2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升43 空
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升6 函数的奇偶性与周期性 含解析 精品
课时作业提升(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 夯实基础1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞， 0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求．2．(2018·江西三校联考)设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．x 3B ．cos xC ．1＋xD ．x e x解析：选B 由题意，只要g (－x )为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数；故选B.3．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选C ∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |，∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |，∴函数f (x )的最小正周期为π.4．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．(2018·邯郸月考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选A 依题意，函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0，不等式f (lg x )＜0＝f (0)等价于lg x ＜0，故0＜x ＜1，故选A ．6．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1B ．1C ．－5D ．5解析：选D 令y ＝g (x )＝f (x )＋x ，∵f (2)＝1，∴g (2)＝f (2)＋2＝1＋2＝3，∵函数g (x )＝f (x )＋x 是偶函数，∴g (－2)＝3＝f (－2)＋(－2)，解得f (－2)＝5.故选D.7．(2018·大庆模拟)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数解析：选D 对任意非零整数k ，[x ＋k ]＝[x ]＋k ，所以f (x ＋k )＝x ＋k －[x ]－k ＝x －[x ]＝f (x )，任意非零整数均是函数f (x )的周期．故选D.8．(2018·本溪模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0g (x )，x ＜0，且函数f (x )为奇函数，则g (－2)＝__________.解析：∵函数f (x )为奇函数，∴f (－2)＝g (－2)＝－f (2)＝－(22＋2)＝－6. 答案：－69．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝__________.解析：∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15.答案：－1510．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是奇函数，则实数a 的值为__________.解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (x )＝h (－x )，解得a ＝1.答案：111．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．解：在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎨⎧f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝⎛⎭⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝xx 4＋x 2＋1.12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．B 组 能力提升1．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )．若f (x )在[－1,0]上是减函数，则函数f (x )在[1,3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增解析：选D 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为2.又f (x )在[－1,0]上是减函数且f (x )是偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数，在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，故函数f (x )在[1,3]上先减后增．2．(2018·惠州模拟)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝3，则f (2 019)的值为( )A ．3B ．0C ．－3D ．±3解析：选A 因为g (－x )＝f (－x －1)，所以－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，所以f (x＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 019)＝f (3)＝3.3．(2018·江西模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＝cB ．b ＞a ＝cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A 依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c .4．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称， f (3)＝3，则f (－1)＝__________. 解析：∵f (x )的图像关于直线x ＝2对称， ∴f (4－x )＝f (x )，∴f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－1)＝f (1)＝3. 答案：35．(2018·沧州一中月考)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为__________.(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0；对②，由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；对③，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数；对④，f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．答案：①②④6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升31 数
课时作业提升(三十一) 数列的概念与简单表示法A 组 夯实基础1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B ．53C.85D ．23解析：选D a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋(－1)a 4＝23. 3．(2018·海淀模拟)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选B 由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6，故选B.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－(6＋2λ)n ＋2 016，若 a 6或a 7为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围是( )A ．(3,4)B ．[2,5]C ．[3,4]D ．⎝⎛⎭⎫52， 92解析：选D 依题意，由二次函数的性质可知，当112＜3＋λ＜152，即52＜λ＜92时，a 6或a 7为数列{a n }的最小项，故实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫52， 92. 5．(2018·昆明检测)在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 018＋a 2 019＝( )A.56B ．73C.72D ．5解析：选B 依题意，a 1＝12，a 2＝13，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，…，数列{a n }是周期为4的数列，所以a 2 018＋a 2 019＝a 2＋a 3＝73.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n (n ∈N ＋)，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝8(9－2n )(11－2n )＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N ＋，所以n ＝5.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝( ) A ．2n －1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.8．数列1，23，35，47，59，…的通项公式为____________.解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式为a n ＝n2n －1.答案：a n ＝n2n －19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1，n 为偶数，2n －5，n 为奇数，则a 3a 4＝____________.解析：由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54. 答案：5410．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3＋2n ，则数列{a n }的通项公式为____________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3＋2n －(3＋2n －1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥211．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数．12．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋.求数列{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1＞1，得a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因为a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.B 组 能力提升1．将石子摆成如图所示的梯形，称数列5,9,14，…为“梯形数列”，记此“梯形数列”的第n 项为a n ，则a 6＝( )A ．25B ．30C ．35D ．40解析：选C 方法一 由题意知a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝5，…，a 6－a 5＝8，由此得a 6－a 1＝4＋5＋…＋8＝5×(4＋8)2＝30，所以a 6＝30＋a 1＝35.故选C.方法二 观察得出a 6即为“上底为2，下底为8，高为7的梯形的面积数”即a 6＝(2＋8)×72＝35.故选C. 2．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列各图中，并且对任意a 1∈(0,1), 由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像是( )解析：选A 由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n ，可以知道x ∈(0,1)时f (x )>x ，即f (x )的图像在y ＝x 图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A 符合条件．3．(2018·白银月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝____________.解析：由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 4．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解： (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．所以b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)，1n (n ≥2).(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)＜0，所以c n ＋1＜c n ，所以数列{c n }为递减数列．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升40 数
课时作业提升(四十) 数学归纳法A 组 夯实基础1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：选B 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项解析：选D 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．5．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．6．用数学归纳法证明2n ＞2n ＋1，n 的第一个取值应是____________. 解析：因为n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n ＞2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n ＞2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n ＞2n ＋1成立． 所以n 的第一个取值应是3. 答案：37．(2018·郑州模拟)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是____________.解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2).答案：1(2k ＋1)(2k ＋2)8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝____________.解析：由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得 S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.答案：n n ＋19．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N ＋)． 证明：①当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)．当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②得，等式对任意n ∈N ＋都成立．B 组 能力提升1．(2018·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求证：对任意n ∈N ＋，a n ＞2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由． (1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N ＋)． ①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k ＞2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N ＋，都有a n ＞2成立． (2)证明：{a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .故{a n }是单调递减的数列．2．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明 (1)中的猜想． (1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1， 右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1, ∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ，这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知，猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)成立．3．(2018·潍坊模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 解： (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)．由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，所以a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)及b ＝2知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·……·b n ＋1b n>n ＋1成立．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升75 参
