／g(x) ＜ 0 （其中 f(x) 、g(x) 是整式且g(x) ≠ 0 ）的不等式。

4、绝对值不等式含有绝对值符号的不等式，比如｜x 1| ＜ 2 。

三、不等式的性质1、对称性如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。

例如：5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。

比如：若 7 ＞ 5 且 5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 。

3、加法性质如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

举例：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。

4、乘法性质如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＜ bc 。

例如：当 3 ＞ 1 且 2 ＞ 0 时，3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；当 3 ＞ 1 且－2 ＜ 0 时，3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。

5、同向可加性如果 a ＞ b 且 c ＞ d ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ d 。

比如：已知 5 ＞ 3 ，2 ＞ 1 ，则 5 ＋ 2 ＞ 3 ＋ 1 ，即 7 ＞ 4 。

不等式及其性质(提高)知识讲解

不等式及其性质（提高）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

专题不等式有关概念及性质(知识点精讲)(学生版)

专题03不等式有关概念及性质重难突破知识点一不等式及基本性质1、不等式一般地，用符号“<”、“>”、“ ”、“ ”、“≠”连接的式子叫做不等式．2、不等式基本性质基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一整式，不等号的方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>±；基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，0c >，那么ac bc >a b c c ⎛⎫> ⎪⎝⎭或；基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，0c <，那么ac bc <a b c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭或．补充性质：对称性：若a b >，则b a ＜；传递性：若a b >，b c >，则a c ＞；注意：①不等式的两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向一定要改变；②不等式的两边不能同乘零，否则就变为等式，没有意义．（2020春•邛崃市期中）下列式子：①30>；②450x +>；③3x <；④2x x +；⑤4x ≠-；⑥21x x +>+，其中不等式有()个A ．3B ．4C ．5D ．6典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知a b >，则下列结论错误的是()A ．44a b ->-B ．22a b -<-C ．33a b -<-D ．11a b -+<-+典例3（2021春•东坡区校级期末）下列不等式变形错误的是()A ．若a b >，则11a b-<-B ．若a b <，则22ax bx C ．若ac bc >，则a b>D ．若m n >，则2211m n x x >++典例4若关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x >，则a 的取值范围是．知识点二不等式的解及解集1、不等式的解能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．2、不等式的解集一般情况下，不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．注意：（1）在数轴上表示不等式的解集，大于向右画，小于向左画；有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈．（2）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是由满足这个不等式的未知数的所有的值组成的，解集中包含了每一个解.典例1（2019春•商河县期末）下列说法中，错误的是()A ．不等式5x <的整数解有无数多个B ．不等式5x >-的负整数解为有限个C ．不等式28x -<的解集是4x <-D ．40-是不等式28x <-的一个解（2019春•龙华区期末）下列x 的值中，能使不等式11x -<成立的是()A ．3-B ．2C ．3D ．5巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020春•揭阳期中）①30>；②41x y + ；③30x +=；④7y -；⑤ 2.53m ->．其中不等式有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019春•宝安区期末）下列各数中，能使不等式1202x -<成立的是()A ．6B ．5C ．4D ．23．（2021春•龙华区期中）已知x y >，则下列不等式成立的是()A ．33x y -D ．55x y +>+4．（2020春•龙岗区校级期末）若a b >，则下列不等式成立的是()A ．55a b -<-B ．22a b -<-C ．3322a b ++<D ．22a b >5．（2020春•市北区期末）设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是()A ．c b a <-C ．1x - D ．1x <-二、填空题（共5小题）7．如果a b >，0c <，则33ac bc >．．8．（2019春•槐荫区期中）x 的35与12的差不小于6，用不等式表示为．9．（2019春•晋州市期末）若不等式(3)1a x ->的解集为13x a <-，则a 的取值范围是．10．当12x 时，20ax +>，则a 的取值范围是．11．（2021春•青羊区校级期中）已知非负数x ，y 满足36x y +=，若2M x y =+，则M 的取值范围．三、解答题（共2小题）12．将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式：（1）175x -<-；（2）132x ->-．13．（2019春•济南期中）若23132a b a b +->+，试比较a ，b 的大小．。

