2019届高考数学文科(人教新课标版)一轮复习练习：第4章三角函数与解三角形章末总结 Word版含解析

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【新课标】2019届高考数学大一轮复习试题：第四章_三角函数题组23_含解析

题组层级快练(二十三)1．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A. 3．函数y ＝2sin(π6－2x)(x ∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y ＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．4．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.5．(2016·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b.6．(2016·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.7．(2014·天津)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx ＋π6)，令f(x)＝1，得sin (ωx ＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0) B ．[－3，0)C ．(0，32] D ．(0，3]答案 C解析由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32. 10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx)·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A.11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.5π4 答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.12．(2015·东北四校模拟)已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 D解析 ∵f(π8)＝－2，∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2.即sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π，∴φ＝π4.∴f(x)＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.13．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D14．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________．答案－π<α≤015．将函数y ＝sin (ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________．答案 12解析注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2xsinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } T ＝π(2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )．故f(x)的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．18．(2015·重庆理)已知函数f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案 (1)T ＝π 2－32(2)增区间[π6，5π12]，减区间[5π12，2π3]解析 (1)f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x ＝cosxsinx －32(1＋cos2x)＝12sin2x －32cos2x －32＝sin(2x －π3)－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈[π6，2π3]时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单调递减．1．将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2(x －π4)＝－cos2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，而满足条件的只有B.2．(2016·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.3．(2013·浙江理)已知函数f(x)＝Aco s(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 f(x)是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )； φ＝π2时，f(x)＝Acos (ωx ＋π2)＝－Asin ωx 为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.4．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析由题意知，f(x)在x ＝π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f(π2)>f(π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．5．若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos (ωx ＋φ)在[a ，b]上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g(x)＝Mcos(wx ＋φ)＝Msin(wx ＋φ＋π2)＝Msin[w(x ＋π2w)＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b －a 2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.6．(2015·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z答案 D解析由题图知，函数f(x)的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πx ＋π4)，所以由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.7．(2013·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.8．(2015·天津文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案 π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.9．(2013·安徽理)已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．10．(2015·安徽文)已知函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sinx 在[π4，5π4]上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.。

2019届高考文科数学一轮复习讲义：第4章三角函数与解三角形全套打包可编辑

第四章三角函数解三角形§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角⎩⎪⎨⎪⎧正角：按照逆时针方向旋转而成的角.负角：按照顺时针方向旋转而成的角.零角：射线没有旋转. (2)象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.3．任意角的三角函数的定义α为任意角，α的终边上任意一点P (异于原点)的坐标(x ，y )，它与原点的距离OP ＝r ＝x 2＋y 2 (r >0)，则sin α＝y r ；cos α＝x r ；tan α＝yx ；cot α＝x y ；sec α＝r x ；csc α＝ry.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号：(2)三角函数线：正弦线如图，角α的正弦线为MP →. 余弦线如图，角α的余弦线为OM →. 正切线如图，角α的正切线为AT →.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ )(3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案－5π4二3．角α的终边经过点Q ⎝⎛⎭⎫－22，22，则sin α＝，cos α＝ . 答案22 －224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案π3题组三易错自纠5．(2018·秦皇岛模拟)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z ) 答案 C解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.7．(2018·攀枝花质检)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝ .答案－45解析 cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一角及其表示1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案 B解析由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B. 2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ<α2<π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角．3．(2017·福州模拟)与－2 015°终边相同的最小正角是．答案145°解析与－2 015°角终边相同的角的集合为{α|α＝－2 015°＋k·360°，k∈Z}，当k＝6时，α＝－2 015°＋2 160°＝145°.思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk(k∈N＋)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制典例(1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()A．2 B．1 C.12D．3答案 A解析设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，∴扇形面积S＝12lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度．(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是．答案 2解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为2r，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练 (1)(2017·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是．答案2sin 1解析设圆的半径为R ，则R ·sin 1＝1，∴R ＝1sin 1， ∴这个圆心角所对弧长为R ×2＝2sin 1. (2)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是．答案 S 1＝S 2解析设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， ∴S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，∴S 1＝S 2恒成立．题型三三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用典例 (1)已知点P 在角4π3的终边上，且|OP |＝4，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－23) B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C ．(－23，－2) D.⎝⎛⎭⎫－32，－12 答案 A解析点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫|OP |·cos 4π3，|OP |·sin 4π3，即(－2，－23)，故选A. (2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知，θ2为第二象限角．命题点2 三角函数线的应用典例函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．答案 ⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析要使原函数有意义，必须有⎩⎨⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6 (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练 (1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]答案 A解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. (2)(2017·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 答案 C解析如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为．(2)(2017·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为．思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， CB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2，设点P (x P ，y P )，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．(2)因为3－4sin 2x ＞0，所以sin 2x ＜34，所以－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，所以x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限． 2．(2017·石家庄模拟)已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3答案 C解析由已知得tan θ＝－33，θ在第四象限且θ∈[0,2π)，∴θ＝11π6. 3．(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3 C.163 D ．±3答案 B 解析 sin θ＝m 16＋m2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．(2018·成都模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 A解析由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足 x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析设扇形的半径为R ，则12×4×R 2＝2，∴R ＝1，弧长l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2R ＝6.6．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155B.153C．－155D．－153答案 D解析∵xx2＋5＝24x且α在第二象限，∴x＝－3，∴tan α＝5－3＝－153.7．(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0.8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．9．(2017·鄂州模拟)已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y)，且cos θ＝－12，则y＝.答案 3解析由已知得θ在第二象限，∴y>0，∴cos θ＝－1y2＋1＝－12，∴y＝ 3.10．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于．答案 π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11．函数y ＝ sin x －32的定义域为．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .12．满足cos α≤－12的角α的集合为．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z解析作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .13．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M 1P 1，M 2P 2和正切线AT 1，AT 2，观察知当sin α>sin β时，tan α>tan β.14．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第四象限，则在[0,2π]内α的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫π2，34π∪⎝⎛⎭⎫74π，2π解析由⎩⎨⎧sin α＋cos α>0，tan α<0，得－1<tan α<0或tan α<－1. 又0≤α≤2π，∴π2<α<34π或74π<α<2π.15．(2017·烟台模拟)若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ . 答案 2解析由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，∴n ＝－3.故m －n ＝2.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于B 点，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解 (1)根据题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，±35，∴tan α＝±34.(2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝⎛⎭⎫12，32或B ⎝⎛⎭⎫12，－32，当B ⎝⎛⎭⎫12，32时，tan ∠AOB ＝3，∠AOB ＝π3；当B ⎝⎛⎭⎫12，－32时，tan ∠AOB ＝－3，∠AOB ＝－π3.∴与角α终边相同的角β的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝π3＋2k π或β＝－π3＋2k π，k ∈Z .(3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3. §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcosα＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z )． 2．诱导公式知识拓展1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案－12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255， ∴tan α＝sin αcos α＝－12. 3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．答案 3解析原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α 解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 题组三易错自纠 5．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( ) A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A 解析 ∵tan α＝33，π<α<3π2， ∴sin α＝－12，cos α＝－32，∴sin α－cos α＝－12－⎝⎛⎭⎫－32＝32－12.6．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 7．(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －18，x >2 000，则f (f (2 018))＝ .答案－1解析 ∵f (f (2 018))＝f (2 018－18)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2π3＝－1.题型一同角三角函数关系式的应用1．(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( ) A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．(2017·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)等于( )A.2125 B.2521 C.45 D.54答案 A解析 sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α ＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝⎛⎭⎫－342－⎝⎛⎭⎫－34⎝⎛⎭⎫－342＋1＝2125.3．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1答案 A解析由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.题型二诱导公式的应用典例 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6B.5π3C.11π6D.2π3答案 B 解析 ∵sin5π6＝12，cos 5π6＝－32，该点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，∴α＝5π3＋2k π(k ∈Z )．∴当k ＝0时，α有最小正值5π3. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是．答案 0解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝－a ， sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算．跟踪训练 (1)(2017·南昌模拟)化简： sin (α＋π)cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αtan (－α)cos 3(－α－2π)＝ .答案－1 解析原式＝(－sin α)·(－cos α)·cos α－tan α·cos 3α＝－1.(2)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为．答案－34解析原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用典例 (1)(2017·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010. (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值．解若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425， ∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练 (1)(2017·三明模拟)若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ等于( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 D解析由已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，∴tan θ＋1tan θ－1＝12，故tan θ＝－3.(2)(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3 答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} (2)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ . 思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论．解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.所以A 的值构成的集合是{2，－2}． (2)∵sin α＝255＞0， ∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，原式＝1sin αcos α＝52；②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.答案 (1)C (2)52或－521．已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )A ．±12 B.12 C.32 D ．±32答案 D解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，cos α＝±1－sin 2α＝±32.2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35答案 B解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝25－1＝－35.3．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α等于( ) A ．－55B.55C.255D ．－255答案 A解析 ∵tan α＝12>0，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α<0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15，∴sin α＝－55. 4．若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析因为 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.5．(2017·广州二测)cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ ＝13. 6．(2017·孝感模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2 答案 B 解析原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋2tan α＋1tan 2α－1＝9＋6＋19－1＝2.7．若sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于( ) A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析由sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25.8．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1 答案 B解析由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2 ＝－3.9．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ . 答案2211解析因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求得sin A ＝2211. 10．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ . 答案－74解析因为α为钝角，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74. 11．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝ . 答案－32解析 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150° ＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 12．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝ . 答案－23解析由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α＝53， sin(π－α)＝sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝±23，∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴sin α＝－23.13．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1±5D ．－1－ 5答案 B解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.14．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋ sin α 1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.15．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13.则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 16．(2018·武汉模拟)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ 即(sin θ＋cos θ)2＝1＋2×m2，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34，知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.§4.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则：(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限上是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是．答案 π3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．y ＝tan 2x 的定义域是．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 题组三易错自纠5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4.6．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ) 解析因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π，k ∈Z ，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是．(用“>”连接) 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .3．函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，13π6的值域是．答案 (－2,1]解析当x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，13π6时，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，13π6的值域是(－2,1]．4．(2018届山东邹平双语学校月考)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是．答案 1解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，当t ＝32时，y max ＝1，即f (x )的最大值是1.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．题型二三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调性典例 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B解析由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. (2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数典例已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k πk ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k πk ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练 (2017·济南模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析由已知得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1 三角函数的周期性典例 (1)(2017·湘西自治州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2， ∴f (x )＝sin ()2x －2π＝sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. (2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为．答案 2或3解析由题意得，1<πk <2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 三角函数的奇偶性典例 (2017·银川模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为．答案5π6解析由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称， ∴f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝±3，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π6.命题点3 三角函数图象的对称性典例 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析由y ＝f (x )的最小正周期为π，可排除C ；其图象关于直线x ＝π3对称，根据选项，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝2或－2，可排除A ，D.故选B.(2)(2016·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为．答案 9解析因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调的条件．由此得ω的最大值为9.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 跟踪训练 (1)(2017·大连模拟)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0答案 B解析由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2.(2)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是．答案 3解析若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则平移的大小最小为T 2，所以T 2≤π3，即T max ＝2π3，所以当T ＝2π3时，ωmin ＝2πT max ＝2π2π3＝3.三角函数的图象与性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减(2)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为．(3)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为．解析 (1)A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．故选D. (2)由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (3)记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)π1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x答案 A解析 y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，周期为π，且是奇函数．2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 答案 B解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.故选B. 3．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝π2时函数取得最大值，排除B ，故选D. 4．(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1 D ．2，－2 答案 D解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课件(打包7套)文新人教A版