课时作业提升(七十五) 参数方程1．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t (t 为参数)垂直的直线的普通方程． 解：椭圆的普通方程为x 225＋y 29＝1，左焦点为(－4,0)，直线的普通方程为2x －y －6＝0，∴所求直线的斜率为－12，方程为y ＝－12(x ＋4)，即x ＋2y ＋4＝0.2．已知椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)， A ，B 是C 上的动点，且满足OA ⊥OB (O为坐标原点)．以原点O 为极点、以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－4，π3.(1)求线段AD 的中点M 的轨迹E 的普通方程；(2)利用椭圆C 的极坐标方程证明1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求△AOB 面积的最大值． 解：(1)点D 的直角坐标为(－2，－23)， 由题意可设A 的坐标为(2cos α，sin α)，则AD 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1＋cos α，－3＋12sin α， 所以M 的轨迹E 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝－3＋12sin α(α为参数)， 消去α可得E 的普通方程为(x ＋1)2＋4(y ＋3)2＝1.(2)椭圆C 的普通方程为x 24＋y 2＝1，化为极坐标方程得ρ2＋3ρ2sin 2 θ＝4，变形得ρ＝21＋3sin 2 θ.由OA ⊥OB 可设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22 ＝1＋3sin 2θ4＋1＋3sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π24＝2＋3sin 2 θ＋3cos 2 θ4＝54(定值)．△AOB 的面积S ＝12ρ1ρ2＝2(1＋3sin 2 θ)(1＋3cos 2 θ)＝21＋3＋9sin 2 θcos 2 θ＝24＋94sin 2 2θ.易知当sin 2θ＝0时，S 取得最大值1.3．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t cos θ，y ＝2sin θ(t 为非零常数，θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求曲线C 的普通方程，并说明曲线的形状；(2)是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，A ，B ，且OA →·OB →＝10(其中O 为坐标原点)？若存在，请求出t ；否则，请说明理由．解：(1)∵t ≠0，∴可将曲线C 的方程化为普通方程，得x 2t 2＋y 2＝4.①当t ＝±1时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ②当t ≠±1时，曲线C 为中心在原点的椭圆． (2)直线l 的普通方程为x －y ＋4＝0.联立直线与曲线的方程，消去y 得x 2t 2＋(x ＋4)2＝4，化简，得(1＋t 2)x 2＋8t 2x ＋12t 2＝0.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则Δ＝64t 4－4(1＋t 2)·12t 2＞0，解得t 2＞3. 又x 1＋x 2＝－8t 21＋t 2，x 1x 2＝12t 21＋t 2，故OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋4)(x 2＋4)＝2x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＝10. 解得t 2＝3，与t 2＞3相矛盾，故不存在满足题意的实数t .4．(2018·衡水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a＞b ＞0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝⎛⎭⎫1，32对应的参数φ＝π3，曲线C 2过点D ⎝⎛⎭⎫1，π3. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)将M ⎝⎛⎭⎫1，32及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎨⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意得圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)． 将D ⎝⎛⎭⎫1，π3代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1. ⎝⎛⎭⎫或由D ⎝⎛⎭⎫1，π3，得D ⎝⎛⎭⎫12，32，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1 ∴曲线C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)∵点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上， ∴ρ21cos 2 θ4＋ρ21sin 2 θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2 θ＝1， ∴1ρ21＋1ρ22＝⎝⎛⎭⎫cos 2 θ4＋sin 2 θ＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋cos 2 θ＝54. 5．(2018·东北三省三校一模)已知曲线C 的坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值．解：(1)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m .(2)把⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，由Δ＞0，解得－1＜m ＜3，∴t 1t 2＝m 2－2m . ∵|P A |·|PB |＝1＝|t 1t 2|，∴m 2－2m ＝±1，解得m ＝1±2，1. 又∵Δ＞0，∴实数m ＝1±2，1.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k ，y ＝3－2k (k 为参数)，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点M 的坐标为(2,3)，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2－2y ＝0，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 故圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k ，y ＝3－2k(k 为参数)，可化为⎩⎨⎧x ＝2－55t ，y ＝3－255t ⎝⎛⎭⎫其中k ＝55t ，代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫2－55t 2＋⎝⎛⎭⎫2－255t 2＝1，即t 2－1255t ＋7＝0. 由于Δ＝⎝⎛⎭⎫12552－4×7＝45＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝1255，t 1·t 2＝7，又直线l 过点M (2,3)，故由上式及t 的几何意义，得 |MA |·|MB |＝|t 1|·|t 2|＝7.7．(2018·太原模拟)已知在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －2)2＝4.(1)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 1，C 2的极坐标方程及其交点的极坐标；(2)求圆C 1与C 2公共弦的参数方程．解：(1)由题意得圆C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ＝4sin θ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π6或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝5π6，∴圆C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，⎝⎛⎭⎫2，5π6. (2)由(1)得圆C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，⎝⎛⎭⎫2，5π6，化为直角坐标为(3，1)(－3，1)，∴圆C 1与C 2公共弦的参数方程为⎩⎨⎧y ＝1，x ＝t (－3≤t ≤3)(t 是参数)．8．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2018·贵阳监测)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝1.(1)求直线l 与圆C 的公共点的个数；(2)在平面直角坐标中，圆C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设M (x ，y )为曲线C ′上一点，求4x 2＋xy ＋y 2的最大值，并求相应点M 的坐标．解：(1)直线l 的普通方程为x －y －2＝0， 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.圆心(0,0)到直线l 的距离为d ＝|0－0－2|12＋12＝1，即圆心到直线的距离等于圆半径，∴直线l 与圆C 有1个公共点．(2)圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)，∴曲线C ′的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ＜2π)，∴4x 2＋xy ＋y 2＝4cos 2 θ＋cos θ·2sin θ＋4sin 2 θ＝4＋sin 2θ， 当θ＝π4或θ＝5π4时，4x 2＋xy ＋y 2取得最大值5，此时M 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，2或 ⎝⎛⎭⎫－22，－2.10．(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.11．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. 12．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升70 算
课时作业提升(七十) 算法与程序框图A 组 夯实基础1．(2018·北京海淀模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．1B ．3C ．7D ．15解析：选D k ＝0，S ＝0，k ≤3成立，S ＝0＋20＝1； k ＝1，k ≤3成立，S ＝1＋21＝3； k ＝2，k ≤3成立，S ＝3＋22＝7； k ＝3，k ≤3成立，S ＝7＋23＝15； k ＝4，k ≤3不成立，输出S ＝15.2．(2018·湖北五校联考)如图是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x －的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋x n10解析：选D 由程序框图，当n ≥10时，直接输出S ，∴图中空白框中应填入S ＝S ＋x n10.3．(2018·邵阳联考)执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为( )A ．10B ．15C ．18D ．21解析：选B n ＝1，S ＝1,1＜3×1成立； n ＝2，S ＝31×1＝3,3＜3×2成立；n ＝3，S ＝42×3＝6,6＜3×3成立；n ＝4，S ＝53×6＝10,10＜3×4成立；n ＝5，S ＝64×10＝15,15＜3×5不成立．输出S ＝15.4．运行如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．1 008B ．1 009C ．2 016D ．2 017解析：选A 由已知，S ＝0－1＋2－3＋4－5＋…－2 005＋2 016＝1 008.5．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中可填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9解析：选B 第一次执行循环体，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环体，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环体，得到S ＝720，k ＝7，此时满足条件．故选B ．6．(2018·包头十校联考)在如图所示的程序框图中，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0， log 12 x ，x ＞0，则输出的结果是( )A ．－3B ．116C ．14D ．4解析：选C 因为a ＝－4，所以b ＝f (－4)＝2－4＝116＞0，a ＝f ⎝⎛⎭⎫116＝log 12116＝4，继续循环， b ＝f (4)＝log 124＝－2＜0，a ＝f (－2)＝2－2＝14，结束循环，输出a 的值为14，故选C ．7．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ． y ＝4xD ．y ＝5x解析：选C 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，则x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36，故n ＝2； 则x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36，故n ＝3；则x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，所以y ＝4x .故选C ．8．(2018·丹东一模)在如图所示的程序框图中，输入N ＝40，按程序框图运行后输出的结果是( )A ．100B ．210C ．265D ．320解析：选B 由于程序框图中根据K 的不同取值，产生的T 值也不同，故可将程序框图中的K 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)，…，当K 为偶数时，T ＝K2，当K ＋12为偶数，即K ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝K ＋14，否则，即K ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－K ＋34，故可知每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋…＋40)＝12×(2＋40)×202＝210.9．(2018·山东诊断)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋14 030＋14 032的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤4 030B ．i ≥4 030C ．i ≤4 032D ．i ≥4 032解析：选C 第一次循环：S ＝12，i ＝4；第二次循环：S ＝12＋14，i ＝6；直至S ＝12＋14＋16＋…＋14 030＋14 032，i ＝4 034时结束循环，∴可填入i ≤4 032.B 组 能力提升1．(2018·马鞍山检测)如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C 第一次执行循环体，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，r ＝0，m ＝45，n ＝0，满足退出循环的条件，输出m ＝45.2．(2017·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2B ．32C ．53D ．85解析：选C 开始：k ＝0，s ＝1； 第一次循环：k ＝1，s ＝2； 第二次循环：k ＝2，s ＝32；第三次循环：k ＝3，s ＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.故选C ．3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 根据程序框图可知， 第一次运行：a ＝32，k ＝1，不满足a ＜14；第二次运行：a ＝34，k ＝2，不满足a ＜14；第三次运行：a ＝38，k ＝3，不满足a ＜14；第四次运行：a ＝316，k ＝4，满足a ＜14，跳出循环，输出k ＝4.故选B ．4．(2016·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 循环前：S ＝4，n ＝1；第一次循环：S ＝2×4＝8，n ＝1＋1＝2，不满足n ＞3；第二次循环：S ＝8－6＝2，n ＝2＋1＝3，不满足n ＞3；第三次循环：S ＝2×2＝4，n ＝3＋1＝4，此时满足n ＞3，循环结束．输出S ＝4.故选B ． 5．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524解析：选C 由程序框图知，k 的值依次为0,2,4,6,8，因此s ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填s ≤1112.6．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A ．67B ．37C ．89D ．49解析：选B 第一次循环，S ＝11×3，i ＝2，i ＞3不成立；第二次循环，S ＝11×3＋13×5，i ＝3，i ＞3不成立；第三次循环，S ＝11×3＋13×5＋15×7，i ＝4，i ＞3成立，结束循环，输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＝37，故选B ． 7．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D 假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D ．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升42 空
课时作业提升(四十二)空间图形的基本关系与公理A组夯实基础1．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3解析：选C①④错误，②③正确．2．(2018·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上解析：选A由于EF∩HG＝M，且EF平面ABC，HG平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线AC上，故选A ．5．(2018·河北月考)三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1与AC 、AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，则A 1B 与AC 1所成角的正弦值为( )A ．1B ．13C ．33D ．63解析：选D 如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDC －A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，则BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角，设A 1B ＝a ，在△A 1BD 1中，A 1B ＝a ，BD 1＝3a ，A 1D 1＝2a ，∴sin ∠A 1BD 1＝63.6．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：57．(2018·佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.解析：取A 1C 1 的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求，设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°.答案：60°8．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，求异面直线AC1与BC所成角的正切值．解：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD．因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.11．如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值．(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线．(2)解：取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 与PB 所成的角．∵∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ， ∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF ＝2＋2－32×2×2＝14，故异面直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.B 组 能力提升1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0, 2)B ．(0, 3)C ．(1, 2)D ．(1, 3)解析：选A 如图所示，AB ＝2，CD ＝a ，设点E 为AB 的中点，则ED ⊥AB ，EC ⊥AB ，则ED ＝AD 2－AE 2＝22，同理EC ＝22.由构成三角形的条件知0<a <ED ＋EC ＝2，所以0<a < 2.2．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面直线的有3对．答案：33．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升44 空