高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质一元二次函数方程和不等式

＋c(a>0)的
图象
ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的
根
有两个不相等的实数根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根 x1 ＝x2＝－2ba
没有实数根
— 返回 —
— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
判别式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的
解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
— 2—
— 返回 —
基础知识夯实
01
(新教材) 高三总复习•数学
知识梳理 1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法：aa－－bb>＝00⇔⇔aa_____>＝_____bb，， a－b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈，Rb>，0b，>0⇔a___>___b (2)作商法ab＝1⇔a__＝____ba，b≠0，
— 返回 —
— 8—
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1，则 a>b.( × ) (2)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一元二次不等式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( √ )

不等式的基本性质数学教案

不等式的基本性质数学教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。

2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容：1. 不等式的定义及其表示方法。

2. 不等式的基本性质：(1) 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

(2) 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

(3) 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三、教学重点与难点：重点：不等式的基本性质及其应用。

难点：不等式性质的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现不等式的基本性质。

2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中运用不等式。

3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，引导学生理解不等式的表示方法。

2. 探究不等式的基本性质：(1) 性质1：通过举例让学生发现不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

(2) 性质2：通过举例让学生发现不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

(3) 性质3：通过举例让学生发现不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. 应用不等式的基本性质：通过案例分析，让学生在实际问题中运用不等式。

4. 课堂小结：总结不等式的基本性质，强调其在实际问题中的应用。

5. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 通过课堂问答，检查学生对不等式概念的理解程度。

2. 通过举例，检验学生对不等式基本性质的掌握情况。

3. 通过课后作业，评估学生对不等式应用的能力。

七、教学拓展：1. 讨论不等式在实际生活中的应用，如分配问题、比赛评分等。

2. 介绍不等式的进一步概念，如不等式组、不等式的解集等。

八、教学资源：1. PPT课件：展示不等式的基本性质及其应用。

2. 案例材料：提供实际问题，供学生分析运用不等式解决。

不等式知识点总结（精选5篇）

不等式知识点总结（精选5篇）不等式知识点总结篇11、不等式及其解集用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

2、不等式的性质不等式有以下性质：不等式的性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式的性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

3、实际问题与一元一次不等式解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式。

4、一元一次不等式组把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。

解不等式就是求它的解集。

对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。

解一元一次不等式组时。

一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

不等式知识点总结篇2不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

初一数学上册不等式及其基本性质(一)教案

远耀教育个性化辅导教案讲义任教科目：数学授课题目：不等式及其基本性质（一）年级：七年级任课教师：授课对象：合肥远耀个性化教育新站校区教研组长签字：教学主任签字：日期：【讨论提高】a>b a+c>b+c不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.2.观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律8＿＿128×4＿＿12×48÷4＿＿12÷4(-4)＿＿(-6)(-4)×2＿＿(-6)×2(-4)÷2＿＿(-6)÷28×(-4)＿＿12×(-4)8÷(-4)＿＿12÷(-4)(-4)×(-2)＿＿(-6)×(-2)(-4)÷(-2)＿＿(-6)÷(-2)想一想:你发现了什么规律?不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.应用：1.用不等式表示下列关系①亮亮的年龄（记为x）不到14岁。

_____________②七年级（1）班的男生数（记为y）不超过30人。

_____________耀教育教务处附：跟踪回访表主任签字：远耀教育教务处3．1．2 等式的性质教学目标：①了解等式的两条性质；②会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程；③培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力；④渗透“化归”的思想．教学重点：理解和应用等式的性质教学难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.教学过程：一、提出问题用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能用这种方法求出下列方程的解吗？（1） 3x-5＝22； (2) 0.28-0.13y=0.27y＋1.第(1)题要求学生给出解答，第(2)题较复杂，估算比较困难，此时教师提出：我们必须学习解一元一次方程的其他方法．二、探究新知①实验演示：教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律．然后按教科书第82页图2.1-2的方法演示实验．教师可以进行两次不同物体的实验．②归纳：请几名学生回答前面的问题．在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．比如“8=8”，我们在两边都加上6，就有“8＋6=8＋6”；两边都减去11，就有“8－11=8－11” . ③表示：问题1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？在学生回答的基础上，教师必须说明：等式两边加上的可以是同一个数，也可以是同一个式子．问题2：等式一般可以用a=b 来表示．等式的性质1怎样用式子的形式来表示？④观察教科书第71页图吗？在学生观察图2.1一3时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义．观察后再请一名学生用实验验证．然后让学生用两种语言表示等式的性质2.问题3如：用5元钱可以买一支钢笔，用2元钱可以买一本笔记本，那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本，15元钱就可以买3支钢笔．相当于： “5元一买1支钢笔的钱；2元一买1本笔记本的钱． 5元＋2元=买1支钢笔的钱＋买1本笔记本的钱． 3×5元=3×买1支钢笔的钱．” 三、应用举例方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解方程。