关闭思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知
6π
��
π 2π 20π 34π * 角 α 的象限 , 如何求 k α , ( k ∈ N )所在的象限 ? 第一或第二象限或 (1) �� = 3 + ��π,��∈Z (2) 7 , 21 , 21 (3) �� y 轴的非负半轴
定义
各象限符号
一二三四
-7知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
三角函数
正弦
余弦
正切
三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 有向线段 AT 为余弦线为正切线
-8知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)小于90°的角是锐角. ( ) (2)若sin α>0,则α是第一、二象限的角. ( ) (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( (4)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1. ( )
关闭
由题意知 ,角 α 的终边在第二象限 ,在其上任取一点 P(x,y),则 y=-x,由三角函数的定义得 tan α= = �� -1
�� -��
=-1.
解析
关闭
答案
-12知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ 的终边一定落在第象限.
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2019年高考数学文科一轮分层演练卷第4章【三角函数与解三角形】第3讲含解析

2019年高考数学文科一轮分层演练卷第4章【三角函数与解三角形】第3讲[学生用书P225(单独成册)]一、选择题1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为()A ．33B ．3C ．－33D ．－3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是()A ．3B ．1＋2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C.原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝()A ．118 B.1718C ．89D.29解析：选B.由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos （π2－2α）2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知cos α－π6＋sin α＝435，则sin α＋7π6的值是()A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin α＋π6＝435，sin α＋π6＝45，所以sin α＋7π6＝－sin α＋π6＝－45.5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为()A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C.因为cos[π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x＋π3)的值为±14，故选C.6.3cos 10°－1sin 170°＝()A ．4B ．2C ．－2D ．－4解析：选D.3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D.二、填空题7．已知cos θ＝－513，θ∈π，3π2，则sin θ－π6的值为________．解析：由cos θ＝－513，θ∈π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin θ－π6＝sin θcos π6－cos θsinπ6＝－1213×32－－513×12＝5－12326.答案：5－123268．已知cos x －π6＝－33，则cos x ＋cos x －π3＝________．解析：cos x ＋cos x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos x －π6＝3×－33＝－1.答案：－19.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案：310．设α为锐角，若cos α＋π6＝45，则sin 2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角，cos α＋π6＝45，所以sin α＋π6＝35，sin 2α＋π6＝2425，cos 2α＋π6＝725，所以sin 2α＋π12＝sin 2α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250.答案：17250三、解答题11．已知函数f (x )＝sin x ＋π12，x ∈R .(1)求f －π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈0，π2，求f 2θ－π3的值．解：(1)f －π4＝sin －π4＋π12＝sin －π6＝－12.(2)f 2θ－π3＝sin 2θ－π3＋π12＝sin 2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈0，π2，所以sin θ＝35.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f 2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×2425－725＝17250.12．已知α∈π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.。