课时作业提升(四十四)空间中的垂直关系A组夯实基础1．(2018·西安联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．2．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D由题易知A1C1⊥平面BB1D1D．又B1O 平面BB1D1D，所以A1C1⊥B1O.3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥nB．若α∥β，m α，n β，则m∥nC．若m⊥n，m α，n β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选D A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m α，n β，故C错误；故选D．4．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AE D．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF 平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A 正确．在正四面体中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，DF ∥BC ，所以BC ⊥平面P AE ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B ，C 均正确．5.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：选A 由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，得AC ⊥平面ABC 1. 因为AC 平面ABC ，所以平面ABC 1⊥平面ABC ． 所以C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________.解析：连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． 因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22， 又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.答案： 137.△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________.解析：作CH ⊥AB 于H ，连接PH .因为PC ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB ．又CH ⊥AB ，且PC ∩CH ＝C ，∴AB ⊥平面PCH ，PH 平面PCH .所以PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，等于27.答案：278．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b β，a⊥b，则b⊥α；④若a α，b α，l⊥a，l⊥b，lα，则l⊥α.其中正确命题的序号是________.解析：若平面α，β，γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a，b 相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．答案：②③9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．B组能力提升1.(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO ，BO ∩DO ＝O ，从而AC ⊥平面DOB ，BD 平面DOB ． 故AC ⊥BD ． (2)解：连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC ．又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD ．故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.2．⊙O 的直径AB ＝4，点C ，D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图②)．① ②(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，又因为F为BC的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，又AC 平面ACD，OF平面ACD，所以OF∥平面ACD．(2)解：存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD．又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD．又AD 平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD 平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD．3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF ∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(3)求四面体N－EFD体积的最大值．(1)证明：∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN∥CD．∴四边形MNCD是平行四边形．∴NC∥MD．∵NC平面MFD，MD 平面MFD，∴NC∥平面MFD．(2)证明：连接ED，交FC于点O，如图所示．∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE 平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.∵FC 平面ECDF，∴FC⊥NE.∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED．又∵ED∩NE＝E，ED，NE 平面NED，∴FC⊥平面NED．∵ND 平面NED，∴ND⊥FC．(3)解：设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，由(2)得NE⊥平面FEC，∴四面体N－EFD的体积为V N－FED＝13S△EFD·NE＝12x(4－x)．∴V N－FED≤12⎣⎡⎦⎤x＋(4－x)22＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体N－EFD的体积最大，最大值为2.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升2 命题
课时作业提升(二) 命题、充分条件与必要条件A 组 夯实基础1．(2018·菏泽模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D 命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定，注意“且”应换成“或”． 2．已知命题：若a >2，则a 2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．3．(2018·莆田一模)设a 为实数，直线l 1：ax ＋y ＝1，l 2：x ＋ay ＝2a ，则“a ＝－1”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A l 1∥l 2”得到：a 2－1＝0，解得：a ＝－1或a ＝1，所以应是充分不必要条件．故选A ．4．(2018·南平一模)“tan α≠3”是“α≠π3”的( )A ．充分且必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件解析：选D “tan α≠3”，得“α≠π3”，是充分条件，“α≠π3”例如α＝4π3，则tan α＝3，不是必要条件，故“tan α≠3”是“α≠π3”的充分不必要条件，故选D.5．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．6．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1.则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x ＝0，则f (x )＝1，若f (x )＝1，则e x ＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e ，故x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件，故选B.7．(2018·泉州一模)已知直线a ，b ，平面α，β，a α，b α，则a ∥β，b ∥β是α∥β的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵直线a ，b ，平面α，β，a α，b α，由a ∥β，b ∥β，得α与β平行或相交，由α∥β，得a ∥β，b ∥β，∴a ∥β，b ∥β是α∥β的必要但不充分条件．故选B.8．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题，故选C ．9．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是__________.解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：210．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：__________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角B 组 能力提升1．(2018·双鸭山一模)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件解析：选B “好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B.2．已知命题p ：若a ＜1，则a 2＜1，下列说法正确的是( ) A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若a ＜1，则a 2≥1”D ．命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ＜1”解析：选B 若a ＝－2，则(－2)2＞1，∴命题p 为假命题，∴A 不正确；命题p 的逆命题是“若a 2＜1，则a ＜1”，为真命题，∴B 正确；命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”，∴C 不正确；命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”，∴D 不正确．故选B.3．(2018·河北模拟)已知命题p ，q 是简单命题，则“¬p 是假命题”是“p ∨q 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A ¬p 是假命题，则p 是真命题，则p ∨q 是真命题，既充分性成立，而p ∨q 是真命题只需p ，q 中的一个是真命题即可，即p ∨q 是真命题推不出p 是真命题，即推不出¬p 是假命题，必要性不成立．故选A ．4．(2018·福州质检)已知a ，b ∈R ，则“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若“0≤a ≤1且0≤b ≤1”，则“0≤ab ≤1”．当a ＝－1，b ＝－1时，满足0≤ab ≤1，但不满足0≤a ≤1且0≤b ≤1，∴“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”成立的充分不必要条件．故选A ．5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4，故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C ．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间的关系得{a |a <0}为{a |a ≤0或a >1}的真子集，故选A ．7．(2018·大庆模拟)已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：选D 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，故p ：－2≤x ≤10；q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9，故选D.8．下列说法错误的是( )A ．若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞4，则a ，b 至少有一个大于2B ．“存在x 0∈R,2x 0＝1”的否定是“任意x ∈R,2x ≠1”C ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的必要条件D ．△ABC 中，A 是最大角，则“sin 2 A ＞sin 2 B ＋sin 2 C ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件解析：选C 假设a ≤2，b ≤2，则a ＋b ≤4，与已知a ＋b ＞4矛盾，∴假设不成立，故A 正确；由特称命题的否定为全称命题知B 正确；C 中，当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞1，所以“a ＞1，b ＞1”不是“ab ＞1”的必要条件，故C 错；D 中，若A 是最大角，由sin 2 A ＞sin 2B ＋sin 2C ，得a 2＞b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，A 是最大角，则cos A ＜0，所以a 2＞b 2＋c 2，所以sin 2 A ＞sin 2 B ＋sin 2 C ，所以△ABC 中，A 是最大角，则“sin 2 A ＞sin 2 B ＋sin 2 C ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件，故D 正确，故选C ．9．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的__________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2， ∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是__________.解析：由已知易得{x |x 2－2x －3>0}为{x |x <m －1或x >m ＋1}的真子集， 又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 答案：[0,2]。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升10 函
课时作业提升(十) 函数的图像A 组 夯实基础1．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )解析：选D 由图像知，张大爷晨练时，离家的距离y 随行走时间x 的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如D 选项所示．2．(2018·石嘴山月考)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图像可能是( )A B C D解析：选A 函数f (x )＝2x ＋sin x 是奇函数，故其图像关于原点对称，故排除B ；又当0＜x ＜π2时，函数值为正，仅有A 满足，故它的图像可能是A 中的图．故选A ．3．(2018·安庆月考)已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析：选C y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.故选C ．4．(2018·成都模拟)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C ．5．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图像大致为( )解析：选D ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x ，∴f ′(x )＝4x －e x ＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．(2018·南昌质检)函数y ＝2xln x的图像大致为( )解析：选D 当0<x <1时，2x >0，ln x <0，∴y <0，图像在x 轴下方；当x >1时，2x >0，ln x >0，∴y >0，图像在x 轴上方，当x →＋∞时，y ＝2xln x是递增函数． 7．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图像大致为( )解析：选D 当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx 2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A ，C ．故选D.8．(2018·台州月考)如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值等于__________.解析：∵由图像知f (3)＝1，∴1f (3)＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：29．(2018·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图像过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图像一定经过点__________.解析：由于函数y ＝f (4－x )的图像可以看作y ＝f (x )的图像先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图像过定点(3,1)．答案：(3,1)10．(2018·大庆月考)若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图像始终在函数y ＝log a x 的图像的下方，则实数a 的取值范围是__________.解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图像．由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图像恒在函数y ＝log a x 的图像的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a2≥1，解得1＜a ≤2. 答案：1＜a ≤211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 12．设函数f (x )＝|1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)∵f (x )＝|1－1x＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2) >0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析：选D 函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图像与y ＝2x＋a的图像关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选C 设(x ，y )为y ＝f (x )图像上任意一点， 则(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图像上，所以有－x ＝2－y ＋a，从而有－y ＋a ＝log 2(－x )(指数式与对数式的互化)， 所以y ＝a －log 2(－x )，即f (x )＝a －log 2(－x )，所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1解得a ＝2.故选C ． 3．(2017·衡水中学猜题卷)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0那么y ＝sgn(x 3－3x 2＋x＋1)的大致图像是( )解析：选D 令f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋1，则f (x )＝(x －1)·(x 2－2x －1)＝(x －1)(x －1－2) (x －1＋2)，∴f (1)＝0，f (1－2)＝0，f (1＋2)＝0，∵sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.∴sgn(f (1))＝0，可排除A 、B ；又sgn(f (1－2))＝0，sgn(f (1＋2))＝0，可排除C ，故选D.4．(2018·佛山月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜－1ln (x ＋a )，x ≥－1的图像如图所示，则f (－3)＝__________.解析：由图像可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x ＜－1ln (x ＋2)，x ≥－1， 故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－15．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________.解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像有且只有一个交点，如图，结合函数图像可知a >1.答案：(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)， 作出图像如图所示．(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像(如图)则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3，得x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图像知当a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时，方程至少有三个不等实根．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版文档：第1章 第1节