浙教版数学八年级上册《第3章认识不等式》说课稿

浙教版数学八年级上册《第3章认识不等式》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级上册第3章《认识不等式》是学生在学习了实数、代数式等基础知识后，进一步拓展和深化的内容。

这一章节的主要内容包括不等式的概念、不等式的性质、一元一次不等式及其解法等。

通过这一章节的学习，使学生能够掌握不等式的基本概念和性质，会解一元一次不等式，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、代数式等知识有了初步的了解。

但学生在学习不等式时，可能会对不等式的概念和性质产生困惑，特别是对不等式的解法，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握不等式的基本概念和性质，会解一元一次不等式。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生体验不等式的发现和形成过程，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

四. 说教学重难点1.教学重点：不等式的概念、不等式的性质、一元一次不等式的解法。

2.教学难点：不等式的性质的理解和应用，一元一次不等式的解法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、探究式教学法等，引导学生主动参与，积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识不等式，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：学生自主阅读教材，了解不等式的概念和性质。

3.合作交流：学生分组讨论，总结不等式的性质，并通过实例进行验证。

4.教师讲解：教师讲解不等式的解法，引导学生理解和解题思路。

5.练习巩固：学生自主完成课后练习，巩固所学知识。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。

七. 说板书设计板书设计如下：1.不等式的概念2.不等式的性质3.一元一次不等式的解法八. 说教学评价1.学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和表现，评价学生的参与度。

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

高考不等式专题-讲解

变式1：解不等式
解：
的解集是{x| -7<x 3}
变式3：解不等式
解：
注：如果知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。
（五）．解高次不等式（可分解的）
1.解高次不等式的步骤：
（1）因式分解
（2）未知数系数化正
（3）穿根（从右上角开始，奇穿偶回）
2.穿根法使用步骤：
①将不等式化为形式，并将各因式x的系数化“+”；
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.例题讲解：解不等式： .
解法1：化为两个不等式组来解：
∵ x∈φ或，
∴原不等式的解集是 .
解法2：化为二次不等式来解：
∵ ，∴原不等式的解集是
点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。
（答：）；
（2）已知，且则的取值范围是______
（答：）
（二）解一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式
1.1定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，步骤
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
2. 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

不等式及不等式的性质(教案)

不等式及不等式的性质（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学下册第八章第一节“不等式及其性质”。教学内容主要包括以下部分：
1.不等式的定义：了解不等式的概念，能够识别不等号（>、<、≥、≤）。
2.不等式的读法：掌握如何正确读出各种不等式。
3.不等式的性质：
（1）不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调不等式的性质1、2、3。对于难点部分，比如性质3，我会通过具体数字的示例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过比较不同物体的重量，让学生直观地感受到不等式的意义。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《不等式及不等式的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过比较两个数大小的情况？”（如：比较两个人的身高）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索不式的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解不等式的基本概念。不等式是表示两个数之间大小关系的式子。它是数学中非常重要的一个工具，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，小华的身高是1.6米，小丽的身高是1.55米，我们可以用不等式表示这个关系：小华的身高>小丽的身高。
5.培养学生的数据分析素养：在解决实际问题的过程中，培养学生对数据的敏感性，学会利用不等式分析数据，为决策提供依据。

不等式性质分析方法

不等式性质分析方法一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握不等式的性质，并能够运用这些性质分析具体问题。