2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第4章三角函数与解三角形第2讲

【对点通关】 3 1．(必修 4 P19 例 6 改编)已知 cos α＝，α 是第四象限角，则 5 tan α＝( 3 A． 4 3 C．－ 4 ) 4 B． 3 4 D．－ 3
3 解析：选 D.因为 cos α＝，α 是第四象限角， 5 4 2 所以 sin α＝－ 1－cos α＝－， 5 4 － 5 sin α 4 所以 tan α＝＝＝－ . cos α 3 3 5
3 解析：选 B.由于 sin α＝，且 α 是第二象限角． 5 4 2 所以 cos α＝－ 1－sin α＝－ . 5 3 5 sin α 3 所以 tan α＝＝＝－ . cos α 4 4 － 5
(必修 4 P28 练习 A. 3 3 C. 3
解析：选
23 T6(5)改编)tan－ π的值为( 3
【答案】 (1)D (2)A (3)B
同角三角函数关系式及变形公式的应用 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化， sin α 利用＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． cos α (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α， sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝ 1± 2sin αcos α，可以知一求二．
第四章
三角函数与解三角形
第2讲
同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
2 2 sin α ＋ cos α＝1 ． (1)平方关系：_______________
sin α cos α (2)商数关系：tan α＝__________ ．
2．六组诱导公式组数角正弦余弦一 α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α 二 π＋α 三－α －sin α 四 π－α sin α －cos α 五 π －α 2 六 π ＋α 2 cos α

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的

当t=1时,ymax=1;当t=- 2 时,ymin=- - 2 .
∴函数的值域为 2,1 . 1 2
1 2
x . 1-2 (2018北京海淀期末)已知函数f(x)=cos 2x· tan 4

(1)求函数f(x)的定义域; (2)求函数f(x)的值域.
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + ,k∈Z.故选D.
2 6

k 3
3.(2016北京东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是
( A ) A.x=
2

B.x=
8

C.x=-
8

D.x=-
4 k 令2x=kπ(k∈Z),得x= (k∈Z), 2 k 2

3 4
所以,函数f(x)的定义域为 x | x k

=-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1. 因为x≠kπ+ π,k∈Z, 所以2x≠2kπ+ π,k∈Z, 所以sin 2x≠-1,
3 2 3 4
所以函数f(x)的值域为(-2,0].

3 2
3 2

所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为 ≤x≤ ,所以 ≤x- ≤ .
2

所以当x- = ,即x= 时,
3 2

3 2

5 6
6
3
7 6
f(x)取得最大值,最大值是2; 当x- = ,即x= 时, f(x)取得最小值,最小值是-1.
3

7 6

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结含解析

❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函数的基本关系式与诱导公式和与差的三角函数公式简单的三角恒等变换三角函数的图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三角函数模型的简单应用正弦定理和余弦定理解三角形应用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数的周期三角函数值域三角函数图象正余弦定理与面积公式的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ．即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝＝2sin 20°答案：－4 8．必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－＜ x －＜2k π＋，k ∈Z ，得4k π－＜x ＜4k π＋ π. －，－， .故④正确．令 k ＝0 得，－＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x －＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移－(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝－ 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx －－ 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝处取得最值，因此 2ω· －＝k π＋，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个单位，得到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝－ 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝，因为 α 为锐角，所以－＜α－＜，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝，所以＝＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将函数 f (x ) 的图象向左平移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝，＝，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－，所以 sin ∠BAC ＝，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。

高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念练习(含解析)-

专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.【微点提醒】1.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)锐角的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为()A.－12B.12C.－32D.32【答案】 A【解析】由题意得m <0且8m(8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°X 围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.【答案】 {－675°，－315°}【解析】所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ).解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.【真题体验】4.(2019·某某模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 D【解析】由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.【答案】 3【解析】设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，所以α＝ 3.6.(2019·某某模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________.【答案】－1【解析】如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－x x＝－1.【考点聚焦】考点一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【规律方法】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z )的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的X 围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.【答案】 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 【解析】 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 考点二弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 【答案】见解析【解析】由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). 【迁移探究1】若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】见解析【解析】l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 【迁移探究2】若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10).所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【规律方法】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】 (一题多解)(2019·某某质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】 B【解析】法一如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3. 所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米). 法二由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 考点三三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.【规律方法】 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2019·某某一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 【解析】 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的X 围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .【反思与感悟】1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错防X 】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 【答案】 C【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确.3.(2019·某某区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27 B.127C.9 D.19【答案】 B【解析】 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( )A.(2cos θ，2sin θ)B.(－2cos θ，2sin θ)C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)【答案】 C【解析】由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ).5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 B【解析】由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角.6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝() A.－45B.－35C.35D.45【答案】 B【解析】由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255 B.－55C.55D.255【答案】 A【解析】由三角函数定义，cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】 D【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 二、填空题9.(2019·某某徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________. 【答案】 3【解析】由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 10.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 【答案】 π3【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11.(2019·某某调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.【答案】－43【解析】因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (－2，3]【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1 【答案】 B 【解析】由题意可知tan α＝b －a 2－1＝b －a ，又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（b －a ）21＋（b －a ）2＝23， ∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，则|b －a |＝55. 15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边X 围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).16.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2的终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. 【答案】见解析【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限. (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 综上，tan α2sin α2cos α2取正号. 【新高考创新预测】17.(多填题)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (单位：cm)表示成t (单位：s)的函数，则d ＝________(其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm.【答案】 10sin πt 6010 【解析】根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60(t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.。

2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第4章三角函数与解三角形第7讲

解析：选 B. 如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠DAC＝ 60°，∠CBM＝15°，
所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 60 BM 在△AMB 中，由正弦定理，得＝， sin 45° sin 30° 解得 BM＝30 2，故选 B.
(必修 5 P19A 组 T1 改编)若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A 在点 B 的( A．北偏东 15° C．北偏东 10° B．北偏西 15° D．北偏西 10° )
所以 BD＝BC＝ 6(海里)， 6 则有 10t＝ 6，t＝ ≈0.245(小时)＝14.7(分钟)． 10 故缉私船沿北偏东 60°方向，最快约需 14.7 分钟才能截获走私船．
求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解； (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
B 点的方位角为 α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
A．11.4 km C．6.5 km
B．6.6 km D．5.6 km
1 50 000 解析：选 B.因为 AB＝1 000×1 000× ＝ (m)， 60 3 50 000 AB 所以 BC＝ ·sin 30°＝ (m)． sin 45° 3 2 50 000 所以航线离山顶 h＝ ×sin 75°≈11.4(km)． 3 2 所以山高为 18－11.4＝6.6第7讲
正、余弦定理的应用举例
1．应用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等．

