5年级秋季第1讲-勾股定理(教师版)

第一讲 勾股定理
一、勾股定理的内容：
如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形中
两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．即在
ABC ∆中，如果222AC BC AB +=，那么ABC ∆是直角三角形．
三、勾股数：
满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、
5；5、12、13；7、24、25；8、15、17．
例题1
【提高】观察下列各组数，能够构成直角三角形三边的有哪些？并说明理由．
（1）3,4,5 （2）5,12,13 （3）6,10,15 （4）7,24,25
【分析】（1）（2）（4）
C
A
B c
b
a
【精英】一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A ．斜边长为25
B ．三角形周长为25
C ．斜边长为5
D ．三角形面积为20
【分析】4
例题2
【提高】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，
_______cm 2
.
例题3
【提高】在布置新年联欢会的会场时，小虎身高1.6米，他准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为1米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上，小虎应把梯子的底端放在距离墙最远______米处？ 【分析】依据题意，梯子靠在墙上的一端距地面2.4 1.60.8-=米，梯子长为1米，那么梯子底端放在距离墙最远0.6米的地方．
【精英】一架方梯长25米，斜靠在墙上，梯子低端离墙7米，（1）这个梯子顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）2
2
2
25724-=，所以24OA m =．
（2）'4AA =，'20OA =，'15OB =，所以'8BB =．
例题4
【提高】园丁住宅小区有一块草坪，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥，这块草坪的面积是（ ）．
D
C
B
A
【分析】连接AC ，根据勾股定理可知5AC =米．可知ACD 为直角三角形，所以63036ABC
ACD
S S
S
=+=+=平方米．
【精英】如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.
【分析】连接AC .在△ACD 中，应用勾股定理， AC =5.
在△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2. 所以， △ABC 为直角三角形. 这块地的面积=S △ABC −S △ACD =24m 2.
例题5
【提高】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米 、3分米、2分米．A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路是_________．
A
D
C
B
【分析】展开得到长方形，长方形的长为20分米，宽为15分米，AB为最短距离，为25分米．
A
【精英】一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是__________．
B
A
【分析】把立方体展开，B点就会有3个．
B3B2
B1 A
2 1130
AB=，2
2100
AB=，2
3130
AB=
，所以最短路线长为10．
例题6
【提高】【精英】科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点．则B点与A点的距离是（）米．【分析】为5米．
4
B
B
A
例题7
【提高】
【精英】下图是由五个相邻的正方形组成的一条长方形．要把它剪拼成一个正方形，并且要求剪的块数越少越好，该怎么剪拼？请你试试看，并把剪拼的方法画在下面．
【分析】
例题8
【提高】【精英】下图由边长为3cm 和4cm 的两个正方形组成，请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成
3块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？
【分析】大正方形的边长是5cm ．
练习1
已知一个直角三角形的两边长分别为3或4，则第三边长的平方是______． 【分析】25或7
练习2
【提高】如图所示，以直角三角形ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为123,,S S S ，且124,8S S ==，3S =？
S 3
S 1S 2
C
B
A 【分析】34812S =+=
练习3
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草．
【分析】少走了752-=米
练习4
如图在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC △的面积是______．
A
B
D C
【分析】(95)12284
S=+⨯÷=
ABC
练习5
如图，某会展中心在会展期间准备将高5米，长13米，宽2米的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
13
5
【分析】地毯的面积是17234
⨯=元．
⨯=平方米，需要1834612
练习6
长方形的宽和长分别为1cm和5cm，将它剪成5块，拼成一个正方形．
【分析】
练习7
下图两个完全一样的图形都是5个小正方形组成的，请把它们分成四块，拼成一个大正方形，在原图上画出划分方法，并在空白处画出所拼的大正方形．
练习8
将下图分成三块，再拼成一个正方形，并求该正方形的面积，请画图表示分割及拼剪方法．。