第一节 集 合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常用数集的记法2．A B 或B A∅B且B≠∅提醒：(1)若集合A含有n个元素，则其子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n －2个．(2)在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．(3)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(2)任何集合都至少有两个子集．()(3)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()(4)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材习题改编)若集合A＝{x∈N＋|x≤8}，a＝22，则下面结论中正确的是() A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：选D因为22不是正整数，所以a∉A.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的个数为2.故选B.4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2, 4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8}B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C∁A B＝{0,2,6,10}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．集合及集合间的关系[明技法](1)与集合中的元素有关问题的求解策略一看元素，二看限制条件，三列式求参数的值或确定集合中元素的个数．注意检验集合是否满足元素的互异性．(2)判断两集合的关系常有两种方法①化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．②用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．[提能力]【典例】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5 D．6(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________.解析：(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．(2)∵B ⊆A ，∴若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.① 若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.②由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(1)B (2)(－∞，3][母题变式] 在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅. [刷好题]1．(金榜原创)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选D 因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，所以结合数轴可得B ⊆A .2．(2018·莱州模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C ．集合的运算 [析考情]集合的基本运算是历年高考的热点．高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合．考查题型以选择题为主，属容易题，分值5分．[提能力]命题点1：求交集或并集【典例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．(2)(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，故选A．命题点2：交、并、补的综合运算【典例2】(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝() A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x ∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．(2)(2018·柳州模拟)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁A)∩B＝__________.U解析：由题意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁U A＝{4,6,7,9,10}，∴(∁U A)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}命题点3：集合的新定义问题【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝__________.x|x≥0，A∩B＝{x|0<x<2}，故由新定义结合数轴得A⊗B＝{0}解析：由已知，A∪B＝{}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[悟技法]解决集合运算问题的四个关注点(1)看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．[刷好题]1．(2018·兰州一模)已知集合M＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝()A．[－2，－1]B．[－1,2]C．[－1,1]D．[1,2]解析：选A由(x－3)(x＋1)≥0，解得：x≤－1或x≥3，∴M＝{x|x≤－1或x≥3}，∵N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2018·晋中一模)设U＝R，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁U B)＝() A．{1,2} B．{－1,0,1}C．{－2，－1,0} D．{－2，－1,0,1}解析：选C因为全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以∁U B＝{x|x＜1}＝(－∞，1)，且集合A＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩(∁U B)＝{－2，－1,0}，故选C．3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|y ＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝__________.解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}．所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)课时作业提升(一)集合A组夯实基础1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3)B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A．2．(2018·南平一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|y＝3－x}，则A∩B＝()A．{1,2} B．{1,2,3}C．{4,5} D．{3,4,5}解析：选B由3－x≥0得x≤3，则B＝{x|y＝3－x}＝{x|x≤3}，又集合A＝{1,2,3,4}，则A∩B＝{1,2,3}．3．(2018·宁德一模)已知全集U ＝{－2,0,1,2}，集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则∁U A ＝( ) A ．{－2,1} B ．{－2,0,2} C ．{0,2}D ．{0,1}解析：选A 根据题意，A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，又由全集U ＝{－2,0,1,2}，则∁U A ＝{－2,1}．4．若集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}，B ＝{x |－2＜x ≤3}，且M ＝A ∩B ，则有( ) A ．(∁R B )⊆A B ．M ⊆A C ．2∈MD ．1∈M解析：选B 集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}＝{x |－4＜x ＜1}，集合B ＝{x |－2＜x ≤3}，则M ＝A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，即有M ⊆A .5．已知集合A ＝{x ||x －2|≤1}，且A ∩B ＝∅，则集合B 可能是( ) A ．{2,5} B ．{x |x 2≤1} C ．(1,2)D ．(－∞，－1)解析：选D ∵集合A ＝{x ||x －2|≤1}＝[1,3]，由A ∩B ＝∅，则B ⊆(－∞，1)∪(3，＋∞)． 6．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，故选A ．7．集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆∁R B B ．B ⊆∁R A C ．∁R A ⊆∁R BD ．A ∪B ＝R解析：选C 依题意得B ＝{y |0≤y ≤2}，因此B ⊆A ，∁R A ⊆∁R B ，选C ．8．(2018·河南一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C ∵集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}， ∴C ＝A ∩B ＝⎩⎨⎧(x ，y )|⎩⎨⎧ y －x ＝0x 2＋y 2＝1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－1＋52， ∴C 的子集的个数是21＝2.9．(2018·邵阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}，B ＝{x |－3＜x ＜4}，则A ∩B ＝__________.解析：集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}＝{x |x 2＋4x －12＞0}＝{x |x ＜－6或x ＞2}，B ＝{x |－3＜x＜4}，则A∩B＝{x|2＜x＜4}＝(2,4)．答案：(2,4)10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝__________.解析：经验证，点(0,1)，(－1,2)在直线x＋y－1＝0上．故A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．答案：{(0,1)，(－1,2)}B组能力提升1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3}，B＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{2,6} D．{1,6}解析：选D图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{2,3,4,5}，U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{1,6}．2．(2017·西安一模)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是()A．M＝N B．M∩N＝NC．M∪N＝N D．M∩N＝∅解析：选B因为集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1,0}，则集合M∩N＝N.故选B.3．(2018·清远一模)设集合A＝{x|y＝x－1}，集合B＝{x|2x－x2＞0}，则(∁R A)∩B等于()A．(0,2) B．[1,2)C．(0,1) D．∅解析：选C集合A＝{x|y＝x－1}＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，集合B＝{x|2x－x2＞0}＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2}，则∁R A＝{x|x＜1}，∴(∁R A)∩B＝{x|0＜x＜1}＝(0,1)．故选C．4．设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{－1,1}，则下列结论中正确的是() A．A∩B＝{－1} B．(∁R A)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁R A)∩B＝{－1}解析：选D由题意知，集合A＝{x|x>0}，则∁R A＝{x|x≤0}．又B＝{－1,1}，所以A∩B ＝{1}，(∁R A)∪B＝(－∞，0]∪{1}，A∪B＝{－1}∪(0，＋∞)，(∁R A)∩B＝{－1}．5．(2018·湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{x|x＝2y，y∈R}，则集合∁U (M ∪N )等于( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ∵M ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＝2y ，y ∈R }＝{x |x ＞0}，∴M ∪N ＝{x |x ＞－1}．又∵U ＝R ，∴∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]．6．(2018·淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C ∵log 2(x －1)＜1，∴x －1＞0且x －1＜2，即1＜x ＜3，则N ＝{x |1＜x ＜3}，∵U ＝R ，∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又∵M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，得a ＝－12.故选C ．7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B 化简得A ＝{x |0＜x ＜3}，∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个元素，∴a ∈A ，得0＜a ＜3且a ≠1，故选B. 8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} 解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．(2018·潍坊检测)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}， B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝__________.解析：A ＝{－1,2}，若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12. 答案：0,1，－1210．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A ＝__________.(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升1 集