2. 使学生理解不等式性质分析方法在解决数学问题中的应用，特别是在解决现实生活中的优化问题。

3. 培养学生通过数形结合的方式，直观理解和掌握不等式的本质。

技能目标：1. 培养学生运用不等式性质进行逻辑推理的能力，提高解题技巧。

2. 通过问题解决，训练学生将现实问题转化为数学模型的能力，特别是建立和解决不等式问题。

3. 引导学生通过小组讨论和合作，发展交流思想、解决问题的团队协作技能。

情感态度价值观目标：1. 激发学生对数学学科的兴趣，特别是对不等式和逻辑推理的兴趣。

2. 培养学生面对数学问题时的耐心和毅力，形成积极向上的学习态度。

3. 通过不等式的学习，引导学生体会数学在日常生活和社会发展中的重要性，培养学生的责任感和应用意识。

课程性质：本课程属于数学学科，以逻辑推理和问题解决为主要教学内容，强调理论与实践的结合。

学生特点：考虑到学生处于能够理解抽象概念并具有一定的逻辑推理能力的年级，课程设计将结合学生的认知发展水平，逐步引导他们深入探索不等式的性质和应用。

教学要求：要求学生在掌握基础知识的同时，通过案例分析和实际操作，将知识内化为解决实际问题的能力。

教师应提供具有挑战性的任务，鼓励学生思考和探索，促使他们在学习过程中达到课程目标，并将目标具体化为可观察、可评估的学习成果。

二、教学内容1. 不等式的基本性质：包括不等式的传递性、对称性和可加性。

- 课本章节：第三章第二节《不等式的基本性质》- 教学安排：利用2课时，通过实例讲解和证明，使学生理解并掌握不等式的基本性质。

2. 不等式的求解方法：一元一次不等式、一元二次不等式的求解方法及其应用。

- 课本章节：第三章第三节《一元一次不等式的解法》、第四章第四节《一元二次不等式的解法》- 教学安排：分配3课时，结合实际例题，讲解不等式的求解方法及其在实际问题中的应用。

不等式及其性质高一知识点

不等式及其性质高一知识点不等式是数学中一种常见的数值比较关系表示方法，它在中学数学中占有重要的地位。

掌握不等式的性质和解不等式的方法对于高一学生来说非常关键。

下面将介绍不等式的基本性质和几种常见的解不等式的方法。

一、不等式的基本性质1. 加减性质：一个不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的关系不变。

例如：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。

2. 倍数性质：如果不等式两边同乘（或同除）一个正数，不等式的关系不变；如果两边同乘（或同除）一个负数，不等式的关系发生改变，即需要转置不等号的方向。

例如：若a > b（a ≠ 0）, c > 0，则ac > bc；若a > b，c < 0，则ac < bc。

3. 乘方性质：如果将不等式两边同时乘以一个正数的相同幂次，不等式的关系不变；如果两边乘以一个负数的相同幂次，不等式的关系发生改变。

例如：若a > b > 0，则a² > b²；若a > b > 0，则a² < b²。

4. 变号性质：若不等式两边同时变号，不等式的关系不变。

例如：若a > b > 0，则-b > -a < 0。

二、解一元一次不等式解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相似，但是需要注意不等号的方向。

1. 加减法解不等式：将含有未知数的项移到一边，然后按照加减性质进行运算，得到最终的解。

例如：解不等式2x - 3 > 5，将3移到不等号的另一边得到2x > 8，然后除以2得到x > 4。

2. 乘除法解不等式：对于乘法解不等式，需要考虑乘数的正负性，确定是否需要转置不等号的方向；对于除法解不等式，需要考虑除数的正负性以及不等式中未知数的范围，确定是否需要转置不等号的方向。

例如：解不等式3x + 4 ≤ 10，首先将4移到另一边得到3x ≤ 6，然后除以3得到x ≤ 2。

不等式及其性质ppt课件

1+
0,求证：
3+
>
1
.
3
证明：因 > 0,所以3 + > 0,从而
1+m 1
>
3+m 3
3(1 + m)
> 3+m
又因为已知 > 0,所以结论成立.
m>0
跟踪训练.已知, , 都是正数， >
+
,求证：
+
>

.