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲含解析.docx

2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题1．下列函数中，最小正周期为 π且图象关于原点对称的函数是 ()A ． y ＝ cos 2x ＋ πB ．y ＝ sin 2x ＋ π22C ．y ＝ sin 2x ＋ cos 2xD ． y ＝ sin x ＋ cos xπ2π解析：选 A. y ＝cos 2x ＋ 2 ＝－ sin 2x ，最小正周期 T ＝ 2 ＝ π，且为奇函数，其图象关于π原点对称，故 A 正确； y ＝sin 2x ＋2 ＝ cos 2 x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故 B 不正确； C 、 D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C 、 D 不正确．2．函数 f(x)＝ 3sin 2x － π在区间 0， π上的值域为 ( )6 2A ．－3，3B. － 3， 3222 C ．－3 3，3 3D. －3 3， 3222解析：选 B. 当 x ∈ 0， π ππ 5π ，sin 2x － π 1，故 3sin 2x －π2 时，2x － ∈ －， 6 ∈ －，166 6 62 ∈ － 3， 3 ，即此时函数 f(x) 的值域是－3， 3 .22ππ3．若函数 y ＝cos ωx＋ 6 (ω∈ N * ) 图象的一个对称中心是 6， 0 ，则 ω的最小值为 () A ． 1 B ．2 C ．4D ． 8πωπ π ω＝ 6k ＋ 2(k ∈ Z )，又 ω∈ N * ，所以 ωmin ＝ 2，解析：选 B. 由题意知＋＝ k π＋ (k ∈ Z )?662故选 B.π4．函数 y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|在区间，3π内的图象是 ()2 2解析：选 D. y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|π2tan x ， x ∈， π，2＝结合选项图形知， D 正确．3π2sin x ， x ∈ π， 2 .5． (2018 ·州第三次调研惠 )函数 y ＝cos 2x ＋ 2sin x 的最大值为 ( )12019 高考数学文一轮复习含答案3A ． 4B ．13C ．2D ． 2解析：选 C. y ＝ cos 2x ＋ 2sin x ＝－ 2sin 2x ＋ 2sin x ＋ 1.2213法一：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为 y ＝－ 2t ＋ 2t ＋ 1＝－ 2 t －＋，所以当 t ＝1时，函数取得最大值322.法二：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为y ＝－ 2t 2＋ 2t ＋ 1，y ′＝－ 4t ＋ 2.当 1≤ t ≤ 12 时， y ′≤ 0；当－ 1≤ t ≤1时， y ′≥ 0.2当 t ＝ 1时 y 取得最小值， y min ＝－ 2×1 2 ＋ 2×1＋ 1＝ 3，选 C.2 2 2 26． (2018 ·州综合测试广 (一 )) 已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)(ω＞ 0， 0＜φ＜ π)是π奇函数，直线 y ＝ 2与函数 f( x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，则 ()πA ． f(x)在 0， 4 上单调递减π 3πB ．f(x)在 8， 8上单调递减πC ．f(x)在 0， 4 上单调递增π 3πD ． f(x)在，上单调递增88解析：选 D.f(x)＝ sin( ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋φ)＝ 2sin(ωx＋ φ＋ π 0＜ φ＜ π且 f(x)为奇4 )，因为函数，所以 φ＝ 3πωx ，又直线 y ＝2与函数 f(x)的图象的两个相邻交点4 ，即 f(x)＝－ 2sinππ2π π的横坐标之差的绝对值为 2，所以函数 f(x)的最小正周期为 2，由ω＝2，可得 ω＝ 4，故 f( x) ＝－ 2sin 4 x ，由 π 3π k π π k π 3π π2k π＋ ≤ 4x ≤ 2k π＋，k ∈ Z ，即＋ ≤ x ≤ ＋，k ∈ Z ，令 k ＝0，得8 2 2 2 8 28 ≤x ≤ 3π π 3π8，，此时 f(x)在 8 8 上单调递增，故选 D.二、填空题π7．已知函数f(x)＝－ 2sin(2x ＋ φ)(|φ|＜ π)，若 f 8 ＝－ 2 ，则 f(x)的单调递减区间是________．π解析：当 x ＝ 8时， f(x)有最小值－ 2，π π所以 2× ＋ φ＝－＋ 2k π，8222019 高考数学文一轮复习含答案即 φ＝－ 34π＋ 2k π，k ∈ Z ，又因为 |φ|＜ π，所以 φ＝－ 34π.所以 f(x)＝－ 2sin(2x －34π)．ππ由－＋ 2k π≤ 2x －3π≤ ＋ 2k π，242π5 π＋ k π，k ∈ Z ，得＋ k π≤x ≤8 8π5所以函数 f(x)的单调递减区间为＋ k π，8π＋ k π，k ∈ Z .8答案： π 5＋ k π， π＋ k π， k ∈ Z8 8π8．若函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω＞ 0 且 |φ|＜ 2)在区间π等于 ________．1 减少到－ 1，则 f 4π πω＋φ＝＋ 2k π解析：由题意知6 2， k ∈ Z ，2π3πω＋ φ＝＋ 2k π32π解之得 ω＝ 2， φ＝6＋ 2k π，ππ又因为 |φ|＜，所以 φ＝ .2 6所以 f(x)＝ sin 2x ＋ π6 .所以 f π π π π3＝sin ＋＝ cos ＝42×4 662.π 2π6， 3 上是单调减函数，且函数值从答案：32π9．已知函数 f(x) ＝3sin ωx－6 (ω>0)和 g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若 x ∈ 0， π，则 f(x)的取值范围是 ________． 2解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故 ω＝ 2，所π以 f(x)＝ 3sin 2x － 6 ，π ππ 5π当 x ∈ 0， 2 时，－ 6≤ 2x －6≤ 6 ，所以－ 1≤ sin π≤ 1，故 f(x)∈ － 3， 3 .22x － 6232019 高考数学文一轮复习含答案答案：－ 3， 3210． (2018 ·家庄质量检测石 (一 ))若函数 f(x)＝ 3sin(2 x ＋θ)＋ cos(2x ＋ θ)(0＜ θ＜ π)的图象π π π关于2， 0 对称，则函数 f( x)在－4， 6 上的最小值是 ________．解析： f(x)＝ 3sin(2x ＋ θ)＋ cos(2x ＋θ)＝ 2sin 2x ＋ θ＋π，则由题意，知 fπ＝ 2sin( π＋ θ 62 π 5π π π上是减函数，所以＋ )＝ 0，又 0＜ θ＜ π，所以 θ＝，所以 f( x)＝－ 2sin 2x ， f(x)在－，4 6 6 4π π π π函数 f( x)在－4， 6 上的最小值为 f 6 ＝－ 2sin 3＝－ 3.答案：－ 3三、解答题π11． (2017 ·考北京卷高 )已知函数 f( x)＝3cos(2x － 3)－ 2sin xcos x.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求证：当 x ∈ π π1 .－，时， f(x)≥－4 4 2 解： (1)f(x)＝332 cos 2x ＋ 2sin 2x － sin 2x1 3cos 2x＝ sin 2x ＋22π＝ sin(2x ＋ 3)．2π 所以 f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2ππ(2)证明：因为－ 4≤ x ≤4，π π 5π所以－ ≤ 2x ＋ ≤6.63ππ 1 .所以 sin(2x ＋ )≥ sin(－)＝－236所以当 x ∈ π π1 .[－， ]时， f(x)≥ －4 4 212．(2016 ·高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ 2sin ωxcos ω x ＋ cos 2ωx( ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求 ω的值；(2)求 f(x)的单调递增区间．解： (1)因为 f(x)＝ 2sin ωxcos ωx ＋ cos 2ωxπ＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ 2sin(2 ωx＋ 4)，2ππ所以 f(x)的最小正周期T ＝2ω＝ ω.42019 高考数学文一轮复习含答案π依题意，ω＝π，解得ω＝1.π(2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin(2 x＋4)．函数 y＝sin x 的单调递增区间为ππ[2kπ－， 2kπ＋ ](k∈Z )．22πππ由 2kπ－≤ 2x＋≤ 2kπ＋ (k∈Z )，242得 kπ－3ππ≤ x≤ kπ＋(k∈Z )．88所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3ππ， kπ＋](k∈Z )．885。