课时作业提升(一)集合A组夯实基础1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3)B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A．2．(2018·南平一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|y＝3－x}，则A∩B＝()A．{1,2} B．{1,2,3}C．{4,5} D．{3,4,5}解析：选B由3－x≥0得x≤3，则B＝{x|y＝3－x}＝{x|x≤3}，又集合A＝{1,2,3,4}，则A∩B＝{1,2,3}．3．(2018·宁德一模)已知全集U＝{－2,0,1,2}，集合A＝{x|x2－2x＝0}，则∁U A＝() A．{－2,1} B．{－2,0,2}C．{0,2} D．{0,1}解析：选A根据题意，A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，又由全集U＝{－2,0,1,2}，则∁U A ＝{－2,1}．4．若集合A＝{x|x2＋3x－4＜0}，B＝{x|－2＜x≤3}，且M＝A∩B，则有()A．(∁R B)⊆A B．M⊆AC．2∈M D．1∈M解析：选B集合A＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|－4＜x＜1}，集合B＝{x|－2＜x≤3}，则M ＝A∩B＝{x|－2＜x＜1}，即有M⊆A.5．已知集合A＝{x||x－2|≤1}，且A∩B＝∅，则集合B可能是()A．{2,5} B．{x|x2≤1}C．(1,2) D．(－∞，－1)解析：选D∵集合A＝{x||x－2|≤1}＝[1,3]，由A∩B＝∅，则B⊆(－∞，1)∪(3，＋∞)．6．若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是()A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析：选A因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为{1,2}⊆A，故选A．7．集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是()A ．A ⊆∁RB B ．B ⊆∁R AC ．∁R A ⊆∁R BD ．A ∪B ＝R解析：选C 依题意得B ＝{y |0≤y ≤2}，因此B ⊆A ，∁R A ⊆∁R B ，选C ．8．(2018·河南一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C ∵集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}， ∴C ＝A ∩B ＝⎩⎨⎧(x ，y )|⎩⎨⎧ y －x ＝0x 2＋y 2＝1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，－1＋52， ∴C 的子集的个数是21＝2.9．(2018·邵阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}，B ＝{x |－3＜x ＜4}，则A ∩B ＝__________.解析：集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}＝{x |x 2＋4x －12＞0}＝{x |x ＜－6或x ＞2}，B ＝{x |－3＜x ＜4}，则A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}＝(2,4)．答案：(2,4)10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.解析：经验证，点(0,1)，(－1,2)在直线x ＋y －1＝0上．故A ∩B ＝{(0,1)，(－1,2)}． 答案：{(0,1)，(－1,2)}B 组 能力提升1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{2,6}D ．{1,6}解析：选D 图中阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )．因为A ∪B ＝{2,3,4,5}，U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{1,6}．2．(2017·西安一模)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选B 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1,0}，则集合M ∩N ＝N .故选B.3．(2018·清远一模)设集合A ＝{x |y ＝x －1}，集合B ＝{x |2x －x 2＞0}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．(0,2)B ．[1,2)C ．(0,1)D ．∅解析：选C 集合A ＝{x |y ＝x －1}＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，集合B ＝{x |2x －x 2＞0}＝{x |x (x －2)＜0}＝{x |0＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ＜1}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ＜1}＝(0,1)．故选C ．4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0) C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}解析：选D 由题意知，集合A ＝{x |x >0}，则∁R A ＝{x |x ≤0}．又B ＝{－1,1}，所以A ∩B ＝{1}，(∁R A )∪B ＝(－∞，0]∪{1}，A ∪B ＝{－1}∪(0，＋∞)，(∁R A )∩B ＝{－1}．5．(2018·湘潭模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |＜1}，N ＝{x |x ＝2y ，y ∈R }，则集合∁U (M ∪N )等于( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ∵M ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＝2y ，y ∈R }＝{x |x ＞0}，∴M ∪N ＝{x |x ＞－1}．又∵U ＝R ，∴∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]．6．(2018·淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C ∵log 2(x －1)＜1，∴x －1＞0且x －1＜2，即1＜x ＜3，则N ＝{x |1＜x ＜3}，∵U ＝R ，∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又∵M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，得a ＝－12.故选C ．7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B 化简得A ＝{x |0＜x ＜3}，∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个元素，∴a ∈A ，得0＜a ＜3且a ≠1，故选B. 8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．(2018·潍坊检测)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝__________.解析：A ＝{－1,2}，若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12. 答案：0,1，－1210．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝__________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升5 函数
课时作业提升(五) 函数的单调性与最值A 组 夯实基础1．(2018·衡阳八中月考)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：选B 对于选项A ，y ＝e x 为增函数，y ＝－x 为减函数，故y ＝e －x 为减函数，对于选项B ，y ′＝3x 2＞0，故y ＝x 3为增函数，对于选项C ，函数的定义域为x ＞0，不为R ，对于选项D ，函数y ＝|x |为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选B.2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17D ．25解析：选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.4．(2018·郴州模拟)函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x 满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln (x ＋1)是增函数．5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 由3x ＞0，知3x ＋1＞1，故log 2(3x ＋1)＞0，所以函数的值域为(0，＋∞)．故选A ．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是 “函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．故选A ．7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选D 依题意得1x ＜1，即x －1x ＞0，解得x ＜0或x ＞1，所以x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．8．(2018·泉州检测)已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( ) A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5) B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6) C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6)解析：选B 因为函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f (0)<f (0.5)＝f (－0.5)<f (0.6)，故选B.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是__________.解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图像如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．(2018·石家庄调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为__________.解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：311．(2018·潍坊模拟)定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，(a ≤b )，b ，(a ＞b )，则函数f (x )＝1]__________.解析：当1≤3x 时，即x ≥0时，函数y ＝1]1，x ≥0， 3x ，x ＜0.画出函数图像，如图示：作出函数的图像，由图知，函数y ＝1] 答案：(0,1]12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a， 当a ＞1时，a －1a ＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0＜a ＜1时，a －1a ＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1. ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1. 13．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)解：任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升1．(2018·威海模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.2．(2018·邢台摸底)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2，选B.3．(2018·郴州检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是__________.解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：14．已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是__________. 解析：设u ＝2－ax ，∵a >0且a ≠1，∴函数u 在[0, 1]上是减函数．由题意可知函数y ＝log a u 在[0, 1]上是增函数，∴a >1.又∵u 在[0, 1]上要满足u >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ×1>0，2－a ×0>0，得a <2.综上得1<a <2. 答案：1<a <25．(2018·六安模拟)已知偶函数f (x )在[0, ＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是__________.解析：∵f (x )是偶函数，∴图像关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图像如图所示，由f (x －1)＞0，得－2＜x －1＜2，即－1＜x ＜3.所以x 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2018·大连模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． (1)解：令x 1＝x 2>0， 代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0， 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解：∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升72 统
课时作业提升(七十二)统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体A组夯实基础1．(2018·大连模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差．如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：μg/m3)，则下列说法正确的是()A．甲、乙监测站读数的极差相等B．乙监测站读数的中位数较大C．乙监测站读数的众数与中位数相等D．甲、乙监测站读数的平均数相等解析：选C因为甲、乙监测站读数的极差分别为55,57，所以A错误；甲、乙监测站读数的中位数分别为74,68，所以B错误；乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，因此选C．2．(2018·滨州模拟)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]，则频率分布直方图中a的值为()A．0.005B．0.006C．0.05D．0.06解析：选B因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.选B．3．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A ．84,4.8B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.6解析：选D 去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数为x －＝80＋15(4×3＋6＋7)＝85，方差为s 2＝15[(85－84)2×3＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6.4．(2018·金华模拟)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a解析：选A 由均值和方差的定义及性质可知：y －＝x －＋a ＝1＋a ，s 2y ＝s 2x ＝4，故选A ． 5．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m c ，平均值为x －，众数为m 0，则( )A ．m c ＝m 0＝x －B ．m c ＝m 0＜x －C ．m c ＜m 0＜x －D ．m 0＜m c ＜x －解析：选D 由图可知m 0＝5.由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，所以m c ＝5＋62＝5.5.x －＝130(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈5.97＞5.5，所以m 0＜m c ＜x －，故选D ．6．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对整齐的是________．解析：由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5.因为s 2甲＝15×(142＋1＋0＋92＋62)＝3145， s 2乙＝15×(132＋42＋0＋92＋82)＝3305， 所以s 2甲＜s 2乙，故成绩相对整齐的是甲组．答案：5 甲组7．(2018·扬州模拟)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为________．解析：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：87,94,90,91,90,90＋x,91，∴这组数据的平均数是90＋－3＋4＋0＋1＋0＋x ＋17＝91，得x ＝4.由方差公式得s 2＝17[(－4)2＋32＋(－1)2＋02＋(－1)2＋32＋02]＝367. 答案：3678．某电子商务公司对10 000名网络购物者2016年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 0009．移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解：(1)设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56. (2)设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的所有基本事件如下：a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1c 1，a 1c 2，b 1b 2，b 1b 3，b 1c 1，b 1c 2，b 2b 3，b 2c 1，b 2c 2，b 3c 1，b 3c 2，c 1c 2，共15个．其中使得事件B 成立的有b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，c 1c 2，共4个，则P (B )＝415.B 组 能力提升1．(2015·安徽卷)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32解析：选C 样本数据x 1，x 2，x 3，……x 10，其标准差D (X )＝8，则D (X )＝64.而样本数据2x 1－1,2x 2－1，……2x 10－1的方差D (2x －1)＝22D (X )＝22×64，∴其标准差为22×64＝16.故选C ．2．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是( )A ．35B ．48C ．60D ．75解析：选C 设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n ＝5＋15＋250.75＝60.3．(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140解析：选D 由于自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7， 所以自习时间不少于22.5小时的频数为0.7×200＝140，故选D ．4．(2018·聊城模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为________.解析：由题意有：175×7＝180×2＋170×5＋1＋1＋2＋x ＋4＋5⇒x ＝2. 答案：25．(2018·海淀模拟)某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们在假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为________．解析：由题意得100名学生中，参加实践活动的时间在6～10小时内的人数为100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58.答案：586．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解：(1)依题意，20×(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)＝1，解得x ＝0.007 5.(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)， ∴众数为220＋2402＝230.∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45，依题意，设中位数为y ， ∴0.45＋(y －220)×0.012 5＝0.5.解得y ＝224，∴中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户在四组用户中所占比例为0.012 50.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5＝511，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11×511＝5(户)．7．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．解：(1)根据题意可知：x －甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x －乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，∴m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵x －甲＝x －乙，s 2甲＞s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升48 利