证明：因 > 0,所以 + > 0, + > 0从而
的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
综合法
+ > ⟹ + + (−) > + (−) ⟹ > −
推论1：如果 + > ,那么 > −.（移向法则）
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到
结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法
的实数大.
a
b
思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何
来判断这种不等关系呢？
数轴上两点A，B的位置关系有下列三种：
点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧
两实数,的大小有下列三种关系：
= ， > ， <
− <0⇔ <
− =0⇔ =
− >0⇔ >
不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来
学习一下吧.
1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）

高考数学复习考点知识讲解与专题练习35---等式性质与不等式的性质

高考数学复习考点知识讲解与专题练习等式性质与不等式的性质考试要求梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 1（a ∈R ，b >0）⇔a >b （a ∈R ，b >0），a b ＝1⇔a ＝b （a ，b ≠0），a b <1（a ∈R ，b >0）⇔a 0）.2.等式的性质(1)对称性：若a ＝b ，则b ＝a .(2)传递性：若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .(3)可加性：若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c . (4)可乘性：若a ＝b ，则ac ＝bc ；若a ＝b ，c ＝d ，则ac ＝bd .3.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).[常用结论与微点提醒]1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分式的性质(1)若a>b>0，m>0，则ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔1a<1b.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)a＝b⇔ac＝bc.()(3)若ab>1，则a>b.()(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.()解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc2.(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒a＝b.(3)a＝－3，b＝－1，则ab>1，但a<b，故(3)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b c .答案 B3.(新教材必修第一册P43T11改编)比较两数的大小：7＋10________3＋14. 解析 (7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242，∴(7＋10)2＞(3＋14)2，∴7＋10＞3＋14.答案＞4.(2020·厦门期末)实数x ，y 满足x >y ，则下列不等式成立的是( )A.y x <1B.2－x <2－yC.lg(x －y )>0D.x 2>y 2解析由x >y ，得－x <－y ，所以2－x <2－y ，故选B.答案 B5.(2020·广东执信中学月考)若a ，b ∈R ，且a ＞|b |，则( )A.a ＜－bB.a ＞bC.a 2＜b 2D.1a ＞1b解析由a ＞|b |可知，当b ≥0时，a ＞b ；当b ＜0时，a ＞－b ，则a ＞0＞b ，综上可知，当a ＞|b |时，a ＞b 恒成立，故选B.答案 B6.(多选题)(2020·商丘九校联考)已知x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式不成立的是( )A.xy ＞yzB.xy ＞xzC.xz ＞yzD.x |y |＞|y |z解析因为x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x ＞0，z ＜0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x ＞z ，若y ＜0，则xy ＜0＜yz ，故A 不正确；对于B ，因为y ＞z ，x ＞0，所以xy ＞xz ，故B 正确；对于C ，因为x ＞y ，z ＜0，所以xz ＜yz ，故C 不正确；对于D ，因为x ＞z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 不正确.答案 ACD考点一比较两个数(式)的大小【例1】 (1)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________.(2)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A.a 0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1（1－q 3）a 1q 2（1－q ）－a 1（1－q 5）a 1q 4（1－q ）＝q 2（1－q 3）－（1－q 5）q 4（1－q ）＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5. (2)法一易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251024>1，所以b >c .即c 0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e.∴f (x )在(0，e)为增函数，在(e ，＋∞)为减函数.∴f (3)>f (4)>f (5)，即a >b >c .答案 (1)S 3a 3<S 5a 5(2)B规律方法 1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【训练1】(1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).(2)(2020·长沙检测)若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝a b·b a的大小关系是()A.p≥qB.p≤qC.p＞qD.p＜q解析(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b－ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.(2)由题意知p＞0，q＞0，则pq＝（ab）a＋b2a b·b a＝aa－b2·bb－a2＝⎝⎛⎭⎪⎫aba－b2，若a＞b＞0，则ab＞1，a－b＞0，则pq ＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，则pq＞1；若a＝b，则pq＝1.综上，p≥q，故选A.答案(1)＞(2)A考点二不等式的性质【例2】(1)(多选题)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A.a 12＜b 12B.1a－c＞1b－cC.a＋2b＋2＞ab D.ac2＜bc2(2)(组合选择题)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是() A.①④B.②③C.①③D.②④解析(1)因为y＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，所以a 12＜b 12.