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第2讲含解析.docx

2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题πα＝()1，且 ≤ α≤ π，则 cos1． (2018 石·家庄质量检测 (二 ))若 sin( π－ α)＝ 322 22 2A ． 3B ．－ 3C ．－ 4 9 2D ． 49 2解析：选 B. 因为 sin( π－ α)＝ sin α＝1π22 3，且 ≤ α≤ π，所以 cos α＝－，故选 B.232．已知 tan(α－ π)＝ 3，且 α∈ π 3π，则 sin α＋ π)，＝ (4 2 2244 A. 5B ．－ 533 C.5D ．－ 533解析：选 B. 由 tan(α－ π)＝ ? tan α＝ .44π 3π，又因为 α∈ 2 2 ，所以 α为第三象限的角， sin α＋ π42 ＝ cos α＝－ .54，θ∈ π，则 sin θ－cos θ的值为 ( )3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 30，422A. 3B ．－ 311 C.3D ．－ 3解析：选 B.因为 (sin θ＋ cos θ)2＝ sin 2θ＋ cos 2θ＋ 2sin θ·cos θ＝ 1＋2sin θcos θ＝169，所以722 222sin θcos θ＝ 9，则 (sin θ－ cos θ) ＝ sin θ＋ cos θ－ 2sin θcos θ＝ 1－ 2sin θcos θ＝ 9.又因为π 2 θ∈ 0， 4 ，所以 sin θ＜ cos θ，即 sin θ－cos θ＜ 0，所以 sin θ－ cos θ＝－ 3.4．已知 f(x)＝ asin( πx ＋ α)＋bcos( πx ＋ β)＋ 4，若 f(2 018)＝5，则 f(2 019)的值是 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5解析：选 B. 因为 f(2 018) ＝ 5，所以 asin(2 018 π＋ α)＋ bcos(2 018 π＋ β)＋ 4＝ 5，即 asin α＋ bcos β＝1.所以 f(2 019) ＝ asin(2 019 π＋ α)＋ bcos(2 019 π＋β)＋ 4＝－ asin α－ bcos β＋ 4＝－ 1＋ 4＝13.θ π11－ sin θ)5．当 θ为第二象限角，且 sin＋＝时，θ的值是 ( 2 2 3θcos － sin2 2 A ． 1 B ．－ 1C ．± 1D ． 0θ πθ 1，解析：选 B. 因为 sin＋＝1，所以 cos ＝22 32 3θ θ θ所以在第一象限，且 cos＜sin，222θ θ所以1－ sin θ －（ cos 2－sin 2）θ ＝ θθ ＝－ 1.θcos －sin2cos － sin2226．若 sin θcos θ＝ 1 ，则 tan θ＋ cos θ)2 的值是 (sin θA ．－ 2B ．21C ．± 2D ． 2解析：选 B.tan θ＋ cos θ sin θ cos θ1＝ 2.sin ＝＋＝θ cos θ sin θ cos θsin θ二、填空题π7．已知函数 f(x) ＝2cos 3x ， x ≤ 2 000，则 f(f(2 018)) ＝________．x － 18，x ＞ 2 000，解析： f(2 018) ＝2 018－ 18＝ 2 000， f(f(2 018))＝ f(2 000)＝ 2cos2 00023 π＝ 2cos 3π＝－ 1.答案：－ 18．已知 sin(3 π－ α)＝－ 2sin( π＋ α)，则 sin αcos α＝ ________．2π 解析：因为 sin(3 π－ α)＝sin( π－ α)＝－ 2sin(2＋ α)，所以 sin α＝－ 2cos α，所以 tan α＝－ 2，sin αcos α ＝ tan α ＝－ 22则 sin αcos α＝ 2 2 2 （－2）2 ＋＝－ .sin α＋ cos α tan α＋ 1 15答案：－25sin[ （ k ＋ 1） π＋ α] ·cos[（ k ＋ 1） π－ α]9．若 f(α)＝(k ∈ Z )，则 f(2 018) ＝ ________．sin （ k π－ α） ·cos （ k π＋ α）解析： ① 当 k 为偶数时，设 k ＝ 2n(n ∈ Z )，原式＝ sin （ 2n π＋ π＋ α） ·cos （ 2n π＋ π－ α）sin （－ α）· cos α＝sin （ π＋ α） ·cos （ π－ α）＝－ 1；－ sin α· cos α2②当 k 为奇数时，设 k ＝ 2n ＋ 1(n ∈ Z )，原式＝ sin[ （ 2n ＋ 2） π＋ α] ·cos[（2n ＋ 2） π－α]sin[ （ 2n ＋ 1） π－ α] ·cos[（2n ＋ 1） π＋α]sin α· cos （－ α）＝sin （ π－ α） ·cos （ π＋ α）＝－ 1.综上所述，当 k ∈ Z 时， f(α)＝－ 1，故 f(2 018) ＝－ 1. 答案：－ 110．已知 sin α＋ 2cos α＝ 3，则 tan α＝ ________．解析：因为 sin α＋ 2cos α＝ 3，所以 (sin α＋ 2cos α)2＝ 3，所以 sin 2α＋ 22sin αcos α＋ 2cos 2α＝ 3，2α＋ 2 2sin αcos α＋ 2cos 2α所以 sin22＝ 3，sin α＋ cos α所以 tan 2α＋ 2 2 2tan α＋ 2＝ 3，tan α＋ 1所以 2tan 2α－ 2 2tan α＋1＝ 0，所以 tan α＝ 22.2答案： 2三、解答题5πsin＋ α211．已知 sin α＝ 2 5 5，求 tan(α＋ π)＋ 5π的值．cos － α2解：因为 sin α＝2 55＞ 0，所以 α为第一或第二象限角．5πsin ＋ αcos α2tan(α＋ π)＋ 5π＝ tan α＋ sin αcos － α2＝ sin α cos α 1.＋＝cos α sin α sin αcos α(1)当 α是第一象限角时，cos α＝ 25，1－ sin α＝ 5原式＝ 1 5＝ .sin αcos α 2(2)当 α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－ 5，5 原式＝1 ＝－ 5 .sin αcos α 2112．已知 x ∈ (－ π， 0)， sin x ＋ cos x ＝ 5.(1)求 sin x －cos x 的值；(2)求 sin 2x ＋ 2sin 2x 的值． 1－ tan x3解： (1)由 sin x ＋ cos x ＝15，平方得 sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋cos2x ＝ 251，24整理得 2sin xcos x ＝－.所以 (sin x － cos x)2＝ 1－ 2sin xcos x ＝4925.由 x ∈ (－ π， 0)，知 sin x<0，又 sin x ＋ cos x>0，所以 cos x>0， sin x － cos x<0 ，7故 sin x － cos x ＝－ 5.(2)sin 2x ＋2sin 2x ＝ 2sin x （ cos x ＋ sin x ） 1－ tan xsin x1－cos x＝2sin xcos x （ cos x ＋ sin x ）cos x － sin x－24× 125 5 24＝7 ＝－ 175.54。

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形第1讲(含答案解析)

一、选择题1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B.因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0cos α＜0，所以α为第二象限角．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 等于( ) A ． 3B ．± 3C ．－ 2D ．－ 3解析：选D.依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，故选D. 3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2.故选C.4．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( ) A ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·2π＋34π，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·π＋34π，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·π－π4，k ∈Z }解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2n π＋34π，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z }∪{α|α＝2n π－π4，n ∈Z }＝{α|α＝k π－π4，k ∈Z }．5．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为( )A ．(π4，π2)∪(π，5π4)B ．(π4，π)C ．(π4，π)∪(5π4，3π2)D ．(π4，5π4)解析：选D.如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)．6．(2018·安徽省江淮十校协作体联考)已知锐角α，且5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos 130°)，则α的值为( )A ．8°B ．44°C ．26°D ．40°解析：选B.因为sin(－50°)<0，cos 130°＝－cos 50°<0，所以点P (sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．又因为0°<α<90°，所以0°<5α<450°.又因为点P 的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)，所以5α＝220°，所以α＝44°，故选B. 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，且点A在第二象限，则cos α＝________．解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．与角2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°. 答案：217°9．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 的坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3) 10．(2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13.法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．答案：13三、解答题11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：因为角θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，所以tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ，所以x 2＝1，所以x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.。