课时作业提升(四十八) 利用空间向量求空间角与距离A 组 夯实基础1．(2018·临沂调研)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1， CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255解析：选A 不妨设CB ＝1，则B (0,0,1)，A (2,0,0)，C 1＝(0,2,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝0＋4－15×3＝55.2．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A ．23B ．33C ．23D ．13解析：选A 设AB ＝1，则AA 1＝2，分别以D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．如图所示：则D (0,0,2)，C 1(0,1,0)，B (1,1,2)，C (0,1,2).DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1，－2)，DC →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取n ＝(－2,2,1)．设CD 与平面BDC 1所成角为θ， 则sin θ＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23，故选A ．3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A ．12B ．23C ．33D ．22解析：选B 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz,设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.4．(2018·郑州模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________.解析：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BC 1的法向量，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，B (1,2,0)，C (0，2,1)，∴A 1B →＝(0,2，－1)，A 1C 1→＝(－1,2,0)．则n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2， 于是n ＝(2,1,2)，D 1C 1→＝(0,2,0)．设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，D 1C 1→〉|＝13.答案：135．已知单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A (1,0,1)，B (0,0,1)，D 1(1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0.(1)因为AD 1→＝(0,1，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，所以cos 〈AD 1→，EF →〉＝(0，1，－1)·⎝⎛⎭⎫12，12，02×22＝12，即AD 1与EF 所成的角为60°.(2)F A →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，1，由图可得，BA →＝(1,0,0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BA →，F A →〉|＝⎪⎪⎪⎪(1，0，0)·⎝⎛⎭⎫12，－1，11× ⎝⎛⎭⎫122＋(－1)2＋12＝13，所以cos θ＝223.即AF 与平面BEB 1所成角的余弦值为223.6．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解： (1)如图，以D 为原点，DA ，DC ，DF 分别为坐标轴建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,4,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)，设F (0,0，z )，由AF →＝EC 1→得：(－2,0，z )＝(－2,0,2)，所以z ＝2. ∴F (0,0,2)．∴BF →＝(－2，－4,2)， ∴|BF →|＝26，即BF 的长为2 6.(2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1＝(x ，y,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－14，1. 又CC 1→＝(0,0,3)，设CC 1→与n 1的夹角为α， 则cos α＝CC 1→·n 1|CC 1→||n 1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴点C 到平面AEC 1F 的距离为d ＝|CC 1→|cos α＝3×43333＝43311.7．如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1B 1BA 与侧面A 1C 1CA 是全等的梯形，若A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥A 1C 1，且AB ＝2A 1B 1＝4A 1A ．(1)若CD →＝2DA 1→，AE →＝2EB →，证明：DE ∥平面BCC 1B 1；(2)若二面角C 1－AA 1－B 为π3，求平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 成的锐二面角的余弦值．(1)证明：连接AC 1，BC 1，梯形A 1C 1CA ，AC ＝2A 1C 1，易知：AC 1∩A 1C ＝D ，AD →＝2DC 1→， 又AE →＝2EB →，则DE ∥BC 1，BC 1平面BCC 1B 1，DE 平面BCC 1B 1， 可得：DE ∥平面BCC 1B 1.(2)解：侧面A 1C 1CA 是梯形，A 1A ⊥A 1C 1， ⇒AA 1⊥AC ，A 1A ⊥AB ，则∠BAC 为二面角C 1－AA 1－B 的平面角，∠BAC ＝π3.⇒△ABC ，△A 1B 1C 1均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA 1＝1，则A 1B 1＝A 1C 1＝2，AB ＝AC ＝4，故点A 1(0,0,1)，C (0,4,0)，B (23，2,0)，B 1(3，1,1)．设平面A 1B 1BA 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有： ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AB 1→＝0⇒⎩⎨⎧3x 1＋y 1＝0，3x 1＋y 1＋z 1＝0，⇒m ＝(1，－3，0)，设平面C 1B 1BC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则有： ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧3x 2－y 2＝0，3x 2－3y 2＋z 2＝0，⇒n ＝(1，3，23)， cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－14，故平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 所成的锐二面角的余弦值为14.B 组 能力提升1.(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值．(1)证明：由题设可得△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝CD ．又△ACD 是直角三角形， 所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ， 则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC ， 所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角． 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2，又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 所以平面ACD ⊥平面ABC ．(2)解：由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12， 故AD →＝(－1,0,1)，AC →＝(－2,0,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面DAE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋12z ＝0， 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m 是平面AEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，同理可取m ＝(0，－1，3)， 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝77.所以二面角D －AE －C 的余弦值为77. 2.(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M －AB －D 的余弦值．(1)证明：取P A 的中点F ，连接EF ，BF .因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF .又BF 平面P AB ，CE 平面P AB ，故CE ∥平面P AB ．(2)解：由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则 x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎨⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.因此二面角M －AB －D 的余弦值为105. 3．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝4，∠ABC ＝60°.(1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)E 是侧棱PB 上一点，记PEPB＝λ(0<λ<1)，是否存在实数λ，使平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(1)证明：因为BC ＝AD ＝2，AB ＝4，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝23， 又BC 2＋AC 2＝AB 2，所以BC ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ，BC 平面ABCD ，则P A ⊥BC ． 因为P A 平面P AC ，AC 平面P AC ，且P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC ．(2)解：以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AP 所在直线分别为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,4,0)，P (0,0,3)．因为在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4， ∠ABC ＝60°，则∠DAx ＝30°，所以D (3，－1,0)． 又PEPB＝λ(0<λ<1)，知E (0,4λ，3(1－λ))． 所以AD →＝(3，－1,0)，AE →＝(0,4λ，3(1－λ))，AP →＝(0,0,3)， 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AE →＝0即⎩⎨⎧3x 1－y 1＝0，4λy 1＋3(1－λ)z 1＝0.取x 1＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，43λ3(λ－1).设平面P AD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AD →＝0即⎩⎨⎧3z 2＝0，3x 2－y 2＝0.取y 2＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎫33，1，0.若平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°， 则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 60°＝12，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×33＋3×1＋43λ3(λ－1)×01＋3＋16λ23(λ－1)2·13＋1＝12， 化简得1＋4λ23(λ－1)2＝2，即⎝⎛⎭⎫λλ－12＝94，解得λ＝3(舍去)或λ＝35.于是，存在λ＝35，使平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升28 平
课时作业提升(二十八) 平面向量基本定理及坐标表示A 组 夯实基础1．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2解析：选D 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又a ，b 方向相反，所以x ＝－2，故选D ．2．(2018·佛山监测)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 3．(2018·贵阳监测)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则mn＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12解析：选A 因为m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即mn＝－2，故选A ．4．(2018·长沙一模)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．13解析：选A AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2). ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.5．(2018·南宁模拟)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( )A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .6．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且P A →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A ．7．(2018·芜湖检测)已知向量a ＝(1,1)，点A (3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________.解析：设B (x,2x )，AB →＝(x －3,2x )． ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3， ∴B (－3，－6)． 答案：(－3，－6)8．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2 θ，2sin θcos θ＝cos 2 θ. 因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：129．(2017·枣庄模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.解析：由已知得，3OC →＝2OA →＋OB →，即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)，即BC →＝2CA →，如图所示，故C 为BA 的靠近A 点的三等分点，因而|AC →||AB →|＝13.答案：1310．(2018·大同模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)， C 为第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.解析：因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.答案：2 211．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，有CM →＝3c ，CN →＝－2b ，求：(1)3a ＋b －3c ；(2)满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)，(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)．故MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．B 组 能力提升1．(2018·大同联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(22，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则函数f (x )＝3x ＋|λ|x ＋1(x >－1)的最小值为( )A ．10B ．9C ．6D ．3解析：选D ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝31＝3.f (x )＝3x ＋3x ＋1＝3(x ＋1)＋3x ＋1－3≥23(x ＋1)·3x ＋1－3＝6－3＝3，当且仅当3(x ＋1)＝3x ＋1，即x ＝0时等号成立，∴函数f (x )的最小值为3，故选D ．2．(2018·济南模拟)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3解析：选B 因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →， AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.3．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________.解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.故④正确．所以正确命题为②③④，共3个．答案： 34．(2017·北京东城模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.解析：连接AO ，则AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.又∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2.答案：25．(2018·临沂模拟)如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个三等分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC → ∥DC →， 故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎨⎧x ＝35，λ＝45，故λ＝45.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升61 分