因为y＝1x－c在(0，＋∞)上是减函数，所以1a －c＞1b－c.因为a＋2b＋2－ab＝2（b－a）（b＋2）b＞0，所以a＋2b＋2＞ab.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立，故选ABC.(2)法一因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)ABC (2)C规律方法解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】(1)(2020·绵阳诊断改编)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是()A.ab＞acB.c(b－a)＜0C.cb4＜ab4D.ac(a－c)＞0(2)(2019·武汉联考)下列命题中正确的是()A.若a＞b，c∈R，则ac＞bcB.若a＞b，c＜d，则ac＞bdC.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dD.若ab＞0，a＞b，则1a＜1b解析(1)因为a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0＜a.对于A，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正确；对于B，因为b＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以c(b －a)＞0，故B不正确；对于C，因为c＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正确；对于D，因为ac＜0，a－c＞0，所以ac(a－c)＜0，故D不正确，故选A.(2)A中，当c＝0时不成立，c＜0时也不成立，故A不正确.B中，当c＜0＜d＜b＜a时，a c ＜0＜bd，故B不正确.C中，因为a＞b，(－c)＜(－d)，不满足不等式的同向相加性，故C不正确.D中，因为ab＞0，所以a，b同号，所以当a＞b时，1a＜1b，故D正确.故选D.答案(1)A(2)D考点三不等式及其性质的应用多维探究角度1不等式在实际问题中的应用【例3－1】(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.②当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z ＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件.所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案①6②12角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移【例3－2】(经典母题)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.解析因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.答案 (－4，2) (1，18)【迁移1】将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围. 解因为－1<x <3，－1<y <3，所以－3<－y <1，－4<x －y <4.① 又因为x <y ，所以x －y <0，② 由①②得－4<x －y <0，故x －y 的取值范围是(－4，0).【迁移2】将本例条件改为“已知－1<x －y <4，2<x ＋y <3”，求3x ＋2y 的取值范围. 解设3x ＋2y ＝λ(x －y )＋μ(x ＋y )，即3x ＋2y ＝(λ＋μ)x ＋(μ－λ)y ，于是⎩⎨⎧λ＋μ＝3，μ－λ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝52，∴3x ＋2y ＝12(x －y )＋52(x ＋y ). ∵－1<x －y <4，2<x ＋y <3， ∴－12<12(x －y )<2，5<52(x ＋y )<152， ∴92<12(x －y )＋52(x ＋y )<192. 故3x ＋2y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，192.规律方法1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表：设用甲、乙两种食物各x 有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________.(2)(2019·青岛测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________.解析 (1)x ，y 所满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24.答案 (1)⎩⎨⎧x ＋y ≤100，6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0(2)(4，24)A 级基础巩固一、选择题1.限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式为( ) A.v <40 km/h B.v >40 km/h C.v ≠40 km/h D.v ≤40 km/h解析由汽车的速度v 不超过40 km/h ，即小于等于40 km/h ，即v ≤40 km/h ，故选D. 答案 D2.(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b 成立的有( ) A.b ＞0＞a B.0＞a ＞b C.a ＞0＞b D.a ＞b ＞0解析运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b ，B 、D 正确.又正数大于负数，A 正确，C 错误，故选A ，B ，D. 答案 ABD3.若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析a－b>0⇒a>b⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒a－b>0.故选A. 答案 A4.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()A.a＋1b>b＋1a B.ba>b＋1a＋1C.a－1b>b－1a D.2a＋ba＋2b>ab解析取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋1x在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－1a>b－1b⇔a＋1b>b＋1a，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.答案 A5.已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A.M<NB.M>NC.M＝ND.不确定解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.答案 B6.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则()A.ln(a－b)>0B.3a<3bC.a3－b3>0D.|a|>|b|解析法一由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y ＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确.故选C.法二当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C. 答案 C7.(2020·山东齐鲁名校联考)已知0<a<1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M，N的大小关系是() A.M>N B.M<NC.M＝ND.