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角函数第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式实用

[全练题点]
1.[考点一] 若α∈－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝(
)
A．－45
B.45
3 C.5

D．－35
解析：因为α∈－π2，π2，sin α＝－35，所以α∈－π2，0，cos
α＝45，则cos(－α)＝45.
答案：B
2.[考点二](2018·河北衡水中学月考)已知tan θ＝2，则sin2θ＋
[例2] (2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin
α·(sin α－cos α)＝
()
21
25
A.25
B.21
C.45
D.54
[解析] sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α＝
sin2α－sin α·cos sin2α＋cos2α
α
＝
tan2α－tan tan2α＋1
表达式中需要利用 “1”转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[基本能力]
1．判断题 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)若α∈R ，则tan α＝csoins αα恒成立．
(× ) (×)
2．填空题 (1)已知α∈π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.
[例1] (1)已知cos α＝k，k∈R ，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝
A．－ 1－k2
B. 1－k2
()
C．± 1－k2
D．－k
(2)(2018·厦门质检)若α∈π2，π，sin (π－α)＝35，则tan α＝
()
A．－43
4 B.3
C．－34

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形第5讲(含答案解析)

一、选择题 1．(2018·福州综合质量检测)要得到函数f (x )＝cos 2x 的图象，只需将函数g (x )＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移12个周期B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：选C.因为f (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，即向左平移14个周期，可得函数f (x )＝cos 2x 的图象，故选C.2．(2018·安徽两校阶段性测试)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π2B ．x ＝π8C ．x ＝π9D ．x ＝π解析：选 A.将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的图象．该函数图象的对称轴为x 2－π4＝k π(k ∈Z )，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．结合选项，只有A 符合，故选A.3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k ，1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k ，1＋8k )，k ∈Z解析：选D.由题图，知T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.把(1，1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3，8k ＋1)(k ∈Z )，故选D.4．(2018·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则∑n ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫n π6＝()A ．－1B ．32C ．12D ．1解析：选B.由已知易得ω＝2，由五点法作图可知2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，f ⎝⎛⎭⎫2π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫3π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫4π6＝－1，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫6π6＝12，故∑n ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫n π6＝336×(1＋12－12－1－12＋12)＋f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫2π6＝32.故选B.5．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：选A.将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|＜π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin(2x －π3)，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A. 6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A ．5π12B.π3 C ．π4D.π6解析：选D.由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 二、填空题7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．解析：由题图可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 38．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则ω的最小值是________．解析：依题意得，函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3(ω＞0)的图象过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，于是有f ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin[ω(2π3＋π3)]＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1.答案：19．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________．解析：依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin (π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π610．(2018·南宁模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝sin π4＝22. 答案：22三、解答题11．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z, 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合．解：(1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当x ＝π6时，f (x )取最大值，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1可得 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.1．(2017·高考山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.2．(2018·青岛调研) 某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道(单位：米)曲线段是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，x ∈[－4，0]的图象且最高点为B (－1，4)，在y 轴右侧的观光道曲线段是以CO 为直径的半圆弧．(1)试确定A ，ω和φ的值；(2)现要在y 轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO ，点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO ＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CDO 的造价预算，并求该造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)解：(1)因为最高点为B (－1，4)，所以A ＝4.由图可得T4＝－1－(－4)＝3，所以T ＝12，因为T ＝2πω＝12，所以ω＝π6，所以4＝4sin ⎣⎡⎦⎤π6×（－1）＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝1，又0<φ<π，所以φ＝2π3.(2)由(1)知y ＝4sin(π6x ＋2π3)，x ∈[－4，0]，得点C (0，23)，即CO ＝23，取CO 的中点F ，连接DF ，DO ，因为弧CO ︵为半圆弧，所以∠DFO ＝2θ，∠CDO ＝90°，即DO ︵＝2θ×3＝23θ，则圆弧段DO ︵的造价预算为23θ万元，在Rt △CDO 中，CD ＝23cos θ，则直线段CD 的造价预算为43cos θ万元，所以步行道CDO 的造价预算g (θ)＝43cos θ＋23θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 由g ′(θ)＝43(－sin θ)＋23＝23(1－2sin θ)，得当θ＝π6时，g ′(θ)＝0，当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，g ′(θ)>0，即g (θ)在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递增；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，g ′(θ)<0，即g (θ)在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减．所以g (θ)在θ＝π6时取得极大值也是最大值为6＋33π，即修建步行道CDO 的造价预算的最大值为⎝⎛⎭⎫6＋33π万元．。

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析：∵cosπ6－x＝cos
π 6cos
x12sin x＝12(sin x＋ 3cos x)＝12×65＝35.
答案：35
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1．已知 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，则 cosπ6－α＝(
2
·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×322×＋31＋ 2×312－＋312＋ 22＝0.
答案：0
考点三角的变换
[典例引领]
已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
)
A．－2 3 2
B．2
2 3
C．－13
D．13
解析：由 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，
展开化简可得 sinα＋π3＝－13，
所以 cosπ6－α＝cos π2－α＋π3 ＝sinα＋π3＝－13.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝12 f(x)，则 tan 2x 的
3
C. 3
D．2 2－1
解析：
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csions
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°－40°－sin 40°＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°

2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形第4讲(含答案解析)

一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：选A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C 、D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C 、D 不正确．2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：选B.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 3．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B.由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2，故选B.4．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )解析：选D.y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2.结合选项图形知，D 正确．5．(2018·惠州第三次调研)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( )A ．34B ．1C ．32D ．2解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.法一：设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，所以当t ＝12时，函数取得最大值32.法二：设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1，y ′＝－4t ＋2.当12≤t ≤1时，y ′≤0；当－1≤t≤12时，y ′≥0. 当t ＝12时y 取得最小值，y min ＝－2×⎝⎛⎭⎫122＋2×12＋1＝32，选C.6．(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增解析：选D.f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增，故选D. 二、填空题7．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ＝π8时，f (x )有最小值－2，所以2×π8＋φ＝－π2＋2k π，即φ＝－34π＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π，所以φ＝－34π.所以f (x )＝－2sin(2x －34π)．由－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤58π＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤π8＋k π，58π＋k π，k ∈Z 8．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于________．解析：由题意知⎩⎨⎧π6ω＋φ＝π2＋2k π2π3ω＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得ω＝2，φ＝π6＋2k π，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π6＝cos π6＝32. 答案：329．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 10．(2018·石家庄质量检测(一))若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是________．解析：f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin (π＋θ＋π6)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－ 3.答案：－ 3三、解答题11．(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3cos(2x－π3)－2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f(x)≥－12.解：(1)f(x)＝32cos 2x＋32sin 2x－sin 2x＝12sin 2x＋32cos 2x＝sin(2x＋π3)．所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6.所以sin(2x＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.12．(2016·高考北京卷)已知函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．解：(1)因为f(x)＝2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin(2ωx＋π4)，所以f(x)的最小正周期T＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋π4)．函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)．由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[kπ－3π8，kπ＋π8](k∈Z)．。