课时作业提升(六十一)分类加法计数原理和分步乘法计数原理A组夯实基础1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A．20B．25C．32D．60解析：选C依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.2．现用4种不同的颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种解析：选D分4个步骤依次对1,2,3,4进行着色，易知不同的着色方法共有4×3×2×(1＋1)＝48种，故选D．3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10解析：选C分两类情况：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．4．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279解析：选B十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)；第2步，排十位数字，有9种方法；第3步，排个位数字，有8种方法，根据分步乘法计数原理，共有9×9×8＝648个没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有()A．32个B．34个C．36个D．38个解析：选A先把集合中的元素分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选一个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个满足题意的子集．6．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：∵P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，∴x∈{y,2}．∴当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．当x＝y时，x可取3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．综上，共有7＋7＝14种情况．即这样的点的个数为14.答案：147．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D 中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他三个号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有情况有________种．解析：按照车主的要求，从左到右第一位有5种选法，第二位有3种选法，其余三位各有4种选法，因此车牌号码可选的所有情况有5×3×4×4×4＝960种．答案：9608．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有3、6、8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17种．(2)分两步，先选老师，共3种选法，再选学生，共6＋8＝14种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×14＝42种．(3)选老师、男同学、女同学各一人，可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步乘法计数原理知总方法数为3×6×8＝144种．B组能力提升1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24解析：选B易知长方体的6个表面所在的平面分别与相应直线(过两个顶点)构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外，长方体的6个对角面所在的平面分别与相应直线(过两个顶点)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，故共有36＋12＝48(个)，故选B．2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：选A2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C24种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A22种方法，故不同的安排方案共有C24A22＝12种，故选A．3．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”，则a，b“心有灵犀”的情形的种数为()A．9B．16C．20D．28解析：选D由题意知，当a为0时，b只能取0,1；当a为9时，b只能取8,9；当a 为其他数时，b都可以取三个数．故共有28种情形．4．(2018·合肥模拟)数字0,1,2,3,4组成的五位数(可有重复数字)中，中间三位数字各不相同，首末两位数字相同的共有________个．解析：先从1,2,3,4四个数中选取1个作首末数字，有4种选法，再从0,1,2,3,4五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A35＝60种选法，根据分步乘法计数原理知满足题意的有60×4＝240个五位数．答案：2405．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有________种(用数字作答)．解析：分两步：第一步，先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，所以共有5种排法．第二步，排a2，a4，a6，共有A33＝6种排法，故有5×6＝30种不同的排列方法．答案：306．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种(用数字作答)?解：方法一从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，可知必有2组同颜色的花，故从同色入手分类求解．(1)若2与5同色，则3,6或4,6同色，共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；(2)若3与5同色，则2,4或4,6同色，共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；(3)若2与4且3与6同色，则共有4×3×2×1＝24种栽种方法．所以共有48＋48＋24＝120种栽种方法．方法二记四种颜色的花分别为A，B，C，D，先安排1,2,3，有4×3×2种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽种A，B，C，则4,5,6的栽种方法共有5种，由以下树状图清晰可见．根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×5＝120种不同的栽种方法．7．电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运之星和幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解：分两类：①幸运之星在甲箱中抽，有30×29×20＝17 400种．②幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11 400种．共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升65 古
课时作业提升(六十五) 古典概型A 组 夯实基础1．4张卡上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A ．12B ．13C ．23D ．34解析：选B 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)、(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.2．(2018·武汉调研)同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( ) A ．118B ．112C ．19D ．16解析：选C 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝19. 3．(2018·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A ．13B ．512C ．12D ．712解析：选A 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1,12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 24种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A ．4．(2018·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．16B ．13C ．14D ．12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个， 故所求的概率为16.5．(2018·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由所求的概率为416＝14.6．(2018·浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A 、B,3名女生为a 、b 、c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )， (B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25.答案：257．(2018·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.解析： (8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P ＝310＝0.3.答案：0.38．(2018·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.答案：5129．(2015·天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.B 组 能力提升1．(2018·衡水调研)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8D ．0.75解析：选D 本题主要考查随机模拟法，考查学生的逻辑思维能力．因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75.2．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )A ．16B ．13C ．1－π12D ．1－π6解析：选A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点有：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.3．(2018·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：投掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19. 答案：194．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________．解析：以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,0,1}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,0,1}且y ∈{－1,0,1}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.答案：9255．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为________．解析：设3个白球分别为a 1、a 2、a 3,2个黑球分别为b 1、b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)， (a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b3)，共6种，故所求概率为620＝3 10.答案：3 106．(2015·安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.7．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)按型号用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此在抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1、A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1、B 2、B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)共7个，故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x －＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。
2019大一轮高考总复习文数北师大版课时作业提升4 函数
课时作业提升(四) 函数概念及其表示A 组 夯实基础1．(2018·清远一模)函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A ．⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≠13x ＋1＞0，解得x ＞－ 13且x ≠0，故选B ．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 的值为( ) A ．－74B ． 74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，由f (a )＝6知，4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2018·安徽联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B ．4．(2018·太原调研)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则g (x )＝f (2x )x －1的定义域为( )A ．[0,1)∪(1,2]B ．[0,1)∪(1,4]C ．[0,1)D ．(1,4]解析：选C 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)，选C ．5．(2018·温州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x <5，f (x －5)，x ≥5，那么f (2 018)＝( )A ．27B ．9C ．3D ．1解析：选A 根据题意，当x ≥5时，f (x )＝f (x －5)，函数周期T ＝5.∴f (2 018)＝f (3)，而当0≤x <5时，f (x )＝x 3， ∴f (3)＝33＝27，故选A ．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第a 件产品用时15 min ，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第a 件产品用时15 min ， 所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．(2018·临沂模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，1x ，x ＞0，则f (f (－2))＝________.解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，1x ，x ＞0，∴f (－2)＝3－2＝19，∴f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫19＝119＝9.答案：99．(2018·鹤壁月考)已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )＝log2f (x )有意义，则f (x )＞0，结合图像可知当x ∈(2,8]时，f (x )＞0，∴函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是(2,8]．答案：(2,8]10．(2018·杭州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]. 答案：[－4,2]11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图像．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图像如图：B 组 能力提升1．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.2．(2018·唐山模拟)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎡⎦⎤x 10B ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510解析：选B 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C 、D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B ．3．(2018·唐山调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎫－1， 12 C ．⎣⎡⎭⎫－1，12 D ．⎝⎛⎭⎫0， 12 解析：选C 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12.故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 4．(2018·南阳月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b (x ＜1)，2x (x ≥1)若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b (x ＜1)，2x (x ≥1)∴f ⎝⎛⎭⎫56＝52－b ， 若52－b ＜1，即b ＞32，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－4b ＝4，解得：b ＝78(舍去)，若52－b ≥1，即b ≤32，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ＝4，解得b ＝12，综上所述：b ＝12. 答案：125．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③6．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及题图，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， 所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升74 坐