不能确定解析∵0<a<1b，∴1＋a>0，1＋b>0，1－ab>0.∴M－N＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝2（1－ab）（1＋a）（1＋b）>0，∴M>N，故选A.答案 A8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A.c ≤3B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c >9解析由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9. 答案 C 二、填空题 9.15－2________16－5(填“>”“<”或“＝”). 解析分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5. 答案 <10.设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 解析设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 答案[5，10]11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则ca－db>0；②若ab>0，ca－db>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0.其中正确的命题是________(填序号). 解析∵ab>0，bc－ad>0，∴ca－db＝bc－adab>0，∴①正确；∵ab>0，又ca －db>0，即bc－adab>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∵bc－ad>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确. 答案①②③12.若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12.又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12. ∵12<b <1，∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1 ＝(2b －1)(b －1)<0. 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<bB 级能力提升13.(2020·长沙周南中学模拟)若a ＞1＞b ＞0，－1＜c ＜0，则下列不等式成立的是( ) A.2b ＜2－a B.log a b ＜log b (－c ) C.a 2＜b 2D.c 2＜log b a解析 A 中，函数y ＝2x 在R 上单调递增，∵a ＞b ＞0，∴b ＞0＞－a ，∴2b ＞2－a ，故A 错误.B 中，函数y ＝log a x (a ＞1)在(0，＋∞)上单调递增，∵0＜b ＜1，∴log a b ＜log a 1＝0.函数y ＝log b x (0＜b ＜1)在(0，＋∞)上单调递减，∵－1＜c ＜0，∴0＜－c ＜1，∴log b (－c )＞log b 1＝0.∴log a b ＜log b (－c )，故B 正确.C 中，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＞b ＞0，∴a 2＞b 2，故C 错误.D 中，∵－1＜c ＜0，∴0＜c 2＜1.又log b a ＜log b 1＝0，∴c 2＞log b a ，故D 错误.故选B. 答案 B14.(2019·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A.mn ≥4且p ＋q ≤4 B.m ＋n ≥4且pq ≤4 C.mn ≤4且p ＋q ≥4 D.m ＋n ≤4且pq ≤4 解析结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2，可得⎩⎨⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q a >ab ，则实数b 的取值范围是________.解析因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解.综上知实数b 的取值范围是(－∞，－1). 答案 (－∞，－1)16.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则ca 的取值范围是________. 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c ).又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca . 所以⎩⎪⎨⎪⎧2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12.即c a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12C 级创新猜想17.(多选题)若0＜a ＜1，b ＞c ＞1，则( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫b c a＞1 B.c －a b －a ＞c b C.c a －1＜b a －1D.log c a ＜log b a解析对于A，∵b＞c＞1，∴bc＞1.∵0＜a＜1，则⎝⎛⎭⎪⎫bca＞⎝⎛⎭⎪⎫bc＝1，故正确.对于B，若c－a b－a ＞cb，则bc－ab＞bc－ac，即a(c－b)＞0，这与0＜a＜1，b＞c＞1矛盾，故错误.对于C，∵0＜a＜1，∴a－1＜0.∵b＞c＞1，∴c a－1＞b a－1，故错误.对于D，∵0＜a＜1，b ＞c＞1，∴log c a＜log b a，故正确.故选AD.答案AD18.(开放题)给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________________(答案不唯一，写出一个即可).解析使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)，∵a>b>0，∴2b(a－b)>0，所以(a－b)2－(a－b)2>0，即a－b>a－b.答案a>b>0(答案不唯一)21 / 21。

不等式及其解集(3)

℃，则t≥24.故24≤t≤33.
随堂训练
8.用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足
不等式的数：
（1）x的一半不小于－1 (1) 0.5x≥－1.如 x=－1，1.
(2) y+4>0.5. 如y=0,1.
（2）y与4的和大于0.5
(3) a<0 . 如a=－3，－4.
（3）a是负数；
(4) b是非负数，就是b不是
解：x＜－4．
随堂训练
1. 用不等式表示下列数量关系：
（1）a是正数；
a > 0.
（2）x比-3小；
x <-3.
（3）两数m与n的差大于5.
m-n >5.
2.下列不是不等式5x－3<6的一个解的是( B )
A.1
B.2
C.－1
D.－2
随堂训练
3.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（ A ）
利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1)x＞-1 ；
0
方向向右
(2) x＜
1
2
.
表示
0
1
的点
2
1
方向向左
已知x的解集在数轴上表示如图,你能写出x的
解集吗?
-2
x＜-2
0
知识讲解
用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
1.大于向右画,小于向左画;
2. “>”,“<”画空心圆圈.
知识讲解
例4
直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来．
解：x＜2．
这个解集可以在数轴上表示为：
0
1
2
变式1 已知x的解集如图所示，你能写出x的解集吗?