2019版高考数学文科课标版一轮复习题组训练：第4章第

第二讲三角函数的图象与性质题组1三角函数的图象及其变换1.[2017全国卷Ⅰ,9,5分]已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+2π3),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C22.[2016全国卷Ⅰ,6,5分][文]将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin(2x+π4) B.y=2sin(2x+π3)C.y=2sin(2x-π4) D.y=2sin(2x-π3)3.[2016北京,7,5分]将函数y=sin(2x-π3)图象上的点P(π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=12,s的最小值为π6B.t=32,s的最小值为π6C.t=12,s的最小值为π3D.t=32,s的最小值为π34.[2014重庆,13,5分][文]将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=.5.[2016山东,17,12分][文]设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(π6)的值.题组2三角函数的性质及其应用6.[2017全国卷Ⅱ,3,5分][文]函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.π27.[2017全国卷Ⅲ,6,5分]设函数f(x)=cos(x+π3),则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在(π2,π)单调递减8.[2017天津,7,5分][文]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f(5π8)=2,f(11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π249.[2016全国卷Ⅱ,7,5分]若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)10.[2015新课标全国Ⅰ,8,5分][文]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图4-2-1所示,则f(x)的单调递减区间为()图4-2-1A.(kπ-14,kπ+34),k∈ZB.(2kπ-14,2kπ+34),k∈ZC.(k-14,k+34),k∈ZD.(2k-14,2k+34),k∈Z11.[2014新课标全国Ⅰ,7,5分][文]在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期为π的所有函数为() A.①②③B.①③④C.②④ D.①③12.[2013天津,6,5分][文]函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0,π2]上的最小值为()A.-1B.-22C.22D.013.[2015天津,14,5分][文]已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.14.[2015湖南,15,5分][文]已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.15.[2017浙江,18,14分]已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin x cos x(x∈R).(Ⅰ)求f(2π3)的值;(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.16.[2016北京,16,13分][文]已知函数f(x)=2sin ωx cos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.A组基础题1.[2018合肥市高三调研,8]已知函数f(x)=sin(ωx+π6)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则ω的最小正值为()A.1B.2C.3D.42.[2018郑州一中高三入学测试,4]将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象如图4-2-3所示,则函数f(x)的解析式是()图4-2-3A.f(x)=sin(2x-π6)(x∈R)B.f(x)=sin(2x+π6)(x∈R)C.f(x)=sin(2x-π3)(x∈R)D.f(x)=sin(2x+π3)(x∈R)3.[2018辽宁省五校联考,7]已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A(a,0),B(b,0)是其图象上的两点,若|a-b|的最小值是1,则f(16)=()A.2B.-2C.32D.-324.[2017长春市高三第四次质量监测,6]将函数f(x)=cos 2x-sin 2x的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F(x)的图象,则下列说法中正确的是()A.F(x)是奇函数,最小值是-2B.F(x)是偶函数,最小值是-2C.F(x)是奇函数,最小值是-2D.F(x)是偶函数,最小值是-25.[2017武汉市高三五月模拟,11]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2),f(0)=-f(π2),若将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得函数的图象关于原点对称,则φ=()A.π12B.π6C.π4D.π36.[2017成都市一诊,8]将函数f(x)=sin 2x+x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有点向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)图象的一条对称轴方程是()A.x=-π6B.x=π6C.x=5π24D.x=π3B组提升题7.[2018广东七校联考,7]已知函数y=sin(2x+φ)在x=π6处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A.关于点(π6,0)对称B.关于点(π3,0)对称C.关于直线x=π6对称D.关于直线x=π3对称8.[2018陕西省部分学校高三第一学期摸底检测,8]函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图4-2-3所示,若方程f(x)=a在[-π4,π2]上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()图4-2-3A.[22,2) B.[-22,2)C.[-62,2) D.[62,2)9.[2018湖北省部分重点中学高三起点考试,12]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点B(0,-3),且在(π18,π3)上单调,同时f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,当x1,x2∈(-4π3,-2π3),且x1≠x2时,f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=()A.-3B.-1C.1D.310.[2017四川省重点中学高三第二次学习情况评估,9]设函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列,且x=π6是f(x)图象的一条对称轴,则下列区间中是函数f(x)的单调递减区间的是()A.[-π3,0] B.[-4π3,-5π6]C.[2π3,7π6] D.[-5π6,-π3]11.[2017沈阳市高三三模,7]已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的图象在y轴左侧且离y轴最近的最高点为(-π6,3)、最低点为(-2π3,m),则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=3sin(π6-2x) B.f(x)=3sin(2x-π6)C.f(x)=3sin(π3-2x) D.f(x)=3sin(2x-π3)12.[2017安徽省合肥市高三二检,17]已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在[0,π2]上的单调性.答案1.D易知C1:y=cos x=sin(x+π2),把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(2x+π2)的图象,再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度,可得函数y=sin[2(x+π12)+π2]=sin(2x+2π3)的图象,即曲线C2,故选D.2.D函数y=2sin(2x+π6)的周期为π,所以将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位长度后,得到的函数图象对应的解析式为y=2sin[2(x-π4)+π6]=2sin(2x-π3),故选D.3.A因为点P(π4,t)在函数y=sin(2x-π3)的图象上,所以t=sin(2×π4-π3)=sinπ6=12.又P'(π4-s,12)在函数y=sin 2x的图象上,所以12=sin 2(π4-s),则2(π4-s)=2kπ+π6或2(π4-s)=2kπ+5π6,k∈Z,整理得s=-kπ+π6或s=-kπ-π6,k∈Z.又s>0,故s的最小值为π6,故选A.4.22把函数y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再把函数y=sin(x+π6)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数f(x)=sin(12x+π6)的图象,所以f(π6)=sin(12×π6+π6)=sin π4=22.5.(Ⅰ)f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2 =23sin2x-(1-2sin x cos x)=3(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-3cos 2x+3-1=2sin(2x-π3)+3-1,由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x-π3)+3-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-π3)+-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sin x+3-1的图象,即g(x)=2sin x+3-1.所以g(π6)=2sinπ6+-1=.6.C依题意知,函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T=2π2=π,故选C.7.D根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,所以A正确;当x=8π3时,x+π3=3π,所以cos(x+π3)=-1,所以B正确; f(x+π)=cos(x+π+π3)=cos(x+4π3),当x=π6时,x+4π3=3π2,所以f(x+π)=0,所以C正确;函数f(x)=cos(x+π3)在(π2,23π)上单调递减,在(23π,π)上单调递增,所以D不正确.选D.8.A由f(5π8)=2,f(11π8)=0,f(x)的最小正周期T>2π,可得11π8-5π8=3π4=T4,∴T=3π,∴ω=2π3π=23.再由f(5π8)=2及|φ|<π,得φ=π12.