课时作业提升(七十四) 坐标系1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．求经过极点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)， 故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形， 圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 3．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.4．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1. 5．在直角坐标系数xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 6．已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2，求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ，即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 7．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：( x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ 2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ 2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ 2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，圆心C 2到MN 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以△C 2MN 的面积为12. 8．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长．解：方法一 (1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4.因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |，所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，验证可知， 极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程． 故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OP A ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.方法二 (1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，得ρ＝22， 所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长为2 2.。
2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升55 双
课时作业提升(五十五) 双曲线及其性质A 组 夯实基础1．(2018·绵阳一诊)已知圆O 1和圆O 2的半径分别为2和4，且|O 1O 2|＝8，若动圆M 与圆O 1内切，与圆O 2外切，则动圆圆心M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：选C 设动圆M 的半径为R ， 由题意得|MO 1|＝R －2，|MO 2|＝R ＋4，所以|MO 2|－|MO 1|＝6(常数)，且6＜8＝|O 1O 2|，所以动圆圆心M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线的一支．2．(2018·天津一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1C ．3x 225－3y 2100＝1D ．3x 2100－3y 225＝1解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，得⎩⎨⎧a ＝25，b ＝5，所以双曲线的方程为x 220－y 25＝1.3．(2017·奉贤期末)“mn ＜0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选C 先证充分性，由mn ＜0，知m ，n 异号，可得1m ，1n 异号，所以方程mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n＝1，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则m ≠0，n ≠0，方程mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n＝1，由双曲线方程的形式可知1m ，1n 异号，所以mn ＜0.综上，“mn ＜0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．4．(2018·龙岩模拟)已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的半焦距，则b －c a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 B ．(－2，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－1，－34 D ．(－1,0)解析：选D 由b －c a ＝c 2－a 2－c a ＝e 2－1－e ＝－1e 2－1＋e ，由于e ＞1，且函数y ＝－1x 2－1＋x在(1，＋∞)上是增函数，那么b －c a 的取值范围是(－1,0)．5．(2016·山东卷改编)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是( )A ．32B ．2C ．52D ．3解析：选B 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ， 则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝⎛⎭⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.6．(2018·石家庄模拟)在区间[－2,3]上任取一个数m ，则使得双曲线x 2m 2－1－y 24－m＝1的离心率e ＞3的概率为________.解析：因为双曲线x 2m 2－1－y 24－m ＝1的离心率e ＞3，所以m 2－1＋4－m m 2－1＞3，m 2－1＞0， 得－2＜m ＜－1,1＜m ＜32，又－2≤m ≤3，所以所求概率为－1＋2＋32－13＋2＝310.答案：3107．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝__________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：28．(2018·桂林一模)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________.解析：由题意知，a ＝3，b ＝4，c ＝5， 从而|F 1F 2|＝10，||PF 1|－|PF 2||＝6.设|PF 1|与|PF 2|中较小的值为s ，则较大的值为6＋s ，因为PF 1⊥PF 2，所以s 2＋(6＋s )2＝100，得s 2＋6s ＝32.由△PF 1F 2为直角三角形，知点P 到x 轴的距离d ＝s (6＋s )10＝3210＝165.答案：1659．(2018·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值．解：(1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0＞0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2， 所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3. 因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2. 所以PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.B 组 能力提升1．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A ．2．(2018·长沙一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A ．2B ．3C ．3D ． 6解析：选B 由题意知，e ＝ca＝1＋b 2a2＝2⇒b 2＝3a 2， 则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2， 设A (m ，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.3．(2018·东湖模拟)如图，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为( )A ．5－1B ．5＋1C ． 3D ．3＋1解析：选D 以线段FC 的中点O 为原点，FC 所在直线为x 轴，FC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，正六边形ABCDEF 的边长为2， 易知两焦点为F (－2,0)和C (2,0)， 过D 点作DM ⊥FC 于点M ， 由于三角形OCD 为正三角形，所以|DM |＝3，|OM |＝1，所以D 点的坐标为( 1，3)， 又点D 在双曲线上，则1a 2－3b 2＝1⇒b 2－3a 2＝a 2b 2 ①又a 2＋b 2＝c 2⇒b 2＝4－a 2 ② 把②式代入①式得a 4－8a 2＋4＝0， 所以a 2＝4±23＝(1±3)2，所以a ＝3±1， 又a ＜c ＝2，所以a ＝3－1， 故离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1.4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x .由渐近线过点(3，－4)，可得－4＝－3ba，即b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝a 2＋169a 2＝53a ，则e ＝c a ＝53.答案：535．(2018·湖南联考)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为__________.解析：取PF 2的中点A ， ∵(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0， ∴2OA →·F 2P →＝0，∴OA →⊥F 2P →. ∵OA 是△PF 1F 2的中位线， ∴PF 1⊥PF 2，OA ＝12|PF 1|.由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a 3－1，|PF 1|＝23a3－1. 在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2a 3－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3－12＝4c 2，∴e ＝3＋1. 答案：3＋16．(2018·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.(1)解：因为e ＝2，所以可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，a ＝b ＝6，所以c ＝23， 所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)， 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.因为点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， 所以MF 1⊥MF 2.所以MF 1→·MF 2→＝07．(2018·兰州诊断)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解：依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)， B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍去)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，点M 的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ， ∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．。
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课时作业提升(四十三)空间中的平行关系A组夯实基础1．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或在平面内解析：选D直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D．2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A．3．设l表示直线，α、β表示平面．给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．以上四个结论中，正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C若l∥α，则在α内的直线与l平行或异面，故①正确，②错误．由面面平行的性质知③正确．对于④，在β内有无数条直线与a平行，故④错误．故选C．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：选A由m∥l1，mα，l1β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．5．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR ∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案：67．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，mα，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)解析：当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.答案：②③④8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.可以填入的条件有________.解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．如图，空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________.解析：设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EHBD ＝1－k ，∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k . 又∵0<k <1，∴周长的取值范围为(8,10)． 答案：(8,10)10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO .解析：如图所示，假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A ．连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点， 所以D 1B ∥PO ，又D 1B 平面P AO ，QB 平面P AO ， 所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， 又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面P AO .故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 答案：Q 为CC 1的中点11．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D．(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB，D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°.(1)求证：CE∥平面P AB；(2)若P A＝2AB＝2，求四面体P－ACE的体积．(1)证明：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，∴∠FDC＝30°.又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°，∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点．又E为PD的中点，∴EF∥P A．∵AP平面P AB，EF平面P AB，∴EF∥平面P AB．又∠BAC＝∠ACF＝60°，∴CF∥AB，可得CF∥平面P AB．又EF∩CF＝F，∴平面CEF∥平面P AB，而CE平面CEF，∴CE∥平面P AB．(2)解：∵EF∥AP，AP平面APC，EF平面APC，∴EF∥平面APC．又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，P A＝2AB＝2，∴AC＝2AB＝2，CD＝ACtan 30°＝2 3.∴V P－ACE＝V E－P AC＝V F－P AC＝V P－ACF＝13×12×S△ACD·P A＝13×12×12×2×23×2＝233.B组能力提升1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO平面BMD，P A平面BMD，∴P A∥平面BMD．∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，且P A平面P AHG，∴P A∥GH.2．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.(1)求证：PC⊥BC；(2)AD边上是否存在一点M，使得P A∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，请说明理由．(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD．又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．因为PC 平面PDC ，所以PC ⊥BC ．(2)解：连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ， 延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥P A ． 因为EO 平面MEG ，P A 平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.3．如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解：∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG ，EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α(α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋yb ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立． 此时x ＝a 2，y ＝b 2.即当截面EFGH 的顶点E ，F ，G ，H 分别为棱AD ，AC ，BC ，BD 的中点时截面面积最大．。