故选A.9.B把函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,得到图象的函数表达式为y=2sin 2(x+π12),令2(x+π12)=kπ+π2(k∈Z),解得x=kπ2+π6(k∈Z),所以所求对称轴的方程为x=kπ2+π6(k∈Z),故选B.10.D由题图知,函数f(x)的最小正周期T=(54-14)×2=2,所以ω=π,又(14,0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点,所以cos(π4+φ)=0,即π4+φ=π2,解得φ=π4,所以f(x)=cos(πx+π4),所以由2kπ<πx+π4<2kπ+π,k∈Z,得2k-14<x<2k+34,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为(2k-14,2k+34),k∈Z,故选D.11.A①y=cos|2x|,最小正周期为π;②y=|cos x|,最小正周期为π;③y=cos(2x+π6),最小正周期为π;④y=tan(2x-π4),最小正周期为π2,所以最小正周期为π的所有函数为①②③,故选A.12.B由已知x∈[0,π2],得2x-π4∈[-π4,3π4],所以sin(2x-π4)∈[-22,1],故函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0,π2]上的最小值为-22,故选B.13.π2f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+π4),因为函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)=2sin(ω2+π4)=±2,所以ω2+π4=π2+kπ,k∈Z,即ω2=π4+kπ,k∈Z.又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+π4≤π2,即ω2≤π4,所以取k=0,得ω2=π4,即ω=π2.14.π2由题意知,两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离,设相邻的两交点坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),易知|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|=(-=2,|x2-x1|为函数y=2sin ωx-2cos ωx=2sin(ωx-π4)的两个相邻零点之间的距离,恰好为该函数最小正周期的一半,所以(2)2=(2π2ω)2+(22,解得ω=π2.15.(Ⅰ)由sin2π3=32,cos2π3=-12,得f(2π3)=(32)2-(-12)2-2×32×(-12)=2.(Ⅱ)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin x cos x,得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin(2x+π6),所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质,得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).16.(Ⅰ)因为f(x)=2sin ωx cos ωx+cos 2ωx =sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+π4),所以f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω.依题意,得πω=π,解得ω=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x+π4).易知函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z),则2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),即kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z).A组基础题1.B将函数f(x)=sin(ωx+π6)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)=sin(ωx-ωπ3+π6)的图象,因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以-ωπ3+π6=kπ+π2(k∈Z),即ω=-3k-1.易知当k=-1时,ω取最小正值2,故选B.2.A依题意,设g(x)=sin(ωx+θ),其中ω>0,|θ|<π2,则有T=2πω=4(5π12-π6)=π,所以ω=2,由g(π6)=sin(π3+θ)=1,得θ=π6,因此g(x)=sin(2x+π6),故f(x)=g(x-π6)=sin[2(x-π6)+π6]=sin(2x-π6),故选A.3.B因为函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,所以f(0)=0,即cos φ=0(0<φ<π),所以φ=π2,所以f(x)=-4sin ωx,又A(a,0),B(b,0)是其图象上的两点,且|a-b|的最小值是1,所以函数f(x)的最小正周期为2,所以ω=π,所以f(x)=-4sin πx,所以f(16)=-4sinπ6=-2,故选B.4.C f(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+π4),则F(x)=cos[2(x+π8)+π4]=cos(2x+π2)=-x,所以F(x)为奇函数,最小值为-,故选C.5.B因为f(0)=-f(π2),则sin φ=-sin(π2ω+φ),所以ω=4k+2,k∈Z,将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得函数y=sin(ωx+ωπ12+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象关于原点对称,则ωπ12+φ=kπ,k∈Z,由ω>0,0<φ<π2得ω=10,φ=π6.故选B.6.D将函数f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin(2x+π3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(x+π3)的图象,再将图象上所有点向右平移π6个单位长度,得g(x)=2sin[(x-π6)+π3]=2sin(x+π6)的图象.令x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=π3+kπ(k∈Z),当k=0时,x=π3,所以g(x)图象的一条对称轴方程是x=π3,故选D.B组提升题7.A由题意可得π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z,所以y=cos(2x+φ)=cos(2x+π6+2kπ)=cos(2x+π6),k∈Z.当x=π6时,cos(2×π6+π6)=cosπ2=0,所以函数y=cos(2x+φ)的图象关于点(π6,0)对称,不关于直线x=π6对称,故A正确,C错误;当x=π3时,cos(2×π3+π6)=cos56π=-32,所以函数y=cos(2x+φ)的图象不关于点(π3,0)对称,也不关于直线x=π3对称,故B,D错误.选A.8.B由题中函数f(x)的部分图象可得,函数f(x)的最小正周期为π,最小值为-2,所以A=2,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),将点(7π12,-2)代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin(7π6+φ)=-1,因为|φ|≤π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sin(2x+π3).若f(x)=a在[-π4,π2]上有两个不相等的实数根,即在[-π4,π2]上,函数f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,结合图象(图略),得-22≤a<2,故选B.9.A∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象经过点B(0,-3),∴f(0)=2sin φ=-3⇒sin φ=-32,又|φ|<π2,∴φ=-π3.∵f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,且函数f(x)在(π18,π3)上单调,∴函数f(x)的最小正周期T=π,∴ω=2πT=2,∴函数f(x)=2sin(2x-π3).令2x-π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+5π12(k∈Z),∴函数f(x)=2sin(2x-π3)的对称轴为直线x=5π12+kπ2(k∈Z),∴当-4π3<x<-2π3时,函数f(x)的对称轴为直线x=-3π2+5π12=-13π12,∴当x1,x2分别在直线x=-13π12两侧时,存在x1≠x2,使f(x1)=f(x2),此时x1+x2=2×(-13π12)=-13π6,∴f(x1+x2)=f(-13π6)=2sin[2×(-13π6)-π3]=2sin(-14π3)=2sin(-2π3)=-2×32=-3,故选A.10.D由题意得A=3,T=π,∴ω=2.∴f(x)=3sin(2x+φ),又f(π6)=3或f(π6)=-3, ∴2×π6+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=π6+kπ,k∈Z,又|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=3sin(2x+π6).令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,故当k=-1时,函数f(x)的单调递减区间为[-5π6,-π3],故选D.11.A解法一设函数f(x)的最小正周期为T,根据相邻最高点与最低点的横坐标的关系,有T 2=-π6-(-2π3)=π2,∴T=π,∴|ω|=2ππ=2.又由三角函数图象最高点的纵坐标为3,得A=3,∴f(x)=3sin(2x+φ)或f(x)=3sin(-2x+φ).将点(-π6,3)代入函数f(x)=3sin(2x+φ)中,得3sin[2×(-π6)+φ]=3,解得φ-π3=2kπ+π2(k∈Z),即φ=2kπ+56π(k∈Z),而|φ|<π2,∴φ无解;将点(-π6,3)代入函数f(x)=3sin(-2x+φ)中,得3sin[-2×(-π6)+φ]=3,解得φ+π3=2kπ+π2(k∈Z),即φ=2kπ+π6(k∈Z),又|φ|<π2,∴φ=π6,即f(x)=3sin(-2x+π6).故选A.解法二将x=-π6代入函数f(x)=3sin(-2x+π6)中,得f(x)=3,即点(-π6,3)在函数f(x)=3sin(-2x+π6)的图象上;将x=-π6代入函数f(x)=3sin(2x-π6)中,得f(x)=-3,即点(-π6,3)不在函数f(x)=3sin(2x-π6)的图象上;将x=-π6代入函数f(x)=3sin(-2x+π3)中,得f(x)=332,即点(-π6,3)不在函数f(x)=3sin(-2x+π3)的图象上;将x=-π6代入函数f(x)=3sin(2x-π3)中,得f(x)=-332,即点(-π6,3)不在函数f(x)=3sin(2x-π3)的图象上.故选A.12.(1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-π4),且T=π,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x-π4).令2x-π4=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+3π8(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ2+3π8(k∈Z).(2)令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k∈Z).又x∈[0,π2],∴令k=0,得函数f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,3π8];同理,其单调递减区间为[3π8,π2].。